Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie Samensteller

Wiskunde voor 2 havo Deel 1 Versie 2013

Samensteller

© 2013 Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0). Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected]. Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

Inhoud Voorwoord 1

3

Machten en wortels

5

1.1

Kwadraten

1.2

Wortels

1.3

Rekenen met wortels

1.4

Machten

1.5

Meneer Van Dalen

1.6

Wetenschappelijke notatie

1.7

Totaalbeeld

2

Symmetrie

6 11

27 31

37

41

2.1

Lijnsymmetrie

2.2

Puntsymmetrie

2.3

Draaisymmetrie

2.4

Driehoeken

62

2.5

Vierhoeken

67

2.6

Totaalbeeld

75

3

16

21

42 49 55

Formules voor omtrek en oppervlakte

3.1

Oppervlakteformules

3.2

Oppervlakte van driehoeken

88

3.3

Oppervlakte van vierhoeken

94

3.4

Omtrek cirkel

3.5

Oppervlakte cirkel

3.6

Eenheden

3.7

Totaalbeeld

120

Vergelijkingen

125

4

82

102 107

113

4.1

Rekenschema's

126

4.2

Balansmethode

131

4.3

Haakjes in formules

137

4.4

Machten in formules

143

4.5

Totaalbeeld

Register

81

149

153

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 1

PAGINA 2

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

Voorwoord Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina. Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst: Bekijk eerst: www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen. Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken. Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf Totaalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal. > > > > >

Verkennen Uitleg Theorie en Voorbeelden Verwerken Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 3

PAGINA 4

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1

Machten en wortels

Kwadraten Wortels

6 11

Rekenen met wortels Machten

16

21

Meneer Van Dalen

27

Wetenschappelijke notatie Totaalbeeld

37

31

1.1

Kwadraten

Verkennen Opgave 1 De oppervlakte van een vierkant bereken je door de lengte van zijde met zichzelf te vermenigvuldigen. a

Hoe groot is de oppervlakte van dit vierkant?

b

Hoeveel bedragen de afmetingen van een vierkant met een oppervlakte van 441 eenheden?

c

Waarom wordt de oppervlakte-eenheid ‘vierkante’ meter geschreven als m 2?

Opgave 2 Bekijk alleen vierkanten met gehele getallen als lengtes van de zijden. Welke afmetingen heeft het grootste vierkant dat een oppervlakte heeft van minder dan 100000? En het kleinste vierkant dat een oppervlakte heeft van meer dan 100000?

Uitleg Dit vierkant heeft vier zijden van 4 cm. De oppervlakte van het vierkant is 4 × 4 = 16 cm2. In plaats van 4 × 4 schrijf je ook wel 42 . Je spreekt dit uit als ‘vier tot de tweede’ of ‘vier kwadraat’. ‘Kwadraat’ (vroeger ‘quadraat’) komt van het latijnse ‘quadra’ dat ‘vier’ betekent; een kwadraat is eigenlijk gewoon een andere naam voor (oppervlakte van een) vierkant. Het berekenen van een kwadraat heet kwadrateren. Voor een vierkant geldt: u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� = u�u�u�u�u�2 . Met de rekenmachine bereken je 42 zo: of zo:

Opgave 3 De lengte van een van de zijden van een vierkant is 7 cm. a

Hoe bereken je de oppervlakte van het vierkant? Bereken ook de gevraagde oppervlakte.

b

In plaats van 7 × 7 schrijf je ook wel 72 . Hoe spreek je dat uit?

PAGINA 6

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS

Opgave 4 Bereken de volgende kwadraten zonder rekenmachine: a

62

b

252

c

3,52

d

(3)

e

2,22

f

(2 3 )

1 2

2 2

Opgave 5 Maak een lijst met kwadraten van de eerste 20 gehele getallen en leer die uit je hoofd.

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Meestal worden alleen de kwadraten van gehele positieve getallen ook echt ‘kwadraten’ genoemd. Dat komt omdat men in de Oudheid geen andere getallen kende dan 1, 2, 3, enzovoorts... Hier zie je dus een heleboel kwadraten: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

900

961

1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401

Opgave 6 Bekijk de lijst met kwadraten in Voorbeeld 1 op pagina 7. a

Hoe kun je hieruit het kwadraat van 3,8 halen?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 7


5 17 2

b

Hoe kun je hieruit het kwadraat van

halen?

c

Welke positieve waarde heeft u� als u� = 5,29?

d

Laat zien, dat 202 + 32 ∅232 . Laat dit ook zien in een tekening met vierkanten.

Opgave 7 Hoe zit het met de kwadraten van negatieve getallen? a

Bereken (−3)2 .

b

En waarom zijn de haakjes nodig? Met andere woorden: wat is het verschil tussen (−3)2 en −32 ?

c

Welke twee waarden kan u� aannemen als u�2 = 9?

Voorbeeld 2 De oppervlakte van dit vierkant is 2 cm2. Maar van welk getal is 2 het kwadraat? Dit was al in de Oudheid een boeiende vraag. Niemand wist er het antwoord op... Alleen door proberen kun je het vinden. Speel een ‘hoger/lager’-spelletje:

getal kwadraat omhoog/omlaag 1

1

omhoog

2

4

omlaag

1,1

1,21

omhoog

1,2

1,44

omhoog

1,3

1,69

omhoog

1,4

1,96

omhoog

1,5

2,25

omlaag

1,41

1,9881

omhoog

1,42

2,0164

omlaag

Na lang proberen vind je ongeveer 1,414213562, maar zelfs dat is niet het exacte antwoord...

PAGINA 8

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 8 Bekijk de roosterfiguur hiernaast. a

Waarom weet je zeker dat het een vierkant betreft?

b


c

Bereken nu de lengte van de zijde op dezelfde manier als in Voorbeeld 2 op pagina 8 in twee decimalen nauwkeurig.



b


c

Bereken nu de lengte van de zijde op dezelfde manier als in Voorbeeld 2 op pagina 8 in twee decimalen nauwkeurig.

Verwerken Opgave 10 Bereken zonder rekenmachine: a

3,32

b

0,92

c

−2,72

d

(−0,1)2

e

152 − 132

f

(15 − 13)2

Opgave 11 Bereken zonder rekenmachine: 2 2

a

(5)

b

(− 8 )

c

(−1 4 )

d

− (2 5 )

3 2 1 2 2 2

Opgave 12 Laat met behulp van vierkanten zien dat 1,52 ≠ 2,25.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 9




b


c

Bereken nu de lengte van de zijde in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 14 Bepaal de twee waarden van u� waarvoor geldt: a

u�2 = 121

b

u�2 = 4,41

c

u�2 = 1 9

7

Toepassen Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.

Opgave 15: Kwadraten en vierkanten Je kunt de kwadraten van sommige getallen uit het hoofd uitrekenen door je er vierkanten bij voor te stellen. Lees hierover > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Kwadraten > Toepassen a

Bereken op deze manier 512 .

b

Bereken op deze manier 982 .

c

Bereken op deze manier 10,42 .

Opgave 16: Kwadraten van getallen die eindigen op 5 Soms moet je een kwadraat uitrekenen van een getal dat eindigt op een 5. Daarvoor kan je een ‘truc’ gebruiken. Hiermee kun je bijvoorbeeld 352 uitrekenen. > Deel het getal door 10. Tussen welke twee gehele getallen ligt het antwoord? > Vermenigvuldig die twee getallen met elkaar. > Je krijgt nu het antwoord door 25 achter het antwoord te plaatsen. Ga na of deze ‘truc’ echt werkt. En probeer hem daarna te verklaren.

PAGINA 10

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.2

Wortels

Verkennen Opgave 1 Een probleem uit de Oudheid was het verdubbelen van een vierkant. Hier zie je hoe een vierkant wordt verdubbeld: de oppervlakte van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆 is het dubbele van de oppervlakte van vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷. De oppervlakte van 𝐴𝐵𝐶𝐷 is 1 cm2. a

Hoe groot is de oppervlakte van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆?

b

Hoe lang is elke zijde van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆? Geef een benadering in twee decimalen nauwkeurig.

c

Leg uit waarom de lengte van de zijde 𝑃𝑄𝑅𝑆 geen geheel getal is.

Uitleg De oppervlakte van dit vierkant is 16 cm2. De lengte van elke zijde is 4 cm, want 42 = 4 × 4 = 16. Je zegt: de wortel van 16 is 4. Je schrijft dit als: √16 = 4. Dat noem je wortel trekken. Je rekenmachine kan ook wortel trekken. Bijvoorbeeld √441 = 21 gaat waarschijnlijk zo: 441 Maar misschien heeft je rekenmachine wel een afzonderlijke worteltoets...

De bewerkingen ‘kwadraat nemen’ en ‘wortel trekken’ heffen elkaar op. Meetkundig gezien gaat het bij kwadrateren om het bepalen van de oppervlakte van een vierkant vanuit de zijde: 42 = 16. En bij wortel trekken gaat het om het bepalen van de zijde vanuit een gegeven oppervlakte √16 = 4. 2

En dus is: √42 = 4 en ook (√4) = 4

Opgave 2 De oppervlakte van een vierkant is 64 cm2. a

Hoe bereken je de zijde van het vierkant? Bereken ook die zijde.

b

De zijde van een vierkant heeft een lengte van √7. Hoeveel bedraagt de oppervlakte?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 11


Opgave 3 Bereken de volgende wortels zonder rekenmachine: a

√49

b

√144

c

√2,25

d

√9

e

√0,64

f

√49

4

Opgave 4 Tussen welke gehele getallen ligt √140?

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Uit een kwadraat kun je gemakkelijk wortel trekken. Bijvoorbeeld: > √1024 = √322 = 32 7

> √1 9 = √

16 9

=

4 2

( ) = √ 3

4 3

> √1,44 = √(1,2)2 = 1,2

Opgave 5 Bereken: a

√64

b

√100

c

√144

d

√225

e

√2,25

f

√6,25

g

√0,09

h

√0,36

Opgave 6 Bereken: 1

a

√9

b

√ 25

c

√ 16

d

√ 36

1 9

25

PAGINA 12

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


9

e

√1 16

f

√2 4

g

√2 9

h

√20 4

1 7 1

Opgave 7 Hoe zit het met de wortels van negatieve getallen? a

Welk antwoord zou je √−16 willen geven?

b

Hoe reken je √(−4)2 uit?

c

Waarom kun je de wortel uit een negatief getal niet trekken?

Opgave 8 Je voert nu de bewerkingen "kwadrateren" en "worteltrekken" na elkaar uit. a

Hoe bereken je √42 ? En wat komt er uit?

b

Hoe bereken je √4 ? En wat komt er uit?

c

Vervang in a en b het getal 4 door een willekeurig ander niet-negatief getal. Wat gebeurt er telkens?

2

Voorbeeld 2 De oppervlakte van dit vierkant is 2 cm2. De lengte van de zijde is daarom √2. Maar hoe groot is √2 nu precies? Dit was al in de Oudheid een boeiende vraag. Niemand wist er het antwoord op... Na lang proberen (zie Voorbeeld 2 op pagina 8) vind je ongeveer 1,414213562, maar zelfs dat is niet het exacte antwoord... √2 is niet exact te berekenen, dit getal kan alleen worden benaderd! √2 ≈ 1,4142 gaat waarschijnlijk zo: Hetzelfde geldt voor getallen als √3, √5, √20, kortom voor vrijwel alle wortels. Alleen de wortels uit zuivere kwadraten ‘komen uit’: bijvoorbeeld √9 = 3 en √0,04 = 0,2

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 13


Opgave 9 Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 13. a

Teken zelf zo’n vierkant op een cm-rooster en leg uit waarom de oppervlakte van dit vierkant 2 is.

b

De lengte van de zijde van het vierkant is daarom √2. Meet eens op hoe lang de zijde van het vierkant is in mm nauwkeurig en leg uit waarom dit nooit de exacte lengte van de zijde kan zijn.

c

Waarom kan ook 1,414213562 niet de exacte waarde van √2 zijn?

d

Waarom zal √2 nooit een exact decimaal getal kunnen zijn?

e

Wat maakt jouw rekenmachine van √2? En wat gebeurt er als je met die benadering in beeld op de kwadraattoets drukt? Hoe komt dat, denk je?

Opgave 10 Schat bij de volgende wortels eerst tussen welke gehele getallen ze liggen. Bereken ze dan met je rekenmachine en rond af op vier decimalen nauwkeurig: a

√3

b

√50

c

√0,4

d

√1000

e f

√5 3 √−21

g

−√21

h

√50 − √5

1

Verwerken Opgave 11 Bereken de volgende wortels zonder de rekenmachine te gebruiken: a

√121

b

√196

c

√4,41

d

√0,0025

e

√73 − 8

f g

√1 49 √625 − √361

h

−√0,36

15

Opgave 12 Een vierkant heeft een oppervlakte van 20 cm2. a

Hoe groot is de exacte lengte van elke zijde?

b

Tussen welke opeenvolgende gehele getallen ligt de lengte van deze zijde?

c

Benader de lengte van de zijden van dit vierkant in drie decimalen nauwkeurig.

d

Waarom kan dit nooit meer dan een benadering van de werkelijke lengte zijn?

PAGINA 14

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 13 Schat bij de volgende wortels eerst tussen welke gehele getallen ze liggen. Bereken ze dan met je rekenmachine en rond af op vier decimalen nauwkeurig: a

√5

b

√96

c

√0,0014

d

√1700

e

√15 5

f

12 ⋅ √5

1

Opgave 14 De oppervlakte van een vierkant is 25 cm2. a

Hoeveel bedraagt de omtrek van dit vierkant? De oppervlakte van een vierkant is 24 cm2.

b

Hoeveel bedraagt de omtrek van dit vierkant?

c

Van welk(e) vierkanten zijn oppervlakte en omtrek gelijk?

Opgave 15 Bereken zonder rekenmachine: a

√132

b

√13

c

√7 − 2 ⋅ √49

d

√256 − √15

2

2

2


Opgave 16: Wortels en vierkanten Hoe je de lengte van een lijnstuk tussen twee roosterpunten bepaalt door er een vierkant op te tekenen zie je via > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Wortels > Toepassen a

Ga na dat het vierkant op 𝐴𝐵 inderdaad een oppervlakte van 10 heeft.

b

Bereken op deze manier de lengte van 𝐴𝐵 als punt 𝐵 4 eenheden rechts en 2 eenheden boven punt 𝐴 ligt.

c

Oefen dit met een medeleerling, het zal je later nog van pas komen.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 15

1.3

Rekenen met wortels

Verkennen Opgave 1 Je ziet hier hoe je van negen vierkanten met een oppervlakte van 2 cm2 één groter vierkant kunt maken. a

Hoe groot is de oppervlakte van het grote vierkant?

b

Hoe lang is elke zijde van het grote vierkant?

c

Leg uit hoe je vanuit de lengtes van de zijden van het grote vierkant de oppervlakte ervan kunt berekenen.

Uitleg √2 is de lengte van de zijde van een vierkant met oppervlakte 2. Dit getal is niet als decimaal getal te schrijven, het is alleen te benaderen. Omdat een oppervlakte altijd positief is, kun je alleen worteltrekken uit positieve getallen en uit 0. Al in de tijd van de Oude Grieken (zo’n 600 jaar v.Chr.) was dit bekend. Zij beschouwden elke wortel als een lijnstuk. Omdat ze van veel wortels geen mooie gehele getallen of nette breuken konden maken, noemden ze wortels ‘onmeetbare getallen’. Ze konden er alleen mee rekenen door ze als lijnstukken voor te stellen. Maak je het lijnstuk dat √2 voorstelt drie keer zo lang, dan krijg je 3 ⋅ √2 of kortweg 3√2. Dit zijn twee lijnstukken met gelijke wortels, je kunt ze daarom optellen: √2 + 3√2 = 4√2. Deze optelling bestaat uit twee termen. In beide termen komen dezelfde wortels voor en daarom spreek je van gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen kun je altijd samennemen. Bovendien zie je: 3√2 = √9 ⋅ 2 = √18. Dit is het begin van rekenen met wortels, ook andere wortels dan √2...

Opgave 2 Je ziet hier een vierkant met oppervlakte 5 cm2. a

Hoe lang is de zijde van het vierkant?

b

Hoe krijg je een vierkant waarvan de zijden 2√5 zijn?

c

Waarom noem je 2√5 en 3√5 wel gelijksoortige wortels?

d

Hoeveel is 2√5 + 3√5?

e

Hoeveel is 3√5 − 2√5?

PAGINA 16

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 3 In de vorige opgave had je een vierkant met oppervlakte 5 en dus zijde √5. Neem nu een vierkant waarvan de zijden 2√5 zijn. a

Teken dit vierkant. Bepaal de oppervlakte ervan door de figuur te verdelen in een vierkant en vier halve rechthoeken.

b

Hoe kun je die oppervlakte uitrekenen door de zijden te vermenigvuldigen?

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Meestal kun je berekeningen met wortels alleen benaderen met de rekenmachine. Alleen gelijksoortige wortels kun je optellen tot één wortelvorm. Voorbeelden van optellingen en aftrekkingen met wortels zijn: > √2 + √3 kun je niet als één wortel schrijven want er zijn geen gelijksoortige termen, maar wel benaderen met je rekenmachine: √2 + √3 ≈ 3,14626437. > > > >

√2 + √2 + √2 = 3 ⋅ √2 (drie gelijksoortige termen) 6√2 − 4√2 = 2√2 (twee gelijksoortige termen) √4 + √9 = 2 + 3 = 5 √9 + 4 = √13 ≈ 3,605551275, dit kan ook in één keer op de rekenmachine:

> √7 + √25 + 4√7 − 3√7 = 2√7 + 5 (alleen gelijksoortige termen kun je samen nemen)

Opgave 4 Voer de volgende berekeningen met wortels uit. Benader alleen waar nodig het eindantwoord in twee decimalen nauwkeurig. a

√2 + 3 + 4

b

√2 + √3 + √4

c

√5 + √5 + √5

d

6√5 + 3√5 − 5√5

Opgave 5 Bereken en laat in het eindantwoord de wortel staan: a

√6 + √6

b

2√3 + 5√3

c

4√7 + √7

d

4√7 + 2√9

e

5√3 − 3√3

f

4√7 − 3√7

g

8√6 − √16

h

8√6 − √6

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 17


Voorbeeld 2 Vermenigvuldigen en delen van wortels is eigenlijk heel eenvoudig. Dat kun je in deze voorbeelden zien: > √2 ⋅ √3 = √2 ⋅ 3 = √6 wat je kunt controleren door kwadrateren. >

√6 √2

6

= √ 2 = √3 wat je ook kunt controleren door kwadrateren.

Op dezelfde manier kun je de volgende berekeningen uitvoeren: > 3 ⋅ √2 ⋅ 5 ⋅ √3 = 3 ⋅ 5 ⋅ √2 ⋅ 3 = 15 ⋅ √6 2

> 2 ⋅ √7 = 2 ⋅ √7 ⋅ √7 = 2 ⋅ √49 = 2 ⋅ 7 = 14 >

15⋅√6 3⋅√2

=

15 3

6

⋅ √ 2 = 5 ⋅ √3


Laat zien dat √2 ⋅ √3 = √6 door beide zijden te kwadrateren.

b

Laat ook door kwadrateren zien, dat

√6 √2

= √3.

Opgave 7 Geef van de volgende berekeningen aan of ze waar zijn of niet. a

√2 ⋅ √5 = √10

b

√2 + √5 = √7

c

√3 × √2 = √5

d

2 ⋅ √7 = √14

e

3 ⋅ √3 = √27

f

2√2 ⋅ √8 = 8

Opgave 8 Maak de volgende berekeningen. Laat wortels die niet op een geheel getal uitkomen in het antwoord staan. a

√7 ⋅ √5

b

√3 ⋅ √3

c

4√2 ⋅ 2√7

d

√18 /√2

e

√15 /√3

f

8√6 2√2

PAGINA 18

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Verwerken Opgave 9 Maak de volgende berekeningen zonder de rekenmachine te gebruiken. Laat wortels die niet op een geheel getal uitkomen in het antwoord staan. a

√7 + √7

b

3√5 + 2√5

c

5√7 − 2√7

d

3√5 − √5

e

√2 ⋅ √8

f

3√2 ⋅ 2√7

g

√125 /√5

h

5√10 /√2

Opgave 10 Hier zie je in een assenstelsel de punten 𝐴 (1, 1), 𝐵 (7, 3), 𝐶 (6, 6) en 𝐷 (0, 4) en rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷. a

Bereken de oppervlakte van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b

Verdeel de rechthoek in twee vierkanten en leg uit hoe je daarmee de lengtes van de zijden kunt berekenen. Bereken de lengtes van 𝐴𝐵 en 𝐴𝐷.

c

Laat zien hoe je met behulp van deze twee zijden ook de oppervlakte van de rechthoek kunt berekenen.

d

Bereken ook de exacte omtrek van de rechthoek.

Opgave 11 Geef van de volgende berekeningen aan of ze waar of niet waar zijn. a

√7 + √8 = √15

b

√9 + √49 = √100

c

√7 + 6√7 = 7√7

d

3√3 + 2√3 = 5√6

Opgave 12 Uit een aantal van de volgende berekeningen komt een geheel getal. Bij de andere laat je de wortel in het antwoord staan. a

√2 ⋅ √12,5

b

3√3 ⋅ √10

c

2√6 ⋅ 3√6

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 19


d

√50 /√5

e

2√72 √2

f

6√12,5 3√2

Opgave 13 Je ziet hier twee vierkanten in elkaar. a

Bereken de lengte van 𝐴𝐵 en diagonaal 𝐴𝐶 als de oppervlakte van vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 6 is.

b

Bereken de lengte van 𝐴𝐵 en diagonaal 𝐴𝐶 als de oppervlakte van vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 10 is.

c

Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met oppervlakte 8.

Opgave 14 Een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 is verdeeld in twee kleinere vierkanten en twee rechthoeken. De oppervlaktes van beide kleinere vierkanten zijn gegeven, zie figuur. Bereken de oppervlakte van 𝐴𝐵𝐶𝐷.


Opgave 15: Wortels herleiden Hoe je wortels van getallen die een kwadraat bevatten kunt vereenvoudigen zie je via > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Rekenen met wortels > Toepassen a

Laat zien dat √8 = 2√2.

b

Vereenvoudig op dezelfde manier √45.

c

Herleid op dezelfde manier: √18, √12, √32, √40 en √75

PAGINA 20

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.4

Machten

Verkennen Opgave 1 De inhoud van een kubus bereken je door de lengte van een ribbe twee keer met zichzelf te vermenigvuldigen. a

Hoe groot is de inhoud van een kubus met een ribbe van 3 cm?

b

Hoeveel bedragen de afmetingen van een kubus met een inhoud van 125 eenheden?

c

Waarom wordt de oppervlakte-eenheid "kubieke" meter geschreven als m3?

Opgave 2 Bekijk alleen vierkanten met gehele getallen als lengtes van de zijden. Welke afmetingen heeft het grootste vierkant dat een oppervlakte heeft van minder dan 100000? En het kleinste vierkant dat een oppervlakte heeft van meer dan 100000?

Uitleg Als je een getal met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je een kwadraat: 3 ⋅ 3 = 32 . Er is een meer algemene schrijfwijze voor het vermenigvuldigen met steeds hetzelfde getal. Bijvoorbeeld: 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35 . Reken je zo’n getal uit, dan wordt de uitkomsten machtig groot: 35 = 243. Je spreekt van machtsverheffen en je zegt ‘3 tot de macht 5’, of kortweg ‘3 tot de vijfde’. En 35 heet een macht met grondtal 3 en exponent 5. Een kwadraat is een macht met exponent 2. Zo is 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128. Op de rekenmachine:

Opgave 3 Bekijk in de Uitleg op pagina 21 wat een macht is en hoe je een macht uitrekent. Bereken nu: a

25

b

33

c

112

d

3,53

e

(3)

f

(5)

1 4 2 4

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 21


Opgave 4 Je kunt ook van negatieve getallen machten nemen. Daarbij zijn haakjes nodig. a

Wat betekent (−4)5 ? En hoeveel komt daar uit?

b

Wat betekent −45 ? Wat komt er uit?

Opgave 5 Eerder heb je een lijst met kwadraten uit het hoofd geleerd, erg handig bij het berekenen van wortels. Om een vergelijkbare reden is het handig om de eerste tien derde machten uit het hoofd te leren. Schrijf de derde machten van 1, 2, 3, ..., 10 op en leer ze uit je hoofd.

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Het rekenen met machten is eenvoudig als je de betekenis kent: 174 = 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 83521 (−17)4 = −17 ⋅ −17 ⋅ −17 ⋅ −17 = 83521 −174 = −17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = −83521 100000 − 174 = 100000 − 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 100000 − 83521 = 16479

> > > >

Je ziet dat machten voorrang hebben op optellen en aftrekken. En verder: > 23 ⋅ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27 Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op. 27 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 2⋅2⋅2 > 24 = = 1 = 23 2⋅2⋅2⋅2 Bij delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af. 23 2⋅2⋅2 23 > 23 = 2⋅2⋅2 = 1 en 23 = 20 . Een getal tot de macht 0 is altijd 1. 4

> (23 ) = 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 23+3+3 = 212 Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten.

Opgave 6 Bereken: a

34

b

3 ⋅ 26

c

71

d

(2)

e

(2 3 )

f

(7)

g

(−3)5

h

−3 ⋅ 24

i

1 4 2 3

2 0

−2 ⋅ (−3)2

PAGINA 22

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 7 Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen! a

395 ⋅ 3114

b

3114 395

c

380 ⋅

d

(3 )

354 311 12 5 10

e

(315 )

350 ⋅3100

Voorbeeld 2 De inhoud van een kubus met ribben van 4 is: 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 . De inhoud van een kubus is altijd een derde macht. Een beroemd probleem uit de Oudheid is de ‘verdubbeling van de kubus’: Het altaar van de tempel van Delphi is een kubus van 1 bij 1 bij 1 m, welke afmetingen moet eenzelfde altaar krijgen met een 2 keer zo grote inhoud? Omdat het bestaande altaar een inhoud heeft van 13 = 1 m3, moet de vergrote kubus een inhoud hebben van 2 m3. Dus geldt voor de zijde u� van dit altaar: u�3 = 2. Bij terugrekenen vanuit een kwadraat moet je worteltrekken. Zo heet het terugrekenen vanuit een derde macht wel ‘derdemachts wortel trekken’. De oplossing van het probleem van Delphi is de derdemachts wortel uit 2. 3

Je schrijft: u� = √2. De uitkomst hiervan vind je door inklemmen, net als bij Voorbeeld 2 op pagina 8. Probeer maar eens: 3 √2 ≈ 1,25992105.


Hoe bereken je de lengte van de zijde van een kubus als je de inhoud van die kubus weet?

b

Ga uit van een kubus met een inhoud van 8 m3. Leg uit waarom √8 = 2.

c

Bij het probleem van de verdubbeling van de kubus gaat het om een kubus met een inhoud van 2 m3. 3 Leg uit waarom √2 geen geheel getal is.

d

Benader met behulp van inklemmen √2 in drie decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoord met behulp van je rekenmachine.

3

3

Opgave 9 Bereken (probeer dit zoveel mogelijk uit het hoofd te doen): 3

a

√216

b

√1728

c

3 √3,375

d

3

3

8

√ 27

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 23


Opgave 10 Benader met je rekenmachine op twee decimalen nauwkeurig: 3

a

√18

b

√100

c

√49

d

√400

3 3 3

Verwerken Opgave 11 Bereken: a

45

b

34 ⋅ 2 3

c

(3)

d

(1 5 )

e

(−2)6

f

−24 ⋅ 33

2 4 3 3

Opgave 12 Je ziet hier een kruisgetallenpuzzel. Vul de puzzel in.

Horizontaal

Verticaal

1

114

1

53

4

242

2

262

6

26

3

210

7

922

5

42 ⋅ 72

6

43

Opgave 13 Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen! a

3

216 ⋅ (210 ) 26

b

4⋅2 220

c

214 ⋅226 (220 )2

PAGINA 24

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 14 Bereken: 3

a

√1000

b

√1000000

c

√106

d

3 √0,001

e

3 √0,000001

f

3 √0,125

3 3

Opgave 15 Je hebt een kubus met een inhoud van 20 liter. a

Hoeveel bedraagt de lengte van elke ribbe van deze kubus in mm nauwkeurig?

b

Bereken de totale oppervlakte van deze kubus in mm2 nauwkeurig.

Opgave 16 Je kunt van een getal eerst de derde macht uitrekenen en dan op de uitkomst de derde machtswortel toepassen. En ook de omgekeerde volgorde is mogelijk. 3

a

Neem het getal 6 en bereken √63 . Wat doe je eerst, de derde macht of de derde machtswortel?

b

Bereken ook √6 .

c

Doe hetzelfde als bij a en b maar nu met het getal 17.

3

3

Kennelijk heffen de bewerkingen derde macht en derde machtswortel elkaar op. d

Onderzoek of dit ook voor negatieve getallen geldt.


Opgave 17: Papier vouwen Als je een blaadje papier steeds opnieuw dubbel vouwt, krijg je steeds meer lagen. Lees hierover in > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen a

Laat zien dat je na 8 keer vouwen 256 lagen papier hebt.

b

Hoeveel lagen heb je na 10 keer vouwen?

c

Hoeveel keer moet je vouwen om een laag papier van 10 cm dik te krijgen?

d

En na hoeveel keer vouwen heb je een laag papier van 10 m dik?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 25


Opgave 18: Rente op rente Als je bepaald bedrag tegen een vaste rente op de bank laat staan en er verder niets mee doet, dan wordt het door de rente steeds meer. Lees hierover in > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen a

Reken de bedragen na 1 jaar, na 2 jaar en na 3 jaar zelf na. Hoe reken je?

b

Hoeveel heb je na 10 jaar?

c

Na hoeveel jaar is het beginbedrag verdubbeld?

PAGINA 26

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.5

Meneer Van Dalen

Verkennen Opgave 1 ‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor het rekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken, dan Optellen en tenslotte Aftrekken. a

Bereken 144 /4 × 3 − 4 + 23 door deze ezelsbrug letterlijk op te volgen.

b

Wat maakt je rekenmachine van 144 /4 × 3 − 4 + 23 ? Leg uit hoe je dit tegenwoordig uitrekent.

c

Laat zien hoe je dit tegenwoordig uitrekent.

Opgave 2 In de Wikipedia: Bewerkingsvolgorde staat deze rekenopgave uit een rekenboekje uit 1958.

Een leuke uitdaging: Wat komt er uit als je de ezelsbrug uit de vorige opgave hanteert?

Uitleg ‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor het rekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken, dan Optellen en tenslotte Aftrekken. Tegenwoordig wordt die volgorde niet langer strikt gehanteerd, maar toch zijn er (vanwege de moderne rekenapparatuur) een aantal duidelijke afspraken. Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren: > > > >

H: eerst doe je wat binnen haakjes staat; MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts; VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts; OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst. Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: ‘Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland’ als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.

Opgave 3 Bekijk de berekening 8 + √9 ⋅ 23 . a

In deze berekening komen vier bewerkingen voor. In welke volgorde moet je die uitvoeren?

b

Bereken de uitkomst.

c

Door haakjes toe te voegen, verander je de rekenvolgorde. Wat komt er bijvoorbeeld uit (8 + √9) ⋅ 23 ?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 27


Opgave 4 In de volgende berekeningen zijn de voorrangsregels niet goed toegepast. Verbeter ze. a

2 ⋅ 33 = 63 = 216

b

√36 /4 = √9 = 3

c

√9 + √16 = √25 = 5

d

36 /4 + 23 = 36/ 4 + 8 = 36 /12 = 3

e

65 − 63 = 62 = 36

f

(2 + 3)4 = 24 + 34 = 16 + 81 = 97

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 Bereken: 2 ⋅ √16 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6) /23 . 2 ⋅ √16 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6) /23 = = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 8 /8 = = 8 + 6 − 32 /8 = = 14 − 4 = 10

Opgave 5 Let op de voorrangsregels en bereken: a

4 ⋅ 25 − 400 /√16

b

(23 + 32 ) /17 − √64

c

(2 ⋅ √2)

2

3

3

3

Opgave 6 Door op de goede plaats haakjes te zetten krijg je een correcte berekening. a

34 /8 − 5 = 27

b

25 − √256 /23 = 2

c

3 ⋅ 32 /√49 − 4 = 27

Voorbeeld 2 Je hebt gezien dat je de rekenvolgorde Haakjes-MachtenWortels-VermenigvuldigenDelen-OptellenAftrekken moet hanteren. Maar soms kun je door een bijzondere schrijfwijze te gebruiken de volgorde wijzigen. Drie bekende voorbeelden zijn: 6⋅2

12

> de lange breukstreep: 5−3 = 2 = 6 (aftrekken gaat hier voor delen) > de lange streep aan het wortelteken: √6 + 2 ⋅ 15 = √6 + 30 = √36 = 6 (vermenigvuldigen en optellen gaan hier voor worteltrekken) > de notatie voor machten: 24+1 = 25 = 32 (optellen gaat hier voor machtsverheffen)

PAGINA 28

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Op je rekenmachine moet je in deze gevallen de weggelaten haakjes weer toevoegen.

Opgave 7 21+√25

Bereken zonder rekenmachine: 12−2⋅6/3 . Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te laten uitvoeren.

Opgave 8 12

Bereken zonder rekenmachine: √2 + 22 +2 . Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te laten uitvoeren.

Verwerken Opgave 9 Bereken zonder de rekenmachine te gebruiken: a

35 /32 + 34

b

34 ⋅ 2 3

c

(√196 − 32 )

d

(2 ⋅ √15)

e

6 ⋅ 23 /(43 − 7 ⋅ 23 )

f

(3)

3

3

2 √9

3

⋅ 1,53

Opgave 10 Bereken eerst zonder de rekenmachine te gebruiken en controleer daarna je berekening door hem in zijn geheel in de rekenmachine in te voeren. a

√2 ⋅ 70 + 4 = 12

b

12⋅3 23 −4

c

24+√16 25

d

3

1

√3

1 3

− (3)

Opgave 11 Onderzoek of de volgende berekeningen correct zijn. Licht steeds je antwoord toe. a

23 ⋅ 2 4 = 2 7

b

26 /23 = 26/3 = 22

c

(22 ) = 25

d

20 = 1

3

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 29


Opgave 12 Bij het rekenen met wortels kun je door slim herleiden soms wortels optellen die op de eerste blik niet gelijksoortig zijn. a

Laat zien, dat √18 = 3√2 en dat √8 = 2√2.

b

Bereken nu de exacte uitkomst van (√18 + √8) . Geeft je rekenmachine dezelfde uitkomst als je de berekening in één keer invoert?

c

Bereken (√75 − √27) door beide wortels te herleiden. Controleer je antwoord met de rekenmachine.

2

2


Opgave 13: Graankorrels op een schaakbord Lees over de legende van de uitvinding van het schaakspel in > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Meneer Van Dalen > Toepassen Om een idee te krijgen van het aantal graankorrels dat koning Shirham moest uitbetalen kun je eens kijken naar machten van 2. a

Waarom moet je naar machten van 2 kijken?

b

Bereken nu: > > > > > > >

20 20 + 21 20 + 21 + 22 20 + 21 + 22 + 23 20 + 21 + 22 + 23 + 24 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26

c

Vergelijk alle uitkomsten bij b. Wat valt je op? (Tel er eventueel telkens 1 bij op.)

d

Hoeveel graankorrels wilde Sissa dus van de koning hebben? Schrijf je antwoord met een macht van 2.

e

Nu je weet dat Sissa meer dan 18.000.000.000.000.000.000 (18 triljoen) graankorrels zou moeten krijgen, kun je misschien wel schatten hoeveel m3 graan dat zou moeten zijn. Stel dat je dit graan wilt opslaan in een grote schuur met een vloeroppervlakte van 1000 m2. Hoe hoog moet die schuur dan worden?

PAGINA 30

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.6

Wetenschappelijke notatie

Verkennen Opgave 1 Onze planeet Aarde heeft (ongeveer) de vorm van een bol. De omtrek van die bol is de lengte van de evenaar en bedraagt 40.000 km. a

Hoeveel mm is 1 km? En hoeveel mm is dus de omtrek van de Aarde?

b

Je had voor de berekening bij a natuurlijk geen rekenmachine nodig. Maar doe hem eens op je rekenmachine. Waarschijnlijk krijg je als antwoord 4 ⋅ 1010 . (Of iets wat dit moet voorstellen zoals 4E10.) Leg uit waarom dit hetzelfde is als jouw antwoord bij b.

c

Waarom is het beter om 4 ⋅ 1010 te schrijven dan 40000000000?

d

Voor getallen met veel nullen worden ook wel woorden als miljoen en miljard en dergelijke gebruikt. 1 miljoen hetzelfde als 1 ⋅ 106 . Hoeveel is 1 miljard?

Opgave 2 Wij werken met getallen in het tientallig stelsel. We hebben dus tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enzovoorts. Dat zijn allemaal machten van 10. Dus kun je getallen schrijven als machten van 10. Zo is 1234 = 1 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 + 3 ⋅ 101 + 4. Op de website van het C.B.S. staat een bevolkingsteller. Nederland telde 16.736.398 inwoners op vrijdag 6 april 2012 om 11:25.15 uur. Schrijf dit getal in het tientallig stelsel met machten van 10.

Uitleg Omdat je in het tientallig stelsel werkt, spelen machten van 10 een grote rol bij het opschrijven van getallen. Met behulp van de rekenregels voor machten kun je bij eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc., werken met machten van 10. Dat zelfde geldt voor tienden, honderdsten, duizendsten, etc. De rekenregels voor machten van 10 (en ook voor andere machten) zijn: > bij vermenigvuldigen van machten tel je de exponenten op: 105 ⋅ 103 = 108 > bij het delen van machten trek je de exponenten van elkaar af: 105 /103 = 102 Hieruit volgt: > 1 = 101 /101 = 101−1 = 100 dus 100 = 1 > > >

1 0 1 −1 10 = 10 /10 = 10 1 0 2 −2 100 = 10 /10 = 10 1 0 3 −3 1000 = 10 /10 = 10

enzovoorts. Hele grote getallen zoals 135 miljard = 135.000.000.000 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk te lezen. Je schrijft zo’n getal daarom als: 135.000.000.000 = 1,35 100.000.000.000 = 1,35 ⋅ 1011 . Ook hele kleine getallen zoals 31 miljoenste = 0,000032 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk te lezen. Je schrijft zo’n getal daarom als: 1 0,000032 = 3,2 ⋅ 0,00001 = 3,2 ⋅ 100000 = 3,2 ⋅ 10−5 .

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 31


Deze manier van opschrijven van getallen noem je de wetenschappelijke notatie. Je schrijft een groot getal dan in de vorm u� ⋅ 10u� en een klein getal in de vorm u� ⋅ 10−u� , waarbij 1 ≤ u� < 10.

Opgave 3 Bekijk de Uitleg op pagina 31. a

Schrijf 100000 als macht van 10. Het getal 304586 bestaat uit 3 honderdduizendtallen, 0 tienduizendtallen, 4 duizendtallen, 5 honderdtallen, 8 tientallen en 6 eenheden.

b

Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10.

c

Schrijf 0,00001 als macht van 10. Het getal 30,4586 bestaat uit 3 tientallen, 0 eenheden, 4 tienden, 5 honderdsten, 8 duizendsten en 6 tienduizendsten.

d

Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10.

Opgave 4 Grote getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoen en 1 miljard. a

Schrijf deze getallen als macht van 10. Kleine getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoenste en 1 miljardste.

b

Schrijf deze getallen als macht van 10.

Opgave 5 Enkele uitspraken met grote en kleine getallen. > Ongeveer 3 miljoen jaar geleden zijn de dinosauriërs uitgestorven. > Sommige eencelligen zijn slechts 2,5 miljoenste mm breed. > Volgens het ministerie komt ons nationaal inkomen uit op 468 miljard. Schrijf deze getallen in de wetenschappelijke notatie.

Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1 De lichtsnelheid is in vacuüm (het luchtledige) gelijk aan 299.792.458 m/s. Deze waarde is exact doordat ze wordt gebruikt als definitie van de lengte van de standaardmeter: een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt. Het licht legt dus ongeveer 3,0 ⋅ 100000000 m per seconde af. De wetenschappelijke notatie van de lichtsnelheid is 3,0 ⋅ 108 m/s. Hoeveel km/uur is dat. Om de lichtsnelheid in m/s om te rekenen naar km per uur moet je dit getal vermenigvuldigen met 3600 (het aantal seconden in een uur) en vervolgens delen door 1000 (het aantal m in een km). Dus is de lichtsnelheid ongeveer 3,6 ⋅ 3,0 ⋅ 108 = 10,8 ⋅ 108 = 1,08 ⋅ 109 km/uur.

PAGINA 32

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 6 Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 32. Je ziet hoeveel de lichtsnelheid in m/s bedraagt. a

Waarom is dit getal in de wetenschappelijke notatie 3,0 ⋅ 108 en niet 2,99792458 ⋅ 108 ?

b

Het omrekenen van m/s naar km/uur kan in twee stappen. Bereken eerst de lichtsnelheid in m/uur.

c

Reken de lichtsnelheid in m/uur nu om naar km/uur.

Opgave 7 De omtrek van de Aarde is 40.000 km. Als mensen hand in hand staan met de armen gespreid zitten de middens van hun lichamen ongeveer 1,5 m van elkaar. a

Hoeveel mensen moeten er hand in hand staan met de armen gespreid om de Aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig. Er zijn ongeveer 7 miljard mensen op Aarde.

b

Hoeveel keer kunnen die op de beschreven manier de Aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Voorbeeld 2 Een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt. Hoe lang doet het licht over het afleggen van 1 seconde? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in drie decimalen nauwkeurig. Als je deze deling met de rekenmachine uitvoert, dan krijg je waarschijnlijk 3 ⋅ 10−9 seconden. Dat is niet in twee decimalen nauwkeurig. Maar je kunt de rekenmachine in de wetenschappelijke notatie zetten. Dan wordt de berekening ineens veel nauwkeuriger. Je vindt dan ongeveer 3,336 ⋅ 10−9 . De vraag is natuurlijk wel of je die nauwkeurigheid nodig hebt...

Opgave 8 Neem voor de lichtsnelheid 3,0 ⋅ 108 m/s. De afstand van de Aarde tot de Zon is ongeveer 1,5 ⋅ 108 km. Hoe lang is het licht onderweg vanaf de Zon naar de Aarde?

Opgave 9 Hier zie je een foto van de huisstofmijt. Deze diertjes leven van menselijke huidschilfers, in een hoofdkussen van je bed kunnen er wel 12000 voorkomen en dan ben je echt niet onhygiënisch. Sommige mensen zijn allergisch voor hun uitwerpselen. Zo’n huisstofmijt weegt gemiddeld slechts 1,5 ⋅ 10−3 gram en heeft afmetingen van ongeveer 0,3 mm breed tot 0,5 lang. Je kunt ze met het blote oog niet zien. Hoeveel wordt je kussen zwaarder tengevolge van de huisstofmijt er in?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 33


Voorbeeld 3 Voor 1 ⋅ 10100 bestaat de naam googol. Deze naam is omstreeks 1920 bedacht door een negenjarig neefje van de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner. De naam Google is een verbastering hiervan gemaakt door Larry Page, één van de grondleggers van deze zoekmachine. Veel rekenmachines hebben dit getal als grens van de getallen die erop kunnen worden weergegeven. Het is ongeveer zo groot als 70⋅69⋅68⋅...⋅3⋅2⋅1. 1 googolplex = 1 ⋅ 10googol , een 1 met googol nullen. Best groot...

Opgave 10 Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 34. Je ziet hoeveel ‘googol’ is. a

Hoeveel is 1 googol2?

b

En hoeveel is √googol?

Opgave 11 In de strip spreekt Schröder van een kans van ‘googol to one’. Hoe groot is die kans als je hem in de wetenschappelijke notatie schrijft? En in procenten?

Verwerken Opgave 12 Schrijf als macht van 10: a

1000

b

100000000

c

10 miljard

d

0,001

e

1 100000

f

10 miljardste

Opgave 13 Schrijf in de wetenschappelijke notatie: a

123 miljoen

b

614000000000

PAGINA 34

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


c

0,00001496

d

0,00000000000042

Opgave 14 Gebruik bij de volgende berekeningen de wetenschappelijke notatie. Geef je antwoord ook in die vorm. a

In Nederland wonen ongeveer 16 miljoen mensen. Het gemiddeld inkomen van een Nederlander is ongeveer €18.000,=. Bereken het nationaal inkomen (het inkomen van alle Nederlanders samen).

b

In Nederland zijn er jaarlijks ongeveer 1,5 miljoen middelbare scholieren. Zo’n scholier kost de overheid gemiddeld €4500,=. Hoeveel geeft de overheid jaarlijks ongeveer uit aan middelbaar onderwijs?

Opgave 15 Bacteriën zijn micro-organismen. Een bepaald soort bacterie heeft een gewicht van 2,4 ⋅ 10−8 kg. a

Op een plant bevinden zich 3,2 miljoen van deze bacteriën. Hoeveel wegen deze bacteriën samen?

b

Hoeveel van deze bacteriën wegen samen 1 kg?

Opgave 16 Uit Wikipedia (13-11-2009): Een amoebe (spreek uit als ‘ameube’) is een eencellig organisme dat bestaat uit protoplasma met één of meerdere kernen. Het endoplasma (binnenste laagje) is troebel en korrelig terwijl het ectoplasma (buitenste laagje) meestal helder is. Het organisme behoort tot de wortelpotigen en varieert afhankelijk van de soort tussen de 30 en 800 μm. 1

1 μm is 1000 mm. Hoeveel meter is een amoebe van 800 μm? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.


Opgave 17: Lichtjaren Een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt. De lichtsnelheid is ongeveer 3 ⋅ 108 m/s. Een astronomische eenheid is de gemiddelde afstand van de Aarde tot de Zon: 1 AE = 149,6 miljoen kilometer. Vooral in de sterrenkunde zijn lichtjaar en AE nuttige maten. De dubbelster Alpha Centauri vormt samen met de veel zwakkere Proxima Centauri een drievoudig systeem, dat zich van alle sterren het dichtst bij ons zonnestelsel bevindt. De afstand tot de Zon bedraagt 4,36 lichtjaar. a

Hoeveel km is 1 lichtjaar? En hoeveel AE?

b

Hoeveel km is Alpha Centauri van onze Zon verwijderd? En van de Aarde?

c

Stel je voor dat je in een ruimteschip met 20000 km/uur van de Aarde rechtstreeks naar de Zon zou kunnen vliegen. Hoe lang doe je daar dan over? En hoe lang doe je over de reis naar Alpha Centauri?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 35


Opgave 18: Schaalmodel Ons Zonnestelsel bestaat uit een ster (de Zon) en 8 planeten. Je wilt een schaalmodel maken van het zonnestelsel dat nog in een schoollokaal past. Zoek de afmetingen van deze planeten en hun onderlinge afstanden op. Bereken hoe groot je de afmetingen van de planeten moet maken en hoe groot je de (bijna) cirkelvormige banen om de Zon moet maken. Geef een overzicht van alle afmetingen.

PAGINA 36

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.7

Totaalbeeld

Samenvatten Wanneer je een getal herhaaldelijk met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je een macht van dit getal. Kwadraten zijn voorbeelden van machten. Wil je omgekeerd vanuit de macht van een getal het oorspronkelijke getal weer terugvinden dan moet je worteltrekken. Omdat je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken in komende onderwerpen regelmatig zult tegenkomen, leer je er in dit onderwerp mee werken. Verder zul je machten van 10 gebruiken bij het weergeven van heel grote en heel kleine (dicht bij 0) getallen. De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Machten en wortels’ te krijgen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4, 5 en 6 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken. Je hebt geleerd > > > > >

kwadrateren en werken met kwadraten ( Uitleg op pagina 6); terugrekenen vanuit kwadraten, worteltrekken ( Uitleg op pagina 11); rekenen met wortels ( Uitleg op pagina 16); werken met hogere machten dan bij kwadrateren ( Uitleg op pagina 21); de uitgebreide voorrangsregels voor het rekenen ook met machtsverheffen en worteltrekken ( Uitleg op pagina 27); > de wetenschappelijke notatie van hele grote getallen en getallen dicht bij 0 ( Uitleg op pagina 31). Voorkennis > rekenen met decimale getallen en de voorrangsregels voor het rekenen gebruiken; > rekenen met breuken; > rekenen met negatieve getallen.

Opgave 1 Kwadrateren en worteltrekken hangen met elkaar samen. a

Maak dat duidelijk in een begrippennet zoals dit. Vul het volledig in.

b

De meeste wortels kun je alleen benaderen. Geef een voorbeeld van zo’n wortel met de bijbehorende benadering in twee decimalen nauwkeurig.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 37


Opgave 2 Met wortels kun je in veel gevallen rekenen zonder ze te benaderen. a

Maak met twee voorbeelden duidelijk hoe je gelijksoortige wortels kunt optellen en aftrekken.

b

Maak met twee voorbeelden duidelijk hoe je wortel kunt vermenigvuldigen en delen.

Opgave 3 Hier zie je een macht. Zet de begrippen ‘grondtal’ en ‘exponent’ in de figuur.

Opgave 4 Derde machten en derdemachtswortels hangen met elkaar samen. a

Maak dat duidelijk in een begrippennet zoals dit. Vul het volledig in.

b

De meeste derdemachtswortels kun je alleen benaderen. Geef een voorbeeld van zo’n wortel met de bijbehorende benadering in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 5 Je hebt nu machtsverheffen en worteltrekken aan de mogelijke bewerkingen toegevoegd. a

Machten met hetzelfde grondtal kun je vermenigvuldigen en delen door de exponenten op te tellen respectievelijk af te trekken. Geef daarvan voorbeelden.

b

Wat doe je met de exponenten bij machten van machten? Geef een voorbeeld.

c

Geef een voorbeeld van rekenen met wortels en machten waaruit de voorrangsregels duidelijk worden.

Opgave 6 Schrijf de getallen 12000000000 en 0,0000000035 in de wetenschappelijke notatie.

PAGINA 38

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Testen De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 6 van het onderwerp ‘Machten en wortels’ voldoende beheerst.

Opgave 7 Bereken (gebruik alleen waar nodig je rekenmachine om het antwoord in twee decimalen nauwkeurig te geven): a

72

b

1,52

c

(5)

d

√6,25

e

√ 81

f

√1 16

g

√70

h

(3√6)

2 2

4

9

2

Opgave 8 Rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 is opgebouwd uit zes vierkanten die elk een oppervlakte van 2 hebben. a

Bereken de exacte omtrek van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b

De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren berekenen, namelijk door de oppervlaktes van de afzonderlijke vierkanten op te tellen en door twee verschillende zijden te vermenigvuldigen. Laat zien dat je in beide gevallen dezelfde oppervlakte krijgt.

Opgave 9 a

Je hebt een kubus met ribben van 2,5 cm. Hoe groot is de inhoud van de kubus?

b

Je hebt een kubus met een inhoud van 40 cm3. Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligt de lengte van een ribbe?

c

Je hebt een kubus met een inhoud van 40 cm3. Geef de exacte lengte van elke ribbe van deze kubus en benader deze lengte in drie decimalen nauwkeurig?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 39


Opgave 10 Maak de volgende berekeningen, geef steeds exacte antwoorden. a

74

b

50

c

(3)

d

1,63

e

√2 ⋅ 22 + 17

f

(√75 + √3)

g

6⋅32 6−32

h

51+√25 /25 − 5

2 4

2

Opgave 11 Schrijf als macht van 7: a

7 ⋅ 7140

b

7141 /715

c

(770 )

d

740 ⋅7140 (720 )9

7

Opgave 12 In Australië woonden in 2001 ongeveer 16,6 miljoen mensen. Het nationaal inkomen van Australië bedroeg in dat jaar ongeveer €270580000000,=. a

Schrijf beide getallen in de wetenschappelijke notatie.

b

Bereken het gemiddeld inkomen van een inwoners van Australië. De landoppervlakte van Australië bedraagt ongeveer 7,7 ⋅ 106 km2.

c

Hoeveel grond heeft een Australiër gemiddeld tot zijn beschikking?

Toepassen Opgave 13: Wortels benaderen Voor het benaderen van wortels bestaan verschillende technieken. Deze gaat vrij snel: > Stap 1: Doe een gok. > Stap 2: Deel het getal waarvan je de wortel wilt benaderen door je gok. > Stap 3: Bereken het gemiddelde van het getal dat je bij stap 2 hebt gevonden en je gok. Je hebt nu een nieuwe gok en daarmee herhaal je de stappen 2 en 3 tot je de gewenste benadering hebt gevonden. a

Probeer deze techniek uit en laat zien dat √12 ≈ 3,644 in drie decimalen nauwkeurig.

b

Benader op dezelfde manier √40 ≈ 3,644 in drie decimalen nauwkeurig.

c

Geef een verklaring voor deze methode met behulp de oppervlakte van rechthoeken.

PAGINA 40

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie Samensteller

Recommend Documents