Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Projekt

CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme

Šablona

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM)

DUM č.

VY_32_INOVACE_CH29_1_07

RVP

64-41-L/51 Podnikání Ročník 3. Mgr. E. Pokorná, Mgr. P Jurtíková, Mgr. M. Vašíčková, Mgr. G. Vargová, Mgr. M. Zichová, Mgr. L. Šíbl, Mgr. J. Bukvaldová

Zpracoval(i)

ŠVP

Podnikání Předmět Cvičení z matematiky Kdy

II/2013

Kvadratické rovnice, nerovnice, soustavy

Tematická oblast

Algebra

Klíčová slova

Algebra/Kvadratické rovnice, nerovnice a soustavy/kvadratická rovnice, zkouška, kvadratická nerovnice, interval, soustava rovnic

Téma

Toto dílo obsahuje citace v souladu s § 31 odst. 1 písm. c) zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a může být použito výhradně při vyučování.

Anotace DUM obsahuje dva druhy pracovních listů na téma „Kvadratické rovnice, nerovnice, soustavy“. Jeden pracovní list je učitelským listem, kde jsou všechny příklady řazeny za sebou, pro rychlý přehled učitele. Na konci tohoto přehledu jsou výsledky všech příkladů. Druhým pracovním listem je pracovní list pro studenty. Zde jsou identické příklady jako v učitelském listu, navíc je zde prostor pro samotné výpočty studentů. Typ interakce: frontální Soubor název

Soubor – popis obsahu

VY_32_INOVACE_CH29_2_07 Kvadratické rovnice, nerovnice, soustavy_UL.docx VY_32_INOVACE_CH29_2_07 Kvadratické rovnice, nerovnice, soustavy_PL.docx

Učitelské listy s přehledem a výsledky příkladů Pracovní listy s příklady, prostorem pro výpočty a výsledky příkladů

Metodický list Se studenty je dané téma probráno teoreticky. Následuje procvičení daného tématu pomocí pracovních listů. Tyto listy se řeší přímo jako cvičení v hodině. Každý student má své pracovní listy sám pro sebe a vpisuje řešení hned do nich. Je možné zadat i některé úlohy jako samostatnou práci v hodině či jako úlohu na domácí výpočty. Student k řešení smí používat kalkulátor i matematické tabulky. Píše propisovací tužkou, obyčejná tužka nesmí být používána mimo náčrtky. Pro kontrolu výsledků souží přehled výsledků na konci každého pracovního listu.

S t ř e d n í šk o la p o t r a v iná ř sk á , o bc ho d u a s lu ž e b B r no Sídlo: C ha rbulova 106, 618 00 Brn o

Učitel může sám rozhodnout, zda výsledky pro studenty zpřístupní či nikoli. Jako zpětná vazby slouží monotematické testy na dané téma v inovaci VY_32_INOVACE_CH29_2_07 Kvadratické rovnice, nerovnice, soustavy. Oba typy pracovních listů jsou zveřejněny a zpřístupněny na Moodle školy (http://moodle1.ssposbrno.cz/course/view.php?id=40) v kurzu Mgr. Jurtíkové „Matematika“, heslo je „matematika“. Studenti jsou dále rozděleni do skupin podle tříd pro větší přehlednost. Učitel může dále sledovat aktivitu studentů, zda se o dané téma zajímali.

Veškeré příklady byly čerpány z následujících dostupných zdrojů: AUTOR NEUVEDEN. Testy a zadání [online]. [cit. 27. 11. 2013]. Dostupný na WWW: http://www.novamaturita.cz/testy-a-zadani-1404035305.html FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001, ISBN 80-7196-095-0. SÝKORA, Václav a kol. Matematika – sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky (základní obtížnost). Praha: Tauris, 2001, ISBN 978-80-87337-12. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika – rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika – rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2007, ISBN 978-80-903861-1-2. HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-165-5.

S t ř e d n í šk o la p o t r a v iná ř sk á , o bc ho d u a s lu ž e b B r no Sídlo: C ha rbulova 106, 618 00 Brn o

7. KVADRATICKÉ ROVNICE, NEFROVNICE, SOUSTAVY

7. KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE, SOUSTAVY 1)

2)

4

Řešte danou rovnici v R: − x

3∙(x−7) x2−3x

=

x+1 x−3

a)

Pro které hodnoty neznáme x není rovnice definovaná?

b)

Určete množinu všech řešení rovnice.

V množině reálných čísel řešte rovnici (2x − 3)2 − x 2 = 0. Které tvrzení je pravdivé?

A) Rovnice má právě jedno řešení. B) Hodnoty obou kořenů se liší o 2. C) Hodnoty obou kořenů jsou opačná nenulová čísla. D) Žádné z výše uvedených tvrzení A – C není pravdivé. Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno


3)

V oboru R řešte: a2 − 2a + 6 = 5 ∙ (2 − a)

4)

Rovnice (x − 1)2 = 1 − x s neznámou x ∈ R A) má právě jeden kořen

C) má nekonečně mnoho řešení

B) má dva různé reálné kořeny

D) nemá řešení

5)

V oboru R řešte (2x − 3x) ∙ (5 − x) = 0

6)

V oboru R řešte

7)

Určete počet reálných čísel, které vyhovují rovnici (2x + 3)2 − 12x = 0

8)

V rovnici x 2 + bx − 12 = 0 s neznámou x je jeden kořen x1 = −2. Určete koeficient b a druhý kořen.

A) 0

x2 −4 x−2

= 3x

B) 1

C) 2

D) 4

Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

9)


Součet kořenů rovnice x 2 + bx − 12 = 0 je roven 1. Kořeny této rovnice jsou: A) 0, 1

B) −1, 2

C) −2; 3

10) Jedním kořenem rovnice x 2 + c = 0 je číslo A)

3+√2 2

B)

−3−√2 2

C)

−3+√2 2

D) −3, 4

3−√2 . Jejím 2

E) −4, 5

druhým kořenem je: 3+√2 2

D) �

3−√2 2

E) −�

11) Z následujících rovnic vyberte ty, které mají dvojnásobný kořen a)

2x 2 − 3x + 1 = 0

(1)

b)

9x 2 − 6x + 1 = 0

(2)

c)

x 2 + x + 0,25 = 0

(3)

d)

x 2 + 2x − 1 = 0 (4)

A) (1) a (2)

B) (1) a (3)

A) 0

B) 1

1

12) Počet řešení rovnice − x

6

x−1

+

6

C) (1) a (4)

D) (2) a (3)

E) (3) a (4)

C) 2

D) 3

E) 4

x−2

= 0 je roven:


13) Množina všech řešení rovnice A) (−5; 5)


(x−5)∙(x+5) 25−x2

B) (−∞; −5) ∪ (5; ∞)

= 0 je:

C) ∅

D) R − {−5; 5}

14) Součet nejmenšího kořenu rovnice (2x + 1)2 = 8 a největšího kořenu rovnice (3 − 2y)2 = 8 je: A) −1 − 2√2

B) 1

C) 4 + 2√2

D) 2√2

E) – 2

15) Pozemek o výměře 571,2 arů má tvar obdélníku, jehož sousední strany se liší o 2 metry. Největší vzdálenost dvou míst na pozemku je? A) 33,8 m

B) 338 m

C) 478 m

D) 106,9 m

E) 1068,9 m

(x−2)∙(x+3)

16) Množina všech řešení nerovnice (5−x)∙(2−x) ≤ 0 v oboru reálných čísel je: A) ⟨−3; 2) ∪ ⟨5; ∞) C) ⟨−3; 5) − {2}

B) (−3; 2) ∪ (2; 5) D) 〈−3; 5〉

17) Irena pěstuje jahody na záhonu, který má tvar obdélníku s obvodem 17,4 m. Kdyby byl záhon o 1 m delší a o 1 m užší, byla by jeho výměra menší o 2,7 m2. Rozměry záhonu jsou: A) 5 m a 3,6 m

D) 4,8 m a 4 m

B) 5,2 m a 3,5 m E) 5 m a 3,5 m


C) 4,8 m a 3,6 m


18) Čísla p, q mají tu vlastnost, že rovnice x 2 + px + q = 0 má kořeny x1 = 2 − √2, x2 = 1 + 2√2. Hodnota výrazu 3p + q je rovna: A) 7 + 6√2

B) −9 + 8√2

C) 9 − 8√2

D) – 11

E) 11

19) Na střední škole je zapsáno780 studentů. Počet tříd je o 4 větší než průměrný počet studentů v každé třídě. Počet tříd je: A) 26

B) 28

C) 30

D) 32

20) Množina všech řešení nerovnice (x − 1) ∙ (5x + 2) < 0 je podmnožinou intervalu: A) 〈−5; 0〉

5

1

B) 〈− ; 〉 2

2

2

C) �− ; 1� 5

2

D) � ; −1� 5

2

E) 〈 ; 1〉 5

21) Kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou dvojnásobky kořenů rovnice x 2 + 4x − 21 = 0, je: A) x 2 + 8x − 42 = 0 C) x 2 + 8x − 84 = 0

E) x 2 − 8x − 42 = 0

B) x 2 + 32x − 42 = 0

D) x 2 + 32x − 84 = 0



22) Jsou dány nerovnice 2x 2 < 1; 4x 2 + x < 0; −2x 2 ≥ x; 4x 2 + 2x < 0. Kolik z nich má 1

mezi svými řešeními číslo − ?

A) 0

B) 1

2

C) 2

D) 3

E) 4

23) Počet různých celých čísel, která jsou kořeny rovnice (3x 2 − 9x + 7) ∙ (3x 2 + 22x + 7) = 0 je roven: A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

24) Vzdálenost mezi Ostravou a Opavou je 36 km. Osobní automobil jel z Ostravy do Opavy o 15 minut kratší dobu než autobus. Rozdíl průměrných rychlostí osobního automobilu a autobusu byl 12 km/h. Určete průměrné rychlosti obou vozidel.



25) Strana prvního čtverce je o 2 cm delší než obvod druhého čtverce, součet obsahů obou čtverců je 205 cm2. Určete délku strany druhého čtverce.

26) Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce ji protíná pěšinka dlouhá 29 metrů. Určete délku a šířku okrasné zahrady.



Výsledky: 1)

a) není definována pro x = 0; x = 3;

3)

1; −4

2)

B

4)

B

6)

1; x ≠ 2

5)

0; 5

7)

A

9)

D

8)

b) x = −3

6; −4

10) C

11) D 12) C 13) C

14) B 15) B 16) C

17) B

18) D 19) C 20) C 21) C 22) C

23) C

24) autobus 36 km/h; auto 48 km/h

25) 3 cm

26) délka 21 m, šířka 20 m



7. KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE, SOUSTAVY 1) 2)

4

Řešte danou rovnici v R: − 𝑥

a)

3∙(𝑥−7) 𝑥 2 −3𝑥

=

𝑥+1 𝑥−3

Pro které hodnoty neznáme x není rovnice definovaná?

b)

Určete množinu všech řešení rovnice.

V množině reálných čísel řešte rovnici (2𝑥 − 3)2 − 𝑥 2 = 0. Které tvrzení je pravdivé? A) Rovnice má právě jedno řešení.

B) Hodnoty obou kořenů se liší o 2.

C) Hodnoty obou kořenů jsou opačná nenulová čísla. 3)

4)

5)

6) 7)

8)

9)

D) Žádné z výše uvedených tvrzení A – C není pravdivé.

V oboru R řešte: 𝑎2 − 2𝑎 + 6 = 5 ∙ (2 − 𝑎)

Rovnice (𝑥 − 1)2 = 1 − 𝑥 s neznámou 𝑥 ∈ 𝑅

A) má právě jeden kořen

C) má nekonečně mnoho řešení

D) nemá řešení

V oboru R řešte (2𝑥 − 3𝑥 ) ∙ (5 − 𝑥 ) = 0

V oboru R řešte

𝑥 2 −4 𝑥−2

B) má dva různé reálné kořeny

= 3𝑥

Určete počet reálných čísel, které vyhovují rovnici (2𝑥 + 3)2 − 12𝑥 = 0 A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

V rovnici x 2 + bx − 12 = 0 s neznámou x je jeden kořen x1 = −2. Určete koeficient b a druhý kořen.

Součet kořenů rovnice 𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 12 = 0 je roven 1. Kořeny této rovnice jsou: A) 0, 1

B) −1, 2

C) −2; 3

10) Jedním kořenem rovnice 𝑥 2 + 𝑐 = 0 je číslo A)

3+√2 2

B)

−3−√2 2

C)

−3+√2 2

D) −3, 4

3−√2 . Jejím 2

druhým kořenem je: 3+√2 2

2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0

(1)

c)

𝑥 2 + 𝑥 + 0,25 = 0

(3)

b)

d)

9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0

𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0 (4)

A) (1) a (2)

B) (1) a (3)

3−√2 2

D) �

E) −�

D) (2) a (3)

E) (3) a (4)

11) Z následujících rovnic vyberte ty, které mají dvojnásobný kořen a)

E) −4, 5

(2) C) (1) a (4)


1

12) Počet řešení rovnice − 𝑥

6

𝑥−1

+

6

𝑥−2


= 0 je roven:

A) 0

B) 1

A) (−5; 5)

B) (−∞; −5) ∪ (5; ∞)

A) −1 − 2√2

B) 1

A) 33,8 m

B) 338 m

13) Množina všech řešení rovnice

C) 2

D) 3

E) 4

C) ∅

D) 𝑅 − {−5; 5}

C) 4 + 2√2

D) 2√2

E) – 2

C) 478 m

D) 106,9 m

E) 1068,9 m

(𝑥−5)∙(𝑥+5) 25−𝑥 2

= 0 je:

14) Součet nejmenšího kořenu rovnice (2𝑥 + 1)2 = 8 a největšího kořenu rovnice (3 − 2𝑦)2 = 8 je: 15) Pozemek o výměře 571,2 arů má tvar obdélníku, jehož sousední strany se liší o 2 metry. Největší vzdálenost dvou míst na pozemku je? (𝑥−2)∙(𝑥+3)

16) Množina všech řešení nerovnice (5−𝑥)∙(2−𝑥) ≤ 0 v oboru reálných čísel je: A) ⟨−3; 2) ∪ ⟨5; ∞)

B) (−3; 2) ∪ (2; 5)

C) ⟨−3; 5) − {2}

D) 〈−3; 5〉

17) Irena pěstuje jahody na záhonu, který má tvar obdélníku s obvodem 17,4 m. Kdyby byl záhon o 1 m delší a o 1 m užší, byla by jeho výměra menší o 2,7 m2. Rozměry záhonu jsou: A) 5 m a 3,6 m

B) 5,2 m a 3,5 m

D) 4,8 m a 4 m

C) 4,8 m a 3,6 m

E) 5 m a 3,5 m

18) Čísla p, q mají tu vlastnost, že rovnice x 2 + px + q = 0 má kořeny x1 = 2 − √2, x2 = 1 + 2√2. Hodnota výrazu 3p + q je rovna: A) 7 + 6√2

B) −9 + 8√2

C) 9 − 8√2

D) – 11

A) 26

B) 28

C) 30

D) 32

A) 〈−5; 0〉

B) 〈− ; 〉

E) 11

19) Na střední škole je zapsáno780 studentů. Počet tříd je o 4 větší než průměrný počet studentů v každé třídě. Počet tříd je: 20) Množina všech řešení nerovnice (𝑥 − 1) ∙ (5𝑥 + 2) < 0 je podmnožinou intervalu: 5 2

1 2

2

C) �− ; 1� 5

2

D) � ; −1� 5

2

E) 〈 ; 1〉 5

21) Kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou dvojnásobky kořenů rovnice 𝑥 2 + 4𝑥 − 21 = 0, je: A) 𝑥 2 + 8𝑥 − 42 = 0

C) 𝑥 2 + 8𝑥 − 84 = 0

E) 𝑥 2 − 8𝑥 − 42 = 0

B) 𝑥 2 + 32𝑥 − 42 = 0

D) 𝑥 2 + 32𝑥 − 84 = 0



22) Jsou dány nerovnice 2𝑥 2 < 1; 4𝑥 2 + 𝑥 < 0; −2𝑥 2 ≥ 𝑥; 4𝑥 2 + 2𝑥 < 0. Kolik z nich 1

má mezi svými řešeními číslo − 2? A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

D) 3

E) 4

23) Počet různých celých čísel, která jsou kořeny rovnice (3𝑥 2 − 9𝑥 + 7) ∙ (3𝑥 2 + 22𝑥 + 7) = 0 je roven: A) 0

B) 1

C) 2

24) Vzdálenost mezi Ostravou a Opavou je 36 km. Osobní automobil jel z Ostravy do Opavy o 15 minut kratší dobu než autobus. Rozdíl průměrných rychlostí osobního automobilu a autobusu byl 12 km/h. Určete průměrné rychlosti obou vozidel. 25) Strana prvního čtverce je o 2 cm delší než obvod druhého čtverce, součet obsahů obou čtverců je 205 cm2. Určete délku strany druhého čtverce.

26) Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce ji protíná pěšinka dlouhá 29 metrů. Určete délku a šířku okrasné zahrady.



Výsledky: 1)

a) není definována pro 𝑥 = 0; 𝑥 = 3;

2)

B

4)

B

6)

1; 𝑥 ≠ 2

3)

5)

1; −4

0; 5

7)

A

9)

D

8)

b) 𝑥 = −3

6; −4

10) C

11) D 12) C

13) C

14) B 15) B 16) C

17) B

18) D 19) C 20) C 21) C

22) C

23) C

24) autobus 36 km/h; auto 48 km/h

25) 3 cm

26) délka 21 m, šířka 20 m


Digitální učební materiál

Recommend Documents