Analyse deel I. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde

Analyse deel I Liliane Van Maldeghem

Hendrik Van Maldeghem

Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde

2

Hoofdstuk 1 Re¨ ele getallen 1.1

Het geordend veld van de re¨ ele getallen

In dit deel over de reële getallen zullen we de verzameling R van de reële getallen nader bestuderen. De verzameling van de reële getallen heeft een aantal specifieke eigenschappen die bij andere verzamelingen niet voorkomen. Het is hier geenszins de bedoeling om alles streng wiskundig te bewijzen, echter wel om een goede notie te krijgen van het begrip reëel getal. Om reële getallen in te voeren bestaan er verschillende ingewikkelde methodes, bvb. de methode van de sneden van Dedekind en de methode van de rationale Cauchy-rijen. De verzameling van de natuurlijke getallen N vormt een commutatieve semigroep voor de optelling (commutativiteit, inwendigheid en associativiteit) met neutraal element. Als we aan elk natuurlijk getal n een symmetrisch element −n voor de optelling hechten en deze elementen toevoegen aan N dan verkrijgen we een nieuwe verzameling, nl. de verzameling van de gehele getallen Z die een commutatieve groep vormt voor de optelling (semigroep en symmetrisch element). In Z wordt er vervolgens een vermenigvuldiging gedefinieerd, maar voor deze bewerking vormt Z maar een commutatieve semigroep met eenheidselement. De structuur Z, +, . wordt een ring met eenheidselement genoemd (Z, + is een commutatieve groep, Z, . is een commutatieve semigroep en de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling is geldig). We breiden de verzameling Z uit zodat elk element een invert element heeft voor de vermenigvuldiging en zorgen er tevens voor dat de eigenschap van de inwendigheid voor de vermenigvuldiging geldig is in de nieuwe verzameling. Deze nieuwe verzameling noemen we dan de verzameling van de rationale getallen Q. De structuur Q, +, . is een veld (Q, + en Q0 , . zijn commutatieve groepen en de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling is geldig). We definiëren vervolgens in het veld van de rationale getallen 3

4

¨ HOOFDSTUK 1. REELE GETALLEN

het quotiënt. Elk rationaal getal is te schrijven als het quotiënt van een geheel getal en een natuurlijk getal. z ∀q ∈ Q, ∃z ∈ Z, n ∈ N0 |q = . n STELLING 1.1 De structuur Q, +, . is een veld dat de ring van de gehele getallen omvat. Elk rationaal getal heeft een decimale voorstelling die ofwel afbrekend is ofwel oneindig doorlopend maar repeterend. Deze schrijfwijze bekomen we door de euclidische deling uit te voeren van de teller door de noemer van de breuk. Heeft een getal een decimale voorstelling met een slotreeks van allemaal 9es dan is dit het getal met een afbrekende decimale voorstelling, die we bekomen door de 9es te laten vallen en het cijfers juist vóór de 9es met 1 te verhogen. Dit zullen we later verklaren met de theorie van de limieten. Voorbeeld: 0,58999999999999999. . . =0,59 Sluiten we de decimale voorstellingen met een slotreeks van allemaal 9es uit en maken we de afbrekende decimale voorstellingen oneindig doorlopend door slotreeks van oneindig veel nullen aan toe te voegen dan kunnen we zeggen dat elk rationaal getal juist één oneindig doorlopende repeterende decimale voorstelling heeft. De irrationale getallen zijn de getallen waarvan de decimale voorstelling oneindig doorlopend is maar niet repeterend is. √ Het irrationale getal dat het eerst ontdekt werd was 2, en de ontdekking dat het irrationaal was, leidde tot iets wat men een crisis zou kunnen noemen in de vroeg-Griekse wiskunde. √ √ 2 = 1, 414213562...; 3 = 1, 73205...; π = 3, 141592...; het getal e = Voorbeelden: 2, 7182818..., het gulden getal 1, 618033989.., het getal van Liouville 0,01001000100001...met een gelijkmatig toenemend aantal nullen tussen de enen, het ’getal getal‘ 0,12345678910111213... met achter elkaar alle natuurlijke getallen. De irrationale getallen kunnen niet geschreven worden in de vorm van een breuk, waarvan teller en noemer gehele getallen zijn. De verzameling van de re¨ ele getallen is de unie van de verzameling van de rationale getallen en de verzameling van de irrationale getallen. Elk reëel getal heeft een oneindig doorlopende decimale voorstelling.

¨ 1.1. HET GEORDEND VELD VAN DE REELE GETALLEN

5

STELLING 1.2 De structuur R, +, . is een veld dat het veld van de rationale getallen Q, +, . omvat. D.m.v. de decimale voorstelling van de reële getallen kunnen we nu gemakkelijk de verzameling van de reële getallen ordenen volgens de relatie “is kleiner dan of gelijk aan”. Om te ordenen vergelijken we de gelijkstandige decimalen in de relatie “≤”. Elke twee reële getallen zijn op die manier met elkaar te vergelijken in de relatie “≤”. De velden R, +, . en Q, +, . worden totaal geordende velden genoemd. De volgende stellingen zijn in de meeste axiomastelsels voor reële getallen onmiddellijke gevolgen van de axioma’s of zijn soms zelf axioma’s: STELLING 1.3

1. Elk reëel getal ligt tussen twee opeenvolgende gehele getallen.

2. Tussen twee verschillende reële getallen ligt steeds een ander reëel getal (R is een dichte verzameling). GEVOLG 1.1 getal.

1. Bij elk strikt positief getal bestaat er steeds een kleiner strikt positief

2. Als een positief getal kleiner is dan elk strikt positief getal dan is het gelijk aan 0. 3. Tussen twee verschillende reële getallen ligt steeds een ander rationaal getal alsook een ander irrationaal getal. Het geheel gedeelte van een re¨ eel getal is het grootste geheel getal dat niet groter is dan het reëel getal zelf. We noteren brc Voorbeeld: b2, 135 . . .c = 2; b−3, 456 . . .c = −4. De meeste getallen waarmee men in het dagelijks leven te maken heeft zijn rationaal. Toch drijven rationale getallen, net zoals het leven zelf, in een zee van irrationaliteit rond, en in een belangrijke en goed gedefinieerde betekenis van deze woorden, te danken aan de wiskundige Georg Cantor, zijn er meer irrationale getallen dan rationale getallen. √ √ √ √ √ OPGAVEN — 1 Bepaal n als b 4 1c + b 4 2c + b 4 3c + b 4 4c + · · · + b 4 nc = 2n.

Oplossing: n = 95


6

1.2

Absolute waarde in R

1.2.1

Eigenschappen van de absolute waarde

* x > 0 ⇐⇒ |x| = x en x < 0 ⇐⇒ |x| = −x; * De bestaansvoorwaarde van een vergelijking is de voorwaarde opdat de vergelijking minstens één oplossing zou hebben. De bestaansvoorwaarde van |x| = r is r ≥ 0. * ∀r ∈ R+ : |x| = r ⇐⇒ x = −r ∨ x = r; ∀r ∈ R+ : |x| < r ⇐⇒ −r < x < r; ∀r ∈ R+ : |x| > r ⇐⇒ x < −r ∨ x > r; * ||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|; * |a.b| = |a|.|b|; * | ab | =

|a| . |b|

Voorbeelden: • x2 − | 3x2 − 4 |= 0 ⇐⇒ |3x2 − 4| = x2 ⇐⇒ 3x2 − 4 = x2 ∨ 3x2 − 4 = −x2 ⇐⇒ 2x2 − 4 = 0 ∨ 4x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x2 = 1 ∨ x2 = 2 √ ⇐⇒ x = ±1 ∨ x = ± 2 Deze oplossingen stemmen overeen met de nulpunten van de functie y = x2 − | 3x2 − 4 |. • 5 4 2 =⇒ −x − 3x + 4 = x + 45 ∨ −x2 − 3x + 4 = −x − ⇐⇒ x2 + 4x − 11 = 0 ∨ x2 + 2x − 21 =0 4 4

| − x2 − 3x + 4| = x +

5 4

√

⇐⇒ x = −2 ± 3 2 3 ∨ x = 23 ∨ x = − 27 ⇐⇒ x = 0, 598 · · · ∨ x = −4, 598 · · · ∨ x = 1, 5 ∨ x = −3, 5 Enkel de oplossingen x = 1, 5 en x = 0, 598 · · · stemmen overeen met de nulpunten van de functie y = | − x2 − 3x + 4| − x − 54

1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R

7

Figuur 1.1: de grafiek van y = x2 − | 3x2 − 4 |. Opgave: Teken hier de grafieken van y = |3x2 − 4| en y = x2 . Wat merk je op? Twee oplossingen werden door de berekeningen ingevoerd. Het eerste lid van de gegeven vergelijking is positief dus moet het tweede lid eveneens positief zijn. Dit geeft aanleiding tot de zogenaamde bestaansvoorwaarde van de vergelijking. We kunnen enkel oplossingen toelaten waarvoor x + 54 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1, 25

Figuur 1.2: de grafiek van y = | − x2 − 3x + 4| − (x + 54 ). Opgave: Teken hier de grafieken van y = | − x2 − 3x + 4| en y = x + 54 . Wat is de betekenis van de snijpunten?


8 •

| x | +x+ | x − 1 |≤ 3

(1.1)

Omdat we hier verschillende uitdrukkingen hebben met een absolute waarde gaan we best in een tabel het tekenverloop maken van de verschillende uitdrukkingen binnen de absolute waardetekens. 0 1 x x − 0 + + + x−1 − − − 0 + We onderscheiden voor de x-waarden drie gevallen: 1. x ≤ 0 dan volgt uit 13 dat −x + x − (x − 1) ≤ 3 ⇐⇒ x ≥ −2. In dit geval is de oplossingenverzameling: [−2, 0]. 2. 0 ≤ x ≤ 1 dan volgt uit 13 dat x + x − (x − 1) ≤ 3 ⇐⇒ x ≤ 2. In dit geval is de oplossingenverzameling: [0, 1] 3. x ≥ 1 dan volgt uit 13 dat x + x + (x − 1) ≤ 3 ⇐⇒ x ≤ 34 . In dit geval is de oplossingenverzameling: [1, 43 ] Besluit: We voegen de 3 oplossingengverzamelingen samen. De ongelijkheid heeft als oplossingenverzameling [−2, 43 ]. We controleren deze oplossingen grafisch. We tekenen met de computer de grafiek van de functie y =| x | +x+ | x − 1 | en van de constante functie y = 3.

Figuur 1.3: | x | +x+ | x − 1 |≤ 3 ⇐⇒ −2 ≤ x ≤

4 3

1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R

1.2.2

9

Afstand in R

De gewone afstand van twee re¨ ele getallen a en b is gelijk aan |a − b|.

1.2.3

Basisomgeving van een re¨ eel getal

De basisomgeving van een punt a ∈ R met straal is de verzameling van alle reële getallen die op een afstand liggen van a kleiner dan . {x ∈ R : |x − a| < } = {x ∈ R : − < x − a < }

= {x ∈ R : a − < x < a + } =]a − , a + [. Een basisomgeving van een reëel getal is een open interval. Een gereduceerde basisomgeving van een getal a is een basisomgeving van dat getal waaruit we dat getal weglaten. ]a − , a + [\{a}.

AN I HUISTAAK 1 1. Los op in R en controleer je oplossingen aan de hand van een grafische voorstelling met de computer: a. |(|x| − 1)| < 1; b. | x2 + 2x | −x2 + 3 = 0. c. |x − 2| + |x − 3| = 1. 2. Bepaal x + y als | x | +x + y = 10 en x+ | y | −y = 12. Stel de twee vergelijkingen voor in het vlak t.o.v. een coördinatenstelsel en duid de oplossing(en) aan. (Tip: Maak onderscheid tussen de verschillende kwadranten: I: x > 0 en y > 0, II: x < 0 en y > 0, .III: x < 0 en <> 0, II: >< 0 en y < 0.)


10

1.3

Machten in R

1.3.1

Gehele machten

We herhalen de definitie van een gehele macht van een reëel getal. ∀n ∈ N, ∀a ∈ R0 : a−n =

1.3.2

Rationale machten

1.3.2.1

Definitie z

1 . an

n ∀z ∈ Z, n ∈ N0 , ∀a ∈ R+ 0 : a =

√ n

az .

Opmerking: LET OP: • Elk positief reëel getal verschillend van nul heeft twee verschillende reële evenmachtswortels. √ 1 x2 = a ⇐⇒ x = ± a = a 2 met a ∈ R+ √ 1 In de notatie a 2 en a beschouwen we dus enkel de positieve wortel uit het positief getal a. We kennen dan ook de andere wortel die gewoon het tegengestelde getal is, √ 1 2 nl. −a en − a • Elk reëel getal heeft slechts één onevenmachtswortel die positief is als het getal positief is en negatief is als het getal negatief is. x3 = a ⇐⇒ x =

√ 1 3 a = a3

√ • Als we met Derive 3 x willen invoeren, moeten we schrijven x1/3 . Derive beschouwt x als positief, niettegenstaande hier x ook √ negatieve waarden mag aannemen. Willen we de grafiek van de functie y = 3 x tekenen dan moeten we twee voorschriften invoeren, nl. y = x1/3 en y = −(−x)1/3 . Het eerste voorschrift geeft de tak waarvoor x > 0, het tweede voor x < 0.

1.3. MACHTEN IN R

1.3.2.2

11

Rekenregels met evenmachtsswortels

Deze eigenschappen van de vierkantswortel zijn eveneens geldig voor elke andere evenmachtswortel. √ √ √ STELLING 1.4 ∀a, b ∈ R+ : a.b = a. b; √ √ √ ∀a, b ∈ R− : a.b = −a. −b; √ pa a √ ; ∀a ∈ R+ , b ∈ R+ = 0 : b b ∀a ∈ R− , b ∈ R− 0 :

pa b

=

√ √−a ; −b

Deze vier formules kunnen we in twee formules samenvatten. p p √ ∀a, b ∈ R : a.b = | a |. | b |; √ p |a| ∀a ∈ R, b ∈ R0 : ab = √ ; |b|

1.3.2.3

Rekenregels met onevenmachtsswortels

Deze eigenschappen van de derdemachtswortel zijn eveneens geldig voor elke andere onevenmachtswortel. √ √ √ STELLING 1.5 ∀a, b ∈ R : 3 a.b = 3 a. 3 b; √ p 3a ∀a ∈ R, b ∈ R0 : 3 ab = √ 3 ; b


12 1.3.2.4

Rekenregels met rationale machten

De vorige eigenschappen kunnen samengevat worden als we gebruik maken van rationale machten. p q p+q ∀a ∈ R+ 0 , ∀p, q ∈ Q : a .a = a ap ∀a ∈ R+ , ∀p, q ∈ Q : = ap−q 0 aq p p p ∀a, b ∈ R+ 0 , ∀p ∈ Q : a .b = (a.b) ap a + ∀a, b ∈ R0 , ∀p ∈ Q : p = ( )p b b + p q ∀a ∈ R0 , ∀p, q ∈ Q : (a ) = apq

1.4 1.4.1

Logaritmen Definitie

De logaritmische functie met grondtal 10 beeldt elk positief getal af op zijn exponent als je dat getal schrijft als een macht van 10. Notatie: log10 = log Voorbeelden: • log 10 = 1 • log 100 = log 102 = 2 • log 0, 1 = log 10−1 = −1 √ 1 • log 10 = log 10 2 = 12 301

• log 2 ≈ 0.301 ⇐⇒ 2 ≈ 100.301 = 10 1000 =

√ 301 10

1000

Algemeen: r ∀x ∈ R+ 0 : log x = r ⇐⇒ x = 10

De logaritmische functie met grondtal 2 beeldt elk positief getal af op zijn exponent als je dat getal schrijft als een macht van 2. Notatie: log2 Voorbeelden: • log2 2 = 1

1.4. LOGARITMEN

13

• log2 4 = log 22 = 2 • log2 64 = log2 26 = 6 • log2 0, 125 = log2 2−3 = −3 • log2 10 ≈ 3, 322 ⇐⇒ 10 ≈ 23,322 Algemeen: s ∀x ∈ R+ 0 : log2 x = s ⇐⇒ x = 2

1.4.2

Rekenregels met logaritmen + ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga x + loga y x + = loga x − loga y ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga y − ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga (−x) + loga (−y) x − ∀a ∈ R+ = loga (−x) − loga (−y) 0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga y + r ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga x − r ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga (−x)

(De laatste regel geldt voor alle x-waarde waarvoor xr bestaat.) We kunnen bovenstaande regels nog als volgt samenvatten. Zij zijn analoog met de rekenregels voor evenmachtswortels. ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga |x| + loga |y| x ∀a ∈ R+ = loga |x| − loga |y| 0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga y r ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga |x| Deze rekenregels volgen onmiddellijk uit de rekenregels met reële exponenten. We geven een bewijs van bvb. de rekenregel: + r ∀a ∈ R+ 0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga x

Bewijs: Stel s = loga x, hieruit volgt x = as . Uit de rekenregel (as )r = ars volgt dat loga xr = loga (as )r = loga ars = rs = r. loga x. Bewijs zelf op analoge wijze de andere rekenregels. Voorbeeld: log 2216091 = 216091 · log 2 ≈ 216091 · 0, 301 = 65049, 6


14

1.4.3

Verband tussen twee verschillende logaritmen log x = r ⇐⇒ x = 10r

en log2 x = s ⇐⇒ x = 2s We combineren deze twee betrekkingen: log x = log 2s = s. log 2 = log2 x · log 2 Op de rekenmachine vinden we de logaritme met grondtal 10. We kunnen de logaritme met grondtal 2 berekenen met de volgende formule: log2 x =

1.4.4

log x log 2

(1.2)

Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale en binaire schrijfwijze

Het getal 2347990 kunnen we schrijven als 2, 347990 · 106 . Dit getal heeft in de decimale schrijfwijze 7 cijfers. log 2347990 = 6, 37069 ⇐⇒ 2347990 = 106,37069 Het getal 210 = 1024 heeft 4 cijfers want log 210 = 10 · log 2 = 10 · 0, 301 = 3, 01 Besluit: Het aantal cijfers van een getal in de decimale schrijfwijze is gelijk aan dlog xe. Het getal 73 kunnen we schrijven als 1, 14062 · 26 . Het getal 73 is in de binaire schrijfwijze gelijk aan 1001001 en heeft dus 7 cijfers in de binaire schrijfwijze. 73 = 26,18982 ⇐⇒ log2 73 = 6, 18982 Besluit: Het aantal cijfers van een getal in de binaire schrijfwijze is gelijk aan dlog2 xe. Opmerking: In de voorbeelden hebben we bijvoorbeeld 2 geschreven als een rationale macht van 10. Maar eigenlijk is 2 een reële macht van 10. Reële machten van een getal worden echter pas volgend schooljaar gedefinieerd. De bedoeling van deze beschouwingen omtrent logaritmen heeft enkel als doel deze functie op de rekenmachine vanaf nu te kunnen gebruiken. OPGAVEN — 2 Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine als je weet dat log 2 = 0, 301: 1. log 20 3. log 0,√5 5. log 46 7. log 50 2. log2 10 4. log2 8 6. log2 20 8. log2 50 3 Bepaal het aantal cijfers van 32010 .

1.5. WISKUNDE-CULTUUR

1.5 1.5.1

15

Wiskunde-Cultuur Over getallen en Oneindigheid

In de zesde eeuw voor Christus, de tijd van PYTHAGORAS, werden de getallen beschouwd als het wezen van alle dingen. Getallen belichaamden zekere specifieke abstracte begrippen zoals de geest (1), het oordeel (2), de volledigheid (3), de gerechtigheid (4), het huwelijk (5=2+3 met 2 als even en vrouwelijk en 3 als oneven en mannelijk). In een later stelsel werden 1, 2, 3 en 4 vereenzelvigd met punt, lijn, vlak en lichaam. Het getal 10 werd een specifieke waarde toegekend en zou de volmaaktheid symboliseren. De mens heeft 10 vingers en 10 = 1 + 2 + 3 + 4. De pythagoreeërs erkenden geen andere verhoudingen dan die tussen natuurlijke getallen. De verhouding van de lengte van de diagonaal en de zijde van een vierkant werd dan ook alogos genoemd, dat “onuitdrukbaar” betekent en kon dus niet in een getal worden uitgedrukt. Hoe kunnen we zeker zijn dat de kunstmatig gevormde decimale ontwikkelingen zoals het getal van LIOUVILLE (1809-1882) en het “getal getal” echte getallen zijn. Een eeuw geleden werd dit probleem opgelost door CANTOR (1845-1918) en DEDEKIND (18311916). Cantor definieerde een reëel getal als een reeks of een oneindige som zoals 0, 123456789101112... = 1/10 + 2/100 + 3/1000 + 4/10000 + ... Met behulp van definities kan men deze reeksen dan bij elkaar optellen en met elkaar vermenigvuldigen. Dedekind definieerde de reële getallen ook als oneindige verzamelingen. Hij karakteriseerde een reëel getal als een snede [L, M ], een partitie van R d.w.z. dat ieder rationaal getal ofwel in L ofwel in √M voorkomt en ieder element van L kleiner is dan ieder element van M . Zo wordt 2 weergegeven door de snede [{a/b|a2 /b2 < 2}, {a/b|a2 /b2 > 2}]. Dedekind beschouwde de feitelijk oneindige verzamelingen van de snede als fundamenteel en het doet er niet toe of men beschikt over een bepaalde truc voor het construeren van een lengte waarmee je een punt kunt plaatsen in het gat van de snede. Toen men eenmaal inzag dat reële getallen kunnen worden uitgedrukt in termen van oneindige verzamelingen was het tien jaar na de dood van Cantor al vanzelfsprekend dat ieder wiskundig object kan worden weergegeven als een verzameling. Liouville maakte het verschil tussen algebra¨ısche en transcendente getallen duidelijk en bewees in 1844 dat e noch e2 wortels kunnen zijn van een vierkantsvergelijking met rationale coëfficiënten. Dit was een eerste stap vooruit in een reeks van onderzoekingen over de natuur van e en π, die in 1761 tot LAMBERT’s bewijs gevoerd hadden dat π irrationaal is, en later voerde tot het bewijs van HERMITE (1873) dat e en dat van LINDEMANN (1882) dat π transcendent is.


16

1.5.2

Het onbenoembare

Voor het benoemen van grote getallen gebruiken wij het vernuftig systeem gebaseerd op de machten van 10. In principe is er voor elk getal een naam. De naam voor het getal dat we schrijven als een 1 met 3(n + 1) nullen is in het Amerikaans een -“illion”. Een 1 met twaalf nullen heet dus “trillion”. Het getal dat bestaat uit een 1 met 100 nullen wordt vaak “googol” genoemd, maar zou evengoed “duotrentillion” kunnen worden genoemd, want 100 = 1 + 3(32 + 1). De hogere “-illion” namen worden eigenlijk zelden gebruikt en getallen met meer dan dertig cijfers worden gelezen als een opsomming van de cijfers, met dien verstande dat deze cijfers worden ge¨ınterpreteerd in termen van het getalstelsel van de machten van 10. Voor grote getallen is de notatie met exponenten handiger. Googol wordt dan geschreven als 10100 en het is gemakkelijk over te gaan naar “googolplex”, 100 gedefinieerd als 10googol = 1010 . Merk op dat een googolplex niet benoembaar is in minder dan een miljard woorden, tenminste als we de gebruikelijke -“illion”-notatie toepassen. Er zijn natuurlijk getallen dicht bij googolplex die zo onregelmatig zijn dat er geen kortere manier bestaat om ze te benoemen als door de cijfers ervan op te noemen. Deze getallen zijn voor een mens echt onbenoembaar, want een getal met googol cijfers zou, uitgeschreven op vellen papier, met gemak de hele ruimte tot de verst afgelegen zichtbare ster vullen: als we tien miljard kubieke lichtjaren zouden vullen met boeken die de cijfers bevatten, zou daarin, slechts ruimte zijn voor ongeveer 1062 cijfers. Volgens ARCHIMEDES (287-212 v.C.) zijn er minder dan 1063 zandkorrels nodig om een bol te vullen met straal gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon. Wat is het grootst mogelijke natuurlijk getal dat ik kan bedenken of het natuurlijk getal dat ikzelf kan beschrijven? Misshien kan ik een keer een getal G beschrijven, maar ga ik dood voordat ik zover ben G + 1 te noemen; dus is het toch niet waar dat je, als je over G kunt spreken, ook altijd over G + 1 kunt spreken. Hoe kunnen we over dingen spreken waarover we niet kunnen spreken? Deze vraag geeft aanleiding tot de paradox van Berry: Het kleinste natuurlijk getal niet benoembaar in minder dan vijfentwintig lettergrepen is zelf een naam bestaande uit vierentwintig lettergrepen, dus het kleinste natuurlijk getal niet benoembaar in vijfentwintig lettergrepen kan in vierentwintig lettergrepen worden benoemd, wat een contradictie is. Een wereld zonder paradoxen is niet denkbaar, aangezien een paradox eigen is aan het rationele denken zelf. In plaats van te stellen dat de paradoxen aangeven dat de wereld “onwaar” is, kunnen we beter stellen dat ze aangeven dat de wereld onvolledig is of dat de werkelijkheid meer is dan wat je op het eerste gezicht zou zeggen.

Hoofdstuk 2 Functies 2.1

Relaties

Inleiding: Het begrip functie is bijzonder belangrijk in de wiskunde omdat het idee dat er een verband tussen twee bepaalde grootheden bestaat er op een formele wijze door vastgelegd wordt. De wereld is vol zaken die afhankelijk zijn van, een functie zijn van, of een bepaalde relatie hebben met andere zaken. Men zou zelfs kunnen stellen dat de wereld eenvoudigweg geheel uit zulke verbanden is opgebouwd. We zijn genoodzaakt afhankelijkheid te formaliseren. Door het in een wiskundig bruikbare vorm te gieten, zullen we deze fenomenen beter kunnen beschrijven, en vooral begrijpen. Op die manier ontwikkelen we wiskundige modellen voor natuurlijke (en ook door de mens in het leven geroepene) fenomenen. Dit stelt ons in staat niet alleen dingen te begrijpen, maar soms zelfs voorspellingen te doen, vb: het weer, economie, enz... Wij worden geconfronteerd met het probleem een bruikbare schrijfwijze voor wiskundige afhankelijkheid te ontwerpen. De schrijfwijze om functionele afhankelijkheid weer te geven is onmisbaar. Het stelt ons in staat verbanden in een notedop weer te geven. Zonder een schrijfwijze zou het bijzonder moeilijk zijn de flexibiliteit en de kracht van de wiskundige analyse toegankelijk te maken. In de loop van de geschiedenis van de wiskunde is het heel duidelijk dat het vinden van schrijfwijzen en notaties het wiskundig denken grote sprongen vooruit helpt.

2.1.1

Definitie

Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels (x, y) waarbij x een element is van A en y een element is van B. Uit de definitie volgt onmiddellijk: Elke relatie van A naar B is een deelverzameling van de productverzameling A × B. We zeggen ‘y staat in relatie met x? of ‘y correspondeert met x in de relatie’. 17

18

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES

2.1.2

Triviale relaties

* De groots mogelijke relatie. De productverzameling A × B is een relatie van A naar B, die alle koppels (x, y) bevat waarbij x een element is van A en y een element is van B. * De kleinst mogelijke relatie De ledige relatie ∅ bevat geen enkel koppel.

2.1.3

Analytisch voorstelling van een relatie

Zijn x en y reële getallen dan kan het verband tussen x en y meestal voorgesteld worden door een vergelijking (eventueel ongelijkheid) die we algemeen noteren door R(x, y) = 0. Alle koppels (x, y) van de relatie zijn oplossing van R(x, y) = 0. in dit geval is de relatie een deelverzameling van R × R.

2.1.4

Voorstelling van een relatie

1. Op Venn-diagram: Als y in relatie staat met x dan trekken we een pijl van x ∈ A naar y ∈ B. 2. Grafisch d.i. in een (x, y)-vlak als x en y reële getallen zijn. Alle koppels van de relatie vormen dan een figuur in het (x, y)-vlak. Het (x, y)-vlak zelf is de grafische voorstelling van R × R.

2.1.5

Voorbeelden

• De relatie ’y is ouder van x’ in een familie is een relatie van de familie naar de familie. Stel deze relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.1). Het tekenen van die relatie in het Venn-diagram geeft juist de stamboom weer van de familie. • De relatie ’y is een deelverzameling van x’ in de verzameling D(A) van de deelverzamelingen van A = {1, 2, 3} is een relatie van D(A) naar D(A). Stel deze relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.2).

2.1. RELATIES

19

Figuur 2.1: de relatie ’y is ouder van x’

Figuur 2.2: de relatie ’y is deelverzameling van x’

20


Figuur 2.3: de relatie ’y is het dubbel van x’ in Z

Figuur 2.4: de relatie ’y is kleiner dan x’ in N • De relatie ’y is het dubbel van x’ in de verzameling van de gehele getallen is een relatie van Z naar Z. R(x, y) = 0 ⇐⇒ y = 2x ⇐⇒ y − 2x = 0 ⇐⇒ 2x − y = 0 Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.3). • De relatie ’y is kleiner dan x’ in de verzameling van de natuurlijke getallen is een relatie van N naar N. y < x ⇐⇒ y − x < 0 ⇐⇒ x − y > 0 Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.4).

¨ 2.2. FUNCTIES - REELE FUNCTIES

2.2

21

Functies - re¨ ele functies

2.2.1

Definities

Een functie van A in B is een relatie van A naar B, waarbij elk element x van A overeenkomt met hoogstens één element y van B. We zeggen: y is functie van x. We zeggen: y is het beeld van x. We noemen x de onafhankelijk veranderlijke en y de afhankelijk veranderlijke en Een functie van A in B is een re¨ ele functie als en slechts als de verzamelingen A en B twee deelverzamelingen zijn van R. We schrijven: f : A −→ B, x 7→ f (x) (x, f (x)) is een koppel van de functie. We zeggen: f (x) is de functiewaarde van f voor x. Er geldt R(x, y) = 0 ⇐⇒ y = f (x) y = f (x) wordt het voorschrift van de re¨ ele functie genoemd. De grafische voorstelling van een relatie die een functie is, wordt de grafiek van de functie f genoemd. Belangrijke opmerking: Een functie is volledig bepaald door zijn voorschrift en door de verzamelingen A en B. Enkel het voorschrift geven is onvoldoende. Twee reële functies met hetzelfde voorschrift kunnen gedefinieerd zijn in verschillende deelverzamelingen van R. In het vervolg vermelden we enkel het voorschrift van de functie als A = B = R. Zijn A of B echte deelverzamelingen van R dan vermelden we dat er expliciet bij. Voorbeeld: De relatie ‘y is het kwadraat van x’ is een functie omdat elk getal x maar één kwadraat heeft. y = x2 Tegenvoorbeeld: De relatie ‘y is een vierkantswortel uit x’ is geen functie omdat elk strikt positief getal x twee vierkantswortels heeft. √ y 2 = x ⇐⇒ y = ± x

22


Figuur 2.5: Venn-diagram

Figuur 2.6: Grafische voorstelling

OPGAVEN — 4 Welke van alle voorgaande relaties zijn functies en welke niet?

2.2.2

Praktische voorbeelden

: • De oppervlakte van een cirkel is functie van de straal: Opp. = πR2 . De grafiek is een halve parabool. • De afgelegde weg bij de valbeweging is functie van de tijd : 1 x = gt2 2

(g = 9, 81...m/sec2 ).


23

De grafiek is een halve parabool. Ook snelheid en versnelling zijn functies van de tijd. De kinetische energie is een functie van de snelheid. De potentiële energie is een functie van de afstand. De barometerdruk is een functie in van de hoogte. • In de economie: Het aantal eenheden dat de consument bereid is te kopen is afhankelijk van de prijs (vraagfunctie, vraagkurve, collectieve vraagkurve). Het aantal eenheden dat de producent bereid is te verkopen wordt bepaald door de prijs dat hij er kan voor krijgen (aanbodfunctie, aanbodkurve). Het aantal verkochte eenheden van een product is een functie van de eenheidsprijs (omzetkurve, prijsafzetfunctie). De totale kosten zijn functie van het geproduceerde en verkochte eenheden. • In de scheikunde: De snelheid van een chemische reactie is een functie van de tijd en de radioaktiviteit is een functie van de tijd. • In de geneeskunde: De hoeveelheid bacteriën is een functie van de tijd, evenals het aantal geboorten en sterften.

2.2.3

Verdere begrippen en zegswijzen

De verzameling A wordt de bron van de functie genoemd. De verzameling B wordt het doel van de functie genoemd. De verzameling van alle x van A die een beeld hebben wordt het domein van de functie of het definitiegebied van de functie genoemd. We noteren domf . domf ⊂ A. De verzameling van alle beelden wordt de beeldverzameling f (A) genoemd. We noteren f (x). f (A) ⊂ B. Stel al deze begrippen voor op Venn-diagram en op grafiek (zie figuur 2.7).

24


Figuur 2.7: voorbeeld: ‘y is het omgekeerde van x’

2.2.4

Bijzondere functies

Afbeelding Een functie van A in B is een afbeelding van A in B als elk element van A juist één beeld heeft in B (zie figuur 2.8). domf = A

Figuur 2.8: voorbeeld van afbeelding: ‘y is het kwadraat van x’ Injectie Een injectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van hoogstens één element van A (zie figuur 2.9). Met symbolen: ∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 m ∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).

Surjectie Een surjectie van een verzameling A op een verzameling B is een afbeelding van


25

Figuur 2.9: voorbeeld van injectie: ‘y is een reële macht van 10’

Figuur 2.10: voorbeeld van surjectie: ‘y is de som van de derde macht van x en het kwadraat van x’ A in B waarbij elk element van B het beeld is van ten minste één element van A, m.a.w. f (A) = B (zie figuur 2.10). Bijectie Een bijectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van juist één element van A. Een bijectie is een afbeelding die t.z.t. een injectie en een surjectie is (zie figuur 2.11).

Figuur 2.11: voorbeeld van bijectie: ‘y is de derdemachtswortel uit x’

26


2.2.5

Restrictie en uitbreiding van een functie

De restrictie van een functie f : A → B tot een deelverzameling D van A en een deelverzameling E van B is de functie g : D → E waarvoor ∀x ∈ D : g(x) = f (x). Belangrijke opmerkingen : * Het verschil tussen het begrip functie en het begrip afbeelding hangt enkel af van hoe de bron gedefinieerd is. Als we van een functie de restrictie nemen tot zijn domein dan verkrijgen we een afbeelding. Zo kunnen we van elke functie een afbeelding maken. Voorbeeld: 1 f : R −→ R : x 7→ x is geen afbeelding omdat 0 ∈ R geen beeld heeft. Maar f1 : R0 −→ R : x 7→

1 x

is een afbeelding omdat elk element van R0 een beeld heeft.

Figuur 2.12: functie en afbeelding

* Het verschil tussen het begrip injectie en het begrip bijectie hangt enkel af van hoe het doel gekozen werd. Beperken we het doel B van een injectie tot de beeldverzameling dan wordt de injectie een bijectie. Zo kunnen we van elke injectie een bijectie


27

maken. Voorbeeld: De afbeelding 1 x is een injectie maar geen surjectie. Maar de injectie f1 : R0 −→ R : x 7→

f2 : R0 −→ R0 : x 7→

1 x

is een surjectie en dus een bijectie.

Figuur 2.13: injectie en bijectie

Een uitbreiding van een functie f : A → B in een punt d ∈ A met d 6∈ domf is een functie f : A → B waarvoor ∀x ∈ A \ {d} : f (x) = f (x) 2

−1 Voorbeeld: De functie f : y = xx+1 is een functie die geen beeld heeft in x = −1 omdat voor deze waarde de noemer dan nul is. De functie f : y = x − 1 is een uitbreiding van f in −1 omdat

x2 − 1 ∀x ∈ R \ {−1} : =x−1 x+1

28


Figuur 2.14: uitbreiding van een functie OPGAVEN — 5 Gegeven is de relatie xy − x + 3 = 0 1. Toon aan dat de gegeven relatie een functie? 2. Geef het voorschrift van de functie; 3. Ga na of de functie een afbeelding is; 4. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functie verloren gaan. Bepaal deze restrictie; 5. Teken de grafiek met de computer en verifieer alles op grafiek. 6 Gegeven is de relatie x2 + y 2 = 4. 1. Is de gegeven relatie een functie? Leg uit; 2. Teken de grafische voorstelling. 7 Gegeven is de relatie ux + vy + w = 0. met (u, v, w) ∈ R3 . In welk geval is de gegeven relatie 1. geen functie? Hoe ziet de grafische voorstelling eruit? 2. een functie? Hoe ziet de grafiek eruit? 3. een functie die geen injectie is? Hoe ziet de grafiek eruit? 8 Gegeven is de functie y =

√

x.

1. Geef het domein van de gegeven functie; 2. Is de gegeven functie een afbeelding? 3. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functie verloren gaan. Bepaal deze restrictie; 4. Teken de grafiek van de functie. 9 Gegeven is de kwadratische functie y = (x − 1)(x − 5). 1. Is de functie een afbeelding? 2. Is deze functie een injectie? Leg uit; 3. Is deze functie een surjectie? Leg uit; 10 Is de volgende vergelijking het voorschrift van een functie. 1) x2 + 2y = 0 2) 4x2 − 9y 2 = 36 3) y 3 = x

2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 2.2.5.1

29

Lineaire afbeeldingen

Een afbeelding f : A −→ B is een lineaire afbeelding of een homomorfisme als en slechts als het beeld van een lineaire combinatie van elementen van A gelijk is aan de lineaire combinatie van de beelden. De verzamelingen A en B zijn reële vectorruimten. In het geval van reële functies is A = B = R. De verzameling van de reële getallen vormt eveneens een reële vectorruimte. ∀x1 , x2 ∈ A, ∀r, s ∈ R : f (r.x1 + s.x2 ) = r.f (x1 ) + s.f (x2 ). We zien gemakkelijk in dat bij een lineaire afbeelding de nulvector van A afgebeeld wordt op de nulvector van B. Voor lineaire reële functies wordt 0 op zichzelf afgebeeld. De enige reële functies die lineair zijn, zijn de functies f : x 7→ ax met a ∈ R. Deze functies zijn eerstegraadsfuncties waarvoor de grafiek een rechte is door de oorsprong (verschillend van de y-as).

2.3

Bewerkingen met functies

Bewerkingen zoals som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotiënt van functies kunnen voor functies van A naar B enkel gedefinieerd worden als deze bewerkingen ook gedefinieerd zijn in de verzamelingen A en B. Deze bewerkingen zijn gedefinieerd in R, dus kunnen ze gedefinieerd worden voor reële functies. In een reële vectorruimte is de som en de scalaire vermenigvuldiging van vectoren gedefinieerd, maar het product en het quotiënt van twee vectoren definiëren wij daar niet. Voor homomorfismen zullen we dus enkel de som, het verschil en de scalaire vermenigvuldiging beschouwen. De definities van som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotiënt van functies zijn enkel geldig waar de gelijknamige bewerkingen in het doel gedefinieerd zijn.

2.3.1

Samenstelling van twee relaties

De samenstelling van de relatie R1 (x, y) van A naar B en de relatie R2 (y, z) van B naar C is een relatie van A naar C. We illustreren met voorbeelden. • De samenstelling van de relatie ’y is moeder van x’ gevolgd door de relatie ’z is zus van y’ is de relatie ’z is een tante van x’. Stel deze samenstelling voor op Venn-diagram (zie figuur 2.15) y is moeder van x −→ z is zus van de moeder van x ⇐⇒ z is tante van x z is zus van y

30

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES • De samenstelling van de relatie ’y is een vierkantswortel uit x’ gevolgd door de relatie ’z is de derdemachtswortel uit y’ is de relatie ’z is een zesdemachtswortel uit x’. √ √ y2 = x y=± x 3 2 2 6 6 √ ⇐⇒ ⇐⇒ (z ) = y = x ⇐⇒ z = x −→ z = ± x 3 z= 3y z =y Stel deze samenstelling voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.15).

Figuur 2.15: de samenstelling van relaties - Venndiagrammen

2.3.2

Samenstelling van twee functies

De samenstelling van twee functies f : A −→ B, x 7→ y en g : B −→ C, y 7→ z is de relatie g ◦ f : A −→ C, x 7→ z (We lezen g na f of f wordt gevolgd door g). Er geldt (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Voorbeeld: We beschouwen de functies f : y = x2 en g : y = x + 1. In de samenstelling g ◦ f werkt de functie g in op de beelden y van f . Daarom is y de onafhankelijk veranderlijke van g en schrijven we g : z = y + 1 voor het voorschrift van g. f : y = x2 =⇒ g ◦ f : z = x2 + 1 g :z =y+1

2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES

31

In de samenstelling f ◦ g werkt de functie f in op de beelden y van g. Daarom is y de onafhankelijk veranderlijke van f en schrijven we f : z = y 2 voor het voorschrift van f . g :y =x+1 =⇒ f ◦ g : z = (x + 1)2 f : z = y2 We zien dat de samenstelling van twee functies niet commutatief is. Dit komt overeen met het product van matrices dat eveneens niet commutatief is. Teken enkele punten van de twee samenstellingen g ◦ f en f ◦ g aan de hand van de grafieken van f en g in de figuur 2.16.

Figuur 2.16: g ◦ f : y = x2 + 1 en f ◦ g : y = (x + 1)2

2.3.3

Inverse relatie

De inverse relatie van een relatie R(x, y) = 0 van A naar B is de relatie R(y, x) = 0 van B naar A die de verzameling is van alle koppels (y, x) waarvoor (x, y) een koppel is van de relatie R(x, y) = 0. Zijn x en y van een relatie reële getallen dan liggen de grafische voorstellingen van relatie en haar inverse relatie symmetrisch t.o.v. de rechte x = y.

32


Voorbeelden: • De inverse relatie van de relatie ’y is ouder van x’ is de relatie ’x is ouder van y’ wat hetzelfde is als ’y is kind van x’. Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.17).

Figuur 2.17: ‘y is ouder van x’ en ‘y is kind van x’ zijn inverse relaties • De inverse relatie van de relatie ’y is strikt kleiner dan x’ is de relatie ’y is strikt groter dan x’. y < x −→ x < y ⇐⇒ y > x Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.18).

Figuur 2.18: ‘y is kleiner dan x’ en ‘y is groter dan x’ zijn inverse relaties • De inverse relatie van ’y is het kwadraat van x’ is de relatie ’y is een vierkantwortel van x’. √ y = x2 −→ x = y 2 ⇐⇒ y = ± x ⇐⇒ y 2 = x Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.19).


33

Figuur 2.19: ’y is kwadraat van x’ en ‘y is een vierkantswortel van x’ zijn inverse relaties

2.3.4

Inverse functie

In voorgaande voorbeelden zagen we dat de inverse relatie van een functie niet altijd een functie is. De volgende stelling geeft de voorwaarden opdat de inverse relatie van een functie een functie zou zijn. STELLING 2.1 De inverse relatie van een functie is een functie op voorwaarde dat de restrictie tot het domein van de functie een injectie is. Beperken we het doel van een injectie tot zijn beeldverzameling dan wordt deze injectie een bijectie. De inverse functie van een bijectie is weer een bijectie. Bewijs: Wat in de definitie van functie gezegd wordt over de bron, wordt in de definitie van injectie gezegd over het doel. We noteren: f −1 is de inverse functie van f . Restrictie tot het domein is een injectie. Voorbeelden: • De inverse relatie van ’y is het dubbel van x’ is de relatie ’y is de helft van x’. f : y = 2x is een bijectie daaruit volgt dat f −1 : y = x2 een functie en tevens een bijectie is. x y = 2x −→ x = 2y ⇐⇒ y = 2 Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.20). • De functie y = ax + b met a 6= 0 is een bijectie. De inverse functie is 1 x = ay + b ⇐⇒ y = (x − b). a Merk op dat de richtingscoëfficiënten van de rechten elkaars omgekeerden zijn.

34


Figuur 2.20: ‘y is dubbel van x’ en ‘y is de helft van x’ zijn inverse relaties • Gegeven zijn de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 6x + 15. Bepaal de functie g zodat g ◦ f = h. Oplossing: Aangezien f een eerstegraadsfunctie is bestaat de inverse functie f −1 : y = 31 (x − 5). We gaan beide leden van de gelijkheid g ◦ f = h rechts samenstellen met f −1 . (g ◦ f ) ◦ f −1 = h ◦ f −1 ⇔ (g ◦ (f ◦ f −1 ) = h ◦ f −1 ⇔ g = h ◦ f −1 1 f −1 : y = 31 (x − 5) =⇒ g : z = 6( (x − 5)) + 15 ⇔ g : z = 2x + 5 h : y = 6x + 15 3 De gevraagde functie is g : y = 2x + 5. • De restrictie van de functie f : y =

1 x

f : R0 −→ R0 : x 7→

1 x

is een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie. y=

1 1 1 −→ x = ⇐⇒ y = x y x

De inverse functie is de functie zelf. De grafiek van deze functie moet dus noodzakelijk symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = x.


35

De restrictie tot het domein is geen injectie Voorbeeld: De restrictie van de functie y = x2 tot zijn domein is geen injectie. Bijgevolg is de inverse relatie y 2 = x geen functie. De grafische voorstelling van √ deze relatie √ bestaat echter wel uit de unie van de grafieken van de twee functies y = x en y = − x. Duid deze functies aan op de grafische voorstelling van y 2 = x in de figuur 2.21. We kunnen twee restricties van f beschouwen die injecties zijn, nl. f1 : R+ −→ R : x 7→ x2

en

f2 : R− −→ R : x 7→ x2

Beperken we de doelen van f1 en f2 tot hun beeldverzamelingen dan verkrijgen we de bijecties: g1 : R+ −→ R+ : x 7→ x2

en

g2 : R− −→ R+ : x 7→ x2

De inverse functies van g1 en g2 zijn resp.: √ √ g1−1 : R+ −→ R+ : x 7→ x en g2−1 : R+ −→ R− : x 7→ − x Praktisch kunnen we kort schrijven: √ y = x2 met x ≥ 0 en y > 0 −→ x = y 2 met y ≥ 0 en x > 0 ⇔ y = + x met y ≥ 0 en x > 0 √ y = x2 met x ≤ 0 en y > 0 −→ x = y 2 met y ≤ 0 en x > 0 ⇔ y = − x met y ≤ 0 en x > 0

Figuur 2.21: de inverse relatie y 2 = x is geen functie

36


2.3.5

Som van twee functies

De som van twee functies f en g van A in B is de functie f + g van A in B die elke x waarvoor de beelden f (x) en g(x) bestaan, afbeeldt op de som van de beelden nl. f (x) + g(x). Met symbolen: ∀x ∈ domf ∩ domg : (f + g)(x) = f (x) + g(x). Voorbeelden: • In de economie is de collectieve vraagfunctie de som van de individuele vraagfuncties. √ √ • De som van de functies f : y = x1 en g : y = x is de functie f + g : y = x1 + x. Het domein van deze som is de doorsnede van het domein R0 van f en het domein R+ van g, nl. R+ 0 . Teken enkele punten van f + g in figuur 2.22 aan de hand van de grafieken van f en g.

Figuur 2.22: y =

1 x

+

√ x


37

STELLING 2.2 De som van functies van A naar B is commutatief in de verzameling van de functies van A naar B.

Bewijs: Deze eigenschap is geldig voor reële functies omdat de som van reële getallen commutatief is. De eigenschap is ook geldig voor lineaire afbeeldingen omdat de som van vectoren in een vectorruimte commutatief is. De tegengestelde functie van de functie f : A −→ B is de functie −f , die elke x-waarde van domf ⊂ A afbeeldt op −f (x). Voor reële functies is −f (x) het tegengesteld reëel getal van f (x). De grafieken liggen symmetrisch t.o.v. de x-as. Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is −f (x) de tegengestelde vector van de vector f (x). Voorbeeld: De tegengestelde functie van de functie f : y = 2x2 + 1 is de functie −f : −2x2 − 1. Teken enkele punten van de grafiek van −f in figuur 2.23 aan de hand van de grafiek van f .

Figuur 2.23: y = 2x2 + 1 en y = −2x2 − 1

38


2.3.6

Het verschil van twee functies

Elke functie heeft een tegengestelde functie. We kunnen nu het verschil van twee functies definiëren. Het verschil van twee functies f en g is de functie f − g die we bekomen door bij f de tegengestelde functie van g op te tellen. Het komt er op neer de beelden van de twee functies van elkaar af te trekken. Voor reële functies is dit volgens de definitie van verschil van twee reële getallen. Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is dit volgens de definitie van verschil van vectoren. (f − g)(x) = (f + (−g))(x) = f (x) + (−g(x)) = f (x) − g(x). Voorbeeld: In de economie is de winst of het verlies (positief en negatief resultaat) het verschil van de omzetfunctie en de totale kostenfunctie.

2.3.7

De scalaire vermenigvuldiging van functies

Het product van de functies f en het re¨ eel getal r is de functie r.f die elke x ∈ domf afbeeldt op het product van r en het beeld f (x) nl. rf (x). Met symbolen: ∀r ∈ R, ∀x ∈ domf : (r.f )(x) = rf (x). Voor reële functies steunt deze definitie op het product van reële getallen. Voor lineaire afbeeldingen steunt ze op de scalaire vermenigvuldiging van vectoren. Voorbeelden: • Het product van de functie f : y =

√ √ x en het reëel getal 23 is de functie 32 f : y = 32 x.

• Het product van de functie y = bxc met het reëel getal

1 2

is de functie y = 12 bxc.


39

Figuur 2.24: scalaire vermenigvuldiging van functies op grafiek

Figuur 2.25: y =

3√ x 2

40


Figuur 2.26: grafiek van y = bxc en y = 12 bxc

2.3.8

Het product van twee functies

Het product van twee functies f en g is de reële functie f.g die elke x-waarde waarvoor de beelden f (x) en g(x) bestaan, afbeeldt op het product van de beelden nl. f (x)g(x). Met symbolen:

∀x ∈ domf ∩ domg : (f.g)(x) = f (x)g(x).

√ √ Voorbeeld: Het product van de functies f : y = x en g : y = x is de functie f ·g : y = x x. Het domein van dit product is de doorsnede van het domein R van f en het domein R+ van g, nl. R+ . Teken enkele punten van f · g in de figuur aan de hand van de grafieken van f en g.


41

De omgekeerde functie van een functie f is de functie f1 , die elke x-waarde waarvoor 1 het beeld f (x) bestaat en verschillend is van nul, afbeeldt op f (x) . 1 De omgekeerde functie f heeft hetzelfde domein als f op de nulpunten van f na. 1 is gelijk aan de constante functie Het product van y = f (x) en haar omgekeerde f (x) y = 1. 1 . Voorbeeld: De omgekeerde functies van de functie f : y = x + 1 is de functie f1 : y = x+1 Het domein van de omgekeerde is R \ {−1}. Teken enkele punten van f1 in de figuur aan de hand van de grafiek van f .

42

2.3.9


Quoti¨ ent van twee functies

De omgekeerde functie van de nulfunctie, dit is de functie die elke x op 0 afbeeldt, is de ledige functie. Voor elke andere functie bestaat de omgekeerde functie. Het quoti¨ ent van twee functies f en g is het product van de eerste functie f met de omgekeerde functie van de tweede functie g op voorwaarde dat g niet de nulfunctie is. Het quotiënt van twee functies f en g beeldt elke x-waarde van domf ∩ domg en waarvoor g(x) 6= 0, af op het quotiënt van de beelden. Met symbolen: f (x) f . ∀x ∈ domf ∩ domg ∧ g(x) 6= 0 : (x) = g g(x) Het quotiënt van twee functies is niet commutatief in de verzameling van de functies van A in B. √ Voorbeeld:√ Het quotiënt van de functies f : y = x en g : y = x + 2 en is de functie x f : y = x+2 . Het domein van dit quotënt is de doorsnede van het domein R+ van f en g het domein R van g en waar we x = −2 moeten uitsluiten omdat het een nulpunt is van g, nl. R+ \ {−2}. Teken enkele punten van fg in de figuur aan de hand van de grafieken van f en g.


43

AN I groepswerk 1 1. Gegeven de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 3x2 + 3x + 2. Bepaal de functie g zodat f ◦ g = h. 2. Gegeven is de functie f : y = 2x3 − 16. (a) Teken de grafiek van f met de computer; (b) Is f een injectie, een bijectie? Bekijk dit op het voorschrift en op grafiek van f; (c) Bepaal de inverse relatie van f en teken de grafiek a.h.v. de grafiek van f . 3. Gegeven zijn de functies f : y = −2x2 − 7x + 4 en g : y = 1 − 2x. (a) Teken t.o.v. eenzelfde coördinatenstelsel de grafiek van f in potlood en de grafiek van g in groen; (b) Bepaal de nulpunten x1 en x2 van f ; (c) Leid uit de waarden van x1 en x2 de x-waarde xt af van de top van de parabool y = f (x); (d) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 12 f voor x = 0, x1 , x2 en xt schets in groen de grafiek van 12 f ; (e) Bepaal het voorschrift van 21 f . (f) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 12 f + g voor x = 0, x1 , x2 en xt ; (g) Welk nulpunt van 21 f + g is eenvoudig grafisch te bepalen; (h) Schat de x-waarde van de top van 12 f + g. Leid hieruit de waarde af van het ander nulpunt van 12 f + g; (i) Schets de grafiek van 21 f + g aan de hand van de gevonden punten; (j) Bepaal het voorschrift van 12 f + g; (k) Maak een andere tekening met de grafieken van f en g. Bepaal indien mogelijk grafisch de punten van de grafiek van fg voor x = 0, x1 , x2 en xt . Je merkt op dat deze punten op eenzelfde rechte liggen. Wat moet de vergelijking zijn van die rechte? Duid ook het punt aan waar fg niet bestaat; (l) Als je de grafiek van fg tekent met de computer dan zie je dat de grafiek inderdaad een rechte is die een gaatje vertoont. (m) Kan je dat verklaren a.d.v. de voorschriften van f en g en het voorschrift van f . g Oplossingen: 1:g : y = x2 + x − 1, 1: f −1 : y =

p 3 x 2

+8

44

2.4


Transformaties van krommen

In deze paragraaf zullen we de invloed onderzoeken van een transformatie op de vergelijking R(x, y) = 0 van een kromme.

2.4.1

Verschuivingen

2.4.1.1

Het beeld van een punt onder een verschuiving

We beschouwen in het vlak de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ). Elk punt P (x, y) van het vlak wordt door de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ) afgebeeld op een punt P 0 (x0 , y 0 ) en de transformatieformules zijn ~ 0 = op op ~ + ~v m (x0 , y 0 ) = (x, y) + (x0 , y0 ) m (x, y) = (x0 , y 0 ) − (x0 , y0 ) De formule in de vorm van een stelsel is 0 x = x + x0 y 0 = y + y0 m

x = x0 − x0 y = y 0 − y0

Het is handig deze stelsels schematisch voor te stellen met matrices. 0 x x x0 = + y0 y y0 m

x y

=

x0 y0

−

x0 y0

De matixvoorstelling van de transformatieformules in verkorte gedaante is X 0 = X + X0 ⇐⇒ X = X 0 − X0 .

(2.1)

2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN 2.4.1.2

45

Het beeld van een kromme onder een verschuiving

Is R(x, y) = 0 de vergelijking van de kromme K dan zoeken we de vergelijking van het beeld K 0 van K onder de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ). Daartoe zoeken we het verband waaraan de coördinaat (x01 , y10 ) van het beeld P 0 van het punt P (x1 , y1 ) ∈ K moet voldoen opdat het op K 0 zou gelegen zijn. Voor elk beeldpunt P 0 (x01 , y10 ) van een punt P (x1 , y1 ) ∈ K geldt volgens de transformatieformules 2.1 R(x01 − x0 , y 0 − yo ) = 0. De coördinaat (x01 , y10 ) van elk beeldpunt P 0 voldoet aan de vergelijking R(x − x0 , y − yo ) = 0. De kromme K 0 met vergelijking R(x − x0 , y − y0 ) = 0 is het beeld onder de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ) van de kromme K met vergelijking R(x, y) = 0 . Bijzondere geval: verschuiving van de grafiek van een functie De grafiek G0 : y − y0 = f (x − x0 ) is het beeld van de grafiek G : y = f (x) onder een verschuiving over de vector (x0 , y0 ). De grafiek G0 : y = f (x − x0 ) is het beeld van de grafiek G : y = f (x) onder de verschuiving langs de x-as over de vector (x0 , 0). De grafiek G0 : y − y0 = f (x) ⇐⇒ y = f (x) + y0 is het beeld van de grafiek G : y = f (x) onder de verschuiving langs de y-as over de vector (0, y0 ). De functie y − y0 = f (x) ⇐⇒ y = f (x) + y0 bekomt men ook door de som te maken van de functie y = f (x) en de constante functie y = y0 (zie bladzijde 36).

46


Figuur 2.27: verschuiving van een grafiek langs de x-as en langs de y-as Voorbeelden: • Elke parabool y = ax2 + bx + c is de verschuiving van een parabool met vergelijking y = ax2 . We herhalen de berekening die we kunnen maken om de vector van verschuiving te bepalen. De vergelijking y = ax2 + bx + c van de parabool kunnen we als volgt in een andere gedaante brengen. y = ax2 + bx + c b b2 b2 2 = a(x + x + 2 ) + c − a 4a 4a b 2 4ac − b2 = a(x + ) + 2a 4a De parabool met vergelijking y+

b2 − 4ac b = a(x + )2 4a 2a

is het beeld van de parabool met vergelijking y = ax2

2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN

47

onder de verschuiving met vector ~v (−

b b2 − 4ac b D ,− ) = ~v (− , − ) met D de discriminant 2a 4a 2a 4a

dit is de plaatsvector van de top van de parabool (t.o.v. een orthonormale basis).

Figuur 2.28: bepaal de vector van verschuiving die y = 12 x2 afbeeldt op y = 12 x2 + 2x + 5 • De cirkel met vergelijking C 0 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 is de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ) van de cirkel met vergelijking C : x2 + y 2 = R2 . De vector van de verschuiving is de plaatsvector van het middelpunt van de cirkel C 0 .

Figuur 2.29: bepaal de vector van verschuiving die x2 + y 2 = 1 afbeeldt op 4x2 + 4y 2 + 4x + 16y + 13 = 0

48


Figuur 2.30: y = bxc en y = bx − 1c = bxc − 1 • Toon aan dat bx − 1c = bxc − 1. Dit betekent dat de grafiek van de trapfunctie y = bxc voor een verschuiving met vector ~v (1, 0) dezelfde is als voor een verschuiving met vector w(0, ~ −1). y = bx − 1c ⇐⇒ y + 1 = bxc.

2.4.1.3

Periodieke functies

Een functie f is een periodieke functie als en slechts als ∃p ∈ R : f (x − p) = f (x + p) = f (x). De kleinste positieve waarde p waarvoor het voorgaande geldig is wordt de periode van de functie genoemd. Een periodieke functie met periode p is een functie waarvan de grafiek overgaat in zichzelf voor de verschuiving met vector ~v (kp, 0) met k ∈ Z.


49

Figuur 2.31: grafiek van een periodieke functie Voorbeelden: • De functie y = x + 1 − bxc is een periodieke functie met periode p = 1. Inderdaad, vervangen we in het voorschrift van de functie x door x − 1 dan verkrijgen we y = x − bx − 1c; dan moeten de twee voorschriften dezelfde grafiek voorstellen. x + 1 − bxc = x − bx − 1c ⇐⇒ bx − 1c = bxc − 1 Dit laatste hebben we reeds aangetoond. • De functie y = |x − 2b x+1 c| + 1 is een periodieke functie met periode p = 2. Bewijs dit 2 zelf.

Figuur 2.32: y = x + 1 − bxc

y = |x − 2b x+1 c| + 1 2

50


2.4.2

Spiegelingen

2.4.2.1

Het beeld van een punt onder een spiegeling

1. Voor een spiegeling om een rechte parallel met de y-as Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder de spiegeling om de rechte x = a volgens de x-richting dan geldt: 0 x + x0 = 2a x = 2a − x0 x = 2a − x ⇐⇒ ⇐⇒ y = y0 y = y0 y0 = y 2. Voor een spiegeling om een rechte parallel met de x-as Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting dan geldt: 0 x = x x = x0 x = x0 ⇐⇒ ⇐⇒ y 0 = 2b − y y + y 0 = 2b y = 2b − y 0 3. Voor een spiegeling om een punt Een spiegeling om een punt is de samenstelling van twee spiegelingen om twee orthogonale rechten door dat punt (draaiing of rotatie over 180o ). De spiegeling om het punt (a, b) is de samenstelling van de spiegeling om de rechte x = a volgens de x-richting en de spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting (X ⊥ Y ). Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om het punt (a, b) dan geldt: 0 x + x0 = 2a x = 2a − x0 x = 2a − x ⇐⇒ ⇐⇒ y = 2b − y 0 y 0 = 2b − y y + y 0 = 2b 4. Voor een spiegeling om de rechte y = x Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x dan geldt: 0 x = y y0 = x m ⇐⇒

x = y0 y = x0


51

Het beeld van een kromme onder een spiegeling

1. De krommen met vergelijking R(2a − x, y) = 0 is het beeld van de kromme met vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte x = a volgens de x-richting. 2. De krommen met vergelijking R(x, 2b − y) = 0 is het beeld van de kromme met vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting. 3. De krommen met vergelijking R(2a − x, 2b − y) = 0 is het beeld van de kromme met vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om het punt (a, b). 4. De krommen met vergelijking R(y, x) = 0 is het beeld van de kromme met vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte y = x volgens de richting van y = −x. Ze stellen inverse relaties voor. Voorbeelden: 1. De cirkels x2 + y 2 − 10x + 6y + 9 = 0 en x2 + y 2 + 10x − 6y + 9 = 0 liggen symmetrisch t.o.v. de oorsprong.

Figuur 2.33: x2 + y 2 − 10x + 6y + 9 = 0 en x2 + y 2 + 10x − 6y + 9 = 0 2. Toon aan dat de krommen K1 : 2x2 + 3y 2 = 6 en K2 : 2(x − 4)2 + 3y 2 = 6 symmetrisch liggen t.o.v. de rechte x = 2. Bovendien is K2 het beeld van K1 onder

52

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES een verschuiving ~v (4, 0). 3. T.o.v. welke rechte liggen de krommen P1 : y 2 + y = 2x en P2 : (y − 6)2 − y + 6 = 2x symmetrisch?

Bijzonder geval: Spiegelingen van grafieken van functies. 1. De grafieken van de functies y = f (x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte y = b als f (x) + g(x) = b ⇔ f (x) + g(x) = 2b 2 In het bijzonder liggen y = f (x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de x-as als f (x) + g(x)) = 0 ⇐⇒ g(x) = −f (x) Deze functies zijn tegengestelde functies (zie hoofdstuk 3 bladzijde 37). 2. De grafieken van de functies y = f (x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte x = a als g(x) = f (2a − x) In het bijzonder liggen y = f (x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de y-as als g(x) = f (−x) 3. De grafieken van de functies y = f (x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. het punt (a, b) als f (2a − x) + g(x) = 2b In het bijzonder liggen y = f (x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de oorsprong O als f (−x) + g(x) = 0 ⇐⇒ g(x) = −f (−x) Voorbeelden: • De parabolen y = −(x − 1)2 en y = 2 + (x − 1)2 liggen symmetrisch t.o.v. de rechte 2 2 y = 1 want −(x−1) +2+(x−1) = 1. 2 • De grafieken van de functies y = x2 + 1 en y = (2 − x)2 + 1 ⇐⇒ y = (x − 2)2 + 1 ⇐⇒ y = x2 − 4x + 5 liggen symmetrisch t.o.v. de de rechte x = 22 = 1. We zien dat de tweede parabool tevens een verschuiving is van de eerste over (2, 0).


53

Figuur 2.34: y = −x2 + 2x − 1 en y = x2 − 2x + 3

Figuur 2.35: y = x2 + 1 en y = x2 − 4x + 5 • De parabolen y = x2 −4x+5 en 5−y = (1+x)2 −4(−1−x)+5 ⇐⇒ y = −x2 +6x−11 liggen symmetrisch t.o.v. het punt ( 52 , − 12 ). • De rechten y = 2x + 1 en y = 21 (x − 1) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte y = x volgens de richting van y = −x.

54


Figuur 2.36: y = −x2 − 4x + 5 en y = −x2 + 6x − 11


55

Assen en punten van symmetrie

1. As van symmetrie Gaat bij spiegeling om een rechte een kromme over in zichzelf dan is deze rechte een as van symmetrie voor de kromme. Voorbeeld: Als we x vervangen door 4 − x in het voorschrift y = (x − 2)2 + 1 dan krijgen we hetzelfde voorschrift. De grafiek van de functie ligt symmetrisch t.o.v. x = 2.

Figuur 2.37: y = x2 − 4x + 5 ligt symmetrisch t.o.v. x = 2

2. Punt van symmetrie Gaat bij spiegeling om een punt een kromme over in zichzelf dan is dat punt een punt van symmetrie voor de kromme. Voorbeelden: • Een cirkel gaat over in zichzelf als we spiegelen t.o.v. zijn middelpunt. • De functie y =

3x+2 x−5

ligt symmetrisch t.o.v. het punt (5, 3) omdat 3x + 2 3(10 − x) + 2 + =6 x−5 (10 − x) − 5

56


2.4.2.4

Even en oneven functies

Gaat bij een spiegeling om de y-as de grafiek van de functie over in zichzelf dan is de yas een as van symmetrie voor de grafiek. De functie wordt dan een even functie genoemd. y = f (x) is een even functie ⇐⇒ ∀x ∈ domf : f (−x) = f (x). Voorbeelden: 1. De functies y = 3, y = x2 en y = 2x2 + 1 zijn even functies want als we in het voorschrift x vervangen door −x dan verkrijgen we hetzelfde voorschrift. (−x)2 = x2 en 2(−x)2 + 1 = 2x2 + 1 2. y = 2x2 − x4 ligt symmetrisch t.o.v. y-as en is dus een even functie. 2(−x)2 − (−x)4 = 2x2 − x4


57

Gaat bij een puntspiegeling om de oorsprong de grafiek van de functie over in zichzelf dan is de oorsprong een punt van symmetrie voor de grafiek van de functie. De functie wordt dan een oneven functie genoemd. y = f (x) is een oneven functie ⇐⇒ ∀x ∈ domf : f (−x) = −f (x). Voorbeeld: De functie y = 4x3 − x is een oneven functie want 4(−x)3 + x = −(4x3 − x) De grafiek van y = 4x3 − x ligt symmetrisch t.o.v. O.

OPGAVEN — 11 Bewijs voor de onderstaande grafieken het even of oneven zijn van de corresponderende functies.

58


2.4.3

Uitrekkingen

2.4.3.1

Het beeld van een punt onder een uitrekking

1. Voor een uitrekking langs de x-as Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder de uitrekking met factor r langs de x-richting dan geldt: 0 0 x = rx x = xr ⇐⇒ y0 = y y = y0 2. Voor een uitrekking langs de y-as Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder de uitrekking met factor r langs de y-richting dan geldt: 0 x = x0 x = x 0 ⇐⇒ y 0 = ry y = yr 3. Voor een uitrekking langs de x-as en de y-as Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder een uitrekking langs de x-as met factor r en een uitrekking langs de yas met factor s dan geldt: 0 0 x = xr x = rx ⇐⇒ 0 y 0 = sy y = ys Bijzonder geval: Indien r = s dan is deze afbeelding een homothetie met centum O en factor r. Opmerking: Als r < 1 dan kunnen we een uitrekking met factor r een inkrimping met factor 1r noemen. 2.4.3.2

Het beeld van een kromme onder een uitrekking

1. De krommen met vergelijking R( xr , y) = 0 is een uitrekking langs de x-as met factor r van de kromme R(x, y) = 0. 2. De kromme met vergelijking R(x, ys ) = 0 is een uitrekking langs de y-as met factor s van de kromme R(x, y) = 0. 3. De kromme met vergelijking R( xr , ys ) = 0 is een uitrekking langs de x-as met factor r en langs de y-as met factor s van de kromme R(x, y) = 0.


59

Voorbeelden: • Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een uitrekking langs de 2 x-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x9 + y 2 = 1. Deze kromme noemen we een ellips met halve grote as 3 en halve kleine as 1. Duid deze ellips aan op de figuur. • Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een inkrimping langs de x-as met factor 3 is de kromme met vergelijking 9x2 + y 2 = 1. Deze kromme is een ellips met halve grote as 1 en halve kleine as 13 . Duid deze ellips aan op de figuur. • Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een uitrekking langs de 2 y-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2 + y9 = 1. Deze kromme is een ellips met halve grote as 3 en halve kleine as 1. Duid deze ellips aan op de figuur. • Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een inkrimping langs de y-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2 + 9y 2 = 1. Deze kromme is een ellips met halve grote as 1 en halve kleine as 13 . Duid deze ellips aan op de figuur.

60

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES • Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een uitrekking langs de x-as met factor 5 en een uitrekking langs de y-as met factor 2 is de kromme met 2 2 vergelijking x25 + y4 = 1. Deze kromme is een ellips met halve grote as 5 en halve kleine as 2 (Zie figuur).

• Het beeld van de parabool met vergelijking P : y = x2 onder een inkrimping langs de x-as met factor 2 is de parabool met vergelijking y = 4x2 want y = 4x2 ⇐⇒ y = (

x 2 ). 1/2

We zien dat de parabool smaller geworden is (zie figuur). We kunnen P 0 ook opvatten als het beeld van P onder een uitrekking langs de y-as met factor 4 vermits er geldt y = 4x2 ⇐⇒

y = x2 . 4

Bijzonder geval: De kromme met vergelijking R( xr , yr ) = 0 is het beeld onder een homothetie met factor r van de kromme R(x, y) = 0. Voorbeeld: De parabool met vergelijking y = 4x2 kunnen we ook opvatten als het beeld onder een homothetie met factor 14 vermits er geldt y = 4x2 ⇐⇒

y x 2 =( ). 1/4 1/4


61

AN I groepswerk 2 Bij dit groepswerk is de redenering op grafieken het belangrijkst. Laat de computer de grafieken tekenen en de berekeningen uitvoeren. In principe werken we hier t.o.v. een orthonormale basis. 1. Gegeven is de cirkel (x + 1)2 + (y − 2)2 = 9. (a) Teken deze cirkel. (b) Bepaal de vergelijking van het beeld van deze cirkel onder de uitrekking met factor 52 in de richting van de x-as. (c) Teken een viertal punten van de beeldkromme en schets ze. (d) Bepaal de vergelijking van het beeld van deze cirkel onder de inkrimping met factor 2 in de richting van de y-as. (e) Teken een viertal punten van de beeldkromme en schets ze. 2. Gegeven is de functie f : y =

10 . x2 +4

(a) Teken de grafiek van deze functie met de computer. (b) Bepaal het beeld van de grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de y-as. Wat merk je op? Hoe noem je zo een functie? Bewijs dit door berekening. 3. Gegeven is de functie f : y =

10x . x2 +4

(a) Teken de grafiek van deze functie met de computer. (b) Bepaal het beeld van de grafiek van f onder de puntspiegeling om de oorsprong O. Wat merk je op? Hoe noem je zo een functie? Bewijs dit door berekening. 4. Toon aan door berekening dat de grafieken van de functies y = 15 x(x + 5) en y = − 51 (x2 + 5x − 20) symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = 2. Controleer dat met de computer. 5. Toon aan door berekening dat de grafieken van de functies y = 51 x(x + 5) en y = − 51 (x2 + 11x + 14) symmetrisch liggen t.o.v. het punt (−4, 1). Controleer dat met de computer.

62

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES 6. Gegeven de functie f : y = x6 − 2x3 + 1

(a) Teken met de computer de grafiek van f ; (b) Bereken het voorschrift van het beeld g1 van f onder een verschuiving met vector (−2, −1). Controleer de grafiek g met de computer; (c) Teken g1 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van gegeven transformaties. Dus niet zomaar aftekenen van de computer; (d) Bereken het voorschrift van het beeld g2 onder een spiegeling om de rechte x = 1/2. Controleer met de computer; (e) Teken g2 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van gegeven transformaties. (f) Bereken het voorschrift van het beeld g3 onder een puntspiegeling om het punt (1, 0). Controleer met de computer; (g) Teken g3 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van gegeven transformaties. (h) Bereken het voorschrift van het beeld g4 onder een uitrekking langs de y-as met factor 3/2 en een inkrimping langs de x-as met factor 3/2. Controleer met de computer. (i) Teken g4 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van gegeven transformaties.


63

64

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES 7. Gegeven is de functie f : y = x1 . De grafiek van f heeft een zogenaamde verticale asymptoot (VA) nl. de y-as en een horizontale asymptoot (HA) nl. de x-as. Een asymptoot is zogezegd de raaklijn aan de grafiek in een punt op oneindig dit betekent dat de afstand tussen de grafiek en de asymptoot oneindig klein wordt naarmate we y naar oneindig gaat voor de VA en x naar oneindig gaat voor de HA.

(a) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie g die het beeld is van de grafiek van f onder de verschuiving over de vector ~v (3, − 34 ). Los deze vergelijking op naar y (zo verkrijg je het voorschrift van g);

(b) Verschuif de verticale - en horizontale asymptoot van f en teken ze op de bijgevoegde figuur. Deze rechten zijn dan de verticale - en horizontale asymptoot van de grafiek van g;

(c) Bepaal de vergelijkingen van deze asymptoten;

(d) Breng het voorschrift van g in een andere gedaante door de euclidische deling uit te voeren op g(x). Hoe kan je de vergelijkingen van de asymptoten van de grafiek van g afleiden uit dit nieuwe voorschrift van g?

(e) Maak gebruik van de verschuiving om op bijgevoegde figuur enkele punten te tekenen van de grafiek van g en zo de grafiek van g te schetsen. Hou hierbij rekening met de asymptoten.

(f) Bepaal nu ook het domein en het beeld van g.


65

66

HOOFDSTUK 2. FUNCTIES 8. Gegeven is de functie f : y =

3−2x . x−4

(a) Bepaal het domein van f en de vergelijkingen van de horizontale en verticale asymptoten voor de grafiek van f . Maak gebruik van wat je geleerd hebt in de vorige oefening.

(b) Teken de grafiek van f met de computer en maak gebruik van de horizontale en verticale asymptoten om de grafiek over te tekenen op je blad.

(c) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie h die het beeld is van de grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de rechte x = 3.

(d) Teken een viertal punten van de grafiek van h door gebruik te maken van deze spiegeling en schets de grafiek van h.

(e) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie k die het beeld is van de grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de rechte x = y. Los deze vergelijking op naar y (zo verkrijg je het voorschrift van k).

(f) Teken een viertal punten van de grafiek van k door gebruik te maken van deze spiegeling en schets de grafiek van k.


67

68


Hoofdstuk 3 Rijen: Convergentie en Divergentie 3.1

Rekenkundige en meetkundige rijen

3.1.1

Even herhalen. . .

Verleden jaar hebben jullie reeds het begrip “reële rij” gezien. Het is in feite niets anders dan een afbeelding u van de strikt positieve natuurlijke getallen N0 naar de reële getallen R, waarbij we de vreemde verkorte notatie un gebruiken voor het beeld van n onder u. Meestal laten we het adjectief “reëel” weg omdat we met geen andere dan reële rijen zullen te maken hebben. Maar wees ervan overtuigd dat er ook andere rijen bestaan, zoals complexe rijen, rijen van reële functies, rijen van punten van het vlak of de ruimte, enz. . . . 1. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term bekomen wordt door bij de voorgaande term een constante op te tellen. Deze constante v wordt het verschil van de rekenkundige rij genoemd. De algemene term van een rekenkundige rij is un = u1 + (n − 1)v. De algemene term is van de gedaante un = an + b. De eerste term van de rij is de term die we bekomen door n = 1 te stellen, nl. u1 = a + b en a is het verschil van de rekenkundige rij. Een rekenkundige rij un = an + b is de restrictie tot N0 van de eerstegraadsfunctie y = ax + b. 69

70

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE De grafische voorstelling van een rekenkundige rij is een rij punten gelegen op de rechte met vergelijking y = ax + b (zie fig. 3.11 op pagina 92). Het verschil v = a is de richtingscoëfficiënt van de rechte. De eerste term is de functiewaarde voor x = 1. 2. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term bekomen wordt door de voorgaande term met een constante te vermenigvuldigen. Deze constante q wordt de reden van de meetkundige rij genoemd. De algemene term van een meetkundige rij is van de gedaante un = u1 q n−1 . De algemene term is van de gedaante u n = k · an . De eerste term is de term die we bekomen door n = 1 te stellen, nl. u1 = k · a en de reden is het grondtal a. Alnaargelang het teken van a en van |a| − 1, bekomen we verschillende soorten grafische voorstellingen van de meetkundige rij (zie pagina 87, 88, 93 en 94 en ??). De meetkundige rij un = k · an met a > 0 en a 6= 1 is de restrictie tot N0 van de zogenaamde exponentiële functie y = k · ax .

Opmerking: Al naargelang de auteur of de context sluit men wel eens v = 0 voor rekenkundige rijen, of u1 = 0, q = 0 of q = 1 voor meetkundige rijen uit. In deze gevallen bekomt men namelijk telkens een constante rij un = c, voor alle n ∈ N0 . Dit uitsluiten wordt uitsluitend gedaan om sluitende en eenvoudige formuleringen mogelijk te maken voor bepaalde stellingen. Dit geeft echter tot gevolg dat je dan soms de stelling toepast als het niet mag omdat je er niet op let dat sommige gevallen van in den beginne uitgesloten zijn, of omgekeerd, je een stelling in feite niet mag toepassen terwijl ze wel geldt maar je ze niet bewezen hebt voor die gevallen. Daarom zullen wij deze beperkingen niet opleggen, maar steeds de geldigheid van een uitspraak vooraf expliciet vermelden. Een ander voordeel van onze werkwijze is, dat je leert om steeds de precieze voorwaarden te formuleren waaronder een stelling geldig is. Dit is een heel belangrijk aspect van wiskunde. In feite mag je stellen dat dit één van de bestaansredenen is van wiskunde. Anders zouden we steeds op onze intu¨ıtie kunnen blijven afgaan! Maar in de tijd van Newton — en ook deze van Einstein — liep dat soms eens verkeerd af en had men nood aan een stevig gefundeerde en strikt wiskundige theorie die precies vertelde waar en wanneer men een bepaalde stelling mocht toepassen!

3.2. NOTATIES EN TERMINOLOGIE

3.2

71

Notaties en terminologie

Niettegenstaande een rij dus gewoon een functie is, worden toch enkele speciale notaties gebruikt, die historisch gegroeid zijn. Te beginnen met de rij zelf. De rij u : N0 → R : n 7→ un wordt kortweg genoteerd als (un ), indien dit mogelijk is. Inderdaad, het is soms onmogelijk een voorschrift te vinden die alleen met symbolen kan geschreven worden. We geven een voorbeeld: de rij u waarbij un gelijk is aan het aantal uren, naar beneden afgerond, dat Mieke slaapt op de n-de dag na haar geboorte (waarbij de “eeuwige slaap” als werkelijk slapen wordt aanzien). Dit lossen we dan elegant op door te zeggen: zij (un ) de rij met un gelijk aan het aantal uren enz.. . . . Soms, als we een expliciete rij geven, is verwarring mogelijk met een gewoon getal. Bijvoorbeeld de constante rij met algemene term un = 1 moeten we noteren als (1) of de rekenkundige rij met algemene term un = n als (n). Dit kan soms onduidelijk zijn en dan voegen we de index “n ∈ N0 ” toe. Dus de voorgaande voorbeelden worden (1)n∈N0 voor de constante rij en (n)n∈N0 voor de rekenkundige rij van daarnet. Wanneer een rij een duidelijke en eenvoudige wetmatigheid vertoont, noteert men ze soms ook alleen door de beelden (u1 , u2 , u3 , u4 , . . .). Dit is echter een intu¨ıtieve definitie en bij voorkeur alleen te gebruiken wanneer de rij voorheen al eens precies gedefinieerd was. Beschouw bijvoorbeeld de rij (1, 2, 3, 4, . . .). Iedere weldenkende logisch aangelegde mens met gezond verstand zou er zeker van zijn dat hier de rekenkundige rij (n) bedoeld wordt. Maar als je het vervolg bekijkt, moet je je mening bijsturen: (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, . . . ). Met deze rij wordt bedoeld un = de afronding van “n, n”, dus bijvoorbeeld u5 is 5, 5 afgerond en dit is 6, of u10 is 10, 10 afgerond, wat 10 is. Dit is dus ook een eenvoudig voorschrift, maar iets moeilijker te vinden als we slechts enkele elementen krijgen. In intelligentietesten komen vaak zo’n vragen voor: schrijf de volgende term op van de rij waarvan de eerste vier of vijf termen gegeven zijn. Werkelijk intelligent ben je als je een logisch voorschrift kunt vinden die niet hetzelfde geeft als wat in feite bedoeld wordt. Zoals we reeds weten noemt men voor een rij (un ) het element un de n-de term van de rij of de term met rangnummer n. Dit is ook de reden waarvoor we een afbeelding van N0 nemen en niet van N zelf. Het is echter louter een afspraak, die de taal wat vergemakkelijkt. Het woord “term” is in feite wat misleidend, daar er nergens een som voorhanden is en gewoonlijk is een term een stuk dat wordt geteld bij een ander stuk. Deze terminologie komt voort uit het feit dat men met een rij een reeks kan associëren, d.i. een rij van partiële sommen (sn ) waarvoor sn = u1 + u2 + · · · + un . In deze rij zijn

72

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE

de ui ’s werkelijk termen. Wij zullen soms ook reeksen beschouwen, maar omdat we dit niet systematisch doen, en er zeker geen deftige theorie voor opbouwen, zullen we de terminologie van reeksen niet gebruiken, maar ze verder als rijen beschouwen.

3.3

Enkele bijzondere rijen

Buiten de rekenkundige en meetkundige rijen bestaan nog een reeks rijen die een bepaald aanzien verworven hebben binnen de wiskunde, om uiteenliggende redenen: omdat ze veel gebruikt worden, omdat ze bijzondere limieten hebben (zie later), of omdat ze tegenvoorbeelden opleveren voor stellingen die vaak, maar niet altijd gelden. We geven enkele voorbeelden.

3.3.1

De harmonische rij

De harmonische rij is de rij (1/n)n∈N0 . (un ) : 1, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · · − Uit deze rij worden twee andere belangrijke rijen (s+ n ) en (sn ) geconstrueerd als volgt:

1 1 + (s+ n ) : 1, 1 + , 1 + 2 | {z 2} | {z

1 1 1 1 ,··· ,1 + + + ··· + ,··· 3} n} | 2 3{z

en 1 1 (s− + n ) : 1, 1 − , 1 − 2 2 | {z } | {z

1 1 1 1 1 1 1 (−1)n+1 ,1 − + − ,··· ,1 − + − + ··· + ,··· 3} | 2 {z 3 4} 2 3 4 n | {z }

Met DERIVE kunnen we de grafische voorstelling maken van deze rijen. Om de eerste twintig termen voor te stellen, typen we: voor de harmonische rij: VECTOR([n, n1 ], n, 1, 20). Pn 1 voor (s+ VECTOR([n, sum( 1i , i, 1, n)], n, 1, 20). n) = i=1 ( i ) : Pn 1 i+1 voor (s− ) : VECTOR [n, sum( 1i (−1)∧ (i + 1), i, 1, n)], n, 1, 20 . n) = i=1 ( i (−1)

3.3.2

De rij van Fibonacci

De rij van Fibonacci (un ) wordt als volgt gedefinieerd: u1 = u2 = 1 en un = un−1 + un−2 , voor n ≥ 3.

3.3. ENKELE BIJZONDERE RIJEN

73

Dit noemt men een inductieve definitie. De eerste termen van deze rij zijn (un ) : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . . Laat je echter niet vangen: het is niet omdat een rij inductief gedefinieerd wordt en ze er inderdaad niet zo regelmatig uitziet, dat er geen expliciete definitie van bestaat. Bereken eens bijvoorbeeld met je rekenmachine of computer enkele termen van de rij " √ !n √ !n # 1+ 5 1 1− 5 )n∈N0 . (√ − 2 2 5 De berekening van de algemene term van de rij van Fibonacci vind je achteraan het hoofdstuk bij Wiskunde Cultuur. De rij van Fibonacci wordt verkregen als oplossing van het volgend vraagstuk: Hoeveel paren konijnen kunnen in één jaar uit een enkel paar konijnen worden gewonnen zo (a) elk paar elke maand één nieuw paar gewint dat zichzelf wederom vanaf de tweede maand begint voort te planten, en (b) geen enkel konijn sterft. Met DERIVE kunnen we de rij van Fibonacci grafisch voorstellen. We definiëren FIB(n) := IF(n = 1, 1, IF(n = 2, 2, FIB(n − 1) + FIB(n − 2))) en plotten we VECTOR([n, FIB(n)], n, 1, 20). Zie figuur op pagina 76 Een belangrijke rij afgeleid uit de rij van Fibonacci is deze gevormd door opeenvolgende quotiënten te vormen. Als (un ) de rij van Fibonacci voorstelt, dan vormen we de rij 1 2 3 5 8 13 21 (un /un+1 ) : 1, , , , , , , , · · · 2 3 5 8 13 21 34 en noemen dit de gulden rij. Plot nu met DERIVE de gulden rij. Zie figuur op pagina 101

3.3.3

Een rij van faculteiten. . .

Voor een willekeurig natuurlijk getal n definiëren we n!, gelezen als “n faculteit”, als n! = 1.2.3. . . . .n (het product van de eerste n strikt positieve natuurlijke getallen), wanneer n 6= 0, en als 0! = 1 voor n = 0. We kunnen dan de rij (n!)n∈N0 vormen. (n!) : 1, 2, 6, 24, 120, 720, · · ·

74

3.3.4


Alternerende rijen

Een alternerende rij is een rij waarvan de termen afwisselend strikt positief en strikt negatief zijn. Het schoolvoorbeeld (en aangezien we op school zijn moeten we het wel geven) is de rij ((−1)n )n∈N0 . (un ) : −1, 1, −1, 1, −1, · · · De alternerende harmonische rij is de rij ((−1)n+1 /n)n∈N0 . 1 1 1 1 1 (un ) : 1, − , , − , , − , · · · 2 3 4 5 6 Opmerking: Zoals een rekenkundige rij een restrictie is van een eerstegraadsfunctie zo is het omgekeerd veelal mogelijk het definitiegebied van een rij uit te breiden naar R of R uitgezonderd enkele elementen, door gewoon hetzelfde voorschrift over te nemen. Bijvoorbeeld de harmonische rij breidt uit naar de afbeelding R0 → R : x 7→

1 . x

Voor sommige andere rijen gaat dat niet, zoals voor de rij van Fibonacci, en voor nog andere rijen zijn nieuwe definities nodig.

3.4

Begrensde en monotone rijen

Een rij (un ) is naar onder begrensd als er een reëel getal l bestaat dat kleiner is dan elke term van de rij, m.w.s. (un ) is naar onder begrensd ⇐⇒ ∃l ∈ R, ∀i ∈ N0 : l ≤ ui l wordt een ondergrens van de verzameling van de termen genoemd. De rij (un ) is naar boven begrensd als er een reëel getal g bestaat dat groter is dan elke term van de rij, m.w.s. (un ) is naar boven begrensd ⇐⇒ ∃g ∈ R, ∀i ∈ N0 : g ≥ ui g wordt een bovengrens van de verzameling van de termen genoemd. De rij (un ) wordt kortweg begrensd genoemd als ze naar onder en naar boven begrensd is, m.a.w. als er twee reële getallen l en g bestaan waartussen alle termen van de rij liggen, m.w.s. (un ) is begrensd ⇐⇒ ∃l, g ∈ R, ∀i ∈ N0 : l ≤ ui ≤ g

3.4. BEGRENSDE EN MONOTONE RIJEN

75

Een rij die uitsluitend uit positieve termen bestaat, wordt een positieve rij genoemd. Een rij (un ) wordt (strikt) stijgend genoemd als vanaf een zeker rangnummer elke term (strikt) groter is dan zijn voorgaande, m.w.s. (un ) is stijgend ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 ≥ un

(un ) is strikt stijgend ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 > un Formuleer nu zelf de analoge definities voor dalend en strikt dalend. (un ) is dalend ⇐⇒ · · ·

(un ) is strikt dalend ⇐⇒ · · · Een monotone rij is er één die ofwel dalend, ofwel stijgend is; een strikt monotone is ofwel strikt dalend, ofwel strikt stijgend. Een rij wordt een constante rij genoemd als vanaf een zeker rangnummer elke term gelijk is aan zijn voorgaande, m.w.s. (un ) is constant ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 = un 2 Voorbeeld: De rij − n20 + 2n is een monotoon dalende rij omdat vanaf rangnummer 20 elke term kleiner is dan zijn voorgaande.

OPGAVEN — 12 Onderzoek of de rij

n2 50

− 4n + 200 een monotone rij is. Ga ook het (naar boven

en/of naar boven) begrensd zijn na van de rij.

13 Onderzoek of de rij (|n − 50| + 50) een monotone rij is. Ga ook het (naar boven en/of naar boven) begrensd zijn na van de rij.

14 Gegeven is de rij −3, −2, −1, 0, 1, 0, − 12 , − 32 , − 34 , − 45 , · · · Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn. Vertoont deze rij een regelmaat? Zoja, vind deze regelmaat aan de hand van de grafiek (zie figuur).

76


13 9 9 23 23 7 7 15 Gegeven de rij 23 , 32 , 2, 2, 13 6 , 6 , 4 , 4 , 10 , 10 , 3 , 3 , · · · Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn. Probeer de regelmaat van de rij te vinden aan de hand van de grafiek (zie figuur).

16 Welke eigenschappen heeft de rij van Mieke ? En de rij van faculteiten?

17 Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn van de rij van Fibonacci. Probeer de regelmaat van de rij te vinden aan de hand van de grafiek (zie figuur).

3.5. CONVERGENTE RIJEN

77

18 Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn van de gulden rij.

3.5 3.5.1

Convergente rijen Inleiding

We komen nu tot de essentie van deze korte theorie over rijen. We zouden namelijk willen weten hoe een bepaalde rij verloopt als n zeer groot is. Bijvoorbeeld, we voelen aan dat de harmonische rij naar nul nadert als n steeds maar groter wordt. De rij van Fibonacci zal zelfs onbeperkt en onbegrensd blijven stijgen voor toenemende n. Dit “onbeperkt toenemen van n” kunnen we ook formuleren als: n gaat naar plus oneindig.

3.5.2

Definitie van eindige limiet

Het probleem dat we willen behandelen is, gegeven een rij, te zoeken naar welk getal U ∈ R de rij nadert (als zo’n getal bestaat). We zullen dit formuleren als: de rij heeft als limiet U .

78

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE * De harmonische rij ( n1 ) We maken met de computer de grafische voorstelling van de rij als functie. Met DERIVE plotten we 1 VECTOR([n, ], n, 1, 20) n De termen van de rij zijn de functiewaarden die we op de y-as terugvinden.

Figuur 3.1: de harmonische rij – De harmonische rij is strikt dalend want vanaf n = 2 is elke term un kleiner dan zijn voorgaande term un−1 ; ∀n ∈ N0 \ {1} :

1 1 < n n−1

– De termen van de harmonische rij zijn allemaal positief en kleiner dan 1. De hamonische rij is dus begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1. – Heeft de rij een limiet? We zijn geneigd om te zeggen dat deze rij “in het oneindige nul wordt”. Waarom? Omdat de termen naarmate n groter wordt steeds dichter bij 0 komen. Toch moeten we even opletten. De termen van de harmonische rij (1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .) komen ook altijd dichter bij bvb. het getal −1 naarmate n groeit. Maar −1 zien we nu niet bepaald als de limiet van de harmonische


79

rij, wèl nul! Wat is het verschil? Wel, In het eerste geval nadert de rij wel het getal −1, maar niet onbeperkt, d.w.z. het komt er nooit dichter tegen dan 1 eenheid. Er bestaat dus een basisomgeving van −1, nl. ] − 2, 0[ waarin geen enkele term van de rij zit. In het tweede geval zitten in elke basisomgeving van 0 termen van de rij. Nemen bvb. de basisomgeving van ] − 0, 15; 0, 15[. We kijken op de grafiek welke punten in de strook tussen −0, 15 en 0, 15 zitten. We zien dat vanaf rangnummer 7 de corresponderende punten in de beschouwde strook zitten. Er zitten dus 6 punten buiten de strook. Dit betekent dat alle termen van de rij in ] − 0, 15; 0, 15[ zitten op 6 termen na. We kunnen zeggen: Voor het straaltje = 0, 15 geldt dat van zodra n ≥ 7 de afstand van de term 1 tot 0 kleiner is dan 0, 15 of | n1 − 0| < 0, 15 ⇐⇒ | n1 | < 0, 15. n

Figuur 3.2: de harmonische rij Nemen we nog een basisomgeving van 0 met een kleinere straal, bvb. de basisomgeving ] − 0, 0036; 0, 0036[ dan zijn er meer punten die buiten de strook van deze omgeving vallen. Nu is het niet goed meer zo duidelijk te zien vanaf welk rangnummer al de volgende termen in die basisomgeving ] − 0, 0036; 0, 0036[ zitten. Dus maken we een kleine berekening. We noemen m het onbekende rangnummer. We eisen dat |

1 1 n>0 1 − 0| < 0, 0036 ⇐⇒ < 0, 0036 ⇐⇒ n > = 277, 8 n n 0, 0036

80

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE Vanaf rangnummer m = 278 zitten alle corresponderende punten binnen de strook en zitten er 277 punten buiten de strook. Algemeen bepalen van een rangnummer m bij een vooropgestelde : 1 1 n>0 1 − 0| < ⇐⇒ < ⇐⇒ n > n n het rangnummer m kunnen we gelijk nemen aan een geheel getal groter dan Uit n > m ≥ 1 volgt dan dat n1 < dus ook | n1 − 0| < . Hieruit besluiten we dat het vinden van een m mogelijk is voor elke . |

1

Figuur 3.3: de harmonische rij In de basisomgeving ] − , [ met ( ∈ R+ 0 ) zit steeds een term van de rij hoe klein we het straaltje ook kiezen. Zo kunnen we zeggen: voor alle > 0 bestaat er een rangnummer m ∈ N0 waarvoor geldt dat van zodra n ≥ m de term 1/n op een afstand ligt van 0 kleiner dan , m.w.s., ∀ ∈ R0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |

1 − 0| < . n

Dit betekent dat de termen van de rij naarmate n groter wordt steeds dichter bij 0 liggen. We zeggen dat de rij nadert naar 0 of dat de limiet van de rij 0 is. We schrijven 1 lim =0 n→+∞ n


81

We kunnen de betekenis van deze limiet nog eenvoudig met woorden uitdrukken: In een willekeurige basisomgeving van 0 zitten alle termen van de rij op een eindig aantal na. Dit blijkt nu een bevredigende wiskundige definitie te zijn voor wat wij als limiet intu¨ıtief aanvoelen. Waarom we nu plots alle termen vanaf um dicht genoeg bij 0 willen, zullen straks vlak vóo´r stelling 3.1 uitleggen (niet te veel ineens, hé). n ). We geven de eerste 24 termen van deze rij * Beschouw de rij (un ) = (1 − cos n2 in de volgende tabel en laten vervolgens de grafische voorstelling plotten door de computer.

0, 459 1.104 1.109 1.040 0.988 0.973 0.984 1.002 1.011 1.008 0.99996 0.9941 0.9946 0.9993 1.0033 1.0037 1.0009 0.9979 0.9972 0.9989 1.0012 1.00206 1.00100 0.999363

Figuur 3.4: de rij 1 −

cos n n2

– Deze rij is niet alternerend en ook niet monotoon; – Omdat geldt n6=0

| cos n| ≤ 1 ⇐⇒

| cos n| 1 ≤ 2 2 n n

82

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE en omdat n een getal is groter dan 1 geldt | cos n| 1 ≤ 2 ≤1 2 n n cos n cos n cos n ≤ 1 ⇐⇒ 0 ≤ 1 − ≤2 | 2 | ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ n n2 n2 Hieruit volgt dat alle termen van de rij gelegen zijn tussen 0 en 2. Deze rij is dus begrensd. – Heeft deze rij een limiet? In de tabel van de rij zien we dat de termen naderen naar 1. We vermoeden dus dat de limiet 1 is. Bepaal aan de hand van de grafiek vanaf welk rangnummer alle punten in bvb. de volgende stroken liggen en hoeveel punten er dan buiten liggen (Daartoe zoom je in op deze omgevingen, zie figuur 3.5). : ∗ ]1 − 0, 008; 1 + 0, 008[: ∗ ]1 − 0, 002, 1 + 0, 002[: ∗ ]1 − 0, 0008, 1 + 0, 0008[:

Figuur 3.5: de rij 1 −

cos n n2

ingezoomd

In feite volstaat deze observatie voor de praktijk. Maar als wiskundige willen we het nog altijd eens strikt bewijzen, om onze definitie te testen, en, om ons te oefenen voor meer ingewikkelde en niet zo logische gevallen.


83

Algemeen bepalen van een rangnummer m voor een vooropgestelde : Dus gegeven > 0 zoeken we vanaf welke term alle volgende termen van de rij in de basisomgeving ]1 − , 1 + [ zitten. We zoeken dus een rangnummer m ∈ N0 zó dat |un − 1| < voor alle n ≥ m. |un − 1| = |1 −

cos n cos n − 1| = | 2 | 2 n n

Er geldt: 1 cos n |≤ 2 2 n n We gaan nu op zoek naar een rangnummer m zodat van zodra n ≥ m geldt dat 1 n>0 1 1 2 √ < ⇐⇒ n > ⇐⇒ n > . n2 ∀n ∈ N0 : |

We kiezen voor m het natuurlijk getal groter dan √1 bv. m = d √1 e. n Is n > m, dan is ook cos ≤ n12 < m12 ≤ . We hebben dan: n2 cos n |< n2 We zien hier opnieuw dat in een willekeurige omgeving van 1 alle termen van de rij zitten op een eindig aantal na. Onze voorspelling komt dus uit. ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |

* De meetkundige rij (un ) = (1/2n ) – De rij is strikt dalend: – De rij is begrensd want alle termen van de rij zitten tussen 0 en 1. – Heeft de rij een limiet? Hier zou duidelijkerwijs 0 de limiet moeten zijn. Neem als basisomgeving van 0 met het straaltje 0,000005 en bepaal vanaf welk rangnummer je zeker bent dat alle termen van de rij zitten in die basisomgeving (zie figuur 3.6). Algemeen bepalen van een rangnummer m bij een vooropgestelde : Nemen we een willekeurige dan vragen we ons af vanaf welke term van de rij alle volgende termen in de basisomgeving van 0, nl. ] − , [ zitten. |un − 0| = |

1 1 − 0| = | n | n 2 2

Er geldt: ∀n ∈ N0 : |

1 1 |≤ n 2 n

84


Figuur 3.6: de rij (un ) = (1/2n ) We gaan nu op zoek naar een rangnummer m zodat van zodra n > m geldt dat 1 1 < ⇐⇒ n > n We kiezen voor m het natuurlijk getal groter dan 1 , bvb. m = d 1 e. Is n > m dan is ook 21n ≤ n1 < m1 ≤ . Er geldt dus ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |

1 |< 2n

* Wij vragen ons nu af of een rij niet meer dan één limiet kan hebben. Beschouw even de rij (un ) = ((−1)n (1 − n1 )) . Als we enkele termen uitrekenen of de grafiek maken (zie figuur 3.7) dan zien we vlug in dat dit een alternerende rij is waarvoor het positief stuk naar 1 gaat en het negatief stuk naar −1. Onze intu¨ıtie zegt ons dat er dus twee limieten zullen zijn. MAAR. . . we zullen later zien dat dit een ernstig probleem zou vormen wanneer we continu¨ıteit van een reële functie zouden willen definiëren aan de hand van rijen. Daarom mag een rij nooit meer dan één limiet hebben. Doordat we nu alle termen vanaf um betrokken hebben in onze definitie van limiet, kunnen we bewijzen dat er hoogstens één limiet is voor elke gegeven rij.


85

Figuur 3.7: de rij (un ) = ((−1)n (1 − n1 )) STELLING 3.1 Een reële rij (un )n∈N0 bezit hoogstens één reële limiet. Bewijs: Veronderstel dat de rij (un ) ten minste twee limieten zou bezitten, bijvoorbeeld a ∈ R en b ∈ R (bewijs uit het ongerijmde). Daar dit twee verschillende reële getallen zijn, is één van de twee de grootste. We mogen onderstellen dat dit a is. Aangezien a een limiet is van (un ), geldt ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − a| < . Aangezien b een limiet is van (un ), geldt 0 0 ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − b| < .

. Voor een Aangezien beide formules gelden voor alle > 0, nemen we eventjes = a−b 2 0 geheel getal n die groter is dan m èn groter is dan m geldt dan (en we gebruiken de equivalente vorm): a−

a+b 3a − b a−b a−b = < un < =a+ 2 2 2 2

b−

a−b 3b − a a+b a−b = < un < =b+ 2 2 2 2

en

en dit levert een contradictie op natuurlijk, want un kan niet tegelijk groter zijn en kleiner zijn dan a+b . Aldus is de stelling bewezen. 2 Vanaf nu mogen we dus spreken van de limiet van een rij (als hij bestaat tenminste). Een rij die een reële limiet heeft noemen we vanaf nu een convergente rij, of een rij die convergeert (naar zijn limietwaarde).

86


Besluit: Een rij is convergent als en slechts als de limiet in +∞ van de rij een reëel getal is. We zeggen dat de rij convergeert naar dat reëel getal. Zij (un ) een rij en U een reëel getal. Dan zeggen we dat U de limiet is van (un ) (voor n gaande naar +∞) als ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − U | < . We noteren dit als limn→+∞ un in doorlopende tekst, of lim un

n→+∞

in gecentreerde formules. Als er geen verwarring mogelijk is dan vervangen we dikwijls “n → +∞” kortweg door “+∞” of we laten het zelfs helemaal weg. lim+∞ un = U ⇐⇒ ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − U | < . We kunnen het begrip van limiet van een rij ook met woorden formuleren: De limiet van de rij (un ) is gelijk aan U als in een willekeurige basisomgeving van U alle termen van de rij zitten op een eindig na. OPGAVEN — 19 Plot de gulden rij en onderzoek de convergenie aan de hand van de grafiek. Naar welke waarde convergeert deze rij? De exacte berekening van deze limiet wordt later gegeven als toepassing van stellingen (pagina 101) 20 Gegeven de rij un = Gevraagd:

3n−1 2n+3

1. de eerste 10 termen van de rij; 2. stel de rij grafisch voor; 3. is de gegeven rij convergent? Zoja naar welke waarde? 4. welke termen van de rij zitten in het interval ]1, 499; 1, 501[, welke termen zitten erbuiten en hoeveel? 5. is de verzameling van de termen van de rij begrensd? Zoja, waarom en tussen welke waarden zijn ze gelegen?


87

Nog enkele voorbeelden: • De meetkundige rij 12( 12 )n – Deze meetkundige rij is strikt dalend; – Deze meetkundige rij is begrensd want alle termen van de rij liggen tussen 0 en 6. – Zoals de rij ( 12 )n nadert ook deze rij naar 0 (het bewijs verloopt analoog). Gemakkelijker is gebruik te maken van een rekenregel voor limieten (zie later op pagina 114): 1 1 ˙ =0 lim(12( )n ) = 12 lim( )n = (12)(0) +∞ 2 +∞ 2

Figuur 3.8: de meetkundige rij 12( 21 )n • De constante rij (2)n∈N0 – Deze rekenkundige rij is constant en dus monotoon; – Deze constante rij is begrensd want alle termen zijn gelijk aan 2; – Deze rij is convergent. lim 2 = 2 +∞

88

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE • De meetkundige rij 6(− 32 )n – Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon; – De rij is dus begrensd want alle termen liggen tussen −4 en 83 . – Bewijs hieronder met de definitie van limiet dat lim+∞ 6(− 23 )n = 0.

Figuur 3.9: de meetkundige rij 6(− 23 )n

AN I HUISTAAK 2 1. Onderzoek de convergentie van de rijen uit de oefeningen nrs 12, 13, 14, 15, 16, 17. Formuleren een verband tussen het begrensd zijn van een rij en het convergent zijn van een rij? 2. Gegeven de rij un = Gevraagd:

√ 1− n √ 1+ n

(a) is de rij monotoon, begrensd (naar boven en/of naar onder? (b) bereken de eerste 20 termen van de rij en maak met de computer een grafische voorstelling; (c) is de gegeven rij convergent? Zoja naar welke waarde? (d) welke termen van de rij zitten in het interval ] − 1, 25; −0, 75[, welke termen zitten erbuiten en hoeveel? Maak zeker een berekening om dit aan te tonen.

3.6. DIVERGENTE RIJEN

3.6

89

Divergente rijen

We beschouwen nu rijen die niet convergent zijn en we gaan na of we ook over deze rijen iets zinvols kunnen vertellen.

3.6.1

+∞ en −∞

Dit zijn symbolen die geen reële getallen zijn en die we nog wiskundig moeten definiëren. Definitie van +∞ en −∞. Het symbool +∞ is per definitie een object dat strikt groter is dan elk reëel getal. Het symbool −∞ is een object dat strikt kleiner is dan elk reëel getal. Dus de symbolen +∞ en −∞ zijn geen getallen. We hebben deze symbolen al gebruikt om verzamelingen van reële getallen voor te stellen. +∞ en −∞ zijn alleen symbolische hulpmiddelen om wiskundig uit te kunnen drukken dat iets onbegrensd groot wordt. Daar zullen van gebruik maken voor de definitie van divergente rijen.

3.6.2

Definitie

Beschouwen we de rij (n2 )n∈N0 . Deze rij is niet begrensd naar boven, maar wel naar beneden, d.w.z. de verzameling der termen heeft geen bovengrens, maar wel een benedengrens, meer nog, deze rij wordt onbegrensd groter en groter. Nemen we bijvoorbeeld een groot getal M = 9500 dan is elke term met rangnummer groter dan 100 groter dan 10000 en dus ook groter dan 9500. We kunnen 100 kiezen voor m√maar ook een kleinere waarde nl. een getal niet kleiner dan het geheel getal groter dan 9500 = 97, 5 dus 98. Algemeen bepalen van een rangnummer m behorende bij een M : we nemen een willekeurig groot positief getal M en vragen ons af vanaf welke term van de rij alle volgende termen groter zijn dan M . √ n>0 n2 > M ⇐⇒ n > M . √ Neem in ons geval namelijk m = d M e. Is n > m dan is ook n2 > m2 ≥ M . Er geldt dus 2 ∀M ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n > m =⇒ n > M

In dit geval zeggen we dat de rij divergeert naar +∞ en we noteren: lim n2 = +∞

n→+∞

90


en noemen +∞ de limiet van de rij. We definiëren algemeen: lim+∞ un = +∞ ⇐⇒ ∀M ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n > m =⇒ un > M. Wordt een rij (un ) onbegrensd kleiner (onbegrensd groter in absolute waarde). Wiskundig kunnen we dat als volgt uitdrukken: voor alle positieve grote getallen M bestaat er een rangnummer m zó dat voor de termen met een rangnummer groter dan m geldt dat ze kleiner zijn dan −M . We zeggen dat de rij (un ) divergeert naar −∞ We noteren lim un = −∞.

n→+∞

We noemen −∞ de limiet van de rij (un ). We definiëren algemeen: lim+∞ un = −∞ ⇐⇒ ∀M ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n > m =⇒ un < −M. De symbolen +∞ en −∞ voldoen dus aan −∞ < r < +∞, ∀r ∈ R. In principe kunnen we vanaf nu +∞ en −∞ gebruiken om intervallen af te bakenen. Dit is wat we vroeger reeds deden. Bijvoorbeeld, het interval ] − ∞, 0] is de verzameling van alle negatieve getallen (inclusief 0). STELLING 3.2 De limietwaarde van een divergente rij is uniek. Voorbeelden van divergente rijen: • De rekenkundige rij (−4 + 34 n) – Deze rekenkundige rij is strikt stijgend; – Deze rekenkundige rij is niet begrensd. Maar ze is wel naar onder begrensd want alle termen van de rij zijn groter dan − 13 . 4 – De termen van deze rij worden steeds groter naarmate n groter wordt. De rij divergent naar +∞. Vanaf welk rangnummer is een term van de rij groter dan een zeer grote waarde M ∈ R+ ? 3 4(M + 4) −4 + n > M ⇐⇒ n > 4 3 We nemen m = d 4(M3+4) e. Uit n > m volgt dan dat n > m >

4(M +4) 3

en dus −4 + 34 n > M .

3 lim(−4 + n) = +∞ +∞ 4

3.6. DIVERGENTE RIJEN

91

• De rekenkundige rij (3 − 2n) – Deze rekenkundige rij is strikt dalend; – Deze rekenkundige rij is niet begrensd. Maar ze is wel naar boven begrensd want alle getallen van de rij zijn kleiner dan 3. – De termen van deze rij worden steeds kleiner (groter in absolute waarde) naarmate n groter wordt. De rij divergent naar −∞. Vanaf welk rangnummer is een term van de rij kleiner dan een zeer kleine waarde −M ∈ R− ? 3 − 2n < −M ⇐⇒ n > We nemen m = d M2+3 e. Uit n > m volgt dan dat n > m >

M +3 2

M +3 2

en dus 3 − 2n < −M .

lim(3 − 2n) = −∞ +∞

Figuur 3.10: de rekenkundige rijen (−4 + 43 n) en (3 − 2n)

92

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE • De rekenkundige rij ( 15 − 38 n) 8 Onderzoek hier het monotoon-zijn, begrensd-zijn en de divergentie. – Deze rekenkundige rij is · · · – Deze rekenkundige rij is · · · – Deze rekenkundige rij is · · ·

Figuur 3.11: rekenkundige rij ( 15 − 38 n) 8

3.6. DIVERGENTE RIJEN • De meetkundige rij

1 n 3 12

93

– Deze meetkundige rij is strikt stijgend; – Deze meetkundige rij is niet begrensd. Maar ze is naar onder begrensd want alle termen van de rij zijn groter dan 14 . – Neem een groot getal M en zoek een rangnummer m van een term die zeker groter is dan M en ook al de daaropvolgende termen.

Schrijf de limiet op van de rij:

Figuur 3.12: de meetkundige rij

1 n 3 12

94


3.7

Onbesliste rijen

Is elke rij ofwel convergent, ofwel divergent? Neen, natuurlijk niet. Neem bijvoorbeeld de rij ((−1)n )n∈N0 . Wegens Stelling 3.8 is dit geen divergente rij, maar wegens Stelling 3.10 is ze ook niet convergent! Zulke rij noemen we een onbesliste rij. Voorbeelden: • De meetkundige rij

− 19 (− 23 )n

– Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon; – Deze meetkundige rij is niet naar boven begrensd en ook niet naar onder. De rij is dus niet begrensd.

Figuur 3.13: de meetkundige rijen

n

• De meetkundige rij (−1)

− 19 (− 32 )n en (−1)n

– Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon; – Deze meetkundige rij is naar boven begrensd door alle getallen die groter zijn dan of gelijk aan 1 en naar onder begrensd door alle getallen kleiner dan of gelijk aan −1. De rij is dus begrensd.

3.8. BESLUIT VOOR DE CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE VAN REKENKUNDIGE EN MEETK

3.8

Besluit voor de convergentie en divergentie van rekenkundige en meetkundige rijen

Uit de voorbeelden van rekenkundige en meetkundige rijen kunnen we de volgende besluiten trekken. Voor het bewijs verwijzen we naar pagina 3.15.3 na de rekenregels voor limieten. • Een niet-constante rekenkundige rij is nooit begrensd en is strikt dalend als het verschil kleiner is dan nul en strikt stijgend als het verschil groter is dan nul • Voor een meetkundige rij maken we een tabel met het gedrag al naar gelang de eerste term en de reden. In geval van convergentie is de limiet van de meetkundige rij gelijk aan 0 tenzij de rij constant is dan is de limiet gelijk aan de constante waarde. q < −1 Alt. Nt. Begr. onbeslist u1 < 0 Alt. Nt. Begr. onbeslist q u1 > 0

3.9

q = −1 −1 < q < 0 q = 0 0 < q < 1 q = 1 q>1 Alt. Alt. Const. Dalend Const. Stijgend Begr. Begr. Begr. Begr. Begr. Nt. Begr. onb. conv. conv. conv. conv. divergent Alt. Alt. Const. Stijgend Const. Dalend Begr. Begr. Begr. Begr. Begr. Nt. Begr. onb. conv. conv. conv. conv. divergent

Speciale bovengrenzen en ondergrenzen

Bij rijen die bvb. naar boven begrensd zijn, merken we op dat een bovengrens eventueel een term is van de rij of dat geen enkele bovengrens een term van de rij is. Om een onderscheid te maken tussen die verschillende soorten bovengrenzen (en ook ondergrenzen) definiëren we de begrippen van supremum (infimum) en maximum (minimum) van een verzameling reële getallen. Is D een deelverzameling van R dan is d ∈ R supremum (infimum) van D als en slechts als d de kleinste bovengrens (grootste ondergrens) van D is. Notatie: sup A, inf A. Als een deelverzameling D een supremum (infimum) d bezit dan kunnen we twee gevallen onderscheiden: 1. ofwel is d een element van D en dan is d het grootste (kleinste) element van D of het maximum (minimum) van D.

96

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE 2. ofwel is d geen element van D. Toch ligt d oneindig dicht tegen D vermits er geen enkele bovengrens (ondergrens) kleiner (groter) is dan d. Zo een element zullen we later ook een plakpunt van een verzameling noemen.

Merk op dat supremum en infimum en dus ook maximum en minimum reële getallen zijn. OPGAVEN — 21 Zoek rijen waarvan de verzameling van de termen een supremum, infimum, maximum of minimum bezit.

3.9.1

Eigenschappen van begrensde verzamelingen

STELLING 3.3 Heeft een deelverzameling van R een supremum (infimum) dan is dat enig. STELLING 3.4 Elke niet-ledige deelverzameling van reële getallen die naar boven (onder) begrensd is heeft een supremum (infimum) in R. Dit volgt uit de eigenschappen van reële getallen. Omdat in het geordend veld R, +, ., ≤ deze laatste eigenschap geldig is wordt R, +, ., ≤ het compleet totaal geordend veld genoemd. Voor Q, +, ., ≤ geldt dit niet. We kunnen dit illustreren met het voorbeeld √ {x ∈ Q : 0 < x < 2} ⊂ Q is een verzameling van rationale getallen die naar boven begrensd is in de verzameling van de rationale getallen. In Q heeft deze deelverzameling geen supremum. De verzameling √ van de bovengrenzen in Q is de verzameling van de rationale getallen groter dan 2 en deze verzameling heeft als deelverzameling van Q geen rationaal minimum in Q. GEVOLG 3.1 Elke niet-ledige verzameling van gehele getallen die naar boven (onder) begrensd is heeft een maximum (minimum). √ √ Voorbeeld: De verzameling {x ∈ Z : 0 < x ≤ 10} is naar boven begrensd door bvb. 10 en bezit dus een supremum. Het supremum is hier het maximum van de verzameling nl. 3. GEVOLG 3.2 Elke niet-ledige verzameling van positieve (negatieve) reële getallen heeft steeds een positief infimum (negatief supremum) in R. Met positief bedoelen we groter dan of gelijk aan nul, anders zeggen we strikt positief.

3.10. EIGENSCHAPPEN VAN CONVERGENTE/DIVERGENTE RIJEN

3.10

97

Eigenschappen van convergente/divergente rijen

We vragen ons nu af hoe we in hemelsnaam de limiet van een convergente rij berekenen. En hoe weten we of een rij al dan niet convergent is? We kunnen deze vragen niet algemeen oplossen. Bijna elke rij moet afzonderlijk onderzocht worden. Er zijn wel enkele hulpmiddelen die we kunnen aanwenden. Vooreerst is er een nodige voorwaarde voor het convergent zijn, namelijk begrensd zijn. Dus onbegrensde rijen kunnen nooit convergeren. Verder zullen we zien dat stijgende rijen begrensd kunnen zijn en bijgevolg convergent. Dat kan voor jou logisch lijken, maar dit is het niet altijd geweest! Vroeger dacht men namelijk dat iets wat steeds groter wordt automatisch onbegrensd is. Een voorbeeld daarvan is het verhaal van de haas en de schildpad. Zij gingen om ter snelst een afstand van 1000 meter lopen. Maar aangezien de haas toch tien keer sneller liep dan de schildpad, kreeg deze laatste 100 meter voorsprong. Toen de haas 100 meter afgelegd had, had de schildpad dus nog altijd tien meter voorsprong. Toen de haas ook deze 10 meter afgelegd had, was de schildpad alweer 1 meter verdergesukkeld; toen de haas déze meter overbrugd had, was de schildpad nog 10 centimeter verder, enzovoort. We zien dus dat de afgelegde weg van de haas een strikt stijgende rij vormt, en als je nu aanneemt dat zo’n rij automatisch onbegrensd is, dan komt de haas na 1 kilometer nog steeds achter de schildpad. Dit is één van de Oud-Griekse paradoxen. De rij van de haas 100; 110; 111; 111, 1; 111, 11; · · · is een meetkundige reeks met reden 0, 1, dit is de rij der partiële sommen van de meetkundige rij 100; 10; 1; 0; 1; 0, 1; 0, 01 · · · .

STELLING 3.5 Een convergente rij is begrensd. Bewijs: Zij (un ) een convergente rij met limiet U ∈ R. Er geldt: ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − U | < . Alle termen van de rij zitten in de basisomgeving van U met straal op een eindig aantal na. De eindige verzameling termen {u1 , u2 , . . . , um−1 } heeft een maximum g en een minimum l. Dus alle termen van de rij (un ) zijn kleiner dan of gelijk aan g of U + en groter dan of gelijk aan l of U − . De rij (un ) is dus begrensd. en 5n+7 . We passen het bewijs van de stelling toe op 3 rijen, 1 − (−1)n n1 , − 3n+2 2n n+1 Kies voor elk van de voorbeelden een en duid op de figuren 3.14, 3.15 en 3.16 de getallen l, g, U − of U + aan. Opmerking: Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Het is mogelijk dat een nietconvergente rij tevens begrensd is. Neem bvb. de alternerende rij ((−1)n ), die begrensd is en onbeslist.

98


Figuur 3.14: de rij 1 − (−1)n n1

Figuur 3.15: de rij

Figuur 3.16: de rij

−

3n+2 2n

5n+7 n+1

3.11. CRITERIA VOOR CONVERGENTE RIJEN

99

STELLING 3.6 Als een rij niet begrensd is dan is ze niet convergent. Deze stelling is de contrapositie van stelling 3.5. Zoals voor convergente rijen hebben we voor divergente rijen ook enkele eigenschappen waarvan de bewijzen parallel verlopen met deze voor convergente rijen. We kunnen ze dus weglaten. STELLING 3.7 Een divergente rij is niet begrensd. Opmerking: Het omgekeerde van de stelling geldt niet. Er zijn rijen die niet begrensd zijn en toch niet divergent zijn. STELLING 3.8 Een alternerende rij is nooit divergent. OPGAVEN — 22 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden 1. de rijen die niet convergent zijn maar toch begrensd; 2. de rijen die niet begrensd zijn en divergent; 3. de rijen die niet begrensd zijn en onbeslist.

3.11

Criteria voor convergente rijen

De rij (1 − 21n ) is een strikt stijgende rij want we trekken van 1 steeds maar een kleiner getal af. De rij is tevens begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1. Juist omdat deze stijgende rij begrensd is, is ze convergent. Dit gaan we bewijzen. STELLING 3.9 Elke stijgende (dalende) begrensde rij is convergent. De limiet is het supremum (infimum) van de verzameling van de termen van de rij. Bewijs: We bewijzen dit voor bijvoorbeeld een stijgende rij. We tonen aan als een stijgende rij begrensd is dan is ze convergent. Onderstel dus dat de stijgende rij (un ) begrensd is. Dan heeft de verzameling A = {un : n ∈ N0 } een supremum U ∈ R. Nemen we nu een willekeurige basisomgeving van U , nl. ]U − , U + [. In deze omgeving zit er minstens één term van de rij, want anders zou U − een kleinere bovengrens zijn van A en dit is in strijd met het feit dat U de kleinste

100


bovengrens is. Dat betekent dat er, voor elke gegeven > 0, er steeds een element m ∈ N0 bestaat waarvoor U − < um ≤ U . Maar voor elk natuurlijk getal n ≥ m geldt dan ook U − < um ≤ un ≤ U < U + , vermits de rij stijgend is. ∀ ∈ R+ 0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |un − U | < Hieruit besluiten we dat U de limiet is van (un ). Een analoog bewijs geldt voor dalende rijen.

OPGAVEN — 23 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden van rijen de rijen die monotoon zijn en begrensd.

Een alternerende rij kan convergent zijn maar dan moet ze aan bijzondere voorwaarden voldoen. Dit formuleren we in de volgende stelling: STELLING 3.10 Een alternerende rij (un ) convergeert als en slechts als de rijen (u2n )n∈N0 en (u2n−1 )n∈N0 van respectievelijk de even genummerde termen en oneven genummerde termen beiden convergeren naar 0. In dit geval is de limiet van de oorspronkelijke rij (un ) ook 0. OPGAVEN — 24 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden de rijen die alternerend zijn en tevens convergent zijn.

Een rij kan ook termgewijs begrensd zijn door een andere rij. In deze situatie kunnen we iets algemeen zeggen over de convergentie van een rij: STELLING 3.11 (De gedomineerde convergentie/divergentie stelling) Zijn (un ) en (vn ) twee convergente/divergente rijen, en geldt dat un < vn (respectievelijk un ≤ vn ), dan geldt: lim un ≤ lim vn . +∞

+∞

We geven het bewijs in het geval dat de twee rijen convergent zijn. Bewijs: Inderdaad, indien V < U , met V de limiet van (vn ) en U deze van (un ), dan kiezen, en bestaan er dus natuurlijke getallen m1 en m2 kunnen we gelijk aan U −V 2 waarvoor U −V n > m1 =⇒ |un − U | < 2

3.12. TWEE MERKWAARDIGE LIMIETEN en n > m2 =⇒ |vn − V | <

101

U −V 2

Van zodra n ≥max{m1 , m2 } = m geldt U−

U −V U −V U +V 3U − V < un < U + ⇐⇒ < un < 2 2 2 2

V −

U −V 3V − U U +V U −V < vn < V + ⇐⇒ < vn < 2 2 2 2

en

Dit impliceert echter vn <

U +V 2

< un =⇒ vm < um van zodra n ≥ m, een strijdigheid.

STELLING 3.12 (De Sandwich Regel) Zijn (un ), (vn ) en (wn ) drie rijen waarvoor geldt un ≤ vn ≤ wn , en zijn (un ) en (wn ) convergent/divergent met gemeenschappelijke limiet r ∈ R ∪ {+∞, −∞}, dan is ook (vn ) convergent/divergent en haar limiet is ook gelijk aan r. Bewijs: Ook dit bewijs (in geval (un ) en (wn ) convergent zijn) is niet zo moeilijk en is een beetje in dezelfde stijl als het voorgaande. Alleen hoef je nu geen contrapositie te doen. Probeer het zelf eens!

3.12

Twee merkwaardige limieten

De gulden rij. We geven nu twee toepassingen op de voorgaande stellingen. Eerst de gulden rij (un /un+1 ), waarbij (un ) de rij van Fibonacci voorstelt. De even termen (u2n /u2n+1 ) vormen een stijgende rij (dit kan men inductief bewijzen, we laten het bewijs weg) en de oneven termen (u2n−1 /u2n ) vormen een dalende rij. Beide rijen zijn begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1. Deze rijen convergeren dus. Zij leven de limiet van de even termenrij en loneven de limiet van de oneven termenrij. Er geldt: u2n 1 u2n . = = u2n+1 u2n + u2n−1 1 + uu2n−1 2n Nemen we van beide leden de limiet (als we die leden opvatten als de even termen rij), dan bekomen we 1 leven = 1 + loneven

102


en analoog hebben we ook loneven = Aldus is

1 . 1 + leven

loneven + leven loneven = 1 , leven + loneven leven = 1 def

waaruit we vinden leven = loneven = l. Vullen we dat in in bovenstaande gelijkheden, dan bekomen we l2 + l − 1 = 0, dus √ −1 ± 5 . l= 2 Aangezien de limiet positief moet zijn (als het supremum van een stijgende positieve √ 5−1 verzameling reële getallen) is l = 2 , één van de twee gulden snede getallen, de andere √ 5+1 is − 2 . Het getal e. Beschouw de rij (un ) = 1 + n1 )n . Men kan bewijzen dat deze rij strikt stijgend is (met behulp van het binomium van Newton; zie later) en naar boven begrensd door het getal 3 bijvoorbeeld. Deze rij convergeert dus. We zullen de limiet voorstellen door de letter e. Dus vanaf nu is de letter e als wiskundig symbool dit bepaalde getal en mogen we e niet meer gebruiken om een variabel getal, een parameter of een onbekende te benoemen. lim(1 + +∞

1 n ) = e = 2, 718281828459 · · · . n

Figuur 3.17: het getal e

3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEÏSOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN

103

3.13

Ophopingspunten, ge¨ısoleerde punten en plakpunten

3.13.1

Definities

Als toepassing op de convergente en divergente rijen zullen we nu een stukje reële topologie zien. Echter alleen de grondbegrippen die we later nog nodig zullen hebben bij limietonderzoek en continu¨ıteit. We hebben gezien dat een monotone rij die begrensd is convergent is. De limiet van zo een rij is dan supremum of infimum van de verzameling van de termen van de rij. Er kunnen echter nog andere speciale punten zijn voor de verzameling van de termen van een rij. Bijvoorbeeld, een niet convergente rij waarvan de rij van de even termen nadert naar een bepaalde waarde en de rij van de oneven termen naar een andere waarde. Deze punten spelen in zeker opzicht dezelfde rol als de limiet van een convergente rij. Vandaar dat we zo punten wiskundig willen definiëren. Deze punten zullen we ophopingspunten noemen. We definiëren echter eerst het begrip ge¨ısoleerd punt.

Zij D een deelverzameling van R. Een element van D is een ge¨ısoleerd punt van D als en slechts er geen enkele rij bestaat met termen in D \ {d} die convergeert naar d. Een element d ∈ R ∪ {+∞, −∞} is een ophopingspunt van D als en slechts als er een rij bestaat waarvan alle termen elementen zijn van D en die convergeert of divergeert naar d en d mag geen ge¨ısoleerd punt zijn van D. Een plakpunt van D is een ophopingspunt dat geen element is van D. Een plakpunt kan dus niet ge¨ısoleerd zijn. Een element d ∈ R ∪ {+∞} is een linkerophopingspunt van D als en slechts als er een strikt stijgende rij bestaat waarvan alle termen elementen zijn van D en die convergeert of divergeert naar d (dus d is “van links bereikbaar”). Geef nu zelf de analoge definitie voor een rechterophopingspunt.

104

3.13.2


Eigenschappen

We bewijzen de volgende stellingen. STELLING 3.13 Heeft D een supremum in R dat geen maximum is dan is dat supremum een plakpunt van D. Eenzelfde bewering geldt voor infimum en minimum uiteraard. Bewijs: Zij d het supremum van D. We construeren als volgt een rij (un ). Daar d de kleinste bovengrens is van D, bestaat er zeker nog een element van D groter dan of gelijk aan d − n1 , voor alle n ∈ N. Kies zo een getal en stel het gelijk aan un . De aldus gevormde rij convergeert naar d want elke ∈ R+ is groter dan een zekere m1 , m ∈ N en alle termen van (un ) vanaf um liggen per definitie tussen d − m1 en d, en dus ook tussen d − en d + . Voorbeeld: We passen de constructie van een convergente rij, in het voorgaande bewijs, toe op de verzameling 1 D = {(−1)n (1 − ) : n ∈ N0 }. n 1 3 3 5 5 Zo verkrijgen we de rij van termen in D: 0, 2 , 4 , 4 , 6 , 6 , · · · . We kunnen van deze laatste rij een strikt stijgende deelrij nemen die tevens convergeert naar 1. Een soort omgekeerde van deze stelling is de volgende de stelling: STELLING 3.14 Is d een ophopingspunt van D, en is d terzelfdertijd een bovengrens, dan is d het supremum van D. Eenzelfde eigenschap geldt voor infimum en ondergrens. Bewijs: Stel dat d0 een kleinere bovengrens is dan d voor D. Zij (un ) een rij met termen in D die convergeert naar d. Wegens de definitie van limiet moeten er termen van (un ) gelegen zijn tussen d − en d, voor alle ∈ R. Neem nu even = d − d0 , dan zouden er termen van (un ) moeten gelegen zijn tussen d0 en d, strijdig met het feit dat d0 een bovengrens is. Dit bewijst de stelling. Tenslotte een stelling die het verband legt met convergente en divergente rijen en waarvan het bewijs onmiddellijk uit de definities volgt (vandaar dat we het weglaten). STELLING 3.15 De limiet van een niet-constante convergente rij of divergente rij is een ophopingspunt van de verzameling van haar termen. De limiet van een constante rij is een ge”ısoleerd punt van de verzameling van haar termen. Merk op dat in tegenstelling met supremum en infimum van een verzameling een ophopingspunt niet noodzakelijk een reëel getal moet zijn. Een ophopingspunt kan eventueel +∞ of −∞ zijn.


105

In de volgende voorbeelden gaan we van de gegeven deelverzamelingen alle speciale punten opsporen. Voorbeelden: • D = {(−1)n (1 − n1 ) : n ∈ N0 } Ophopingspunten : Het element 1 is een ophopingspunt van D want de rij waarvan de termen elementen zijn van D voor n even convergeert naar 1, nl. 21 , 43 , 56 , · · · . Het element −1 is tevens een ophopingspunt van D want de rij waarvan de termen elementen zijn van D voor n oneven convergeert naar −1, nl. 0, − 23 , − 45 , − 67 , · · · . Linkerophopingspunt : 1 is enkel van links bereikbaar dus 1 is een linkerophopingspunt maar is geen rechterophopingspunt. Rechterophopingspunt : −1 is een rechterophopingspunt maar geen linkerophopingspunt. Plakpunten Omdat het ophopingspunt 1 niet tot D behoort is het een plakpunt van D. Ook −1 is een plakpunt van D. Ge¨ısoleerde punten : Alle elementen van D zelf zijn ge¨ısoleerde punten van D. Neem bvb. 21 dan bestaat er geen enkele rij met elementen in D \ { 21 } die convergeert naar 12 . Supremum 1 is een ophopingspunt en tegelijk een bovengrens dus is 1 het supremum dat geen maximum is. Infimum −1 is een ophopingspunt en tegelijk een ondergrens dus −1 is het infimum dat geen minimum is. • D = { n1 : n ∈ N0 } Ophopingspunten : Het element 0 is een ophopingspunt van D want 0 is de limiet van de niet-constante rij ( n1 ) waarvan alle termen elementen zijn van D. Rechterophopingspunt : De rij ( n1 ) is een strikt dalende rij die convergeert naar 0. 0 is dus een rechterophopingspunt van D. Plakpunten : 0 is een ophopingspunt dat niet tot D behoort dus is 0 een plakpunt. Ge¨ısoleerd punten : Alle punten van D zijn ge¨ısoleerde punten van D. Supremum : 1 is een bovengrens die element is van de verzameling. Dus is 1 het maximum van D. Infimum : 0 is een ophopingspunt dat tevens een ondergrens is van D. Dus 0 is het infimum en geen minimum omdat het niet tot D behoort. n • D = {1 − cos : n ∈ N0 }. n2 Ophopingspunten : 1 is een ophopingspunt van D want 1 is de limiet van de nietn constante convergente rij (1 − cos ) waarvan de termen elementen zijn van D. n2 Rechterophopuntspunt : 1 is een rechterophopingspunt van D want er bestaat een

106

HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE strikt dalende deelrij van (1 −

cos n ) n2

die convergeert naar 1, bvb. de deelrij

u2 , u4 , u8 , u17 , u27 , · · · = 1, 104; 1, 041; 1, 002; 1, 00095; 1, 0004; · · · Linkerophopingspunt : Toon hier nu zelf aan dat 1 tevens een linkerophopingspunt van D is.

Plakpunten : 1 is een plakpunt van D. Ge¨ısoleerde punten : Alle elementen van D zijn ge¨ısoleerde punten. • D =] − 1, 3] ∪ {5} Ophopingspunten : Alle punten van [−1, 3] zijn ophopingspunten van D. Voor −1 bestaat er een strikt dalende rij bvb. de rij (−1 + n1 ) die convergeert naar −1 en waarvan de termen elementen zijn van ] − 1, 0] ⊂ D. Rechterophopingspunten: Alle punten van [−1, 3[ zijn rechterophopingspunten. Linkerophopingspunten : Alle elementen van ] − 1, 3] zijn linkerophopingspunt van D. Plakpunten : −1 is een plakpunt. Ge¨ısoleerd punten : Het punt 5 is een ge¨ısoleerd punt van D want geen enkele rij met termen in ] − 1, 3] convergeert naar 5. Supremum : 5 is het maximum van D. Infimum : −1 is het infimum. • N Ophopingpunten : +∞ is een ophopingspunt van N. Linkerophopingspunten: +∞ is een linkerophopingspunt van N omdat er een rij bestaat met elementen in N nl. de rij (n)n∈N0 die divergeert naar +∞. Plakpunten : +∞ is een plakpunt van N. Ge¨ısoleerde punten : Alle elementen van N zijn ge¨ısoleerde punten van N. Supremum : N heeft geen bovengrenzen dus ook geen supremum. Infimum : N heeft een minimum , nl. 0. • Q Ophopingspunten : Alle elementen van R zijn ophopingspunten van Q. Er bestaat altijd een rij van rationale getallen die convergeert naar een irrationaal getal. +∞ is een ophopingspunt van Q want er bestaat een rij van rationale getallen die


107

divergeert naar +∞. Zo is −∞ tevens een ophopingspunt van Q. Linkerophopingspunt: Alle elementen van R ∪ {+∞} zijn linkerophopingspunten van Q. +∞ is linkerophopingspunt want we kunnen zeker een strikt stijgende rij vinden van rationale getallen die divergeert naar +∞. rechterophopingspunt : Alle elementen van R ∪ {−∞} zijn rechterophopingspunten van Q. −∞ is een rechterophopingspunt van Q want we kunnen zeker een strikt dalende rij vinden van rationale getallen die divergeert naar −∞. Plakpunten : Alle irrationale getallen zijn ophopingspunten die niet tot de verzameling behoren en dus plakpunten van Q, alsook +∞ en −∞ zijn plakpunten. Ge¨ısoleerde punten : er zijn geen ge¨ısoleerde punten in Q. Supremum : Q heeft geen bovengrenzen, dus ook geen supremum. Infimum : Q heeft geen ondergrenzen dus ook geen infimum. • D = {(x − 5)(x + 9) : x ∈ R} Deze verzameling is de verzameling van de beelden van de functie y = (x−5)(x+9). Deze functie stelt een parabool voor en bereikt een kleinste waarde voor x = 5−9 = 2 −2, di. de x-waarde van de top van de parabool. De y-waarde van de top is de kleinste waarde nl. −49. D = {(x − 5)(x + 9) : x ∈ R} = [−49, +∞[ Ophopingspunten : Alle punten van [−49, +∞] zijn ophopingspunten van D. Rechterophopingspunten : Alle punten van [−49, +∞[ zijn rechterophopingspunten van D. Linkerophopingspunten : Alle punten van ] − 49, +∞] zijn linkerophopingspunten van D. Plakpunten : +∞ is een plakpunt van D. Ge¨ısoleerde punten : er zijn geen ge¨ısoleerde punten in D. Supremum : D heeft geen bovengrenzen, dus ook geen supremum. infimum : D heeft −49 als minimum.

108


AN I groepswerk 3

1. Gegeven is de verzameling D = {3 −

1 n

: n ∈ N0 }.

(a) Geef enkele bovengrenzen van D; (b) 3 een speciale bovengrens van D want ze is de kleinste bovengrens. Die bovengrens noemen we het supremum van D; (c) Voor 3 bestaat er een niet constante rij met termen in D die convergeert naar 3. Dit is de rij (un ) : · · · (d) Omdat er een niet-constante rij voor 3 bestaat, noemen we 3 een ophopingspunt van D; (e) Omdat (un ) een strikt stijgende rij is, is 3 een linkerophopingspunt van D (we naderen in D naar 3 van aan de linkerkant); (f) Zoek in de cursus een stelling die het verband legt tussen ophopingspunt en supremum van een verzameling. Formuleer ze.

(g) D is de verzameling van termen van een rij! Zoek in de cursus een stelling die het verband legt tussen de limiet van een rij en ophopingspunt van de verzameling van de termen van de rij. Formuleer ze.

(h) Geef enkele ondergrenzen van D; (i) 2 is een speciale ondergrens van D omdat 2 de grootste ondergrens is. Die ondergrens noemen we het infimum van D; (j) Omdat 2 tevens het kleinste element is van D noemen we 2 ook het minimum van D; (k) Voor 2 bestaat ook een rij met termen in D die convergeert naar 2, nl. de constante rij 2, 2, · · · ; (l) Omdat er voor 2 geen andere rij bestaat met termen die elementen zijn van D dan enkel een constante rij , wordt 2 een ge¨ısoleerd punt van D genoemd; (m) Zijn er nog andere ge¨ısoleerde punten in D? (n) Geef de verzameling van alle ge¨ısoleerde punten van D: (o) Zijn er nog andere ophopingspunten buiten 3 in D? (p) D als verzameling van termen van een rij is een begrende verzameling. Zoek in de cursus twee stellingen die een verband leggen tussen convergentie van een rij en het begrensd zijn van de rij. Formuleer de twee stellingen.


109

2. Gegeven is de verzameling D = {(−1)n+1 (5 + n1 ) : n ∈ N0 } (a) Zoek de eventuele ophopingspunten (linker en/of rechter) en ge¨ısoleerde punten van D;

(b) Heeft D een supremum en/of een infimum? (c) Formuleer nog eens het verband tussen ophopingspunt, supremum en infimum?

(d) D is de verzameling van de termen van een rij. Is de rij begrensd? Is de rij convergent? Van welke stelling is de omgekeerde niet geldig? Formuleer de stelling.

(e) Is een ophopingspunt van de verzameling van de termen van een rij steeds de limiet van de rij? Van welke stelling is de omgekeerde niet geldig?

3. Gegeven is de verzameling D = {−1, 1} (a) Zoek de eventuele ophopingspunten en ge¨ısoleerde punten van D;

(b) Het supremum 1 van D is tevens het grootste element van D. We noemen 1 het maximum van D; (c) D kan beschouwd worden als de verzameling van de termen van de rij ((−1)n )n∈N0 . Is de rij begrensd? Is de rij convergent?

(d) D kan beschouwd worden als de verzameling van de termen van de rij −1, ; −1, ; −1, ; −1, 1, 1, 1 Waarom is de rij een constante rij?

(e) Zoek een stelling die het verband legt tussen de limiet van een rij en ge¨ısoleerd punt van de verzameling van haar termen.

110


4. Gegeven is de verzameling D = {3 +

sin n n3

: n ∈ N0 }

(a) Toon aan dat D enkel bestaat uit ge¨ısoleerde punten. Is D een begrensde verzameling? Wat kan je besluiten omtrent het supremum en het infimum?

(b) Waarom heeft D een ophopingspunt (linker en/of rechter)? (c) Is er nu een verband tussen ophopingspunt en supremum of infimum? Welke voorwaarde is niet vervuld? 5. Geef een voorbeeld van een verzameling die uit enkel ge¨ısoleerde punten bestaat maar niet naar boven en niet naar onder begrensd is. Heeft zo een verzameling ophopingspunten (linker en/of rechter), supremum, infimum, maximum, minimum?

6. Geef een voorbeeld van een verzameling van de termen van een divergente rij. Bepaal van zo een rij de speciale punten.

7. Toon aan dat in de verzameling Z van de natuurlijke getallen elk natuurlijk getal een ge¨ısoleerd punt is in Z. Heeft Z ophopingspunten? Zoek de stelling die je daarvoor kan toepassen. Is Z begrensd?

8. Zoek in de cursus wat een plakpunt is van een verzameling. Bepaal voor alle voorgaande verzamelingen D de plakpunten.

Opmerking: In de bovenstaande voorbeelden bestaat voor de verzameling D minstens één rij waarvan alle elementen van D termen zijn.


111

In de volgende voorbeelden is het niet mogelijk een rij te vinden waarvan alle elementen van D termen zijn. Maar we kunnen oneindig veel rijen beschouwen waarvan de termen elementen zijn van D (maar niet alle elementen). 9. Gegeven is de verzameling D =] − 4, 3] ∪ {5} (a) Geef enkele bovengrenzen van D; (b) 5 is een speciale bovengrens want ze is de kleinste bovengrens. Hoe noemen we die bovengrens? (c) 5 is ook het grootste element van D. Hoe noemen we zo een element? (d) Ga na of er voor 5 een rij bestaat met termen in D die convergeert naar 5; (e) Welk soort punt is 5 voor D? (f) Geef enkele ondergrenzen van D; (g) −4 is een speciale ondergrens, nl. · · · · · · · · · . Die speciale ondergrens noemen we · · · · · · · · · (h) Is −4 een speciaal infimum voor D? (i) Maak gebruik van de voorgaande voorbeelden om aan te tonen dat 3 en 1 ophopingpunten zijn van D.

(j) Zoek voor −4 een niet-constante rij met termen in D die convergeert naar −4 (denk aan de rij die convergeert naar 3).

(k) Toon aan dat voor geen enkele andere ondergrens er een rij bestaat met termen in D die convergeert naar die ondergrens;

(l) Welk soort punt is −4 voor D? (m) Zijn er nog andere elementen van D die ophopingspunten zijn van D? (n) Geef de verzameling van alle ophopingspunten van D: 2

10. Gegeven de verzameling D = {− x20 − 2x : x ∈ R} (a) Bepaal D als deelverzameling van R; (b) Bepaal de speciale punten van D.

112


11. Toon aan dat in de verzameling R \ Q van de irrationale getallen elk rationaal getal en elk irrationaal getal een ophopingspunt is van R \ Q. 12. Verzamel de eigenschappen voor supremum en infimum en ga die eigenschappen na in de bovenstaande verzamelingen.

AN I HUISTAAK 3 Stel de volgende verzamelingen voor op een georiënteerde rechte (op de y-as of eventueel op de x-as). Bepaal de eventuele ophopingspunten, linker- en rechterophopingpunten, plakpunten, ge¨ısoleerde punten, supremum, infimum, maximum en minimum van deze deelverzamelingen van R. Zet de resultaten in een tabel (een kolom per verzameling en eventuele berekeningen apart zetten).

3.14

1. 2.

{x ∈ Z : x > π} { 12 , 34 , 78 , . . .}

5. 6.

{x ∈ R \ Q : x ≥ − 43 } {x2 − 1 : x ∈ R}

3.

{1, − 21 , 13 , − 41 , . . .}

7.

{−2x2 + 7x + 4 : x ∈ R}

4.

{ 21 , − 23 , 43 , − 45 , . . .}

8.

{x2 + y 2 : 2x + y = 3 met x, y ∈ R}

Bewerkingen met rijen

De bewerkingen met rijen stemmen volledig overeen met de bewerkingen met functies. Zo definiëren we andere rijen. Bijvoorbeeld, onderstel dat (un ) en (vn ) twee rijen zijn, dan kunnen we de somrij (un + vn ) vormen, of de verschilrij (un − vn ), of de productrij (un vn ), of, indien geen enkele term van (vn ) gelijk aan nul is, de quoti¨ entrij (un /vn ). Zijn a en b twee willekeurige reële getallen, dan kunnen we ook een lineaire combinatie (aun + bvn ) vormen. Ook met slechts één rij kunnen we andere maken. De tegengestelde rij van de rij (un ) is de rij (−un ); de omgekeerde rij van de rij (un ) zonder nultermen is de rij (1/un ); de i-de macht van een rij (un ), i ∈ N, is de rij (uin ). Voor een positieve rij (un ) kan men ook rationale machten beschouwen en aldus een rij (uqn ), q ∈ Q+ , krijgen. Je kunt ook een sinusrij vormen door van elke term de sinus te nemen, enzoverder.

3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN

3.15

Rekenregels voor limieten van rijen

3.15.1

Stellingen – de rekenregels voor limieten

113

We geven nu enkele regels die het ons gemakkelijker moeten maken om, ten eerste, de convergentie van een rij te bewijzen, en, ten tweede, de limiet effectief te berekenen. We zullen er enkele van bewijzen om je te laten zien hoe het in zijn werk gaat. Meestal zijn er ingewikkelde technische snufjes nodig en daar willen we uiteraard niet op ingaan. We beginnen met een belangrijke opmerking. Opmerking: Beschouw de rij van Mieke eens terug. De limiet van deze rij is duidelijk het getal 24, want uiteindelijk slaapt Mieke 24 uren per dag. We kennen dus de limiet van deze rij zonder dat we elke term kennen van deze rij. Wat we wèl kennen zijn alle termen uitgezonderd een eindig aantal. Algemeen is het zo, dat we in een rij een eindig aantal termen mogen veranderen, weglaten of bijvoegen zonder de eventuele convergentie en limietwaarde te veranderen. STELLING 3.16 (i) Zij q ∈ Q+ en zij (un )n∈N0 een convergente rij met limiet U ∈ R+ . Dan is ook (uqn )n∈N0 een convergente rij en limn→+∞ uqn = U q . (ii) Zij q ∈ Q− en zij (un )n∈N0 een convergente rij met limiet U ∈ R+ 0 . Is un 6= 0 voor alle q q n ∈ N0 , dan is ook (un )n∈N0 een convergente rij en limn→+∞ un = U q . We zeggen kortweg: De limiet van een macht van een convergente rij is gelijk aan de macht van de limiet van de rij. lim(uqn ) = (lim un )q . +∞

+∞

Bewijs: We bewijzen alleen (i) en dan nog voor q = 2. We moeten dus bewijzen dat voor elk getal > 0 er een natuurlijk getal m ∈ N0 bestaat zó dat |u2n − U 2 | ≤ , voor alle n ≥ m. Wel, neem zo een willekeurig getal > 0. |u2n − U 2 | = |(un − U )(un + U )| = |un − U |.|un + U | Daar (un ) convergent is, is ze ook begrensd en dus bestaat er een reëel getal M zó dat |un | < M , voor alle n ∈ N0 . Er geldt dan ook dat |un + U | ≤ |un | + |U | < M + |U |. Daar limn→+∞ un = U , kan |un −U | kleiner gemaakt worden dan het positieve getal van zodra m ∈ N0 voldoende groot is. ∀n ∈ N0 : n ≥ m =⇒ |un − U | < . M + |U |

M +|U |

114


Voor n > m hebben we dus: .(M + |U |) |u2n − U 2 | = |un − U |.|un + U | < M +|U | < ,

hetgeen we moesten bewijzen.

Je ziet dat er een “kunstgreep” nodig is om ons doel te bereiken. Voor andere waarden van q, vooral dan de niet-gehele, is de kunstgreep nog ingewikkelder. Maar we hebben opzettelijk het geval q = 2 bewezen omdat we dit geval nodig hebben voor Stelling 3.18. 1−2n Voorbeeld: De rij convergeert naar −2. Volgens voorgaande stelling convergeert de n (1−2n)2 naar 4. rij n2 Opmerkingen: In feite hoeven in (ii) niet alle termen van (un ) verschillend van nul te zijn. Maar dan moeten we in de rij (uqn ) de niet-gedefinieerde termen (namelijk deze waarvoor un = 0) vervangen door een getal naar keuze, of gewoon weglaten; wegens U 6= 0 zullen dat er toch maar een eindig aantal zijn. STELLING 3.17 Zijn (un ) en (vn ) twee convergente rijen met limiet U en V respectievelijk, en zijn a en b twee reële getallen, dan is de rij (aun + bvn ) convergent en heeft als limiet aU + bV . We zeggen kortweg: De limiet van een lineaire combinatie van twee convergente rijen is gelijk aan de lineaire combinatie van de limieten. lim(a · un + b · vn ) = a lim un + b lim vn . +∞

+∞

+∞

Bewijs: We bewijzen de stelling voor het algemene geval a 6= 0 6= b. We moeten dus bewijzen dat voor elk getal > 0 er een natuurlijk getal m ∈ N0 bestaat zó dat |a.un + b.vn − a.U − b.V | ≤ , voor alle n ≥ m. We kiezen dus terug een willekeurig getal > 0. |a.un + b.vn − a.U − b.V | = |a.(un − U ) + b.(vn − V )| ≤ |a|.|un − U | + |b|.|vn − V | We moeten het laatste lid van deze laatste betrekking proberen naar boven te begrenzen door . Elke term moeten we dan kleiner kunnen maken dan 2 . 1. De rij (un ) convergeert naar U , dus voor het getal dat voor alle n ≥ m1 er geldt: |un − U | ≤

. 2|a|

2|a|

bestaat er een m1 ∈ N0 zó

3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN 2. De rij (vn ) convergeert naar V , dus voor het getal dat voor alle n ≥ m2 er geldt: |vn − V | ≤

115 2|b|

bestaat er een m2 ∈ N0 zó

. 2|b|

Neem m = max{m1 , m2 } dan geldt van zodra n groter is dan m dat |a.un + b.vn − a.U − b.V |

≤ |a|.|un − U | + |b|.|vn − V | < |a|. 2|a| + |b|. 2|b| < 2 + 2 <

Hetgeen we moesten aantonen.

STELLING 3.18 Zij (un ) en (vn ) twee rijen met limiet respectievelijk U en V . Dan geldt: (i) de rij (un vn ) convergeert naar U V ; (ii) als vn 6= 0 voor alle n ∈ N0 en V 6= 0, dan convergeert (un /vn ) naar U/V . We zeggen kortweg: De limiet van een product van twee convergente rijen is gelijk aan het product van de limieten. lim(un · vn ) = lim un · lim vn . +∞

+∞

+∞

De limiet van een quotiënt van twee convergente rijen is gelijk aan het quotiënt van de limieten. un lim+∞ un lim = . +∞ vn lim+∞ vn Bewijs: (i) Onderstel dat de rijen (un ) en (vn ) convergeren naar U en V respectievelijk zoals in de opgave. Wegens Stelling 3.17 convergeert (un +vn ) naar U +V . Wegens Stelling 3.16 convergeren ((un + vn )2 )n∈N0 , (u2n ) en (vn2 ) naar (U + V )2 , U 2 en V 2 respectievelijk. We passen dan Stelling 3.17 drie maal toe om te bekomen dat (un vn ), wat kan geschreven worden als ( 21 ((un + vn )2 − u2n − vn2 )), convergeert naar 12 ((U + V )2 − U 2 − V 2 ) = U V . (ii) Als (vn ) convergeert naar V , dan convergeert (1/vn ) naar 1/V (wegens Stelling 3.16 voor q = −1), en wegens (i) convergeert (un /vn ) dan naar U/V . Het is opnieuw niet nodig dat alle vn verschillend van nul zijn. Daar V 6= 0, zullen er toch maar een eindig aantal zijn, en deze mogen we altijd vervangen door niet-nul elementen, of gewoon weglaten.

116


We zien dus dat de algebra¨ısche bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking) de convergentie van een rij niet storen en op dezelfde manier inwerken op de limiet(en) als op de corresponderende rij(en). Dit maakt het eenvoudig om sommige limieten te berekenen. Bijvoorbeeld, neem de rij (un ) met un =

n2 + n + 1 . 3n2 − 2n + 1

We kunnen un ook nog schrijven als un =

n2 (1 + n2 (3 −

1 n 2 n

+ +

1 ) n2 1 ) n2

=

1+ 3−

1 n 2 n

+ +

1 n2 1 n2

.

Daar de rij (1/n) naar 0 convergeert (zoals vroeger aangetoond), zullen ook (2/n) en (1/n2 ) naar 0 convergeren wegens de bovenstaande stellingen. Dus de rij 1 1 1+ + 2 n n n∈N0 convergeert naar 1 en de rij 1 2 3− + 2 n n n∈N0 convergeert naar 3. Aldus convergeert de rij 1 + n1 + 3 − n2 +

1 n2 1 n2

n∈N0

wegens Stelling 3.18(ii) naar 1/3.

3.15.2

Rekenregels in R ∪ {−∞, +∞}

Er zijn nu terug een hele reeks rekenregels met convergente èn divergente rijen. Om ons het leven wat gemakkelijker te maken, voert men een nieuwe korte notatie in. We zullen deze notatie niet formeel definiëren, doch met een sprekend voorbeeld illustreren. Beschouw daarvoor de rij (un ) = (n2 ) van daarnet en de rij (vn ) = (1 − 1/n). Je kan opnieuw zeer gemakkelijk controleren dat de rij (un + vn ) = (n2 + 1 − 1/n) divergeert naar +∞. Men kan zelfs bewijzen dat, voor elke willekeurige rij (un ) die naar +∞ divergeert, en elke willekeurige rij die convergeert, zegge naar het reële getal r ∈ R, de rij (un + vn ) ALTIJD naar +∞ zal divergeren. Deze uitspraak noteren we kort door: (+∞) + r = +∞ en we noemen het een rekenregel in R ∪ {−∞, +∞}. We hebben nu de volgende rekenregels:

3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN (+∞) + r (−∞) + r (+∞) − r (−∞) − r (+∞) + (+∞) (−∞) + (−∞) r · (+∞) r · (+∞) r · (−∞) r · (−∞) (+∞) · (+∞) (+∞) · (−∞)

= = = = = = = = = = = = +∞ = r +∞ = r −∞ = r −∞ = r r = +∞ 1 |0| = √ n +∞ = √ n −∞ =

r+∞ r+∞ r−∞ (+∞)−∞ r−∞

+∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ 0 +∞ +∞ −∞

= = = = = = = = = = = =

=

r + (+∞) r + (−∞) r − (−∞) r − (+∞) (+∞) − (−∞) (−∞) − (+∞) (+∞) · r (+∞) · r (−∞) · r (−∞) · r (−∞) · (−∞) (−∞) · (+∞)

117

(r (r (r (r

> 0) < 0) > 0) < 0)

(r (r (r (r

> 0) < 0) > 0) < 0)

r −∞

= +∞ = (+∞)+∞ = 0 = 0 = 0 = (−∞)−∞ = +∞

(n ∈ N0 ) (n ∈ N0 en oneven) (r > 1) (−1 < r < 1) (|r| > 1) (0 < r < 1)

Tabel 3.1: Rekenregels voor limieten van convergente/divergente rijen. STELLING 3.19 De rekenregels van tabel 3.1 gelden voor de limieten van convergente en divergente rijen (voor alle r ∈ R).

118


We gaan dit niet allemaal bewijzen, daar temeer we deze rekenregels gemakkelijk intu¨ıtief kunnen aanvoelen. We merken wel op dat voor de voorlaatste en derde laatste regel de corresponderende rijen moeten gedefinieerd zijn! Bijvoorbeeld de rij (uvnn ) met un = vn = −n is goed gedefinieerd, maar neem un = −n en vn = n/2, dan is dit niet meer het geval, want vierkantswortels van negatieve getallen bestaan niet in R! Dus alle regels gelden, als de corresponderende rijen bestaan! We kunnen dus heel wat algebra¨ısch rekenwerk verrichten in de verzameling R∪{+∞, −∞}. Doch enkele bewerkingen zijn niet gedefinieerd. Neem bijvoorbeeld de rijen (n2 ) en (n3 ). De rij (n2 −n3 ) divergeert naar −∞ (inderdaad, n2 −n3 = n3 ( n1 −1) en dit geeft aanleiding tot (+∞) · (−1) = −∞), dus we zijn geneigd om te zeggen (+∞) − (+∞) = −∞. Maar de rij (n3 − n2 ) divergeert duidelijkerwijs naar +∞ en daar gaat onze “rekenregel”! De tabel 3.2 geeft een lijstje van de uitdrukkingen waarover we niets algemeen kunnen zeggen en waarvoor we dus de betreffende rijen zelf moeten bekijken om de limiet te weten te komen. (+∞) − (+∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞), (−∞) − (−∞) 0 · (+∞),

(+∞) · 0,

0 · (−∞),

+∞ , 0

−∞ , 0

r 0

+∞ , +∞

+∞ , −∞

−∞ , +∞

(+∞)0 ,

(−∞)0 ,

0−∞

1+∞ ,

1−∞

, r+∞ (r ≤ −1),

(−∞) · 0

−∞ −∞

r−∞ (r ≤ −1)

Tabel 3.2: Rekenregels voor limieten van convergente/divergente rijen. Deze uitdrukkingen noemen we onbepaaldheden. Als we bewerkingen willen uitvoeren met +∞ en −∞ bevinden we ons meteen op glad ijs. Inderdaad, het symbool +∞ kan ons vaak verleiden tot valse uitspraken omdat we geneigd zijn een conclusie te trekken die wel geldt voor reële getallen, maar niet voor +∞ of −∞. We geven een voorbeeld aan de hand van een verhaal. Er was eens een land waar iedereen die wat verdiende de helft moest afstaan aan de koning (in moderne termen dus ‘belastingen’). Maar iedereen had er het eeuwige leven (hier is +∞ dan!). Zo ook de drie meisjes Tom, Linde en Louise die aan het hof werkten. Zij verdienden elk per week 20 goudstukken. Ze kregen die uitbetaald op vrijdag en moesten op zaterdag de belasting betalen. Alle drie nummerden zij voortdurend de goudstukken die ze kregen om goed te kunnen bijhouden hoeveel ze nu precies verdiend hadden. Tom deed dat als volgt. De eerste keer dat ze betaald werd, nummerde ze alle goudstukken van

3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN

119

1 tot 20. Op zaterdag gaf ze dan de nummers 11 tot 20 terug. De volgende week kreeg ze de nummers 11 tot 20 terug en nummerde de andere tien goudstukken van 21 tot 30. Deze laatste gaf ze dan terug op zaterdag. De volgende keer hield ze dan nummers 21 tot 30, daarna 31 tot 40, enzoverder. Uiteindelijk heeft ze dan alle goudstukken te pakken (want ze bezit elk nummer) en de koning niets. Slim bekeken van Tom! Linde deed het anders. Zij nummerde ook de eerste twintig goudstukken die ze kreeg van 1 tot 20, maar gaf de even nummers terug. De volgende goudstukken die ze kreeg nummerde ze verder van 21 tot 40 en gaf terug de even nummers weer. Zo verder gaande zien we dus dat Linde alle oneven genummerde goudstukken zal bezitten en de koning de even genummerde. Elk even veel dus. Eerlijk bekeken van Linde! Louise daarentegen legde het nog anders aan boord. De eerste twintig goudstukken werden weer van 1 tot 20 genummerd, maar zij gaf de nummers 1 tot en met 10 terug. Het volgend weekloon werd van 21 tot 40 genummerd en Louise gaf op zaterdag de oude nummers 11 tot 20 terug. De volgende keer gaf ze dan de nummers 21 tot 30, enzovoort, tot wanneer ze dus alles teruggeven had. Zij hield niets over, alles was voor de koning! “Geld maakt toch niet gelukkig”, zei Tom tot Louise . Zo eindigt het verhaaltje. Drie identieke situaties en afhankelijk van een eenvoudige nummering bekom je drie totaal verschillende eindes. Dit komt doordat er in feite geen einde is, want alles loopt tot in het oneindige. Zo zie je dat je moet oppassen met de termen +∞ en −∞. OPGAVEN — 25 Bereken de limieten van de volgende rijen door het toepassen van de stellingen en de rekenregels. √ 1. un = n3 5. un = n 6. un = √1n 2. un = n12 3.

un =

4.

un =

n+2 2n+3 2n+7 n2 −7

7.

un =

8.

un =

n2 +3 n−1 (2+n)2 +5 3−4n2

AN I HUISTAAK 4 1. Bereken de limieten van de volgende rijen door het toepassen van de stellingen en de rekenregels. 3. un = (2+3n)(1−n) n(8n−7) n4 −3n+2 4. un = 3n 2 −5n+6 2 −8n+15 2. Gegeven de rijen (un ) = 1+3n en (vn ) = −( nn2 −8n+17 ). n+1 Gevraagd: 1. un = 1 − 8n 2. un = 2n5 − 3n3 + 9

(a) Bepaal de waarden U en V waarnaar de twee gegeven rijen convergeren. Naar welke waarde W convergeert de rij (wn = un + vn ). Maak hiervoor gebruik van een stelling. Controleer de waarde W met het voorschrift van (wn ). (b) Neem een basisomgeving met straal 0,02 van W . Vanaf welk rangnummer m ben je zeker dat alle termen van de rij wn in die omgeving zitten op een eindig aantal na (maak hiervoor gebruik van hetgeen gedaan wordt om de stelling in 2a te bewijzen).

120

3.15.3


Toepassing op meetkundige en rekenkundige rijen

Rekenkundige rijen STELLING 3.20 De rekenkundige rij (an + b)n∈N0 divergeert naar +∞ als a > 0, naar −∞ als a < 0, en ze convergeert naar b als a = 0. Bewijs: We kunnen (an + b)n∈N0 schrijven als a · (n)n∈N0 + (b)n∈N0 . Is a 6= 0, dan volgt uit de rekenregels en het feit dat de rij (n)n∈N0 naar +∞ divergeert, dat +∞ als a > 0 lim (an + b) = a · (+∞) + b = −∞ als a < 0 n→+∞ Is a = 0, dan hebben we de constante rij (b), die overduidelijk convergeert naar b.

Convergentie van meetkundige rijen STELLING 3.21 De meetkundige rij (aq n )n∈N0 divergeert naar +∞ als a > 0 en q > 1; naar −∞ als a < 0 en q > 1; ze convergeert naar a als q = 1; naar 0 als −1 < q < 1; ze is onbeslist als q ≤ −1. De schematisch voorstelling van de stelling is:  +∞      −∞ a lim (aq n ) = a · q +∞ = n→+∞   0    0

als als als als als

a > 0, q > 1 a < 0, q > 1 q=1 −1
Bewijs Voor q > 1 en −1 < q < 1 volgt dit uit de rekenregels q +∞ = 0 als −1 < q < 1, en q +∞ = +∞ als q > 1. Als q = 1 bebben we de constante rij (a), die naar a convergeert; als q = −1 hebben we een begrensde alternerende rij die wegens Stelling 3.10(ii) niet convergeert, en wegens Stelling 3.8 niet divergeert; als q < −1, dan is de rij niet begrensd, dus niet convergent, en ook niet divergent wegens Stelling 3.8.

3.16

Meetkundige reeksen

3.16.1

Inleidend praktisch voorbeeld

We nemen een voorbeeldje uit de economie. We veronderstellen een gesloten econmie zonder overheid. I is de investeringsfunctie. Uit de waarde van de productie van alle

3.16. MEETKUNDIGE REEKSEN

121

producenten samen (het nationaal product) resulteert het nationaal inkomen Y . Het grootste deel van het inkomen wordt geconsumeerd C, wat overblijft wordt gespaard S. Er geldt Y =C +S en C = 50 + 0, 75Y is de consumptiefunctie als functie van het nationaal inkomen. Hieruit volgt dat S = −50 +

Y . 4

Een automontagebedrijf van Justine heeft goede vooruitzichten en wil uitbreiden, het investeert 100 mln. Hierdoor zal de tewerkstelling in de bouwonderneming van Wouter en de constructiewerkplaats van Tom toenemen. Dit leidt tot een inkomensverhoging bij de betrokken werknemers. Ze profiteren ervan om zich eens in het nieuw te steken, ze besteden 75 mln aan nieuwe kleding en de rest van het meerinkomen sparen ze. In de textielsector wordt men nu geconfronteerd met een stijging van de vraag, de productie en het inkomen. De ‘textielgezinnen besteden ook 0,75 % van hun meerinkomen aan nieuw videomateriaal; de rest sparen ze. Daardoor stijgt de productie en de inkomens in de videosector enz. Dit voorbeeld veralgemenen we tot de macro-economie. We bekijken het effect op het nationaal inkomen Y bij een toename van de investering ∆I= 100mln. De marginale consumptiequote c is hier 0,75. Dit is de toename van C als het Y stijgt met 1 eenheid. 1ste periode ∆I = 100mln 2de periode ∆C1 = 100 × 0, 75 3de periode ∆C2 = (100 × 0, 75) × 0, 75 4de periode ∆C3 = (100 × 0, 752 ) × 0, 75 5de periode ∆C4 = (100 × 0, 753 ) × 0, 75 .. . ···

Effect op Y (∆Y ) 100,-mln 75,-mln 56,25-mln 42,18-mln 31,63-mln .. .

De laatste kolom geeft de rij van de toename van Y in de opeenvolgende periodes. Deze rij is een meetkundige rij met reden 0,75. De toename van het nationaal inkomen ∆Y na de n-de periode is gelijk aan de som van de toenames in de opeenvolgende periodes.

∆Y

= ∆I + c · ∆I + c2 · ∆I + · · · + cn−1 · ∆I = ∆I(1 + c + c2 + · · · + cn−1 ) 1 − 0, 75n 1 − cn ) = 100( ) = 400(1 − 0, 75n ) = ∆I( 1−c 1 − 0, 75

122


Na onbepaalde tijd convergeert deze som, de toename van het nationaal inkomen naar een vaste waarde die we bekomen door de limiet te nemen van de bovenstaande functie voor n gaande naar +∞. Deze limiet zullen we in de volgende paragraaf berekenen.

3.16.2

Definitie

Vervolgens bekijken we eens de rij (sn ), met sn = u1 +u2 +· · ·+un , waarbij (un ) = (u1 .q n−1 ) een meetkundige rij voorstelt. We noemen zo een rij een meetkundige reeks. Voorbeeld: We beschouwen de meetkundige rij 2 n−1 (un ) = 5.( ) 3 dan is de corresponderende meetkundige reeks (sn ) = (5 +

3.16.3

10 20 40 2 + + + · · · + 5.( )n−1 ). 3 9 27 3

De algemene term van een meetkundige reeks

Zij dus un = u1 q n−1 dan geldt voor de algemene term sn van de meetkundige reeks: sn

= = q6=1

=

= =

u1 + u2 + · · · + un u1 (1 + q + q 2 + · · · + q n−1 ) u1 (1 + q + q 2 + · · · + q n−1 )(1 − q) 1−q u1 (1 − q n ) 1−q u1 − un+1 . 1−q

We gebruiken deze uitdrukking om de som te bepalen van de eerste n termen van een meetkundige rij waarvan de reden verschillend is van 1. Voorbeeld: Bereken de som van de eerste 100 termen van de rij 2, 6, 18, 54, . . . De rij is een meetkundige rij met reden 3 en eerste term 2. De som is 2(1 − 3100 ) = 5, 1538.1047 . 1−3

3.16. MEETKUNDIGE REEKSEN

3.16.4

123

Convergentie van meetkundige reeksen

We behandelen eerst de triviale gevallen. Is q = 0 of a = 0, dan is (sn ) de nulrij en die convergeert naar 0. Is q = 1, dan is (sn ) de rekenkundige rij (an). Is q = −1, dan is s2n = 0 en s2n−1 = a. We bekomen dus de rij (a, 0, a, 0, a, . . .). Men gaat gemakkelijk na dat deze onbeslist is zodra a 6= 0. Onderstel nu dus dat a 6= 0, q 6= −1, 0, +1. Uit de betrekking sn =

u1 − un+1 1−q

volgt dat als q 6= 1 is (sn ) en (un ) dezelfde convergentiekenmerken hebben. 1. (sn ) is convergent als en slechts als −1 < q < 1 (a 6= 0, anders moeten we dit ook beschouwen!) en de limiet is u1 − un+1 n→+∞ 1−q u1 = 1−q

lim sn =

n→+∞

lim

We noemen deze limiet de reekssom van de convergente meetkundige reeks. Voorbeeld:We hernemen het inleidend voorbeeld 3.16.1 op p. 120. Het effect na ∆I onbepaalde tijd op het nationaal inkomen Y is 1−c = 400. Het nationaal inkomen convergeert naar 400 mln. 2. Is q > 1, dan is de rij (sn ) divergent naar +∞ (voor a > 0) of −∞ (voor a < 0). 3. Is q < −1, dan is de rij (sn ) onbeslist. BESLUIT : Een meetkundige reeks is convergent als en slechts als de reden ligt tussen −1 en 1. De reekssom is dan gelijk aan de eerste term van de rij gedeeld door één min de reden. In dit geval heeft de oneindige som werkelijk de betekenis van een som. Voorbeelden: • Heeft de volgende reeks een reekssom? 36 − 30 + 25 −

125 + ··· 6

Deze reeks is een meetkundige reeks met reden − 56 . Omdat de reden ligt tussen −1 36 en 1 is de meetkundige reeks convergent en heeft een reekssom gelijk aan 1+5/6 = 216 = 19, 636364. 11

124


• Is de volgende reeks X

22n .31−n

convergent? We kunnen de algemene term op een andere manier schrijven 22n .31−n =

4n 4 = 4.( )n−1 . n−1 3 3

De gegeven reeks is een meetkundige reeks met reden 43 . Omdat de reden niet gelegen is tussen −1 en 1 is de meetkundige reeks niet convergent en heeft ze bijgevolg geen reekssom.

OPGAVEN — 26 Zet de volgende repeterende decimale getallen om naar een breuk: 0,3333. . . , 0,56818181. . . , 95,2475475475. . . .

27 Beschouw de volgende rij: 4,5; 4,25; 4,125; 4,0625; Bepaal de algemene term van deze rij. Is deze rij convergent? Leg uit waarom en bereken haar limiet. Op welke eigenschap steun je daarvoor?

28 Saqib doet graag wiskunde en het verhaal over het inhaalmanoeuvre van de haas intrigeerde haar. Woensdagnamiddag houdt ze zich bezig met het studeren van analyse. Om 19u wist ze alles af van meetkundige reeksen. Ze keek naar haar uurwerk en dacht: ‘Ik zal eens berekenen op welk tijdstip exact de grote wijzer van mijn uurwerk de kleine wijzer ingehaald heeft en dan neem ik een pauze. Ondertussen studeer ik nog wat woordjes van Duits. Wanneer pauzeert Saqib?

29 We tekenen een spiraal op de volgende wijze: we tekenen een halve cirkel met straal 6cm, vervolgens een halve cirkel met straal 3cm, een halve cirkel met straal 1,5cm enz. We laten de cirkels op elkaar aansluiten zodat we een spiraal krijgen. Bereken de lengte van de spiraal.

30 We beschouwen een rechthoekige driehoek ABC met de rechte hoek in A, de scherpe hoek in B met maatgetal θ en de lengte van de schuine zijde is gelijk aan k. Vanuit A trekken we een loodlijn op de schuine zijde BC, vanuit dat voetpunt de loodlijn op BA, vanuit dit laatste voetpunt de loodlijn op BC enz.. Bereken de lengte van de zo bekomen gebroken lijn.

Oplossingen: 26: 1/3, 25/44, 951523/9990; ??: 49; 29: 12π; 30: k cot θ2 cos θ;


125

AN I HUISTAAK 5 1. Heeft de volgende reeks een reekssom 1- 0,4 + 0,16 - 0,064 + ...? Leg uit en bepaal eventueel de reekssom. 2. Een strook met lengte k wordt in 3 gelijke delen verdeeld. Eén derde wordt bijgehouden, één derde wordt weggegooid en één derde wordt opnieuw in drie gedeeld, waarvan weer één derde wordt behouden, één derde wordt weggegooid en één derde weer op dezelfde manier wordt verdeeld, enz.. Welk deel houden we uiteindelijk over? 3. Ynse doet zoals Saqib ook graag wiskunde. Maar woensdagnamiddag houdt ze zich toch liever bezig met iets anders. Vanop haar studeerkamer laat ze een balletje vallen van een hoogte van 7m. Het balletje kaatst terug omhoog maar verliest daarbij telkens 25% van zijn hoogte. Ynse vraagt zich af welke afstand het balletje aflegt vóór het stilvalt. Nu komt ze tot de constatatie dat ze dat kan berekenen als ze eerst de les over de meetkundige reeksen instudeert. Dat zou ze nu best doen want ze heeft trouwens ook morgen herhaling van analyse.

3.17

Wiskunde-Cultuur

In de twaalfde en dertiende eeuw ontstonden de eerste machtigen handelssteden in Italië, zoals Genua, Pisa, Venetië, Milaan en Florence. Zij hadden een bloeiend handelsverkeer met de Arabische wereld. Italiaanse kooplieden bezochten Egypte en Azië, waarvan zij ook de cultuur bestudeerden.Zij poogden de wetenschap en de kunst van een oudere beschaving niet alleen te bestuderen om ze te reproduceren, doch ook om haar te verwerken ten bate van de eigen cultuur. De eerste koopman van de Latijnse wereld, wiens wiskundige studies een zekere rijpheid vertonen, was LEONARDO van PISA (1180-1250), ook FIBONACCI (lid van het huis der Bonacci) genaamd. Hij reisde als koopman naar de Arabische wereld. Na zijn terugkeer schreef hij het Liber Abaci (1202), een groot handboek over het rekenen met het Hindoe-Arabisch getallensysteem, dat ook algebra¨ısche vraagstukken bevat. Dit boek heeft bijgedragen aan de verspreiding van het Hindoe-Arabisch positiestelsel in West Europa. Deze verspreiding is een langdurend proces geweest, waarin allerhand soort blieden moeten hebben meegeholpen: kooplui,diplomaten, soldaten, pelgrims en geleerden. Langs de Adriatische Zee bleef de Griekse schrijfwijze eeuwenlang nog in gebruik. Gewoonlijk werden rekeningen uitgevoerd op de aloude abacus, het telof zandbord, waarbij rekenpenningen of eenvoudige steentjes (calculi) de aantallen aangaven. Men denke aan de telramen die bij ons nog wel op de scholen of aan de baby-boxen te zien zijn. Zo nodig werd dan het resultaat van zo een abacusrekening met behulp van symbolen, b.v. Romeinse cijfers, opgeschreven. Gedurende de Middeleeuwen en nog wel later vindt men in vele koopmansboeken zulke Romeinse cijfers, waaruit blijkt dat op de kantoren telramen werden gebruikt. De invoering van het rekenen met de tien IndischArabische symbolen stuitte zelfs op tegenstand, omdat niet iedereen uit die symbolen wijs

126


kon worden. In de statuten van de Florentijnse ‘Arte del Cambio, die van 1299 en later dateren, vinden we zelfs een verbod om Arabische cijfers te gebruiken. Op den duur drong het gebruik van zulke cijfers met hun positiewaarde toch door, maar eerst in de vijftiende en zestiende eeuw kan men van een overwinning van het Hindoe-Arabische stelsel spreken. Bepaling van de algemene term van de rij van Fibonacci De berekening steunt op de theorie van de vectorruimten We merken op dat bij de rij van Fibonacci de volgende betrekkingen geldig zijn tussen drie en vier opeenvolgende termen: u2n = un−1 · un+1 − (−1)n

(3.1)

n

(3.2)

un · un+1 = un−1 · un+2 − (−1)

We beschouwen de verzameling van alle rijen waarvan een term de som is van de twee voorgaande termen. De algemene gedaante van zo een rij is: (un ) : a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b . . . , un−1 a + un .b Zo een rij is volledig bepaald door het geven van de eerste en de tweede term. We zien gemakkelijk in dat de verzameling van al deze rijen voor de som van rijen en de scalaire vermenigvuldiging een tweedimensionale reële vectorruimte vormt. We gaan na of deze verzameling meetkundige rijen bevat. Een rij is meetkundig als het kwadraat van elke term het product is van zijn voorgaande en zijn volgende (elke term is het meetkundig gemiddelde van zijn voorgaande en zijn volgende): ∀n ∈ N0 : (un a + un+1 b)2 = (un−1 a + un b).(un+1 a + un+2 b) We werken beide leden uit en houden rekening met 3.1 en 3.2. We bekomen de eenvoudige betrekking tussen a en b. √ 1± 5 2 2 a ∀n ∈ N0 : b − ab − a = 0 ⇐⇒ ∀n ∈ N0 : b = 2 De verzameling bevat oneindigveelmeetkundige rijen, oneindig veel met reden √ 1− 5 2

√ ( 1+2 5 )n

√ ( 1−2 5 )n

√ 1+ 5 2

en oneindig veel met

reden De rijen en zijn twee lineair onafhankelijke rijen in de tweedimensionale vectorruimte. Ze vormen dus een basis. Elke rij kan op juist één manier geschreven worden als een lineaire combinatie van deze twee meetkundige rijen. Ook de rij van Fibonacci, die ook tot deze verzameling behoort. √ √ 1+ 5 n 1− 5 n r.( ) + s.( ) 2 2 Voor de rij van Fibonacci moeten de eerste twee termen gelijk zijn aan 1. We verkrijgen het volgende stelsel in r en s: ( ( ( √ √ √ √ r = √15 r.( 1+2√5 ) + s.( 1−2 √5 ) = 1 r.( 1+2√5 ) + s.( 1−2√5 ) = 1 ⇐⇒ ⇐⇒ s = − √15 r.( 1+ 5 )2 + s.( 1− 5 )2 = 1 r.( 3+ 5 ) + s.( 3− 5 ) = 1 2

2

2

Hieruit verkrijgen we de algemene term van de rij van Fibonacci.

2

Hoofdstuk 4 Limieten en continu¨ıteit van re¨ ele functies 4.1

Woorden wekken. . .

Bijna elk proces in de natuur is continu. Dat wil zeggen, dat elke toestandsverandering geleidelijk (wat niet noodzakelijk “traag” betekent!) verloopt. Bijvoorbeeld de temperatuur op een bepaalde plaats op aarde. Toch kunnen er zich “sprongen” voordoen, en die geven meestal aan dat er iets speciaal gebeurt. Bijvoorbeeld bij een zonsverduistering daalt de temperatuur plots een tiental graden van boven de dertig graden naar 20 graden. Je kunt je dus voorstellen dat bij het onderzoek van een bepaald natuurkundig verschijnsel grafieken van bepaalde grootheden (in bovenstaand voorbeeld de temperatuur in functie van de tijd) een belangrijke rol zullen spelen, omdat daaruit ’t één en ’t ander af te lezen valt. Daarom stellen wij ons tot doel een methode te ontwikkelen een gegeven (wiskundige) functie te onderzoeken om deze dan zo goed mogelijk te kunnen schetsen. Om het verloop van een functie te onderzoeken bepalen we vooreerst haar domein. Het is ook nuttig te kijken of het domein samenhangend is, m.a.w. of het domein een interval is of een unie van intervallen. Wat verstaan we nu wiskundig onder “iets continu”? Zoals reeds aangehaald, betekent continu¨ıteit in een punt, dat de functie geen sprong maakt in dit punt, m.a.w. dat de functie rond dat punt geleidelijk verandert. Continu zijn in een punt is dus een eigenschap die niet enkel afhangt van de functiewaarde in dat punt, maar ook van de functiewaarden rondom dat punt. We hernemen ons voorbeeld van de temperatuursmeting. Stel dat je om juist twaalf uur exact 20 graden Celcius meet. Wat betekent het dan dat de temperatuur op dit tijdstip geen sprong maakt? Wel, het betekent dat, als je een reeks metingen doet vóór twaalf 127

128

¨ HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REELE FUNCTIES

uur, maar altijd dichter tegen twaalf uur, dan wijzen de metingen erop dat het om twaalf uur precies 20 graden zal zijn, wiskundig uitgedrukt, als de tijd nadert naar twaalf uur, dan nadert de temperatuur naar 20 graden. Wiskundig kun je nu ook naderen “vanuit de toekomst” naar twaalf uur, en we moeten dit ook doen, want het zou evengoed kunnen dat de temperatuur een sprong maakt juist het moment na twaalf uur, d.w.z. alle metingen na twaalf uur wijzen erop dat de temperatuur om twaalf uur bijvoorbeeld dertig graden was. We zien dus dat we continu¨ıteit in een punt a kunnen uitdrukken door een strikt monotone rij te nemen die convergeert naar a in het domein van de functie f en vervolgens de limiet te beschouwen van de rij der beelden. Is deze limiet, (d.w.z. voor elk zulke mogelijke rij) steeds de functiewaarde f (a), dan kunnen we f continu noemen in a en de limiet in a van f is f (a). Is deze limiet steeds dezelfde, bijvoorbeeld gelijk aan het reëel getal b, maar verschillend van f (a), dan zeggen we alleen dat b de limiet is van f in a. We kunnen zeggen dat limiet b de verwachte waarde is in het punt a. En als de verwachte waarde gelijk is aan de functiewaarde dan is de functie continu in a. Je ziet dus dat we een strikt monotone rij moeten hebben die convergeert naar a in het domein om continu¨ıteit in a te onderzoeken. Zo’n rijen bestaan precies wanneer a geen ge¨ısoleerd punt is. Maar er zijn ook punten a die niet tot het domein behoren, maar waarvoor er wel strikt monotone rijen bestaan, in het domein van de beschouwde functie f , die naar a convergeren (of divergeren, als we +∞ of −∞ beschouwen). Dit zijn precies de plakpunten. Als de beeldrijen van al die rijen dezelfde limiet hebben, bijvoorbeeld b, dan zeggen we dat b de limiet is in a van de functie f . Zijn a en b beide reële getallen, dan kunnen we de functie uitbreiden met het koppel (a, b) en de nieuwe functie f zal dan continu zijn in a! Inderdaad, alle strikt monotone rijen in het domein van f die naar a convergeren, hebben de eigenschap dat hun beeldrij naar b = f (a) convergeert. Dus om de continu¨ıteit en de limieten te onderzoeken moeten we de ge¨ısoleerde punten en de plakpunten van het domein bepalen. De eerste omdat we daarin geen continu¨ıteit hoeven te onderzoeken (we stellen per definitie dat elke functie continu is in elk ge¨ısoleerd punt van haar domein); de tweede om mogelijke limieten op te sporen. Het onderzoek op continu¨ıteit en limieten is dus gebaseerd op de convergentie en divergentie van rijen. In het domein nemen we echter altijd strikt monotone rijen die naar het beschouwde punt a convergeren. We zouden ons ook kunnen beperken tot de strikt stijgende. Dan laten we alles van de grafiek wat rechts ligt van a links liggen. We kijken dus alleen links van a. Is a een punt van het domein van de beschouwde functie f , en convergeren alle mogelijke beeldrijen naar f (a), dan kunnen we zeggen dat f linkscontinu is in a. Is a een plakpunt van het domein en convergeren de beeldrijen van alle bovenbeschouwde strikt stijgende rijen naar één gemeenschappelijke limiet b, dan zeggen we dat b de linkerlimiet is van f in a. Analoog definieert men rechtscontinu¨ıteit en rechterlimiet.

4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUÏTEIT

129

De volgende strenge wiskundige definities komen tot stand en worden overvloedig gedemonstreerd aan de hand van de functies in de hoofdstukken over de algebra¨ısche -, de exponentiële - en de goniometrische functies, want ...VOORBEELDEN STREKKEN.

4.2

Definitie van limiet en continu¨ıteit

We geven nu de strikt wiskundige definitie van limiet en continu¨ıteit aan de hand van een voorbeeld en een tegenvoorbeeld. DEFINITIE 1. De limiet van een functie f in een ophopingspunt a ∈ R ∪ {−∞, +∞} van haar domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞, +∞} als en slechts als voor elke strikt monotone rij (un ) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij (f (un )) convergeert/divergeert naar b. We schrijven: lim f (x) = b a

Voorbeeld: We beschouwen de functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 en het punt 3 dat ophopingspunt is van het domein R. We zoeken de limiet in 3. De strikt stijgende rij (3 − n1 ) convergeert naar 3 en de strikt dalende rij 3 + n1 convergeert eveneens naar 3. We onderzoeken of de beeldrijen convergeren en zoja naar welke waarde. We maken de volgende tabellen n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · 1 3 − n 2 2,5 2,67 2,75 2,8 2,83 2,86 2,88 2,89 2,93 · · · f (3 − n1 ) 6 5,38 5,11 4,97 4,88 4,82 4,78 4,74 4,72 4,70 · · · div

n +∞ ←− conv 3 + n1 3 ←− conv f (3 + n1 ) · · · ←−

··· ··· ···

div

−→ +∞ conv −→ 3 conv −→ · · ·

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3,1 3,11 3,13 3,14 3,17 3,2 3,25 3,33 3,5 4 4,30 4,27 4,24 4,20 4,15 4,08 3,97 3,78 3,38 2

Voor elke rij die convergeert naar 3 geldt dat de beeldrij convergeert naar 4,5. We zeggen dat de limiet in 3 van de functie gelijk is aan 4,5. 1 lim( |(x + 2)(x − 4)| + 2) = 4, 5 3 2

130


Figuur 4.1: y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 DEFINITIE 2. De rechterlimiet van een functie f in een rechterophopingspunt a ∈ R ∪ {−∞} van haar domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞, +∞} als en slechts als voor elke strikt dalende rij (un ) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij (f (un )) convergeert/divergeert naar b. We schrijven: lim f (x) = b + a

DEFINITIE 3. De linkerlimiet van een functie f in een linkerophopingspunt a ∈ R ∪ {+∞} van haar domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞, +∞} als en slechts als voor elke strikt stijgende rij (un ) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij (f (un )) convergeert/divergeert naar b.


131

We schrijven: lim f (x) = b − a

Voorbeelden: • We beschouwen de functie y = xb(x)c. Het punt 2 is een linker- en een rechterophopingspunt van het domein. We beschouwen eerst de linkerlimiet in 2. We maken een tabel voor de strikt stijgende rij (2 − n1 ) die convergeert naar 2.

n 2 − n1 f (2 − n1 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · 1 1,5 1,67 1,75 1,8 1,83 1,86 1,88 1,89 1,9 · · · 1 1,5 1,67 1,75 1,8 1,83 1,86 1,88 1,89 1,9 · · ·

div

−→ +∞ conv −→ 2 conv −→ · · ·

Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 2 geldt dat de beeldrij convergeert naar 2. We zeggen dat de linkerlimiet in 2 gelijk is aan 2. lim xb(x)c = 2 − 2

Voor de rechterlimiet beschouwen we nu de strikt dalende rij (2 + n1 ) die convergeert naar 2. div

n +∞ ←− conv 2 + n1 2 ←− conv f (2 + n1 ) · · · ←−

··· ··· ···

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2,1 2,11 2,13 2,14 2,16 2,2 2,25 2,33 2,5 3 4,2 4,22 4,25 4,29 4,3 4,4 4,5 4,67 5 6

Voor elke strikt dalende rij die convergeert naar 2 geldt dat de beeldrij convergeert naar 4. We zeggen dat de rechterlimiet in 2 gelijk is aan 4. xb(x)c = 4 lim + 2

De linkerlimiet is verschillend van de rechterlimiet. De limiet in 2 bestaat niet.

132


Figuur 4.2: y = xbxc √ • Het domein van de functie y = x is R+ . 0 is een punt van het domein dat tevens rechterophopingspunt is van het domein. We beschouwen de strikt stijgende rij ( n12 ) die convergeert naar 0. We maken een tabel om de beeldrij te beschouwen.

n 1 1 1 n2 f ( n12 ) = ( n1 ) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 4 1 2

1 9 1 3

1 16 1 4

1 25 1 5

1 36 1 6

1 49 1 7

1 64 1 8

1 81 1 9

1 100 1 10

··· ··· ···

div

−→ +∞ conv −→ 0 conv −→ · · ·

Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij convergeert naar 0. De rechterlimiet van de functie is dus gelijk aan 0. √ lim x=0 + 0


133

0 is geen linkerophopingspunt van het domein. Bijgevolg kunnen we geen linkerlimiet beschouwen. Het is echter zo dat voor elke rij met termen in het domein die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij convergeert naar 0. Hieruit volgt dat de limiet in 0 van de functie gelijk is aan 0. Bij deze functie is de limiet in 0 een rechterlimiet maar geen linkerlimiet. √ √ x=0 lim x = lim + 0

0

Figuur 4.3: y =

√

x

134


• De functie y = x1 heeft geen functiewaarde in 0 dat een ophopingspunt is van het domein R0 . We beschouwen de linkerlimiet. We nemen bvb. de strikt stijgende rij (− n1 ). We beschouwen de volgende tabel om de rij der functiewaarden te bekijken.

n − n1 f (− n1 ) = (−n)

1 2 −1 − 12

3 − 13

4 − 41

5 − 15

6 − 61

7 − 17

8 − 18

9 − 19

10 1 − 10

··· ···

-1

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

···

-2

div

−→ +∞ conv −→ 0 div −→ · · ·

Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij divergeert naar −∞. De linkerlimiet in 0 is gelijk aan −∞. lim − 0

1 = −∞ x

Beschouw nu zelf voor de rechterlimiet in 0 een strikt dalende rij die convergeert naar 0 en de daarbij horende beeldrij.

Voor elke strikt dalende rij die convergeert naar nul geldt dat de beeldrij divergeert naar +∞. De rechterlimiet in 0 is gelijk aan +∞. lim + 0

1 = +∞ x

De linkerlimiet is echter verschillend van de rechterlimiet. De functie heeft geen limiet in 0. We kunnen echter deze twee limieten samenvatten als we het symbool ∞ invoeren. We schrijven: 1 lim = ∞ 0 x


Figuur 4.4: y =

135

1 x

DEFINITIE 4. Een functie f is continu in een ophopingspunt a ∈ R van haar domein, als de limiet in a van f bestaat en gelijk is aan f (a). Met symbolen: f is continu in a ⇐⇒ lim f (x) = f (a). a

Elke functie is continu in elk ge¨ısoleerd punt van haar domein. Voorbeelden: • De functie y = 12 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 3 omdat de limiet in 3 gelijk is aan de functiewaarde in 3. 1 1 5 9 lim( |(x + 2)(x − 4)| + 2) = |(3 + 2)(3 − 4)| + 2 = + 2 = = 4, 5 3 2 2 2 2

136


• Onderzoek nu zelf of de functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 continu is in 4. √ • De functie y = x is continu in 0 want er geldt: √ √ lim x = 0 = 0. 0

DEFINITIE 5. Een functie f is linkscontinu in een linkerophopingspunt a ∈ R van haar domein, als de linkerlimiet in a van f bestaat en gelijk is aan f (a). Met symbolen: f is linkscontinu in a ⇐⇒ lim f (x) = f (a). − a

Elke functie is linkscontinu in elk punt van haar domein dat geen linkerophopingspunt is. Voorbeelden: • De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is linkscontinu in 3 want de linkerlimiet in 3 is gelijk aan de functiewaarde in 3. 1 1 ( |(x + 2)(x − 4)| + 2) = |(3 + 2)(3 − 4)| + 2 = 4, 5. lim 3− 2 2 • De functie y = xb(x)c is niet linkscontinu is 2 want de linkerlimiet in 2 is 2 en de functiewarde in 2 is 4. lim xb(x)c = 2 6= 2b(2)c = 4. − 2

√ • De functie y = x is linkscontinu in 0 want 0 is geen linkerophopingspunt van het domein van de functie. DEFINITIE 6. Een functie f is rechtscontinu in een rechterophopingspunt a ∈ R van haar domein, als de rechterlimiet in a van f bestaat en gelijk is aan f (a). Met symbolen: f is rechtscontinu in a ⇐⇒ lim f (x) = f (a). + a

Elke functie is rechtscontinu in elk punt van haar domein dat geen rechterophopingspunt is.


137

Voorbeelden: • De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is rechtscontinu in 3 want de rechterlimiet in 3 is gelijk aan de functiewaarde in 3. 1 1 |(x + 2)(x − 4)| + 2) = |(3 + 2)(3 − 4)| + 2 = 4, 5. lim ( 3+ 2 2 • De functie y = xb(x)c is rechtscontinu is 2 want de rechterlimiet in 2 is gelijk aan 4 die de functiewaarde is in 2. lim xb(x)c = 2b(2)c = 4. + 2

√ • De functie y = x is rechtscontinu in 0 want de rechterlimiet in 0 is gelijk aan d functiewaarde in 0. √ √ lim x = 0 = 0. 0

DEFINITIE 8. Een functie is continu over een deelverzameling D van haar domein als f continu is in elk punt van D. Een functie f wordt kortweg continu genoemd als ze continu is over haar domein. Voorbeelden: • De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu (in R). • De functie y =

√

x is continu (in R+ ).

• de functie y = xb(x)c is continu in open deelintervallen van haar domein, bvb. in ]2, 3[. • De functie y =

1 x

is continu (in R0 ).

Tot zover de definities. We gaan ze allemaal nog nagaan op de voorbeelden van hoofdstuk 6. We gaan nu, alvorens enkele techniekjes te ontwikkelen voor het berekenen van limieten, een paar eigenschappen zien van limieten en continue functies die van theoretisch en praktisch belang zijn.

138


4.3

Eigenschappen van limieten en continue functies

STELLING 4.1 Een functie is continu in een punt a van haar domein als en slechts als ze links- en rechtscontinu is in a. Bewijs. Als a niet tergelijkertijd een linker- en rechterophopingspunt is, dan volgt dit direct uit definitie 7. Is a wel een linker- en rechterophopingspunt, dan volgt dit onmiddellijk uit het feit dat een strikt monotone rij ofwel strikt dalend, ofwel strikt stijgend is. Voorbeelden: • De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 3 want deze functie is links- en rechtscontinu in 3. √ • De functie y = x is continu in 0 want de functie is links- en rechtscontinu in 0. • de functie y = xb(x)c is niet continu in 2 want de functie is niet linkscontinu in 2 want lim2− (xb(x)c) = 2 6= 4. • De functie y = behoort.

1 x

is niet continu in 0 omdat 0 niet tot het domein van de functie

STELLING 4.2 Een functie heeft een limiet b in een punt a dat terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt is van haar domein als en slechts als de linker- en rechterlimiet in a bestaan en beiden aan b gelijk zijn. Bewijs. Volgt ook rechtstreeks uit de definities. Schrijf een nauwkeurig bewijs uit als oefening. Voorbeelden: • Het punt 3 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein van y = 12 |(x + 2)(x − 4)| + 2. De linker- en rechterlimiet in 3 bestaan en zijn gelijk aan 4,5. De functie heeft dus een limiet in 3 die gelijk is aan 4,5. • het punt 2 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein van y = xb(x)c. De linker- en rechterlimieten bestaan maar zijn niet gelijk aan elkaar. Hieruit volgt dat de limiet in 2 niet bestaat. • Het punt 0 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein van y = x1 . De linker- en rechterlimiet bestaan maar zijn niet aan elkaar gelijk. De functie heeft geen limiet in 0. Met de notatie ∞ kunnen hier het limietbegrip uitbreiden en zeggen dat de limiet bestaat.

4.3. EIGENSCHAPPEN VAN LIMIETEN EN CONTINUE FUNCTIES

139

STELLING 4.3 Als a een ophopingspunt is van het domein van een functie f , dan bezit de functie f hoogstens één limiet in het punt a. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat een convergente/divergente rij juist één limiet heeft. Ook de gedomineerde convergentie stelling geldt hier, maar heet nu anders: STELLING 4.4 (De gedomineerde limiet stelling) Onderstel dat f en g twee functies zijn, D ⊆ R een deelverzameling is van het domein van f en van g waarvoor f (x) ≤ g(x), voor alle x ∈ D, en zij a een ophopingspunt van D. Als lima f (x) en lima g(x) bestaan, dan geldt: lim f (x) ≤ lim g(x). a

a

Bewijs. Dit volgt rechtstreeks uit de gedomineerde convergentie stelling voor rijen.

Eenzelfde stelling geldt ook voor rechter-, respectievelijk linkerlimiet. Formuleer deze zelf als oefening. Uit de Sandwich Regel voor rijen volgt ook: STELLING 4.5 (De Sandwich Regel) Onderstel dat f , g en h drie functies zijn gedefinieerd over een deelverzameling D van R en waarvoor geldt dat f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), voor alle x ∈ D. Zij a een ophopingspunt van D en onderstel dat f en h een gelijke limiet b ∈ R ∪ {+∞, −∞} in a hebben. Dan heeft ook g een limiet in a en deze is ook gelijk aan b. Eenzelfde stelling geldt ook voor rechter-, respectievelijk linkerlimiet. Formuleer deze zelf als oefening.

Figuur 4.5: de Sandwich Regel op grafiek

140


STELLING 4.6 Als een functie continu is in een punt a van haar domein, dan is elke restrictie van deze functie tot een deel van haar domein dat het punt a bevat eveneens continu in a. Bewijs. Elke rij in de restrictie die naar a convergeert is ook een rij in het oorspronkelijk domein en convergeert bijgevolg naar de functiewaarde. Het omgekeerde is echter niet waar. Het kan zijn dat de restrictie van een functie tot een deel van haar domein continu is in een punt, maar dat de functie zelf niet continu is in dat punt. Bijvoorbeeld nemen we de trapfunctie f (x) = xbxc. De restrictie van deze functie tot [2, 3[ is continu in 2, terwijl de functie zelf niet continu is in 2. STELLING 4.7 Zij f een functie en a ∈ R ∪ {+∞, −∞} een ophopingspunt van het domein van f . Is lima f (x) = b ∈ R ∪ {+∞, −∞}, en is (un ) een willekeurige rij in het domein van f die convergeert/divergeert naar a, dan convergeert/divergeert de beeldrij (f (un )) naar b. Het bewijs van deze stelling laten we weg. Nu volgt een zeer opmerkelijke stelling. Uit weinig gegevens volgt het besluit dat een functie continu is over een gans interval. Zonder van rijen te spreken! We zullen deze stelling later gebruiken om aan te tonen dat tal van functies continu zijn. Het is in feite zo, dat we uit deze en voorgaande stelling zelfs alle geziene rekenregels kunnen bewijzen op een eenvoudige manier, zonder steeds opnieuw te moeten werken met (zonder een kringredenering te maken, want het bewijs van de stelling maakt geen gebruik van deze rekenregels!). We geven een voorbeeld achteraf. STELLING 4.8 Elke monotone bijectie f van een interval I ⊆ R naar een interval J ⊆ R is continu over het interval I. Het bewijs van deze stelling laten we weg. De volgende stelling is in feite een soort middelwaardestelling voor continue functies. STELLING 4.9 (Stelling van Bolzano) Is f continu over een gesloten interval [a, b], a < b, en hebben f (a) en f (b) een verschillend teken, i.e. is f (a)f (b) < 0, dan bestaat er een getal c ∈]a, b[ waarvoor f (c) = 0. Het bewijs van deze stelling laten we weg. Deze stelling kunnen we iets meer algemeen formuleren als volgt.

4.3. EIGENSCHAPPEN VAN LIMIETEN EN CONTINUE FUNCTIES

141

Figuur 4.6: voorbeeld en tegenvoorbeeld

Figuur 4.7: stelling van Bolzano STELLING 4.10 Is f continu over een gesloten interval [a, b], a < b, dan bestaat voor elk getal d gelegen tussen f (a) en f (b) een getal c ∈ [a, b] zó dat f (c) = d. Het bewijs wordt gegeven, ofwel analoog aan voorgaande stelling, ofwel door op de functie f (x) − d de voorgaande stelling toe te passen. De volgende stelling is een soort omgekeerde van Stelling 4.8.

142


Figuur 4.8: tussenwaardestelling STELLING 4.11 (i) Is f continu over een interval I, dan is het beeld van I over f opnieuw een interval. (ii) Is f continu en strikt monotoon over een interval I = [a, b], dan is f een bijectie van I in het beeldinterval J = [f (a), f (b)] (of J = [f (b), f (a)]). Bewijs. (i) volgt onmiddellijk uit voorgaande stelling daar een interval I gekenmerkt wordt door de eigenschap a, b ∈ I ⇔ c ∈ I. a
Figuur 4.9: stelling van Weierstrass De stelling van Weierstrass betekent eigenlijk dat, onder de gegeven voorwaarden, een continue functie in een gesloten interval steeds een absolute maximale en een absolute minimale waarde bereikt in dat interval. In het volgend hoofdstuk zullen we dieper ingaan op de praktische berekening van limieten.

4.4. DE REKENREGELS ALWEER

4.4

143

De rekenregels alweer

Voor de limiet van een functie in een ophopingspunt punt a ∈ R ∪ {+∞, −∞} van haar domein zullen logischerwijs dezelfde rekenregels gelden als voor de limiet van een rij. STELLING 4.13 De limiet van een lineaire combinatie van twee functies is gelijk aan de lineaire combinatie van de limieten (als die lineaire combinatie door de rekenregels gedefinieerd is). Met symbolen: lim(r.f + s.g) = r lim f + s lim g a

a

a

STELLING 4.14 De limiet van een product van twee functies is gelijk aan het product van de limieten (als dat product door de rekenregels gedefinieerd is). Met symbolen: lim(f.g) = lim f. lim g a

a

a

STELLING 4.15 De limiet van een quotiënt van twee functies is gelijk aan het quotiënt van de limieten (als dat quotiënt door de rekenregels gedefinieerd is). Met symbolen: lim a

lima f f = g lima g

STELLING 4.16 De limiet van een rationale macht van een functie is gelijk aan de rationale macht van de limiet (als die macht door de rekenregels gedefinieerd is). Met symbolen: lim f q = (lim f )q a

a

Tabel 3.1 op pagina 117 geeft de rekenregels ook voor de limieten van functies (buiten de gebruikelijke algebra¨ısche bewerkingen met reële getallen). Deze rekenregels gelden zowel voor limieten, als voor linker- en rechterlimieten. De zogenaamde onbepaaldheden in tabel 3.2 op pagina 118 blijven ook hier van kracht. Dus bijvoorbeeld (+∞) + (−∞) moeten we oplossen op een andere manier dan het te schrijven als som van twee limieten. Een belangrijk gevolg van deze rekenregels is:

144


STELLING 4.17 Zijn f en g twee functies die continu zijn in een gemeenschappelijk punt a van hun domein, dan is r.f + s.g, respectievelijk f.g, f /g, f q (q ∈ Q) continu in a zodra a tot het domein van deze nieuwe functie behoort.

Bewijs: We bewijzen de stelling voor de lineaire combinatie van twee functies. We onderstellen dat de functies f en g continu zijn in a en dat a een ophopingspunt is van het gemeenschappelijk domein van de functies. Is een functie continu in een ophopingspunt van het domein van de functie dan is de limiet in dat punt gelijk aan de functiewaarde. Er geldt dus: lim f (x) = f (a) ∧ lim g(x) = g(a) a

a

Omdat de limiet van een lineaire combinatie gelijk is aan de lineaire combinaties van de limieten geldt: lim(r.f + s.g)(x) = r lim f (x) + s lim g(x) = rf (a) + sg(a) = (rf + sg)(a) a

a

a

Omdat de limiet in a van de lineaire combinatie gelijk is aan de functiewaarde in a, is de lineaire combinatie continu in a. Geef zelf het bewijs voor de andere gevallen.

Er is wel één bewerking die we met rijen niet konden doen, maar met functies wel, namelijk, de samenstelling. Daarover de volgende stellingen:

STELLING 4.18 Als lima f (x) = b ∈ R ∪ {+∞, −∞} en limb g(x) is gedefinieerd, dan is lima g(f (x)) = limb g(x). Is in het bijzonder de functie g continu in b en is b een ophopingspunt van het domein van g, dan is lima g(f (x)) = g(b), of dus lima g(f (x)) = g(lima f (x)).

STELLING 4.19 Is een functie f continu in een punt a van haar domein en is een functie g gedefinieerd en continu in f (a), dan is de samenstelling van deze twee functies g ◦ f continu in a.

De bewijzen van deze stellingen zijn echt niet moeilijk, maar we laten ze weg wegens tijdsgebrek. Merk wel op dat Stelling 4.19 in feite een gevolg is van Stelling 4.18.


4.5

145

Wiskunde-Cultuur

1. BOLZANO Bernard is een Tsjechisch, (Oostenrijks) wijsheer van 1781 tot 1848. Zijn vader was Italiaan en zijn moeder Duitse; hij zelf sprak en schreef Duits. Hij studeerde theologie, filosofie en wiskunde. In zijn theologie was hij ervan overtuigd dat het rooms-katholicisme de meest volkomen godsdienst was. Op politiek terrein schreef hij een utopie, die hij zelf als zijn belangrijkste nalatenschap beschouwde. Zijn wiskundig werk geniet groot aanzien, omdat hij tot de pioniers van het grondslagenonderzoek behoort samen met CAUCHY (1789-1857), GAUSS (1777-1855) en ABEL (1802-1829). Daarin heeft hij bijgedragen tot de aritmetisering van de wiskunde die met de naam Weierstrass is verbonden. Bolzano’s werk is eerst na zijn dood als algemeen erkend; verscheidene van zijn geschriften zijn eerst in deze eeuw uitgegeven. 2. WEIERSTRASS Karl De moderne theorie van het irrationaal getal werd ontwikkeld door DEDEKIND (1831-1916) en Weierstrass. Zij vertoont grote overeenkomst met die van EUDOXUS (408-355 v.C.), ondanks het feit dat de moderne theorie aritmetisch, de klassieke meetkundig is. De aritmetische opzet van de moderne theorie heeft echter wijdere perspectieven geopend.

146


Hoofdstuk 5 Afgeleiden 5.1

Snelheden en raaklijnen

Saqib rijdt per fiets op een rechte baan aan 20 km per uur. Als zijn snelheid constant blijft, weten we dat hij na 1 uur 20 kilometer heeft afgelegd. Maar meestal varieert zijn snelheid. Wat betekent het dan dat de snelheid op een zeker moment gelijk is aan 20 kilometer per uur? Stel dat we om de minuut de afstand kunnen bepalen afgelegd door Saqib. De volgende tabel geeft de resultaten: 0 1 t=tijd in min. x=afstand in m 0 132

2 3 4 5 387 778 1229 1684

De gemiddelde snelheid gedurende de eerste 5 minuten is: ∆x 1684 = = 336, 8. ∆t 5 De gemiddelde snelheid gedurende de eerste 5 minuten is 336,8 meter per minuut of 20,20 kilometer per uur. Willen we nu de snelheid kennen na 2 minuten dan kunnen we de gemiddelde snelheid berekenen in het tijdsinterval [2, 4]. ∆x 1229 − 387 = = 421. ∆t 4−2 De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2, 4] is gelijk aan 421 meter per minuut of 25,26 km per uur. 147

148

HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN

Figuur 5.1: de afgelegde weg in functie van de tijd We kunnen nu ook de gemiddelde snelheid berekenen in een nog kleiner tijdsinterval, bv. in [2, 3]. 778 − 387 ∆x = = 391. ∆t 3−2 De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2, 3] is gelijk aan 391 meter per minuut of 23,46 km per uur. We zien dat we met meer nauwkeurigheid de werkelijke snelheid na 2 minuten kunnen kennen als we het interval vanaf 2 kleiner maken. We kunnen de snelheid nauwkeuriger bepalen indien we de afstanden meten vanaf 2 minuten om de 6 seconden. Hier volgt een tabel: 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 t in min. x in meter 387 414 441 469 499

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 533 575 620 670 722 778

We maken een tabel waarin we de gemiddelde snelheden geven in verschillende tijdsintervallen beginnende bij 2. tijdsinterval [2,3] [2;2,7] [2;2,5] [2;2,4] [2;2,3] [2;2,2] [2;2,1] gem. snelh. in km/u 23,46 19,97 17,52 16,8 16,4 16,2 16,2 We zien dat de gemiddelde snelheid in kleinere intervallen nadert naar de waarde van 16,2 kilometer per uur. We zullen de snelheid op het ogenblik van 2 minuten definiëren als de limiet van de gemiddelde snelheid in kleiner wordende intervallen. Zetten we de afstanden uit in functie van de tijd dan krijgen we de grafiek van de beweging van Saqib.

5.1. SNELHEDEN EN RAAKLIJNEN

149

We stellen het voorschrift van de functie voor door x(t). De gemiddelde snelheid in het interval [2, t] is x(t) − x(2) ∆x = ∆t t−2 Dit is de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn van de punten (2, x(2)) en (t, x(t)) op de grafiek. De snelheid na 2 minuten is de limiet van de gemiddelde snelheid als t nadert naar 2. x(t) − x(2) . v(2) = lim t→2 t−2 De snelheid van een rechtlijnige beweging is de ogenblikkelijke verandering van de afgelegde weg. Deze snelheid wordt in de wiskunde gedefinieerd als de afgeleide naar de tijd van de afgelegde weg. Meetkundig gezien is de limietstand van een verbindingslijn van twee punten p en q voor q naderend naar p de raaklijn in p aan de kromme. De limiet van de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. In verschillende wetenschappen worden veranderende processen bestudeerd. De snelheid waarmede deze veranderingen plaatsgrijpen zullen ook met deze hierboven beschreven techniek kunnen berekend worden. De limietberekening zal ook daar zijn diensten kunnen bewijzen. Wouter is ingenieur. Hij is ge¨ınteresseerd in de snelheid waarmee water in of uit een reservoir stroomt. Dit wordt het debiet van het water genoemd. Linde daarentegen is geografe en wil de snelheid van de verandering van de populatiedichtheid in een stad kennen als de afstand tot het centrum groter wordt. Mieke, een beroemde meteorologe die later het weerbericht op T.V. zal presenteren, bestudeert de verandering van de atmosferische druk in functie van de hoogte. Tom is een psycholoog en wenst de vakkundigheid in functie van de trainingstijd te kennen. Louise, onze sociologe, onderzoekt de snelheid waarmede een gerucht, een rage of een vernieuwing zich verspreidt in de tijd. Als chemicus onderzoekt Justine de reactiesnelheid en Ynse, de biologe, bekijkt de snelheid waarmede het bloed in de aders stroomt. Het abstracte begrip van afgeleide in de wiskunde kent specifieke interpretaties in de verschillende wetenschappen. Dit illustreert nog eens de macht van de wiskunde. De Franse wiskundige Joseph Fourier (1768-1830) zei het beknopt: “Wiskunde vergelijkt de meest diverse fenomenen en ontdekt de geheime overeenkomsten die hen verenigt”. We geven nog enkele praktische voorbeelden. * In de electriciteit. We beschouwen een geleider. De vergelijking y = q(t) geeft aan hoeveel lading q er door de geleider stroomt op het ogenblik t. De gemiddelde verandering van de

150

HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN lading in een tijdsinterval [a, t] is ∆q q(t) − q(a) = . ∆t t−a Nemen we de limiet van dit quotiënt voor de tijd naderend naar het tijdstip a dan verkrijgen we de zogenaamde intensiteit of stroomsterkte I op het ogenblik a: q(t) − q(a) . t→a t−a

I(a) = lim

De stroomsterkte is dus de ogenblikkelijke verandering van de lading in een geleider. * In de biologie. We beschouwen een populatie bacteriën. De vergelijking y = N (t) geeft de grootte van de populatie aan in functie van de tijd. De gemiddelde groeisnelheid van het aantal bacterieën in een tijdsinterval [a, t] is N (t) − N (a) ∆N = . dt t−a Nemen we de limiet van dit quotiënt voor de tijd naderend naar het tijdstip a dan verkrijgen we de groeisnelheid van het aantal bacteriën op het tijdstip a: N (t) − N (a) . t⇒a t−a

lim

De groeisnelheid is dus de ogenblikkelijke verandering van de grootte van de populatie. * In de economie. De totale kosten van een bedrijf voor de vervaardiging van een hoeveelheid x van een bepaald product wordt voorgesteld door de functie y = K(P ). Deze functie K wordt de kostenfunctie genoemd. Als het aantal geproduceerde eenheden stijgt van een hoeveelheid P a naar een hoeveelheid P dan is de gemiddelde verandering van de kosten in het interval [Pa , P ]: K(P ) − C(Pa ) ∆K = . dP P − Pa Nemen we de limiet van dit quotiënt voor het aantal eenheden naderend naar Pa , dan verkrijgen we de zogenaamde marginale kosten voor de productie van de Pa -de eenheid: K(P ) − K(Pa ) Kµ = lim . P →Pa P − Pa De marginale kosten voor de productie van de Pa -de eenheid is dus de verandering van de kosten bij de productie van de Pa -de eenheid.

¨ 5.2. DIFFERENTIAALQUOTIENT

5.2 5.2.1

151

Differentiaalquoti¨ ent Definitie

Gegeven: Een functie y = f (x) en een punt a van haar domein. We beschouwen de functie y=

f (x) − f (a) . x−a

Deze functie bestaat niet in het punt a. Deze functie wordt het differentiequoti¨ ent in a van f genoemd. De teller f (x) − f (a) = ∆f = ∆y is de toename in a van de functiewaarde of de differentie in a van de functie f . De noemer x − a = ∆x = h is de toename van de x-waarde in a of de differentie in a van de identieke functie. We kunnen de differentie van de functie in a nog als volgt schrijven: ∆f = ∆y = f (a + ∆x) − f (a) = f (a + h) − f (a).

5.2.2

Betekenis van het differentiequoti¨ ent

Het differentiequotiënt in a van f f (x) − f (a) x−a drukt de gemiddelde verandering uit van de functie f tussen x en a.

5.2.3

Meetkundige betekenis van differentiequoti¨ ent

Het differentiequotiënt in a van f f (x) − f (a) x−a is de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn van de punten (a, f (a)) en (x, f (x)).

152

5.3 5.3.1


Afgeleide in een punt van een functie Definities

Is a ∈ domf een ophopingspunt van het domein van de functie y=

f (x) − f (a) x−a

dan kunnen we de limiet van deze functie beschouwen in het punt a: lim a

f (x) − f (a) . x−a

Als deze limiet bestaat en een reëel getal oplevert dan zeggen we dat de functie f afleidbaar is in het punt a of differentieerbaar is in het punt a. Het reëel getal wordt de afgeleide van de functie f in het punt a genoemd. lim

x→a

∆y f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim = lim . ∆x→0 h→0 x−a ∆x h

Notaties voor de afgeleide in a van de functie y = f (x): f (x) − f (a) . x→a x−a

Da f = f 0 (a) = lim

df ∆f = lim . dx ∆x→0 ∆x dy ∆y = lim . ∆x→0 dx ∆x De symbolen D en d zijn differentiatieoperators omdat ze de operatie differentiëren dx aanduiden. De notatie dy is de notatie van Leibniz. dx Is a ∈ domf een linkerophopingspunt van het domein van de functie f (x) − f (a) x−a dan kunnen we de linkerlimiet van deze functie beschouwen in het punt a: y=

lim − a

f (x) − f (a) . x−a

5.3. AFGELEIDE IN EEN PUNT VAN EEN FUNCTIE

153

Figuur 5.2: helling van de raaklijn in punt p Als deze linkerlimiet bestaat en een reëel getal oplevert dan is dit reëel getal de linkerafgeleide in het punt a van de functie f . Is a een rechterophopingspunt van het domein van de functie y=

f (x) − f (a) x−a

dan kunnen we de rechterlimiet van deze functie beschouwen in het punt a: lim + a

f (x) − f (a) . x−a

Als deze rechterlimiet bestaat en een reëel getal oplevert dan is dit reëel getal de rechterafgeleide in het punt a van de functie f .

5.3.2

De meetkundige betekenis van afgeleide

De afgeleide van een functie f in een punt a is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (a, f (a)) aan de grafiek van de functie.

154

5.4


Afleidbaarheid

STELLING 5.1 De afgeleide in een punt a van het domein van een functie f dat terzelfdertijd een linker- en een rechterophopingspunt is van het domein is gelijk aan b ∈ R als en slechts als de functie continu is in a en linker- en rechterafgeleide van de functie in het punt a gelijk zijn aan b Voorbeelden: • De functie y =

|x| x

is niet continu in 0. lim − 0

|x| |x| = lim (−1) = −1 en lim = lim 1=1 0− 0+ x 0+ x

Linker- en rechterlimiet zijn verschillend van elkaar. De afgeleide van de functie is overal 0 uitgezonderd in 0 waar de afgeleide niet bestaat. • De functie y = x2 + 2|x| is continu in 0 maar niet afleidbaar in 0 want de linkerafgeleide in 0 is verschillend van de rechterafgeleide in 0. lim − 0

x2 − 2x x2 + 2|x| − 0 = lim = lim(x − 2) = −2 0− 0− x x

x2 + 2|x| − 0 x2 + 2x lim = lim = lim(x + 2) = 2 0+ 0+ 0+ x x • De functie y = −x|x| is continu in 0 en afleidbaar in 0 want de linkerafgeleide in 0 is gelijk aan de rechterafgeleide in 0. lim − 0

lim + 0

−x|x| − 0 x2 = lim = lim x = 0 0− 0− x x

−x|x| − 0 −x2 = lim = lim (−x) = 0 0+ 0+ x x

• De functie y = 12 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 4 dat terzelfdertijd een linker- en een rechterophopingspunt is van het domein. We zien op de grafiek dat er in het punt (4, 2) geen raaklijn bestaat. Maar de richtingscoëfficiënten van de raaklijntjes in de punten van de grafiek waarvoor de x groter is dan 4 naderen naar de waarde 3 als x nadert naar 4 en de richtingscoëfficiënten van de raaklijntjes waarvoor de x kleiner is dan 4 naderen naar −3. De linker- en rechteafgeleiden bestaan maar zijn verschillend van elkaar. Hieruit volgt dan dat de functie niet afleidbaar is in 4.

5.4. AFLEIDBAARHEID

155

STELLING 5.2 Als f afleidbaar is in a dan is f continu in a. Bewijs: Het punt a is een ophopingspunt van het domein van de functie. We moeten aantonen dat de functie continu is in a of dat de limiet in a van de functie gelijk is aan de functiewaarde in a. Is x 6= a en x ∈ domf , dan kunnen we schrijven: f (x) = f (a) +

f (x) − f (a) (x − a). x−a

Gebruikmakend van de eigenschappen van de limieten verkrijgen we lim f (x) = lim[f (a) + a

a

f (x) − f (a) (x − a)] x−a

m f (x) − f (a) . lim(x − a) a a x−a m f’bestaat

lim f (x) = lim f (a) + lim a

a

lim f (x) = f (a) + f 0 (a).0 a

m lim f (x) = f (a) a

De limiet in a van f is de functiewaarde in a van f . Hetgeen we moesten bewijzen.

STELLING 5.3 (De contrapositie van stelling 5.2) Is f niet continu in a dan is f niet afleidbaar in a. Opmerking: Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Als een functie continu is in a dan is ze niet noodzakelijk afleidbaar in a. Om afleidbaar te zijn moet ze echter al zeker continu zijn. Afleidbaarheid is een sterkere voorwaarde dan continuiteit.

156

5.5 5.5.1


De afgeleide functie van een functie Definitie

De functie f 0 is de afgeleide functie van de functie f als en slechts als f 0 elk punt a van het domein van f waar f afleidbaar is afbeeldt op de afgeleide van f in a. f 0 (x) =

f (x + h) − f (x) df = lim . dx h→0 h

Figuur 5.3: grafiek van een functie f en haar afgeleide functie f 0

5.6. RAAKLIJNEN AAN DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE

5.6

157

Raaklijnen aan de grafiek van een functie

1. Is de functie y = f (x) afleidbaar in een punt a van haar domein, dan is de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt (a, f (a)): y − f (a) = f 0 (a)(x − a). 2. Is een functie y = f (x) continu in a en geldt er dat lim a

f (x) − f (a) = ∞, x−a

dan is x = a de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie y = f (x) in het punt (a, f (a)). 3. Is een functie y = f (x) continu in a en zijn de linker- en de rechterafgeleide in a verschillend van elkaar of één van beide afgeleiden is ∞ dan heeft de grafiek van de functie twee verschillende raaklijnen in het punt (a, f (a)). Opmerkingen: • Vermits de afgeleide de richtingscoëfficiënt is van een raaklijn aan de grafiek van de functie, zien we dat als de afgeleide in een punt van een functie positief is dat de functie stijgend is in de omgeving van dat punt en als de afgeleide negatief is de functie dalend is (positieve snelheid, groeisnelheid; negatieve snelheid, afname). Het tekenverloop van de afgeleide functie zal ons dus informatie geven omtrent het stijgen en dalen van een functie. Dit zullen we later bewijzen, met de bijkomende onderstelling dat de afgeleide zelf continu is. • Beschikken we over de grafiek van functie dan kunnen we een ruwe schets maken van de afgeleide functie (zie figuur 5.3).

158

5.7 5.7.1


Asymptoten voor de grafiek van een functie Verticale asymptoten

Verticale asymptoten komen voor bij functies die naar oneindig gaan voor reële x-waarden. Definitie : De rechte met vergelijking x = a is een verticale asymptoot voor de grafiek van een functie f als en slechts als lim f (x) = ±∞ of lim f (x) = ±∞. + − a

a

Opsporen van verticale asymptoten : om verticale asymptoten op te sporen onderzoeken we voor welke reële x-waarden de linker- en/of rechterlimiet van de functie ±∞ wordt. De plakpunten van het domein van een functie zijn hierbij goede kandidaten. Voor algebra¨ısche functies zijn dat de nulpunten van de noemer. MAAR WE MOETEN STEEDS DE LIMIET IN DEZE PUNTEN NOG EXPLICIET BEREKENEN. In vorige paragraaf 5.6 beschouwden we punten van het domein waar de functie continu is en al dan niet afleidbaar. We veronderdstellen dat a een plakpunt is van het domein van een functie of een punt is van het domein waar de functie discontinu is. We beschouwen punten op de grafiek van f waarvoor de absis nadert naar a. Als functiewaarden naderen naar oneindig dan geldt lim f =∞ + a

en/of lim f = ∞. − a

Als de functie afleidbaar is in de omgeving van a dan geldt ook dat de richtingen van de raaklijnen in deze punten aan de grafiek naderen naar de richting van de y-as (links of rechts of aan beide kanten). De limietstand van deze raaklijnen is een verticale asymptoot voor de grafiek van de functie. Een asymptoot is dus zogezegd de raaklijn in een punt op oneindig van de grafiek. Er geldt dus ook f0 = ∞ lim + a

en/of lim f 0 = ∞. − a

De vergelijking van de verticale asymptoot is x = a.

5.7. ASYMPTOTEN VOOR DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE

5.7.2

159

Schuine - en horizontale asymptoten

Definitie : De rechte met vergelijking y = ωx + q met ω 6= 0 is de vergelijking van een niet-verticale asymptoot voor de grafiek van de functie f als en slechts als de verticale afstand tussen de grafiek van de functie en de rechte naar nul nadert naarmate x nadert naar +∞ en/of −∞. lim(f (x) − (ωx + q)) = 0 (en/of lim(f (x) − (ωx + q)) = 0) −∞

+∞

(5.1)

Als x nadert naar +∞ (en/of −∞) dan naderen de raaklijnen in de overeenkomstige punten van de grafiek naar de asymptoot aan de kant van +∞ en/of −∞. Dit betekent dat de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen naderen naar ω. De richtingscoëfficiënt ω van de asymptoot kunnen we bijgevolg berekenen met de volgende limiet ω = lim f 0 (en/of ω = lim f 0 ). −∞

+∞

De waarde van q kunnen we bepalen door gebruik te maken van de limiet uit 5.1. lim(f (x) − (ωx + q)) = 0 ⇐⇒ lim(f (x) − ωx) − q = 0 ⇐⇒ q = lim(f (x) − ωx) +∞

+∞

+∞

en/of q = lim(f (x) − ωx) −∞

Opsporen van horizontale en schuine asymptoten : 1. Is lim+∞ f (x) = q ∈ R dan is y = q de vergelijking van de horizontale asymptoot aan de kant van +∞. Analoog voor −∞. 2. Is lim+∞ f (x) = ∞ (en/of lim−∞ f (x) = ∞) dan is er geen horizontale asymptoot aan de kant van +∞ (en/of −∞). Is er een schuine asymptoot voor +∞ (en/of −∞) dan is y = ωx + q de vergelijking met ω = lim+∞ f 0 (x) ω = lim−∞ f 0 (x) en/of q = lim+∞ (f (x) − ωx) q = lim−∞ (f (x) − ωx) Merk op dat een functie ten hoogste 2 niet-verticale asymptoten kan hebben, één voor +∞ en/of één voor −∞.

160

5.8


Methode van Newton voor het benaderen van nulpunten

Figuur 5.4: methode van Newton Voor het bepalen van de nulpunten van een kwadratische functie beschikken we over formules. Om de wortels te bepalen van een derde- of vierdegraadsvergelijking bestaat er ook een (ingewikkelde) methode. Voor veeltermfuncties van een nog hogere graad bestaat helemaal geen methode, tenzij ze van een speciale gedaante is, bv. wederkerig of bikwadratisch. Hetzelfde geldt voor andere algebra¨ısche functies en transcendente functies. We beschikken echter wel over methodes om een benadering te vinden voor de nulpunten van een afleidbare functie, nl. de methode regula falsi en de methode van Newton. Voor beide methodes is het nodig dat we reeds een eerste benadering kennen van de nulpunten. We bestuderen nu de methode van Newton. We noemen x1 een eerste benadering van een nulpunt r van de functie y = f (x). We benaderen de grafiek van f in de omgeving van r door de raaklijn in (x1 , f (x1 )) aan de grafiek van f . De vergelijking van de raaklijn is y − f (x1 ) = f 0 (x1 )(x − x1 ) Is f 0 (x1 ) 6= 0 dan snijdt deze raaklijn de x-as in een punt met absis x2 . y − f (x1 ) = f 0 (x1 )(x − x1 ) −f (x1 ) = f 0 (x1 )(x2 − x1 ) ⇐⇒ y=0 y=0 Omdat f 0 (x1 ) 6= 0 kunnen we x2 oplossen uit de eerste vergelijking van het laatste stelsel x2 = x1 −

f (x1 ) f 0 (x1 )

5.8. METHODE VAN NEWTON VOOR HET BENADEREN VAN NULPUNTEN 161 De absis x2 van het snijpunt van de raaklijn met de x-as is in de meeste gevallen een betere benadering voor het nulpunt r van de functie (zie figuur 5.4). Door middel van dezelfde redenering vinden we een derde benadering x3 van r. x3 = x2 −

f (x2 ) f 0 (x2 )

We kunnen deze werkwijze blijven volgen. Als de n-de benadering xn is en f 0 (xn ) 6= 0 dan is de (n + 1)-de benadering xn+1 = xn −

f (xn ) f 0 (xn )

(5.2)

Op de figuur 5.4 naderen de opeenvolgende benaderingen xn naar het werkelijke nulpunt r van de functie. lim xn = r +∞

Praktisch kunnen we de computer deze opeenvolgende benaderingen laten berekenen tot we een benadering krijgen op een vooropgegeven aantal decimalen nauwkeurig. Voeren we bvb. 5 iteraties uit dan verkrijgen we 5 opeenvolgende benaderingen. We schrijven dan in DERIVE: iterates(x − f (x)/dif(f (x), x), x, x1 , 5). Het kan gebeuren dat de rij van de opeenvolgende waarden xn niet nadert naar het beoogde nulpunt. Deze situatie zien we op figuur 5.5.

Figuur 5.5: methode van Newton in geval het niet lukt

162


5.9

Maximale en minimale functiewaarden

5.9.1

Absoluut maximum en absoluut minimum

Een functie f bereikt een absoluut maximum (absoluut minimum) in een punt c ∈ D ⊂ domf als en slechts als f (c) de grootste (kleinste) functiewaarde is in D of het maximum (minimum) is van de verzameling f (D). f bereikt een absoluut maximum in c ∈ D ⊂ domf ⇐⇒ ∀x ∈ D : f (x) ≤ f (c) f bereikt een absoluut minimum in c ∈ D ⊂ domf ⇐⇒ ∀x ∈ D : f (x) ≥ f (c) Een functie bereikt een absoluut extremum in een punt c ∈ D ⊂ domf als en slechts als de functie een absoluut maximum of een absoluut minimum bereikt in c ∈ D.

5.9.2

Relatief maximum en relatief minimum

5.9.2.1

Definitie

Figuur 5.6: relatief maximum — relatief minimum Een functie f bereikt een relatief maximum (relatief minimum) in een punt c van haar domein als en slechts als er ∈ R+ 0 bestaat waarvoor de functie een absoluut maximum (absoluut minimum) bereikt in c ∈]c − , c + [∩ domf . f bereikt een relatief maximum in c ⇐⇒ ∃ ∈ R+ 0 : |x−c| < ∧x ∈ domf =⇒ f (x) ≤ f (c) f bereikt een relatief minimum in c ⇐⇒ ∃ ∈ R+ 0 : |x−c| < ∧x ∈ domf =⇒ f (x) ≥ f (c) Een functie bereikt een relatief extremum in een punt c van haar domein als en slechts als de functie een relatief maximum of een relatief minimum bereikt in c.

5.9. MAXIMALE EN MINIMALE FUNCTIEWAARDEN 5.9.2.2

163

Stellingen

STELLING 5.4 De stelling van Fermat (Fransman 1601-1665) Als een reële functie afleidbaar is in een punt c ∈]a, b[⊂ domf en in c een relatief extremum bereikt, dan is de afgeleide in c gelijk aan 0. Schematisch:

 f is afleidbaar in c  f bereikt een relatief extremum in c ⇒ f 0 (c) = 0  c ∈]a, b[⊂ domf

Figuur 5.7: vwden vervuld :y = 3x2 − 5x + 6 en vwden niet vervuld: y =

√

3x − 2 − 2

Bewijs: We veronderstellen dat de functie f een relatief maximum bereikt in c. ∃ ∈ R+ 0 : |x − c| < ∧ x ∈ domf =⇒ f (x) ≤ f (c) We kunnen deze uitspraak beschouwen voor x-waarden kleiner dan c en voor x-waarden groter dan c. Voor x-waarden kleiner dan c geldt: ∃ ∈ R+ 0 : c − < x ≤ c =⇒ f (x) − f (c) ≤ 0 m ∃ ∈ R+ 0 : c − < x ≤ c =⇒

f (x) − f (c) >0 x−c

164

HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN ⇓ gedom. lim. stel. lim − c

f (x) − f (c) ≥0 x−c

(5.3)

en voor x-waarden groter dan c geldt: ∃ ∈ R+ 0 : c ≤ x < c + =⇒ f (x) − f (c) ≤ 0 m f (x) − f (c) ≤0 x−c ⇓ gedom. lim. stel.

∃ ∈ R+ 0 : c < x < c + =⇒

lim + c

f (x) − f (c) ≤0 x−c

(5.4)

De limietovergang was mogelijk omdat de functie f afleidbaar is in c. Hierbij is linkerlimiet dan ook gelijk aan de rechterlimiet. Uit 5.3 en 5.4 volgt dat lim c

f (x) − f (c) =0 x−c

Dit betekent dat de afgeleide van de functie in c gelijk is aan 0. f 0 (c) = 0. Het bewijs verloopt op analoge wijze als we veronderstellen dat de functie een minimum bereikt in a. Opmerkingen: a. Een functie kan in een punt wel een extremum bereiken zonder dat de afgeleide in dat punt noodzakelijk gelijk aan nul moet zijn; b. Een functie kan in een punt een afgeleide gelijk aan nul hebben zonder dat in dat punt een extremum bereikt wordt. De stelling van Fermat suggereert dat we om extreme waarden te vinden eerst kunnen gaan kijken in punten van het domein waar de afgeleide gelijk is aan nul of waar de afgeleide niet bestaat. Zo een punt van het domein wordt een kritisch punt genoemd. In een kritisch punt bereikt een functie niet noodzakelijk een extremum.

5.9. MAXIMALE EN MINIMALE FUNCTIEWAARDEN

165

Figuur 5.8: extr. in c en f 0 (c) bestaat niet —- geen extr. in c en f 0 (c) = 0 STELLING 5.5 Is een functie continu in een gesloten interval [a, b] dan vinden we de absolute extreme waarden van de functie 1. door de functiewaarden te bepalen in de kritische punten van [a, b]; 2. door f (a) en f (b) te bepalen; De grootste functiewaarde van 1. en 2. is het absoluut maximum, de kleinste waarde van 1. en 2. is het absoluut minimum in [a, b].

Figuur 5.9: de absolute extreme waarden van y = x3 − 3x2 + 1 in het interval [− 23 , 52 ]

166


5.9.2.3

Soorten relatieve extrema

De functie f bereikt een relatief extremum in c ∈]a, b[⊂ domf . Twee mogelijkheden doen zich voor: 1. De functie f is afleidbaar in c, m.a.w. f 0 (c) is een reëel getal. Volgens de stelling van Fermat is f 0 (c) = 0. In dit geval bereikt f een gewoon relatief extremum in c. 2. De functie f is niet afleidbaar in c. We vermelden twee mogelijkheden die zich vaker dan andere voordoen. a. Is limc f 0 = ∞ dan is de raaklijn in het punt (c, f (c)) een rechte parallel met de y-as. In dit geval noemen we het punt (c, f (c)) een keerpunt voor de grafiek van de functie. We hebben een gewoon keerpunt of cuspide als de raaklijn driepuntig snijdt en een zelfaanrakingspunt of tacnode als de raaklijn vierpuntig snijdt (zie later bij de studie van algebra¨ısche krommen). b. Is minstens één van de limieten limc− f 0 en limc+ f 0 een reëel getal (de andere eventueel ∞) en zijn ze verschillend van elkaar dan heeft de grafiek van de functie twee verschillende raaklijnen in het punt (c, f (c)). In dit geval is het punt (c, f (c)) een knooppunt of crunode voor de grafiek van de functie. Opmerking: Keerpunten en knooppunten zijn dubbelpunten voor de kromme.

Figuur 5.10: gewoon relatief extremum — keerpunt – knooppunt

5.10. STELLINGEN VAN DE DIFFERENTIAALREKENING

5.10

Stellingen van de differentiaalrekening

5.10.1

De stelling van Rolle

167

STELLING 5.6 Als een functie f continu is in een gesloten interval [a, b] en afleidbaar in het open interval ]a, b[ en is f (a) = f (b) dan bestaat er minstens één punt c van het open interval ]a, b[ waarvoor de afgeleide 0 is.

Met symbolen:  f is continu in [a, b]  f is afleidbaar in ]a, b[ ⇒ ∃c ∈]a, b[: f 0 (c) = 0  f (a) = f (b) Bewijs: Aangezien de functie f continu is in [a, b] bereikt ze volgens Weierstrass in dat interval een grootste waarde M en een kleinste waarde m. 1. Is M = m dan is de functie f een constante functie in het interval [a, b]. Voor elk punt van [a, b] is de afgeleide 0. 2. Is M 6= m dan wordt in minstens één punt c ∈]a, b[ één van de extreme waarden bereikt want f (a) = f (b). Neem bv. f (c) = M . De functie f bereikt een relatief maximum in c en c is een punt van het open interval ]a, b[⊂ domf . Hieruit volgt dat f 0 (c) = 0. Met symbolen  f bereikt een relatief maximum in c  f is afleidbaar in c ⇒ f 0 (c) = 0  c ∈]a, b[⊂ domf Het bewijs verloopt analoog als f (c) = m.

Meetkundige vertolking van de stelling van Rolle: Als een functie f continu is in [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ en de functiewaarden in de grenspunten a en b gelijk zijn aan elkaar dan bestaat er in ]a, b[ minstens één punt c waarvoor de raaklijn in (c, f (c)) parallel is met de x-as. Fysische vertolking van de stelling van Rolle: Beweegt een voorwerp op een traject zonder lussen en bevindt het zich op twee verschillende tijdstippen op dezelfde plaats dan is de snelheid van het voorwerp minstens één keer gelijk aan nul tussen die twee tijdstippen. Een goed voorbeeld daarvan is in de situatie waarbij een voorwerp omhoog gegooid wordt.

168


Figuur 5.11: stelling van Rolle — stelling van Lagrange

5.10.2

Stelling van Lagrange of de middelwaardestelling van de differentiaalrekening

STELLING 5.7 Als een functie f continu is in een gesloten interval [a, b] en afleidbaar in het open interval ]a, b[ dan bestaat er minstens één punt c van het open interval ]a, b[ (a) waarvoor de afgeleide gelijk is aan f (b)−f . b−a

Met symbolen: f is continu in [a, b] f is afleidbaar in ]a, b[

⇒ ∃c ∈]a, b[: f 0 (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Bewijs: We beschouwen de verbindingslijn L van de punten (a, f (a)) en (b, f (b)). De vergelijking is y − f (a) =

f (b) − f (a) f (b) − f (a) (x − a) ⇐⇒ y = f (a) + (x − a). b−a b−a

De uitdrukking f (x) − (f (a) +

f (b) − f (a) (x − a)). b−a

drukt het verschil uit van de functiewaarde voor f en van de functiewaarde van de eerstegraadsfunctie met L als grafiek (de absolute waarde ervan is de verticale afstand tussen de grafiek van f en L).

5.10. STELLINGEN VAN DE DIFFERENTIAALREKENING

169

Voor x = a en x = b wordt het verschil gelijk aan nul. We beschouwen nu de functie h(x) = f (x) − f (a) −

f (b) − f (a) (x − a). b−a

Voor deze functie geldt dat h(a) = h(b) = 0. Dit is een voorwaarde voor de stelling van Rolle. Bovendien voldoet deze functie ook nog aan de eerste twee voorwaarden van de stelling van Rolle vermits dat ook het geval is voor de functie f en elke eerstegraadsfunctie. Volgens de stelling van Rolle geldt: ∃c ∈]a, b[: h0 (c) = 0 m ∃c ∈]a, b[: f 0 (c) −

f (b) − f (a) =0 b−a

m ∃c ∈]a, b[: f 0 (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Opmerking: De stelling van Rolle is een bijzonder geval van de stelling van Lagrange. Meetkundige vertolking van de middelwaardestelling: Als een functie f continu is in [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ dan bestaat er in ]a, b[ minstens één punt c waarvoor de raaklijn in (c, f (c)) parallel is met de verbindingslijn van de punten van de grafiek (a, f (a)) en (b, f (b)). Fysische vertolking van de stelling van Lagrange: De stelling van Lagrange betekent voor een bewegend lichaam binnen een bepaald tijdsinterval dat de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval minstens één maal gedurende die tijd bereikt wordt.

170

5.11


De regel van de l’Hospital

STELLING 5.8 Zijn de functies f en g beide afleidbaar in een gereduceerde basisomgeving van een ophopingspunt a van het domein, en is lim f = lim g = 0 a

a

dan geldt lim a

f0 f = lim 0 a g g

Bewijs: De afgeleiden in a van de functies f en g zijn f 0 (a) = lim

f (x) − f (a) x−a

g 0 (a) = lim

g(x) − g(a) x−a

a

en a

We vervangen de functies f en g door hun resp. continue uitbreidingen f en g tot de gegeven basisomgeving van a. f 0 (a) = lim

f (x) − f (a) x−a

g 0 (a) = lim

g(x) − g(a) x−a

a

en a

Vermits lim f = lim f = f (a) = 0 a

a

en lim g = lim g = g(a) = 0 a

a

geldt f 0 (a) = lim

f (x) x−a

g 0 (a) = lim

g(x) x−a

a

en a

5.11. DE REGEL VAN DE L’HOSPITAL

lim a

f g

= =

171

lima f lima g f (x) x−a g(x) lima x−a 0

lima

f (a) g 0 (a) f0 = lim 0 a g =

Belangrijke opmerking: We kunnen eveneens het volgende bewijzen: 1. Als lima f (x) = ±∞ en lima g(x) = ±∞ dan is ook lim a

f f0 = lim 0 a g g

2. Als lim±∞ f (x) = 0 en lim±∞ g(x) = 0 of als lim±∞ f (x) = ∞ en lim±∞ g(x) = ∞ dan is ook f0 f lim = lim 0 ∞ g ∞ g 3. Soms kan de regel van de l’Hospital niet gebruikt worden omdat door het afleiden de onbepaaldheid nooit verdwijnt. In dit geval zijn we aangewezen op de gewone methodes van de limietberekening. 4. Soms kan de regel van de l’Hospital maar gebruikt worden als we de limiet eerst in een andere gedaante brengen.

172


5.12

Stijgen en dalen van een functie

5.12.1

Definitie

Een functie is strikt stijgend in een interval [a, b] als en slechts als ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Merk op dat elk differentiequotiënt van een strikt stijgende functie in [a, b] groter is dan 0: f (x2 ) − f (x1 ) ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : >0 x 2 − x1 Een functie is strikt dalend in een interval [a, b] als en slechts als ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Merk op dat elk differentiequotiënt van een strikt dalende functie in [a, b] kleiner is dan 0: f (x2 ) − f (x1 ) ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : <0 x 2 − x1

5.12.2

Test voor stijgen en dalen

STELLING 5.9 Als een functie f continu is in een interval [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ dan geldt 1. als f 0 (x) > 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f strikt stijgend in [a, b] ; 2. als f 0 (x) < 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f strikt dalend in [a, b]; 3. als f 0 (x) = 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f constant in [a, b]. Bewijs: We bewijzen het eerste deel van de stelling. De twee andere delen zijn op analoge wijze aan te tonen. We beschouwen twee punten x1 en x2 van [a, b] waarvoor x1 < x2 . Omdat f continu is in [x1 , x2 ] en afleidbaar in ]x1 , x2 [ bestaat volgens de middelwaardestelling een punt c ∈]x1 , x2 [ waarvoor geldt f (x2 ) − f (x1 ) f 0 (c) = . x2 − x1

5.12. STIJGEN EN DALEN VAN EEN FUNCTIE Aangezien f 0 (c) > 0 is

f (x2 )−f (x1 ) x2 −x1

173

> 0.

Uit x1 < x2 volgt dat f (x1 ) < f (x2 ). Deze laatste implicatie is geldig voor elke twee punten x1 en x2 waarvoor x1 < x2 . De functie f is stijgend in [a, b]. Opmerking: In het domein van de functie y = |x| is de afgeleide steeds gelijk aan nul. De x functie is echter niet constant in zijn domein. Dit is niet in tegenspraak met de voorgaande stelling omdat het domein R \ {0} van de functie geen interval is maar wel een unie van twee intervallen. De functie is echter wel constant in de twee deelintervallen ] − ∞, 0[ en ]0, +∞[. GEVOLG 5.1 Hebben twee functies f en g gedefinieerd in een interval [a, b] dezelfde afgeleiden in ]a, b[, dan verschillen f en g slechts door een constante functie in [a, b]. Bewijs: ∀x ∈]a, b[: f 0 (x) = g 0 (x) m 0

∀x ∈]a, b[: f (x) − g 0 (x) = 0 m ∀x ∈]a, b[: (f − g)0 (x) = 0. Uit de voorgaande stelling volgt dat de functie f − g een constante functie is in [a, b]. f − g = k ⇐⇒ f = g + k.

Opmerking: * Als een functie stijgend is in een interval [a, b], dan kunnen er in dit interval één of meerdere punten bestaan waar de afgeleide nul wordt. Het omgekeerde van de voorgaande stelling is dus niet geldig. Inderdaad, is f stijgend en afleidbaar in [a, b] dan geldt voor elke x en elke c van [a, b] dat f (x) − f (c) > 0. x−c Na limietovergang kan het gelijkheidsteken optreden. f (x) − f (c) ≥ 0 ⇐⇒ f 0 (c) ≥ 0. x−c De afgeleide kan dus ook gelijk zijn aan 0 in een punt van het interval waar de functie strikt stijgend is. lim

174


* Het omgekeerde van het derde deel van de voorgaande stelling is wel geldig. Als een functie constant is in een interval dan is de afgeleide steeds gelijk aan nul in dat interval.

5.12.3

De eerste afgeleide test

STELLING 5.10 Is een functie f continu in het interval [a, b] en is c een kritisch punt van f in [a, b] dan geldt a. ∀x ∈]a, c[: f 0 (x) > 0 ∧ ∀x ∈]c, b[: f 0 (x) < 0 =⇒ f bereikt een relatief maximum in c; b. ∀x ∈]a, c[: f 0 (x) < 0 ∧ ∀x ∈]c, b[: f 0 (x) > 0 =⇒ f bereikt een relatief minimum in c; c. Als f ’ niet verandert van teken in c dan bereikt f geen relatief extremum in c. Bewijs van a.: De functie f is stijgend in ]a, c[ omdat de afgeleide daar groter is dan nul. Er geldt x < c =⇒ f (x) < f (c) (5.5) De functie f is dalend in ]c, b[ omdat de afgeleide daar kleiner is dan nul. Er geldt x > c =⇒ f (x) < f (c) Uit 5.5 en 5.6 besluiten we dat f een relatief maximum bereikt in c.

(5.6)

5.13. CONCAVITEIT EN BUIGPUNTEN

175

5.13

Concaviteit en buigpunten

5.13.1

Concaaf naar boven en concaaf naar beneden

5.13.1.1

Definitie

* Is een functie afleidbaar in een interval I en ligt de grafiek van de functie boven al zijn raaklijnen in I dan zeggen we dat de grafiek concaaf naar boven is in I of dat de holle kant van de grafiek naar boven ligt in I. * Is een functie afleidbaar in een interval I en ligt de grafiek van de functie onder al zijn raaklijnen in I dan zeggen we dat de grafiek concaaf naar onder is in I of dat de holle kant van de grafiek naar onder ligt in I.

Figuur 5.12: concaaf naar boven

5.13.1.2

concaaf naar onder

Test voor concaviteit

• Holle kant naar boven in een interval I voor de grafiek van een functie f betekent dat de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de grafiek van links naar rechts bekeken groter worden in I. De afgeleide functie f 0 is stijgend in I. Dit laatste betekent dat de tweede afgeleide functie f 00 positief is in dat interval. • Holle kant naar onder in een interval I voor de grafiek van een functie f betekent dat de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de grafiek van links naar rechts bekeken kleiner worden in I. De afgeleide functie f 0 is dalend in I. Dit laatste betekent dat de tweede afgeleide functie f 00 negatief is in dat interval.

176


STELLING 5.11 Is een functie f twee keer afleidbaar in een interval I dan geldt a. ∀x ∈ I : f 00 (x) > 0 =⇒ f is concaaf naar boven in I; b. ∀x ∈ I : f 00 (x) < 0 =⇒ f is concaaf naar onder in I.

5.13.2

Buigpunten

5.13.2.1

Definitie

Een buigpunt voor de grafiek van een functie is een punt van de grafiek waar de grafiek verandert van concaaf naar boven naar concaaf naar beneden of van concaaf naar beneden naar concaaf naar boven.

Figuur 5.13: buigpunten Opmerking: Is (c, f (c)) een buigpunt voor de grafiek van een functie f en bestaat de raaklijn in (c, f (c)) aan de grafiek (f is afleidbaar in c) dan gaat de grafiek in dit punt van de ene kant van de raaklijn naar de andere kant van de raaklijn. 5.13.2.2

De tweede afgeleide test

STELLING 5.12 De functie f bezit een eerste afgeleide functie die continu is in [a, b] ⊂ domf en afleidbaar is in ]a, b[. De tweede afgeleide is continu in een punt c ∈]a, b[. a. Als f 0 (c) = 0 en f 00 (c) > 0, dan bereikt f een relatief minimum in c; b. Als f 0 (c) = 0 en f 00 (c) < 0, dan bereikt f een relatief maximum in c.

5.13. CONCAVITEIT EN BUIGPUNTEN

177

Figuur 5.14: soorten buigpunten Bewijs: Als f 00 (c) > 0, dan bestaat er een basisomgeving I ⊂]a, b[ van C waar f 00 (x) > 0 omdat f 00 continu is in c. Volgens de test voor concaviteit is de functie f concaaf naar boven in I. Daaruit volgt dat de grafiek van f boven zijn raaklijn ligt in het punt (c, f (c)). Maar omdat f 0 (c) = 0, is deze raaklijn parallel met de x-as. Dit toont aan dat ∀x ∈ I : f (x) ≥ f (c) waarbij I een basisomgeving is van c. Hieruit volgt dat f een relatief minimum bereikt in c. Het bewijs voor het tweede deel is analoog. 5.13.2.3

Soorten buigpunten

Het punt (c, f (c)) is een buigpunt voor de grafiek van de functie f . We onderscheiden twee gevallen: a. De functie f is afleidbaar in c. De buigraaklijn is dan een rechte niet parallel met de y-as en eventueel in het bijzonder parallel met de x-as. b. De functie f is niet afleidbaar in c. Aangezien de raaklijn steeds bestaat in een buigpunt is de enige mogelijkheid dat limc f 0 = ∞. De buigraaklijn is parallel met de y-as. OPGAVEN — 31 Zijn twee functies concaaf naar boven in R, is de samenstelling van de twee functies ook concaaf naar boven? 32 Bewijs dat als (c, f (c)) een buigpunt is voor de grafiek van de functie f , en f 00 bestaat in een open interval I dat het punt c bevat, dan is f 00 (c) = 0.

178


5.14

Wederom rekenregels

5.14.1

De afgeleide functie van een lineaire combinatie van twee functies

STELLING 5.13 Als f 0 (x) en g 0 (x) bestaan en r en s zijn reële constanten, dan geldt (r.f + s.g)0 (x) = r.f 0 (x) + s.g 0 (x). D(r.f + s.g) = r.Df + s.Dg We zeggen: De afgeleide van een lineaire combinatie is gelijk aan de lineaire combinatie van de afgeleiden. Bewijs: Het bewijs steunt op de gelijknamige eigenschap van de limieten. (r.f + s.g)(x + h) − (r.f + s.g)(x) h→0 h

(r.f + s.g)0 (x) = lim

m def. v. lin. comb. v. funct. r.f (x + h) + s.g(x + h) − r.f (x) − s.g(x) h→0 h

(r.f + s.g)0 (x) = lim

m r.(f (x + h) − f (x)) + s.(g(x + h) − g(x)) h→0 h

(r.f + s.g)0 (x) = lim

m f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) + s. (r.f + s.g)0 (x) = lim r. h→0 h h m lim. v. lin. comb. v. funct. f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) + s. lim h→0 h→0 h h

(r.f + s.g)0 (x) = r. lim

m f en g zijn afl. (r.f + s.g)0 (x) = r.f 0 (x) + s.g 0 (x).

5.14. WEDEROM REKENREGELS

5.14.2

179

De afgeleide functie van het product van twee functies

STELLING 5.14 Als f 0 (x) en g 0 (x) bestaan, dan geldt (f.g)0 (x) = f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x) D(f.g)(x) = g(x).Df (x) + f (x).Dg(x) We zeggen: De afgeleide van het product van twee functies is de afgeleide van de eerste functie maal de tweede functie plus de eerste functie maal de afgeleide van de tweede functie. Bewijs: (f.g)(x + h) − (f.g)(x) h→0 h

(f.g)0 (x) = lim

m def. v. prod. v. funct. f (x + h).g(x + h) − f (x).g(x) h→0 h

(f.g)0 (x) = lim

m f (x + h).g(x + h) − f (x + h).g(x) + f (x + h).g(x) − f (x).g(x) h→0 h

(f.g)0 (x) = lim

m f (x + h) g(x + h) − g(x) + f (x + h) − f (x) .g(x) (f.g) (x) = lim h→0 h 0

m eig. v. lim. g(x + h) − g(x) f (x + h) − f (x) + lim . lim g(x) h→0 h→0 h→0 h h

(f.g)0 (x) = lim f (x + h). lim h→0

m (f.g)0 (x) = f (x).g 0 (x) + f 0 (x).g(x) Merk op dat • limh→0 f (x + h) = f (x) omdat de functie f afleidbaar is en dus ook continu. • limh→0 g(x) = g(x) omdat g(x) constant is t.o.v. h.

180


We kunnen deze stelling uitbreiden voor het product van een eindig aantal functies. We geven de uitbreiding voor drie functies: (f.g.h)0 (x) = f 0 (x)g(x).h(x) + f (x)g 0 (x).h(x) + f (x).g(x).h0 (x). D(f.g.h)(x) = g(x).h(x).Df (x) + f (x).h(x).Dg(x) + f (x).g(x).Dh(x). Een bijzonder geval van de regel voor het product is de regel voor een natuurlijke macht van een functie. GEVOLG 5.2 ∀n ∈ N : D(f (x))n = n(f (x))n−1 Df (x) Bewijs: We bewijzen de regel door volledige inductie. 1. De regel is geldig voor n = 1. 2. Als de regel geldt voor n dan geldt hij ook geldig is voor n + 1. Gegeven : D(f (x))n = n(f (x))n−1 Df (x); Te bewijzen: D(f (x))n+1 = (n + 1)(f (x))n Df (x). Bewijs: D(f (x))n+1 = D((f (x))n .f (x))

afg. prod. = f (x).D(f (x))n + (f (x))n .Df (x)

geg. = f (x)n(f (x))n−1 + (f (x))n = (n + 1)(f (x))n .


5.14.3

181

De afgeleide functie van het quoti¨ ent van twee functies

STELLING 5.15 Als f 0 (x) en g 0 (x) bestaan, dan is 0 f g(x).f 0 (x) − g 0 (x).f (x) (x) = . g g 2 (x) f g(x).Df (x) − f (x).Dg(x) D (x) = . g g 2 (x) We zeggen: De afgeleide van een quoti¨ ent van twee functies is gelijk aan de noemer maal de afgeleide van de teller min de teller maal de afgeleide van de noemer en dit alles gedeeld door het kwadraat van de noemer. Bewijs: 0 f (x + h) − fg (x) f g (x) = lim h→0 g h m def. v. quot. v. funct. 0 f (x+h) (x) − fg(x) f g(x+h) (x) = lim h→0 g h m 0 f f (x + h).g(x) − f (x).g(x + h) (x) = lim h→0 g h.g(x + h).g(x) m 0 f f (x + h).g(x) − f (x).g(x) + f (x).g(x) − f (x).g(x + h) (x) = lim h→0 g h.g(x + h).g(x) m 0 (x) g(x). f (x+h)−f − f (x). g(x+h)−g(x) f h h (x) = lim h→0 g g(x + h).g(x) m 0 (x) limh→0 g(x). limh→0 f (x+h)−f − limh→0 f (x). limh→0 f h (x) = g limh→0 g(x + h). limh→0 g(x) m 0 f g(x).f 0 (x) − f (x).g 0 (x) (x) = g g 2 (x)

g(x+h)−g(x) h

182


Merk op dat • limh→0 g(x + h) = g(x) omdat de functie g afleidbaar is en dus ook continu. • limh→0 g(x) = g(x) omdat g(x) constant is t.o.v. h. Hetzelfde is geldig voor f (x). Bijzonder geval:

1 g 0 (x) (x) = − 2 g g (x)

Uit het bijzonder geval kunnen we de regel afleiden voor de afgeleide van een gehele macht. GEVOLG 5.3 ∀n ∈ N : D(f (x))−n = −n(f (x))−n−1 Bewijs: D(f (x))−n = D

1 D(f (x))n n(f (x))n−1 Df (x) = − = − = −n(f (x))−n−1 Df (x). (f (x))n (f (x))2n (f (x))2n

Hierbij maakten we gebruik van de definitie van negatieve macht en de regel voor de afgeleide van een natuurlijke macht van een functie. Besluit: De regel voor de afgeleide van een gehele macht is: ∀z ∈ Z : D(f (x))z = z(f (x))z−1 Df (x).

5.14.4

De afgeleide functie van de samenstelling van twee functies— De kettingregel

STELLING 5.16 Als f 0 (x) en g 0 (f (x)) bestaan, dan is (gof )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x). We zeggen: De afgeleide van een samenstelling van twee functies y = f (x) en z = g(y) is de afgeleide van de tweede functie g naar y maal de afgeleide van de eerste functie f naar x. Met de Leibniznotatie: dz dz dy = · . dx dy dx


183

Bewijs: (g ◦ f )(x + h) − (g ◦ f )(x) h→0 h m def. v. samenst. v. funct.

(g ◦ f )0 (x) = lim

g(f (x + h)) − g(f (x)) h→0 h m

(g ◦ f )0 (x) = lim

g(f (x + h)) − g(f (x)) f (x + h) − f (x) · h→0 h f (x + h) − f (x)

(g ◦ f )0 (x) = lim

m g(f (x + h)) − g(f (x)) f (x + h) − f (x) · h→0 f (x + h) − f (x) h Omdat de functie f afleidbaar is, is ze tevens continu. Er geldt (g ◦ f )0 (x) = lim

lim f (x + h) = f (x)

h→0

We stellen f (x + h) − f (x) = k ⇐⇒ f (x + h) = f (x) + k = y + k f (x + h) − f (x) g(y + k) − g(y) · lim h→0 k→0 k h m dg df · (g ◦ f )0 (x) = dy dx

(g ◦ f )0 (x) = lim

Uitbreiding van de kettingregel: De afgeleide van de samenstelling van drie functies. Als f 0 (x), g 0 (f (x)) en h0 (g(f (x))) bestaan, dan is (h ◦ g ◦ f )0 (x) = h0 (g(f (x)))g 0 (f (x))f 0 (x) =

dh dg df · . dz dy dx

Deze kettingregel kan gemakkelijk uitgebreid worden voor de afgeleide van de samenstelling van meer dan drie. PRAKTISCH: Bij het afleiden van de samenstelling van meerdere functies beginnen we met het afleiden van de functie die we het laatst toepassen, vervolgens leiden we de voorlaatste functie af enz. tot alle functies van de samenstelling afgeleid zijn.

184

5.14.5


Afgeleide functie van de inverse functie van een functie

STELLING 5.17 Heeft de functie y = f (x) een inverse functie y = f −1 (x), dan is de afgeleide functie van y = f −1 (x) gelijk aan de omgekeerde functie van de afgeleide functie van z = f (y), waarin we y vervangen door f −1 (x). Met symbolen: (f −1 (x))0 =

1

met y = f −1 (x)

f 0 (y) m

(f −1 (x))0 =

1 f 0 (f −1 (x))

.

We zeggen: De afgeleide van de inverse functie van een functie is gelijk aan de omgekeerde van de afgeleide van de functie Met Leibniznotatie:

dy 1 = dx dx dy

Bewijs: Zijn twee functies f en f −1 elkaars inverse dan is y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y).

dy dx dx · = =1 dx dy dx m dy 1 = dx dx dy


Figuur 5.15: raaklijnen in corresponderende punten van inverse functies

185

186

5.15


Wiskunde-Cultuur

Gottfried Wilhelm LEIBNIZ was een Duits wiskundige van de zeventiende eeuw. Hij bracht het grootste deel van zijn leven door in de buurt van het hof van Hannover en in dienst van de hertogen. Hij streefde de grootste denkers van zijn tijd voorbij in de breedte van zijn scheppend werk; zijn wijsbegeerte omvatte behalve de logica ook geschiedenis, theologie, linguistiek, biologie, geologie, wis- en natuurkunde, diplomatieën en de uitvindingskunst. Hij was een der eersten na PASCAL die een rekenmachine uitvond, hij dacht over stoomwerktuigen, studeerde Chinese filosofie en werkte aan de eenheid van Duitsland. Zijn geheel wetenschappelijk en wijsgerig streven werd gedragen door zijn zoeken naar een universele methode, waarmee men ware kennis zou kunnen verkrijgen, uitvindingen kon verrichten en het wezen van de eenheid van het heelal kon begrijpen. Dit zoeken beheerste ook DESCARTES’ denken. De “Algemene Wetenschap”, de “Scientia generalis”, waarnaar Leibniz streefde, was zeer veelzijdig en bracht hem ook tot zijn wiskundige ontdekkingen. Hij hoopte de Algemene Wetenschap te kunnen uitdrukken in een aparte symboliek, de “Characteristica Universalis” en op weg daarheen bestudeerde hij permutaties en combinaties, en zocht naar een Algemene Taal, een “Lingua Universalis”, waarin alle gedachtenfouten en rekenfouten zouden optreden. Dit leidde hem niet alleen tot een begin van de symbolische logica, doch ook naar de infinitesimaalrekening met zijn sprekende notatie. Doch niet alleen hier, maar ook op andere wiskundige gebieden trachtte hij de symboliek te verbeteren, en zo werd Leibniz een Rvan de grootste uitvinders van mathematische notaties. Hij voerde het integraalteken in, onder zijn invloed hebben tekens zoals = voor gelijkheid en · voor vermenigvuldiging algemene ingang gevonden. Ook de uitdrukkingen “functie” en “coördinaten”, “ordinaat” en “absis” komen van Leibniz, evenals de ondeugende term “osculeren”. Hij gebruikte verschillende manieren om het begrip “oneindige” te benaderen, zo aanvaarde hij in een van zijn brieven (aan FOURCHER, 1693) het actueel oneindige ten einde ZENO’s paradoxen (Achilles en de schildpad) te overwinnen. Er zijn weinig mensen geweest die zo diep de eenheid van vorm en inhoud hebben trachten uit te drukken. Zijn uitvinding van de differentiaalen integraalrekening (ook deze namen zijn van hem) was gedragen door zijn streven een “lingua universalis” van de verandering, en in het bijzonder van de beweging te scheppen, al speelde hier natuurlijk ook de liefde voor de wiskunde een belangrijke rol. Leibniz bestudeerde Descartes, Pascal en andere voorgangers. Ook stimuleerde hem het bericht uit Engeland dat daar NEWTON een algemene methode had gevonden om problemen met infinitesimalen te beheersen. Terwijl Newtons methode kinematisch was georiënteerd, was die van Leibniz allereerst van meetkundige aard; hij dacht in de taal van de zgn. karakteristieke driehoek (dx, dy, dz). Leibniz heeft een periode geopend van buitengewone wiskundige productiviteit. Na 1687 werd hij vooral door de broers Jacob en Johann BERNOULLI geholpen. Nog vóo´r 1700 hadden zij het voornaamste gevonden van wat we nu de elementaire differentiaalen integraalrekening noemen.

Hoofdstuk 6 Algebra¨ısche functies 6.1 6.1.1

Veeltermfuncties Standaardveeltermfuncties

Het voorschrift van enkele standaardveeltermfuncties: y = 1, y = x, y = x2 , y = x3 , y = 2x4 , y = x5 enz.....

Figuur 6.1: y = x2 — y = x4 — y = x6 — y = x3 — y = x5

187

188

HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES

6.1.2

Voorschrift van een veeltermfunctie

6.1.2.1

Een veeltermfunctie als lineaire combinatie van standaardveeltermfuncties

Een veeltermfunctie heeft een voorschrift van de algemene gedaante: y = V (x) ≡ an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 met an , an−1 , · · · , a2 , a1 , a0 ∈ R. Een veeltermfunctie kunnen we opvatten als een lineaire combinatie van de standaardfuncties.

Figuur 6.2: som en scalaire vermenigvuldiging van veeltermfuncties

Bijzondere gevallen: eerste- en tweedegraadsfuncties Vorige jaren hebben jullie de eerste- en tweedegraadsfuncties grondig bestudeerd. y = ax + b en y = ax2 + bx + c

6.1. VEELTERMFUNCTIES 6.1.2.2

189

Een veeltermfunctie als product van eerste- en tweedegraadsfuncties

STELLING 6.1 Elke veeltermfunctie van de graad n heeft maximaal n nulpunten in R. Is a een nulpunt van een veeltermfunctie dan is de veelterm deelbaar door x − a. Het quotiënt van de deling door x − a kan dan bepaald worden met de regel van Horner. Dit betekent dat elke veelterm ontbindbaar is in factoren van de eerste en/of de tweede graad (zie deeltje Complexe Getallen). ń ´ of Een veeltermfunctie kan geschreven worden als het product van ee meerdere eerste en/of tweedegraadsfuncties. Grafisch betekent dit dat elke veeltermfunctie van de graad n hoogstens n snijpunten heeft met de x-as. Kent men van een veeltermfunctie een nulpunt x1 dan bevat deze veelterm de factor x−x1 . De veelterm is deelbaar door de factor x − x1 . an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )Q(x) Q(x) is een veelterm van de graad n − 1. Kent men van een veeltermfunctie twee nulpunten x1 en x2 dan bevat deze veelterm de factoren x − x1 en x − x2 . De veelterm is deelbaar door het product: (x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = x2 − Sx + P waarbij S = x1 + x2 en P = x1 x2 resp. de som en het product zijn van de nulpunten. an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(x − x2 )Q(x) Q(x) is een veelterm van de graad n − 2. Kent men van een veeltermfunctie drie nulpunten x1 , x2 en x3 dan bevat deze veelterm de factoren x − x1 , x − x2 en x − x3 . De veelterm is deelbaar door het product: (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 )x − x1 x2 x3 = x3 − Sx2 + ax − P waarbij S = x1 +x2 +x3 en P = x1 x2 x3 resp. de som en het product zijn van de nulpunten. an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )Q(x) Q(x) is een veelterm van de graad n − 3.


190

Maak zelf de redenering voor een veelterm met vier en vijf nulpunten. Meestal zijn de nulpunten van een veeltermfunctie niet gekend. Het is soms een hele klus om nulpunten te bepalen. Heeft een veeltermfunctie een geheel nulpunt dan is dat een deler van de constante term. De delers van de constante term zijn dus kandidaat nulpunten van de veeltermfunctie. In de volgende voorbeelden gaan we een gegeven veelterm in factoren ontbinden met behulp van de grafiek van de veeltermfunctie, die we kunnen verkrijgen met DERIVE. De voorschriften zijn echter geselecteerd, d.w.z. dat de veelterm minstens één geheel of rationaal nulpunt bezit, die we gemakkelijk op de grafiek van de functie kunnen aflezen. Voorbeelden: • y = −2x3 + 11x2 − 4x − 5 Op de grafiek van deze functie zien we het nulpunt 1. De veelterm is deelbaar door x − 1. Met de regel van Horner kunnen we het quotiënt bepalen. Het quotiënt is van de tweede graad waarvan we de eventuele nulpunten gemakkelijk kunnen bepalen. De nulpunten van deze tweedegraadsfunctie zijn -1/2 en 5. De veeltermfunctie is dus deelbaar door 1 (x − 1)(x + )(x − 5). 2 De ontbinding van de veelterm in factoren is 1 −2x3 + 11x2 − 4x − 5 = −2(x − 1)(x + )(x − 5). 2 Deze veeltermfunctie is het product van drie eerstegraadsfuncties: y = −2x3 + 11x2 − 4x − 5 = (x − 1)(2x + 1)(5 − x). • y = x3 + 1 Aan het voorschrift zien we gemakkelijk dat -1 een nulpunt is. Het quotiënt bij deling door x + 1 is onontbindbaar. Deze veeltermfunctie van de derde graad is het product van een eerstegraadsfunctie en een onontbindbare tweedegaadsfunctie: y = x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) • y = x4 + 1 Bij deze veeltermfunctie zien we geen snijpunten met de x-as. Uit het voorschrift leiden we af dat de functie voor elke waarde van x positief is. Toch is deze veelterm ontbindbaar maar dan in twee veeltermen van de tweede graad die op hun beurt onontbindbaar zijn.

6.1. VEELTERMFUNCTIES

191

y = x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 √ √ = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1) OPGAVEN — 33 Gegeven de veeltermfuncties 1. y = x4 − 1 6. 2. y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x + 12 7. 3. y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x + 125 8. 4. y = 8x3 − 12x2 + 6x − 1 9. 5. y = 2x4 − x2 10.

y y y y y

= 2x3 + x2 − 13x + 6 = −x4 − 3x3 + x + 3 = 4x3 − 12x2 + 9x − 2 = 2x4 − x2 + 81 = 2x4 − x2 − 1

1. Teken met DERIVE de grafiek van de gegeven veeltermfunctie en bepaal nulpunten die je met zekerheid van de tekening kan aflezen; 2. Bereken dan zonder computer de eventuele overige nulpunten (regel van Horner toepassen of de euclidische staartdeling uitvoeren); 3. Geef dan de ontbinding in factoren in R (factoren van eerste en/of de tweede graad); 4. Controleer door DERIVE de ontbinding in factoren te laten uitvoeren. Oplossingen: 1. 2. 3. 4. 5.

y y y y y

= (x2 + 1)(x − 1)(x + 1) = (1 − 3x)(x − 2)(x + 2)(x − 3) = (2x + 5)3 (x + 1) = (2x√ − 1)3 √ 2 = x ( 2x − 1)( 2x + 1)

6.1.2.3

6. 7. 8. 9. 10.

y y y y y

= (2x − 1)(x + 3)(x − 2) = (x2 + x + 1)(1 − x)(x + 3) = (2x − 1)2 (x − 2) = 81 (2x − 1)2 (2x + 1)2 = (x − 1)(x + 1)(2x2 + 1)

Een veeltermfunctie als samenstelling van veeltermfuncties

De samenstelling van twee veeltermfuncties is weer een veeltermfunctie. Omgekeerd, kunnen we elke veeltermfunctie opvatten als de samenstelling van twee of meerdere veeltermfuncties. Merk op dat de samenstelling van twee functies NIET commutatief is. Voorbeeld: Gegeven de functies f : y = x + 1 en g : y = x2 . De samenstelling van de twee functies in de twee volgorden: g ◦ f : y = (x + 1)2 ; f ◦ g : y = x2 + 1. OPGAVEN — 34 Gegeven f : y = 9x + 2 en g : 3x + a. Bepaal a zodat f ◦ g = g ◦ f . 35 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere veeltermfuncties: (i) y = (x − 9)5 (iii) y = 3x2 + 3x + 2 2 (ii) y = 3x − 7x + 9 (iv) y = x2 (x2 + 4)


192

Oplossingen: 34 a = 21 ; 35(i) y = x − 9, z = y 5 ; (ii) y = x − 1, z = 3y 2 − y + 5 of y = x − 67 ; (iii) y = x + 12 , z = 3y 2 + 54 ; (iv) y = x2 , z = y(y + 4).

6.1.3

Het domein van een veeltermfunctie

Het domein van een veeltermfunctie is gans R. Plakpunten van het domein zijn +∞ en −∞.

6.1.4

Limieten en continu¨ıteit van een veeltermfunctie

6.1.4.1

Limiet in een re¨ ele waarde en continu¨ıteit

In deze paragraaf maken we gebruik van de theoretische beschouwingen over limieten en continu¨ıteit van functies van het hoofdstuk 4. Alle punten van het domein R van een veeltermfunctie zijn ophopingspunten van R. We kunnen dus in elke reële waarde de limiet beschouwen. • Voor de constante functie y = 1 geldt: lim 1 = 1 met a ∈ R a

want voor elke monotone rij die convergeert naar a geldt dat de beeldrij van de functiewaarden de constante rij (1) is waarvan de limiet gelijk is aan 1 (zie definitie 1 van p. 129). De limiet in elke reële waarde a is gelijk aan de functiewaarde in a. Hieruit volgt dat de functie y = 1 continu is in elke reële waarde (zie definitie 4 van p. 129). • De identieke functie y = x is continu over R omdat ze een stijgende bijectie is van het interval ] − ∞, +∞[ naar het interval ] − ∞, +∞[ (zie stelling 4.8 op bladzijde 140). lim x = a met a ∈ R a

• De standaardfuncties y = xn met n ∈ N0 zijn continu in R vermits ze natuurlijke machten zijn van de identieke functie die continu is over R (zie stelling 4.17 op bladzijde 144).


193

• Een veeltermfunctie is een lineaire combinatie is van de continue standaardfuncties y = xn . Volgens de stelling 4.17 van bladzijde 144 kunnen we het volgend besluit formuleren: Een veeltermfunctie is continu in elke reële waarde. lim V (x) = V (a). a

Praktische betekenis voor de grafiek van een veeltermfunctie: de grafiek van een veeltermfunctie is een vloeiende lijn waar geen verticale sprongen voorkomen. 6.1.4.2

Limiet in ∞

Vermits +∞ en −∞ plakpunten zijn van R, die het domein is van elke veeltermfunctie, is het zinvol de limiet te beschouwen in +∞ en in −∞. Volgens de rekenregels van limieten is de limiet in +∞ of −∞ van een veelterm een som van +∞’s en −∞’s (zie bladzijde 143, 118 en ??). In de meeste gevallen is dit echter een onbepaaldheid. We lossen dit op door de hoogste graadsterm voorop te zetten en aldus de rekenregel voor de limiet van een product toe te passen, zoals we dit voor rijen ook gedaan hebben. We bekomen: an−1 a1 a0 + · · · + n−1 + n ) ±∞ x x x = lim xn lim(an + · · · )

lim(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ) = lim xn (an + ±∞

±∞

±∞ n

= an lim x ±∞

= lim an xn ±∞

Dus hieruit blijkt dat de limiet in +∞ of −∞ van elke veeltermfunctie gelijk is aan de corresponderende limiet van zijn hoogstegraadsterm. Voorbeelden: lim(0, 1x2 + x − 3) = lim(0, 1x2 ) = +∞ +∞

+∞

en lim(0, 1x2 + x − 3) = lim(0, 1x2 ) = +∞ −∞

−∞

Omdat de resultaten voor zowel +∞ en −∞ dezelfde zijn schrijven we kort: lim(0, 1x2 + x − 3) = lim(0, 1x2 ) = +∞ ∞

∞


194

GEVOLG 6.1 De limiet in +∞ van een veeltermfunctie heeft hetzelfde teken als van de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm an van de veelterm. OPGAVEN — 36 Bepaal de volgende limieten en controleer op de grafiek met DERIVE: 1. lim+∞ (x2 + 12x − 2) = 4. lim−∞ (x2 − 2x − 12) = 2 2. lim−∞ (−x − 2x − 12) = 5. lim+∞ (−5x2 + 3x + 65) = 3 2 3. lim−∞ (x + 5x + 3x − 50) = 6. lim−∞ (−2x3 + x + 100) =

We merken op dat als de graad van een veeltermfunctie oneven is, de limieten in +∞ en −∞ verschillend teken hebben. Volgens de stelling van Bolzano (op bladzijde 140) kunnen we besluiten dat een veeltermfunctie van een oneven graad minstens één nulpunt heeft in R. We formuleren de volgende stelling: STELLING 6.2 Een veeltermfunctie van een oneven graad heeft minstens één nulpunt in R. De grafiek van een veeltermfunctie met een oneven graad heeft minstens één snijpunt met de x-as.

6.1.5

Tekenverloop van een veeltermfunctie

Komt een nulpunt a bij een veeltermfunctie k keer voor dan is de veelterm deelbaar door (x − a)k : V (x) ≡ (x − a)k .Q(x). We zeggen dat a een nulpunt is met multipliciteit k. Is k ≥ 2 dan raakt de grafiek van de functie aan de x-as in het punt (a, 0). a. Is k even dan blijft de grafiek in een voldoende kleine omgeving van a aan de ene kant van de xas. b. Is k oneven dan gaat de grafiek in punt a van de ene kant naar de andere kant van de x-as ((a, O) is een buigpunt voor de grafiek van de functie). Inderdaad, snijden we de grafiek met de x-as dan vallen minstens 2 snijpunten samen met het punt (a, 0). Later gaan we dat nog op een andere manier bewijzen. Besluit voor het tekenverloop van een veeltermfunctie: Doorlopen we het domein van rechts naar links dan beginnen we voor de veeltermfuncties met hetzelfde teken van de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm. Verder wisselt het teken van de functie in de nulpunten die een oneven multipliciteit hebben en blijft het teken behouden in een nulpunt met een even multipliciteit.


195

Voorbeelden: • de veeltermfunctie f : y = −8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162 kan men drie keer delen door de factor (x − 3/2). De veelterm bevat de factor (x − 3/2)3 of (2x − 3)3 . De ontbinding in factoren is −8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162 = (2x − 3)3 (6 − x). De veeltermfunctie verandert van teken rond 3/2 en rond 6 omdat de multipliciteit van beide nulpunten oneven is. lim(−8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162) = lim(−8x4 ) = −∞. +∞

+∞

We starten het tekenverloop rechts met −. 3/2 6 x y − 0 + 0 − In de figuur zien we dat de x-as raaklijn is aan de grafiek in het punt (3/2, 0).

• De veeltermfunctie y = 5x(2x + 1)2 (−4 + 3x)3 verandert van teken rond 4/3 en rond 0 en verandert niet van teken rond −1/2 en lim(5x(2x + 1)2 (−4 + 3x)3 ) = lim((20) · (27)x6 ) = +∞. +∞

+∞

We starten het tekenverloop rechts met +. x −1/2 0 4/3 y + 0 + 0 − 0 +


196

In de figuur zien we dat de x-as raaklijn is aan de grafiek in het punten (−1/2, 0) en (4/3, 0).

OPGAVEN — 37 Gegeven de functie: 1. y = x4 − 1 2. y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x + 12 3. y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x + 125

4. 5. 6.

y = 2x3 + x2 − 13x + 6 y = −x4 − 3x3 + x + 3 y = 4x3 − 12x2 + 9x − 2

1. Bepaal van de functie enkele nulpunten grafisch, zoek de andere nulpunten door berekening: 2. Maak een tabel met het tekenverloop van de functie en controleer door haar grafiek te tekenen met de computer.

AN I HUISTAAK 6 1. Gegeven de veeltermfuncties: 1. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 3. y = 4x4 + 12x2 + 9 2. y = x4 + 4 4. y = 4x4 − 4x3 − 47x2 + 48x − 12 (a) Teken met DERIVE de grafiek van de gegeven veeltermfunctie en bepaal nulpunten die je met zekerheid van de tekening kan aflezen; (b) Bereken dan zonder computer de eventuele overige nulpunten (regel van Horner toepassen of de euclidische staartdeling uitvoeren); (c) Geef dan de ontbinding in factoren in R (factoren van eerste en/of de tweede graad); (d) Controleer door DERIVE de ontbinding in factoren te laten uitvoeren. 2. Stel het voorschrift op van een even veeltermfunctie en van een oneven veeltermfunctie en teken hun grafieken. Welk kenmerk vertonen de grafieken?


197

3. Gegeven de functie: 1. y = 8x3 − 12x2 + 6x − 1 2. y = 2x4 − x2

3. y = 2x4 − x2 + 18 4. y = 2x4 − x2 − 1

(a) Bepaal van de functie enkele nulpunten grafisch, zoek de andere nulpunten door berekening: (b) Maak een tabel met het tekenverloop van de functie en controleer door haar grafiek te tekenen met de computer.

6.1.6

Afgeleide functie van een veeltermfunctie

We zouden graag zonder de grafiek van de functie te kennen, weten in welke intervallen de functie stijgt of daalt. Het begrip van afgeleide (zie hoofdstuk 5) geeft ons de mogelijkheid dat te onderzoeken. De afgeleide in een punt is immers de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het corresponderend punt op de grafiek. Is in een punt de afgeleide positief (positieve richtingscoëfficiënt) dan stijgt de functie en is ze negatief (negatieve richtingscoëfficiënt) dan daalt de functie in dat punt (zie definitie 5.3.1 en meetkundige betekenis 5.3.2 op resp. p. 152 en p.153). De afgeleide functie gedefinieerd op p. 156 geeft ons de afgeleide van de functie in elk punt waar ze bestaat. 6.1.6.1

De afgeleide functie van een constante functie

STELLING 6.3 De afgeleide functie van een constante functie is de nulfunctie. Dk = 0 of dk =0 dx Bewijs: We beschouwen de constante functie y = k. k−k = 0. h→0 h

f 0 (x) = lim

(zie p. 152 voor de definitie van afgeleide in een punt) Meetkundige betekenis: De raaklijnen in de punten van de grafiek van een constante functie vallen samen met de grafiek van die functie, die een evenwijdige is met de x-as. De richtingcoëfficiënt van de raaklijn is dus in elk punt gelijk aan 0.


198 6.1.6.2

De afgeleide functie van de identieke functie

STELLING 6.4 De afgeleide functie van de identieke functie is de constante functie y = 1. Dx = 1 of dx =1 dx Bewijs: We beschouwen de identieke functie y = x. h x+h−x = lim = lim 1 = 1. h→0 h h→0 h→0 h

f 0 (x) = lim

(zie p. 152 voor de definitie van afgeleide in een punt.) Meetkundige betekenis: De raaklijnen in de punten van de grafiek van de identieke functie vallen samen met de grafiek van die functie, die een rechte is met richtingcoëfficiënt gelijk aan 1. De richtingcoëfficiënt van de raaklijn is dus in elk punt gelijk aan 1. 6.1.6.3

Afgeleide van een natuurlijke macht van x

Om de afgeleide van een natuurlijke macht van x is een bijzonder geval van de regel voor het afleiden van een natuurlijke macht van een functie (zie hoofdstuk 5 op p. 180). Omdat f (x) hier de identieke functie x is geldt de regel: ∀n ∈ N : Dxn = nxn−1 . 6.1.6.4

De afgeleide functie van een veeltermfunctie

Vermits een veeltermfunctie een lineaire combinatie is van machten van x hebben we een regel nodig voor het berekenen van de afgeleide van een lineaire combinatie van functies (zie p. 178 van hoofdstuk 5). STELLING 6.5 De afgeleide functie van een veeltermfunctie is een veeltermfunctie van één graad lager. Bewijs: D(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 .

Voorbeelden:

6.1. VEELTERMFUNCTIES • D(x3 − 9x2 + 27x + 2) = 3x2 − 18x + 27;

• D((3x − 2)5 (5x2 + 5x + 7)3 ) = 5(3x − 2)4 3(5x2 + 5x + 7)3 + (3x − 2)5 3(5x2 + 5x + 7)2 (10x + 5) = 15(3x − 2)4 (5x2 + 5x + 7)2 (5x2 + 5x + 7 + (3x − 2)(2x + 1)) = 15(3x − 2)4 (5x2 + 5x + 7)2 (11x2 + 4x + 5)

199


200

Praktisch voorbeeld: Een leerling Mieke bezit een oud stereosysteem met een naald. Zij heeft een tekening van de naald gemaakt (zie figuur 6.3). De naald heeft een doorsnede in de vorm van een parabool. De vergelijking van de parabool is y = 16x2 waarin x en y gemeten zijn in millimeter. De naald zit in de groef van de plaat die een hoek θ maakt met de horizontale richting zodat tan θ = 1, 75. Mieke is nieuwsgierig en zij wil weten waar de contactpunten p en q van de naald met de groef zich juist bevinden, alsook het laagste punt van de groef. Help Mieke!!! Oplossing: We zoeken een punt a waarin de afgeleide van y = 16x2 gelijk is aan 1,75. f 0 (a) = 32a = 1, 75. Hieruit volgt dat 1, 75 = 0, 054 32 De contactpunten zijn de punten met coördinaat (−0, 055; 0, 048) en (0, 055; 0, 048). Het laagste punt van de groef is de doorsnede van de raaklijn en de y-as. De vergelijking van de raaklijn is (zie 5.6 op bladzijde 157): a=

y−

1, 75 1, 752 = 1, 75(x − ) 64 32 m

1, 752 =0 64 Het snijpunt van deze raaklijn met de y-as (x = 0) is het punt met coördinaat: 1, 75x − y −

(0, −

1, 752 ) = (0; −0, 048). 64

Figuur 6.3: naald in een groef van een plaat


201

OPGAVEN — 38 Bereken zonder computer de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

y y y y y y

= x5 − 5 = 16x5 + 170x4 + 700x3 + 1375x2 + 1250x − 50 = 6x8 − 8x4 + 3x − 2 = x4 − 5x3 + 12x2 − 4x + 1 = −4x5 − 15x4 + 10x2 + 60x − 15 = 48x5 − 40x3 + 15x − 6

7. 8. 9. 10. 11. 12.

y y y y y y

= −6x5 + 25x4 + 30x3 − 200x2 + 120x − 10 = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x + 2 = 2x5 − 5x4 + 5x3 − 5x2 + 5x − 2 = 3x4 + 2x3 − 39x2 + 36x − 7 = 2x4 − 8x3 + 9x2 − 4x + 2 = 12x5 − 15x4 − 235x3 + 360x2 − 180x + 60

39 Bereken zonder computer de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties. Geef een ontbinding in factoren van het resultaat. 1. y = 6x5 − 5x3 + 1 5. y = x5 + 20x − 6 2 3 2. y=(x + 1) (x + 2) 6. y = x2 (x + 1)2 (x − 2)4 5 3 4 3. y = x (x − 2) (x + 3) 7. y = (x2 + 1)3 (x3 + 1)2 3 2 3 4. y = (x − 1) (x + x + 1) 8. y = (x + 1)3 (x − 1)3 (x2 + 1)

40 Gegeven is de functie: 1. y = 2x3 + x2 − 13x + 6 2. y = 8x3 − 12x2 + 6x − 1 3. y = 2x4 − x2 + 1/8 4. y = 2x4 − x2

5. 6. 7.

y = x4 + x2 − x − 1 y = 81 x3 − 1 y = 2x4 − x2 − 1

1. Laat DERIVE de grafiek van elk van de volgende veeltermfuncties tekenen en print de grafiek uit. 2. Schets door enkele punten te verbinden de grafiek van de afgeleide functie zonder hulp van de computer. 3. Bereken zonder computer dan de afgeleide functie en controleer je resultaten met DERIVE.

41 Bereken de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties. Geef een ontbinding in factoren van het resultaat. 1. 2.

y = x(x − 1)2 y = (4 − 3x2 )7

42 Gegeven is de functie: 1. y = 4x3 − 12x2 + 9x − 2 2. y = 51 x5 − 2

3. 4.

3. 4.

y = x2 (1 + x)3 (2 − x)2 y = (x2 − 1)3 (1 − 2x3 )4

y = x4 + 2x3 − 2x + 1 y = x4 − x3 − 7x2 + x + 6

1. Laat DERIVE de grafiek van elk van de volgende veeltermfuncties tekenen en print de grafiek uit. 2. Teken op de uitprinting, de grafiek van de afgeleide functie zonder hulp van de computer. 3. Bereken zonder computer dan de afgeleide functie en controleer je resultaten met DERIVE.


202

6.1.7

Verloop van een veeltermfunctie

6.1.7.1

Stijgen, dalen en relatieve extrema

De afgeleide functie zal om iets leren over het stijgen en het dalen van de functie en dan ook over de punten waar we een overgang hebben van stijgen naar dalen en van dalen naar stijgen. De punten waar zo een overgang plaats vindt zijn de punten waar de functie een relatief maximum of een relatief minimum bereikt (zie hoofdstuk 5 op p. 162, p. 172 en p. 174). OPGAVEN — 43 Bepaal de relatieve extrema van de volgende functies: 1. y = x4 + x2 − 2 5. y = x3 + x2 + 1 3 2. y = x − x 6. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x + 2 3 2 3. y = x + 6x + 9x + 2 7. y = x2 + 4x − 16 5 3 4. y = 6x − 5x + 1 8. y = x5 + 20x − 6 44 Onderzoek het verloop van de functie y = 2x4 − x2 + a. Leid uit het teken van de relatieve extreme waarden van de functie af, in hoeveel punten de grafiek de x-as snijdt. Oplossingen: 1. min: (0, −2) √ √ √ √ 2. max: (− 33 , 2 9 3 ), min: ( 33 , − 2 9 3 ) 3. max: (−3, 2),√min: (−1, −2) √ √ 2 4. max: (− 2 , 22 + 1), min: ( 22 , 1 −

√

2 2 )

5. 6. 7. 8.

max: (− 32 , 31 27 ), min: (0, 1) min: ( 21 , 15 ) 8 min: (−2, −20) steeds stijgend

1. Het bepalen van het beeld van gesloten interval voor een veeltermfunctie Vermits een veeltermfunctie continu is over gans R, bereikt volgens de stelling 4.12 van Weierstrass op pagina 142 een veeltermfunctie minstens één maal een grootste en een kleinste waarde in een gesloten interval of is het beeld van een gesloten interval weer een gesloten interval. Hierbij gebruiken we het begrip van kritisch punt van een functie, dat een punt is van het domein van de functie waar de afgeleide functie nul is of niet bestaat (zie p. 164). We berekenen de functiewaarden in de kritische punten, alsook in de eindpunten van het gesloten interval. We nemen van al deze functiewaarden de kleinste en de grootste waarde. Voorbeelden: • Bepaal voor de functie f : y = −x3 (x − 2)2 het beeld in het interval [−1, 3]. Oplossing: De afgeleide functie is y 0 = −x2 (x − 2)(5x − 6). De kritische punten in het interval [−1, 3] zijn 0, 2 en 6/5. f (−1) = 9

f (3) = −27

f (0) = 0

f (6/5) = −0.43


203

In [−1, 3] is het absoluut maximum 9 en het absoluut minimum −27. f ([−1, 3]) = [f (3), f (−1)] = [−27, 9].

• Zoek het beeld van het gesloten interval [− 12 , 4] voor de functie f : y = x3 − 3x2 + 1. Oplossing: De afgeleide functie is f 0 (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2). De kritische punten in het interval [− 21 , 4] zijn de punten 0 en 2.

f (0) = 1

f (2) = −3

1 1 f (− ) = 2 8

f (4) = 17

In [− 21 , 4] is het absoluut maximum 17 en het absoluut minimum −3. 1 f ([− , 4]) = [f (2), f (4)] = [−3, 17]. 2

204


OPGAVEN — 45 Bepaal van de volgende functies het beeld van het gesloten interval: 1. y = x3 + 6x2 + 9x + 2 in [−4, 0] 3. y = x4 − 2x2 + 1 in [−5, 5] 4 2. y = x3 − 3x in [− 21 , 29 ] 4. y = − x4 + x in [− 32 , 72 ] Oplossingen: 2177 3 45 1. [−2, 2], 2. [−2, 621 8 ], 3. [0, 576], 4. [− 64 , 4 ].

2. Veeltermfuncties die aan bepaalde voorwaarden voldoen In deze paragraaf gaan we op zoek naar het voorschrift van een veeltermfunctie die aan bepaalde voorwaarden voldoet. Voorbeeld: Voor welke waarde van p heeft de functie y = x3 + px − 1 (i) noch een maximum, noch een minimum; (ii) een maximum, een minimum en drie verschillende nulpunten; (iii) een maximum en een minimum en drie nulpunten waaronder twee samenvallende? Oplossing: We berekenen de afgeleide functie: y 0 = 3x2 + p. (i) De functie bereikt geen extrema als y 0 een vast teken heeft, d.i. als 3x2 + p geen nulpunten of twee samenvallende nulpunten heeft. ∀x ∈ R : 3x2 + p ≥ 0 ⇐⇒ p ≥ 0.


205

(ii) De functie bereikt twee extreme waarden als y 0 twee verschillende nulpunten heeft, waarin y 0 van teken verandert. Dit gebeurt als p < 0 is. r p 2 p < 0 ∧ 3x + p = 0 ⇐⇒ x = ± − 3 De grafiek van deze functie heeft drie snijpunten als de twee relatief extreme waarden tegengesteld zijn van teken. De relatief extreme waarden zijn: r r r r p 2p p p 2p p f (− − ) = − − − 1 en f ( − ) = − − 1. 3 3 3 3 3 3 De laatste functiewaarde is negatief vermits p negatief is. De andere functiewaarde moet dus positief zijn. r p 3 2p − − 1 > 0 ⇐⇒ p < − √ . − 3 3 3 4 (iii) De grafiek van de functie raakt aan de x-as als de relatieve maximale extreme functiewaarde gelijk is aan nul. r 3 2p p − − − 1 = 0 ⇐⇒ p = − √ . 3 3 3 4

Figuur 6.4: y = x3 − 3x − 1

3 y = x3 + − √ 3 x − 1 4

y = x3 − 1/2x − 1

y = x3 + x − 1


206

OPGAVEN — 46 Bespreek de relatieve extreme waarden van een algemene veeltermfunctie van de vierde graad.

3. Extremumvraagstukken Voorbeelden: • Een landbouwer heeft 1200 m afsluiting. Hij wil daarmee een rechthoekig stuk grond afbakenen, gelegen aan een rivier. Langs de rivier hoeft hij geen afsluiting te plaatsen. Wat zijn de afmetingen van het weiland met de maximale oppervlakte? Oplossing: We zoeken de afmetingen van het rechthoekig stuk grond dus kiezen we één van de afmetingen als onafhankelijk veranderlijke x (bvb. de breedte rechtop de rivier). De andere afmeting is dan 1200 − 2x. We bepalen steeds vooraf tussen welke waarden de onbekende x kan variëren. De uiterste waarden voor x zijn 0 en 600. De functie waarvan we een maximum moeten zoeken, is de oppervlakte S van het stuk grond. S = x(1200 − 2x) . We zoeken de extreme waarden van S door S af te leiden. S 0 = −4x + 1200. We maken een tabel met het tekenverloop van S en S 0 . x S0 S

0

300 600 + 0 − 0 % 180000 & 0


207

Het rechthoekig stuk grond moet 300 meter breed zijn en 600 meter langs de rivier lopen. De maximale oppervlakte is dan 180000 m2 . • Indien het draagvermogen van een balk evenredig is met de breedte en met het kwadraat van de hoogte, vraagt men uit een cilindervormige boomstam een balk met maximaal draagvermogen te zagen. Oplossing: We zoeken de afmetingen van de balk dus kiezen we voor de onafhankelijk veranderlijke x één van de twee afmetingen van de balk. De beste keuze is de breedte. De waarde van x varieert tussen 0 en 2R . De andere afmeting noemen we h. Omdat de balk uit een cilinder met straal R moet worden gezaagd, zijn breedte x en hoogte h van de balk verbonden door de volgende betrekking: h2 = 4R2 − x2 . De functie waarvan we het maximum moeten bepalen is het draagvermogen. D = k.x.h2 = kx(4R2 − x2 ) D0 = k(4R2 − 3x2 ). We maken de tabel met D en D0 . x D0 D

√ 2 3 R 3

0 + 0 %

0

√ 16 3 kR3 9

De gevraagde breedte is

√ 2 3 R. x= 3

De hoogte is dan

√ 2 6 h= R 3

2R − &

0

(6.1)

208

HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES • Hoe verandert de oppervlakte van een rechthoek waarvan twee hoekpunten op de x-as liggen en de andere twee op het deel boven de x-as van de parabool met vergelijking y = 12 − x2 ? Oplossing: We kiezen als onafhankelijk veranderlijke x de absis van het punt van de parabool. De ordinaat van √ het punt is 12 − x2 . De uiterste waarden voor x zijn 0 en 2 3. De functie is de oppervlakte S van de rechthoek met afmetingen 2x en 12−x2 . S = 2x(12 − x2 ) S 0 = 6(4 − x2 ) x S0 S

√ 2 2 3 + 0 − 0 % 32 & 0 0

De oppervlakte is maximaal voor het punt (2, 8)

Figuur 6.5: y = 2x(12 − x2 )


209

OPGAVEN — 47 Hoe verandert het product van twee getallen als hun som constant blijft? 48 Verdeel het getal 120 in twee delen zodanig dat het produkt P van het ene deel en het kwadraat van het andere deel maximaal is. 49 De som van twee positieve getallen is 20. Zoek deze getallen als a. het produkt maximaal is; b. de som van hun kwadraten minimaal is; c. het produkt van het kwadraat van het ene en de derde macht van het andere getal maximaal is. 50 Zoek de minimale afstand van het punt (4, 2) tot de parabool y = 14 x2 . 51 Welke rechthoekige driehoek, waarvan de som van de schuine zijde en de hoogte daarop gelijk is aan a, heeft de grootste oppervlakte? 52 Welke is de hoogte van de rechte omwentelingscilinder met een maximaal volume die kan ingeschreven worden in een bol met straal R? Oplossingen: 47 als de getallen gelijk zijn, is er een maximaal product; 48 80 en 40; 49 a. 10 en 10; b. 10 en 10; c. 8 en 12; p √ √ √ 50 het punt is (2 3 4, 2 3 2), de min. afstand is 20 − 12 3 2 ≈ 0.98 51 max. opp. vr. driehoek met hoogte = a2 . 2R 52 de hoogte is √ 3

AN I HUISTAAK 7 (a) Gegeven is de functie fa : y = −3x3 + 9x − a. i. Bespreek het aantal nulpunten met hun multipliciteit van f al naar gelang de waarden van a; ii. Geef in elk van de gevallen de gedaante van de ontbinding in factoren in R van f (x). iii. Als je een negatief nulpunt van fa gegeven krijgt, hoe kan je dan uit de waarde van dat nulpunt afleiden zonder berekeningen uit te voeren of er nog andere nulpunten zijn en of ze positief of negatief zijn? (b) Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad, die twee extrema bereikt, één voor x = 1 en één voor x = 2. De functie heeft 0 als nulpunt en bereikt de waarde −10/3 voor x = 1. Onderzoek het verloop van de veeltermfunctie en teken haar grafiek. (c) Hoe verloopt de inhoud van een lichaam dat ontstaat door het wentelen van een rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde, als de schuine zijde constant is?

210


4. Benaderen van de nulpunten van een veeltermfunctie Als de veeltermfunctie geen mooie gehele of rationale nulpunten heeft dan kunnen we de methode van Newton (zie p. 160) toepassen om de nulpunten van de veeltemfunctie bij benadering te bepalen. We illustreren met enkele voorbeelden. • Bepaal het tekenverloop van y = x3 − 3x2 − 1. Oplossing: We zien dat de functie geen mooie gehele of rationale nulpunten heeft. We gaan daarom de nulpunten benaderen met de methode van Newton (zie paragraaf op p. 160). Om een idee te krijgen van hoeveel nulpunten er zijn en waar ze ergens gelegen zijn, maken we een ruwe schets van de functie. We bepalen daartoe de afgeleide functie y 0 = 3x2 −6x = 3x(x−2) en maken een tabel met het tekenverloop van f 0 en met de relatief extreme functiewaarden van f . 0 2 4 x 0 y + 0 − 0 + y % −1 & −5 % 15 Nu kunnen we de functie schetsen.

Figuur 6.6: ruwe schets van de grafiek van y = x3 − 3x2 − 1 In 0 en 2 zijn de functiewaarden negatief. Op de schets zien we dat de functie positief wordt in de omgeving van 4. We voegen 4 toe aan de tabel. In 4 is de functiewaarde 15. Volgens de stelling van Bolzano (zie p. 140) zal de functie nul worden tussen 2 en 4. We nemen bvb. 3 als eerste benadering van het nulpunt van de functie y = x3 − 3x2 − 1. Volgens de formule 5.2 is xn+1 = xn −

x3n − 3x2n − 1 . 3x2n − 6xn

De opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Newton zijn x1 = 3 x2 = 3, 111111111 x3 = 3, 103835979 x4 = 3, 103803403


211

en x5 = 3, 103803403. Het nulpunt van de functie op 6 decimalen nauwkeurig is 3, 103803. Het tekenverloop van de functie is: x 3, 103 · · · y − 0

+

• Een andere opgave waarbij we een nulpunt van een veeltermfunctie moeten √ bepalen is de volgende opgave. Bepaal 7 3 zonder dit rechtstreeks op je rekentoestel te berekenen. √ 7 3 is een wortel van de vergelijking x7 = 3 of het nulpunt van de functie y = x7 − 3. We weten dat deze wortel in de omgeving zal liggen van 1. We nemen 1 als eerste benadering. Volgens de formule 5.2 is xn+1 = xn −

x7n − 3 . 7x6n

De opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Newton zijn x1 = 1 x2 = 1, 285714286 x3 = 1, 196916823 x4 = 1, 171689051 x5 = 1, 169938708 x6 = 1, 169917156 x7 = 1, 169889953 x8 = 1, 170001529 x9 = 1, 169930826 en x10 = 1, 169930813. Het nulpunt van de functie op 6 decimalen nauwkeurig is 1, 169931. √ 7 3 = 1, 169931 OPGAVEN — 53 Bepaal met de methode van Newton de nulpunten van de volgende veeltermfuncties: 1.

y = x5 − x + 3

3.

y = 2x3 + x2 − 13x + 8

54 Bepaal met de methode van Newton de nulpunten van de volgende veeltermfuncties op 10 cijfers nauwkeurig: 1.

6.1.7.2

y = x4 + x3 − 22x2 − 2x + 41 in [3, 4]

2.

y = x3 + x2 + x − 2

Concaviteit en buigpunten

Om een grafiek correct te tekenen is het niet voldoende het stijgen, dalen en extrema van de functie te kennen. Men moet ook weten hoe de kromming van de grafiek is en in welke punten er een verandering is van kromming. Voor grafieken van functies maken we een onderscheid tussen holle naar boven en holle kant naar beneden (zie p. 175 in hoofdstuk 5) . Het teken van de tweede afgeleide functie leert ons wanneer de grafiek de holle naar boven of de holle kant naar beneden heeft (zie stelling 5.11 op p. 176). Een buigpunt komt voor daar waar de eerste afgeleide een extremum bereikt of daar waar de tweede afgeleide van teken verandert (zie de definite op p. 176)


212 Voorbeelden:

• Bepaal de relatief extreme waarden, de concaviteit en de buigpunt(en) voor de grafiek van de functie f : y = x3 − 3x + 1. Teken tenslotte de grafiek. Oplossing: De eerste en tweede afgeleide functies zijn: f 0 = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) en f 00 = 6x. De tabel met het tekenverloop van f 0 en f 00 : x y0 y 00 y

−1 0 1 + 0 − −3 − 0 + − − 0 + + % 3 & 1 & −1 % T T S S

De functie bereikt een relatief maximum in −1, een relatief minimum in 1 en het buigpunt is (0, 1). Volgens de tweede afgeleide test 5.12 op p. 176 kunnen we de extrema bepalen met enkel het teken van f 00 in de nulpunten van f 0 te bepalen. f 0 (−1) = 0 ∧ f 00 (−1) < 0 =⇒ f bereikt in -1 een maximum f 0 (1) = 0 ∧ f 00 (1) > 0 =⇒ f bereikt in 1 een minimum.

Figuur 6.7: de grafiek van y = 3x2 − 3x + 1 en haar tweede afgeleide


213

• Bepaal de relatieve extrema, de concaviteit en de buigpunten van de functie f : y = x4 − 4x3 . Teken tenslotte de grafiek. Oplossing: De eerste en tweede afgeleide functies zijn: y 0 = 4x3 − 12x2 en y 00 = 12x2 − 24x. Tabel met het tekenverloop van f 0 en f 00 : 0 2 3 4 x 0 y − 0 − −16 − 0 + 64 + y 00 + 0 − 0 + 36 + + y + 0 − −16 − −27 − 0 + & & & % % S T S S S Omdat f 0 (3) = 0 en f 00 (3) > 0 bereikt de functie een relatief minimum in 3 (tweede afgeleide test). In 0 bereikt de functie geen extremum omdat f 0 niet van teken verandert in 0. In 0 verandert f 00 van teken. Het punt (0, 0) is een buigpunt van de grafiek. Dit voorbeeld illustreert dat de tweede afgeleide test (zie stelling 5.12 op p. 176) geen informatie geeft als f 00 (c) = 0 is. Deze test faalt eveneens als de tweede afgeleide niet bestaat.

Figuur 6.8: de grafiek van y = x4 − 4x3 en haar tweede afgeleide


214

OPGAVEN — 55 Onderzoek het stijgen, het dalen, relatieve maxima, relatieve minima, concaviteit en buigpunten van de volgende functies. 1. y = 4 + 72x − 3x2 − x3 3. y = x3 (x + 6)4 4 3 2 2. y = x − 3x + 3x − x 4. y = 3x5 − 5x3 + 3

56 Onderzoek het verloop van de volgende functies van de vierde graad, schets de grafiek en bepaal daarna grafisch de ontbinding in factoren: (i) y = x4 − 1 (ii) y = x4 + 1 4 3 2 (iii) y = −3x + 10x + 9x − 40x + 12; (iv) y = −x4 − 3x3 + x + 3 4 3 2 (v) y = 8x + 68x + 210x + 275x + 125

57 Onderzoek het verloop van de volgende veeltermfuncties, teken de grafiek en geef dan de ontbinding in factoren: 1. y = x3 − 3x2 4. y = x3 + 3x2 + 3x − 7 4 2. y = x4 − 2x2 + 1 5. y = − x4 4 6. y = x6 − 2x3 + 1 3. y = − x4 + x

Oplossingen: 55: 1. min: (−6, −320), max: (4, 180), buigpt: (−1, −70) 27 1 2. min: ( 41 , − 256 ), buigptn: ( 21 , − 16 ) en (1, 0) √

−18±6 3. min: (− 18 7 , · · · ), max: (−6, 0), buigptn: ( 7

2

, · · · ) en (0, 0)

√

4. min: (1, 1), max: (−1, 5), buigptn: (0, 3) en (

2 2 ,3

±

7 √ ) 4 2

56

√ √ (i) y = (x2 + 1)(x − 1)(x + 1)) (ii) y = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1) (iii) y = (−3x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 3) (iv) y = (x2 + x + 1)(1 − x)(3 + x) 3 (v) y = (2x + 5) (x + 1) 57 1. y = x3 − 3x2 : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = 3x2 − 6x, y 00 = 6x − 6, x y0 y 00 y

+ − − % T

0 0 0

1 − −3 − 0 − −2 & T

2 − 0 + − −4 & S

3 + 9 + − 0 % S

+ + + % S

Extrema: max:(0, 0), min:(2, −4) Buigpunt: (1, −2) De grafieken van de functies y = x3 − 3x2 + 1 en y = x3 − 3x2 − 1 kunnen uit de grafiek van de functie y = x3 − 3x2 afgeleid worden door een verschuiving langs de x-as.


215

2. y = x4 − 2x2 + 1 : Domf = R, de functie is even, de grafiek ligt symmetrisch t.o.v. de y-as, geen asymptoten, y 0 = 4x3 − 4x, y 00 = 12x2 − 4, √ √ x −1 −√ 3/3 0 3/3 1 √ 0 y − 0 + 8 3/9 + 0 − −8 3/9 − 0 + y 00 + + 0 − − 0 + + y + 0 + 4/9 + 1 + 4/9 + 0 + & % % & & % S S T T S S Extrema: max:(0, 1), min:(−1, 0) en (1, 0); √ √ 3 4 3 4 Buigpunt: (− 3 , 9 ) en ( 3 , 9 ); De grafieken van de functies y = x4 − 2x2 , y = x4 − 2x2 + 21 en y = x4 − 2x2 − 1 bekomen we uit de grafiek van y = x4 − 2x2 + 1 door een verschuiving uit te voeren langs de y-as. 4

3. y = − x4 + x : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = −x3 + 1, y 00 = −3x2 , x y0 y 00 y

+ − − % T

0 1 0 0

√ 3

1 0

+ − + 3/4 % T

− − + & T

4 −3 0

− − − & T

Extrema: max:(1, 3/4); Buigpunt: geen 4. y = x3 + 3x2 + 3x − 7 : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = 3x2 + 6x + 3, y 00 = 6x + 6, x y0 y 00 y

+ − − % T

−1 0 0 −8

+ + − % S

0 3 −7

+ + − % S

1 12 0

+ + + % S

Extrema: geen Buigpunt: (−1, −8), de buigraaklijn is parallel met de x-as. 4

5. y = − x4 : Domf = R, de functie is even, de grafiek ligt symmetrisch t.o.v. de y-as, geen asymptoten, y 0 = −x3 , y 00 = −3x2 , x y0 y 00 y

Extrema: max:(0, 0); Buigpunt: geen

+ − − % T

−1 1 −1/4

0 + 0 − 0 − 0 % T

− − − & T

1 −1 −1/4

− − − & T


216

6. y = x6 − 2x3 + 1 : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = 6(x3 − 1)x2 , y 00 = 6x(5x3 − 2), x y0 y 00 y

− + + & S

0 0 0 1

√ 3

− − + & T

0, 4 −1, 95 0 9/25

1 − 0 + + 0 & S

+ + + % S

Extrema: min:(1, 0); √ Buigpunten: (0, 1) en ( 3 0, 4, 9/25).

AN I HUISTAAK 8 1. Gegeven zijn de functie f : y = x4 − x2 − 2x − 7, de cirkel met middelpunt (1, 1) en straal 3 en de parabool y = x2 . Gevraagd: (a) een tabel met het tekenverloop van de eerste afgeleide functie van f ; (b) het beeld van [−2, 2]; (c) een schets zonder computer de grafiek van f zo nauwkeurig mogelijk en leid daaruit de waarden af van de nulpunten van f (1 cijfer na de komma); (d) de co¨ ordinaten van de snijpunten van de cirkel en de parabool. Stel deze krommen voor bij de grafiek van f . 2. Bespreek het aantal nulpunten van de functie f : y = x3 − ax2 − 4 al naargelang de waarden van a. Geef in elk van de gevallen de tabel met het tekenverloop van f , f 0 en f 00 , de schets van de grafiek en de gedaante van de ontbinding in factoren van de veelterm. 3. Aan de vier hoeken van een vierkant blad papier snijden we gelijke vierkanten weg. Hoe verloopt de inhoud van de doos, die ontstaat door de vier rechthoeken van de boorden rechtop te zetten? Oplossing: max. inh. voor de zijde van de afgesneden vierkanten gelijk aan een zesde deel van 2 3 z . de zijde z van het blad papier, max. inh. = 27

PROEFHERHALINGSTOETS 1. Bespreek het aantal nulpunten van de functie f : y = x3 + ax + 1 al naargelang de waarden van a. Geef in elk van de gevallen de tabel met het tekenverloop van f , f 0 en f 00 , de schets van de grafiek en de gedaante van de ontbinding in factoren van de veelterm. 2. Onder welke voorwaarde bezit de functie y = ax4 + bx3 + cx2 + d een maximum maar geen minimum? 3. Gegeven een gelijkbenige driehoek. Noem de lengte van de basis 2a en de hoogte h. Bepaal het punt op de hoogtelijn uit de top waarvoor geldt dat de som van de kwadraten van de afstanden van dit punt tot de hoekpunten van de driehoek extremaal is. Bepaal de aard van het extremum. Is dit punt een bijzonder punt van de driehoek?

6.2. RATIONALE FUNCTIES

6.2 6.2.1

217

Rationale functies Standaardrationale functies

Standaardrationale functies zijn y = x1 , y =

Figuur 6.9: y =

1 x

1 , x2

y=

— y=

1 , x3

1 x3

enz.· · · .

— y=

1 x5


218

Figuur 6.10: y =

1 x2

—— y=

1 x4

— y=

1 x6

6.2.2

Voorschrift van een rationale functie

6.2.2.1

Een rationale functie als quoti¨ ent van twee veeltermfuncties

Een rationale functie is het quotiënt van twee veeltermfuncties. Bijzondere gevallen: • Veeltermfuncties zijn bijzondere rationale functies. • Homografische functies Een homografische functie is het quotiënt van twee eerstegraadsfuncties. Het voorschrift van een homografische functie is van de algemeen van de gedaante: y=

ax + b . cx + d

• Even en oneven rationale functies OPGAVEN — 58 Ga na of de volgende functies even of oneven zijn: y =

x3 +x x4 +1

en y = x2 − x12 .


219

59 Splits de volgende functie in de som van een even en een oneven functie: y = Oplossing: 59 f : y =

6.2.2.2

x2 +1 x2 −1

en g :

x−1 x+1

2x 1−x2

Een rationale functie als samenstelling van rationale functies

De samenstelling van twee rationale functies is weer een rationale functie. OPGAVEN — 60 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies: 2−x x 3 (iv) y = (x−9) (vii) y = 1−x +1 (i) y = ( x−1 5 x+1 ) (ii)

y = x2 −

(iii)

y=

6.2.3

1 x2

1 (x+1)2

+1

(v)

y=

(vi)

y=

x2 x2 +4 1 x2 +1

(viii)

y=

(ix)

y=

1 x+3 (2x−3)4 (x+4)4

Het domein van een rationale functie

Het domein van een rationale functie is de verzameling van alle reële x-waarden waarvoor de noemer niet nul wordt. Het domein is dus het verschil van R en de verzameling van de nulpunten van de veeltermfunctie bepaald door de veelterm in de noemer. Deze nulpunten zijn plakpunten van het domein alsook −∞ en +∞. Voorbeelden: y= y= y=

1 x ax+b cx+d x2 +1 x+1

domf = R0 domf = R \ (− dc ) domf = R \ (−1) 2

−1 Opmerking: De rationale functies f : y = xx−1 en f : y = x + 1 zijn twee verschillende rationale functies. De tweede functie is een veeltermfunctie, de eerste niet. In hun gemeenschappelijk domein zijn ze aan elkaar gelijk.

∀x ∈ R \ {1} : x + 1 =

x2 − 1 . x−1

De grafieken zijn dan ook gelijk op één punt na, nl. het punt (1, 2). De grafiek van de funtie f is een grafiek die een gaatje bevat, nl. het punt (1, 2). De tweede functie f vult dat gaatje op en is dus continue uitgebreide functie van f in het punt 1. OPGAVEN — 61 Bepaal de eventuele gaatjes in de grafiek van de volgende functies. In geval van een gaatje, geef dan de continu uitgebreide functie in dat punt. 2 3 +34x−15 −5x−6 (i) y = −15x (ii) 2x −5x2 +28x−15 x2 −3x+2


220

62 Geef het voorschrift van een rationale functie die in het punt (3, −2) een gaatje vertoont.

63 Bepaal het reëel getal a als gegeven is dat de functie y = met absis 3.

ax2 −16x+1 x−3

in haar grafiek een gaatje heeft

TAAK ♣ 64 Bepaal de reële getallen a en b als je weet dat de functie y = (0, 2) gaat en een gaatje heeft met absis 1.

x3 −ax2 +4x+b x2 −1

door het punt

Oplossingen: 8 61: (i) gaatje ( 35 , 11 ), VA: x = 5; (ii) gaatje (2, 19), VA: x = 1 63 a = 47/9; 64 a = 3 en b = −2;

6.2.4

Tekenverloop van een rationale functie

Het tekenverloop van het quotiënt van twee veeltermfuncties is gelijk aan het tekenverloop van het product van de twee veeltermfuncties op de nulpunten van de noemer na. We gaan dus voor het tekenverloop van een rationale functie dezelfde regel volgen als voor een veeltermfunctie. OPGAVEN — 65 Bepaal het domein en het tekenverloop van volgende rationale functies. Controleer je resultaten met de grafiek op DERIVE. 1. 2.

y= y=

x−1 x+1 x3 +5x2 +x+5 x2 +12x+35

4. 5.

y= y=

x 1−4x2 x+1 x(x2 +4)

3.

y=

5x+7 3x3 −18x2 +36x+24

6.

y=

x4 −8x3 +2x2 x3 +x2

Oplossingen: √ 65 1. R \ {−1}, VA: x = −1; 2. R \ {−5, −7}, gaatje (−5, 13), VA: x = −7; 3. R \ {2 − 3 2} =≈ −0, 52, √ 3 1 VA: x = 2 − 2, 3 extrema; 4. R \ {− 12 , 12 }, VA: x = ± 21 , buigpt: (0, 0); 5. R0 , VA: x = O, max: (−2, 16 ) 2 , buigpt: (−3, 39 ); 6. R0 \ {−1}, gaatje (0, 2), VA: x = −1, 2 extrema. TAAK ♣ 66 Bepaal het domein, het tekenverloop van volgende rationale functie alsook de gaatjes in de grafiek. Controleer je resultaten met de grafiek op DERIVE. y=

x4 − 6x3 + 8x2 + 6x − 9 x2 − 4x + 3

Oplossing: domf =R \ {1, 3}, gaatje (1, −4) en (3, 0);


221

6.2.5

Transformaties van de grafiek van een rationale functie

6.2.5.1

Transformatie van een rationale functie in een standaardrationale functie

Het is mogelijk om de grafiek van sommige rationale functie te transformeren in de grafiek van een standaardrationale functie mits het toepassen van een geschikte transformatie. Zo kunnen we grafiek van de homografische functie transformeren in de grafiek van de standaardrationale functie y = x1 . Het voorschrift van de homografische functie kan door het uitvoeren van de euclidische deling in de volgende gedaante gebracht worden: ax + b cx + d a bc − ad = + c c(cx + d)

y =

Opmerking: Met het commando ‘EXPAND van DERIVE kunnen we ook deze gedaante voor het voorschrift van een rationale functie bekomen. We kunnen het voorschrift van de functie als volgt schrijven: y−

a bc − ad 1 . = · 2 c c x + dc

De grafiek van de homografische functie y = . x1 . van de grafiek van de functie y = bc−ad c2

ax+b cx+d

is de verschuiving met vector ~v (− dc , ac )

ax + b a bc − ad = + cx + d c c(cx + d) Na een gepaste uitrekking in de richting van de x-as 0 c2 x x = bc−ad 0 y = y verkrijgen we de standaardrationale functie y = x1 . OPGAVEN — 67 Bepaal de transformatie (verschuiving, spiegeling en /of uitrekking, inkrimping) die elk van de grafieken van de volgende functies afbeeldt op één van de grafieken van de standaardrationale functies. √ 2 −2x+4) 3 2x−7 √ (i) g1 : y = −3(x (iv) g3 : 3(x− x2 −2x+1 2) (ii) g2 : y = 13 x3 − 2x2 + 4x −

14 3

(v) g4 : y =

6x2 −20x+17 (3x−5)2

Open daartoe twee grafische vensters, in het ene venster teken je een gegeven functie en in het tweede venster teken je de mogelijke standaardrationale functies. Kijk welke standaardfunctie het best past bij de g-functie. Leid hieruit de gepaste transformatie af.

222


Figuur 6.11: zoek de transformatie: y =

1 x

−→ y =

3−x x−2

Figuur 6.12: zoek de transformatie: y =

1 x

−→ y =

5x+4 3x−2


223

TAAK ♣ 68 Beantwoord dezelfde vraag als in opgave 67 voor de volgende functies: f :y=5

6.2.5.2

3 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 83 125x3 − 75x2 + 15x − 2 en g : y = 3 (5x − 1) 2 (2x + 3)4

De inverse relatie van een rationale functie

De kromme die we bekomen door de grafiek van een rationale functie te spiegelen om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x is de grafische voorstelling van de inverse relatie van de rationale functie. We illustreren met enkele eenvoudige voorbeelden. tot haar domein en haar beeld • De restrictie van elke homografische functie y = ax+b cx+d is een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie. x=

ay + b −dx + b ⇐⇒ y = . cy + d cx − a

We merken op dat de inverse van een homografische functie weer een homografische functie is.

Figuur 6.13: inverse functies van 2 homografische functies – stel de voorschriften op

224


Figuur 6.14: 2 homografische functies gelijk aan hun inverse – stel de voorschriften op • Bewijs hieronder dat de functie y =

ax+b cx−a

gelijk is aan haar inverse functie.


6.2.6

225

Limieten en continu¨ıteit van een rationale functie

In deze paragraaf steunen we op de theoretische beschouwingen van hoofdstuk 4 6.2.6.1

Limiet en continu¨ıteit in een punt van het domein

Een rationale functie is continu in alle punten van haar domein vermits ze het quotiënt is van twee veeltermfuncties, die continu zijn in R. De nulpunten van de veeltermfunctie in de noemer behoren niet tot het domein van de rationale functie. Bijgevolg kan de functie niet continu zijn in deze punten. (zie stelling 4.17 op p. 144). Besluit: Een rationale functie is continu in elk punt van haar domein. Bijgevolg is de limiet van een rationale functie in elk punt van haar domein gelijk aan de funciewaarde. 6.2.6.2

Limiet in en re¨ eel plakpunt van het domein

Beschouwen we een reëel punt a dat niet tot het domein behoort dan is a een nulpunt van de noemer van f (x). Dit betekent dat de noemer de factor x − a bevat. We kunnen nu twee gevallen onderscheiden 1. Het re¨ eel plakpunt a correspondeert met een gaatje in de grafiek van de functie. Dit doet zich voor als a tevens een nulpunt is van de teller van f (x) met een multipliciteit die groter dan of gelijk is aan de multipliciteit van a in de noemer. Passen we de rekenregel 4.15 van p. 143 dan verkrijgen we de onbepaaldheid 0 lim f = . a 0 We kunnen in het geval van deze onbepaaldheid 00 de limiet berekenen door zoveel mogelijk de factor x − a in teller en noemer weg te delen. Zodoende verkrijgen we een continue uitgebreide functie f in a van f . lim f = f (a) = b ∈ R a

Het punt met coördinaat (a, b) is een gaatje in de grafiek van de functie f . Voorbeeld: lim 1

x−1 1 1 = lim = 2 1 x+1 x −1 2


226 en lim 1

(x − 1)2 x−1 = lim = 0. 2 1 x+1 x −1

Een andere en gemakkelijke manier om de limiet te berekenen is met de regel van de l’Hospital (zie p. 170). Voorbeeld: lim 1

3x7 − 3x6 + 5x5 − 5x4 21x6 − 18x5 + 25x4 − 20x3 0 = lim =4 = 1 x8 − x7 + x3 − x2 0 8x7 − 7x6 + 3x2 − 2x

Figuur 6.15: een grafiek met een gaatje en de continue uitgebreide


227

2. Het re¨ eel plakpunt a correspondeert met een vertikale asymptoot voor de grafiek van de functie. Dit doet zich voor als de multipliciteit van a in de teller strikt kleiner is dan de multipliciteit van a in de noemer of in het bijzonder als a een nulpunt is van de noemer en geen nulpunt van de teller. Na toepassen van de rekenregel 4.15 op p. 143 en eventueel de regel van de l’Hospital in geval van de onbepaaldheid 00 , verkrijgen we: lim f (x) = ± a

r =∞ 0

Deze limiet is een onbepaaldheid en is de samenvatting van de linker- en rechterlimiet in a (zie definitie 2 en 3 op p. 129). Deze limieten zijn ofwel gelijk aan +∞ ofwel gelijk aan −∞. Daarom schrijven we kortweg het symbool ∞. Dus ∞ staat voor +∞ of voor −∞. Omdat de grafiek van de functie naar oneindig gaat als x nadert naar de reële waarde a zeggen we dat x=a de vergelijking is van een verticale asymptoot voor de grafiek van de functie y = f (x) (zie definitie in paragraaf 5.7.1 op p. 158). Voorbeelden: • Teken met DERIVE de functie y = x25x+3 . De grafiek van de functie heeft −3x+2 twee verticale asymptoten x = 1 en x = 2, vermits de volgende limieten geldig zijn: 5x + 3 = +∞ lim 1− x2 − 3x + 2 5x + 3 lim = −∞ 2 1+ x − 3x + 2 5x + 3 lim = −∞ 2 2− x − 3x + 2 5x + 3 lim = +∞ 2 2+ x − 3x + 2 3

2

−3x−18 • Teken met DERIVE de functie y = x x+4x 3 −4x2 +4x . De grafiek van de functie heeft twee verticale asymptoten x = 0 en x = 2, vermits de volgende limieten geldig zijn: x3 + 4x2 − 3x − 18 −18 lim = =∞ 3 2 0 x − 4x + 4x 0 x3 + 4x2 − 3x − 18 0 3x2 + 8x − 3 25 lim = = lim = =∞ 2 2 3x2 − 8x + 4 x3 − 4x2 + 4x 0 0


228

OPGAVEN — 69 Ga de volgende limieten na door berekening (bij ongelijke linker- en rechterlimiet schrijven we tussen haakjes eerst de linkerlimiet en dan de rechterlimiet). Wat is telkens de meetkundige betekenis van de limiet voor de grafiek van de functie? 2 2 +x+6 1. lim2 −2xx−2 = −7 4. lim−1/3 6x6x2+11x+49 −7x−3 = ∞ (+∞, −∞) 4x3 +13x2 +2,5x−1,5 3x2 +3,25x−1

2.

lim1/4

3.

lim−2/3

5x+1 9x2 −4

=

39 19

= ∞ (−∞, +∞)

5.

lim−3

6.

lim0

x x+3

(x+1)3 x2

= ∞ (+∞, −∞) = +∞

70 Bij rationale functies is het ook mogelijk de onbepaaldheid ∞ ∞ te bekomen bij de berekening van een limiet in een reële waarde. Dit kan als het voorschrift niet als een zuiver quotiënt van twee veeltermen gegeven wordt. Je kan dit oplossen door het voorschrift te herleiden naar wél een quotiënt van twee veeltermen. Bijvoorbeeld toon door berekening aan dat

lim

x+3+ x+

2

6.2.6.3

x+1 x−2

x2

= 3/4

x−2

Limiet in oneindig

Om de limiet in ±∞ te zoeken, kunnen we hetzelfde trucje als bij veeltermen toepassen. We zetten in teller en noemer de hoogstegraadsterm voorop. an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 1 an xn (1 + aan−1 + · · · + an xan−1 + anax0 n ) nx = lim b1 ∞ b xm (1 + bm−1 + · · · + + bmbx0 m ) m bm x bm xm−1 an x n = lim ∞ bm x m

lim

Hierin zijn uiteraard an 6= 0 en bm 6= 0. De limiet in +∞ of in −∞ van een quoti¨ ent van twee veeltermfuncties is gelijk aan de corresponderende limiet van het quoti¨ ent van de hoogstegraadstermen van beide veeltermfuncties. Voor wat de grafiek van de rationale functie betreft onderscheiden we drie verschillende gevallen a. De rationale functie heeft een horizontale asymptoot n≤m In dit geval bezit de grafiek van de functie een horizontale asymptoot omdat de limiet in oneindig van de functie een reële waarde oplevert (zie definitie 5.7.2 op p. 159). lim f (x) = b ∈ R. ±∞


229

en de rechte y = b is de vergelijking van de horizontale asymptoot voor de grafiek van de functie. Voorbeelden: (i) De functie y =

−3x2 +5x−6 4x2 +7x

heeft een horizontale asymptoot want

−3x2 + 5x − 6 −3x2 −3 lim = lim . = 2 2 ∞ ∞ 4x + 7x 4x 4 De vergelijking van de horizontale asymptoot is y = − 34 . (ii) Als de graad van de teller strikt kleiner is dan de graad van de noemer dan is de x-as steeds de horizontale asymptoot. lim

∞ x2

De functie y =

7x−3 x2 +2x−1

7x 7 7x − 3 7 = lim 2 = = = 0. ∞ x + 2x − 1 x ∞

heeft y = 0 als horizontale asymptoot.

b. De rationale functie heeft een schuine asymptoot n=m+1 In dit geval levert het quotiënt van de euclidische deling van teller en noemer een eerstegraadsveelterm op. Voorbeeld: De rationale functie y = (EXPAND met DERIVE):

(x+1)3 x2

kan als volgt geschreven worden

1 1 (x + 1)3 = x + 3 + + x2 x x2 Als x nadert naar oneindig gaan de laatste twee termen naar nul naderen. (x + 1)3 1 1 lim = lim(x + 3 + + 2 ) = lim(x + 3). 2 ∞ ∞ ∞ x x x De grafiek van de functie nadert naar de grafiek van de eerstegraadsfunctie y = x+3. De verticale afstand tussen de grafiek van de functie en de rechte met vergelijking y = x + 3 nadert naar nul. We zeggen dat de rechte met vergelijking y = x + 3 de schuine asymptoot is voor de grafiek van de rationale functie. c. De rationale functie heeft geen horizontale of schuine asymptoten n>m+1 Voorbeeld: De grafiek van de functie y=

2x5 − x4 + 6x2 + 6x − 8 6 − x − x2 − 9x3

heeft geen horizontale of schuine asymptoten.


230

OPGAVEN — 71 Bereken de volgende limieten en bepaal de eventuele horizontale of schuine asymptoten voor de grafiek van de functie: 2 x5 −3x2 −7x+3 3 1. lim−∞ −5x 2. lim±∞ 3x 3. lim+∞ xx−3 3 +1 = −∞ 2 −3x = 0 2x2 −4x+1 = 2 4.

lim±∞

−2x2 +x+6 x−2

= ∓∞

5.

lim±∞

x 3−4x

= − 14

6.

lim±∞

(x+1)3 x2

= ±∞

TAAK ♣ 72 Bereken de volgende limieten en bepaal de eventuele horizontale of schuine asymptoten voor de grafiek van de functie: 3 2 2 +2,5x−1,5 5x+1 2. lim±∞ 4x +13x =∞ 3. lim±∞ 9x 1. lim±∞ 6x6x2+11x+49 2 −4 = 0 −7x−3 = 1 3x2 +3,25x−1

6.2.7

Afgeleide functie van een rationale functie

In deze paragraaf steunen we op de theoretische beschouwingen van hoofdstuk 5 Voorbeelden: Bij deze voorbeelden steunen we op de stelling 5.15 van p. 181 voor de afgeleide functie van een quoti¨ıent van twee functies . • D ax+b = cx+d

(cx+d).a−(ax+b).c (cx+d)2

=

ad−bc (cx+d)2

• D x1 = − x12 2 +bx+c

• D ax

x

=

x.(2ax+b)−(ax2 +bx+c) x2 2

2

−6x+8 −6x+8 = D x(x−1) D xx2 −2x+1 2

=

(x−1)2 (2x−6)−2(x−1)(x2 −6x+8) (x−1)4

=

(x−1)(2x−6)−2(x2 −6x+8) (x−1)3

=

2(2x−5) (x−1)3

•

6.2.7.1

Afgeleide van een gehele macht

De regel voor de afgeleide van een gehele macht van x is een bijzonder geval van de regel voor de afgeleide van een gehele macht van een functie (zie p. 182). ∀z ∈ Z : Dxz = Voorbeelden: • D x57 = D(5x−7 ) = −35x−8 = − x358 ;

dxz = zxz−1 . dx

6.2. RATIONALE FUNCTIES D 6x

4 −2x3 +12x2 −3x+9

3x10

•

=

231

D(2x−6 − 23 x−7 + 4x−8 − x−9 + 3x−10 )

= −12x−7 +

14 −8 x 3

= − x127 +

−

14 3x8

32 x9

− 32x−9 + 9x−10 − 30x−11

+

9 x10

−

30 x11

OPGAVEN — 73 Bereken de afgeleide functies van de volgende rationale functies: 1.

y=

1 1−3x2

6.

y=

3−x x

2.

y=

x+1 2x−1

7.

y=

2x+1 x+3

3.

y=

x x2 −1

8.

y=

x2 +1 x3 −1

4.

y=

x3 −3x+2 x2 −x+2

9.

y=

x3 +1 x3 +3x−2

5.

y=

(x−1)2 x2 +9x−9

10.

y=

(x+1)3 (x−1)2

TAAK ♣ 74 Bereken de afgeleide functies van de volgende rationale functies: 1.

y=

2x+1 4x2 +3x−1

3.

y=

x2 +9 x2 +12x+11

2.

y=

(2x−1)3 (x2 +3)4

4.

y=

(x2 +1)(x−2)4 (x+7)3

6.2.8

Verloop van een rationale functie

6.2.8.1

Extremumvraagstukken

• Hoe verandert de waarde van een positieve breuk als we eenzelfde reëel getal x optellen bij teller en noemer? Oplossing: Als y = ab met a, b ∈ R+ de breuk is en x de waarde die we in teller en noemer optellen dan moeten we het verloop van y = x+a nagaan. x+b y0 =

b−a (x + b)2

Voor het teken van y 0 onderscheiden we twee gevallen 1. Als b > a dan is de functie steeds stijgend. We tekenen de grafiek van de functie en daarop kunnen we de waarden van de breuk aflezen. De grafiek heeft twee asymptoten, nl. x = −b en y = 1. −b −a x 1 0 y + | + b−a + y + | − 0 + % % %

0 b−a b2 a b

+ + %

232

HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES Besluit: Van links naar rechts zien we dat de waarde van de functie groter is dan 1 (juist boven de horizontale asymptoot y = 1), stijgt naar +∞ naar mate de waarde x nadert naar −b, vervolgens maakt de waarde een sprong naar −∞ als x groter wordt dan −b. De waarde van de breuk is nu negatief, stijgt en wordt 0 voor −a, positief, om tenslotte te stijgen naar de waarde 1 voor groter wordende x-waarden. De waarden blijven kleiner dan 1, vermits y = 1 een horizontale asymptoot is.

Figuur 6.16: de functie y =

x+5 x+7

voor de breuk

5 7

2. Trek zelf de besluiten voor als b < a en teken hieronder de grafiek.


233

• Door een vast punt P (3, 4) trekken we een veranderlijke rechte, die de x-as en de y-as snijdt resp. in de punten A en B. Voor welke rechte is de oppervlakte van de driehoek OAB minimaal? Oplossing: Als onafhankelijk veranderlijke van de oppervlakte kiezen we de richtingscoëfficiënt ω van de veranderlijke rechte door P , nl. y − 4 = ω(x − 3). , 0) en B(0, 4 − 3ω). De punten A en B hebben coördinaat A( 3ω−4 ω De functie is de oppervlakte S van driehoek AB0. S=−

(3ω − 4)(3ω + 4) (3ω − 4)2 en haar afgeleide functie S 0 = − 2ω 2ω 2

De nulpunten van S 0 zijn ± 43 . 4 − 43 0 x 3 y0 − 0 + | + 0 − y + 24 + | − 0 − & % % &

Besluit: De oppervlakte is minimaal voor de rechte 4x + 3y − 24 = 0. Als de richtingscoëfficiënt van de rechte positief is dan wordt de oppervlakte negatief. Omdat de oppervlakte steeds een positieve grootheid is, moeten we voor ω > 0 de absolute waarden beschouwen. Het maximum voor 34 voor de functie is eigenlijk een minimum voor de oppervlakte. De minimale waarde is gelijk aan nul vermits voor die waarde van ω de rechte door de oorsprong gaat en de punten A en B samenvallen met O.

Figuur 6.17: de driehoek met minimale oppervlakte — de oppervlakte in functie van ω


234

• Vraagstuk van de filevorming. Een rij auto’s moet door een tunnel. Bij welke snelheid passeren er zoveel mogelijk auto’s per minuut? Men dient rekening te houden met de veiligheid en dus met de remafstand. Voor de remweg van auto’s is de minimale remafstand s recht evenredig met het kwadraat van de snelheid in m/s: s=

v2 . 8

Oplossing: We noemen a de gemiddelde lengte van een auto in m. De afstand tussen twee auto’s is s + a. . Het tijdsinterval in sec. tussen twee auto’s is t = s+a v De functie is het aantal auto’s per seconde dat voorbij snort: 1 v 8v dF 8a − v 2 ⇐⇒ F = = en haar afgeleide functie = 8 t s+a 8a + v 2 dv (8a + v 2 )2 √ Het aantal auto’s per seconde is maximaal als v = 2 2a m/s. In de praktijk √ neemt men 4 m voor de gemiddelde lengte a van een auto. Bij een snelheid van 4 2 m/s of 20,36 km/u passeert een maximaal aantal auto’s per tijdseenheid. Bij deze snelheid is de remafstand gelijk aan 4 m, di. de gemiddelde lengte van een auto. We tekenen de functie voor een snelheid uitgedrukt in km/u. Daartoe vervangen we v in het voorschrift v door 3,6 . F =

Figuur 6.18: file: de ideale snelheid in km/u – y =

720v 25v 2 +10368


235

• De brandstofkosten per uur van een schip zijn evenredig met de derde macht van zijn snelheid. Bij een snelheid van 10 km/u zijn de kosten 30 dollar/u. De andere kosten hangen niet af van de snelheid en bedragen 480 dollar/u. Wat moet de snelheid zijn om de totale kosten per km minimaal te maken? Wat bedragen in dit geval de totale kosten per uur? (toelatingsexamen Ir.) Oplossing: We noemen B de branstofkosten per uur: B = kv 3 . Bij een snelheid v =10 km/u is B/u = 30. Hieruit volgt dat k = 0, 03 B = 0, 03.v 3 . De totale kosten Tu per uur bedragen: Tu = 0, 03.v 3 + 480. De totale kosten T per km zijn gelijk aan de totale kosten Tu per uur gedeeld door de snelheid: 0, 03v 3 + 480 0, 06v 3 − 480 Tu 0 = en haar afgeleide functie T = . T = v v v2 De brandstofkosten per km worden minimaal voor een snelheid van 20 km/u. De totale kosten per km bedraagt 720 dollar.

Figuur 6.19: de brandstofkosten per km

236


OPGAVEN — 75 Het produkt van twee getallen is 16. Zoek deze getallen als a. hun som minimaal is; b. de som van het ene getal en het kwadraat uit het andere getal minimaal is.

76 Een rechthoekig stuk weiland met een bepaalde oppervlakte ligt langs een rivier. Als er geen omheining nodig is aan de kant van de rivier, toon dan aan dat er het minst omheining zal nodig zijn als de lengte van het veld tweemaal zijn breedte is.

77 Voor welk punt in het eerste kwadrant van de grafiek van de parabool met vergelijking y = 4 − x2 vormt de raaklijn in dat punt aan de grafiek met de coördinaatassen een driehoek OAB met minimale oppervlakte?

78 Hoe verloopt de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek beschreven om een rechthoek met L en B als afmetingen?

79 Hoe verloopt de inhoud van een in een sfeer, met straal R, ingeschreven rechte omwentelingskegel?

80 Welke zijn de afmetingen van de rechte omwentelingskegel met minimaal volume beschreven om een bol met een straal van acht cm.

81 Hoe verloopt de omtrek van een gelijkbenige driehoek beschreven om een gegeven cirkel?

82 Hoe verloopt de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium beschreven om een gegeven cirkel?

Oplossingen: 75 a. 4 en 4; b. 8 en 2. √ 76 de√ lengte gelijk aan maatgetal vd oppervlakte maal 2; 77 2 33 en 38 78 min. opp. vr. de driehoek met hoogte = 2 keer de breedte van de rechthoek; 79 max. inh. vr kegel met h = 43 R; √ √ 80 R = 8 2 en H = 32 81: min. voor een gelijkzijdige driehoek met zijde 3R; 82: min. voor een vierkant.

TAAK ♣ 83 Een cilindervormig blik met een cirkelvormige basis heeft een inhoud van 2 liter. Hoe moeten de afmetingen zijn van dat blik opdat het nodige metaal voor de vervaardiging van het blik minimaal zou zijn. Bereken dit in geval het blik open is en in geval het blik gesloten is.

Oplossing: open blik: Straal=hoogte; gesloten blik: hoogte= 2maal de straal.

6.2. RATIONALE FUNCTIES 6.2.8.2

237

Tekenen van de grafiek van een rationale functie

Om de grafiek van een rationale functie te tekenen, bepalen we eerst het domein vervolgens de eventuele asymptoten en de eventuele gaatjes in de grafiek. Door middel van de eerste en tweede afgeleide functies kunnen we het stijgen, dalen, extrema, kromming en buigpunten nagaan.

OPGAVEN — 84 Bepaal het domein, de eventuele asymptoten en het tekenverloop van volgende rationale functies: x 5. y = 1−4x 1. y = x−1 2 x+1 2.

y=

x3 +5x2 +x+5 x2 +12x+35

6.

y=

x+1 x(x2 +4)

3.

y=

5x+7 3x3 −18x2 +36x+24

7.

y=

x4 −8x3 +2x2 x3 +x2

4.

y=

x4 −6x3 +8x2 +6x−9 x2 −4x+3

85 Bepaal het verloop van de volgende functies en teken hun grafiek: x3 1. y = xx−1 4. y = 1+x 2 −3 2 2.

y=

x2 −8x+12 x2

5.

y=

(x+1)3 x2

3.

x2 y − 4y = 8

6.

y=

x2 +6x+8 x2 +6x+5

Oplossingen: 84 1. VA: x = −1 2. 3.

gaatje (−5, 13), VA: x = −7 √ VA: x = 2 − 2 3 2

5.

VA: x = ± 21

6.

VA: x = 0

7.

gaatje (0, 2), VA: x = −1

4. gaatjes: (1, −4) en (3, 0) 85 √ √ √ √ Domf = R \ {− 3, 3}, asymptoten: V.A.: x = − 3 en x = 3, H.A.: y = 0, 1. y = xx−1 2 −3 : y0 =

−x2 +2x−3 (x2 −3)2 ,

x y0 y 00 y

y 00 =

− − − & T

2(x3 −3x2 +9x−3) , (x2 −3)3

√ − 3 −∞| − ∞ | −∞| + ∞

− + + & S

0 −1/3 1/3

− + + & S

0, 375 −0, 29 0 0, 22

− − + & T

1 −1/2 0

√

3 − −∞| − ∞ − − | + − −∞| + ∞ + & & T S


238 2. y =

x2 −8x+12 x2

: Domf = R0 , asymptoten: V.A.: x = 0; H.A.: y = 1; y 0 = x y0 y 00 y

+ + + % S

0 +∞| − ∞ | +∞| + ∞

− + + & S

2 −1 0

− + − & S

3 0 −1/3

9/2 + 32/243 + 0 − −5/27 % S

8(x−3) x3 ,

6 + 1/9 − − 0 % T

y 00 =

8(9−2x) x4

+ − + % T

3. x2 y − 4y = 8 Domf = R \ {−2, 2}, asymptoten: V.A.: x = −2 en x = 2; H.A.: y = 0; y 0 = y 00 =

16(3x +4) (x2 −4)3

−2 + +∞| + ∞ + | + +∞| − ∞ % S

x y0 y 00 y

4. y =

x3 1+x2

(x+1)3 x2 6(x+1) x4 ,

5. y =

0 + 0 − − −2 % T

2 − −∞| − ∞ − | − −∞| + ∞ & T

− + + & S

: Domf = R, de functie is oneven, asymptoten: S.A.: y = x, y 0 = x y0 y 00 y

y 00 =

−16x (x2 −4)2 ,

2

+ + − % S

√ − 3 9/8 0 √ −3 3/4

+ − − % T

0 0 0 0

x2 (x2 +3) (1+x2 )2 ,

y 00 =

√

3 + 9/8 + √0 + 3 3/4 % S

+ − + % T

: Domf = R0 , V.A.: x = 0, S.A.: y = x + 3, snijpunt met S.A.: (− 13 , 83 ), y 0 =

x y0 y 00 y

+ − − % T

−1 0 0 0

+ + + % S

−1/3 28 8/3

Extremum: min.(2, 27 4 ); Buigpunt: (−1, 0) met de x-as als buigraaklijn.

+ + + % S

2x(3−x2 ) (1+x2 )3 ,

0 +∞| − ∞ | +∞| + ∞

− + + & S

2 0 27/4

+ + + % S

(x+1)2 (x−2) , x3

6.2. RATIONALE FUNCTIES 6.

y=

y 00 =

x2 +6x+8 x2 +6x+5

239

: Domf = R \ {−1, −5}, V.A.: x = −1 en x = −5; H.A.: y = 1; y 0 =

−6(x+3) (x2 +6x+5)2 ,

6(3x2 +18x+31) (x2 +6x+5)3

x y0 y 00 y

−5 + +∞| + ∞ + | + +∞| − ∞ % S

−4 + 2/3 − − 0 % T

−3 + 0 − | + 1/4 % T

−2 − −2/3 − + 0 & T

−1 0 − −∞| − ∞ − −18/25 − − + + − −∞| + ∞ + 8/5 + & & & T S S

Extremum: (−3, 14 ). Buigpunten: Geen

6.2.8.3

Rationale functies die aan bepaalde voorwaarden voldoen

OPGAVEN — 86 Voor welke waarden van p en p0 heeft y=

4x2 + px − 3 x2 + p0 x + 3

twee relatieve extreme waarden, de ene voor x = 0 en de andere voor x = verloop van de functie.

3 2?

Onderzoek daarna het

87 Voor welke waarde van p en q is 0 de relatieve maximale waarde en 4 de relatieve minimale waarde van de functie x2 + px + q 2 ? y= x Onderzoek het verloop van de functie, na aan p en q die waarden toegekend te hebben. 88 Bepaal a zo, dat y=

ax2 + 20x x2 + 2x − 3

een relatief maximum bereikt voor x = −2. Onderzoek het verloop van de functie na a door de gevonden waarde te hebben vervangen. 89 Hoeveel extreme waarden heeft de functie y=

x2 − x − c ? x2 + x − c

90 Hoe verandert de vorm van de krommen, die de volgende functies voorstellen, als de parameter a alle waarden aanneemt: 1 x 3. y = x2 −2ax+4 1. y = x2 −2x+a 2 x 2. y = x2 −2x+a 4. y = x2 + x2a−1 2


240 91 Gegeven de functie

fm : y =

x2 − (m − 1)x − 12 x2 + 2x − 3

Gevraagd:

(i) Bepaal m zodat de functie fm stijgend is;

(ii) Bepaal m zodat de functie fm een relatief maximum en een relatief minimum heeft;

(iii) Bepaal de co¨ ordinaat van het vaste punt P waar elke functie fm doorgaat;

(iv) Bepaal m zodat de raaklijn in P aan de grafiek van fm parallel is met de rechte y = 3x;

(v) Maak een volledig functieverloop voor m = 2.

92 Onderzoek het verloop van y = de vierkantsvergelijking

4x2 +4x−3 x2 −4x+3 .

Leid hieruit het aantal en het teken van de wortels af van

(m − 4)x2 − 4(m + 1)x + 3(m + 1)

Oplossingen: 86 p = 4 en p0 = −4. 87 p = 2 en q = ±1; 88 a = 7; 89 c ≥ 0: geen extr.; c < 0: 2 extr.; 2 +18x+3m+21 91 y 0 = (m+1)x , (i) m ≥ 2, (ii) −10 < m < 2, (iii) (0, 4), (iv) verloop van de homografische (x2 +2x−3)2 x−4 functie y = x−1 .


AN I HUISTAAK 9

241

1. Gegeven is f : y =

x . ax2 +bx+c

(a) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat de grafiek van f als asymptoten x = 2 en y = 0 zou hebben. Bepaal nu de waarden van a, b en c als f bovendien een relatieve minimale waarde −1/8 bereikt voor x = −2. (b) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat f geen rel. extrema zou hebben; (c) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat f slechts één relatief extreme waarde zou hebben. Wat is daarvan het gevolg voor het aantal verticale asymptoten? Voldoen a, b en c uit 1a aan deze voorwaarden. 2. Gegeven is de functies f : y =

3x2 +2 . x(x+4)

(a) Teken de grafiek van f met de computer; (b) Gebruik de grafiek van f om het beeld f (R) te bepalen. Maak daartoe de nodige berekeningen voor de exacte waarden; (c) Leid uit de grafiek van f af voor welke waarde(n) van a de vergelijking 3x2 + 2 = ax(x + 4) een oplossing heeft met multipliciteit 2? (d) Beantwoord dezelfde vraag als in 2c maar nu zonder dat je gebruik maakt van de grafiek van f (rechtstreeks berekenen uit de vergelijking). 3. Een poster 18 dm2 heeft bovenaan en onderaan een marge van 9 cm en links en rechts een marge van 6 cm. Welke zijn de afmetingen van de poster opdat het bedrukte gedeelte een maximale oppervlakte zou hebben. PROEFHERHALINGSTOETS 1. Onder welke voorwaarden is de relatieve maximale waarde van de functie 2 het tegengestelde van de relatieve minimale waarde? y = xx2+2ax+1 +2bx+1 2

+3x 2. Toon aan dat de buigpunten van de grafiek van de functie f : y = xx2 +x+3 collineair zijn. Teken de grafiek van f en duid de buigpunten aan en hun verbindingslijn.

3. Een muur van een gebouw moet ondersteund worden door een balk. Een parallelle muur van vijf meter hoogte staat op vier meter afstand van de muur van het gebouw. Welke is de lengte van de kleinste balk die de tweede muur moet overbruggen? (Oplossing: 12,7 m.)

242


Hoofdstuk 7 Algebra¨ısche functies 7.1 7.1.1

Irrationale functies Standaardirrationale functies

Standaardirrationale functies zijn van de gedaante: √ √ √ √ y= x y= 3x y= 4x y = |x| = x2

243

enz · · ·


244

Het domein van de standaardirrationale functies √ √ √ dom x = dom 4 x = R+ dom 3 x = dom|x| = R

7.1.2

Samenstelling met standaardirrationale functies

Domein van een irrationale functie √ Voorbeeld: Gegeven de functies f : y = (x − 1)2 en g : y = 1 + x. De samenstelling van de twee functies in de twee volgorden: p f : y = (x − 1)2 √ −→ g ◦ f : z = 1 + (x − 1)2 = 1 + |x − 1| g :z =1+ y Het domein van g ◦ f : y = 1 + |1 − x| is R omdat domf = R en g inwerkt op alle beelden y van f vermits f (R) = R+ . √ √ √ g :y =1+ x x − 1)2 = ( x)2 = x. 2 −→ f ◦ g : z = (1 + f : z = (y − 1) Het domein van f ◦ g : y = x is R+ omdat domg = R+ en verder f inwerkt op alle beelden y van g. OPGAVEN — 93 Gegeven f : y =

√

1 − x en g : y =

√

x − 1. Bepaal f ◦ g en het domein van f ◦ g.

94 Schrijf de volgende functies als de√samenstelling van twee √ of meerdere functies en bepaal het domein: (iii) y = 1 − x2 (v) y = x + 1 (i) y = √ 1 2 (x+1) q √ x−1 2 (ii) y = x |x − 1| + 1 (iv) y = x−1 (vi) y = √ x+4 x TAAK ♣ 95 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies en bepaal het domein: p√ √ y = (1 − 2x − 1)2 en y = 3 x − 1. Oplossingen: 94 f : y = (x + 1)2 f : y = |x + 1| (i) of g : z = √1 1 g:z= y y f : y = x2 (x − 1) (ii) g : z = |y| + 1

(iii) (iv)

f g f g

: y = 1 − x2 √ :z= y : y = x−1 x+1 √ :z= y

(v) (vi)

√ f :y= x g :z =y+1 geen

Grafieken van enkele eenvoudige samengestelde functies Om de grafiek te tekenen van een samengestelde functie met een standaardirrationale functie, bepalen we eerst enkele speciale punten en vervolgens maken we een tabel.

7.1. IRRATIONALE FUNCTIES

245

Voorbeelden: √ • De irrationale functie y = 4 − x2 is de samenstelling √ van de tweedegraadsfunctie 2 y = 4 − x en de standaardirrationale functie √ y = x. Enkele bijzondere x-waarden voor y = x zijn 1, 4, 9, 16 enz. We schetsen de parabool y = 4 − x2 en kijken naar het beeld. Het beeld is ] − ∞, 4]. Speciale waarden die in aanmerking komen zijn 1 en 4. √ 4 − x2 = 1 ⇐⇒ x = ± 3 en 4 − x2 = 4 ⇐⇒ x = 0. √ √ −2 − 3 0 3 2 x 2 y=√ 4−x − 0 + 1 + 4 + 1 + 0 − 2 y = 4 − x ||| 0 + 1 + 2 + 1 + 0 ||| √ We zien dat het domein van de functie y = 4 − x2 het gesloten interval [−2, 2] is. √ De grafiek van y = 4 − x2 is eigenlijk de bovenste helft van een cirkel. y=

√

y≥0

4 − x2 =⇒ y 2 = 4 − x2 ⇐⇒ x2 + y 2 = 4.

Dit is inderdaad de vergelijking van een cirkel met straal 2 en met middelpunt O.

Figuur 7.1: y = 4 − x2 en y =

√ 4 − x2


246

√ • De irrationale functie y = 9 − 4x2 . We schetsen de parabool y = 9 − 4x2 en kijken naar het beeld. Het beeld is ] − ∞, 9]. Speciale waarden die in aanmerking komen zijn 1, 4 en 9. p √ 9 − 4x2 = 1 ⇐⇒ x = ± 2 9 − 4x2 = 4 ⇐⇒ x = ± 5/4 9 − 4x2 = 9 ⇐⇒ x = 0 p p √ √ −3/2 − 2 − 5/4 0 5/4 2 3/2 x 2 y=√ 9 − 4x − 0 + 1 + 4 + 9 + 4 + 1 + 0 − y = 9 − 4x2 ||| 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 0 ||| We zien dat het domein √ van de functie het gesloten interval [−3/2, 3/2] is. De grafiek van y = 9 − 4x2 is de bovenste helft van een ellips. y=

√ 4x2 y 2 y≥0 + = 1. 9 − 4x2 =⇒ y 2 = 9 − 4x2 ⇐⇒ 9 9

We verkrijgen inderdaad de vergelijking van een ellips met halve grote as 3 (langs de y-as) en halve kleine as 3/2 (langs de x-as).

Figuur 7.2: y = 9 − 4x2 en y =

√ 9 − 4x2


247

√ • De irrationale functie y = x2 + 16. We schetsen de parabool y = x2 +16 en kijken naar het beeld. Het beeld is [16, +∞[. Enkele speciale waarden zijn 16, 25 en 36. √ x2 + 16 = 25 ⇐⇒ x = ±3 x2 + 16 = 36 ⇐⇒ x = ±2 5 x2 + 16 = 16 ⇔ x = 0 √ √ −2 5 −3 0 3 2 5 x 2 y=x + 36 + 25 + 16 + 25 + 36 + √ + 16 2 y = 9 − 4x + 6 + 5 + 4 + 5 + 6 + We zien dat het domein √ van de functie R is. De grafiek van y = x2 + 16 is één van de twee takken van een hyperbool. y=

√ y≥0 x2 + 16 =⇒ y 2 − x2 = 16

We verkrijgen de vergelijking van een zogenaamde hyperbool met hoofdas de y-as en nevenas de x-as (hoofdas is de as die snijpunten heeft met de hyperbool).

Figuur 7.3: y = x2 + 16 en y =

√ x2 + 16

248


√ • De irrationale functie y = x2 − 16. We schetsen de parabool y = x2 − 16 en kijken naar het beeld. Het beeld is [−16, +∞[. We kiezen de speciale waarden 0, 4, 9, 16. √ x2 − 16 = 9 ⇐⇒ x = ±5 x2 − 16 = 16 ⇐⇒ x √ = ±4 2 x2 − 16 = 4 ⇐⇒ ±2 5 x2 − 16 = 0 ⇔ x = ±4

√ √ √ √ x −4 2 −5 −2 5 −4 4 2 5 5 4 2 2 y=x + 16 + 9 + 4 + 0 − 0 + 4 + 9 + 16 + √ − 16 y = x2 − 16 + 4 + 3 + 2 + 0 || 0 + 2 + 3 + 4 + We zien dat het domein van de functie de unie is van twee intervallen ] − ∞, −4] ∪ [4, +∞[. √ De grafiek van y = x2 − 16 is de unie van de helften van twee takken van een hyperbool. √ y≥0 y = x2 − 16 =⇒ x2 − y 2 = 16 We verkrijgen de vergelijking van een hyperbool met hoofdas de x-as en nevenas de y-as.

Figuur 7.4: y = x2 − 16 en y =

√ x2 − 16


249

Deze functies zijn voorbeelden van veelvoorkomende eenvoudige algemene irrationale functies, nl. y=

√

b 2 − a2 x 2 y=

√ dom b2 − a2 x2 = [− ab , ab ]

√

y=

√ a2 x 2 − b 2

a2 x 2 + b 2

√ dom a2 x2 + b2 = R

√ dom a2 x2 − b2 =] − ∞, − ab ] ∪ [ ab , +∞[

OPGAVEN — 96 Bepaal het domein van de volgende irrationale functies: √ x 1. y = 1 − x2 6. y = 1+|x| q √ x x−1 √ 2. y = 7x+3 7. y = x+1 x+2x √ √ 2 −9 3. y = x2 + 2x − 3 8. y = √xx−1 √ p 4. y = √x−1 9. y = x2 + 2|x| − 3 x+1 5.

y=

x2 +|x−1| |x2 +x|−1

10.

y=

√

2x + 1 −

√

8−x

97 Bepaal het domein en het tekenverloop van de volgende functies: √ √ 1. y = 1 − −x2 − 4x − 3 5. y = 3 x3√− 3x + 2 2. y = 2x + |x2 − 3| 6. y = x + x2 − 1 √ √ x(−x2 +x−5) 3 x2 −9) √ 7. y = 3. y = x + 1 − x2 3+8x−3x2 √

4.

y=

2x−1+x−8 √ 9−x−2

8.

98 * Splits de volgende wortelvormen p 1. 4(1 − x) 2x(1 − x) q −2 2. (x2 +1)(2x−1) 3.

q √ 5a2 3b(2x − a)(x − b)

met

y=

q

3x3 +12x2 +12x x2 −4

√ 4. 5.

(x−4)(x−2) √ −x2 +2x+3

p

−x(x − a)

a > 2b

TAAK ♣ 99 Bepaal het domein van de volgende irrationale functies: √ x−1 1. y = x2 + x + 1 6. y = √x3 −x 2 −x+1 q x+1 1 2. y = x2 −3x+2 7. y = √1−x 2 −x q √ 2 3. y = 1−x 8. y = √3−x 2−x 3+x q x 4. y = 3−x 9. y = √ 3 2 3+x x −4 √ √ 5. y = 4 x2 − 5x + 6 10. y = 6 x4 − 13x2 + 36


250 Oplossingen:

√

1+ 5 96 1. [−1, 1]; 2. R+ 0 ; 3. ] − ∞, −3] ∪ [1, +∞[; 4. [1, +∞[; 5. R \ {−φ, 1/φ} met φ = 2 , het gulden getal; 6. R; 7. [−1, 1[∪]2, +∞[; 8. [−1, 1]∪]2, +∞[; 9. ] − 3, 3]; 10. ] − ∞, 2] ∪ [3, +∞[; 11. R; 13. [3, +∞[; 14. ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[; 15. [− 21 , 8]; 16. ] − 1, +∞[\{1}; 17. ] − φ, φ1 [; 18. ] − 3, −3]; 19. R \ {−2, 2}; 20. ] − ∞, −3] ∪ [−2, 2] ∪ [3, +∞[.

x −3 −2 y ||| 1 + 0 x −3 −1 R en ; y + 0 − 0 + √ x −1 − 2/2 [−1, 1] en y ||| −1 − 0 x 1/2 5 [1/2, 9] \ {5} en y |||| | − | −2 1 x ; R en y − 0 + 0 + −1 x ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ en y − −1 −2 x ] − 2, 0[∪]2, +∞[ en y |||| | +

97 1. [−3, −1] en 2. 3. 4. 5. 6. 8.

+

−1 1

|||

;

1 ; 1 ||| 9 ; − ||||

+

1 x . 7. ] − 1/3, 3[ en ||| 1 + y 0 2 ; 0 |||| +

√ √ √ √ 2 98 1. 4(1 − x) 2 x 1 − x; 2. √x2 +1√ ; √ √ √ √ √ 1−2x 4 3. b > 0, x < b ⇒ √ 5a √ √3 √b a − 2x √ b − x, b > 0, x > a2 ⇒ 5a 4 3 b 2x − a x − b √ √ √ √ √ en b√ < 0√⇒ 5|a| 4 3 −b a − 2x x − b √ √ √ √ √2−x ; 5. a > 0 ⇒ 4. √4−x x a − x en a < 0 ⇒ −x x − a. x+1 3−x 99 1. R 6. ] − 1, +∞ \ {1} √

2. 3. 4. 5.

[−1, 1]∪]2, +∞[ [−1, 1]∪]2, +∞[ ] − 3, 3] ] − ∞, 2] ∪ [3, +∞[

7.1.3

7. 8. 9. 10.

||||

−1/3 |

0 3 − 0 + ||||

;

√ x x2 +1

en

√

] − 21 − 25 , − 21 + 25 [ ] − 3, 3] R \ {2, −2} ] − ∞, −3] ∪ [−2, 2] ∪ [3, +∞[

Even en oneven functies

Ga na of de volgende functies even of oneven zijn: y = x3 , y = x|x|, y = y = |x − 1| + |x + 1|.


251

Figuur 7.5: y = x|x| en y = |x − 1| + |x + 1|

7.1.4

Inverse functie van een irrationale functie

• De restrictie van y =

√ x tot zijn domein R+ en het beeld R+ is een bijectie. R+ −→ R+ , x 7→

√ x

De inverse relatie van deze restrictie is eveneens een bijectie: R+ −→ R+ , x 7→ x2 . De grafiek is de rechterhelft van de parabool y = x2 . √ • De restrictie van y = − x tot zijn domein R+ en het beeld R− is een bijectie. √ R+ −→ R− , x 7→ − x De inverse relatie van deze restrictie is eveneens een bijectie: R− −→ R+ , x 7→ x2 . De grafiek is de linkerhelft van de parabool y = x2 .


252

√ Figuur 7.6: y = x2 en y = ± x Opmerking: We moeten even opletten als we in een vergelijking beide leden kwadrateren. √ y = x =⇒ y 2 = x Anderzijds geldt

√ y 2 = x ⇐⇒ y = ± x

Bij de eerste uitspraak is het duidelijk dat de pijl niet terugkeert. Willen we een gelijkwaardigheid dan moeten we de bestaansvoorwaarden bijschrijven. √

y≥0

x ⇐⇒ y 2 = x √ y≤0 y = − x ⇐⇒ y 2 = x y=


7.1.5

253

De afgeleide functie van een irrationale functie

In tegenstelling met de rationale functies die afleidbaar zijn in alle punten van hun domein kan het bij een irrationale functie voorkomen dat ze in sommige punten van het domein niet afleidbaar is. We illustreren met twee voorbeelden. Voorbeelden: • De functie y = |x| bestaat in 0 maar is niet afleidbaar in 0. De linkerafgeleide in 0: lim − 0

−x |x| − |0| = lim = −1 0− x x−0

|x| − |0| x = lim =1 0 0+ x x−0 Linker- en rechterafgeleide bestaan maar zijn verschillend van elkaar. De functie y = |x| is dus niet afleidbaar in 0 (zie hoofdstuk 5 op p. 154. √ • De functie y = x is niet afleidbaar in 0. Het punt 0 is een rechterophopingspunt van het domein van de functie maar geen linkerophopingspunt. De afgeleide in 0 is de rechterafgeleide in 0, de linkerafgeleide is zinledig. √ √ √ √ √ x− 0 x− 0 x = lim = lim = ∞. lim 0 0+ 0+ x x−0 x−0 lim +

7.1.5.1

Afgeleide functie van y =

√ n

x

√ De afgeleide functie van y = n x kunnen we bepalen uit de afgeleide van de inverse functie y = xn . We steunen op stelling 5.16 op p. 182) en de regel voor de afgeleide van de inverse functie (zie stelling 5.17 op p. 184. √ n De functie y = x is de inverse functie van de restrictie tot R+ van de functie x=

√ n

y ⇐⇒ y = xn met x ≥ 0. √ dnx 1 = n dy dx dy

√ 1 1 Dnx= = Dy n ny n−1 √ waarin we y moeten vervangen door n x.


254 √ Dnx=

1 1 −1 1 1 1 1−n n √ x = xn = = n−1 n n n n( x)n−1 nx n

Besluit: We kunnen de regel voor het afleiden van een n-de machtswortel als volgt schrijven 1

∀n ∈ N0 : Dx n =

1 1 −1 xn . n

Bijzonder geval: √ 1 D x= √ . 2 x 7.1.5.2

De afgeleide van een rationale macht

STELLING 7.1 ∀q ∈ Q : Dxq = qxq−1 en ∀q ∈ Q : D(f (x))q = q(f (x))q−1 Df (x) Bewijs: vermits q een rationaal getal is, kunnen we q schrijven als het quotiënt van een geheel getal en een natuurlijk getal. z q= . n 1

z

1

1

Dx n = D(x n )z = z(x n )z−1 .Dx n = zx

z−1 n

1 1 n x −1 n

=

1 1 z z n x − n + n −1 n

=

z z n x −1 . n

afg. vd. samenst. en afg. ve. geh. macht afg. vd. macht

∀q ∈ Q : Dxq =

1 n

dxq = qxq−1 . dx

Volgens de regel van de afgeleide van de samenstelling van twee functies geldt: ∀q ∈ Q : D(f (x))q = q(f (x))q−1 Df (x)


255

OPGAVEN — 100 Bereken de afgeleide functies van de volgende irrationale functies: √ √ 9. y = 3x2 √ − 5x + 7 1. y = √2 − x 3 2. y = √ 5x2 − 4x √ +1 10. y = 3x − 3 x2√− 9 3. y = √ 1 + x2 + 1 − x2 11. y = 2x − 1 −√ x2 + x + 1 2 4. y = x 2x + 1 √ 12. y = (2x − 3)√ 1 − x2 2 2 5. y = (x + x + 1) 1 − x 13. y = (x − 1)2 x2 +p 2x − 1 p 3 2 14. y = p (5x2 − 6x + 9) 3 (x2 + 1)2 6. y = (2x − 3) p(x + 1) 7. y = (3x − 4) 4 (2x2 + 1)3 15. y = |x| 8. y = |x3 − 3x + 2| 16. y = |x − 1| + |x2 − 1| 101 Bereken de afgeleide functies van de volgende functies: √

x+7 x

1.

y=

2. 3.

y=√ x 23 (1+x ) q y = 1−x 1+x

4.

y=

3+2x √ 3 1+x

y=

√ (x3 +4) 2−x2 3

5*.

6.

y=

√ x 4−x2

7*.

y=

√ (1+2x2 ) x2 −1 3x2

8. 9*. 10*.

Oplossingen: 100 1. y 0 = 2√−1 2−x

y=x

q

x 3−x 2

) √ y = x(3+2x 2 3 3

y=

(1+x ) √ (3−4x) 3+2x √ x x

9.

y0 =

√ 6x−5 2 3x2 −5x+7 9

√ 3 (x2 −9)2 −2x √ 3 2 2

2.

2(5x−2) y0 = √ 3 2

10.

y0 =

3.

y0 =

11.

y0 =

4.

y0 =

2 √4x +1 2x2 +1

12.

y0 =

2 −4x √ +3x+2 1−x2

5.

y0 =

−3x3√ −2x2 +x+1 1−x2

13.

y0 =

(x−1)(3x2 +4x−3) √ x2 +2x−1

6.

10x y0 = √ 3

14.

y0 =

2 50x3 −42x √ +66x−18 3 3 (x2 +1)

7.

√ y 0 = 3(5x 4

15.

y0 =

x √ 2|x| |x|

8.

y 0 = 3 (x

16.

y0 =

x−1 |x−1|

(5x −4x+1)2 √ √ x( 1−x2 − 1+x2 ) √ 1−x4 3

3

(x+1) 2

−4x+1)

(2x2 +1)

3

−3x+2)(x2 −1) |x3 −3x+2|

3 (x −9) √ 4 x2 +x+1−(2x+1) √ 2 x2 +x+1

+

2x(x2 −1) |x2 −1|

101 1.

y0 =

2.

−(x+14) √ 2x2 x+7

6.

y0 = √

y 0 = √1−2x2

7.

y0 =

2x4 √ −x2 +2 3x3 x2 −1

3.

y0 =

8.

y0 =

(9−2x) x(3−x) 2(3−x)2

4.

3+4x y0 = √ 3

9.

y0 = √

5.

y0 =

2

(1+x )5 √ 1−x2 (1+x)2 (x−1) 3

(1+x)4

−4x4√+6x2 −4x 3 2−x2

4 (4−x2 )3

√

10.

y0 =

1 (1+x2 )5

2x2

√−27

x(3+2x)


256

TAAK ♣ 102 Bereken de afgeleide functies van de volgende irrationale functies: p p 3. y = (3x − 2) (1 + 2x)3 1. y = 3 (2 + x)2 √ 3 3 3 3 x +1 2. y = √ x 2 3 4*. y = (x−1) (x+1)2 (1−x )

2

2 Oplossingen: 102 1. y 0 = √ 2. y 0 = √ 3x 2 5 3 3 (2+x) (1−x ) p (x−1)2 (2x3 +3x2 −4x+5) 0 0 √ 3. y = 3(5x − 1) (1 + 2x) 4. y = 2 3 3 2 (x+1)

7.1.6

(x +1)

Limieten en continu¨ıteit van irrationale functies

Het domein van een rationale functie is R waarvan we eventueel een eindig aantal punten moeten uitsluiten. Deze punten zijn rechter- en linkerophopingspunten en −∞ is rechterophopingspunt en +∞ is linkerophopingspunt van het domein. In alle punten van het domein van een rationale functie is de limiet zinvol. We zullen zien dat het domein van een irrationale functie veelal een unie is van intervallen, zodat er in het domein ophopingspunten kunnen voorkomen die enkel rechterophopingspunt of linkerophopingspunt zijn. De elementen +∞ en −∞ zijn niet noodzaklijk ophopingspunten van het domein. Het domein kan ook ge¨ısoleerde punten bevatten. Er zullen dus punten zijn waarvoor de limiet van een irrationale functie zinledig is. 7.1.6.1

Limiet en continu¨ıteit in een punt van het domein

In het voorschrift van een irrationale functie komen wortels uit rationale functies voor. Volgens stelling 4.17 op p. 144 is elke rationale macht van een coninue functie weer een continue functie op voorwaarde dat het punt tot het domein van de functie behoort. Besluit: Een irrationale functie is continu in elk punt van haar domein Bijgevolg is de limiet in een punt van het domein gelijk aan de functiewaarde in dat punt. Voor het bepalen van limieten van irrationale functies in plakpunten van het domein, gaan we gebruik maken van de rekenregels met rationale exponenten (zie stelling 4.16 op p. 143). 7.1.6.2

Limiet in een re¨ eel plakpunt van het domein

Is het reëel punt a een plakpunt van het domein van de functie en is a een nulpunt van de teller en van de noemer dan verkrijgen we na toepassen van de eigenschap van de limiet van een quotiënt van twee functies de onbepaaldheid 00 . Om zo een limiet te berekenen gebruiken we de regel van de l’Hôpital.


257

Enkele voorbeelden: √

1. y =

x+2−x . 2−x

Het domein van de functie is [−2, +∞[\{2}. √ lim 2

x+2−x 0 = = lim 2 2−x 0

√1 2 x+2

−1

−1

3 = . 4

Deze limiet is zowel een linker- als een rechterlimiet. De grafiek heeft een gaatje in (2, 43 ). 2. y =

x−1 √ . 3 2x+6−2

Het domein van de functie is R \ {1}. lim √ 3 1

x−1 1 0 = = lim 2 1 √ 0 2x + 6 − 2 3 3

= 6.

(2x+6)2

Deze limiet is zowel een linker- als een rechterlimiet. De grafiek heeft een gaatje in (1, 6). 3. * y =

√x−1 . x3 −x

Het domein van de functie is ] − 1, 0[∪]1, +∞[. 0 x−1 √ = lim = lim 1 1+ 0 x3 − x

1 2 3x √ −1 2 x3 −x

√ 2 x3 − x 0 = lim = = 0. 1 3x2 − 1 2

De grafiek bestaat uit twee takken die niet samenhangend zijn. Omdat 1 geen linkerophopingspunt is van het domein en bijgevolg de linkerlimiet zinledig is, heeft de grafiek geen gaatje in (1, 0). x−1 x−1 √ = 00 4. * y = √x3 −x 2 −x+1 . Het domein van de functie is ] − 1, +∞[. lim1 x3 −x2 −x+1 Hier krijgen we de onbepaaldheid niet weg door herhaaldelijk de regel van de l’Hospital toe te passen. We proberen de factor x − 1 die de onbepaaldheid veroorzaakt weg te delen. We ontbinden de noemer in factoren.

lim √ 1

x−1 x−1 = lim p 1 x3 − x2 − x + 1 (x − 1)2 (x + 1) x−1 √ = lim 1 | x−1 | x+1

Nu moeten we onderscheid maken tussen de linker- en de rechterlimiet in x. lim + 1

x−1 1 1 √ √ √ = lim = 1+ |x−1| x+1 x+1 2


258 en lim − 1

x−1 −1 1 √ √ √ = lim = − 1− |x−1| x+1 x+1 2

De limiet in 1 van de functie bestaat niet vermits de linkerlimiet in 1 verschillend is van de rechterlimiet in 1 (zie hoofdstuk 4 op p. 138). De grafiek van de functie vertoont een verticale sprong in 1. √

√

√

2

2

√

x−1 x−1 √ √ . Het domein van de functie is ]1, +∞[. lim1+ √xx3 −1− = 00 5. * y = √xx3 −1− −1− x−1 −1− x−1 Deze limiet is weer een voorbeeld waar de regel van de l’Hospital faalt. We moeten de factor die de onbepaaldheid veroorzaakt wegdelen. p √ √ √ (x − 1)(x + 1) − x − 1 x2 − 1 − x − 1 √ p = lim lim √ √ 1+ 1+ x3 − 1 − x − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) − x − 1 p p √ (x − 1) (x + 1) − x − 1 p p = lim √ 1+ (x − 1) (x2 + x + 1) − x − 1 √ x+1−1 √ = lim 1+ x2 + x + 1 − 1 √ 2−1 = √ 3−1

Vermits de linkerlimiet van de functie zinledig is, heeft de grafiek geen gaatje in √ 2−1 √ (1, 3−1 ). OPGAVEN — 103 Ga de volgende limieten na door berekening zonder computer, controleer achteraf grafisch: 1.

lim1

2.

lim1

√ 3 √

x+7−2 x−1

=

1 12

3.

x+3−2 x−1

=

1 4

4.

√ x+1 =6 x+10−3 √ √ √ 2−x lim0 2+x− = 22 x

lim−1

TAAK ♣ 104 Ga de volgende limieten na: √ √ √ x− 2 4 √ 1. lim2 √ 2 3. 4 x− 4 2 = 2 √

2.

lim2

√ x+2− 2x √ x−2

=0

lima

x

√ 3

x−a x−a

√ 3

a

=

4√ 3 3 a

7.1. IRRATIONALE FUNCTIES 7.1.6.3

259

Limiet in oneindig

Voor de limieten in oneindig onderscheiden we de gevallen waarin we steunen op de rekenregel van limiet van een samenstelling (zie stelling 4.18 op p. 144) en de limieten waarbij we de onbepaaldheid +∞ − ∞ verkrijgen. De limiet in +∞ of −∞ is enkel zinvol als deze elementen plakpunten zijn van het domein. Bij een functie waar in het voorschrift een evenmachtswortels optreedt, moeten we van de functies onder het wortelteken enkel het teken kennen in +∞ en −∞. Is dit teken positief dan is de limiet zinvol, is het negatief dan is de limiet zinledig.

1. Het voorschrift is een wortel uit een rationale functie of kan ertoe herleid worden p p √ √ • lim+∞ −6x3 + 5x − 3 = plim+∞ (−6x3 + 5x − 3) = plim+∞ (−6x3 = −∞ dit is zinledig √ √ lim−∞ −6x3 + 5x − 3 = lim−∞ (−6x3 + 5x − 3) = lim−∞ (−6x3 ) = +∞ = +∞. q q q p √ 3 2x3 2x3 = lim+∞ (2x) = +∞ = +∞. • lim+∞ x2 +1 = lim+∞ x2 +1 = lim+∞ 2x 2 x q q q p √ 3 2x3 2x3 lim−∞ x2 +1 = lim−∞ x2 +1 = lim−∞ 2x = lim−∞ (2x) = −∞ dit is zinledig. 2 x q q q x3 x3 x 3 3 3 −1 = lim lim • lim∞ √ = = = − 12 . 3 ∞ ∞ 1−8x3 1−8x3 8 1−8x3 De grafiek van de functie heeft een horizontale asympytoot y = − 12 . q q q √ p x2 −1 x2 −1 x2 −1 x2 lim lim lim+∞ 1 = = = = • (i) lim+∞ x = lim+∞ +∞ +∞ 2 2 2 x x x 1 q q √ 2 x2 −1 x2 −1 (ii) lim−∞ x = lim−∞ − lim−∞ x x−1 = −1 = − 2 x2 De grafiek van de functie heeft twee horizontale asymptoten nl. y = 1 aan de rechterkant en y = −1 aan de linkerkant. • (i) √ √ 2x2 + 1 + x2 − x lim +∞ x−1

√

= x>1

=

=

! √ 2x2 + 1 x2 − x lim + +∞ x−1 x−1 s s 2x2 + 1 x2 − x lim + lim +∞ (x − 1)2 +∞ (x − 1)2 √ 2+1


260 (ii)

√ √ 2x2 + 1 + x2 − x lim −∞ x−1

= x<1

= =

! √ √ 2x2 + 1 x2 − x lim + −∞ x−1 x−1 s s ! ! 2 2x + 1 x2 − x lim − + lim − −∞ −∞ (x − 1)2 (x − 1)2 √ − 2−1

De grafiek van de functie heeft √ twee horizontale asymptoten nl. y = aan de rechterkant en y = − 2 − 1 aan de linkerkant.

√

2+1

OPGAVEN — 105 Ga met een berekening de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenis voor de grafiek van de functie: √ 1. lim−∞ √3 − x = +∞ ; (de limiet in +∞ is zinledig) 2. lim+∞ √5x − 67 = +∞ (de limiet in −∞ is zinledig) 3. lim±∞ √x2 − 5x + 6 = +∞ 4. lim±∞ √−6x2 + 7x + 5 is zinledig 5. lim−∞ (√ x2 − 1 − x) = +∞ √ 6. lim+∞ 3 x3 − 3x + 2 = +∞ en lim−∞ 3 x3 − 3x + 2 = −∞ 106 Ga de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenis voor de grafiek van de functie: q 2 1. lim+∞ (x−1) x+3 = +∞ (de limiet in −∞ is zinledig)

4. 5.

lim−∞

3.

∗

3

lim±∞ | x2x+1 | = +∞ q 2 lim−3 (x−1) x+3 = +∞ q lim−∞ x22x +1 is zinledig

2.

√ 3 √ −x 1−x

=0

TAAK ♣ 107 Ga met een berekening de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenis voor de grafiek van de functie: √

1.

lim+∞

4x2 −2x+1 x+3

√

=2

4.

lim−∞

=1

5.

lim−∞

=0

6.

√

2. 3.

x2 +1 x √ 2 +3 lim−∞ 2xx2 −1

lim+∞

4x2 −2x+1 x+3

x √ 3 1−8x3 √ lim+∞ xx = 0

= −2

= − 12


261

2. De onbepaaldheid +∞ − ∞ Bij de onbepaaldheid +∞ − ∞ voor irrationale functies vermenigvuldigen over het algemeen teller en noemer met de toegevoegde term om zodoende de onbepaldheid weg te werken. Voorbeelden: (a) lim(x − +∞

√

x2 − 1) = +∞ − ∞ x2 − (x2 − 1) √ +∞ x + x2 − 1 1 √ = lim +∞ x + x2 − 1 1 = +∞ = 0 = lim

De grafiek van de functie heeft de x-as als horizontale asymptoot aan de kant van +∞. √ lim(x − x2 − 1) = −∞ − ∞ = −∞ −∞

De grafiek heeft geen horizontale asymptoot aan de kant van −∞. √ (b) * lim+∞ ( 9x2 − 5x + 7 − 5x) berekenen we als volgt. We vervangen het voorschrift van de functie door een product. Daartoe zetten we in beide termen de hoogstegraadsterm voorop. √ lim( 9x2 − 5x + 7 − 5x) +∞

x>0

=

= =

r

5 7 lim(3x 1 − + 2 − 5x) +∞ 9x 9x ! r 5 7 lim x 3 1 − + −5 +∞ 9x 9x2 +∞(3 − 5) = −∞

√ lim( 9x2 − 5x + 7 − 5x) = +∞ + ∞ = +∞. −∞

De grafiek van de functie heeft geen horizontale asymptoten.


262 (c) *

√ lim(x + 2 − x2 + x − 5) = +∞ − ∞ +∞ 2 x − (x2 + x − 5) √ = lim +2 +∞ x + x2 + x − 5 −x + 5 √ = lim( + 2) +∞ x + x2 + x − 5 ! 1 √ +2 = lim x x2 +x−5 +∞ + 5−x 5−x   1 x>5 q = lim  + 2 +∞ x x2 +x−5 − 5−x (5−x)2 =

(d) *

1 3 1 +2=− +2= −1 − 1 2 2

√ 3 lim( x3 + x2 − x) = +∞ − ∞ ±∞

(x3 + x2 ) − x3 √ = lim p ±∞ 3 (x3 + x2 )2 + x 3 x3 + x2 + x2 x2 p √ = lim 3 ±∞ (x3 + x2 )2 + x 3 x3 + x2 + x2 1 1 1 = lim q = = q 3 2 2 ±∞ 3 (x +x ) 3 2 1+1+1 3 + 3 x x+x +1 3 x6 Belangrijke opmerking: Bij het jongleren met functies om de limiet te berekenen in +∞ of −∞, moet je steeds nauwgezet de rekenregels toepassen. Vervang NOOIT zomaar een veelterm door zijn hoogste graadsterm in een algebra¨ısche functie. √ √ Bijvoorbeeld: lim+∞ ( x2 − x − x) 6= lim+∞ ( x2 − x) = 0. DIT IS FOUT. Deze limiet moet zoals we geleerd hebben als volgt berekend worden: √ lim( x2 − x − x) = +∞ − ∞ +∞

= x>0

= =

−x +∞ x2 − x + x −1 lim q +∞ 1 − x1 + 1 lim √

1 − . 2


263

OPGAVEN — √ 108 Ga door√een berekening de volgende limieten na en controleer grafisch: 1*. lim−∞ ( 3 1 +√2x − x2 + 3 1 − x) = −∞ 2*. lim+∞ (3x − x2 − x + 1) = +∞ 109 Ga door een berekening de volgende limieten na en geef de vergelijkingen van de eventuele horizontale asymptoten: √ 1. lim−∞ (x − 1 − x2 ) bestaat niet √ 2*. lim+∞ ( 18x2 + 5x − 1 − x2 ) = −∞ √ 3*. lim+∞ ( x4 − 4x3 + 6x2 − 1 − x2 ) = −∞ √ √ 4∗. lim+∞ ( x2 + 1 − 3 x3 − 1) = 0 √ √ √ 5∗. lim+∞ (2 x2 + 2x − 3 x3 + 3x2 − 4 x4 + 4x3 ) = 0 √ √ √ 6∗. lim−∞ (2 x2 + 2x − 3 x3 + 3x2 − 4 x4 + 4x3 ) = +∞ 110 *Bereken en bespreek p lim( x2 + x + 1 − ax),

+∞

a ∈ R.

Oplossing: a > 0 ∨ a 6= 1 ⇒ ∞, a = 1 ⇒ 21 , a ≤ 0 ⇒ +∞. TAAK ♣ 111 Ga door een berekening de volgende limieten na en geef de vergelijkingen van de eventuele horizontale asymptoten: √ √ 1*. lim−∞ ( x2 + 3x + 2 − x2 − 3x + 2) = −3 √ 2*. lim+∞ ( x2 + 7x − 8 − 2x) = −∞

7.1.7

Verloop van een irrationale functie

7.1.7.1

Extremumvraagstukken

Voorbeelden: • Gegeven is een cirkel met straal R en een punt A gelegen op de cirkel. We beschouwen koorden BC parallel met de raaklijn in A. Construeer de koorde die de oppervlakte van de driehoek ABC maximaal maakt. Oplossing: We kiezen als onafhankelijk veranderlijke x de afstand van A tot de koorde BC. De waarde van x varieert tussen 0 en 2R . 2 Als 0 < x < R geldt |BC| = R2 − (R − x)2 . 2


264

2 Als R < x < 2R geldt |BC| = R2 − (x − R)2 . 2 De koorde |BC| is afhankelijk van x volgens de betrekking: √ |BC| p 2 = R − (x2 − 2Rx + R2 ) = 2Rx − x2 2 De functie is de oppervlakte S van driehoek ABC. √ 1 S = |BC|x = x 2Rx − x2 2 3Rx − 2x2 S0 = √ 2Rx − x2 De tabel met S en S 0 : x S0 S

0

3 R 2

+ 0 − 0 % 32 &

2R 0

De driehoek waarvoor de afstand van A tot de√koorde gelijk is aan 1,5 keer de straal R, de maximale oppervlakte is gelijk aan = 3 4 3 R2 . De driehoek is gelijkzijdig.

√ Figuur 7.7: y = x 2x − x2 en haar afgeleide functie


265

• Hoe verloopt de inhoud van een omwentelingskegel, waarvan de manteloppervlakte gelijk is aan de constante 9π(≈ 28, 3)? Oplossing: We kiezen de straal van de kegel als onafhankelijk veranderlijke x . De hoogte van de kegel is afhankelijk van x en het apothema a van de kegel. h2 = a2 − x2

(7.1)

We moeten ook uitdrukken dat de manteloppervlakte van de kegel gelijk is aan 9π. 9π = πxa waaruit volgt dat a=

9 x

(7.2)

Uit 7.1 en 7.2 volgt dat 81 − x4 81 2 − x = x2 x2 We zien hier dat de waarde van x slechts kan variëren tussen 0 en 3. De functie is de inhoud I van de kegel. r 1 2 1 2 81 − x4 1 √ I = πx h = πx = πx 81 − x4 3 3 x2 3 h2 =

−4x3 1 81 − 3x4 1 √ = π√ I 0 = π( 81 − x4 + x √ 3 3 2 81 − x4 81 − x4 De tabel met I en I 0 : x I0 I

√ 4

27 ≈ 2.3 3 + 0 − √ √ 0 % π 6 4 27 ≈ 17, 5 & 0 0

De inhoud is maximaal voor de straal van de kegel gelijk aan 2,3. • Een man in een roeiboot bevindt zich op vier kilometer van het meest nabije punt A van de kust. Hij wil een punt B bereiken dat zes kilometer van A verwijdert is langs de kust, in de zo kort mogelijke tijd. Waar moet hij aanleggen als hij zes kilometer per uur kan roeien en tien kilometer per uur kan wandelen. Oplossing: Als onafhankelijk veranderlijke x kiezen we de afstand van plaats c waar de man aan wal komt en het punt A. De waarde van x varieert tussen 0 en 6 . √ De functie is de tijd t = t1 + t2 , waarin t1 de tijd is om de afstand |ac| = 16 + x2

266


√ Figuur 7.8: y = 13 πx 81 − x4 en haar afgeleide functie af te leggen en t2 de tijd om de afstand |cb| = 6 − x af te leggen. Omdat de beweging eenparig is geldt dat v = st =⇒ t = vs met v de snelheid en s de afgelegde weg. √ 16 + x2 6 − x t= + 6 10 √ 5x − 3 16 + x2 √ t0 = 30 16 + x2 De tabel met t en t0 : 0 3 6 x 0 t − 0 + √ 13 19 17 t & % 0 15 15 3 De man moet aan wal komen op een afstand van 3 m van A. De tijd is dan minimaal en gelijk aan 1,13 u of 1 u 8 min. Indien de man recht naar A roeit dan duurt het 1 u 16 min en als hij rechtstreeks naar B roeit dan duurt het 1u 12 min. • Het vraagstuk van de lichtbreking. De punten A en B liggen in twee verschillende doorzichtige middenstoffen, waarvan de scheiding een vlak Π is. Het licht plant zich in iedere middenstof volgens een zekere lijn voort, en wel met een snelheid u in de eerste en v in de tweede; bij het grensvlak ondergaat het echter een breking. Volgens welke wet moet deze breking geschieden, als men, met Pierre Fermat (1601-1665), aanneemt dat het licht zich in een minimale tijd van A naar B voortplant? Oplossing: De baan door het licht beschreven zal zeker in het vlak α liggen, loodrecht op Π door AB; want lag ze daarbuiten, dan zou haar projectie op α in


√

Figuur 7.9: y =

267

16+x2 6

+

6−x 10

en haar afgeleide functie

minder tijd doorlopen worden. We nemen daarom α als vlak van de tekening aan. Men begrijpt ook dat, als AoB de baan is waarvoor de tijd minimaal is, O tussen de projecties A0 en B 0 van A en B op Π moet liggen. We stellen: |AA0 | = m, |bB 0 | = n, |A0 B 0 | = d en |A0 o| = x de onbekende p van het vraagstuk. Verder geldt: √ 0 2 2 |OB | = d − x, |AO| = x + m en |OB| = (d − x)2 + n2 . De tijd t die het licht nodig heeft om de baan AoB af te leggen is: p √ (d − x)2 + n2 x2 + m2 + . t= u v Het minimum van deze continue functie ligt in het interval [0, d]: d−x x − p t0 = √ . 2 2 u x +m v (d − x)2 + n2 Voor x = 0 is t0 = − v√dd2 +n2 positief. Voor x = d is t0 =

√ d u d2 +m2

negatief.

Daar t0 een continue functie van x is, zal ze nul worden voor een waarde x0 van x, gelegen tussen 0 en d (stelling van Bolzano). Voor x = x0 gaat t0 over van negatief naar positief, zodat t een minimum bereikt in x0 . Er geldt: x d − x0 √ 0 − p =0 2 2 u x +m v (d − x)2 + n2


268

m x d − x0 √ 0 = p . 2 2 u x +m v (d − x)2 + n2 Opdat het licht in de korst mogelijke tijd de afstand van A naar B zou afleggen moet de lichtstraal invallen op het vlak Π op een afstand x0 van A0 . Noemen we i de invalshoek en r de brekingshoek van de lichtstraal, dan kunnen we door toepassen van de sinusregel in de rechthoekige driehoeken AAA0 o en ObB 0 de vorige uitdrukking in de volgende gedaante brengen: sin i sin r sin i u = ⇐⇒ = . u v sin r v Dit is de wet van Snellius, 1581-1626. De sinussen van invals- en brekingshoek staan in constante verhouding, de zogenaamde brekingsindex. De brekingsindex is ook de verhouding van de lichtsnelheden in beide middenstoffen. Opmerking: Dat t0 in het interval [o, d] slechts één nulpunt heeft, wordt duidelijk, als we t0 in de vorm sin i sin r − u v brengen. Als x varieert van 0 tot d, stijgt i, terwijl r daalt, zodat t0 steeds toeneemt en dus maar één nulpunt kan hebben. OPGAVEN — 112 In een cirkel trekkken we een koorde loodrecht op een middellijn. We verbinden de eindpunten van de koorde met de eindpunten van de middellijn. Onderzoek het verloop van het verschil van de oppervlakten van de verkregen gelijkbenige driehoeken. TAAK ♣ 113 Hoe verloopt de omtrek van een rechthoek beschreven in een gegeven cirkel? Oplossingen: √

112 max. opp. vr. de koorde op afstand 22 R van het middelpunt van de cirkel; 113 max. omtr. vr. ingeschreven vierkant;

7.1.7.2

Tekenen van de grafiek van een irrationale functie

1. De absolute waarden van een rationale functie Bij irrationale functies die de absolute waarde zijn van een rationale functie kunnen we heel wat berekeningen uitsparen. We maken de berekeningen voor het verloop van de rationale functie en tekenen haar grafiek. We verkrijgen de grafiek van de


269

irrationale functie door het gedeelte van de grafiek gelegen onder de x-as te spiegelen om de x-as en de gedeelten boven de x-as te behouden. Voorbeeld: y = |x3 + 3x2 − 4| We onderzoeken de corresponderende rationale functie y = x3 + 3x2 − 4. (a) (b) (c) (d) (e)

Domf = R; Asymptoten: geen Afgeleide functie: y 0 = 3x2 + 6x; Tweede afgeleide functie; y 00 = 6(x + 1); Tabel van het verloop van de rationale functie y = x3 + 3x2 − 4: −2 −1 0 1 x 0 y + 0 − −3 − 0 + 9 + y 00 − − 0 + + + y − 0 − −2 − −4 − 0 +

(f) Tabel van het verloop van de irrationale functie y = |x3 + 3x2 − 4|: x −2 −1 0 1 y 0 − 0 + 3 + 0 − −9|9 + y 00 + + 0 − − | + y + 0 + 2 + 4 + 0 + & % % & % S S T T S Extrema: minima: (−2, 0) en (1, 0); maximum: (0, 4). De functie is niet afleidbaar in 1, de linkerafgeleide is −9 en de rechterafgeleide is 9. Buigpunt: (−1, 2), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt 3. 2. Functies waar een absolute waarde in voorkomt Bij irrationale functies waar in het voorschrift absolute waarden voorkomen kunnen we de berekeningen vereenvoudigen door het domein van de functie te splitsen in deelintervallen. In elk deelinterval onderzoeken we dan een functie waar geen absolute waarden meer in voorkomen. We geven een eenvoudig voorbeeld waarbij de functie een lineaire combinaties is van absolute waarden van een eerste- en/of tweedegraadsfuncties. Voorbeeld: y = 2|x| − 3|x − 1| We onderzoeken het teken van de functies y = x en y = x − 1: 0 1 x x − 0 + + x−1 − − 0 +

270


Figuur 7.10: de grafiek van y = |x3 + 3x2 − 4| ∀x ∈] − ∞, 0] : y = −x − 2 ∀x ∈ [0, 1] : y = 5x − 3 ∀x ∈ [1, +∞[: y = −x + 3 De grafiek van de functie is een aaneenschakeling van een halfrechte, een lijnstuk en een halfrechte. Voorbeeld: * y = x3 + |3x2 − 4| We onderzoeken het teken van de functie y = 3x2 − 4: √ √ x −2 3/3 2 3/3 y0 + 0 − 0 + √ √ 2 3 2 3 ∀x ∈] − ∞, − [∪] , +∞[: y = x3 + 3x2 − 4. 3 3 √ √ 2 3 2 3 , [: y = x3 − 3x2 + 4. ∀x ∈] − 3 3 Verloop van de functie y = x3 + 3x2 − 4: y 0 = 3x2 + 6x; nulpunten: 0 en -2; y 00 = 6x + 6; nulpunt: -1


271

Figuur 7.11: de grafiek van y = 2|x| − 3|x − 1|

Tabel: √ x −2 −2 3/3 −1 0 √ 0 y + 0 − 4(1 − 3) ||| | ||| | ||| y 00 − − ||| | ||| | ||| √| y − 0 − −8 3/9 ||| | ||| | |||

√ 1 2 3/3 √ | ||| 4(1 + 3) + | ||| + √ | ||| 8 3/9 +

Verloop van de functie y = x3 −3x2 +4: y 0 = 3x2 −6x; nulpunten: 0 en 2; y 00 = 6x−6; nulpunt: 1 Tabel: √ √ −2 3/3 −1 0 1 2 3/3 2 x √ √ 0 y ||| 4(1 + 3) + 9 + 0 − −3 − 4(1 − 3) ||| | ||| y 00 ||| − − − 0 + ||| | ||| √ √ y ||| −8 3/9 − 0 + 4 + 2 + 8 3/9 ||| | |||

Voor het verloop van de gevraagde functie, schuiven we de twee tabellen in elkaar.


272

Het verloop van de functie y = x3 + |3x2 − 4|: √ √ x −2 −2 3/3 −1 0 1 2 3/3 y 0 + 0 − −2, 9|10, 9 + 9 + 0 − −3 − −2, 9|10, 9 y 00 − − − − − 0 + √| √| y − 0 − −8 3/9 − 0 + 4 + 2 + 8 3/9 % & % % & & T T T T T S √

√

√

√

+ + + % S

2 3 Extrema: minima: (− , −√8 9 3 ), ( 2 3 3 , 8 3 3 ); maxima: (0, 4), (−2, 0). De functie is √ 3 √ niet afleidbaar in − 2 3 3 en 2 3 3 , in beide punten is de linkerafgeleide 4(1 − 3) en √ rechterafgeleide 4(1 + 3). Buigpunt: (1, 2). De buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt -3.

Figuur 7.12: de grafiek van y = x3 + |3x2 − 4|


273

3. Enkele speciale irrationale functies 2

2

(a) De niet-ontaarde hyperbool: xa2 − yb2 = 1 In de vergelijking komen x en y alleen in het kwadraat voor. De kromme ligt dus symmetrisch t.o.v. de x-as, de y-as en de oorsprong. De kromme is de unie van de grafieken van twee functies. Deze functies bepalen we door de vergelijking van de kromme op te lossen naar y. b√ 2 x − a2 y=± a We onderzoeken het verloop van b√ 2 f :y= x − a2 . (7.3) a De volledige kromme bekomen we door de grafiek van 7.13 te spiegelen t.o.v. de x-as. i. domf =] − ∞, −a] ∪ [a, +∞[ ii. De eerste en tweede afgeleide functies zijn x b y0 = √ 2 a x − a2 ab √ y 00 = − 2 2 (x − a ) x2 − a2 iii. De grafiek van f heeft geen verticale of horizontale asymptoten. Om de schuine asymptoten op te sporen, maken we gebruik van de formules van hoofdstuk 5 op p. 159. x b ∞ ω = lim y 0 = lim √ = 2 2 ∞ ∞ a ∞ x −a We moeten onderscheid maken tussen +∞ en −∞ vermits we x onder het wortelteken moeten brengen. r b x2 b 0 x<0 ω = lim y = lim − =− 2 2 −∞ −∞ a x −a a b√ 2 b x − a2 + x) = +∞ − ∞ −∞ a a b √ 2 = lim ( x − a2 + x) −∞ a b x 2 − a2 − x 2 = lim √ −∞ a x 2 − a2 − x b −a2 −ab = lim √ = =0 −∞ a +∞ x 2 − a2 − x

q = lim(


274

De schuine asymptoot voor −∞ is de rechte met vergelijking y = − ab x. b ω = lim y = lim +∞ +∞ a 0 x>0

r

x2 b = x 2 − a2 a

b b√ 2 x − a2 − x) = +∞ − ∞ +∞ a a b √ 2 = lim ( x − a2 − x) +∞ a b x 2 − a2 − x 2 = lim √ +∞ a x 2 − a2 + x −a2 −ab b = =0 = lim √ +∞ a +∞ x 2 − a2 + x

q = lim(

De schuine asymptoot voor +∞ is de rechte met vergelijking y = ab x. iv. De tabel met de tekenverlopen van y 0 , y 00 en y: x −a 0 a 0 y − −∞| ||| | ||| | + ∞ y 00 − | ||| | ||| | y + 0 ||| | ||| 0 & ||| | ||| T ||| | |||

+ − + % T

De functie bereikt minima voor x = −a en x = a, er zijn geen buigpunten, de functie is concaaf naar onder. Snijpunten met de x-as zijn (−a, 0) en (a, 0). De kromme met vergelijking x2 y 2 − 2 =1 a2 b stelt een hyperbool voor.


275

Figuur 7.13: hyperbool

teken hier zelf de ellips 2

2

(b) De re¨ ele niet-ontaarde ellips: xa2 + yb2 = 1 In de vergelijking x en y alleen in het kwadraat voor. De kromme ligt dus symmetrisch t.o.v. de x-as, de y-as en de oorsprong. De kromme is de unie van de grafieken van twee functies. Deze functies bepalen we door de vergelijking van de kromme op te lossen naar y. b√ 2 a − x2 y=± a We zullen de grafiek tekenen van de functie f met voorschrift y=

b√ 2 a − x2 a

De grafiek van de functie −f y=−

b√ 2 a − x2 a

is dan het spiegelbeeld van f t.o.v. de x-as. Het domein van f is [−a, a]. De grafiek van de functie heeft geen asymptoten, hierbij zijn de limieten in −∞ en +∞ zinledig. We berekenen eerste en tweede afgeleide functie van f : b x y0 = − √ a a2 − x 2

276

HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES y 00 =

ab √ . (x2 − a2 ) a2 − x2

We maken het tekenverloop van y, y 0 , y 00 , de besluiten voor stijgen en dalen en de concaviteit van de grafiek van de functie −a 0 x 0 y ||| | + ∞ + 0 y 00 ||| | − y ||| 0 + b % T

a − −∞| ||| − | ||| + 0 ||| & T

De functie bereikt een maximum voor x = 0, er zijn geen buigpunten, de functie is concaaf naar onder. Het snijpunt met de y-as is (0, b) en de snijpunten met de x-as zijn (−a, 0) en (a, 0). De kromme met vergelijking x2 y 2 + 2 =1 a2 b stelt een ellips voor. Teken en ellips in figuur 7.13 op pagina 275. (c) De niet-ontaarde parabool Teken de kromme met vergelijking y 2 = 2px met p ∈ R0 Bepaal zelf het domein en de eventuelen asymptoten van de functie f met voorschrift p y = 2px alsook de tabel voor stijgen, dalen en concaviteit. De kromme met vergelijking y 2 = 2px stelt een parabool voor.


277

Figuur 7.14: parabool p < 0

parabool p > 0

(d) De kromme y 3 = x2 (6 − x) We schetsen de grafiek van de functie f : y = x2/3 (6 − x)1/3 . i. domf = R; ii. De eerste en tweede afgeleide functies zijn: 4−x −8 y0 = p en y 00 = p 3 3 2 4 x(6 − x) x (6 − x)5 iii. De grafiek van de functie heeft geen verticale of horizontale asymptoten. We onderzoeken of er schuine asymptoten zijn. ∞ 4−x = ω = lim p ∞ 3 x(6 − x)2 ∞ s (4 − x)3 = lim 3 = −1 ∞ x(6 − x)2 p q = lim( 3 x2 (6 − x) + x) = +∞ − ∞ ∞

x2 (6 − x) + x3 p = lim p ∞ 3 x4 (6 − x)2 − x 3 x2 (6 − x) + x2 6x2 p = lim p ∞ 3 x4 (6 − x)2 − x 3 x2 (6 − x) + x2 6 q = lim q 2 ∞ 3 x4 (6−x)2 − 3 x (6−x) +1 x6 x3 =

6 =2 1 − (−1) + 1

278

HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES De grafiek van de functie heeft een schuine asymptoot, nl. y = −x + 2. iv. We bepalen het tekenverloop van y 0 , y 00 en y. x 0 y 0 − −∞| + ∞ y 00 − −∞| − ∞ y + 0 & T

4 + 0 − −0, 4 √ 3 + 2 4 % T

6 − −∞| − ∞ − −∞| + ∞ + 0 & T

− + − & S

De functie f bereikt een relatief maximum in 4 vermits f 0 (4) = 0 is en f 00 (4) = −0, 4 < 0. De tweede afgeleide test kan niet gebruikt worden in 0, omdat f 00 daar niet bestaat. De functie bereikt echter een relatief minimum in 0 vermits f 0 in 0 verandert van teken. Het punt (0, 0) is een keerpunt met keerraaklijn de rechte x = 0, dit is de y-as omdat lim0 f 0 = ∞.. Het punt (6, 0) is een buigpunt. De buigraaklijn is x = 6 dit is een rechte parallel met de y-as omdat lim6 f 0 = ∞..

Figuur 7.15: vervolledig de grafiek van y = x2/3 (6 − x)1/3


279

(e) De kromme y 5 = x5 (1 − x)2 . We bepalen de relatieve extrema van de functie y = x(1 − x)2/5 en we schetsen de grafiek. 5 − 7x 14x − 20 y0 = en y 00 = 3/5 5(1 − x) 25(1 − x)8/5 De kritische punten zijn 5/7 en 1. We maken het tekenverloop van y 0 : 0 5/7 x y0 + 1 + 0 00 y − − − − y − 0 + 0, 43 % % T T

1 − −∞| + ∞ − −∞| + ∞ + 0 & T

10/7 + 1, 66 + − 0 + + 1, 14 + % % T S

De functie bereikt een relatief maximum in 5/7 en een relatief minimum in 1. Het punt (1, 0) is een keerpunt en de keerraaklijn in (1, 0) is de rechte x = 1, omdat lim1 f 0 = ∞. Het punt ( 10 ; 1, 14) is een buigpunt. 7

Figuur 7.16: vervolledig de grafiek van y = x(1 − x)2/5


280

OPGAVEN — 114 Los de volgende vergelijking op in R: |2x − 3| + |x − 3| = |4x − 1| (VWO.86-87). 115 Teken de grafieken van de volgende functies: 2

1. 2.

−3x+2)| y = |(x−3)(x x−1 y = |x2 − 3x|

3.

y = |x2 − 3|

10.

y = x|x − 2|

4.

y = (x − 3)|x| + 4

11.

y = |bxc|

5.

y = b|x|c

12.

y = x2 − 3|x| + 2

6.

y = x2 + |3x2 − 4|

13.

y = 21 (|x| + x + |x − 1| + x − 1)

8. 9.

y = |x2 + 2x| − x2 + 3 y = x2 + 2|x|

116 Los de volgende ongelijkheden grafisch op √ 2 4. 1. x p+ x > 0 2 2 2. 5. (3 − x) + 1 < 4 − 5 x √ p 6. 3. 2 x2 − 3 (x − 1)2 > 0

p 2 x p (x − 2) 2x

117 Bepaal de relatieve extrema van de volgende functies: 1. y = |x2 + 4x − 16| 5. y = |x + 1| − 2x + 3 − | x1 | 3 2. y = |x − x| 6. y = |x2 − 16| + 4x √ 3. y = | x1 | 7. y = x2 − 3x + 2 √ 4. y = x2/3 (x − 2)2 8. y = x2 3 6x − 7

118 Bepaal √ het beeld van het interval voor de volgende √ functies: 1. y = x3 − 3x2 + 2 in [−4, 0] 2. y = x − 1 − x in [−2, 1] 119 Onderzoek het stijgen, het dalen, relatieve maxima, relatieve minima, concaviteit en buigpunten van de volgende functies. √ √ √ 1. y = x x + 1 2. y = 3 x − 5 x 3. y = x1/3 (x + 3)2/3 120 Bepaal het verloop en teken de grafiek van de volgende functies: 4. y = | 41 (−x3 − x − 10)| 1. y = | 41 x3 − 32 x2 + 94 x + 4| 2.

y = | 2x−4 x+3 |

3.

y=

121 1. 2. 3.

Bepaal het verloop en de grafiek van y = |x + 2|(x2 − 1) 4. 5. y = (x + |x|)2 + x2 |x| + |x| 2 2 3ay = x(x − a) 6*.

|x3 | x2 +1

|x| (x+3)2

5.

y=

6.

y2 =

(x+1)2 x2

de volgende functies: y = |x + 2|.|x + 1|.(x − 1) y = |x − 2|3 − |2 − x| x2 +|x−1| y = |x 2 +x|−1

7.1. IRRATIONALE FUNCTIES 122 1. 2. 3.

Teken de volgende krommen: x2 y 2 − 4y 2 − x2 = 0 4. y 2 = (3 − x)(x + 2)2 5. (x − 4)2 y 2 + x2 − 9 = 0 6.

281

y 2 = x(x − 1)(x + 1)2 x4 y 2 − (x − 2)2 (x − 3) = 0 xy 2 − 5y 2 − (2x + 1)2 (2x − 5) = 0

123 Teken de volgende krommen: a*. (x − y)2 = |x2 − 1|; b. x(x2 + y 2 ) = 2ay 2 (cisso¨ıde); c. x4 = a2 (x2 − y 2 ) (lemniscaat van Gerono); d. 4a2 y 2 = x3 (2a − x) (topkromme); e. y(a + x2 ) = abx. 124 Bepaal het verloop en de grafiek van de 2 1. y = √xx2 −4 5. √ 2*. y = 3 x3 − 3x + 2 6. q 1 7. 3. y = 1+x 2 4.

y=

p

x(x2 − 4)

125 Teken de volgende krommen: 1*. xy 2 + 3y 3 = 4 3. 2. xy 2 − x2 − y 2 + 2x = 0 4.

volgende functies: √ y = x+9 q y = x2x−4 q y = x(x−2) x2 −1 q 8. y = x(x−3) x−1

x2 y 2 − x2 − 9y 2 + 16 = 0 x2 y 2 − x3 − 4y 2 + x = 0

126 Hoe verandert de vorm van de grafiek van de functie y = a?

√

x2 + ax al naargelang de waarden van


282 Oplossingen:

3 116 1. x > 0; 2. ]0, 30 7 [; 3. 5 , 3[; √ √ √ √ 4. ] − ∞, 1 + 2[\{1}; 5. [2 − 7, 1 + 6]; 6. ] 1−2 17 , 1[∪]4, +∞[ 120

1. y = | 41 x3 − 32 x2 + 94 x + 4|: Domf = R; geen asymptoten; y 0 = 43 (x2 − 4x + 3); y 00 = 32 (x − 2); Tabel van de rationale functie y = 14 x3 − 32 x2 + 94 x + 4: x y0 y 00 y

+ − −

−1 6 0

+ − +

0 9/4 4

+ − +

1 0

2 − −3/4 − 0 + 9/2

5

3 − 0 + + 4

+ + +

Tabel van de irrationale functie y = | 14 x3 − 23 x2 + 94 x + 4|: x y0 y 00 y

−1 − −6|6 + | + 0 & S

0 + 9/4 − + 4 % T

1 + 0 − + 5 % T

2 − −3/4 − 0 + 9/2 & T

3 − 0 + + 4 & S

+ + + % S

Extrema: minima: (−1, 0) en (3, 4); maximum: (1, 5). De functie is niet afleidbaar in −1, de linkerafgeleide is −6 en de rechterafgeleide is 6. Buigpunt: (2, 29 ), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt − 34 . 0 2. y = | 2x−4 x+3 |: Domf = R \ {−3}; V.A.: x = −3; H.A.: y = 2; y = 2x−4 de rationale functie y = x+3 :

x y0 y 00 y

+ + +

−3 +∞| + ∞ + | − +∞| − ∞ −

0 10/9 −4/3

+ − −

2 0, 4 0

10 (x+3)2 ;

y 00 =

−20 (x+3)3 ;

Tabel van

+ − +

Tabel van de irrationale functie y = | 2x−4 x+3 |: x y0 y 00 y

−3 + +∞| − ∞ + | + +∞| + ∞ % S

0 − −10/9 + + 4/3 & S

2 − −0, 4|0, 4 + + 0 & S

+ − + % T

Extrema: minimum (2, 0). De functie is niet afleidbaar in 2, de linkerafgeleide is −0, 4 en de rechterafgeleide is 0, 4. Buigpunten: geen. 3. y =

|x3 | x2 +1 :

Domf = R; De functie is oneven; S.A.: y = x; y 0 =

x2 (x2 +3) (x2 +1)2 ;

y 00 =

2x(3−x2 ) (x2 +1)3

Tabel van

7.1. IRRATIONALE FUNCTIES de rationale functie y =

283

x3 x2 +1 :

x y0 y 00 y

+ + −

√ − 3 9/8 0 √ −3 3/4

√

0 + 0 − 0 − 0

3 + 9/8 + √0 + 3 3/4

+ − +

3

Tabel van de irrationale functie y = | x2x+1 |: x y0 y 00 y

− − + & T

√ − 3 −9/8 √0 3 3/4

− + + & S

0 0 0 0

√

3 + 9/8 + √0 + 3 3/4 % S

+ − + % T

Extremum: minimum:√ (0, 0). De functie is afleidbaar in 0, de linker- en rechterafgeleide zijn 0. √ 3 3 √ 3√3 Buigpunten; (− 3, 4 ) en ( 3, 4 ), de buigraaklijnen hebben resp. richtingscoëfficiënten − 98 en 98 . 4. y = | 14 (−x3 − x − 10)|: Domf = R; geen asymptoten; y 0 = rationale functie y = 14 (x3 + x + 10): x y0 y 00 y

−2 + 13/4 − − 0

0 + 1/4 − 0 + 5/2

1 + 1 + + 3

1 2 4 (3x

+ 1); y 00 =

3 2x

Tabel van de

+ + +

Tabel van de irrationale functie y = | 14 (−x3 − x2 − 10)|: x y0 y 00 y

−2 − −13/4|13/4 + | + 0 & S

0 + 1/4 − 0 + 5/2 % T

1 + 1 + + 3 % S

+ + + % S

Extremum: minimum: −2, 0). De functie is niet afleidbaar in −2, de linkerafgeleide is − 13 4 en de rechterafgeleide is 13 . 4 Buigpunt: (0, 52 ), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt 14 . |x| 0 5. y = (x+3) 2 : Domf = R \ {−3}, V.A.: x = −3; H.A.: y = 0; y = x de rationale functie y = (x+3)2 :

x y0 y 00 y

−3 − −∞| + ∞ − | − −∞| − ∞

0 + 1/9 − − 0

3−x (x+3)2 ;

y 00 =

3 6 + 0 − −1/243 − − − 0 + + 1/12 + 2/27 +

2(x−6) (x+3)3 ;

Tabel van


284 Tabel van de irrationale functie y =

|x| (x+3)2 :

−3 + +∞| − ∞ + | + +∞| + ∞ % S

x y0 y 00 y

0 − −1/9|1/9 + | + 0 & S

3 6 + 0 − −1/243 − − − 0 + + 1/12 + 2/27 + % & & T T S

1 Extrema: minimum: (0, 0); maximum: (3, 12 ). De functie is niet afleidbaar in 0, de linkerafgeleide 1 1 is − 9 en de rechterafgeleide is 9 . 2 1 Buigpunt: (6, 27 ), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt − 243 .

6. y 2 =

(x+1)2 x2 :

121 1. y = |x + 2|(x2 − 1): ∀x ∈] − ∞, −2[: y1 = −(x + 2)(x2 − 1) ∀x ∈] − 2, +∞[: y2 = (x + 2)(x2 − 1), y20 = 3x2 + 4x − 1, y200 = 6x + 4 Tabel: x y0 y 00 y

−2 − −3|3 + | + 0 & S

+ − + % T

−1, 55 0 0, 63

− − + & T

−1 −2 0

− − − & T

−2/3 −7/3 0 −20/27

0 − −1 + − −2 & S

0, 22 1 − 0 + 6 + + − −2, 11 − 0 & % S S

+ + + % S

De grafiek van de gegeven functie is dezelfde als de grafiek van de functie y = (x + 2)(x2 − 1) maar het gedeelte van de grafiek voor x-waarden kleiner dan −2 moet gespiegeld worden t.o.v. de x-as. Extrema: minima: (−2, 0) en (0, 22; −2, 11); maximum: (−1, 55; 0, 63). De functie is niet afleidbaar in −2, de linkerafgeleide is −3 en de rechterafgeleide is 3. Buigpunt: (− 23 , − 20 efficiënt − 37 . 27 ). De buigraaklijn heeft richtingsco¨ 2. y = (x + |x|)2 + x2 |x| + |x|: ∀x ∈ R− : y1 = −x(x2 + 1); y10 = −3x2 − 1; y100 = −6x ∀x ∈ R+ : y2 = 4x2 + x3 + x; y20 = 3x2 + 8x + 1, y200 = 6x + 8 Tabel: x y0 y 00 y

0 − −1|1 + | + 0 & S

+ + + % S

Merk op dat de functie niet even is en dus niet symmetrisch ligt t.o.v. de y-as. Extremum: minimum: (0, 0). De functie is niet afleidbaar in 0, de linkerafgeleide is −1 en de rechterafgeleide is 1. Buigpunten: geen.


285

3. 3ay 2 = x(x − a)2 : √ 1 ∀x ∈ R− : y1 = √ (a − x) x(a > 0) 3a √ 1 ∀x ∈ R+ : y2 = √ (x − a) x 3a 1 3x − a y20 = √ . √ x 2 3a 1 3x + a y200 = √ . √ 4 3a x x Tabel: x y0 y 00 y

0 ||| | + ∞ ||| | ||| 0

a/3 + 0 − + 2a/9 % T

√ a√ − − 3/3| 3/3 − | + 0 & T

+ + + % S

Extrema: maximum: ( a3 , 2a (a, 0). De functie is niet afleidbaar in a, de linkerafgeleide 9 ); minimum: √ √ 3 3 is − 3 en de rechterafgeleide is 3 . Buigpunten: geen. 4. y = |x + 2|.|x + 1|.(x − 1): ∀x ∈] − ∞, −2[∪] − 1, +∞[: y1 = (x + 2)(x2 − 1); y10 = 3x2 + 4x − 1; y200 = 6x + 4 ∀x ∈] − 2, −1[: y2 = −(x + 2)(x2 − 1) Tabel: x y0 y 00 y

−2 + 3| − 3 − | − 0 % T

− + − & S

−1, 55 0 −0, 63

−1 + 2| − 2 + − 0 % S

− − − & T

−2/3 −7/3 0 −20/27

0 − −1 + − −2 & S

0, 22 1 − 0 + 6 + + − −2, 11 − 0 & % S S

+ + + % S

De grafiek van de gegeven functie is dezelfde als de grafiek van de functie y = (x + 2)(x2 − 1) maar het gedeelte van de grafiek voor x-waarden gelegen tussen −2 en −1 moet gespiegeld worden t.o.v. de x-as. Extrema: maxima: (−2, 0) en (0, 22; 0); minima: (−1, 55; 0) en (1, 0). De functie is niet afleidbaar in −2, de linkerafgeleide is 3 en de rechterafgeleide is −3. De functie is ook niet afleidbaar in 1, de linkerafgeleide is −6 en de rechterafgeleide is 6. efficiënt 73 . Buigpunt: (− 23 , 20 27 ). De buigraaklijn heeft richtingsco¨ 5. y = |x − 2|3 − |2 − x|: ∀x ∈] − ∞, 2[: y1 = (x − 2)(−x2 + 4x − 3) ∀x ∈]2, +∞[: y2 = (x − 2)(x2 − 4x + 3); y20 = 3x2 − 12x + 11; y200 = 6(x − 2)


286 Tabel: x y0 y 00 y

0 1 − −11 − −2 + + + 6 + 0 & & S S

1, 42 − 0 + − −0, 38 & S

2 + 1| − 1 + 0|0 − 0 % S

2, 58 − 0 + − −0, 38 & S

3 + 2 + − 0 % S

4 + 11 + + 6 % S

+ + + % S

De grafiek van de gevraagde functie is de grafiek van de functie y = (x − 2)(x2 − 2x + 3), maar waarbij we het deel van de grafiek kleiner dan 2 spiegelen t.o.v. de x-as. Extrema: minima: (1, 42; −0, 38) en (2, 58; −0, 38); maximum: (2, 0). De functie is niet afleidbaar in 2, de linkerafgeleide is 1 en de rechterafgeleide −1. Buigpunt: geen 6. y =

x2 +|x−1| |x2 +x|−1 :

∀x ∈] − ∞, −1[∪]0, 1[: y1 = ∀x ∈] − 1, 0[: y2 =

x2 − x + 1 x2 + x − 1

x2 − x + 1 −x2 − x − 1

∀x ∈]1, +∞[: y3 = 1 We moeten hier twee functies onderzoeken a. ∀x ∈] − ∞, −1[∪]0, 1[: y1 = √

V.A.: x =

5−1 2

en x =

x2 − x + 1 x2 + x − 1

√ − 5−1 2

y0 =

2(x2 − 2x) (x2 + x − 1)2

y 00 =

−x3 + 3x2 + 1 (x2 + x − 1)3

Tabel: x y0 y 00 y

−1, 6 + +∞| + ∞ + +∞| − ∞ + +∞| − ∞

−1 + 6 − − −3

0 ||| 0 ||| ||| −1

− − −

b. ∀x ∈] − 1, 0[: y2 = y0 = y 00 =

0, 6 −∞| − ∞ − −∞| + ∞ + −∞| + ∞ +

x2 − x + 1 −x2 − x − 1

2(1 − x2 ) (x2 + x + 1)2 4(x3 − 3x2 − 1) (x2 + x + 1)3

1 −2 1

||| ||| |||

2 | | |

||| ||| |||

7.2. HERHALINGSOEFENINGEN OP EXTREMUMVRAAGSTUKKEN Tabel: x y0 y 00 y

−1 ||| 0 ||| ||| −3

−0, 35 + 2, 94 + + 0 − − −1, 90 −

0 2 −1

1 ||| | ||| | ||| |

287

||| ||| |||

Voor het verloop van de gevraagde functie, schuiven we de twee tabellen in elkaar. Tabel: x y0 y 00 y

7.2

+ + + % S

−1, 6 +∞| + ∞ +∞| − ∞ +∞| − ∞

+ − − % T

−1 6|0 | −3

+ + − % S

−0, 35 2, 94 0 −1, 90

+ − − % T

0 2|0 | −1

− − − & T

0, 6 −∞| − ∞ −∞| + ∞ −∞| + ∞

− + + & S

1 −2|0 | 1

0 0 1

Herhalingsoefeningen op extremumvraagstukken

OPGAVEN — 127 Wat is de extremale waarde van de omtrek van een rechthoekige driehoek beschreven om een gegeven cirkel? 128 De punten (0, a) en (0, b) bepalen een segment op de y-as (0 < a < b). Bepaal het punt op de x-as waar de hoek waaronder men het segment ziet, extremaal wordt. 129 Hoe verloopt de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel in een sfeer beschreven en die een grote cirkel tot grondvlak heeft. 130 * Bepaal de tophoek van een gelijkbenige driehoek met een gegeven oppervlakte K 2 waarvan de straal van de ingeschreven cirkel extremaal is. 131 * Een kegel wordt beschreven om een gegeven halve bol met straal R. Het middelpunt van de basis van de kegel valt samen met het middelpunt van de bol. Voor welke hoogte van de kegel is de inhoud maximaal of minimaal? Dezelfde vraag voor de zijdelingse oppervlakte van de kegel. 132 * Een bol met straal R raakt aan een vlak α. Een omwentelingskegel met grondvlak in α wordt omgeschreven aan de bol. Druk het volume van de kegel uit in functie van de halve tophoek. Voor welke waarde van de halve tophoek bereikt het volume een extremale waarde. Bewijs dat het volume van de kegel dan het dubbele is van het volume van de bol. √ Oplossingen: 127: Driehoek is gelijkbenig, O = 6R + 4 2R; √ 128: abs.= ab; √ 129: max. voor straal van bovenvlak gelijk aan 1/3 van de straal van het grondvlak. 130: 60o , H = 43K; √ 131: H = 3R; 132: sin α = 1/3;

288


AN I HUISTAAK 10 1. Bepaal de grafiek en het beeld van het interval voor de volgende functies: √ 2. y = | x2x+1 | in [−5, 5] 1. y = 1 − x2 − x in [−1, 1] 2. Gegeven zijn de functies f : y =

x3 +9 x2 −1

en g =

√

f . Gevraagd:

(a) Onderzoek het verloop van f en teken haar grafiek; (b) Leid uit 2a het domein af van g; (c) Geef de afgeleide van g door gebruik te maken van de afgeleide functie van f die je reeds berekend hebt. Wat kan je hieruit besluiten voor de extreme waarde van g? (d) Voor welke waarden van a heeft de volgende vergelijking maar één oplossing: r x3 + 9 =a x2 − 1 3. Een rechthoek met basis op de x-as ligt in het gebied begrensd door de kromme met vergelijking y = x2x+1 en de x-as. Twee hoekpunten zijn op de kromme gelegen. Zoek de extremale inhoud van het lichaam dat ontstaat door wenteling van de rechthoek om zijn basis (x-as).

Inhoudsopgave 1 Re¨ ele getallen

3

1.1

Het geordend veld van de reële getallen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Absolute waarde in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Eigenschappen van de absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Afstand in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Basisomgeving van een reëel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Machten in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Gehele machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2.1

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2.2

Rekenregels met evenmachtsswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2.3

Rekenregels met onevenmachtsswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2.4

Rekenregels met rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.1

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2

Rekenregels met logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.3

Verband tussen de twee verschillende logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.4

Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale en binaire schrijfwijze . . . .

14

Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.1

Over getallen en Oneindigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.2

Het onbenoembare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

1.4

1.5

289

290

INHOUDSOPGAVE

2 Functies 2.1

2.2

2.3

2.4

17

Relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Triviale relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.3

Analytisch voorstelling van een relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.4

Voorstelling van een relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.5

Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Functies - reële functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1

Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2

Praktische voorbeelden

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.3

Verdere begrippen en zegswijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.4

Bijzondere functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.5

Restrictie en uitbreiding van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.5.1

Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Bewerkingen met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.1

Samenstelling van twee relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.2

Samenstelling van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.3

Inverse relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.4

Inverse functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.5

Som van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.6

Het verschil van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.7

De scalaire vermenigvuldiging van functies

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.8

Het product van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.9

Quotiënt van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Transformaties van krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1

Verschuivingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1.1

Het beeld van een punt onder een verschuiving . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1.2

Het beeld van een kromme onder een verschuiving . . . . . . . . . . . . .

45

2.4.1.3

Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Spiegelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4.2.1

Het beeld van een punt onder een spiegeling . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4.2.2

Het beeld van een kromme onder een spiegeling . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.2.3

Assen en punten van symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.4.2.4

Even en oneven functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Uitrekkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.4.3.1

Het beeld van een punt onder een uitrekking . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.4.3.2

Het beeld van een kromme onder een uitrekking . . . . . . . . . . . . . .

58

2.4.2

2.4.3

INHOUDSOPGAVE

291

3 Rijen: Convergentie en Divergentie 3.1

69

Rekenkundige en meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.1.1

Even herhalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.2

Notaties en terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3

Enkele bijzondere rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.3.1

De harmonische rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.3.2

De rij van Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.3.3

Een rij van faculteiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.3.4

Alternerende rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.4

Begrensde en monotone rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.5

Convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.5.1

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.5.2

Definitie van eindige limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Divergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.6.1

+∞ en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.6.2

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.7

Onbesliste rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.8

Besluit voor de convergentie en divergentie van rekenkundige en meetkundige rijen . . . .

95

3.9

Speciale bovengrenzen en ondergrenzen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Eigenschappen van begrensde verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.10 Eigenschappen van convergente/divergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.11 Criteria voor convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.6

3.9.1

3.12 Twee merkwaardige limieten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.13 Ophopingspunten, ge¨ısoleerde punten en plakpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.14 Bewerkingen met rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.15 Rekenregels voor limieten van rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.15.1 Stellingen – de rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.15.2 Rekenregels in R ∪ {−∞, +∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.15.3 Toepassing op meetkundige en rekenkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.16 Meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.16.1 Inleidend praktisch voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.16.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.16.3 De algemene term van een meetkundige reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.16.4 Convergentie van meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.17 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

292

INHOUDSOPGAVE

4 Limieten en continu¨ıteit van re¨ ele functies

127

4.1

Woorden wekken. . .

4.2

Definitie van limiet en continu¨ıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3

Eigenschappen van limieten en continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.4

De rekenregels alweer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.5

Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5 Afgeleiden

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

147

5.1

Snelheden en raaklijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2

Differentiaalquotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3

5.2.1

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.2

Betekenis van het differentiequotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.3

Meetkundige betekenis van differentiequotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Afgeleide in een punt van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3.1

Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3.2

De meetkundige betekenis van afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4

Afleidbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5

De afgeleide functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.5.1

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.6

Raaklijnen aan de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.7

Asymptoten voor de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.7.1

Verticale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.7.2

Schuine - en horizontale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.8

Methode van Newton voor het benaderen van nulpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.9

Maximale en minimale functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.9.1

Absoluut maximum en absoluut minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.2

Relatief maximum en relatief minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.9.2.1

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.2.2

Stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.9.2.3

Soorten relatieve extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.10 Stellingen van de differentiaalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.10.1 De stelling van Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.10.2 Stelling van Lagrange of de middelwaardestelling van de differentiaalrekening . . . 168 5.11 De regel van de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

INHOUDSOPGAVE

293

5.12 Stijgen en dalen van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.12.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.12.2 Test voor stijgen en dalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.12.3 De eerste afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.13 Concaviteit en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.13.1 Concaaf naar boven en concaaf naar beneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.13.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.13.1.2 Test voor concaviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.13.2 Buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13.2.2 De tweede afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13.2.3 Soorten buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.14 Wederom rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.14.1 De afgeleide functie van een lineaire combinatie van twee functies . . . . . . . . . . 178 5.14.2 De afgeleide functie van het product van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.14.3 De afgeleide functie van het quotiënt van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.14.4 De afgeleide functie van de samenstelling van twee functies—De kettingregel

. . . 182

5.14.5 Afgeleide functie van de inverse functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.15 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6 Algebra¨ısche functies 6.1

187

Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.1.1

Standaardveeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.1.2

Voorschrift van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.1.2.1

Een veeltermfunctie als lineaire combinatie van standaardveeltermfuncties 188

6.1.2.2

Een veeltermfunctie als product van eerste- en tweedegraadsfuncties . . . 189

6.1.2.3

Een veeltermfunctie als samenstelling van veeltermfuncties . . . . . . . . 191

6.1.3

Het domein van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.4

Limieten en continu¨ıteit van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.1.4.1

Limiet in een reële waarde en continu¨ıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.4.2

Limiet in ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.1.5

Tekenverloop van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.1.6

Afgeleide functie van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.1.6.1

De afgeleide functie van een constante functie

. . . . . . . . . . . . . . . 197

294

INHOUDSOPGAVE

6.1.7

6.2

6.1.6.2

De afgeleide functie van de identieke functie . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.1.6.3

Afgeleide van een natuurlijke macht van x . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.1.6.4

De afgeleide functie van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Verloop van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.1.7.1

Stijgen, dalen en relatieve extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.1.7.2

Concaviteit en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Rationale functies 6.2.1

Standaardrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.2.2

Voorschrift van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.2.2.1

Een rationale functie als quotiënt van twee veeltermfuncties . . . . . . . . 218

6.2.2.2

Een rationale functie als samenstelling van rationale functies . . . . . . . 219

6.2.3

Het domein van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.2.4

Tekenverloop van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.2.5

Transformaties van de grafiek van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.2.6

6.2.7

6.2.5.1

Transformatie van een rationale functie in een standaardrationale functie 221

6.2.5.2

De inverse relatie van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Limieten en continu¨ıteit van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.2.6.1

Limiet en continu¨ıteit in een punt van het domein . . . . . . . . . . . . . 225

6.2.6.2

Limiet in en reëel plakpunt van het domein . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.2.6.3

Limiet in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Afgeleide functie van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.2.7.1

6.2.8

Afgeleide van een gehele macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Verloop van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.2.8.1

Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.2.8.2

Tekenen van de grafiek van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2.8.3

Rationale functies die aan bepaalde voorwaarden voldoen . . . . . . . . . 239

7 Algebra¨ısche functies 7.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

243

Irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.1.1

Standaardirrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.1.2

Samenstelling met standaardirrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.1.3

Even en oneven functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.1.4

Inverse functie van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.1.5

De afgeleide functie van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

INHOUDSOPGAVE

7.1.6

7.1.7

7.2

295 √ n

7.1.5.1

Afgeleide functie van y =

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.1.5.2

De afgeleide van een rationale macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Limieten en continu¨ıteit van irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.1.6.1

Limiet en continu¨ıteit in een punt van het domein . . . . . . . . . . . . . 256

7.1.6.2

Limiet in een reëel plakpunt van het domein . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.1.6.3

Limiet in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Verloop van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.1.7.1

Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.1.7.2

Tekenen van de grafiek van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . 268

Herhalingsoefeningen op extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Analyse deel I. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde

Recommend Documents