Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Příjemce podpory
Název DUMu Název dokumentu Pořadí DUMu v sadě Vedoucí skupiny/sady Datum vytvoření Jméno autora e-mailový kontakt na autora Ročník studia Předmět nebo tematická oblast Výstižný popis způsobu využití materiálu ve výuce
CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Gymnázium, Jevíčko, A. K. Vitáka 452 Posloupnosti a řady VY_32_INOVACE_15_12 12 Petr Mikulášek 21.2.2013 Petr Mikulášek
[email protected] 4 Matematický seminář Materiál pro přípravu na společnou část maturitní zkoušky z matematiky. Inovace: využití ICT, mediální techniky.
Posloupnosti a řady Každá funkce, jejíž D f
N , se nazývá nekonečná posloupnost.
Každá funkce, jejíž D f
n; n
N , kde n0 je pevně zvolené číslo z N, se nazývá
n0 , n0
konečná posloupnost. Posloupnosti a1 , a2 , a3 , a4 ,... zapisujeme obvykle těmito způsoby: výčtem prvků, vzorcem pro n-tý člen: an
n 1
,
rekurentně: je dán první člen a vzorec pro určení a n
1
pro každé n
N.
Grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů. Například konečnou posloupnost 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 vyjádříme vzorcem pro n-tý člen:
n2
8 n 1
, rekurentně: a1 1, an
Posloupnost a n
n 1
1
an
se nazývá aritmetická,
diference aritmetické posloupnosti a n V aritmetické posloupnosti a n an ar
1
a1 as
2n 1, n N
n 1
n 1
d
n 8 a graf této posloupnosti vidíme zde:
R: n
n a1 2
an .
1
an
d . Číslo d se nazývá
.
platí:
n 1d , r
sd.
Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti
sn
N : an
an
n 1
, tj. a1
a2
... an platí
an
Posloupnost
n 1
se nazývá
geometrická,
nazýváme kvocient geometrické posloupnosti a n V geometrické posloupnosti a n
an
a1 q n 1 ,
ar
as q r s .
n 1
n 1
q
R: n
je-li q 1
sn
na1 ,
b)
je-li q 1
sn
a1
1
an q . Číslo q
.
platí:
Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti a n a)
N : an
n 1
, tj. a1
... an platí:
a2
qn 1 . q 1
Vlastnosti posloupností: Monotónnost Posloupnost a n
n 1
se nazývá rostoucí
pro
r, s
N :r <s
Posloupnost a n
n 1
se nazývá rostoucí
pro
n
Posloupnost a n
n 1
se nazývá klesající
pro
r, s
Posloupnost a n
n 1
se nazývá klesající
pro
n
Posloupnost a n
n 1
se nazývá neklesající
pro
r, s
Posloupnost a n
n 1
se nazývá neklesající
pro
n
Posloupnost a n
n 1
se nazývá nerostoucí
pro
r, s
Posloupnost a n
n 1
se nazývá nerostoucí
pro
n
N : an
an 1 .
Posloupnost a n
n 1
se nazývá shora omezená
h
R: n
N : an
h.
Posloupnost a n
n 1
se nazývá zdola omezená
d
R: n
N : an
d.
ar < a s .
N : an < a n 1 .
N :r <s
ar > a s .
N : an > a n 1 .
N :r <s N : an
ar
as .
ar
as .
an 1 .
N :r <s
Omezenost
Posloupnost se nazývá omezená
je shora i zdola omezená.
Posloupnost a n
je konvergentní
n 1
a
R:
Číslo a je limita posloupnosti. Píšeme: lim a n
> 0 n0
N : n N , n n0 : an
a< .
a.
n
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Pro konvergentní posloupnosti a n
lim an
bn
n
lim a n
lim a n
bn
n
lim c an n
lim n
n
n
lim a n
lim bn
c lim an
c a,
n
lim a n
an bn
n
lim bn n
K
R
n 1
n
a, lim bn n
b platí:
a b,
a . b
Každá geometrická posloupnost a n Říkáme, že posloupnost a n
lim an
a b,
n
n
n 1
a b,
n
lim a n lim bn
n
a bn
lim bn
n
lim a n bn
n 1
n 1
, kde q < 1 je konvergentní a lim a n n
0.
má nevlastní limitu plus nekonečno (resp. mínus nekonečno)
N : n N , n n0 : an > K (resp. a n < K ).
n0
Píšeme: lim an n
Nekonečnou řadou se nazývá symbol a1 a2
.
an .
a3 ... , který zapisujeme n 1
Je-li posloupnost an
n 1
konvergentní, říkáme, že nekonečná řada je konvergentní a příslušnou
limitu nazýváme součet řady s
an . n 1
Nekonečná geometrická řada, kde a1 této řady je s
a1 1 q
.
0 je konvergentní
pro kvocient q platí: q < 1 . Součet
PŘÍKLADY: 1. Napiš prvních pět členů posloupnosti:
n2 2n
2. Posloupnost
1 n2
n
.
2
n 1
vyjádřete rekurentně. n 1
3. Vyšetřete monotónnost posloupnosti 2 n 2 4. Dokažte, že posloupnost
1 3 2n
5. Dokažte MI, že pro všechna n
n 1
.
je omezená. n 1
N platí:
1 1.2
1 2.3
1 1 ... 3.4 nn 1
1
1 n 1
.
2 4 6 ... 2n . n 1 3 5 ... 2n 1 7. Urči, zda je posloupnost konvergentní. Pokud ano, vypočti její limitu: 6. Vypočítejte: lim
a) b)
4n 3
3 2 n
,
n 1
. n 1
8. Je dána posloupnost
3n 1 2 n
. Urči, zda je: n 1
a) rostoucí či klesající, b) shora, zdola omezená, omezená, c) sestroj graf. 1 1 9. Je dána nekonečná řada: 1 2 4
1 1 ... . Vypočti její součet. 8 16
10. Řešte rovnici: 2 x. 2 x .4 2 x .8 2 x .... 0,25 0,46 . 0, 63 12. Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 24 cm. Určete velikost zbývajících stran. 13. Připočteme-li k číslům 2, 7, 17 totéž číslo, vzniknou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete je. 14. Vkladatel si chce uložit do banky částku 20 000 Kč na dobu 10 let. Úroková míra činí 5%, daň z úroků je 15%, zdaňovací období je jeden rok (vždy po roce se připisují úroky). Vypočti, kolik peněz bude na účtu po 10 letech?
11. Zapište zlomkem v základním tvaru
ŘEŠENÍ: 1 1 1 1 1 1. , , , , 3 6 11 18 27
1 , an 2
2. a1
1
n 1 2n 2
2
an , n N
3. Předpokládáme, že posloupnost je klesající Poslední nerovnost je pro 4. Stačí dokázat, že pro posloupnost
1 3 2n
N pravdivá
n n
N jsou an
rovnost platí, 1 1 platí pro k 1 1 k 1 k 2
1
1 1.2
1 1 1 ... 2.3 3.4 kk 1
1 k 1 k 2
1
1 k 2
b) k
n
1
0
2n 1
1 n což platí
8. a) rostoucí, b) omezená, c)
1 1 1 ... 4 8 16
2 3
že
k 1
3 2 n
rovnost
c) dokážeme, že platí rovnost
1 k 1 k 2
n
1
2
.
7. a) Posloupnost je divergentní, b) je konvergentní, lim
10. x
n 1
předpokládáme,
2 4 6 ... 2n 1 1 3 5 ... 2n 1
1 2
2
je omezená.
1 1 1 ... 2.3 3.4 kk 1
9. 1
2 n2
1
posloupnost je klesající. 1 1 1 1 3 2n 3 2n
1 1.2
n
an
n 1
5. a) Pro n 1 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 kk 1
6. lim
an
0.
k 1 1 1 . k 2 k 2
11.
0,46 11 = 0, 63 15
12. 18 cm, 30 cm 13. 5, 10,20 14. 30324,-Kč
Seznam literatury a pramenů 1. Vejsada, F., Talafous, F.: Sbírka úloh z matematiky. Státní pedagogické nakladatelství, n. p., Praha 1969. ISBN 15-534-69. 2. Obrázky jsou vlastními obrázky autora, tvořené pomocí http://www.wolframalpha.com a grafického programu Gimp.
Materiál je určen pro bezplatné užívání pro potřebu výuky a vzdělávání na všech type ch škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
