Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I havovwo.nl

Meer neerslag De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een indruk te krijgen van die jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in tabel 1 gegevens van vijf meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven. Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998

tabel 1

gemiddelde (mm) standaardafwijking (mm)

De Bilt 783 139

Gemert Volkel 711 123

Leeuwarden 753 106

Hoofddorp 768 127

Winterswijk 768 136

We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal verdeeld is. We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.

4p

1

3p

2

Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen. Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt, het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen. Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt. Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op bepaalde hoeveelheden neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland neemt langzaam toe. In figuur 1 is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations met een blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan worden gebruikt om een schatting te maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.

figuur 1

1100 neerslag (mm) 1000

900

800

700

600

500

400

0 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 jaartal Legenda: trendlijn gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations

www.havovwo.nl

-1-


3

5p

4

4p

We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900. Stel een formule op voor N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm. Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw ‘natter’ is geworden. We kunnen kijken naar de 5 ‘natste’ jaren. Deze zijn in figuur 1 af te lezen, namelijk 1961, 1965, 1966, 1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 ‘natste’ jaren allemaal na 1951 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998. Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend jaren uit de tweede helft van de periode kiest, is klein. Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig. Een andere maat voor de ‘natheid’ van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn 30, 40, 50, …, 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is tabel 2 gemaakt. Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaardenoverschrijding

tabel 2

grenswaarde neerslag (mm) gemiddeld aantal maanden per jaar

>30

>40

>50

>60

>70

>80

>90

>100

>110

>120

>130

10,2

9,2

7,9

6,5

5,4

3,8

2,7

1,9

1,4

1,1

0,6

Uit tabel 2 lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan 60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg. Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaarden vaker worden overschreden dan de overeenkomstige waarde in tabel 2. De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in tabel 3. Maandelijkse hoeveelheid neerslag in De Bilt in 2001

tabel 3

maand neerslag (mm) 4p

5

jan 71

feb 89

mrt 74

apr 87

mei 29

juni 54

Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.

www.havovwo.nl

-2-

juli 87

aug 116

sep 211

okt 41

nov 85

dec 94


Leugendetector In het tijdschrift Nature stond enige tijd geleden een artikel waarin de werking van een leugendetector werd uitgelegd. Iemand die liegt, krijgt een nauwelijks waarneembaar ‘blosje’ in het gezicht. De leugendetector probeert dit blosje waar te nemen. Volgens het artikel is de leugendetector een belangrijk hulpmiddel om na te gaan of iemand liegt. Met de leugendetector zijn veel experimenten uitgevoerd. Daaruit is gebleken dat de leugendetector niet altijd foutloos werkt. Zo wordt in slechts 75% van de gevallen een leugenaar daadwerkelijk als leugenaar herkend. We nemen aan dat voor iedere leugenaar geldt dat de kans dat deze correct als leugenaar herkend wordt, gelijk is aan 0,75. 4p

6

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de leugendetector bij 200 leugenaars 40 of meer fouten maakt. Ook bij eerlijke mensen (mensen die niet liegen) werkt de leugendetector niet altijd foutloos. Gemiddeld blijkt de leugendetector 1 van de 12 eerlijke mensen toch als leugenaar te bestempelen. We bekijken een groep van 100 personen, bestaande uit 40 leugenaars en 60 eerlijke mensen. Je kunt narekenen dat de leugendetector naar verwachting bij 85 personen uit deze groep de juiste conclusie zal trekken. Men spreekt in dit geval van een betrouwbaarheid van 85% voor deze groep.

3p

4p

7

De betrouwbaarheid hangt af van de samenstelling van de groep. Wanneer we een groep van 100 personen nemen met daarin 16 leugenaars, krijgen we een andere waarde voor de betrouwbaarheid. Bereken hoe groot de betrouwbaarheid dan is.

8

Naarmate er in verhouding minder leugenaars in een groep zitten, zal de betrouwbaarheid van de leugendetector toenemen. In een groep van 100 personen is de betrouwbaarheid van de leugendetector 87%. Bereken het aantal leugenaars in deze groep. De leugendetector kan ook worden ingezet bij grootscheepse controles, zoals op vliegvelden. Daar moeten alle passagiers antwoord geven op de vraag of ze iets hebben aan te geven. Niet iedereen antwoordt naar waarheid.

6p

9

Van alle passagiers in een bepaalde regio antwoordt 0,4% niet naar waarheid, zodat de betrouwbaarheid van deze leugendetector in die regio 91,6% is. De autoriteiten van een vliegveld in de regio overwegen deze leugendetector te gaan gebruiken, maar vinden de betrouwbaarheid van 91,6% nog te laag. Iemand beweert een nieuwe versie te kunnen leveren, die beter werkt. Daarmee bedoelt hij dat de kans op een juiste beslissing bij zijn leugendetector hoger is dan 0,916. Men besluit dit apparaat in deze regio te gaan testen. Bij de test geeft het apparaat in 834 van de 900 gevallen een juiste beslissing. Ga na of dit resultaat bij een significantieniveau van 5% voldoende aanleiding geeft om de conclusie te trekken dat deze nieuwe versie van de leugendetector beter werkt.

www.havovwo.nl

-3-


Pareto-krommen In een fabriek worden printplaatjes voor mobiele telefoons geproduceerd. Alle printplaatjes worden gecontroleerd voordat ze de fabriek verlaten. Afgekeurde printplaatjes worden vernietigd. Bij de controle is een maand lang genoteerd wat de oorzaak is van het afkeuren, zie tabel 4. We gaan ervan uit dat andere maanden hetzelfde beeld vertonen. In principe zijn al deze oorzaken te verhelpen door verbeteringen in het productieproces. Dat brengt wel de nodige kosten met zich mee. In tabel 4 is bij elke oorzaak aangegeven wat de maandelijkse kosten zijn om deze oorzaak te verhelpen. tabel 4

Onderzoek van afgekeurde printplaatjes gedurende de maand mei oorzaak

aantal afgekeurde printplaatjes

losse soldeerverbinding kortsluiting barst in plaat verbogen aansluitpunten gaten te wijd plaat krom printpatroon verschoven condensator verkeerd om plaat te breed corrosie totaal

852 511 295 141 117 61 38 25 13 3 2056

kosten in euro per maand om oorzaak te verhelpen 2200 3600 300 1500 900 500 4400 60 500 1800 15 760

Door 15 760 euro per maand te investeren zou men alle 2056 afkeuringen kunnen voorkomen. Wanneer men slechts een deel van dit bedrag wil investeren, is het verstandig te beginnen met de oorzaak waarbij de vermindering van het aantal afkeuringen per geïnvesteerde euro het grootst is, vervolgens de oorzaak waarbij de vermindering van het aantal afkeuringen per geïnvesteerde euro het op één na grootst is, enzovoorts. In figuur 2 zijn de oorzaken op deze wijze geordend. Langs de horizontale as staan de cumulatieve kosten per maand om de oorzaken te verhelpen, langs de verticale as staat de cumulatieve vermindering van het aantal afkeuringen. Een dergelijke kromme heet een Pareto-kromme. 2500

figuur 2

aantal printplaatjes 2000

verbogen aansluitpunten

plaat te breed

gaten te wijd

plaat krom

500

printpatroon verschoven

kortsluiting

1500

1000

corrosie

losse soldeerverbinding

condensator verkeerd om

barst in plaat

0 0

5000

10000

15000

20000 kosten per maand

Toon aan dat de volgorde van de oorzaken ‘kortsluiting’ en ‘gaten te wijd’ in figuur 2 in overeenstemming is met de gegevens in tabel 4.

5p

10

www.havovwo.nl

-4-

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I havovwo.nl Om Pareto-krommen bij verschillende productieprocessen te kunnen vergelijken, noteren we de kosten op de horizontale as als percentage van de totale kosten om álle afkeuringsoorzaken te verhelpen. En de aantallen afkeuringen op de verticale as noteren we als percentage van het totale aantal afkeuringen. In figuur 3 zijn enkele van zulke krommen getekend. Deze figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage. figuur 3

cumulatief percentage afkeuringen

100

II 80

I

60

40

20

0

0

20

40 60 80 100 cumulatief percentage kosten

Kromme I gaat door het punt (20, 80). Dat betekent dat met 20% van de totale benodigde kosten 80% van de afkeuringen te voorkomen is. Deze kromme heet een (20, 80)-kromme. Kromme II is een (10, 90)-kromme. Elke Pareto-kromme is op deze wijze aan te duiden als (a, b)-kromme met a + b = 100. 4p

4p

11

Schets in de figuur op de uitwerkbijlage een (40, 60)-kromme.

12

In figuur 2 zijn geen percentages gebruikt. Toch kunnen we ook de grafiek in figuur 2 als (a, b)-kromme aanduiden, met a + b = 100. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. Welke aanduiding hoort bij de Pareto-kromme in figuur 2? Licht je antwoord toe. Bij de volgende vraag kijken we niet meer naar percentages, maar naar kosten in euro. Bij een bepaald productieproces heeft men voor de bijbehorende Pareto-kromme het volgende wiskundige model gemaakt: B = 2500 · K

0,2

Hierbij stelt K de cumulatieve kosten in euro voor om de verschillende afkeuringsoorzaken te verhelpen, en B de cumulatieve besparing in euro door de bijbehorende vermindering van het aantal afkeuringen.

5p

13

Met dit model is te berekenen dat een investering van bijvoorbeeld 600 euro in het verhelpen van mankementen een besparing oplevert van bijna 9000 euro. Maar als er 800 euro wordt geïnvesteerd, is de besparing ruim 9500 euro. De keuze K = 800 is dus voor het bedrijf gunstiger dan de keuze K = 600. De extra besparing van 500 euro is namelijk groter dan de extra investering van 200 euro. Het is dus heel verstandig om die extra investering te doen. Een verhoging van de investering van bijvoorbeeld 3000 naar 3300 euro levert echter een extra besparing op van minder dan 300 euro. Het is dan dus niet meer verstandig die extra investering te doen. De beste keuze van K in dit verband is daar waar het verschil tussen de besparing en de investering het grootst is. Deze waarde van K kan worden gevonden met behulp van het opstellen van de afgeleide van B – K. Stel deze afgeleide op en bereken daarmee welke keuze van K de beste is.

Dit was de laatste vraag van het deel waarbij de computer niet gebruikt wordt.

www.havovwo.nl

-5-


Uitwerkbijlage vraag 11

Vraag 11 100 cumulatief percentage afkeuringen

II I

80

60

40

20

0

www.havovwo.nl

0

20

40

-6-

60

80 100 cumulatief percentage kosten


Uitwerkbijlage bij varag 12 Vraag 12 2500 aantal printplaatjes 2000

verbogen aansluitpunten

plaat te breed

gaten te wijd

plaat krom

500

printpatroon verschoven

kortsluiting

1500

1000

corrosie

losse soldeerverbinding

condensator verkeerd om

barst in plaat

0 0

www.havovwo.nl

5000

10000

-7-

15000

20000 kosten per maand


Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij de jaarlijkse vangst precies gelijk is aan de jaarlijkse groei van de populatie. Om te weten hoeveel er dan jaarlijks gevangen kan worden, moet men dus weten hoe groot de jaarlijkse groei is. Die groei hangt af van de grootte van de populatie. Om hier inzicht in te krijgen is het handig over een geschikt wiskundig model te beschikken. In deze opgave bekijken we enkele mogelijke groeimodellen. Bij een aantal groeimodellen bekijken we wat er gebeurt wanneer elk jaar een hoeveelheid V gevangen wordt. We gaan er daarbij van uit dat in elk jaar de populatie eerst groeit en dat daarna de vangst plaatsvindt.

4p

14

Exponentiële groei Zalmen leggen heel veel eitjes. Ook al brengt maar een klein deel van de eitjes een nieuwe volwassen zalm voort, toch kan onder gunstige omstandigheden een populatie met een factor 5 per jaar groeien. Als we aannemen dat die groeifactor steeds gelijk blijft, kunnen we een model van exponentiële groei gebruiken. Maar zo’n model is slechts beperkt bruikbaar, zoals blijkt uit het volgende: Alle oceanen samen bevatten ongeveer 1,3 u 10 18 m3 water. Een gemiddelde Atlantische zalm heeft een volume van 0,025 m3 . Ga uit van een beginpopulatie van 1000 Atlantische zalmen, met een jaarlijkse groeifactor 5. Bereken na hoeveel jaar het totale volume van de Atlantische zalmen even groot zou zijn als dat van alle oceanen samen. Vangst bij exponentiële groei Bij exponentiële groei geldt: hoe groter de populatie, hoe groter de toename, en hoe meer er dus gevangen kan worden. Hierna bezien we wat er gebeurt als men elk jaar evenveel vangt.

Open blad Zalm-1 van het bestand ZALM.XLS. In blad Zalm-1 van dit bestand kun je met de schuifbalken de beginpopulatie P(0), de jaarlijkse groeifactor g en de jaarlijkse vangst V instellen. Bij het openen van het bestand staat bij t = 0 de beginpopulatie P(0) = 500 in cel D14. Verder is ingevuld: g = 2,5 en V = 400. Naast P(0) = 500 staat de populatieomvang nadat de groei heeft plaatsgevonden. Daar gaat de vangst V van af. Wat dan overblijft wordt de beginpopulatie in het volgende jaar (zie cel G14).

3p

15

In cel F14 staat de formule “=J9”. Schrijf de Excel-formules op die in de cellen E14 en G14 kunnen staan. Als je P(0) = 500, g = 4 en V = 1500 instelt, dan is er evenwicht: elk jaar is de groei precies even groot als de daaropvolgende vangst. Ook bij elke andere waarde van g en van P(0) hoort een waarde van V waarbij zo’n evenwichtssituatie bestaat. Als je ieder jaar evenveel vangt als de jaarlijkse groei, dan is er een evenwichtssituatie.

3p

16

Geef een formule waarmee je bij elke P(0) en elke g kunt uitrekenen hoe groot V is om te zorgen voor een evenwichtssituatie. In de figuur op blad Zalm-1 zie je de grafiek van de getallen in kolom D uitgezet tegen de tijd t. Stel dat de overheid vaststelt hoeveel er jaarlijks gevangen mag worden. Dit hoeft natuurlijk niet precies gelijk te zijn aan de populatiegroei, die in de praktijk immers niet precies bekend is. Hierbij blijken kleine verschillen grote gevolgen te hebben. Dat is duidelijk te zien in de tabel en in de figuur. Laat met getallenvoorbeelden zien dat als V ook maar iets te klein of iets te groot is, er absoluut geen sprake meer is van evenwicht. Beschrijf wat hierbij in de grafiek te zien is.

4p

17

www.havovwo.nl

-8-

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I havovwo.nl Logistische groei Bij exponentiële groei gingen we uit van een gelijkblijvende groeifactor. Het is realistischer om aan te nemen dat de groeifactor steeds kleiner wordt naarmate de populatie groter wordt. Een bekend model dat hier rekening mee houdt, is het model van logistische groei. Daarbij hoort een recurrente betrekking van de vorm: § P (t ) · P(t 1) P (t ) c P (t ) ¨ 1 ¸ met c > 0 en M > 0. M ¹ ©

In dit model is P(t) de populatiegrootte op tijdstip t en zijn c en M constante getallen. De tijd t is in jaren. Op tijdstip t = 0 is de populatiegrootte P(0). Voor c = 0,35 en M = 1000 krijgen we het volgende voorbeeld van logistische groei: P(t 1)

P (t ) · § P (t ) 0,35 P (t ) ¨1 ¸ © 1000 ¹

Over dit voorbeeld gaat de volgende vraag. Bewering: Zolang de populatiegrootte P(t) veel kleiner is dan 1000 (dat is M), groeit de populatie bij benadering met groeifactor 1,35. 3p

18

Leg aan de hand van de formule uit dat deze bewering klopt. De bewering bij vraag 18 over logistische groei kun je illustreren met behulp van het bestand ZALM.XLS blad Zalm-2.

Open blad Zalm-2 van het bestand ZALM.XLS. In blad Zalm-2 van bestand ZALM.XLS kun je c, M en P(0) instellen. Je ziet dan de bijbehorende tabel en grafiek. Bij bovenstaand voorbeeld hoort c = 0,35 en M = 1000. Bij het openen van blad Zalm-2 is P(0) = 10. Bij een dergelijke kleine waarde van P(0) kun je in het bestand zichtbaar maken dat de bewering bij vraag 18 de eerste vier jaren heel goed klopt. Dit kan op veel verschillende manieren. Hier geven we er twee in hoofdlijnen aan. • Een eerste manier is in cel E12 de formule “=J9”of “=D12” in te vullen, vervolgens in cel E13 een geschikte formule in te vullen en deze naar beneden te kopiëren in kolom E. • Een andere manier is in cel E12 niets in te vullen, in cel E13 een formule en deze naar beneden te kopiëren in kolom E. Gebruik een manier om de bewering bij vraag 18 met het bestand aan te tonen. Schrijf op of je in E12 niets hebt ingevuld of schrijf de waarde of formule op die je in E12 hebt ingevuld. Schrijf ook de formules op die je in E13, E14, enzovoorts hebt ingevuld (en/of naar beneden hebt gekopieerd) om te laten zien dat de populatie aanvankelijk groeit met groeifactor 1,35. Licht je antwoord toe.

4p

19

www.havovwo.nl

-9-


Bij c = 0,35 groeit P(t) in dit voorbeeld geleidelijk naar de grenswaarde 1000, maar bij grotere waarden van c treden er complicaties op. Bij zulke waarden van c kan volgens het model P(t) soms negatief worden. Voor zalm zou c echter tamelijk groot moeten zijn. In dat geval is ook het model van logistische groei blijkbaar niet erg realistisch. Daarom gaan we op zoek naar een beter model. Het groeimodel van Ricker De bioloog W. Ricker deed zo’n 50 jaar geleden onderzoek naar zalm. Hij ontdekte dat een model van de volgende vorm goed bruikbaar was:

P(t 1)

P (t ) r

1

P (t ) M

met r > 1 en M > 0.

In dit model is P(t) de populatiegrootte op tijdstip t en zijn r en M constante getallen. Hierin is de tijd t in jaren en is op t = 0 de populatiegrootte P(0). Bij dit model is M een evenwichtswaarde. 3p

20

Toon dat aan met behulp van de formule. Licht je antwoord toe.

Open blad Zalm-3 van het bestand ZALM.XLS. In dit blad kun je r, M en P(0) instellen. Je ziet dan de bijbehorende grafiek. Bij het openen van het blad Zalm-3 is r = 4,5, M = 150 en P(0) = 100.

3p

21

In de praktijk kan r wel groter dan 5 zijn. Vanaf een bepaalde waarde van r nadert P(t) niet meer naar een evenwichtswaarde. Ook dit wordt in de werkelijkheid waargenomen. Geef een waarde van r waarbij P(t) niet convergeert en beschrijf wat er dan met de waarden van P(t) gebeurt. Vangst bij het groeimodel van Ricker Voor het vervolg van deze opgave kijken we naar het model van Ricker met r = 9 en

M = 200. De recursievergelijking is dan P(t 1)

1

P (t ) 9

P (t ) 200

.

Om overzichtelijke getallen te houden, spreken we af dat P(t) het aantal zalmen in duizendtallen voorstelt. Stel in blad Zalm-3 van bestand ZALM.XLS in: r = 9, M = 200 en beginpopulatie P(0) = 130. Bij deze waarden gaan we kijken hoeveel zalmen er jaarlijks gevangen kunnen worden. Uitgaande van deze beginpopulatie van 130 duizend zalmen staat in E13 het verschil tussen P(1) en P(0), namelijk ongeveer 150,5. Door dit verschil van 150,5 duizend steeds weg te vangen, blijft het aantal zalmen constant (op 130 duizend). Het aantal vissen dat men elk jaar kan vangen, kan echter nog groter zijn dan 150,5 duizend. Daarvoor moet je niet uitgaan van 130 duizend zalmen, maar van een andere P(0). 3p

22

Bepaal met behulp van ZALM.XLS blad Zalm-3 het maximale aantal jaarlijks te vangen zalmen. Licht je antwoord toe.

www.havovwo.nl

- 10 -


In de figuur hiernaast zijn de grafieken van P (t ) 1 P (t ) 9 200

figuur

350 P(t+1)

P(t 1) en van P(t 1) P(t ) getekend. Deze grafieken staan vergroot op de uitwerkbijlage. Je kunt het maximale aantal jaarlijks te vangen zalmen bij benadering ook vinden door deze grafieken op de uitwerkbijlage te gebruiken. 3p

23

Lees dit maximale aantal jaarlijks te vangen zalmen in de figuur af. Schrijf dit aantal op en licht je antwoord met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage toe.

Sluit het Excelbestand ZALM.XLS af. Het bestand niet opslaan.

www.havovwo.nl

- 11 -

300 250 200 150 100 50 0

0

50

100

150

200

250

300

350 P (t)


Uitwerkbijlage bij vraag 23

Vraag 23

350 P(t+1) 300 250 200 150 100 50 0

0

50

100

150

200

250

300

350 P(t)

www.havovwo.nl

- 12 -

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Recommend Documents