Deel 2. Basiskennis wiskunde

IJkingstoets Basiskennis wiskunde HIR 2014

Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R → R : x 7→ x cos(x2 ). √ Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. √ (A) f 0 ( 2π/2) = −π √ √ (B) f 0 ( 2π/2) = − 2π √ √ (C) f 0 ( 2π/2) = 2π √ (D) f 0 ( 2π/2) = 0 √ √ (E) f 0 ( 2π/2) = 1 − 2π

Vraag 27 Gegeven is de cirkel met vergelijking y 2 − 2y + x2 + 6x − 15 = 0. M = (a, b) noemen we het middelpunt van deze cirkel en R de straal. Bepaal 2a + b + R2 . (A) 10

(B) 14

(C) 20

(D) 24

(E) 30

Vraag 28 Beschouw de functie f : R → R met onderstaande grafiek. f (x) 1

-1 0

1

x

-1

Verder is g : R → R een willekeurige functie. Welke van onderstaande uitspraken is juist voor elke dergelijke functie g? (A) Als g(x) = g(1 − x) voor alle x ∈ R, dan is f (g(x)) = g(x) voor alle x ∈ R. (B) Als g(x) = g(1 − x) voor alle x ∈ R, dan is g(f (x)) = g(x) voor alle x ∈ R. (C) Als −1 ≤ g(x) ≤ 1 voor alle x ∈ R, dan is f (g(x)) = g(x) voor alle x ∈ R. (D) Als −1 ≤ g(x) ≤ 1 voor alle x ∈ R, dan is g(f (x)) = g(x) voor alle x ∈ R. (E) Als g(x) = g(1 − x) en −1 ≤ g(x) ≤ 1 voor alle x ∈ R, dan is g(f (x)) = g(x) voor alle x ∈ R.

14


Vraag 29 In programmeertalen gedragen variabelen zich als een doos waarin één waarde kan zitten. Een variabele heeft een naam, bijvoorbeeld x. Met een toekenning steek je een waarde in x: x := 17 vervangt de waarde die in x zit v´ o´ or de toekenning door de waarde 17. De rechterkant van een toekenning kan ook een rekenkundige uitdrukking zijn, en dan wordt die uitgerekend om de waarde te kennen die aan de variabele links wordt gegeven. Bijvoorbeeld na de drie toekenningen x := 17 y := x − 3 x := x + 1 bevat x de waarde 18 en y de waarde 14. Hieronder staan 6 toekenningen die na elkaar, in de gegeven volgorde worden uitgevoerd. x := 7 y := 8 z := 9 y := y + x x := y + x z := y + x Geef aan welke waarde na deze toekenningen in de variabele z zit. (A) z heeft waarde 38 (B) z heeft waarde 30 (C) z heeft waarde 37 (D) z heeft waarde 22 (E) z heeft waarde 15

Vraag 30 Noteer met M de grootste waarde die 4x−3y kan aannemen als x en y reële getallen zijn die moeten voldoen aan x2 + y 2 = 100. Dan geldt: (A) 16 ≤ M < 25 (B) 25 ≤ M < 36 (C) 36 ≤ M < 49 (D) 49 ≤ M < 64 (E) 64 ≤ M ≤ 100

15


Vraag 31 Men tekent een regelmatige zeshoek waarvan de hoekpunten op een cirkel met straal 8 liggen. Deze regelmatige zeshoek splitst men op in driehoeken door ieder hoekpunt te verbinden met het middelpunt van de cirkel. Elk van deze driehoeken wordt gespiegeld ten opzichte van de zijde die behoort tot die driehoek en tot de oorspronkelijke zeshoek. Alle bekomen driehoeken vormen samen een nieuwe vlakke figuur. Wat is de straal van de kleinste cirkel die deze volledige figuur bevat? √ √ √ √ (A) 12 2 (B) 12 3 (C) 8 2 (D) 8 3 (E) 16 Vraag 32 Een functie f : A → B : x 7→ f (x) van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle x, y ∈ A geldt: als x 6= y, dan is f (x) 6= f (y). Welke van de volgende functies is injectief? (A) f : N × N → N : (n, m) 7→ m + n (B) f : N × N → N : (n, m) 7→ m · n (C) f : N × N → N : (n, m) 7→ 3m · 5n (D) f : N × N → N : (n, m) 7→ mn (E) f : N × N → N : (n, m) 7→ 2m+n

Vraag 33 Veronderstel dat m 6= 0 een vast natuurlijk getal is. Waaraan is limn→∞ (A)

m m−1

(B) m

(C) 1

(D) -1

nm m−n

gelijk?

(E) −m

Vraag 34 P (5, 9) is een punt op de grafiek van een afleidbare functie f : R → R. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt P snijdt de x-as in het punt Q(1, p 0). Je mag aannemen dat f (x) ≥ 0 voor alle x ∈ R. Definieer dan de functie h : R → R : x 7→ h(x) = f (x). Bepaal de afgeleide h0 (5). (A) h0 (5) =

3 8

(B) h0 (5) =

3 2

(C) h0 (5) =

1 6

(D) h0 (5) =

9 √ 8 5

(E) h0 (5) =

2 27

16


Vraag 35 Gegeven zijn de volgende veeltermen • f (X) = X 3 + 3X 2 − 1 • g(X) = 5 + 7X − X 3 • h(X) = 5X 4 − 3X 3 + 2X − 1. Welke van de volgende veeltermen die hiermee gemaakt worden, heeft de hoogste graad? (A) f (g(X)) + h(X) (B) g(X).(f (X) + h(X)) (C) h(f (X) + g(X)) (D) g(X).f (X) + h(X) (E) f (h(X)) + g(X)

Vraag 36 Twee motorrijders rijden beiden in tegenwijzerzin op een cirkelvormig circuit. Ze starten gelijktijdig in het punt s (zie figuur). Op het tijdstip T ontmoeten ze elkaar op het punt e van het circuit. Ze hebben elkaar nog niet eerder op dit punt ontmoet (eventueel wel op andere punten van het circuit). De motorrijders rijden aan een constante snelheid, die we respectievelijk als v1 en v2 noteren. Als je weet dat v1 = 7v2 /3, hoeveel volledige ronden heeft de ene rijder dan meer afgelegd dan de andere op het tijdstip T ?

α = 3π/2 s

e

(A) 1

(B) 3

(C) 8

(D) 10

(E) 12

17


Vraag 37 Gegeven zijn de grafieken van twee reële functies f en g. De schaal is voor beide figuren dezelfde. y

y

x

x

grafiek van g

grafiek van f

Welke van de volgende figuren is de grafiek van |f | − |g|? y

y

x

x

(B)

(A)

x

(C)

y

y

x

(D)

y

x

(E)

18


Vraag 38 De functie sgn (signum-functie of tekenfunctie genoemd) wordt gedefinieerd door ( x als x 6= 0 sgn(x) = |x| 0 als x = 0. Bereken

R4 0

(A) 8

x sgn(2 − x) dx. (B) 4

(C) 0

(D) −4

(E) −8

Vraag 39 Een cilinder met beweegbare zuiger is gevuld met een gas dat zich gedraagt als een ideaal gas. Dit betekent dat het volgende verband geldt tussen de druk p, het volume V en de temperatuur T : pV = nRT , waarbij n de hoeveelheid gas voorstelt en R de gasconstante is. Onderstaande figuren tonen het volume V en de temperatuur T als functie van de tijd t. De tijdsschaal is voor alle grafieken identiek. De hoeveelheid gas n blijft constant. V

T

t

t

Welke grafiek is de bijhorende grafiek van de druk p als functie van de tijd? p

p

(A)

t

p

p

(B)

t

(D)

(C)

t

p

(E)

t

t

19


Vraag 40 Gegeven de 3 punten P (1, 0, 0), Q(0, 2, 0) en R(−3, 2, 1) en de rechte l ↔ {x = y + 1, x + y + z = 7} in de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz. Bepaal de doorsnede D van de rechte l met het vlak dat door de drie punten P , Q en R loopt. (A) Er is geen snijpunt. (B) Er zijn oneindig veel snijpunten. (C) Er is juist één snijpunt met x-co¨ ordinaat 5. (D) Er is juist één snijpunt met y-co¨ ordinaat 5. (E) Er is juist één snijpunt met z-co¨ ordinaat 5.

Vraag 41 √ Gegeven is de functie f , met voorschrift f : D ⊂ R → R : x 7→ f (x) = √ x − x2 + 5x. Hierin is D de verzameling van alle reële getallen x waarvoor de uitdrukking f (x) = x − x2 + 5x goed gedefinieeerd is. Men noemt deze verzameling het domein of definitiegebied van de functie. Waaraan is D gelijk? (A) [0, +∞[ (B) ] − ∞, −5] (C) [−5, 0] (D) ]0, +∞[ ∪ ] − ∞, −5[ (E) [0, +∞[ ∪ ] − ∞, −5]

Vraag 42 √ Gegeven is de functie f , met voorschrift f : D ⊂ R → R : x 7→ f (x) = x − x2 + 5x. Hierbij is D de verzameling zoals gedefinieerd in Vraag 41. Welk van volgende uitspraken is waar voor de functie f ? (A) De functie is overal stijgend. (B) De functie is overal dalend. (C) De functie heeft twee verschillende nulpunten. (D) De functie neemt geen strikt positieve waarden aan. (E) De functie neemt zowel strikt positieve als strikt negatieve waarden aan.

20


Vraag 43 √ Gegeven is de functie f , met voorschrift f : D ⊂ R → R : x 7→ f (x) = x − x2 + 5x. Hierbij is D de verzameling zoals gedefinieerd in Vraag 41. Welk van volgende uitspraken is waar voor de functie f ? (A) De grafiek van de functie heeft een horizontale asymptoot in +∞ en een schuine asymptoot in −∞. (B) De grafiek van de functie heeft een horizontale asymptoot in −∞ en een schuine asymptoot in +∞. (C) De grafiek van de functie heeft een horizontale asymptoot in zowel +∞ als −∞. (D) De grafiek van de functie heeft een schuine asymptoot in zowel +∞ als −∞. (E) De grafiek van de functie heeft geen asymptoten.

Vraag 44 Beschouw de veelterm p(x) = 4x4 − 7x3 + ax2 + bx + 20, met a en b zodanig dat deze veelterm deelbaar is door (x − 1)(x + 2). Welke van volgende uitspraken is geldig? (A) p(−2) = p(0) = p(1) (B) p(−2) < p(0) < p(1) (C) p(−2) > p(0) > p(1) (D) p(−2) = p(1) > p(0) (E) p(−2) = p(1) < p(0)

Vraag 45 Notationele afspraak: log2 x = 2log x. Een kapitaal staat op een spaarrekening met een intrestvoet van 2,5% per jaar. Er wordt geen geld afgehaald van deze rekening en ook geen geld bijgestort. Alle intresten worden jaarlijks bij het kapitaal gevoegd. Het kapitaal op deze spaarrekening is verdubbeld na n jaar met (A) n = 2 log2 1.025 (B) n =

log2 1.025 2

(C) n =

1 log2 1.025

(D) n = 40 (E) n = log2 1.025

21


Vraag 46 Dertien studenten leggen examen af. Van twaalf studenten zijn de scores (op 30pt) gekend: 11

18

12

21

16

19

6

19

18

20

24

14.

Het resultaat van de 13de student zal geen enkele invloed hebben op (A) het rekenkundig gemiddelde. (B) het eerste kwartiel. (C) de mediaan. (D) het derde kwartiel. (E) de variantie.

Vraag 47 Zes mensen staan voor de kassa van een bioscoop. Een kaartje kost vijf euro. Drie mensen hebben een briefje van vijf euro bij zich, de overige drie hebben een briefje van tien euro. De kassa is in het begin leeg. De kans dat de kassierster niet in de problemen komt (en dat er vanaf de eerste klant steeds gewisseld kan worden) is gelijk aan (A) 1/6 (B) 1/5 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 1/2

Vraag 48 Een batch van 100 exemplaren van eenzelfde product wordt geproduceerd tijdens één shift op één productielijn in een fabriek. Er wordt een steekproef van 4 willekeurige exemplaren getrokken (zonder teruglegging). Als 1 van deze 4 na testen defect blijkt te zijn, dan wordt de ganse batch verworpen. Wat is de kans dat een batch niet verworpen wordt wanneer ze 5 defecte exemplaren bevat? (A)

95 100

(B) 0 (C)

95 · 94 · 93 · 92 100 · 99 · 98 · 97

(D)

95 · 94 · 93 · 92 1004

(E) (0.95)4 22


Vraag 49 Een belegger wil een portefeuille van aandelen samenstellen. De samenstelling van de portefeuille moet voldoen aan de volgende regel: indien aandeel 1 of aandeel 2 opgenomen wordt in de portefeuille, dan moet ook aandeel 3 opgenomen worden. We wensen de portefeuille te modelleren met behulp van binaire variabelen, dit zijn variabelen die enkel de waarden 0 en 1 kunnen aannemen. Noteer met x1 de binaire variabele die het al dan niet opnemen van aandeel 1 weergeeft: x1 = 1 als en slechts als aandeel 1 tot de portefeuille behoort. Op dezelfde wijze noteren de binaire variabelen x2 en x3 het al dan niet opnemen van aandelen 2 en 3. Welke van de volgende vijf beperkingen geeft op correcte wijze de relatie weer tussen de toegelaten waarden van x1 , x2 en x3 ? (A) x1 + x2 + x3 ≥ 2 (B) x1 + x2 ≤ x3 (C) x1 = x2 = x3 (D) x1 + x2 ≤ 2 x3 (E) |x1 − x2 | = x3

Vraag 50 Beschouw de markt van strips. Het aantal verkochte strips hangt af van de prijs per strip (hoe hoger de prijs, hoe minder strips er verkocht zullen worden). Bij wijze van voorbeeld: indien de prijs per strip verhoogd wordt van 4 naar 5 euro, dan daalt de gevraagde hoeveelheid van 10 000 naar 8000 stuks. De prijselasticiteit van de vraag geeft de verhouding weer van de procentuele verandering in de gevraagde hoeveelheid ten opzichte van de procentuele verandering in de prijs per stuk. Deze elasticiteit is een maatstaf voor de prijsgevoeligheid van de vraag. De prijselasticiteit van de vraag naar strips in het bovenstaande voorbeeldje bedraagt (A) −0.0005 (B) −0.80 (C) −1.25 (D) −10 (E) −2000

23

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Recommend Documents