Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Projekt

CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme

Šablona

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM)

DUM č.

VY_32_INOVACE_CH29_1_11

ŠVP

Podnikání

64-41-L/51 Podnikání Ročník 3. Mgr. E. Pokorná, Mgr. P Jurtíková, Mgr. M. Zpracoval(i) Vašíčková, Mgr. G. Vargová, Mgr. M. Zichová, Mgr. L. Šíbl, Mgr. J. Bukvaldová Tematická oblast Algebra Téma RVP

Předmět Cvičení z matematiky Kdy

II/2013

Posloupnosti

Algebra/Posloupnosti/posloupnost, geometrická, aritmetická, slovní úlohy, rekurentně

Klíčová slova

Toto dílo obsahuje citace v souladu s § 31 odst. 1 písm. c) zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a může být použito výhradně při vyučování.

Anotace DUM obsahuje dva druhy pracovních listů na téma „Posloupnosti“. Jeden pracovní list je učitelským listem, kde jsou všechny příklady řazeny za sebou, pro rychlý přehled učitele. Na konci tohoto přehledu jsou výsledky všech příkladů. Druhým pracovním listem je pracovní list pro studenty. Zde jsou identické příklady jako v učitelském listu, navíc je zde prostor pro samotné výpočty studentů. Typ interakce: frontální Soubor název

Soubor – popis obsahu

VY_32_INOVACE_CH29_2_11 Posloupnosti_UL.docx VY_32_INOVACE_CH29_2_11 Posloupnosti_PL.docx

Učitelské listy s přehledem a výsledky příkladů Pracovní listy s příklady, prostorem pro výpočty a výsledky příkladů

Metodický list Se studenty je dané téma probráno teoreticky. Následuje procvičení daného tématu pomocí pracovních listů. Tyto listy se řeší přímo jako cvičení v hodině. Každý student má své pracovní listy sám pro sebe a vpisuje řešení hned do nich. Je možné zadat i některé úlohy jako samostatnou práci v hodině či jako úlohu na domácí výpočty. Student k řešení smí používat kalkulátor i matematické tabulky. Píše propisovací tužkou, obyčejná tužka nesmí být používána mimo náčrtky. Pro kontrolu výsledků souží přehled výsledků na konci každého pracovního listu. Učitel může sám rozhodnout, zda výsledky pro studenty zpřístupní či nikoli. Jako zpětná vazby slouží monotematické testy na dané téma v inovaci VY_32_INOVACE_CH29_2_11 Posloupnosti.

S t ř e d n í šk o la p o t r a v iná ř sk á , o bc ho d u a s lu ž e b B r no Sídlo: C ha rbulova 106, 618 00 Brn o

Oba typy pracovních listů jsou zveřejněny a zpřístupněny na Moodle školy (http://moodle1.ssposbrno.cz/course/view.php?id=40) v kurzu Mgr. Jurtíkové „Matematika“, heslo je „matematika“. Studenti jsou dále rozděleni do skupin podle tříd pro větší přehlednost. Učitel může dále sledovat aktivitu studentů, zda se o dané téma zajímali.

Veškeré příklady byly čerpány z následujících dostupných zdrojů: AUTOR NEUVEDEN. Testy a zadání [online]. [cit. 27. 11. 2013]. Dostupný na WWW: http://www.novamaturita.cz/testy-a-zadani-1404035305.html FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001, ISBN 80-7196-095-0. SÝKORA, Václav a kol. Matematika – sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky (základní obtížnost). Praha: Tauris, 2001, ISBN 978-80-87337-12. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika – rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika – rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2007, ISBN 978-80-903861-1-2. HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-165-5.

S t ř e d n í šk o la p o t r a v iná ř sk á , o bc ho d u a s lu ž e b B r no Sídlo: C ha rbulova 106, 618 00 Brn o

11. POSLOUPNOSTI 1)

Malý Pepíček sestavil z 15 kostek „zeď“ podle obrázku. Tatínek Josef mu chtěl postavit podobným způsobem co největší ,,zeď“ Měl na ní celkem 200 stejných kostek. a)

b)

2)

3)

11. POSLOUPNOSTI

Z kolika kostek se skládala spodní nejdelší řada? Kolik kostek zůstalo nevyužito?

Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou sazbou 10 % materiál v ceně m Kč. Dluh chce splatit ve dvou stejných splátkách vždy na konci 1. a 2. roku. Velikost jednotlivých splátek s je možné určit vztahem: (m ∙ 1,1 − s) ∙ 1,1 = s.

a)

Vyjádřete z tohoto vzorce velikost jedné splátky s. Nezaokrouhlujte.

b)

Jaký byl úvěr na materiál m, pokud majitel splácí každým rokem částku s = 461 000 Kč? Výsledek zaokrouhlete na tisíce.

3

V GP je dán kvocient q = a člen a54 = 54. Určete hodnoty členů a55 a a51. 2

Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

4)

11. POSLOUPNOSTI

V soutěži byly na prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 2 400 Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? A) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800 Kč.

B) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 1 200 Kč.

C) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než 1 200 Kč.

D Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit.

5)

Největší záporný člen AP, jejímž prvním členem je číslo 100 a třetím členem číslo 76, je:

6)

Zdeněk si potřebuje půjčit částku 15 000 Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po 3 000 Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to 5 % z 15 000 Kč, při poslední už jen 5 % ze 3 000 Kč). Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce?

A) −2

A) 2 070

7)

B) −6

B) 2 250

C) −10

C) 2 750

D) jiné záporné číslo

D) 3 750

E) jinou částku

Čtveřice a1 , a2 , a3 , a4 , kde a2 = −20, a3 = 10, představuje čtyři po sobě jdoucí členy AP. Čtveřice g1 , g 2 , g 3 , g 4 , kde g 2 = −10, g 3 = 20, čtyři po sobě jdoucí členy GP. Určete členy: a1 , a4 , g1 , g 4 . Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

11. POSLOUPNOSTI

8)

Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 24 plechovek. Kolik je všech plechovek?

9)

Aby součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl 1 000 000, musí být n rovno alespoň: A) 1 000

B) 1 202

C)1 414

D)1 828

10) V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna následujícího? A) 22

B)25

C) 27

D) 30

11) Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou mírou 10 % materiál v ceně 800 000 Kč. Úroky se připisují koncem každého roku. Majitel splatil celou částku jednorázově po uplynutí pěti let. O kolik % splátka převýší úvěr?


11. POSLOUPNOSTI

12) V zámecké dlažbě byla vytvořena spirála, jejíž část je znázorněna na obrázku. Spirála je složena z 15 navazujících různobarevných půlkružnic. Délka první je a1 = 22 dm, každá následující půlkružnice je o 22 dm delší. a)

Vypočtěte délku a 3 třetí půlkružnice.

b)

Uveďte v metrech délku s celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze část spirály.)

c)

Poslední půlkružnice spirály měří 33 m. Uveďte v celých metrech průměr této půlkružnice.

13) V následujících úlohách odpovězte ANO či NE. Je to geometrická posloupnost? a)

(4,2, −2, −4)

ANO – NE

b)

(1,4,16,64)

ANO – NE

c)

(8, −4,2, −1)

ANO – NE

d)

(0,4,8,12)

ANO – NE


11. POSLOUPNOSTI

14) Eva má hotovost 450 000 Kč a banka jí nabízí roční termínovaný klad s 3% roční úrokovou sazbou. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítá státem stanovená daň ve výši 15 %. Kolik korun bude z tohoto ročního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) 13 500

B) 2 250

C) 2 025

D) 1 000

15) Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, −140; −132; −124 a poslední tři 236; 244; 252.

z nichž

a)

Vypočtěte dvacátý člen posloupnosti.

b)

Vypočtěte součet všech 50 členů posloupnosti.

c)

Určete, kolikátým členem posloupnosti je číslo 100.

E) jiná suma

první

tři

jsou

16) V obci se příjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti příjmům z předchozího roku. Během každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. Jak se změní hodnota příjmů po uplynutí 10 let? A) Zvýší se více než o 200%. C) Nezmění se.

E) Sníží se přibližně o 94%.

B) Zvýší se přibližně o 80%.

D) Sníží se přibližně o 69%.


11. POSLOUPNOSTI

17) Na obrázku je část květinové lomené spirály. Je složena z 10 rovných úseků. V prvním úseku uprostřed plochy jsou 4 květiny, každý následující úsek má o 3 květiny více než předchozí. a)

Vypočtěte počet květin umístěných v šestém úseku.

b)

Kolik květin je v celé spirále?

18) V následujících úlohách odpovězte ANO nebo NE. V aritmetické posloupnosti platí: a9 − a8 = 20, a10 = 100. a)

a10 − a9 = 30

ANO – NE

b)

a8 − a7 = 10

ANO – NE

c)

diference d = 20

ANO – NE

d)

a5 = 0

ANO – NE


19) Napište prvních 6 členů posloupnosti dané rekurentně: a)

an+2 = an+1 − an , je-li a1 = 1, a2 = 2

b)

an+2 = 2an+1 − 3an , je-li a1 = 4, a2 = 2

20) Napište prvních 6 členů dané posloupnosti: 1−2n

a)

an =

b)

an = (−1)n .

n+2

n

n2 +1

21) Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen dané posloupnosti: a)

2, 4, 6, 8, …

b)

1, 3, 5, 7, …

c)

1 ∙ 2; 2 ∙ 3; 3 ∙ 4; 4 ∙ 5; . ..

d)

1, −1, 1, −1, … Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

11. POSLOUPNOSTI

22) Vypočítejte součet prvních dvaceti přirozených čísel.

11. POSLOUPNOSTI

23) Ve městě žije 50 000 obyvatel. Před 20 roky jich bylo 35 000. Kolik obyvatel bude ve městě žít za dalších 10 let, počítá-li se s průměrným přírůstkem počtu obyvatel jako v předchozích letech?

24) Cena nového stroje je 85 400 Kč. Opotřebením se ročně znehodnotí o 20 %. Jaká bude hodnota stroje po patnácti letech?

25) Bakterie se za příznivých podmínek přibližně každých 20 minut množí dělením na dvě. Za 10 hodin vznikne z jedné bakterie přibližně: A) 107 bakterií

B) 108 bakterií

D) 1010 bakterií

26) Mezi čísla

1 4

a

1 2

E) 10 bakterií

C) 109 bakterií

vložte tři čísla tak, aby vznikla aritmetická posloupnost. Jaký je

součet vložených tří čísel?


16

11. POSLOUPNOSTI

27) Hodnota výrazu V(x) = x ∙ x 4 ∙ x 7 ∙ x10 ∙ x13 … … … x 31 pro x = √2 je: A) 2176

B) 2160

C) 262

D) 211

E) 210

28) Geometrická posloupnost má kvocient q = 2 a součet prvních pěti členů je 93. Urči sedmý člen posloupnosti.

29) Pan Nový přiletěl na dovolenou ve čtvrtek ráno a hned se opaloval 10 minut. Každý další den o pět minut déle. Celých 60 minut se pan Nový opaloval: A) v pondělí

B) ve středu

C) v sobotu

D) v neděli

30) Číselné hodnoty délek stran pravoúhlého trojúhelníku vyjádřených v cm tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna měří 16 cm. a)

Určete délky stran trojúhelníku.

b)

Určete jeho obsah.


11. POSLOUPNOSTI

31) Podnikatel si uložil 200 000 Kč do banky na termínovaný vklad na 3 roky, při 2,5 % p.a. Úroky se počítají pololetně. Daň z úroků je 15 %. Kolik korun bude mít podnikatel v bance po 3 letech. Kolik Kč vydělal na úrocích? Danou úlohu řešte pro čtvrtletní úročení a výsledky porovnejte.

32) Dělník vyrobí za směnu 35 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval svůj výkon denně o 2 součástky?

33) Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí: a2 + a5 − a3 = 10; a1 + a6 = 17. Vypočtěte součet prvních devíti členů.

34) Sestroj graf posloupnosti: a)

−1,2; −3,4; −5,6; … … … … (−1)n ∙ n

b)

0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 … … .

1+(−1)n 2


35) Určete první člen a kvocient GP, ve které platí: a3 = 16, a5 = 1.

11. POSLOUPNOSTI

36) Mezi čísla 8 a 216 vložte dvě čísla tak, aby vznikla geometrická posloupnost. Která to jsou čísla?


11. POSLOUPNOSTI

Výsledky: 1)

a) 19 kostek,

3)

a55 = 81, a51 = 16

2) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

a) s =

b) 10 kostek

1,21m

b) 800 000 Kč

2,1

A

31) 213 094 Kč, úrok 13 094 Kč

34) graf

195

35) a1 = 256, q =

C

10) B

1

256, q = − 4

36) 24 a 72

b) 264m

1 4

13) ne, ano, ano, ne

14) C

15) a20 = 12, s50 = 2800, a31 = 100 16) B

17) a6 = 19, 175 květin 18) ne, ne, ano, ano

19) {1, 2, 1, −1, −2, −1},

{4, 2, −8, −22, −20, 26} 1

3

7

9

20) �− , − , −1, − , − , − 3

1 2

4

�− , , − 2 5

3

,

4

10 17

6

,−

5

7

6

, �

26 37

11 8

,�,

21) {2n}, {2n − 1}, {n ∙ (n + 1)}, {−1n+1 }

22) 210

23) 59 761 obyvatel 24) 3 004 Kč 25) 109 26)

9

8

27) 211

b) 96cm2

33) a1 = 1, d = 3, s9 = 117

−50, 40, 5, −40

c) 21m

30) a) 12,16,20 cm; 32) 800

B

12) a) 66dm

29) D

213 129 Kč, 13 129 Kč

D

11) 61%

28) 192


nebo a1 =

11. POSLOUPNOSTI

11. POSLOUPNOSTI 1)

Malý Pepíček sestavil z 15 kostek „zeď“ podle obrázku. Tatínek Josef mu chtěl postavit podobným způsobem co největší ,,zeď“ Měl na ní celkem 200 stejných kostek. a)

2)

b)

b) 4)

Kolik kostek zůstalo nevyužito?

Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou sazbou 10 % materiál v ceně m Kč. Dluh chce splatit ve dvou stejných splátkách vždy na konci 1. a 2. roku. Velikost jednotlivých splátek s je možné určit vztahem: (m ∙ 1,1 − s) ∙ 1,1 = s.

a) 3)

Z kolika kostek se skládala spodní nejdelší řada?

Vyjádřete z tohoto vzorce velikost jedné splátky s. Nezaokrouhlujte.

Jaký byl úvěr na materiál m, pokud majitel splácí každým rokem částku s = 461 000 Kč? Výsledek zaokrouhlete na tisíce. 3

V GP je dán kvocient 𝑞 = a člen 𝑎54 = 54. Určete hodnoty členů 𝑎55 𝑎 𝑎51 . 2

V soutěži byly na prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 2 400 Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? A) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800 Kč.

B) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 1 200 Kč.

C) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než 1 200 Kč.

D Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit.

5)

Největší záporný člen AP, jejímž prvním členem je číslo 100 a třetím členem číslo 76, je:

6)

Zdeněk si potřebuje půjčit částku 15 000 Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po 3 000 Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to 5 % z 15 000 Kč, při poslední už jen 5 % ze 3 000 Kč). Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce?

7) 8)

A) −2

B) −6

C) −10

D) jiné záporné číslo

A) 2 070

B) 2 250

C) 2 750

D) 3 750

E) jinou částku

Čtveřice a1 , a2 , a3 , a4 , kde a2 = −20, a3 = 10, představuje čtyři po sobě jdoucí členy AP. Čtveřice g1 , g 2 , g 3 , g 4 , kde g 2 = −10, g 3 = 20, čtyři po sobě jdoucí členy GP. Určete členy: a1 , a4 , g1 , g 4 .

Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 24 plechovek. Kolik je všech plechovek? Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

9)

11. POSLOUPNOSTI

Aby součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl 1 000 000, musí být n rovno alespoň: A) 1 000

B) 1 202

C)1 414

D)1 828

A) 22

B)25

C) 27

D) 30

10) V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna následujícího? 11) Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou mírou 10 % materiál v ceně 800 000 Kč. Úroky se připisují koncem každého roku. Majitel splatil celou částku jednorázově po uplynutí pěti let. O kolik % splátka převýší úvěr?

12) V zámecké dlažbě byla vytvořena spirála, jejíž část je znázorněna na obrázku. Spirála je složena z 15 navazujících různobarevných půlkružnic. Délka první je 𝑎1 = 22 𝑑𝑚, každá následující půlkružnice je o 22 dm delší. a)

b) c)

Vypočtěte délku a 3 třetí půlkružnice.

Uveďte v metrech délku s celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze část spirály.)

Poslední půlkružnice spirály měří 33 m. Uveďte v celých metrech průměr této půlkružnice.

13) V následujících úlohách odpovězte ANO či NE. Je to geometrická posloupnost? a)

(4,2, −2, −4)

ANO – NE

c)

(8, −4,2, −1)

ANO – NE

b) d)

(1,4,16,64)

ANO – NE

(0,4,8,12)

ANO – NE

14) Eva má hotovost 450 000 Kč a banka jí nabízí roční termínovaný klad s 3% roční úrokovou sazbou. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítá státem stanovená daň ve výši 15 %. Kolik korun bude z tohoto ročního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) 13 500

B) 2 250

C) 2 025

D) 1 000

15) Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, −140; −132; −124 a poslední tři 236; 244; 252. a)

b)

c)

Vypočtěte dvacátý člen posloupnosti.

z nichž

Vypočtěte součet všech 50 členů posloupnosti.

Určete, kolikátým členem posloupnosti je číslo 100.


E) jiná suma

první

tři

jsou

11. POSLOUPNOSTI

16) V obci se příjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti příjmům z předchozího roku. Během každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. Jak se změní hodnota příjmů po uplynutí 10 let? A) Zvýší se více než o 200%.

C) Nezmění se.

E) Sníží se přibližně o 94%.

B) Zvýší se přibližně o 80%.

D) Sníží se přibližně o 69%.

17) Na obrázku je část květinové lomené spirály. Je složena z 10 rovných úseků. V prvním úseku uprostřed plochy jsou 4 květiny, každý následující úsek má o 3 květiny více než předchozí. a)

b)

Vypočtěte počet květin umístěných v šestém úseku.

Kolik květin je v celé spirále?

18) V následujících úlohách odpovězte ANO nebo NE. V aritmetické posloupnosti platí: a9 − a8 = 20, a10 = 100. a)

a10 − a9 = 30

c)

diference d = 20

b) d)

a8 − a7 = 10

ANO – NE

a5 = 0

ANO – NE

19) Napište prvních 6 členů posloupnosti dané rekurentně: a)

ANO – NE

ANO – NE

an+2 = an+1 − an , je-li a1 = 1, a2 = 2

b)

an+2 = 2an+1 − 3an , je-li a1 = 4, a2 = 2

a)

an =

20) Napište prvních 6 členů dané posloupnosti: b)

1−2n n+2

an = (−1)n .

n

n2 +1

21) Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen dané posloupnosti: a)

2, 4, 6, 8, …

c)

1 ∙ 2; 2 ∙ 3; 3 ∙ 4; 4 ∙ 5; . ..

b) d)

1, 3, 5, 7, …

1, −1, 1, −1, …

22) Vypočítejte součet prvních dvaceti přirozených čísel.

23) Ve městě žije 50 000 obyvatel. Před 20 roky jich bylo 35 000. Kolik obyvatel bude ve městě žít za dalších 10 let, počítá-li se s průměrným přírůstkem počtu obyvatel jako v předchozích letech? Střední škola potravinářská, obchodu a služeb Brno Sídlo: Charbulova 106, 618 00 Brno

11. POSLOUPNOSTI

24) Cena nového stroje je 85 400 Kč. Opotřebením se ročně znehodnotí o 20 %. Jaká bude hodnota stroje po patnácti letech?

25) Bakterie se za příznivých podmínek přibližně každých 20 minut množí dělením na dvě. Za 10 hodin vznikne z jedné bakterie přibližně: A) 107 bakterií

D) 1010 bakterií

26) Mezi čísla

1 4

𝑎

1 2

B) 108 bakterií

C) 109 bakterií

E) 10 bakterií

vložte tři čísla tak, aby vznikla aritmetická posloupnost. Jaký je

součet vložených tří čísel?

16

27) Hodnota výrazu V(x) = x ∙ x 4 ∙ x 7 ∙ x10 ∙ x13 … … … x 31 pro x = √2 je: A) 2176

B) 2160

C) 262

D) 211

E) 210

28) Geometrická posloupnost má kvocient 𝑞 = 2 a součet prvních pěti členů je 93. Urči sedmý člen posloupnosti. 29) Pan Nový přiletěl na dovolenou ve čtvrtek ráno a hned se opaloval 10 minut. Každý další den o pět minut déle. Celých 60 minut se pan Nový opaloval: A) v pondělí

B) ve středu

C) v sobotu

D) v neděli

30) Číselné hodnoty délek stran pravoúhlého trojúhelníku vyjádřených v cm tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna měří 16 cm. a)

b)

Určete délky stran trojúhelníku. Určete jeho obsah.

31) Podnikatel si uložil 200 000 Kč do banky na termínovaný vklad na 3 roky, při 2,5 % p.a. Úroky se počítají pololetně. Daň z úroků je 15 %. Kolik korun bude mít podnikatel v bance po 3 letech. Kolik Kč vydělal na úrocích? Danou úlohu řešte pro čtvrtletní úročení a výsledky porovnejte. 32) Dělník vyrobí za směnu 35 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval svůj výkon denně o 2 součástky?

33) Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí: a2 + a5 − a3 = 10; a1 + a6 = 17. Vypočtěte součet prvních devíti členů. 34) Sestroj graf posloupnosti: a)

b)

−1,2; −3,4; −5,6; … … … … (−1)𝑛 ∙ 𝑛 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 … … .

1+(−1)𝑛 2

35) Určete první člen a kvocient GP, ve které platí: 𝑎3 = 16, 𝑎5 = 1.

36) Mezi čísla 8 a 216 vložte dvě čísla tak, aby vznikla geometrická posloupnost. Která to jsou čísla?


11. POSLOUPNOSTI

Výsledky: 1)

a) 19 kostek,

3)

𝑎55 = 81, 𝑎51 = 16

2) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

a) 𝑠 =

b) 10 kostek

1,21𝑚

b) 800 000 Kč

2,1

A

31) 213 094 Kč, úrok 13 094 Kč

34) graf

195

35) a1 = 256, q =

C

10) B

1

256, q = − 4

36) 24 a 72

b) 264m

1 4

13) ne, ano, ano, ne

14) C

15) 𝑎20 = 12, 𝑠50 = 2800, 𝑎31 = 100 16) B

17) 𝑎6 = 19, 175 květin 18) ne, ne, ano, ano

19) {1, 2, 1, −1, −2, −1},

{4, 2, −8, −22, −20, 26} 1

3

7

9

20) �− , − , −1, − , − , − 3

1 2

4

�− , , − 2 5

3

,

4

10 17

6

,−

5

7

6

, �

26 37

11 8

,�,

21) {2n}, {2n − 1}, {n ∙ (n + 1)}, {−1n+1 }

22) 210

23) 59 761 obyvatel

24) 3 004 Kč 25) 109 26)

9

8

27) 211

b) 96cm2

33) a1 = 1, d = 3, s9 = 117

−50, 40, 5, −40

c) 21m

30) a) 12,16,20 cm; 32) 800

B

12) a) 66dm

29) D

213 129 Kč, 13 129 Kč

D

11) 61%

28) 192


nebo a1 =

Digitální učební materiál

Recommend Documents