ODR1
1
Z´ akladn´ı pojmy teorie ODR a speci´ aln´ı typy ODR1 ´ ln´ı rovnice a souvisej´ıc´ı pojmy A. Diferencia Mnoh´e fyzik´aln´ı a jin´e z´akony lze popsat pomoc´ı rovnic, v nichˇz jako nezn´am´a vystupuje funkce, pˇriˇcemˇz tyto rovnice obsahuj´ı derivaci, pˇr´ıp. derivace nezn´am´e funkce. Tyto rovnice se naz´ yvaj´ı diferenci´ aln´ı rovnice. ˇ astka 1000 Kˇc se roˇcnˇe u Motivaˇ cn´ı pˇ r´ıklad. C´ ´roˇc´ı 10%. Na konci roku je pak na u ´ˇctu ˇc´astka 1100 Kˇc. Jestliˇze se u ´roky pˇripisuj´ı p˚ ulroˇcnˇe, u ´roˇc´ı se od poloviny roku ˇc´astka 1050 Kˇc a na konci roku je na u ´ˇctu ˇc´astka 1102,50 Kˇc. V´ ypoˇcet lze teoreticky st´ale zuˇzovat: u ´roˇcen´ı prob´ıh´a ˇctvrtletnˇe, mˇes´ıˇcnˇe, t´ ydnˇe, dennˇe atd. Vznik´a tedy ot´azka, kolik ˇcin´ı v´ yˇse ˇc´astky na u ´ˇctu po roce spojit´eho u ´roˇcen´ı (tj. za pˇredpokladu, ˇze ˇc´astka je u ´roˇcena nepˇretrˇzitˇe). Necht’ y(t) vyjadˇruje v´ yˇsi ˇc´astky v ˇcase t, pˇriˇcemˇz hodnota z´avisle promˇenn´e y je ud´av´ana v korun´ach a hodnota nez´avisle promˇenn´e t v roc´ıch. Lze uk´azat, ˇze hledan´a funkce y mus´ı vyhovovat rovnici dy y(t) (t) = , dt 10
t ≥ 0,
pˇriˇcemˇz y(t) = 1000 pro t = 0. Tato rovnice je rovnic´ı, v n´ıˇz jako nezn´am´a vystupuje funkce y(t) a obsahuje derivaci funkce y(t). Jedn´a se tedy o rovnici diferenci´aln´ı. Pozdˇeji uvid´ıme, ˇze jedin´ ym ˇreˇsen´ım t´eto rovnice vyhovuj´ıc´ım podm´ınce y(0) = 1000 je funkce y(t) = 1000 et/10 . Odtud tedy plyne, ˇze v´ yˇse ˇc´astky (v korun´ach) po roce spojit´eho u ´roˇcen´ı ˇcin´ı y(1) = 1105, 17. 1. Definice (Z´ akladn´ı pojmy) a) Obyˇcejnou diferenci´ aln´ı rovnic´ı (ODR) naz´ yv´ame rovnici, v n´ıˇz se vyskytuje (ˇci vyskytuj´ı) derivace hledan´e funkce jedn´e promˇenn´e. b) Parci´ aln´ı diferenci´ aln´ı rovnic´ı (PDR) naz´ yv´ame rovnici, v n´ıˇz se vyskytuj´ı parci´aln´ı derivace hledan´e funkce dvou nebo v´ıce promˇenn´ ych. ˇ adem diferenci´aln´ı rovnice naz´ c) R´ yv´ame nejvˇetˇs´ı ˇr´ad derivace hledan´e funkce v uvaˇzovan´e diferenci´aln´ı rovnici. d) Diferenci´aln´ı rovnici (ODR ˇci PDR) naz´ yv´ame line´ arn´ı, je-li tato rovnice line´arn´ı vzhledem ke hledan´e funkci i jej´ı derivaci (pˇr´ıpadnˇe derivac´ım). Zkratky: LODR, LPDR. e) Oznaˇcen´ı ODR1 (ˇci LODR1) znaˇc´ı obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnici prvn´ıho ˇr´adu (ˇci LODR prvn´ıho ˇr´adu). Zkratky ODRn a LODRn znaˇc´ı ODR a LODR n-t´eho ˇr´adu. V podobn´em smyslu uˇz´ıv´ame zkratky PDR1, PDRn, LPDR1, LPDRn. V dalˇs´ı ˇca´sti se budeme v´ yhradnˇe zab´ yvat obyˇcejn´ ymi diferenci´aln´ımi rovnicemi (pˇr´ıvlastek obyˇcejn´e budeme zpravidla vynech´avat). Pˇ r´ıklady V´ yˇse odvozen´ a diferenci´aln´ı rovnice y 0 (x) =
y(x) 10
(1)
(nez´avisle promˇennou nyn´ı znaˇc´ıme x) je pˇr´ıkladem LODR1. Tuto rovnici budeme struˇcnˇe zapisovat ve tvaru y 0 = y/10 (promˇennou x u nezn´am´e funkce y tedy nebudeme vypisovat). Linearitu t´eto rovnice poruˇs´ıme, uvaˇzujeme-li na prav´e stranˇe v´ yraz, kter´ y nen´ı line´arn´ı vzhledem k y; pˇr´ıkladem neline´arn´ı ODR1 je napˇr. rovnice y 0 = x + sin y. Podobnˇe rovnice y 00 = xy je pˇr´ıkladem √ LODR2, zat´ımco podobn´a rovnice (druh´eho ˇr´adu) y 00 = x y jiˇz line´arn´ı nen´ı. V´ yˇse uveden´e rovnice maj´ı explicitnˇe vyj´adˇrenou derivaci y nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu; ˇr´ık´ame, ˇze tyto rovnice jsou d´any v tzv. norm´ aln´ım tvaru. Uˇzit´ım vztahu y 0 = dy/dx lze kaˇzdou ODR1 v norm´aln´ım tvaru pˇrepsat pomoc´ı diferenci´al˚ u; tento tvar pak naz´ yv´ame diferenci´ aln´ım. Rovnice (1) v diferenci´aln´ım tvaru tedy je dx dy = . y 10 ´ FSI VUT v Brnˇe UM
ODR1
2
Snadno si pˇritom rozmysl´ıme, jak pˇrepsat ODR1 danou v diferenci´aln´ım tvaru na tvar norm´aln´ı. Uˇ zit´ı ODR. Diferenci´aln´ı rovnice maj´ı z´asadn´ı v´ yznam pˇri ˇreˇsen´ı mnoh´ ych probl´em˚ u fyzik´aln´ıch, technick´ ych a inˇzen´ yrsk´ ych. Bez diferenci´aln´ıch rovnic by nebylo moˇzn´e prov´adˇet r˚ uzn´e v´ ypoˇcty souvisej´ıc´ı s pruˇznost´ı a pevnost´ı materi´alu, s ˇr´ızen´ım sloˇzit´ ych jadern´ ych reakc´ı, s lety do vesm´ıru apod. V dalˇs´ım textu se omez´ıme pouze na modelov´e pˇr´ıklady, jejichˇz hlavn´ım u ´ˇcelem bude ilustrovat prob´ıranou l´atku a motivovat zaveden´ı dalˇs´ıch pojm˚ u. Rovnice (1) jako matematick´ y model probl´emu spojit´eho u ´roˇcen´ı je pˇr´ıkladem tzv. Malthusovy rovnice y 0 = ky, kde k 6= 0 je re´aln´a konstanta. K sestaven´ı t´eto rovnice vede n´asleduj´ıc´ı u ´vaha: Necht’ y = y(t) vyjadˇruje mnoˇzstv´ı dan´e veliˇciny v ˇcase t. Za pˇredpokladu, ˇze okamˇzit´a zmˇena (pˇr´ır˚ ustek ˇci u ´bytek) y je v kaˇzd´em okamˇziku u ´mˇern´a hodnotˇe y, pak dost´av´ame pr´avˇe Malthusovu rovnici. Vidˇeli jsme, ˇze k jednoznaˇcn´emu vyˇreˇsen´ı t´eto rovnice je tˇreba jeˇstˇe dodat informaci o hodnotˇe y v nˇekter´em pevn´em ˇcasov´em okamˇziku (nejˇcastˇeji se jedn´a o ˇcasov´ y poˇc´atek; pak tedy pˇredepisujeme poˇc´ateˇcn´ı stav - viz informace o poˇc´ateˇcn´ım stavu u ´ˇctu v probl´emu spojit´eho u ´roˇcen´ı). Jin´ ym v´ yznamn´ ym pˇr´ıkladem je rovnice m¨ y = F (t, y, y) ˙
(2)
pˇredstavuj´ıc´ı matematick´e vyj´adˇren´ı druh´eho Newtonova z´akona pro pohyb hmotn´eho bodu o hmotnosti m po ose y. Je to ODR2 pro hledanou funkci y = y(t), kter´a vyjadˇruje polohu hmotn´eho bodu na ose y. Druh´a derivace d2 y/ dt2 m´a fyzik´aln´ı v´ yznam zrychlen´ı hmotn´eho bodu; dan´a funkce F vyjadˇruje v´ yslednou vnˇejˇs´ı s´ılu, kter´a p˚ usob´ı na hmotn´ y bod. K jednoznaˇcn´emu urˇcen´ı ˇreˇsen´ı rovnice (2) je tentokr´at tˇreba dodat dvˇe podm´ınky. Prvn´ı z nich d´av´a informaci o poˇc´ateˇcn´ı poloze a druh´a o poˇc´ateˇcn´ı rychlosti dan´eho bodu. Matematicky vyj´adˇreno, y(0) = y0 ,
y(0) ˙ = y1 ,
kde y0 , y1 jsou pˇredepsan´e hodnoty a t0 = 0 je ˇcasov´ y poˇc´atek. V souladu s uveden´ ymi pˇr´ıklady budeme d´ale uvaˇzovat ODRn v norm´aln´ım tvaru y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ),
(3)
kde f je re´aln´a funkce definovan´a na (n + 1)-rozmˇern´e oblasti Ω ⊂ Rn+1 , a pro tuto rovnici zavedeme nˇekter´e souvisej´ıc´ı pojmy. ˇ sen´ım rovnice (3) naz´ 2. Definice (Pojem ˇ reˇ sen´ı ODR) a) Reˇ yv´ame kaˇzdou n-kr´at spojitˇe derivovatelnou funkci na nˇejak´em intervalu I, kter´a vyhovuje dan´e rovnici, takˇze po dosazen´ı t´eto funkce a jej´ıch derivac´ı do dan´e rovnice dostaneme na intervalu I identickou rovnost. b) ODR budeme povaˇzovat za vyˇreˇsenou, budeme-li zn´at vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. c) Kˇrivku, kter´a zn´azorˇ nuje nˇekter´e ˇreˇsen´ı dan´e ODR, naz´ yv´ame integr´ aln´ı kˇrivkou diferenci´aln´ı rovnice. Samotn´e ˇreˇsen´ı naz´ yv´ame tak´e integr´ alem diferenci´aln´ı rovnice. Poznamenejme, ˇze pokud definiˇcn´ı obor ˇreˇsen´ı dan´e rovnice nebude dopˇredu stanoven, budeme obvykle hledat ˇreˇsen´ı definovan´a na maxim´aln´ım moˇzn´em intervalu (tato ˇreˇsen´ı se naz´ yvaj´ı maxim´ aln´ı; my budeme tento pˇr´ıvlastek vynech´avat). 3. Definice (Poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınky a poˇ c´ ateˇ cn´ı probl´ em) Mˇejme d´an libovoln´ y, ale pevnˇe dan´ y ´ ateˇcn´ım podm´ınk´ am bod (x0 , y0 , y1 , . . . , yn−1 ) ∈ Ω. Uloha urˇcit ˇreˇsen´ı rovnice (3), kter´e vyhovuje n poˇc´ y(x0 ) = y0 ,
y 0 (x0 ) = y1 , . . . ,
y (n−1) (x0 ) = yn−1 ,
(4)
se naz´ yv´a poˇc´ ateˇcn´ı probl´em (nebo tak´e Cauchyho u ´loha). P˚ uvod n´azvu poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek (a tedy i poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu) plyne z toho, ˇze se nejˇcastˇeji pˇredepisuj´ı v bodˇe, kter´ y reprezentuje ˇcasov´ y poˇc´atek. Speci´alnˇe poˇc´ateˇcn´ı probl´em pro ODR1 je tvaru y 0 = f (x, y), a pro ODR2 pak
y 00 = f (x, y, y 0 ),
y(x0 ) = y0
y(x0 ) = y0 ,
´ FSI VUT v Brnˇe UM
y 0 (x0 ) = y1 .
ODR1
3
4. Definice (Okrajov´ e podm´ınky a okrajov´ y probl´ em)Tento probl´em se uvaˇzuje zejm´ena v pˇr´ıpadˇe ODR2, kdy nez´avisle promˇenn´a x m´a v´ yznam d´elky. Jde o u ´lohu urˇcit ˇreˇsen´ı rovnice y 00 = f (x, y, y 0 ) splˇ nuj´ıc´ı tzv. okrajov´e podm´ınky, kter´e mohou b´ yt napˇr. tvaru
nebo
y(a) = α,
y(b) = β
y 0 (a) = γ,
y 0 (b) = δ,
kde α, β, γ, δ jsou dan´e hodnoty a a, b jsou koncov´e body intervalu I, ve kter´em hled´ame ˇreˇsen´ı ODR2. 5. Definice (Druhy ˇ reˇ sen´ı ODR) a) Obecn´ym ˇreˇsen´ım rovnice (3) budeme rozumˇet funkci z´avisej´ıc´ı na n obecn´ ych parametrech C1 , . . . , Cn takov´ ych, ˇze speci´aln´ı (pˇr´ıpustnou) volbou C1 , . . . , Cn lze z´ıskat ˇreˇsen´ı kaˇzd´eho poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu (3), (4). b) Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı ODRn je takov´e ˇreˇsen´ı ODRn, kter´e obdrˇz´ıme z obecn´eho ˇreˇsen´ı pevnou volbou konstant C1 , . . . , Cn . c) V´yjimeˇcn´e ˇreˇsen´ı je ˇreˇsen´ı ODRn, kter´e nelze z´ıskat z obecn´eho ˇreˇsen´ı ˇz´adnou volbou hodnot C1 , . . . , C n . Uveden´e pojmy budeme ilustrovat na pˇr´ıkladech uveden´ ych v odd´ılu B. 6. Definice (Geometrick´ y v´ yznam ODR) Diferenci´aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu y 0 = f (x, y)
(5)
pˇriˇrazuje kaˇzd´emu bodu (x, y) definiˇcn´ıho oboru Ω funkce f smˇernici y 0 pˇr´ısluˇsn´eho ˇreˇsen´ı. T´ım je v Ω d´ano pole smˇer˚ u, tzv. smˇerov´e pole. Toto smˇerov´e pole lze graficky zn´azornit tak, ˇze zakresl´ıme dostateˇcnˇe mnoho bod˚ u (x, y) ∈ Ω a teˇcny pˇr´ısluˇsn´ ych integr´aln´ıch kˇrivek o smˇernic´ıch f (x, y) vyznaˇc´ıme kr´atk´ ymi u ´seˇckami. Z geometrick´eho hlediska ˇreˇsit diferenci´aln´ı rovnici (5) znamen´a vepsat do dan´eho smˇerov´eho pole kˇrivky tak, aby jejich teˇcny dan´e smˇerov´e pole respektovaly. U rovnice druh´eho ˇr´adu je kaˇzd´emu bodu (x, y) a smˇeru y 0 pˇriˇrazena hodnota druh´e derivace (t´ım je tedy pˇredeps´ana kˇrivost hledan´e integr´aln´ı kˇrivky). Rovnice vyˇsˇs´ıho ˇr´adu jiˇz nemaj´ı tak jednoduchou geometrickou interpretaci. Pˇ r´ıklad Sestrojme smˇerov´e pole diferenci´aln´ı rovnice x y0 = − . y ± ˇ sen´ı: Funkce f (x, y) = −x y je definov´ Reˇ ana pro vˇsechna re´aln´a x a y s v´ yjimkou bod˚ u leˇz´ıc´ıch na ose x. Poloˇz´ıme-li y 0 = k, kde k ∈ R, obdrˇz´ıme otevˇren´e polopˇr´ımky x = −ky (y 6= 0). Jsou to kˇrivky, v jejichˇz bodech je danou rovnic´ı pˇredeps´ana t´aˇz hodnota smˇernice y 0 = k; ˇr´ık´a se jim izokliny. Pomoc´ı izoklin pak snadno vid´ıme, ˇze smˇerov´e pole dan´e rovnice m´a tvar zn´azornˇen´ y na obr. 1.
´ FSI VUT v Brnˇe UM
ODR1
4 y
x
Obr. 1 Odtud tak´e plyne, ˇze v horn´ı polorovinˇe jsou√integr´aln´ımi kˇrivkami p˚ ulkruˇznice y = v doln´ı polorovinˇe to jsou p˚ ulkruˇznice y = − C − x2 , kde C ∈ R+ .
√ C − x2 , zat´ımco
ˇktere ´ typy ODR1 B. Ne V tomto odd´ılu uvedeme nˇekolik z´akladn´ıch typ˚ u ODR1, jejichˇz ˇreˇsen´ı lze nal´ezt exaktnˇe. Sezn´am´ıme se pˇritom s metodami umoˇzn ˇuj´ıc´ımi vyj´adˇren´ı pˇresn´eho ˇreˇsen´ı dan´e rovnice, a to po koneˇcn´em poˇctu krok˚ u. B1. ODR1 se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi Je tvaru
y 0 = g(x)h(y) .
(6)
kde g, h jsou funkce jedn´e promˇenn´e. Plat´ı 7. Vˇ eta Necht’ funkce g, resp. h je definovan´a a spojit´a na intervalu (a, b), resp. (c, d) a necht’ pro kaˇzd´e y ∈ (c, d) je h(y) = 6 0. D´ale necht’ x0 ∈ (a, b), y0 ∈ (c, d) jsou libovoln´e body. Pak m´a poˇc´ateˇcn´ı probl´em y 0 = g(x)h(y),
y(x0 ) = y0
(7)
pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı definovan´e na nˇejak´em intervalu I. Toto ˇreˇsen´ı je urˇceno implicitnˇe vzorcem Z
y(x)
y0
dt = h(t)
Z
x
g(s) ds
pro kaˇzd´e x ∈ I.
(8)
x0
Praktick´ y postup. Za pˇredpoklad˚ u uveden´ ych v pˇredch´azej´ıc´ım tvrzen´ı je ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu (7) d´ano implicitnˇe vztahem (8). Vztah Z Z dy = g(x) dx + C, C∈R (9) h(y) je tedy obecn´ ym ˇreˇsen´ım ±rovnice (6). Mnemotechnicky si vzorec (9) m˚ uˇzeme zapamatovat takto: V rovnici (6) m´ısto y 0 nap´ıˇseme dy dx a provedeme tzv. separaci promˇenn´ych. V´ yrazy s promˇenn´ ymi x, resp. y od sebe oddˇel´ıme na obou stran´ach rovnice. T´ım obdrˇz´ıme form´aln´ı rovnost dy = g(x) dx. h(y) Obˇe strany rovnosti integrujeme a na pravou stranu pˇrip´ıˇseme integraˇcn´ı konstantu, ˇc´ımˇz obdrˇz´ıme vzorec (9). ´ FSI VUT v Brnˇe UM
ODR1
5
Pˇ r´ıklad Urˇceme vˇsechna ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice y0 =
1 (2y + 1). x
(10)
ˇ sen´ı: Zvol´ıme postup popsan´ Reˇ y v pˇredch´azej´ıc´ı pozn´amce. Pˇredpoklad x 6= 0, 2y + 1 6= 0 rozdˇel´ı rovinu na ˇctyˇri oblasti: Ω1 = (0, ∞) × (−1/2, ∞), Ω3 = (−∞, 0) × (−∞, −1/2),
Ω2 = (−∞, 0) × (−1/2, ∞), Ω4 = (0, ∞) × (−∞, −1/2) .
Ve vˇsech tˇechto oblastech postupnˇe dost´av´ame: dy dx dy
R 2y+1 dy 1 2
2y+1
ln |2y + 1|
= =
1 x (2y + dx , Rx dx x ,
1),
= = ln |x| + C1 ,
C1 ∈ R.
Z tohoto tvaru lze hledanou funkci y vyj´adˇrit explicitnˇe na lev´e stranˇe, ˇc´ımˇz se z´ıskan´ y v´ ysledek znaˇcnˇe zpˇrehledn´ı. Neˇz tak uˇcin´ıme, zap´ıˇseme obecnou konstantu C1 ve tvaru (1/2) ln |C|, C 6= 0, coˇz n´am umoˇzn´ı jednoduˇse upravit v´ ysledek. Odlogaritmov´an´ım a u ´pravou vztahu 1 1 ln |2y + 1| = ln |x| + ln |C|, 2 2 dost´av´ame
|2y + 1| = |C|x2 ,
C ∈ R − {0}
C ∈ R − {0} .
Nyn´ı pˇristoup´ıme k odstranˇen´ı absolutn´ıch hodnot. V oblastech Ω1 a Ω2 plat´ı 2y + 1 = Cx2 , C > 0 a v oblastech Ω3 , Ω4 pak 2y + 1 = Cx2 , C < 0. Dohromady tedy na uveden´ ych oblastech plat´ı 2y + 1 = Cx2 , C ∈ R − {0} . (11) ± Nyn´ı posoud´ıme pˇr´ıpad 2y + 1 = 0 (tj. y = −1 2). Dosazen´ım do rovnice (10) snadno vid´ıme, ˇze tato konstantn´ı funkce je tak´e ˇreˇsen´ım. Protoˇze toto ˇreˇsen´ı lze obdrˇzet ze vztahu (11) volbou C = 0, vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice (10) jsou tvaru 1 y = Cx2 − , C ∈ R, 2 kde m´ısto C/2 p´ıˇseme C. Tato ˇreˇsen´ı, kter´a tvoˇr´ı souˇcasnˇe obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice, pˇredstavuj´ı jednoparametrickou soustavu parabol zn´azornˇenou na obr. 2. y
C>0
x 1 2
C=0
C<0
Obr. 2 ´ FSI VUT v Brnˇe UM
ODR1
6
Vˇsimnˇeme si, ˇze kaˇzd´ ym bodem roviny, s v´ yjimkou bod˚ u leˇz´ıc´ıch na ose y, proch´az´ı pr´avˇe jedna integr´aln´ı kˇrivka obecn´eho ˇreˇsen´ı. Jinak vyj´adˇreno, pˇredep´ıˇseme-li tˇemito body poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku, bude m´ıt odpov´ıdaj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı probl´em pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. B2. Line´ arn´ı ODR1 Line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice 1. ˇr´adu m´a obvykle tvar y 0 = a(x)y + f (x) .
(12)
Je-li f (x) = 0 pro vˇsechna uvaˇzovan´a x, pak hovoˇr´ıme o homogenn´ı LODR1; v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se jedn´a o nehomogenn´ı LODR1. Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze funkce a(x), f (x) jsou spojit´e na intervalu I. Uvedeme nejobvyklejˇs´ı metodu ˇ sen´ı prob´ıh´a ve dvou kroc´ıch. ˇreˇsen´ı rovnice (12), tzv. metodu variace konstanty. Reˇ ˇ s´ıme nejprve pˇridruˇzenou homogenn´ı LODR1 ve tvaru I. Reˇ y 0 = a(x)y,
(13)
v n´ıˇz m˚ uˇzeme za pˇredpokladu y 6= 0 separovat promˇenn´e. V´ yˇse popsanou metodou separace promˇenn´ ych lze urˇcit obecn´e ˇreˇsen´ı yh rovnice (13) ve tvaru yh = Cv(x),
kde v(x) = e
R
a(x) dx
,
C∈R
(volba C = 0 zahrnuje vylouˇcen´ y pˇr´ıpad y = 0, kter´ y je rovnˇeˇz ˇreˇsen´ım (13)). ˇ sen´ı p˚ II. Reˇ uvodn´ı nehomogenn´ı rovnice (12) hled´ame ve stejn´em tvaru, ale C jiˇz nen´ı ˇc´ıseln´a konstanta, n´ ybrˇz funkce promˇenn´e x (odtud je tak´e n´azev metody): y = C(x)v(x),
C(x) =?
(14)
Obecn´e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı LODR1 se tedy liˇs´ı od obecn´eho ˇreˇsen´ı homogenn´ı LODR1 jen t´ım, ˇze m´ısto konstanty C nastoup´ı vhodn´a (zat´ım neurˇcen´a) funkce C(x). Tu urˇc´ıme tak, ˇze vztah (14) dosad´ıme do p˚ uvodn´ı rovnice (12). Odtud po u ´pravˇe (zejm´ena po vz´ajemn´e eliminaci vˇsech ˇclen˚ u obsahuj´ıc´ıch C(x)) m´ame C 0 (x)v(x) = f (x) . (15) Protoˇze v(x) > 0, lze rovnici (15) dˇelit v(x), takˇze Z Z R f (x) C(x) = dx + C = f (x) e− a(x) dx dx + C , v(x) kde C je obecn´a konstanta. Dosazen´ım C(x) do vztahu (14) dost´av´ame obecn´e ˇreˇsen´ı line´arn´ı rovnice (12), zahrnuj´ıc´ı vˇsechna ˇreˇsen´ı t´eto rovnice. Toto ˇreˇsen´ı je pˇritom definov´ano na intervalu I, tedy vˇsude tam, kde jsou funkce a(x), f (x) spojit´e. Pˇ r´ıklad Naleznˇeme ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu y0 =
1 (2y + 1), x
y(1) = 0.
ˇ sen´ı: Dan´a rovnice jiˇz byla rozˇreˇsena v odd´ılu B1 jako rovnice se separovan´ Reˇ ymi promˇenn´ ymi. Souˇcasnˇe je vˇsak i rovnic´ı line´arn´ı, nebot’ lze ps´at ve tvaru y0 =
2 1 y+ x x
(tj. a(x) =
2 1 , f (x) = .) x x
Ilustrujme proto pˇri ˇreˇsen´ı t´eto rovnice tak´e metodu variace konstanty: I. Nejprve nalezneme obecn´e ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı rovnice y0 =
2 y. x
´ FSI VUT v Brnˇe UM
(16)
ODR1
7
Separac´ı promˇenn´ ych dost´av´ame pro x 6= 0 a y 6= 0 yh = Cx2 ,
C ∈ R,
kde volba parametru C = 0 zahrnuje i nulov´e ˇreˇsen´ı yh = 0. II. Metodou variace konstanty hledejme obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (16) ve tvaru y = C(x)x2 ,
C(x) =?
Nezn´amou funkci C(x) urˇc´ıme dosazen´ım tohoto vztahu do (16): C 0 (x)x2 + C(x)2x =
1 2 C(x)x2 + , x x
C 0 (x) =
tj.
1 . x3
Odtud pak integrac´ı dost´av´ame Z C(x) =
1 dx = x3
Z x−3 dx =
x−2 1 + C = − 2 + C, −2 2x
kde C je obecn´a konstanta. Zpˇetn´ ym dosazen´ım C(x) m´ame y = (−
1 1 + C)x2 = Cx2 − , 2x2 2
C ∈ R.
± Dosad´ıme-li nyn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku do obecn´eho ˇreˇsen´ı, m´ame C = 1 2, a ˇreˇsen´ı dan´eho poˇc´ateˇcn´ıho probl´emu je tedy tvaru 1 y = (x2 − 1), x ∈ (0, ∞). 2 N´asleduj´ıc´ı dva typy ODR1 lze pˇrev´est vhodnou substituc´ı na rovnici se separovan´ ymi promˇenn´ ymi, resp. rovnici line´arn´ı. B3. ODR1 tvaru y’=f(y/x) Rovnici
y0 = f
³y´
(17)
x
lze snadno pˇrev´est substituc´ı y(x) = u(x)x
(struˇcnˇe: y = ux)
(18)
na ODR1 se separovan´ ymi promˇenn´ ymi. Vskutku, ze substituce (18) plyne y 0 = u0 x + u, takˇze rovnice (17) pˇrejde v rovnici u0 x + u = f (u),
neboli
u0 =
1 (f (u) − u) , x
coˇz je ODR1 se separovan´ ymi promˇenn´ ymi. Odtud tedy d´ale pro x 6= 0 a f (u) 6= u dostaneme rovnici v diferenci´aln´ım tvaru du dx = . f (u) − u x Jej´ı obecn´ y integr´al vyjadˇruje vztah mezi promˇenn´ ymi x a u. Ze vztahu (18) plyne u = y/x. Uˇzit´ım tohoto vztahu v obecn´em integr´alu dostaneme obecn´e ˇreˇsen´ı v x a y. B4. Bernoulliova rovnice Bernoulliova rovnice je tvaru y 0 = a(x)y + f (x)y r ,
r ∈ R.
´ FSI VUT v Brnˇe UM
(19)
ODR1
8
Poznamenejme, ˇze v pˇr´ıpadˇe r = 0 nebo r = 1 je dan´a rovnice line´arn´ı, a proto budeme pˇredpokl´adat r 6= 0, r 6= 1. Necht’ d´ale funkce a(x), f (x) jsou spojit´e v nˇejak´em intervalu I. Uk´aˇzeme, ˇze rovnici (19) lze substituc´ı u(x) = y 1−r (x) (struˇcnˇe: u = y 1−r ) pˇrev´est na LODR1. Vskutku, za pˇredpokladu y 6= 0 poloˇz´ıme u = y 1−r . Potom u0 = (1 − r)y −r y 0 , takˇze Bernoulliova rovnice se transformuje na tvar u0 = (1 − r)a(x)u + (1 − r)f (x), coˇz je rovnice line´arn´ı. Tuto rovnici vyˇreˇs´ıme (viz odd´ıl B2) a z jej´ıho obecn´eho ˇreˇsen´ı pak prostˇrednictv´ım dan´e substituce z´ısk´ame obecn´e ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı rovnice (19). Kromˇe ˇreˇsen´ı, kter´a dostaneme t´ımto postupem, m´a rovnice (19) pro r > 0 tak´e ˇreˇsen´ı y = 0.
Shrnut´ı poznatk˚ u Obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice je rovnice, jej´ıˇz nezn´am´a je funkce (jedn´e promˇenn´e), a kter´a obsahuje ˇ ad nejvyˇsˇs´ı derivace pak nazveme ˇr´adem rovnice. Rovnice derivaci (pˇr´ıp. derivace) t´eto nezn´am´e funkce. R´ tohoto typu hraj´ı z´asadn´ı roli pˇri modelov´an´ı mnoha technick´ ych a pˇr´ırodovˇedn´ ych probl´em˚ u. Aby tyto modely mˇely ˇreˇsen´ı urˇceno jednoznaˇcnˇe, je tˇreba s danou rovnic´ı uvaˇzovat i doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınky, jejichˇz poˇcet je roven ˇr´adu rovnice. Jsou-li tyto podm´ınky pˇredeps´any pouze v jednom (nejˇcastˇeji poˇc´ateˇcn´ım) bodˇe, naz´ yvaj´ı se podm´ınkami poˇc´ateˇcn´ımi. Jsou-li pˇredeps´any v r˚ uzn´ ych (nejˇcastˇeji okrajov´ ych) bodech, naz´ yvaj´ı se podm´ınkami okrajov´ ymi. Pro nˇekolik speci´aln´ıch typ˚ u diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu (a pozdˇeji uvid´ıme, ˇze nejen prvn´ıho ˇr´adu) jsou zn´amy metody vedouc´ı k nalezen´ı pˇresn´eho ˇreˇsen´ı. Jak si poˇc´ınat v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz dan´a rovnice nen´ı ˇz´adn´eho z tˇechto typ˚ u, se dozv´ıme v kapitole vˇenovan´e numerick´emu ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ıch probl´em˚ u pro ODR1.
´ FSI VUT v Brnˇe UM
