Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Projekt

CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme

Šablona

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM)

DUM č.

VY_32_INOVACE_CH29_1_16

ŠVP

Podnikání

64-41-L/51 Podnikání Ročník 3. Mgr. E. Pokorná, Mgr. P Jurtíková, Mgr. M. Zpracoval(i) Vašíčková, Mgr. G. Vargová, Mgr. M. Zichová, Mgr. L. Šíbl, Mgr. J. Bukvaldová Tematická oblast Geometrie Téma RVP

Předmět Cvičení z matematiky Kdy

II/2013

Analytická geometrie

Geometrie/Analytická geometrie/rovnice přímky, průsečík, vektor, normálový, směrový, parametrické rovnice přímky, úhel, vzdálenost

Klíčová slova

Toto dílo obsahuje citace v souladu s § 31 odst. 1 písm. c) zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a může být použito výhradně při vyučování.

Anotace DUM obsahuje dva druhy pracovních listů na téma „Analytická geometrie“. Jeden pracovní list je učitelským listem, kde jsou všechny příklady řazeny za sebou, pro rychlý přehled učitele. Na konci tohoto přehledu jsou výsledky všech příkladů. Druhým pracovním listem je pracovní list pro studenty. Zde jsou identické příklady jako v učitelském listu, navíc je zde prostor pro samotné výpočty studentů. Typ interakce: frontální Soubor název

Soubor – popis obsahu

VY_32_INOVACE_CH29_2_16 Analytická geometrie_UL.docx VY_32_INOVACE_CH29_2_16 Analytická geometrie_PL.docx

Učitelské listy s přehledem a výsledky příkladů Pracovní listy s příklady, prostorem pro výpočty a výsledky příkladů

Metodický list Se studenty je dané téma probráno teoreticky. Následuje procvičení daného tématu pomocí pracovních listů. Tyto listy se řeší přímo jako cvičení v hodině. Každý student má své pracovní listy sám pro sebe a vpisuje řešení hned do nich. Je možné zadat i některé úlohy jako samostatnou práci v hodině či jako úlohu na domácí výpočty. Student k řešení smí používat kalkulátor i matematické tabulky. Píše propisovací tužkou, obyčejná tužka nesmí být používána mimo náčrtky. Pro kontrolu výsledků souží přehled výsledků na konci každého pracovního listu. Učitel může sám rozhodnout, zda výsledky pro studenty zpřístupní či nikoli. Jako zpětná vazby slouží monotematické testy na dané téma v inovaci VY_32_INOVACE_CH29_2_16 Analytická geometrie.

S t ř e d n í šk o la p o t r a v iná ř sk á , o bc ho d u a s lu ž e b B r no Sídlo: C ha rbulova 106, 618 00 Brn o

Oba typy pracovních listů jsou zveřejněny a zpřístupněny na Moodle školy (http://moodle1.ssposbrno.cz/course/view.php?id=40) v kurzu Mgr. Jurtíkové „Matematika“, heslo je „matematika“. Studenti jsou dále rozděleni do skupin podle tříd pro větší přehlednost. Učitel může dále sledovat aktivitu studentů, zda se o dané téma zajímali.

Veškeré příklady byly čerpány z následujících dostupných zdrojů: AUTOR NEUVEDEN. Testy a zadání [online]. [cit. 27. 11. 2013]. Dostupný na WWW: http://www.novamaturita.cz/testy-a-zadani-1404035305.html FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001, ISBN 80-7196-095-0. SÝKORA, Václav a kol. Matematika – sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky (základní obtížnost). Praha: Tauris, 2001, ISBN 978-80-87337-12. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika – rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika – rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2007, ISBN 978-80-903861-1-2. HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-165-5.

S t ř e d n í šk o la p o t r a v iná ř sk á , o bc ho d u a s lu ž e b B r no Sídlo: C ha rbulova 106, 618 00 Brn o

16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1)

Parametrické vyjádření přímky p: x − 2y − 7 = 0 je: A) x = 1 + 2t, y = −3 + t, t∈R C) x = −3 + 2t, y = 1 + t, t∈R

B) x = −1 − 2t, y = −3 − t, t∈R D) x = 1 − 2t, y = −3 + t, t∈R

2)

Je dána přímka q: x = 3t, y = 12 − 4t, t∈R. Určete její vzdálenost od rovnoběžné přímky p procházející počátkem soustavy souřadnicového systému.

3)

Je dám pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Označte vektory ��⃗. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé ��⃗; v u �⃗ = AB �⃗ = BC (ANO), nebo nepravdivé (NE). a)

��⃗ = u AC �⃗ + �v⃗

ANO – NE

b)

��⃗ SB = u �⃗ − �v⃗

ANO – NE

c)

��⃗ AE = 2v �⃗ − u �⃗

ANO – NE

d)

��⃗ FD = 2u �⃗ − �v⃗

ANO – NE

Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno


4)

Přímka p je určena parametrickými rovnicemi: p: x = 3t; y = 4 − 2t, t ∈ R a)

Určete směrový vektor v �⃗ přímky p

b)

Určete obě souřadnice průsečíku p přímky p se souřadnicovou osou x

5)

Uveďte rovnici přímky p (směrnicový nebo obecný tvar) umístěné v systému souřadnic O xy

6)

Orientovaná úsečka s počátečním bodem P[4; −1] je umístěním vektoru �v⃗ = (2; −7). Který z uvedených bodů je koncovým bodem orientované úsečky?

7)

��⃗ = �v⃗ = (−3; 4) V rovině je umístěn bod A. Dále platí AB

A) A[−2; −6]

a)

b)

B) B[−2; −8]

zakreslete vektor �v⃗ popište

souřadnicemi orientované úsečky ��⃗ AB

C) C[2; 6]

koncový

D) D[6; −8]

bod

B[x; y]


E) E[6; −6]

8)

V kartézské soustavě souřadnic 0xy je umístěna přímka p. Která rovnice určuje přímku p: A) 2x − y + 2 = 0 C) x − 4y − 2 = 0

E) 2x + y − 2 = 0

9)


B) x − 2y + 4 = 0

D) x + 2y − 4 = 0

��⃗ = (4; −3) V rovině je umístěn vektor AB a)

b)

��⃗. Určete velikost vektoru AB

Doplňte souřadnice libovolného vektoru �⃗ = (x; y), který je k vektoru ��⃗ n AB kolmý a má dvojnásobnou velikost.

10) V systému souřadnic 0 xy je umístěna přímka p. Která z uvedených přímek a, b, c, d, e je kolmá k přímce p? A) a: 2x − 3y + 7 = 0

B) b: 2x + 3y + 7 = 0 C) c: 2x − 3y − 7 = 0

D) d: 3x − 2y − 7 = 0 E) e: 3x + 2y + 7 = 0



11) Body A[−5; 2] a B[0; −5] jsou sousedními vrcholy čtverce ABCD. Vypočtěte obsah čtverce ABCD.

12) Přímka p procházející bodem A[0; 2] má směrový vektor �u⃗ = (1; −1). Vyberte odpovídající rovnici přímky p. A) x − y − 2 = 0

B) y − 2 = 0

D) x + y − 2 = 0

E) x − y + 2 = 0

x

C) 2x − y = 0

y

13) Rovnice přímky p je − = 0. Rozhodněte o každém tvrzení, zda je pravdivé 3

4

(ANO), nebo nepravdivé (NE): 1

11

a)

Bod B � ; −

b)

Vektor �n⃗ = (4; 3) je normálový vektor přímky p.

ANO – NE

c)

Vzdálenost přímky p od počátku soustavy souřadnic je menší než 2,5.

ANO – NE

d)

Vzdálenost X, Y průsečíků přímky p s osami soustavy souřadnic je 5.

ANO – NE

4

3

� leží na přímce p.


ANO – NE


14) Přímka p prochází body A[12; 3] a B[16; −3]. Jaká je hodnota druhé souřadnice y bodu C[13; y] přímky p? A) −1,5

B) 1

C) 1,2

D) 1,5

E) jiná hodnota

15) Přímka p prochází bodem P[5; 2] a má rovnici x + y = m. Číslo m je prvkem intervalu A) (−∞; 1)

B) 〈1; 3〉

C) (3; 7)

D) 〈7; 20〉

16) Osa úsečky AB, kde A[3; 5], má parametrické vyjádření x = 2 + 4s, y = 7 + 2s, s∈R. Druhá souřadnice bodu B je? A) 4

B) 7

C) 9

D) 11

17) V rovině jsou dány body K[2; 3], L[1; −4] a M[−1; −3]. a)

Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý.

b)

Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM.


E) 12


18) Vypočtěte obvod trojúhelníku KLM o vrcholech K[1; 0], L[1; −6] a M[5; −3].

19) Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[−6; −5] vzdálenost d = 10.

20) Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1; 0], B[1; −6] a C[5; −3]. Vypočtěte délku těžnice t a .

5

21) Vypočtěte úhel, který svírají vektory u �⃗ = (3; 5) a �v⃗ = �− ; 1�. 3

22) Zjistěte, zda body A[3; 7], B[10; −2] a C[5; 1] leží na jedné přímce.



23) Zjistěte, zda vektory u �⃗ = (−9; 4) a �v⃗ = (−1; 2) jsou lineárně závislé.

24) Vypočtěte skalární součin vektorů a�⃗, �⃗ b je-li: a)

a�⃗ = (2; 1), �⃗ b = (−1; 3)

b)

|a| = 2, |b| = 3, β = 45°

25) Jsou dány body A[0; 5], B[1; −2]. Určete: a)

parametrické vyjádření přímky, která jimi prochází

b)

obecný tvar rovnice přímky AB

c)

směrnicový tvar rovnice přímky AB



26) Vypočtěte průsečík přímek p: 4x + 3y − 3 = 0, q: 3x + 2y − 2 = 0.

27) Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[2; −3] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5.

28) V obecné rovnici přímky ax + 8y − 5 = 0 určete a tak, aby tato přímka procházela průsečíkem přímek p, q, je-li p: 2x − 7y + 21 = 0, q: x = 1 + 2t, y = 14 − 3t, t∈R.

29) Vypočtěte vzdálenost rovnoběžek p, q, je-li p: x = −3 + 2t, y = t a q: x = 1 + 2r, y = r, t, r∈R.



Výsledky: 1)

A

3)

A, A, A, N

2)

36 5

4)

a) (3; −2)

6)

D

5)

7)

8)

9)

b) P[6; 0]

p: 2x + 3y − 6 = 0 b) B[−2; 3] D

a) 5

10) E

b) n �⃗ = (6; 8) nebo �n⃗ = (−6; −8)

11) 74

12) D

13) N, N, A, N

14) D 15) D 16) C

17) a) velikosti stran jsou √50, √45, √5, pak užijeme Pythagorovu větu 18) o = 16

19) A1 [0; 3]; A2 [0; −13] 20) ta = 4,924

21) 90°

22) ne

23) ne

24) a) 1

b) 3√2

25) a) x = k, y = 5 − 7k, k∈R 26) P[0; 1]

b) 7x + y − 5 = 0

c) y = −7x + 5

27) y = 3x − 9 28) a = −5 29) 1,789


b)

15 2


16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1) 2)

3)

Parametrické vyjádření přímky p: x − 2y − 7 = 0 je: A) x = 1 + 2t, y = −3 + t, t∈R C) x = −3 + 2t, y = 1 + t, t∈R

D) x = 1 − 2t, y = −3 + t, t∈R

Je dána přímka q: x = 3t, y = 12 − 4t, t∈R. Určete její vzdálenost od rovnoběžné přímky p procházející počátkem soustavy souřadnicového systému.

Je dám pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Označte vektory ��⃗. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé ��⃗; v u �⃗ = AB �⃗ = BC (ANO), nebo nepravdivé (NE). a)

��⃗ = u AC �⃗ + �v⃗

c)

��⃗ AE = 2v �⃗ − u �⃗

b) 4)

B) x = −1 − 2t, y = −3 − t, t∈R

d)

ANO – NE

��⃗ SB = u �⃗ − �v⃗

ANO – NE

��⃗ FD = 2u �⃗ − �v⃗

ANO – NE

ANO – NE

Přímka p je určena parametrickými rovnicemi: p: x = 3t; y = 4 − 2t, t ∈ R a)

b)

Určete směrový vektor v �⃗ přímky p

Určete obě souřadnice průsečíku p přímky p se souřadnicovou osou x

5)

Uveďte rovnici přímky p (směrnicový nebo obecný tvar) umístěné v systému souřadnic O xy

6)

Orientovaná úsečka s počátečním bodem P[4; −1] je umístěním vektoru �v⃗ = (2; −7). Který z uvedených bodů je koncovým bodem orientované úsečky? A) A[−2; −6]

7)

D) D[6; −8]

B) B[−2; −8] E) E[6; −6]

C) C[2; 6]

��⃗ = �v⃗ = (−3; 4) V rovině je umístěn bod A. Dále platí AB a)

b)

zakreslete vektor �v⃗ popište

souřadnicemi orientované úsečky ��⃗ AB

koncový

bod B[x; y]


8)

V kartézské soustavě souřadnic 0xy je umístěna přímka p. Která rovnice určuje přímku p: A) 2x − y + 2 = 0

B) x − 2y + 4 = 0

C) x − 4y − 2 = 0 9)


D) x + 2y − 4 = 0

E) 2x + y − 2 = 0

��⃗ = (4; −3) V rovině je umístěn vektor AB a)

b)

��⃗. Určete velikost vektoru AB

Doplňte souřadnice libovolného vektoru AB kolmý a �⃗ = (x; y), který je k vektoru ��⃗ n má dvojnásobnou velikost.

10) V systému souřadnic 0 xy je umístěna přímka p. Která z uvedených přímek a, b, c, d, e je kolmá k přímce p? A) a: 2x − 3y + 7 = 0

B) b: 2x + 3y + 7 = 0 C) c: 2x − 3y − 7 = 0

D) d: 3x − 2y − 7 = 0 E) e: 3x + 2y + 7 = 0

11) Body A[−5; 2] a B[0; −5] jsou sousedními vrcholy čtverce ABCD. Vypočtěte obsah čtverce ABCD.

12) Přímka p procházející bodem A[0; 2] má směrový vektor �u⃗ = (1; −1). Vyberte odpovídající rovnici přímky p. A) x − y − 2 = 0

B) y − 2 = 0

D) x + y − 2 = 0

x

y

E) x − y + 2 = 0

C) 2x − y = 0

13) Rovnice přímky p je − = 0. Rozhodněte o každém tvrzení, zda je pravdivé 3

4

(ANO), nebo nepravdivé (NE): 1

11

a)

Bod B � ; −

c)

Vzdálenost přímky p od počátku soustavy souřadnic je menší než 2,5.

b) d)

4

3

� leží na přímce p.

Vektor �n⃗ = (4; 3) je normálový vektor přímky p.

Vzdálenost X, Y průsečíků přímky p s osami soustavy souřadnic je 5. Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

ANO – NE

ANO – NE

ANO – NE

ANO – NE


14) Přímka p prochází body A[12; 3] a B[16; −3]. Jaká je hodnota druhé souřadnice y bodu C[13; y] přímky p? A) −1,5

B) 1

C) 1,2

D) 1,5

E) jiná hodnota

A) (−∞; 1)

B) 〈1; 3〉

C) (3; 7)

D) 〈7; 20〉

A) 4

B) 7

C) 9

D) 11

15) Přímka p prochází bodem P[5; 2] a má rovnici x + y = m. Číslo m je prvkem intervalu 16) Osa úsečky AB, kde A[3; 5], má parametrické vyjádření x = 2 + 4s, y = 7 + 2s, s∈R. Druhá souřadnice bodu B je? E) 12

17) V rovině jsou dány body K[2; 3], L[1; −4] a M[−1; −3]. a)

b)

Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM.

18) Vypočtěte obvod trojúhelníku KLM o vrcholech K[1; 0], L[1; −6] a M[5; −3].

19) Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[−6; −5] vzdálenost d = 10.

20) Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1; 0], B[1; −6] a C[5; −3]. Vypočtěte délku těžnice t a . 5

21) Vypočtěte úhel, který svírají vektory u �⃗ = (3; 5) a �v⃗ = �− ; 1�. 3

22) Zjistěte, zda body A[3; 7], B[10; −2] a C[5; 1] leží na jedné přímce.

23) Zjistěte, zda vektory u �⃗ = (−9; 4) a �v⃗ = (−1; 2) jsou lineárně závislé. 24) Vypočtěte skalární součin vektorů a�⃗, �⃗ b je-li: a)

b)

a�⃗ = (2; 1), �⃗ b = (−1; 3)

|a| = 2, |b| = 3, β = 45°

25) Jsou dány body A[0; 5], B[1; −2]. Určete: a)

parametrické vyjádření přímky, která jimi prochází

c)

směrnicový tvar rovnice přímky AB

b)

obecný tvar rovnice přímky AB

26) Vypočtěte průsečík přímek p: 4x + 3y − 3 = 0, q: 3x + 2y − 2 = 0.

27) Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[2; −3] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5. 28) V obecné rovnici přímky ax + 8y − 5 = 0 určete a tak, aby tato přímka procházela průsečíkem přímek p, q, je-li p: 2x − 7y + 21 = 0, q: x = 1 + 2t, y = 14 − 3t, t∈R.

29) Vypočtěte vzdálenost rovnoběžek p, q, je-li p: x = −3 + 2t, y = t a q: x = 1 + 2r, y = r, t, r∈R. Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno


Výsledky: 1)

A

3)

A, A, A, N

2)

36 5

4)

a) (3; −2)

6)

D

5)

7)

8)

9)

b) P[6; 0]

p: 2x + 3y − 6 = 0 b) B[−2; 3] D

a) 5

10) E

b) n �⃗ = (6; 8) nebo �n⃗ = (−6; −8)

11) 74

12) D

13) N, N, A, N

14) D 15) D 16) C

17) a) velikosti stran jsou √50, √45, √5, pak užijeme Pythagorovu větu 18) o = 16

19) A1 [0; 3]; A2 [0; −13] 20) ta = 4,924

21) 90°

22) ne

23) ne

24) a) 1

b) 3√2

25) a) x = k, y = 5 − 7k, k∈R 26) P[0; 1]

b) 7x + y − 5 = 0

c) y = −7x + 5

27) y = 3x − 9 28) a = −5 29) 1,789


b)

15 2

Digitální učební materiál

Recommend Documents