Wiskunde voor 2 vwo. Deel 2. Versie Samensteller

Wiskunde voor 2 vwo Deel 2 Versie 2013

Samensteller

© 2013 Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0). Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected]. Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

Inhoud Voorwoord 1

3

Lineair en hyperbolisch

5

1.1

Recht evenredig

1.2

Lineaire verbanden

1.3

Lineaire vergelijkingen

1.4

Omgekeerd evenredig

1.5

Hyperbolische verbanden

1.6

Totaalbeeld

2

6 12 20 26

Meetkundige berekeningen

45

2.1

Pythagoras

2.2

Lengtes berekenen

2.3

Oppervlakte ruimtefiguur

2.4

Inhoud ruimtefiguur

2.5

Doorsneden

2.6

Vergroten

2.7

Totaalbeeld

3

32

39

46 55 64

71

78 86 94

Kwadratisch en exponentieel

101

3.1

Kwadratische verbanden

102

3.2

Kwadratische vergelijken

112

3.3

Exponentiële verbanden

3.4

Exponentiële vergelijkingen

3.5

Ongelijkheden

3.6

Totaalbeeld

4

Statistiek

129

135

142

149

4.1

Centrummaten

4.2

Spreidingsmaten

4.3

Klassenindeling

4.4

Schattingen

4.5

Statistische uitspraken

4.6

Totaalbeeld

Register

120

150 157 165

173 179

181

186

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 1

PAGINA 2

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

Voorwoord Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina. Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst: Bekijk eerst: www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen. Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken. Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf Totaalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal. > > > > >

Verkennen Uitleg Theorie en Voorbeelden Verwerken Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 3

PAGINA 4

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1

Lineair en hyperbolisch

Recht evenredig

6

Lineaire verbanden

12

Lineaire vergelijkingen Omgekeerd evenredig

20 26

Hyperbolische verbanden Totaalbeeld

39

32

1.1

Recht evenredig

Verkennen Opgave 1 Niet overal op de wereld wordt de euro als munteenheid gebruikt. In Denemarken bijvoorbeeld is de munteenheid de Deense Kroon (DKK). Een Deense Kroon is ongeveer €0,13. a

Hoeveel betaal je bij deze koers voor DKK 600,00?

b

En als je twee keer zoveel Deense Kronen wilt, betaal je dan ook twee keer zoveel?

c

Als je de kosten voor het kopen van Deens Kronen voorstelt door 𝐸 (in €) en het aantal Deense Kronen door 𝐷, welke formule geldt er dan als er geen bijkomende kosten zijn? En hoe ziet de bijbehorende grafiek er uit?

Uitleg Een winkelier koopt een bepaald artikel in voor €7,00 per stuk en verkoopt het voor €12,50 per stuk. De opbrengst 𝑅 (in euro) is dan afhankelijk van het aantal u� dat hij verkoopt. Als hij twee keer zoveel van die artikelen verkoopt, krijgt hij ook twee keer zoveel geld binnen. Er geldt: 𝑅 = 12,50 ⋅ u�. Hierbij hoort een grafiek die door (0, 0) gaat: als er niets wordt verkocht is er ook geen opbrengst. Verder gaat de grafiek door (500, 6250) en (1000, 12500). Het is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel. Met de kosten staat het heel anders. Daar moet de winkelier ook rekening houden met bijvoorbeeld transportkosten, opslagkosten, kosten voor artikelen die hij niet verkoopt, e.d. Dus de kosten zijn niet recht evenredig met u�. Bekijk de applet. Je zegt dat de variabele u� recht evenredig is met de variabele u� als een verdubbeling van u� ook altijd een verdubbeling van u� betekent. Hierbij hoort een formule van de vormu� = u� ⋅ u�. De grafiek bij een recht evenredig verband is een rechte lijn door (0, 0). > u� heet de evenredigheidsconstante. > u� bepaalt hoe steil de rechte lijn loopt en heet daarom wel het hellingsgetal van die rechte lijn. Hier zie je hoe het veranderen van u� de grafiek beïnvloedt. In de wiskunde is het gebruikelijk om voor de variabelen de letters u� en u� te gebruiken in formules. Meestal is dan u� de afhankelijk variabele en dus komt u� op de verticale as. Die as heet daarom de 𝑦-as. De horizontale as is de 𝑥-as.

PAGINA 6

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > LINEAIR EN HYPERBOLISCH

Opgave 2 Bekijk de Uitleg op pagina 6. Je ziet een formule voor het berekenen van de opbrengst 𝑅 afhankelijk van het aantal verkochte exemplaren u� van een bepaald artikel. a

Hoeveel bedraagt 𝑅 als u� = 100? En als u� = 200?

b

Laat zien dat de opbrengst altijd twee keer zo groot wordt als het aantal verkochte exemplaren twee keer zo groot wordt.

c

Als u� drie keer zo groot wordt, wat gebeurt er dan met 𝑅?

d

Je hebt nu gezien dat 𝑅 recht evenredig is met u�. Hoe blijkt dat uit de grafiek van 𝑅 afhankelijk van u�?

e

Welke betekenis heeft het getal 12,50 voor de grafiek van 𝑅?

Opgave 3 In een inkjetprinter gaan inktpatronen. Zo’n inktpatroon kost €42,50. Je kunt er gemiddeld 500 velletjes papier mee afdrukken. a

Hoeveel ben je aan inkt kwijt als je 1800 afdrukken per jaar maakt?

b

Met welke formule kun je de jaarlijkse kosten voor inkt afhankelijk van het aantal afgedrukte velletjes papier berekenen?

c

Zijn de jaarlijkse kosten voor inkt recht evenredig met het aantal afdrukken? Zo ja, wat is dan de evenredigheidsconstante?

d

Teken een bijpassende grafiek. Waarom heb je daar geen tabel bij nodig?

e

Welke betekenis heeft de evenredigheidsconstante voor de grafiek bij d?

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Een fietser rijdt met een vrijwel constante snelheid op een rechte polderweg van 𝐴 naar 𝐵. Op tijdstip u� = 0 startte hij bij 𝐴, en 12 minuten en 26 seconden later heeft hij precies 5 km afgelegd. Met hoeveel km/uur fietst hij? Geef een formule voor de afgelegde afstand u� vanaf 𝐴 in km afhankelijk van de tijd u� in uren. 5

Hij legt 5 km in 746 seconden af, dat is 746 km/seconde. 5 In een uur legt hij daarom 3600 ⋅ 746 ≈ 24,129 km af. Hij fietst met ongeveer 24,1 km/uur. De bijbehorende formule is u� = 24,1 ⋅ u�, want bij een constante snelheid is de afgelegde afstand recht evenredig met de tijd.

Opgave 4 Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 7 hoe de snelheid in km/uur van een fietser wordt uitgerekend. a

Waarom is er sprake van 746 seconden?

b

Waarom is u� recht evenredig met u�?

c

Hoe ziet de grafiek van u� afhankelijk van u� er uit?

d

Na hoeveel tijd heeft deze fietser 12 km afgelegd?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 7


Opgave 5 Een automobilist is onderweg naar Berlijn en zet zijn cruisecontrol (snelheidsbegrenzer) op 120 km/uur. Dat moment geldt als u� = 0 waarin u� de tijd in uren is. a

Waarom is vanaf dat moment zijn afgelegde afstand u� (in km) recht evenredig met u�? Hoeveel is de evenredigheidsconstante?

b

Hoe ziet de grafiek van u� afhankelijk van u� er uit?

c

Na hoeveel tijd heeft deze automobilist 300 km afgelegd?

Voorbeeld 2 Van oudsher bestaan er naast de temperatuurschaal van Celsius die we meestal gebruiken nog andere temperatuurschalen. In sommige landen worden die nog steeds gebruikt: > De temperatuurschaal van Fahrenheit (nog gangbaar in de V.S.): Je krijgt het aantal graden Fahrenheit door het aantal graden Celsius te delen door 10, dan te vermenigvuldigen met 18 en vervolgens nog 32 erbij te tellen. > De temperatuurschaal van Réamur: Je krijgt het aantal graden Réamur door het aantal graden Celsius te delen door 10 en dan te vermenigvuldigen met 8. Laat zien dat het aantal graden Fahrenheit 𝐹 niet recht evenredig is met het aantal graden Celsius 𝐶, maar het aantal graden Réamur 𝑅 wel. Voor het omrekenen van °C naar °F kun je uit de gegevens de formule 𝐹 = 1,8 ⋅ 𝐶 + 32 afleiden. De grafiek bij deze formule gaat niet door (0, 0) maar door (0, 32). En daarom is 𝐹 niet recht evenredig met 𝐶. Voor het omrekenen van °C naar °R kun je uit de gegevens de formule 𝐹 = 0,8 ⋅ 𝐶 afleiden. De grafiek bij deze formule gaat wel door (0, 0) en is een rechte lijn. En daarom is 𝑅 recht evenredig met 𝐶.

Opgave 6 Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 8 je kunt omrekenen van °C naar °F of °R. a

Laat zien hoe je de formule voor 𝐹 uit de tekst kunt afleiden.

b

Teken bij beide formules een grafiek. Maak eerst een tabel met voor 𝐶 de getallen 0, 10, 20, ..., 100.

c

Hoe kun je aan de formules zien dat de grafiek van 𝐹 behoorlijk steiler omhoog loopt dan die van 𝑅?

d

Laat met een getallenvoorbeeld zien dat het verdubbelen van de waarde van 𝐶 wel betekent dat de waarde van 𝑅 verdubbelt, maar niet dat de waarde van 𝐹 verdubbelt.

Opgave 7 Er bestaat ook nog de temperatuurschaal van Kelvin. Het omrekenen van K (graden Kelvin, je zegt gewoon ‘Kelvin’) naar °C gaat zo: 𝐾 = 𝐶 + 273. a

Is 𝐾 recht evenredig met 𝐶? Licht het antwoord toe.

b

𝐾 = 0 is het absolute nulpunt. Hoeveel °C hoort daar bij?

PAGINA 8

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Verwerken Opgave 8 Mevrouw Willems krijgt een kilometervergoeding voor de kilometers die ze voor haar werk met de auto aflegt. Ze krijgt €0,19 per km. Noem het aantal werkkilometers per maand u�. a

Welke formule geldt voor de kilometervergoeding per maand 𝐾 afhankelijk van u�?

b

Is 𝐾 recht evenredig met u�? En waarom dan?

c

Hoe ziet de grafiek van 𝐾 er uit?

d

Zijn de brandstofkosten voor het werk ook recht evenredig met u�?

e

Zijn haar totale kosten voor de werkkilometers recht evenredig met u�? Motiveer je antwoord.

Opgave 9 De prijs die je voor een rit met een taxi betaalt, hangt af van de afstand die je rijdt. Je ziet hieronder van drie taxibedrijven de grafiek van het verband tussen prijs u� (in €) en gereden afstand u� (in km).

a

Bij welke firma’s betaal je alleen een bedrag per gereden km?

b

Geef bij die twee taxibedrijven een formule voor u� afhankelijk van u�.

c

Als taxi’s bijna uitsluitend in de stad rijden, zijn zij minder zuinig met de brandstof. Welke van deze beide firma’s heeft vrijwel alleen taxi’s in de grote stad? Verklaar je antwoord.

d

Hoeveel bedragen die voorrijkosten?

e

Stel ook voor die derde firma een formule op voor u�.

f

Hoe kun je aan de grafiek en de formule zien dat bij die derde firma de prijs u� niet recht evenredig is met het aantal gereden km?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 9


Opgave 10 Zuiver cilindervormige kaarsen branden gelijkmatig op: elk uur verdwijnt er (in theorie) evenveel kaarslengte. Hier zie je twee grafieken bij opbrandende kaarsen.

a

Welke van deze twee grafieken hoort bij een cilindervormige kaars en waarom?

b

Waarom is de kaarslengte niet recht evenredig met de brandtijd?

c

Met hoeveel cm per uur brandt de cilindervormige kaars op?

Opgave 11 Hier zie je vier formules die een verband tussen u� en u� beschrijven. > > > >

formule formule formule formule

I: u� = 0,85u� II: u� = 0,85 + u� III: u� = 8,5 ⋅ u� IV: u� = 8,5 − 1,5u�

a

Bij welke van deze formules is u� recht evenredig met u�?

b

Bereken bij elk van deze vier formules de waarde van u� waarvoor u� = 5. 100 Bij formule I: u� = 5 /0,85 = 17

Opgave 12 In de natuurkunde spreek je van een éénparige beweging als de snelheid waarmee je beweegt constant is. Voor de afgelegde weg u� (in m) geldt dan u� = u� ⋅ u� waarin > u� de snelheid in m/s is; > u� de tijd in s is. a

Leg uit waarom bij een éénparige beweging de afgelegde weg recht evenredig is met de tijd.

b

Een voorwerp beweegt 20 s met een snelheid van 40 m/s. Hoeveel bedraagt zijn afgelegde weg?

c

Een voorwerp beweegt 20 s en legt daarin 700 m af. Met welke snelheid bewoog dit voorwerp?

d

Een voorwerp beweegt 1500 m met een snelheid van 60 m/s af. Hoe lang doet het daar over?

e

Je kunt de gegeven formule ook in de vorm u� = ... schrijven. Hoe ziet hij er dan uit?

f

Schrijf de gegeven formule in de vorm u� = ....

PAGINA 10

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Toepassen Opgave 13: Auto op benzine Deze tabel is gemaakt door de bestuurder van een auto die op benzine rijdt. De kilometerstand en de hoeveelheid getankte benzine is steeds op hetzelfde moment opgeschreven. (Je kunt misschien zelf ook wel dergelijke gegevens bemachtigen. Dan heb je nog wat aan het rekenwerk!) a

Laat zien dat deze bestuurder gemiddeld ongeveer 0,08 liter benzine per gereden km verbruikte.

b

De gemiddelde benzineprijs was in die periode €1,75/liter. Hoeveel bedragen zijn brandstofkosten per kilometer?

c

Waarom is dat een aanname?

d

Stel een formule op bij het verband tussen 𝐾 en u� en bereken hiermee de brandstofkosten voor een jaar waarin deze auto ongeveer 18000 km rijdt.

e

Is een onkostenvergoeding van €0,19 per km voor de kilometers die iemand voor zijn werk rijdt dus zonder meer voordelig voor de automobilist? Licht je antwoord toe.

Opgave 14: Auto op benzine, op diesel, op gas, of electrisch? Er zijn ook auto’s die niet op benzine rijden, zelfs in dezelfde prijsklasse. Ook daarvan kun je de brandstofkosten per jaar schatten. Wat is het voordeligst? Houd een vergelijkend onderzoek naar de jaarlijkse brandstofkosten van auto’s uit dezelfde prijsklasse die op verschillende brandstoffen rijden. Zoek zoveel mogelijk echte gegevens en/of zoek op internet. Kies zelf een prijsklasse.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 11

1.2

Lineaire verbanden

Verkennen Opgave 1 Niet overal op de wereld wordt de euro als munteenheid gebruikt. In Denemarken bijvoorbeeld is de munteenheid de Deense Kroon (DKK). Een Deense Kroon is ongeveer €0,13. Wil je bij een bank Deens Kronen kopen dan betaal je vaak ook nog transactiekosten, dat zijn kosten voor het werk dat de bank heeft aan het afhandelen van jouw betalingsopdracht. Stel dat die kosten €2,50 per transactie zijn. a

Hoeveel betaal je bij deze koers en deze transactiekosten voor DKK 600,00?

b

En als je twee keer zoveel Deense Kronen wilt, betaal je dan ook twee keer zoveel?

c

Als je de kosten voor het kopen van Deens Kronen voorstelt door 𝐸 (in €) en het aantal Deense Kronen door 𝐷, welke formule geldt er dan? En hoe ziet de bijbehorende grafiek er uit?

Uitleg Voor een telefoonabonnement betaal je abonnementskosten en belkosten. Stel je voor je betaalt €30,00 abonnementskosten per maand en nog €0,25 per minuut. Van de kosten per maand kun je een grafiek maken. Je kosten per maand zien er zo uit: > > > > > >

0 minuten gebeld: 30,00 euro 1 minuten gebeld: 30 + 1 ⋅ 0,25 = 30,25 euro 2 minuten gebeld: 30 + 2 ⋅ 0,25 = 30,50 euro 3 minuten gebeld: 30 + 3 ⋅ 0,25 = 30,75 euro 4 minuten gebeld: 30 + 4 ⋅ 0,25 = 31,00 euro u� minuten gebeld: 30 + u� ⋅ 0,25 = 30 + 0,25 ⋅ u� euro

Dus geldt de formule: 𝐾 = 30 + 0,25 ⋅ u�. 𝐾 stelt dan de belKosten per maand voor. Omdat de grafiek een rechte lijn is, heet dit een lineair verband. Het getal 30 is het startgetal. Het getal 0,25 bepaalt de helling van de grafiek, je noemt dit het hellingsgetal. Dit hellingsgetal is de vaste toename (of afname) van 𝐾 bij een toename van u� met 1 eenheid. Bij elk lineair verband is sprake van zo’n vaste toename van de uitkomst per stap. Omdat dit getal de richting van de lijn bepaalt spreek je ook wel van richtingscoëfficiënt.

Opgave 2 Bekijk de Uitleg op pagina 12. Je ziet een formule voor het berekenen van de maandelijkse belkosten 𝐾 afhankelijk van het aantal belminuten u�. a

Teken zelf de grafiek van 𝐾 afhankelijk van u�. Vul daartoe eerst deze tabel in.

PAGINA 12

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


u�

0

𝐾

30,00

10

20

30

40

50

b

Geef in je grafiek het startgetal en het hellingsgetal aan.

c

De aanbieder van dit abonnement verlaagt de abonnementskosten tot €20,00. Wat betekent dit voor de grafiek van 𝐾?

d

De aanbieder van dit abonnement verlaagt de belkosten per minuut tot €0,20. Wat betekent dit voor de grafiek van 𝐾 als de abonnementskosten €30,00 blijven?

Opgave 3 Telefoneren met een mobiele telefoon kost geld. Er zijn verschillende soorten abonnementen. Stel je voor dat je alleen tijdens werktijd binnen Nederland wilt bellen. De belkosten per maand (in €) hangen af van het aantal belminuten. Je vergelijkt twee aanbieders van mobiele telefonie en je hebt een telefoon waarmee je alleen kunt bellen (geen sms, geen internet, etc.). > Bedrijf A: abonnement €9,90 per maand en €0,25 per belminuut. > Bedrijf B: geen abonnementskosten en €0,36 per belminuut. a

Geef voor beide bedrijven een formule voor het verband tussen de kosten u� en het aantal belminuten u�.

b

Maak een tabel zoals die hieronder en teken bij beide formules een grafiek in één assenstelsel. belminuten u�

0

50

100

bedrijf A u� (in €) bedrijf B u� (in €)

c

Bij welk van beide bedrijven zijn de kosten recht evenredig met het aantal belminuten?

d

Waarom is bij beide bedrijven sprake van een lineair verband? Geef bij elk van beide grafieken de richtingscoëfficiënt.

e

Je belt per maand 85 minuten. Bij welk bedrijf neem jij een abonnement en waarom?

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Je kunt ook pre-paid telefoneren: je koopt dan vooraf een beltegoed van bijvoorbeeld €50,00. Als elke minuut bellen dan €0,25 kost, hangt je beltegoed 𝐵 nog uitsluitend af van het aantal belminuten u�. Er geldt: 𝐵 = 50 − 0,25 ⋅ u� Ook hier is sprake van een lineair verband. Het startgetal is 50. De richtingscoëfficiënt is −0,25. De bijbehorende grafiek is een dalende rechte lijn. Na 50 /0,25 = 200 minuten is het beltegoed op.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 13


Opgave 4 Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 13 hoe je beltegoed afhangt van het aantal minuten u� dat je hebt gebeld. a

Bereken je beltegoed na 60 minuten bellen.

b

Controleer met een berekening dat na 60 minuten bellen je beltegoed op is. Waarom nemen ouders vaak zo’n abonnement voor hun kinderen?

c

Wat betekent een negatieve richtingscoëfficiënt voor een lineaire grafiek?

d

Wat gebeurt er met de formule en de grafiek als deze aanbieder van mobiele telefonie zijn belkosten per minuut verhoogt naar €0,30?

Opgave 5 Een cilindervormige kaars brandt gelijkmatig op, u� is de brandtijd in uren. Hij wordt elk uur 1,5 cm korter. De kaars is op zeker moment (u� = 0) nog 25 cm lang. a

Waarom is de lengte van het stuk kaars dat is opgebrand recht evenredig met de brandtijd?

b

Waarom is de kaarslengte 𝐿 (in cm) niet recht evenredig met de brandtijd?

c

Geef een formule voor 𝐿 afhankelijk van u�.

d

Laat met een berekening zien dat deze kaars na 16 uur branden nog niet op is.

e

Hoe ziet de grafiek van 𝐿 afhankelijk van u� er uit? Welk startgetal en welke richtingscoëfficiënt heeft hij?

Voorbeeld 2 Je ziet hier hoe de temperatuur 𝑇 afhangt van de hoogte ℎ boven de zeespiegel. Welke formule hoort bij het lineaire verband tussen 𝑇 en ℎ?

PAGINA 14

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Het startgetal is 20°C. Om het hellingsgetal te weten te komen zoek je twee ‘mooie’ punten op de grafiek. Hier zijn dat (0, 20) en (5, −10). Als de hoogte toeneemt van ℎ = 0 tot ℎ = 5, dan neemt de temperatuur af van 20°C naar −10°C. Bij elke hoogtestijging van 5 − 0 = 5 km, neemt de temperatuur toe met −10 − 20 = −30°C. Per km dus met −30 /5 = −6 °C. Het hellingsgetal per km is daarom −6. De gevraagde formule is: 𝑇 = 20 − 6 ⋅ ℎ met ℎ in km en 𝑇 in °C. Nu kun je een nauwkeurige tabel maken...

Opgave 6 In Voorbeeld 2 op pagina 14 heb je een grafiek van het verband tussen de temperatuur 𝑇 en de hoogte ℎ boven de zeespiegel. Je wilt er een formule bij maken om op bepaalde hoogtes de temperatuur toch minstens op een graad nauwkeurig te kunnen berekenen. a

Waarom neem je twee ‘mooie’ punten op de grafiek? Wat wordt daar eigenlijk mee bedoeld?

b

Waarom is het aflezen van het snijpunt van de grafiek met de verticale 𝑇-as erg handig?

c

Hoe is in het voorbeeld het hellingsgetal berekend?

d

Bereken met behulp van de gevonden formule de temperatuur op 1,5 km hoogte.

e

Stel zelf een formule op voor het verband tussen de temperatuur 𝑇 (in °C) en de hoogte ℎ (in km) boven de zeespiegel als op ℎ = 0 de temperatuur 15°C is en ℎ = 4 de temperatuur −9°C is?

Opgave 7 Je hebt nu een manier gezien om een formule op te stellen bij een lineair verband als van de bijbehorende grafiek het punt op de verticale as en nog een ander punt is gegeven. In het Practicum tref je een applet aan om dit mee te oefenen. Door nieuwe punten 𝐴 en 𝐵 te kiezen, krijg je steeds een nieuw lineair verband. Laat punt 𝐴 op de u�-as liggen. a

Neem eerst 𝐴(0, 6) en 𝐵(4, 8). Stel een bijpassende formule op.

b


c

Oefen dit met een medeleerling.

d

Hoe ziet je formule er uit als 𝐴(0, 6) en 𝐵(4, 6) kiest? Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van een horizontale lijn?

e

En wanneer lukt het maken van een formule van de vorm u� = ... niet? Hoe komt dat?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 15


Opgave 8 Je kunt ook wel een formule van een lineair verband opstellen als het snijpunt van de grafiek met de verticale as niet goed is af te lezen. Hiernaast zie je zo’n situatie. Er zijn drie punten goed af te lezen, maar het startgetal niet. a

De punten 𝐴(2, 3) en 𝐵(6, 8) liggen op de grafiek. Bereken met behulp van deze twee punten het hellingsgetal van de lijn.

b

Als je vanuit punt 𝐴 één roosterlijn naar links gaat, welk punt op die roosterlijn ligt dan op de grafiek?

c

Bepaal nu het punt van de grafiek op de verticale as. Welk startgetal heeft de grafiek?

d

Schrijf nu een passende formule voor dit lineaire verband op.

e

Controleer of je formule correct is door het punt 𝐶 te substitueren.

Opgave 9 In het Practicum tref je een applet aan om het opstellen van een formule bij een lineair verband te oefenen. Door nieuwe punten 𝐴 en 𝐵 te kiezen, krijg je steeds een nieuw lineair verband. a


b

Neem eerst 𝐴(−2, 6) en 𝐵(4, 2). Stel een bijpassende formule op.

c

Oefen dit met een medeleerling.

d

Hoe ziet je formule er uit als 𝐴(2, 6) en 𝐵(4, 6) kiest? Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van een horizontale lijn?

e

En wanneer lukt het maken van een formule van de vorm u� = ... niet? Hoe komt dat?

Verwerken Opgave 10 Voor het verbruik van water betaal je twee soorten kosten: > een vast bedrag per jaar, het vastrecht; > een bedrag per m3 water die je verbruikt. Die bedragen kunnen per gebied verschillend zijn, afhankelijk van de leverancier van het water. In de tabel worden twee gebieden vergeleken: verbruik u� (in m3)

a

0

50

100

kosten 𝐾 in gebied A (in €) 36,00

126,00 216,00

kosten 𝐾 in gebied B (in €) 48,00

125,50 203,00

150

200

In beide gevallen is er sprake van een lineair verband tussen 𝐾 en u�. Leg uit waarom en vul de tabel verder in.

PAGINA 16

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


b

Uit de tabel kun je afleiden hoeveel je in beide gevallen per m3 betaalt. Doe dat voor beide gebieden en stel formules op voor 𝐾 afhankelijk van u�.

c

Teken de grafieken van 𝐾 voor beide gebieden in één figuur.

d

Bereken de kosten voor een waterverbruik van 120 m3 in beide gebieden.

e

Hoe kun je aan de twee hellingsgetallen zien in welk gebied je het goedkoopste uit bent als je veel water verbruikt?

Opgave 11 Je ziet hier drie grafieken die elk een verband tussen de variabelen u� en u� weergeven.

a

Bij welke van deze grafieken is u� recht evenredig met u�?

b

Hoe groot is bij die grafiek het hellingsgetal?

c

Bij welke van deze grafieken is het hellingsgetal negatief?

d

Maak bij elke grafiek een formule voor u� afhankelijk van u�.

Opgave 12 Zuiver cilindervormige kaarsen branden gelijkmatig op. Je ziet hier de grafieken van de lengte 𝐿 (in cm) van twee van die kaarsen afhankelijk van de brandtijd u� (in uur). a

Welke grafiek hoort bij de dikste kaars? Waarom?

b

Waarom is er bij beide grafieken sprake van een lineair verband?

c

Stel formules op voor het verband tussen 𝐿 en u�.

d

Je steekt beide kaarsen tegelijk aan. Welke is het langst na 4 branduren?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 17


Opgave 13 De grafiek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(0, 10) en 𝐵(5, 12). a

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�. De grafiek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(0, 10) en 𝐶(5, 0).

b

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�. De grafiek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝑂(0, 0) en 𝐵(5, 12).

c

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�. De grafiek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(0, 10) en 𝐷(5, 10).

d

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

Opgave 14 De grafiek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐴(2, 10) en 𝐴(5, 12). a

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�. De grafiek van een lineair verband tussen u� en u� gaat door de punten 𝐶(−10, 120) en 𝐷(13, 51).

b

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u�.

Opgave 15 Het gewicht van een kabelhaspel hangt af van de lengte van de kabel die er omheen gewonden is. Zo’n grote kabelhaspel bevat nieuw wel 1000 m kabel. Hij weegt dan 800 kg. Als er 200 m kabel af is, weegt de haspel met kabel nog 650 kg. Hoeveel weegt een lege haspel? Geef een duidelijke berekening.

Toepassen Opgave 16: Benzine of diesel Bekijk via > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Lineaire verbanden > Toepassen schattingen van de diverse kosten die je maakt als je in een eigen auto wilt rijden. Ga in deze opgave uit van die gegevens. a

Welke van deze kosten zijn vaste kosten per jaar?

b

Hoeveel bedragen de brandstofkosten per kilometer voor de auto op benzine? En voor de auto op diesel?

c

Stel voor de auto op benzine een formule op van de totale kosten per jaar (𝐾 in euro) afhankelijk van het aantal gereden kilometers per jaar (u� in km). Doe dit ook voor de auto die op diesel rijdt.

d

Bereken hiermee de kosten voor een jaar waarin de auto ongeveer 18000 km rijdt. Doe dit zowel voor de auto op benzine als die op diesel.

PAGINA 18

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


e

Maak grafieken bij het verband tussen 𝐾 en u� en bepaal daarmee vanaf hoeveel km per jaar je goedkoper uit bent met een auto die op diesel rijdt.

Opgave 17: Auto op benzine, op diesel, op gas, of electrisch? Je hebt in de voorgaande opgave het verschil in kosten bekeken van een auto die op benzine rijdt en een auto op diesel. Natuurlijk is het beter als je zelf actuele gegevens zoekt en gebruikt voor de berekening. Je kunt daarbij ook denken aan het vergelijken met een auto op gas of een auto die een elektromotor aan boord heeft. Houd een vergelijkend onderzoek naar de jaarlijkse kosten van auto’s uit dezelfde prijsklasse die op verschillende brandstoffen rijden. Zoek zoveel mogelijk echte gegevens en/of zoek op internet. Kies zelf een prijsklasse.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 19

1.3

Lineaire vergelijkingen

Verkennen Opgave 1 De productie van een nieuw soort verf kost €3,50 per liter. Verder zijn er vaste kosten (machines, gebouwen, etc.). Voor de productie van deze verf zijn die berekend op €24000,00. De fabrikant van deze verf wil ze verkopen voor €7,20 per liter. Hoeveel liter moet hij verkopen om winst te gaan maken? a

Stel een formule op voor de kostprijs 𝐾 van u� blikken verf.

b

Stel ook een formule op voor de opbrengst 𝑅 als alle u� blikken verf zijn verkocht.

c

Bij welke van beide formules is sprake van een recht evenredig verband?

d

Leg uit dat de vraag van de fabrikant kan worden vertaald in 7,20 ⋅ u� > 24000 + 3,50 ⋅ u�.

e

Hoe zou je de ongelijkheid bij d oplossen?

Uitleg De productie van een nieuw soort verf kost €3,50 per liter. Verder zijn er vaste kosten (machines, gebouwen, etc.). Voor de productie van deze verf zijn die berekend op €24000,00. De fabrikant van deze verf wil ze verkopen voor €7,20 per liter. Hoeveel liter moet hij verkopen om winst te gaan maken? Je kunt dit probleem oplossen door een vergelijking op te stellen... De productiekosten 𝐾 hangen af van het geproduceerde aantal liter u�: 𝐾 = 24000 + 3,50 ⋅ u�. Als hij alle geproduceerde verf verkoopt, hangt de opbrengst 𝑅 ook af van u�: 𝑅 = 7,20 ⋅ u�. Dan zijn opbrengst en kosten gelijk als 7,20 ⋅ u� = 24000 + 3,50 ⋅ u�. Omdat hier twee lineaire verbanden worden vergeleken is dit een lineaire vergelijking. Zo’n vergelijking kun je oplossen met de balansmethode. Dit levert op u� ≈ 6486. Er wordt winst gemaakt bij een verkoop van 6487 liter of meer. Dit is de oplossing van de lineaire ongelijkheid 7,20 ⋅ u� > 24000 + 3,50 ⋅ u�

Opgave 2 Bekijk het probleem in de Uitleg op pagina 20 nog eens. Er wordt gesteld dat je de vergelijking 7,20⋅u� = 24000 + 3,50 ⋅ u� kunt oplossen met de balansmethode. a

Hier zie je een onvolledig uitwerking daarvan. Maak deze uitwerking volledig. = = =

b

Waarom hoort bij aan de het begin van de uitleg gestelde vraag eigenlijk een ongelijkheid?

c

De oplossing van het probleem is dat het aantal geproduceerde liters 6487 liter of meer zou moeten zijn. Ga na dat bij 6487 liter inderdaad winst wordt gemaakt en bij 6486 niet.

PAGINA 20

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 3 Bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden bij lineaire verbanden speelt de balansmethode een grote rol. Die moet je goed beheersen. Los de volgende vergelijkingen op die manier op en controleer de oplossing. a

15u� + 38 = 10u� + 53

b

5u� − 36 = −96 − 3u�

c

25u� − 150 = 18u�

d

15200 + 0,8u� = 8400 + 2u�

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Deze grafieken laten zien hoe twee cilindervormige kaarsen opbranden. 𝐿 is de lengte van de kaars in cm en u� is de brandtijd in uren. Bereken in minuten nauwkeurig het moment waarop beide kaarsen even lang zijn. Stel bij elke grafiek een formule op: > kaars I: 𝐿 = 20 − 2u� > kaars II: 𝐿 = 25 − 3,125u� Beide kaarsen zijn even lang als: 20 − 2u� = 25 − 3,125u�. Oplossen geeft: = = = = Beide kaarsen zijn even lang na ongeveer 4 uur en 27 minuten. (Omrekenen naar minuten!)

Opgave 4 Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 21 hoe je kunt berekenen op welk tijdstip twee verschillende cilindervormige kaarsen (die gelijkmatig opbranden) even lang zijn als ze tegelijk worden aangestoken. a

Hoe zie je aan de grafiek dat beide kaarsen tegelijk worden aangestoken?

b

Stel zelf de formules op voor de lengte 𝐿 van deze kaarsen.

c

Met de balansmethode wordt het tijdstip berekend waarop beide kaarsen even lang zijn. Bereken dit tijdstip in seconden nauwkeurig.

d

Deze nauwkeurigheid is bij opbrandende kaarsen niet erg zinnig, op de minuut nauwkeurig is al bijna overdreven, maar vooruit... Hoeveel minuten (dus afronden op hele minuten) is kaars II langer dan kaars I?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 21


Opgave 5 Hier zie je twee andere cilindervormige kaarsen die tegelijk worden aangestoken. Na hoeveel minuten is kaars I langer dan kaars II?

Opgave 6 Lijn u� gaat door de punten 𝐴(3, 60) en 𝐵(7, 40) en lijn u� gaat door de punten 𝐶(4, 50) en 𝐷(9, 60). Bereken de exacte coördinaten van het snijpunt van beide lijnen.

Voorbeeld 2 Hier zie je enkele voorbeelden van het oplossen van wat lastiger lineaire vergelijkingen. Kijk goed wat er elke stap gebeurt. Dit is het eerste voorbeeld. = = = = En dit is het tweede voorbeeld. = = = = =

Opgave 7 Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 22 de twee uitwerkingen van wat lastiger lineaire vergelijkingen. In de eerste vergelijking komen breuken voor, in de tweede vergelijking haakjes. Bekijk eerst de eerste vergelijking. a

Wat gebeurt er in de eerste stap van de oplossing?

b

In de tweede stap gebeuren er twee dingen tegelijk, welke twee? Is de volgorde daarbij belangrijk? Bekijk vervolgens de tweede vergelijking. Zowel links als rechts van het isgelijkteken worden de haakjes uitgewerkt.

PAGINA 22

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


c

Leg uit hoe dit gebeurt.

d

Loop de rest van de uitwerking na. Controleer het antwoord.

Opgave 8 Los de volgende vergelijkingen op.

b

2u�+20 = 10 6 1 2 (12 − u�) =

c

(5 − 2u�) − (u� + 4) = 7

d

1 5 u� − 0,8

a

u� − (27 − u�) 1

= 2 − 2 u�

Opgave 9 In het Practicum kun je oefenen met het oplossen van lineaire vergelijkingen. Oefen jezelf daarmee.

Verwerken Opgave 10 Los de volgende vergelijkingen op: a

4500 − 15 ⋅ u� = 600

b

12 − 4u� = 36 + 2u�

c

−6u� + 55 = 4u� − 25

d

4000 + 14,5u� = 12000 − 10,5u�

Opgave 11 Los de volgende vergelijkingen op:

b

u� 3 − 25 = 16 1 1 3 u� − 25 = 16 + 2 u�

c

5(4 − 2u�) = 5u� − (3 + u�)

d

6−u� 3

a

= 2(4 − u�)

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 23


Opgave 12 Je ziet hier grafieken van twee lineaire verbanden, aangegeven met u�1 en u�2 . a

Los op: u�1 = u�2 .

b

Los op: u�1 < u�2 .

c

Controleer je antwoord bij b voor enkele waarden van u�.

Opgave 13 De temperatuur boven het aardoppervlak hangt onder andere af van de hoogte waarop je je bevindt. Vooral voor bergbeklimmers is het belangrijk om te weten dat elke 100 m stijgen een daling van de temperatuur van ongeveer 0,6°C betekent. Deze bergbeklimmers meten een temperatuur van 16°C. a

Welke temperatuur meten zij als ze nog 120 m omhoog klimmen?

b

Het aantal m dat ze omhoog gaan kun je ℎ noemen. Welke formule geeft dan het verband weer tussen temperatuur 𝑇 (in °C) en ℎ?

c

Welke ongelijkheid hoort er bij de vraag: “Na hoeveel m stijgen komt de temperatuur die ze meten onder het vriespunt?”

d

Los de ongelijkheid bij c op. Geef je antwoord in tientallen m nauwkeurig.

Opgave 14 Voor de jaarlijkse kosten 𝐾 (in €) voor het waterverbruik u� in twee gebieden A en B gelden de formules: > in gebied A: 𝐾 = 36 + 1,80 ⋅ u� > in gebied B: 𝐾 = 48 + 1,55 ⋅ u� Schrijf bij de volgende vragen steeds de bijbehorende ongelijkheid op en los hem op. Geef je antwoord in m3 nauwkeurig. a

Bij welk verbruik zijn de kosten in gebied A lager dan in gebied B?

b

Bij welk verbruik zijn de kosten in gebied B hoger dan €200?

Opgave 15 Twee auto’s rijden elkaar op de snelweg tegemoet. Op een zeker moment zijn ze nog 120 km van elkaar verwijderd. Auto A rijdt met een snelheid van 115 km/uur en auto B met een snelheid van 105 km/uur. Over hoeveel tijd passeren ze elkaar? Geef je antwoord in seconden nauwkeurig.

PAGINA 24

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Toepassen Opgave 16: Benzine of diesel Bekijk via > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Lineaire vergelijkingen > Toepassen de formules die iemand heeft opgesteld voor de kosten van het rijden op benzine of het rijden op diesel in een vergelijkbare auto. a

Welke ongelijkheid moet er worden opgelost?

b

Los deze ongelijkheid op.

c

Welk antwoord geef je nu op de vraag die de automobilist zichzelf heeft gesteld.

Opgave 17: Gastank inbouwen? Je wilt in een auto die op benzine rijdt een gastank inbouwen. Dat kost €1450. Gas kost €0,40 per liter en je rijdt 16 km op één liter gas. De benzinekosten zijn €0,08 per km. De totale kosten 𝐾u� voor het rijden op gas hangen af van het aantal km u� dat je rijdt. a

Stel een formule op voor 𝐾u� .

b

Stel ook een formule op voor 𝐾u� , de brandstofkosten aan benzine bij hetzelfde aantal gereden km u� .

c

Na hoeveel gereden km heb je de kosten van de gastank terug verdiend?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 25

1.4

Omgekeerd evenredig

Verkennen Opgave 1 Je rijdt met de auto 16 km over de snelweg. Hoe sneller je (gemiddeld) rijdt, hoe korter je over die 16 km doet: rijd je (gemiddeld) twee keer zo snel, dan heb je de helft van de reistijd nodig. a

Als je 16 km met 120 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten.

b

Als je 16 km met 60 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten. Noem de snelheid in km/uur u� en de reistijd in uren u�.

c

Waarom is hier geen sprake van een recht evenredig verband?

d

Welke formule geeft het verband tussen u� en u� weer?

Opgave 2 Van een rechthoek is de oppervlakte 24 m2. a

Hoe groot is de breedte als de lengte 8 m is?

b

Hoe groot is de breedte als de lengte 4 m is?

c

Hoe groot is de breedte als de lengte u� m is?

d

Waarom wordt een verband zoals dat tussen de lengte en de breedte van een rechthoek met oppervlakte 24 m2 wel ‘omgekeerd evenredig’ genoemd?

Uitleg Op de Afsluitdijk ligt een snelweg van 32 km lengte. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 32 km doet. De tijd die je nodig hebt is omgekeerd evenredig met de snelheid: rijd je twee keer zo snel, dan heb je de helft van de reistijd nodig. > Je rijdt 120 km/h op de snelweg. Je bent dan 32 /120 ⋅ 60 = 16 minuten onderweg. > Bij grote drukte rijdt je 60 km/h. Je bent dan 32 /60 ⋅ 60 = 32 minuten onderweg. Je ziet dat je de reistijd u� in minuten kunt berekenen door de afstand van 32 km te delen door de snelheid u� (in km/h) en 1920 met 60 te vermenigvuldigen: u� = 32 u� ⋅ 60 = u� . De grafiek van zo’n omgekeerd evenredig verband zie je hiernaast. Voor snelheden dicht bij 0 wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden wordt de reistijd vrijwel 0. Applet: grafiek omgekeerd evenredig verband Twee variabelen u� en u� zijn omgekeerd evenredig als het vermenigvuldigen van u� met een getal u� tot 1 gevolg heeft dat u� met u� wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld: wordt u� twee keer zo groot, dan wordt

PAGINA 26

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


u� een half keer zo groot. Bij een omgekeerd evenredig verband hoort een formule van de vorm u� = Je kunt die formule ook schrijven als u� ⋅ u� = u�. De grafiek van zo’n omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.

u� u�

met u� constant.

Opgave 3 Je rijdt 32 km over de snelweg. a

Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 80 km/h rijdt?

b

Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 40 km/h rijdt? Als het goed is heb je bij a en b ontdekt dat bij een twee keer zo grote snelheid een half keer zo grote reistijd hoort.

c

Laat nu met behulp van de formule in de Uitleg op pagina 26 zien dat dit altijd waar is door de formules bij u� en bij 2u� met elkaar te vergelijken.

d

Teken een grafiek van u� =

e

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna 0 wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

f

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

1920 u� .

Maak eerst een tabel met voor u� de waarden 10, 20, ..., 120.

Opgave 4 In de applet in de Uitleg op pagina 26 zie je de grafiek van het omgekeerd evenredig verband u� = waarin u� een constante is. Je kunt u� aanpassen met een schuifbalkje. Een applet met de grafiek van van het omgekeerd evenredig verband u� =

u� u�

u� u�

met u� constant zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Omgekeerd evenredig > Uitleg In de applet kun je u� aanpassen met een schuifbalkje. a

Neem u� = 1 en bekijk de grafiek. De grafiek gaat door de punten (1, 1), (2, 0,5) en (0,5, 2). Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

b

Welke waarde heeft u� als u� = 100? En als u� = 100000?

c

Bij welke waarde van u� geldt u� = 100? En welke als u� = 100000? Voor verschillende waarden van u� krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen.

d

Bij welke waarde van u� gaat die hyperbool door het punt (2, 3)?

e

Waarom hebben al deze grafieken geen punt met u� = 0?

Opgave 5 Het omgekeerde van een getal u� is het getal dat met u� vermenigvuldigt 1 oplevert. 1 u� .

a

Laat zien dat het omgekeerde van u� gelijk is aan

b

Wat is het omgekeerde van 3? En van

c

Waarom heeft 0 geen omgekeerde?

d

Leg uit waarom ‘omgekeerd evenredig’ hetzelfde betekent als ‘recht evenredig met het omgekeerde’.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

3 7?

PAGINA 27


Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Applet: rechthoek met vaste oppervlakte Als een rechthoekig tafelblad een oppervlakte van 1 m2 heeft, kunnen lengte u� en breedte u� nog variëren. Laat zien dat u� en u� omgekeerd evenredig zijn en stel een passende formule op met u� en u� in cm. Voor de oppervlakte van de rechthoek geldt: u� ⋅ u� = 10000 cm2. 10000 u� . 10000 100 = 100. 10000 200 = 50.

Dit kun je schrijven als: u� = > Bij u� = 100 hoort u� = > Bij u� = 200 hoort u� =

Wordt u� twee keer zo groot, dan wordt u� gehalveerd. En dit kun je gemakkelijk ook voor andere waarden nagaan. Inderdaad zijn u� en u� omgekeerd evenredig.

Opgave 6 Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 28 hoe er duidelijk wordt gemaakt dat lengte u� en breedte u� omgekeerd evenredig zijn. a

Geef zelf nog een ander voorbeeld.

b

Waarom heb je hiermee nog niet echt aangetoond dat dit altijd opgaat?

c

Vergelijk de formules voor u� = u� en u� = 2u�. Kun je nu welk concluderen dat u� en u� omgekeerd evenredig zijn?

d

Teken een grafiek van u� afhankelijk van u�. Maak eerst een tabel met voor u� de waarden 10, 20, ..., 100. Neem aan dat de omtrek van de rechthoek 410 cm is.

e

Leg uit, dat dit betekent dat u� = 205 − u�.

f

Teken in de grafiek die je bij d hebt gemaakt nu ook de grafiek bij de formule van e. Zoek uit welke lengte en breedte de rechthoek heeft die aan beide formules voldoet.

Opgave 7 Bij de productie van bijvoorbeeld verf is er sprake van productiekosten per liter, maar ook van vaste kosten (machine, bedrijfshal, enzovoorts) die niet van het geproduceerde aantal liter verf afhangen. Bij het berekenen van de prijs die de fabrikant per liter verf gaat berekenen moet hij ook met deze vaste kosten rekening houden. Neem aan dat die vaste kosten €32000 bedragen. a

Laat met een voorbeeld zien dat de vaste kosten per liter gerekend (u� in euro/liter) omgekeerd evenredig zijn met het aantal geproduceerde liter u�.

b

Welke formule kun je opstellen voor u� afhankelijk van u�?

c

Vergelijk de formules voor u� = u� en u� = 2u�. Kun je nu welk concluderen dat u� en u� omgekeerd evenredig zijn?

d

Bij welke waarde van u� worden de vaste kosten per liter kleiner dan €0,50?

PAGINA 28

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Verwerken Opgave 8 Bij het rijden in een auto heb je behalve met de brandstofkosten per gereden km ook te maken met vaste jaarlijkse kosten voor onder andere wegenbelasting, verzekering, garagekosten en afschrijving. Wanneer je wilt uitrekenen hoeveel een auto kost per gereden km dan moet je ook met die vaste kosten rekening houden. Mevrouw Jansen schat haar vaste kosten op €3800 per jaar. Als ze dit wil omrekenen naar vaste kosten per km, dan moet ze delen door het aantal km dat ze per jaar rijdt. a

Hoeveel bedragen haar vaste kosten per km als ze 19000 km rijdt in een jaar?

b

Leg uit dat haar vaste kosten per km u� omgekeerd evenredig zijn met het jaarlijks aantal gereden km u�.

c

Stel een formule op voor u� afhankelijk van u� en teken een bijpassende grafiek.

d

Bij welk jaarlijks gereden aantal km zijn haar vaste kosten per km minder dan €0,10?

Opgave 9 Een rechthoek met heeft lengte u� en breedte u� en oppervlakte 𝐴. a

Stel je voor dat u� = 10, maar u� nog kan variëren. Welke formule geldt dan voor 𝐴 afhankelijk van u�? Is 𝐴 recht evenredig of omgekeerd evenredig met u�?

b

Stel je voor dat u� = 200, maar u� en u� kunnen nog variëren. Welke formule geldt dan voor u� afhankelijk van u�? Is u� recht evenredig of omgekeerd evenredig met u�?

c

Stel je voor dat u� = 2 ⋅ u�. Welke formule geldt dan voor 𝐴 afhankelijk van u�? Is er nu sprake van recht of omgekeerd evenredig?

Opgave 10 Een boer wil voor zijn paard een rechthoekig weiland van 1200 m2 afzetten. Hij heeft nog zoveel palen en draad, dat de omheining 182 m lang kan worden. a

De oppervlakte van het weiland wordt 1200 m2. Leg uit, dat de lengte u� en de breedte u� daarom omgekeerd evenredig zijn. Stel een bijpassende formule op.

b

Omdat de omheining 182 m wordt kun je nog een formule van de vorm u� = ... afleiden. Schrijf die formule op.

c

Teken de grafieken bij deze formules in één assenstelsel.

d

Bepaal nu met behulp van de grafiek en inklemmen welke afmetingen het weiland krijgt.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 29


Opgave 11 Je ziet hier twee hyperbolen en twee rechte lijnen. Schrijf bij elk van deze grafieken een passende formule op, gebruik de aangegeven roosterputen. Zet er bij of de variabelen recht evenredig of omgekeerd evenredig zijn, of geen van beide.

Opgave 12 De heer Rabiat rijdt elke werkdag 60 km naar zijn bedrijf. Omdat hij bijna de hele weg op de autosnelweg rijdt, heeft hij vrijwel voortdurend dezelfde snelheid. a

Hoeveel minuten reistijd heeft hij als hij 100 km per uur rijdt?

b

Hoeveel minuten reistijd heeft hij als hij 80 km per uur rijdt?

c

Waarom is de reistijd u� (in minuten) omgekeerd evenredig met de rijsnelheid u� (in km/h)? Stel een bijpassende formule op.

d

Donderdag heeft de heer Rabiat 25 minuten over de terugreis van zijn bedrijf naar huis gedaan. Hoe hard heeft hij gereden?

PAGINA 30

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Toepassen Opgave 13: Hijskraan Bekijk via > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Omgekeerd evenredig > Toepassen de formule voor het gewicht aan een hijskraan afhankelijk van de armlengte. a

Welke ongelijkheid moet er worden opgelost?

b

Los de bijbehorende vergelijking op.

c

Welk antwoord geef je nu op de vraag die wordt gesteld?

d

Om een stapel stenen naar de goede plek te hijsen moet hij 23 m van het steunpunt van de draaiarm kunnen hangen. Hoe zwaar mag die stapel stenen hoogstens zijn?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 31

1.5

Hyperbolische verbanden

Verkennen Opgave 1 Je rijdt met de auto 16 km over de snelweg. Je hebt een constante (gemiddelde) snelheid. Maar je moet onderweg wel even stoppen om te tanken en dat kost 5 minuten. a

Als je 16 km met 120 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten.

b

Als je 16 km met 60 km/uur rijdt, hoe lang doe je daar dan over? Geef je antwoord eerst in uren en dan in minuten. Noem de snelheid in km/uur u� en de reistijd in uren u�.

c

Waarom is hier geen sprake van een omgekeerd evenredig verband?

d

Welke formule geeft het verband tussen u� en u� weer?

Uitleg Op de Afsluitdijk ligt een snelweg van 32 km lengte. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 32 km doet. Je gebruikt onderweg 5 minuten voor het tanken van brandstof. > Je rijdt 120 km/h op de snelweg. Je bent dan 32 /120 ⋅ 60 + 5 = 21 minuten onderweg. > Bij grote drukte rijdt je 60 km/h. Je bent dan 32 /60 ⋅ 60 + 5 = 37 minuten onderweg. Nu betekent verdubbeling van de snelheid NIET een halvering van de reistijd. Snelheid en reistijd zijn NIET omgekeerd evenredig. Je ziet dat je de reistijd u� in minuten kunt berekenen door de afstand van 32 km te delen door de snelheid u� (in km/h), met 60 te vermenigvuldigen en tenslotte nog 5 bij de uitkomst op te tellen: 32 1920 u� = u� ⋅ 60 = u� + 5. Je spreekt van een hyperbolisch verband. Voor snelheden dicht bij 0 wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden komt de reistijd in de buurt van de 5 minuten. Applet: hyperbolisch verband Tussen twee variabelen u� en u� bestaaat een hyperbolisch verband als er een formule van de vorm u� u� = u� + u� met u� en u� constant bij hoort. De grafiek van zo’n hyperbolisch verband is een hyperbool. Er zijn twee lijnen die de grafiek steeds dichter benadert zonder hem ooit te snijden: de u�-as en de lijn u� = u�. Dergelijke lijnen noem je asymptoten. > De u�-as is de verticale asymptoot van de grafiek. > De lijn u� = u� is de horizontale asymptoot van de grafiek.

PAGINA 32

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 2 Je rijdt 32 km over de snelweg en je stopt onderweg 5 minuten om te tanken. a

Hoe lang (in minuten) doe je over deze 32 km als je 80 km/h rijdt?

b

Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 40 km/h rijdt?

c

Leg met behulp van je antwoorden bij a en b uit waarom nu de reistijd u� en de constante snelheid u� niet omgekeerd evenredig zijn.

d

Teken een grafiek van u� =

e

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna 0 wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

f

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

1920 u�

+ 5. Maak eerst een tabel met voor u� de waarden 10, 20, ..., 120.

Opgave 3 In de applet in de Uitleg op pagina 32 zie je de grafiek van het omgekeerd evenredig verband u� = waarin u� en u� constanten zijn. Je kunt deze constanten aanpassen met de schuifbalkjes. Een applet met de grafiek van van het omgekeerd evenredig verband u� = zie je via

u� u�

u� u� +u�

+ u� met u� en u� constant

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hyperbolische verbanden > Uitleg Je kunt deze constanten aanpassen met de schuifbalkjes. a

Neem u� = 1 en u� = 2 en bekijk de grafiek. De grafiek gaat door de punten (1, 3), (2, 2,5) en (0,5, 4). Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

b

Welke waarde heeft u� als u� = 100? En als u� = 100000?

c

Welke waarde heeft u� als u� = 0,01? En welke als u� = 0,00001? Voor verschillende waarden van u� en u� krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen. Neem u� = 2.

d

Bij welke waarde van u� gaat die hyperbool door het punt (2, 3)?

e

Waarom hebben al deze grafieken geen punt met u� = 0? Geldt dit ook voor andere waarden van u�? Neem nu u� = 1.

f

Wat gebeurt er met de grafiek als u� verandert?

Opgave 4 Je kunt zowel bij lineaire als hyperbolische verbanden ook heel goed werken met negatieve getallen. In de applet van het Practicum tref je grafieken aan bij deze verbanden. Door de schuifbalkjes te gebruiken kun je de grafieken aanpassen. Bekijk eerst de grafiek bij de formule van de vorm u� = u� ⋅ u� + u�. a

Kies zelf waarden voor u� en u� en voorspel hoe de grafiek er uit komt te zien voordat je die waarden instelt in de applet. (Maak bijvoorbeeld een schets.) Controleer vervolgens je antwoord.

b

Van welk soort verband is hier sprake? Wat gebeurt er met de grafiek als je de constante u� verandert? En als je de constante u� verandert? Bekijk nu de grafiek bij de formule van de vorm u� =

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

u� u�

+ u�.

PAGINA 33


c

Stel eerst in u� = 1 en u� = 2. Reken na dat de punten (1, 3), (−1, 1), (4, 2,25), (−4, 1,75), (0,25, 6) en (−0,25, −2) op de grafiek liggen.

d

Hoe komt het dat de grafiek uit twee losse delen bestaat? Welke asymptoten zijn er?

e

Kies zelf waarden voor u� en u� en voorspel hoe de grafiek er uit komt te zien voordat je die waarden instelt in de applet. (Maak bijvoorbeeld een schets.) Controleer vervolgens je antwoord.

f

Van welk soort verband is hier sprake? Wat gebeurt er met de grafiek als je de constante u� verandert? En als je de constante u� verandert?

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Voor het laten drukken van folders betaal je een vast bedrag van €10,00 en daar bovenop €0,04 per folder. De kosten per folder zijn daarom hoog als je maar weinig laat drukken. Noem het aantal folders dat je wilt laten drukken u� en de kosten per folder u�. Maak een bijpassende formule van u� afhankelijk van u� en teken de grafiek. Voor welke waarde van u� bedragen de kosten per folder 6 cent? Per folder betaal je in ieder geval €0,04. Verder betaal je per folder 10 u� euro. 10

In totaal dus u� = 0,04 + u� euro per folder. Om een goede bijpassende grafiek te maken moet je bedenken dat je veel folders wilt laten maken om de kosten per folder laag te houden. Misschien wel zo’n 1000 stuks. u� komt op de horizontale as en laat je daarom bijvoorbeeld lopen vanaf 0 tot en met 1000. Voor 1000 folders betaal je €0,05 per stuk, maar voor 100 folders betaal je €14 per stuk. Je kunt zelf wel een goede tabel en grafiek maken... 10 Je moet vervolgens oplossen 0,04+ u� = 0,06. Dat kun je doen met behulp van de grafiek en inklemmen, maar je kunt ook ‘slim rekenen’.

Opgave 5 Bekijk welk probleem er in Voorbeeld 1 op pagina 34 aan de orde wordt gesteld. Kijk nog niet meteen naar het antwoord. a

Probeer eerst zelf een passende formule te vinden.

b

Gebruik de formule uit het voorbeeld. Van welk soort verband is er sprake?

c

Maak zelf een tabel (in drie decimalen nauwkeurig) en een grafiek bij deze formule.

d

Je wilt weten bij welk aantal folders u� geldt u� < 0,06. Welke waarde voor u� levert precies 0,06 op? En wat wordt dus je antwoord? In het voorbeeld staat dat je dit ook kunt vinden door slim te rekenen.

e

Leg uit hoe je dan de vergelijking 0,04 +

10 u�

= 0,06 oplost.

Opgave 6 Bij de productie van bijvoorbeeld verf is er sprake van productiekosten per liter, maar ook van vaste kosten (machine, bedrijfshal, enzovoorts) die niet van het geproduceerde aantal liter verf afhangen. Bij het berekenen van de prijs die de fabrikant per liter verf gaat berekenen moet hij ook met deze vaste kosten rekening houden. Neem aan dat die vaste kosten €32000 bedragen. De productiekosten per liter bedragen €5,60.

PAGINA 34

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


a

Stel een formule op voor de totale kosten per liter (𝐾 in euro/liter) afhankelijk van het aantal geproduceerde liter u�.

b

Bereken hiermee de totale kosten per liter bij een productie van 10000 liter van deze verf.

c

Bij welke waarde van u� worden de vaste kosten per liter kleiner dan €6,00?

Voorbeeld 2 Voor het laten drukken van folders betaal je een vast bedrag van €10,00 en daar bovenop €0,04 per folder. De kosten per folder zijn daarom hoog als je maar weinig laat drukken. Noem je het aantal folders dat je wilt laten drukken u� en de kosten per folder u�, dan geldt: 10 u� = 0,04 + u� Bereken voor welke waarde van u� de kosten per folder 6 cent bedragen. Je moet oplossen 0,04 +

10 u�

= 0,06. Dat kun je systematisch zo doen.

= = = Dus bij 500 folders bedragen de kosten €0,06 per stuk.

Opgave 7 Je rijdt 32 km met een vrijwel constante snelheid over de snelweg en je stopt onderweg 5 minuten om 1920 te tanken. Voor je reistijd u� in minuten geldt dan u� = u� + 5, waarin u� de snelheid in km/h is. a

Je reistijd is 25 minuten. Met welke vergelijking kun je nu je snelheid berekenen?

b

Los deze vergelijking systematisch op.

c

Met welke snelheden moet je rijden als je niet langer dan 25 minuten over deze rit wilt doen?

Opgave 8 Los de volgende vergelijkingen op:

b

600 u� 180 u�

c

4+

a

d

+ 10 = 22 = 4,5

4400 u�−20 = 15 2u�−50 1500 − 0,4 = 0,1

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 35


Opgave 9 Je wilt systematisch de ongelijkheid

960 u�

+ 5 < 17 oplossen. 960 u�

a

Maak eerst een schets van de grafiek van u� = vinden waarvoor u� = 17.

b

Bereken de waarde van u� waarvoor

c

Lees uit je schets de oplossing van de ongelijkheid af.

960 u�

+ 5 en geef daarin aan hoe je de waarde van u� kunt

+ 5 = 17

Opgave 10 Je wilt systematisch de ongelijkheid

960 u�

+ 5 < 0 oplossen. 960

a

Maak eerst een schets van de grafiek van u� = u� + 5 en geef daarin aan hoe je de waarde van u� kunt vinden waarvoor u� = 0. Houdt hierbij ook rekening met negatieve waarden van u�.

b

Bereken de waarde van u� waarvoor

c

Lees uit je schets de oplossing van de ongelijkheid af.

960 u�

+5=0

Verwerken Opgave 11 Op veel scholen kun je ook als leerling kopieën maken. De kosten voor de school zijn: > de huur en het onderhoud van de kopieermachine: €150,00; > de kosten per kopie: €0,02; Noem de maandelijkse kosten per kopie 𝐾 en het aantal kopieën u�. a

Welke formule geldt voor 𝐾 afhankelijk van u�?

b

Waarom zijn 𝐾 en u� niet omgekeerd evenredig?

c

Teken een grafiek bij deze formule.

d

Stel dat je als leerling €0,05 per kopie betaalt. Hoeveel kopieën moeten er dan maandelijks minstens worden gemaakt als de school er niet bij in wil schieten? Los de bijbehorende ongelijkheid systematisch op.

Opgave 12 Los de volgende vergelijkingen op: a

2400 u�

b

200 +

c

u�−15 300 − 0,5 800 u�−5 = 50

d

+ 3,6 = 6,8 50 u�

= 450 = 0,8

Opgave 13 Je ziet hier grafieken bij de formules 4

> u�1 = u� > u�2 = 6 − 0,5u� 3

> u�3 = u� + 1 > u�4 = 0,2u� + 4

PAGINA 36

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Welke formule hoort bij welke grafiek?

Opgave 14 Je wilt de vergelijking grafisch oplossen.

4 u�

+ 2 = u� + 1 oplossen. Een vergelijking zoals deze kun je op dit moment alleen 4 u�

a

Teken de grafieken van u�1 = waarden van u�.

+ 2 en u�2 = u� + 1 in één figuur. Houd ook rekening met negatieve

b

Aan de grafieken zie je dat er twee snijpunten zijn. Bereken de coördinaten van die snijpunten door inklemmen in één decimaal nauwkeurig.

c

Schrijf de oplossingen van deze vergelijking op in één decimaal nauwkeurig.

d

Schrijf de oplossingen van deze ongelijkheid

4 u�

+ 2 > u� + 1 op in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 15 Los de volgende vergelijkingen op: 4 u�

a

2−

b

80 2−0,5u� 5 + 25 u�2

c

=8 = 10 =6

Opgave 16 Bij een hyperbolisch verband tussen u� en u� hoort een formule van de vorm u� = u� constanten.

u� u�

+ u�. Hierin zijn u� en

a

Bereken de waarde van u� die hoort bij u� = 10 als de grafiek bij dit hyperbolische verband als horizontale asymptoot u� = 5 heeft en door het punt (2, 7) gaat.

b

Bereken de waarde van u� die hoort bij u� = 10 als de grafiek bij dit hyperbolische verband door de punten (2, 9) en (4, 8) gaat.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 37


Toepassen Opgave 17: Kilometervergoeding Bekijk via > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hyperbolische verbanden > Toepassen schattingen van de diverse kosten die je maakt als je in een eigen auto wilt rijden. Ga in deze opgave uit van die gegevens. In deze opgave ga je op zoek naar een formule voor de kosten per jaarlijks gereden kilometer. Je vergelijkt een auto op benzine met een auto op diesel. De kosten per km noem je u� en het jaarlijkse aantal gereden km noem je u�. Ga eerst uit van een auto die op benzine rijdt. a

Stel op grond van de schattingen een formule op voor u� afhankelijk van u�.

b

Vanaf hoeveel gereden km per jaar is de kilometervergoeding kostendekkend? Ga nu uit van een auto die op diesel rijdt.

c

Stel op grond van de schattingen een formule op voor u� afhankelijk van u�.

d

Vanaf hoeveel gereden km per jaar is de kilometervergoeding kostendekkend?

Opgave 18: Recht evenredig en omgekeerd evenredig met een kwadraat Je hebt tot nu toe de begrippen ‘recht evenredig’ en ‘omgekeerd evenredig’ geleerd. Onthoud deze begrippen goed, ze komen regelmatig voor in toepassingen van de wiskunde. Een variabele kan echter ook wel recht evenredig zijn met het kwadraat van een andere variabele. Of omgekeerd evenredig met een kwadraat... Wanneer u� recht evenredig is met het kwadraat van u�, dan hoort daarbij een formule van de vorm u� = u� ⋅ u�2 . Hierin is u� een constante. a

Neem eerst u� = 1. Maak een tabel voor gehele waarden van u� vanaf −3 tot en met 3 en teken een bijpassende grafiek.

b

Je kunt deze grafiek ook maken in GeoGebra door op de invoerbalk de formule in te voeren. Doe dat en ga na of je grafiek overeen komt met de grafiek die je bij a hebt getekend.

c

Onderzoek nu met behulp van GeoGebra of de grafiek bij andere waarden van u� dezelfde vorm heeft. Probeer te beschrijven hoe de grafiek verandert afhankelijk van de gekozen waarde voor u�. Wanneer u� omgekeerd evenredig is met het kwadraat van u�, dan hoort daarbij een formule van de u� vormu� = u�2 . Hierin is u� een constante.

d

Neem eerst u� = 1. Maak een tabel zoals deze en teken een bijpassende grafiek. u�

−4

−2

−1

−0,5 −0,25 0

0,25

0,5

1

2

4

u� e

Je kunt deze grafiek ook maken in GeoGebra door op de invoerbalk de formule in te voeren. Doe dat en ga na of je grafiek overeen komt met de grafiek die je bij d hebt getekend.

f

Onderzoek nu met behulp van GeoGebra of de grafiek bij andere waarden van u� dezelfde vorm heeft. Probeer te beschrijven hoe de grafiek verandert afhankelijk van de gekozen waarde voor u�.

PAGINA 38

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.6

Totaalbeeld

Samenvatten Vaak is het zo dat als je van iets twee keer zoveel hebt, dat dit dan ook twee keer zoveel waard is (of heeft gekost). Je zegt dan dat hoeveelheid en waarde (kosten) recht evenredig zijn. Maar het komt ook wel voor dat er bijkomende vaste kosten zijn zoals een telefoonabonnement, een abonnement op gas, water en elektra, en dergelijke. Dan zijn hoeveelheid en kosten niet meer recht evenredig. En dan kun je behalve naar de totale waarde (kosten) ook nog kijken naar de waarde (kosten) per eenheid, per stuk. Dan moet er worden gedeeld en krijg je formules met breuken er in. Over deze zaken gaat dit onderwerp. De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Lineair en hyperbolisch’ te krijgen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4 en 5 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken. De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen. Je hebt geleerd > formules en grafieken bij recht evenredige verbanden maken en gebruiken ( Uitleg op pagina 6); > formules en grafieken bij lineaire verbanden maken en gebruiken ( Uitleg op pagina 12); > vergelijkingen en ongelijkheden bij lineaire verbanden oplossen ( Uitleg op pagina 20); > formules en grafieken bij omgekeerd evenredige verbanden maken en gebruiken ( Uitleg op pagina 26); > formules en grafieken bij hyperbolische verbanden maken en gebruiken ( Uitleg op pagina 32); Voorkennis > > > > >

rekenen met decimale (ook negatieve) getallen (Rekenen en Negatieve getallen); werken met breuken (Breuken); werken met tabellen en grafieken (Grafieken); werken met formules bij verbanden (Verbanden). vergelijkingen systematisch oplossen (Vergelijkingen).

Opgave 1 Hiernaast zie je twee rechte lijnen in een assenstelsel. Het zijn grafieken van u� afhankelijk van u�. a

Bij welk van beide grafieken is sprake van een recht evenredig verband tussen u� en u�? En waarom?

b

Bij de in a bedoelde grafiek hoort een formule van de vorm u� = u� ⋅ u�. Welke waarde heeft de evenredigheidsconstante u�?

c

Als de waarde van u� tien keer zo groot wordt, hoeveel keer zo groot wordt de waarde van u� dan? Toon dit aan door de waarden van u� bij u� en bij 10u� met elkaar te vergelijken.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 39


Opgave 2 In de vorige opgave zie je twee rechte lijnen in een assenstelsel. Het zijn grafieken van u� afhankelijk van u�. Bij beide grafieken is sprake van een lineair verband tussen u� en u�. a

Waarom?

b

Bepaal de richtingscoëfficiënt (het hellingsgetal) van grafiek II. Stel een formule op bij deze grafiek.

c

Ga met behulp van een berekening na of het punt (41, −16) op grafiek II ligt.

Opgave 3 Gebruik weer de grafieken uit opgave 1 op pagina 39. a

Met welke vergelijking kun je de u�-waarde van het snijpunt van beide grafieken berekenen?

b

Los de in a bedoelde vergelijking op.

c

Bereken de coördinaten van het snijpunt van beide grafieken.

d

Oefen het oplossen van lineaire vergelijkingen in het Practicum.

Opgave 4 Als je alle waarden van u� wilt bepalen waarvoor 1,5u� < 4,5−0,5u�, dan los je een ongelijkheid op. Daarbij gebruik je de grafieken van u�1 = 1,5u� en u�2 = 4,5 − 1,5u�. Die vind je bij opgave 1 op pagina 39. a

Waarom moet je eerst de vergelijking 1,5u� = 4,5 − 0,5u� oplossen?

b

Los de ongelijkheid op.

Opgave 5 Hier zie je een deel van de grafiek bij de formule u� =

8 u� .

a

Waarom is hier sprake van een omgekeerd evenredig verband?

b

Welk punt op de grafiek heeft u�-waarde 16?

c


d

Wat gebeurt er met de grafiek als u� steeds groter wordt?

e

Wat gebeurt er met de grafiek als u� steeds dichter bij 0 komt?

f

Je kunt in deze formule ook negatieve waarden voor u� invullen. De grafiek is daarom niet compleet. Hoe ziet de complete grafiek er uit?

Opgave 6 Gegeven is de formule u� =

8 u�

+ 2.

a

Teken een grafiek bij deze formule. Welk soort verband beschrijft deze formule?

b


c


d

Wat gebeurt er met de grafiek als u� steeds groter wordt?

e

Wat gebeurt er met de grafiek als u� steeds dichter bij 0 komt?

PAGINA 40

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


8 u�

f

Bekijk de vergelijking

+ 2 = 5. Laat duidelijk zien hoe je deze vergelijking oplost.

g

Welke oplossing heeft de ongelijkheid

8 u�

+ 2 > 5.

Testen De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 5 van het onderwerp ‘Lineair en hyperbolisch’ voldoende beheerst.

Opgave 7 Maandag regent het vanaf 8:00 uur voortdurend. Het water in de regenmeter (een cilindervormige buis) stijgt elke 10 minuten gelijkmatig met 6 mm. Om 8:00 uur was de regenmeter leeg. De waterhoogte wordt aangegeven door ℎ (in mm) en de tijd door u� (in minuten). a

Waarom is ℎ recht evenredig met u�?

b

Welke formule geeft het verband tussen ℎ en u�?

c

Teken een grafiek van ℎ afhankelijk van u�.

d

Welk hellingsgetal heeft deze grafiek?

e

Na hoeveel minuten regenen is de waterhoogte 20 mm?

Opgave 8 ’s Maandagsavonds wordt de regenmeter van opgave 7 op pagina 41 geleegd. Het regent ’s nachts nog wel een beetje. Om 8:00 uur de volgende dag staat er 21 mm water in de meter. Dan regent het zo hard dat er elke 10 minuten 5,5 mm water bijkomt. De waterhoogte wordt ook nu aangegeven door ℎ (in mm) en de tijd door u� (in minuten). a

Welke formule geeft het verband tussen ℎ en u�?

b

Teken een grafiek van ℎ afhankelijk van u�.

c

Waarom is nu ℎ niet recht evenredig met u�?

d

Welk hellingsgetal heeft deze grafiek?

e

Hoe kun je aan de grafiek zien dat het dinsdag minder hard regent dan het maandag deed?

f

Hoe lang na 8:00 uur blijft de waterhoogte in de regenmeter onder de 50 mm? Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

Opgave 9 Los de volgende vergelijkingen systematisch op. a

60 + 4 ⋅ u� = 150 − 2 ⋅ u�

b

150 − 2,5 ⋅ u� = −300

c

5(u� − 6) = 36 − (4 − u�)

d

2 3 u� − 4

=

2u�−5 6

Opgave 10 Los de ongelijkheid 6 − 2u� < 0,5u� − 1 systematisch op.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 41


Opgave 11 Een school huurt voor €2500 per jaar een kopieermachine voor de leerlingen. Om de kosten te dekken moeten de leerlingen een bepaald bedrag per kopie betalen. a

Hoeveel moet de leerlingen per kopie betalen als er 5000 kopieën per jaar worden gemaakt? En als er 25000 kopieën per jaar worden gemaakt?

b

Leg uit waarom het bedrag per kopie omgekeerd evenredig is met het aantal kopieën. De school heeft uitgerekend dat elke kopie aan papier en inkt €0,05 kost. Dat komt bij het bedrag dat de leerlingen per kopie moeten betalen. u� is het aantal kopieën per jaar.

c

Stel een formule op voor het bedrag 𝐵 dat een leerling per kopie moet betalen afhankelijk van u�.

d

Van welk soort verband is er nu sprake? Teken er een bijpassende grafiek bij.

e

Hoeveel kopieën per jaar moeten er worden gemaakt om met een prijs voor de leerlingen van €0,20 per kopie uit de kosten te komen?

Opgave 12 Los de volgende vergelijkingen op: 4 u� 4 u�

a

15 +

b

15 +

c

200 4+2u� = 50 32 + 10 = 12 u�2

d

= 25 =

6 u�

Opgave 13 Stel bij de volgende verbanden een passende formule op. a

Een lineair verband tussen u� en u� waarvan de grafiek gaat door 𝐴(20, 16) en 𝐵(25, 6).

b

Een hyperbolisch verband tussen u� en u� waarvan de grafiek gaat door 𝐴(20, 16) en de lijn u� = 10 als horizontale asymptoot heeft.

c

Een hyperbolisch verband tussen u� en u� waarvan de grafiek gaat door 𝐴(20, 16) en 𝐵(25, 6).

Toepassen Opgave 14: Grootverbruiktarief Als je meer dan 600 m3 gas per jaar verstookt, ben je een grootverbruiker. Dat geldt bijvoorbeeld voor de glastuinbouw. Om zijn kassen warm te houden verstookt een tuinder nogal wat gas. Om dit betaalbaar te houden heeft het gasbedrijf een grootverbruiktarief. In de grafiek zie je wat gegevens (in €). a

Waarom vertoont de grafiek een knik?

b

Hoeveel bedragen de vaste kosten per jaar en de prijs per m3 voor een kleinverbruiker? Schrijf je berekening op.

c

Beantwoord dezelfde vraag voor een grootverbruiker.

d

Als u� het aantal verbruikte m3 gas is en 𝐾 zijn de jaarlijkse kosten (in €) bij grootverbruik, welke formule kun je dan opstellen voor 𝐾?

PAGINA 42

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


e

Bij welk grootverbruik komen de jaarlijkse kosten boven de €200?

Opgave 15: Schaal van Richter De kracht van een aardbeving wordt gemeten op de schaal van Richter. Een kracht van 6 op de schaal van Richter is al een behoorlijke aardschok. Maar die kracht neemt snel af als je verder van het centrum van de aardbeving af bent. Stel dat voor de kracht u� van een bepaalde aardbeving geldt: 100 u� = 1 + u�2 +20 Hierin is u� de afstand in km vanaf het centrum van de beving. a

Hoeveel bedraagt de kracht van deze aardbeving in het centrum? Rond af op één decimaal nauwkeurig.

b

Hoeveel bedraagt de kracht van deze aardbeving op 5 km van het centrum?

c

Bij welk getal op de schaal van Richter is er geen sprake van een aardbeving? Leg uit hoe je aan dit antwoord komt.

d

Teken een grafiek van u� afhankelijk van u�. Neem voor u� getallen van 0 tot en met 0.

e

Als u� < 1,1 is de aardbeving niet voelbaar. Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel km je daarvoor van het centrum af moet zitten.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 43

Wiskunde voor 2 vwo. Deel 2. Versie Samensteller

Recommend Documents