Debreceni Egyetem. Komplex függvénytan. Jegyzet. Készítette: Szokol Patrícia Dr. Molnár Lajos előadása alapján

Debreceni Egyetem

Komplex függvénytan Jegyzet

Készítette: Szokol Patrícia Dr. Molnár Lajos előadása alapján

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1.1. Komplex számok, számsorozatok 1.2. Lineáris törtfüggvények 2. Síkbeli tartományok 3. Komplex függvények differenciálhatósága 4. Hatványsorok 5. Exponenciális és trigonometrikus függvények 6. Pályamenti integrál 7. Holomorf függvények Cauchy-elmélete 7.1. Liouville-tétel 7.2. Cauchy integráltétel és integrálfomulák homológ változata 8. Holomorf függvények zérushelyei 8.1. Maximum-tétel 9. Laurent-sor 10. Holomorf függvények izolált szinguláris helyei 11. Cauchy-féle reziduum-tétel és alkalmazásai 11.1. Trigonometrikus integrálok 11.2. Racionális törtfüggvények improprius integrálja 11.3. Argumentum elv és Rouché-tétel

2

3 3 7 10 12 16 20 25 30 40 44 45 46 47 52 58 61 62 70

1. Bevezetés

1.1. Komplex számok, számsorozatok. A matematika fejlődése során a komplex számok bevezetését elsősorban az motiválta, hogy bizonyos racionális együtthatós polinomoknak, például az x2 + 1 polinomnak nincs gyöke a valós számok teste felett. Azóta viszont ismeret az algebra alaptétele, mely szerint minden legalább elsőfokú, valós vagy komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke. 1.1. Definíció. Tekintsük az {(x, y) : x, y ∈ R} halmazt majd értelmezzük ezen a halmazon az összeadás és a szorzás műveletet a következő módon. Bármely két (x, y), (u, v) ∈ R × R esetén legyen (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) (1)

(x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu)

Ezekkel a műveletekkel R2 testet alkot, melyet a komplex számok testének nevezünk és C-vel jelölünk. Könnyen látható, hogy az x 7→ (x, 0) (x ∈ R) transzformáció révén R részteste a komplex számok testének. A C elemei között kitüntetett szerepe van az i := (0, 1) elemnek. Az (1) alapján könnyen ellenőrizhető, hogy i2 = (0, 1)2 = (−1, 0), valamint, hogy az 1 := (1, 0) a komplex számok multiplikatív egységeleme, azaz bármely (x, y) ∈ C esetén (1, 0)(x, y) = (x, y)(1, 0) = (x, y). 1.2. Definíció. Másik jelölés használatával jutunk a komplex számok úgynevezett binom alakjához. (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x + yi. A fenti jelölésekkel a z komplex szám valós részén Re(z) := x, képzetes részén pedig a Im(z) := y számot értjük. A derékszögű koordinátarendszer vízszintes tengelyén a komplex szám valós részét, a függőleges tengelyen pedig a képzetes részt jelölve a komplex számokat vektorként ábrázolhatjuk. 1.3. Definíció. A z = x + iy komplex szám konjugáltján a z := x − iy komplex számot értjük, abszolútértékén pedig a p |z| = x2 + y 2 = |zz|1/2 számot.

3

1.4. Megjegyzés. (1) A definícióból látszik, hogy egy z komplex szám z konjugáltjának megfelelő vektort megkapjuk, ha a z-hez tartozó vektort az x-tengelyre tükrözzük. (2) Egy z komplex szám abszolútértéke a neki megfelelő vektor hossza. (3) Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely z, w ∈ C esetén |zw| = |z||w|. Minden komplex szám felírható a hosszának és irányának szorzataként az alábbi módon. 1.5. Definíció. Legyen a z ∈ C-nek megfelelő vektor x-tengellyel bezárt szöge θ, ahol θ ∈ [0, 2π[. Ezt a θ szöget z argumentumának nevezzük és z trigonometrikus alakján a z = |z| (cos θ + i sin θ)

(2) kifejezést értjük.

A későbbiekben látni fogjuk, hogy teljesül a következő összefüggés eiz = cos z + i sin z

(z ∈ C),

melyet felhasználva (2)-ből kapjuk, hogy z = |z| eiθ . Könnyen megmutatható, hogy két komplex számot összeszorozva a komplex számok hossza összeszorzódik, az argumentum pedig az argumentumok összegével lesz egyenlő modulo 2π. Legyen z, w ∈ C, továbbá legyen θ, ill. φ rendre z, ill. w argumentuma. Ekkor zw = |z| |w| eiθ eiφ = |zw| ei(θ+φ) , ami valóban mutatja, hogy arg(zw) = arg(z) + arg(w) (mod 2π). 1.6. Tétel. Legyen z1 , z2 , ..., zn ∈ C. Ekkor |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | |z1 + z2 + ... + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + ... + |zn |

(z1 , ..., zn ∈ C),

azaz a valós esethez hasonlóan igaz a háromszög-egyenlőtlenség, valamint a sokszögegyenlőtlenség. 1.7. Megjegyzés. A fenti tételben pontosan akkor kapunk egyenlőséget, ha a z1 , z2 , ..., zn komplex számoknak megfelelő vektorok azonos irányúak és azonos irányításúak. 1.8. Tétel. Legyen z, w ∈ C. Ekkor ||z| − |w|| ≤ |z − w| . Az alábbiakban metrikus szemszögből vizsgáljuk C-t, (mely metrikus szempontból megegyezik R2 -vel) és emlékeztetünk a legfontosabb metrikus fogalmakra.

4

1.9. Definíció. Legyen z, w ∈ C. Ezek távolságát a d(z, w) = |z−w| képlettel definiáljuk. A fenti d nyilvánvalóan metrika, ugyanis d(z, w) pontosan a z és w, mint R2 -beli vektorok euklideszi távolságával egyenlő. 1.10. Definíció. Legyen z ∈ C és r > 0. A z középpontú, r sugarú nyílt, illetve zárt körlapot a következőképpen definiáljuk: Dr (z) := {w ∈ C : |z − w| < r} illetve Dr (z) := {w ∈ C : |z − w| ≤ r}. További metrikus fogalmak: 1.11. Definíció. Egy z ∈ C pont az A ⊂ C halmaznak • • • •

belső pontja, ha ∃ r > 0, hogy Dr (z) ⊂ A; torlódási pontja, ha ∀ r > 0 esetén {Dr (z)\{z}} ∩ A 6= ∅; érintkezési pontja, ha ∀ r > 0 esetén Dr (z) ∩ A 6= ∅ határpontja, ha ∀ r > 0 esetén Dr (z) ∩ A 6= ∅ és Dr (z) ∩ Ac 6= ∅; (itt Ac az A halmaz komplemeterét jelöli.)

A C egy részhalmazát nyíltnak nevezzük, ha a részhalmaz minden pontja belső pont és zártnak mondjuk, ha komplementere nyílt. 1.12. Megjegyzés. Az előző definíciók alapján könnyen végiggondolhatók az alábbi egyszerű állítások: • Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha minden torlódási pontját tartalmazza. • Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha megegyezik érintkezési pontjai halmazával. 1.13. Definíció. A (zn ) : N → C komplex számsorozatot konvergensnek nevezzük, ha ∃ z ∈ C, úgy, hogy ∀  > 0 esetén ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ n ≥ n0 esetén |zn − z| < . A z komplex számot a komplex számsorozat határértékének nevezzük. 1.14. Tétel. Legyenek (zn ), (wn ) : N → C konvergens sorozatok, melyekre zn → z és wn → w és λ ∈ C. Ekkor (zn + wn ), (λzn ), (zn ), (zn wn ) illetve, ha w · wn 6= 0 (n ∈ N), akkor (zn /wn ) sorozatok is konvergensek és határértékeik rendre z + w, λz, z, zw illetve z/w. A Bolzano-Weierstrass tétel valamint a Cauchy-kritérium is fennállnak ugyanúgy, mint valós esetben. 1.15. Tétel (Bolzano-Weierstrass). Minden korlátos komplex számsorozatnak van konvergens részsorozata. 1.16. Tétel. A (zn ) : N → C komplex számsorozat pontosan akkor konvergens, ha ∀  > 0 esetén ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ n, m ≥ n0 esetén |zn − zm | < .

5

Ismeretes, hogy Rn -ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Láttuk, hogy C metrikus szempontból megegyezik R2 -vel. Mivel C nem korlátos, így nem is kompakt, azonban már egy pont hozzávételével kompakttá tehető a következő módon. A komplex számsíkra helyezve az R3 -beli egységsugarú gömböt úgy, hogy az érintkezési pont (déli pólus) az origóban legyen, a (0,0,2) pontból (Északi-pólusból) kiinduló félegyenesek segítségével a komplex sík pontjainak egyértelműen megfeleltethetőek a gömb pontjai. A komplex sík egy pontjának a gömb azon, Északi pólustól különböző pontját feleltetjük meg, melyben a megfelelő félegyenes metszi a gömböt. Könnyen végiggondolható, hogy ha a komplex sík egy z elemére |z| → ∞, akkor a z pont gömbön felvett képe az Északi-pólushoz tart. Az Északi-pólust a sík végtelen pontjának megfeleltetve, kölcsönösen egyértelmű megfeletetés adható a végtelennel kibővített számsík és a teljes számgömb között. Nyilvánvaló, hogy ez a leképezés mindkét irányban folytonos. A fenti beazonosításban szereplő gömböt Riemann-féle vagy komplex számgömbnek nevezzük, a leképezés pedig a sztereografikus vetítés. 1.17. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (zn ) komplex számsorozat tart a végtelenbe, ha ∀ K > 0 valós számhoz ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ n0 ≤ n esetén |zn | > K. 1.18. Megjegyzés. Ez azt jelenti, hogy a (zn ) komplex számsorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha |zn | → +∞, mint valós számsorozat. Következésképpen a már említett Bolzano-Weierstrass tétel a következő formában is igaz. Kibővített számsíkon minden sorozatnak van konvergens részsorozata. A továbbiakban a komplex függvények tulajdonságai kerülnek összefoglalásra. 1.19. Definíció. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f : D → C és z0 ∈ D. Ekkor f folytonos z0 -ban, ha ∀  > 0 esetén ∃ δ > 0, hogy |z − z0 | < δ, z ∈ D esetén |f (z) − f (z0 )| < . Könnyen látható, hogy egy komplex függvény akkor folytonos, ha mint 2-változós valós függvény folytonos. 1.20. Definíció. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz és z0 torlódási pontja D-nek. Az f : D → C függvénynek z0 -ban létezik határértéke és az w0 ∈ C, ha ∀  > 0 esetén ∃ δ > 0, hogy 0 < |z − z0 | < δ, z ∈ D esetén |f (z) − w0 | < . A folytonosság átviteli elvvel, illetve a határérték sorozatokkal történő megfogalmazása komplex függvényekkel kapcsolatban hasonlóan érvényben marad, mint a valós függvények esetében. Valamint igaz az összegfüggvény, szorzatfüggvény folytonosságára vonatkozó tétel is. 1.21. Tétel. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz és az f, g : D → C függvények folytonosak z0 ∈ D-ben. Ekkor f + g, f − g, f g, illetve, ha g(z0 ) 6= 0, akkor f /g is folytonosak z0 -ban. Hasonlóan, 1.22. Tétel. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz és z0 torlódási pontja D-nek és tegyük fel, hogy az f, g : D → C függvényeknek létezik a határértékük z0 -ban és limz→z0 f (z) = u és

6

limz→z0 g(z) = v, ahol u, v ∈ C. Ekkor az f + g, f − g, f g, illetve, ha g(z0 ) 6= 0, v 6= 0, akkor az fg függvényeknek is létezik a határértékük a z0 pontban, és lim (f (z) − g(z)) = u − v;   f (z) u lim = . z→z0 g(z) v

lim (f (z) + g(z)) = u + v;

z→z0

z→z0

lim (f (z)g(z)) = uv;

z→z0

Összetett függvények esetén a következő állítások teljesülnek: 1.23. Tétel. Legyen D1 , D2 ⊂ C és f : D1 → C, valamint g : D2 → C, ahol f (D1 ) ⊂ D2 . Ha f folytonos z0 ∈ D1 -ben, g pedig folytonos f (z0 )-ban, akkor a g ◦ f összetett függvény is folytonos z0 -ban. 1.24. Tétel. Legyen D1 ⊂ C és f : D1 → C, valamint g : f (D1 ) → C. Továbbá legyen z0 a D1 -nek, w0 pedig f (D1 )-nek torlódási pontja úgy, hogy z 6= z0 esetén f (z) 6= w0 . Ha léteznek a következő határértékek lim f (z) = w0 ;

lim g(w) = A,

z→z0

w→w0

akkor létezik a limz→z0 (g ◦ f )(z) = A. A fenti tételek alapján látható, hogy a komplex függvények folytonosságára illetve határértékeire vonatkozóan hasonló szabályok érvényesek, mint a valós függvényekkel kapcsolatban. 1.2. Lineáris törtfüggvények. Ebben a részben a komplex lineáris törtfüggvények geometriai szerkezete kerül leírásra. A valós esettől komplikáltabb a szerkezet. Már az az + b alakú lineáris függvényt tekintve is könnyen észrevehető a különbség. Valós esetben ugyanis egy ilyen lineáris transzformáció egy nyújtás és egy eltolás kompozíciójaként áll elő, a komplex esetben azonban már megjelenik a forgatás is. 1.25. Definíció. A

az + b (z ∈ C) cz + d alakú függvényeket, ahol a, b, c, d ∈ C, melyekre teljesül, hogy a b 6= 0, c d w = f (z) =

lineáris törtfüggvényeknek nevezzük. Ezen törtfüggvények vizsgálatához tegyük fel először, hogy c 6= 0. Ekkor a lineáris törtfüggvény a z = −d/c helyen nincs értelmezve. Viszont ekkor észrevehetjük, hogy z → −d/c esetén |f (z)| → ∞. Abban az esetben pedig, amikor |z| → ∞ , akkor f (z) → a/c. A definícióban szereplő törtfüggvényt úgy értelmezve, hogy a z = −d/c pontnak a ∞ pontot feleltetjük meg, a z = ∞ pontnak pedig az a/c pontot, a lineáris törtfüggvény a kibővített komplex számsíkot (illetve a Riemann-féle számgömböt) egyértelműen képezi le önmagára.

7

A következő lépésben tegyük fel, hogy c = 0. Ekkor a feltételek miatt d 6= 0, így b a f (z) = z + d d alakú lineáris függvény adódik. Ekkor |z| → ∞ esetén |f (z)| → ∞. Így azt kapjuk, hogy z = ∞ pontnak a ∞ pontot megfeleltetve, a lineáris törtfüggvény a kibővített komplex számsíkot (illetve a Riemann-féle számgömböt) egyértelműen képezi le önmagára. Az f függvény inverze is könnyen kiszámolható, mely szintén lineáris törtfüggvény dw − b . −cw + a A továbbiakban a lineáris törtfüggvények szerkezetét vizsgáljuk meg. Megnézzük, hogy milyen transzformációk kompozíciójaként állíthatóak elő ezek a törtfüggvények. Az elsőként vizsgált, c = 0 esetben f −1 (w) =

b a f (z) = z + = a1 z + b1 d d alakú lineáris függvény, ahol a1 6= 0. Kisebb átalakítás után adódik, hogy f (z) = a1 (z +

b1 a1 b1 )= |a1 | (z + ), a1 |a1 | a1

ahol z 7→ (z + ab11 ) egy eltolást, a |a1 | valós számmal való szorzás egy nyújtást vagy zsugorítást, végül a |aa11 | egy abszolútértékű komplex számmal való szorzás egy forgatást jelent. A c 6= 0 esetben pedig bc−ad a bc − ad a 1 az + b 2 , = + c d = + · f (z) = 2 cz + d c z+ c c c z + dc

alakban írható, ahol z 7→ z +

a c

egy eltolás, a bc − ad c2 számmal való szorzás egy nyújtás vagy zsugorítás és egy forgatás kompozíciója és z 7→

1 z+

d c

egy eltolás és a reciprok vétel kompozíciója. A reciprok vételt tovább vizsgálva, z 7→

1 z z = 2 = 2, z |z| |z|

adódik, ami egy egységkörre vonatkozó tükrözés z z 7→ 2 |z| és egy tükrözés z 7→ z kompozíciója. Összefoglalva a fentieket:

8

1.26. Tétel. Minden komplex lineáris törtfüggvény előállítható a következő egyszerű transzformációk kompozíciójaként: • • • • •

eltolás nyújtás forgatás (origó körül, rögzített szöggel) valós tengelyre való tükrözés egységkörre való inverzió.

1.27. Megjegyzés. • Az eltolás, a nyújtás, a forgatás, a valós tengelyre való tükrözés, valamint az egységkörre való inverzió is kört körbe vagy egyenesbe, egyenest pedig egyenesbe vagy körbe képeznek. (Valójában ezek közül csak az egységkörre való inverzió az a transzformáció, ami a kört átviszi egyenesbe, az egyenest pedig körbe.) Valamint két egyenest tekintve, az általuk bezárt szög megegyezik a fenti leképezések során kapott egyenesek által bezárt szöggel, azaz ezen leképezések szögtartóak. • A forgási irányt pedig csak a valós tengelyre való tükrözés és az egységkörre való inverzió fordítja meg, de ezek a lineáris törtfüggvény szerkezetében mindig egyszerre fordulnak elő. Ezeket összefoglalva: 1.28. Tétel. Lineáris törtfüggvény szögtartó (konformis) és a forgási irányt is megtartja. Továbbá kört körbe vagy egyenesbe és egyenest egyenesbe vagy körbe képez. 1.29. Definíció. Legyen z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C. Ezen komplex számok kettős viszonya alatt a következő mennyiséget értjük: z3 − z1 z4 − z1 (z1 , z2 , z3 , z4 ) = · . z3 − z2 z4 − z2 1.30. Tétel. A lineáris törtfüggvény megtartja a kettősviszonyt. A következő alakú lineáris törtfüggvények segítségével a felső félsík egységkörlapra való leképezése is elérhető z−α w=k , z−α ahol k és α olyan komplex számok, melyekre |k| = 1 és az α képzetes része pozitív. Valamint az alábbi alakú lineáris törtfüggvényeket alkalmazva az egységkörlap is leképezhető önmagára z−α w=k , 1 − αz ahol k és α tetszőleges komplex számok, melyekre |k| = 1 és |α| < 1.

9

2. Síkbeli tartományok

2.1. Definíció. Az X metrikus teret összefüggőnek nevezzük, ha nem létezik U, V ⊂ X nemüres, nyílt részhalmaz, hogy U ∩ V = ∅ és U ∪ V = X. 2.2. Tétel. Legyen X metrikus tér. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: (1) X nem összefüggő; (2) ∃ A ⊂ X nyílt-zárt halmaz, melyre A 6= ∅, A 6= X; (3) ∃ f : X → R folytonos függvény: f (X) = {0, 1}. Bizonyítás. (1) ⇒ (2) Ha X nem összefüggő, akkor felbontható két nemüres, diszjunkt nyílt részhalmaz uniójára, azaz ∃ U, V ⊂ X nemüres, nyílt részhalmazok, melyekre U ∩ V = ∅ és U ∪ V = X. Tekintve az U nemüres, nyílt halmazt, ennek komplementuma a U c = V , mely szintén nemüres, nyílt. Ebből következően U zárt is és U 6= X. (2) ⇒ (1) Ha U olyan nyílt-zárt halmaz, amire U 6= ∅, U 6= X, akkor mivel U zárt, akkor komplementuma nyílt és mivel U nem az egész tér, akkor U c 6= ∅. Így elő tudtuk állítani az X metrikus teret két nemüres, diszjunkt, nyílt halmaz uniójaként. (1) ⇒ (3) X = U ∪ V , ahol U, V nyílt, U, V 6= ∅. Ekkor legyen ( 0 ha x ∈ U f (x) = 1 ha x ∈ V. Könnyen látható, hogy f (X) = {0, 1}. Valamint f folytonos is, ugyanis R egy N nyílt részhalmaza esetén az N halmaz f általi inverz képe U, V, ∅ illetve X valamelyike lesz, melyek mindegyike nyílt. (3) ⇒ (1) Létezik f : X → R folytonos, melyre f (X) = {0, 1}. Ekkor legyen ·

·

U = f −1 ((−1/2, 1/2))

V = f −1 ((1/2, 3/2)).

A folytonosság miatt U és V nyílt, diszjunkt, melyekre U ∪V = X. Így X nem összefüggő.

2.3. Definíció. Az X metrikus tér részhalmaza összefüggő, ha mint altér (metrikus tér) összefüggő. 2.4. Állítás. Legyen X metrikus tér és A ⊂ X részhalmaza. Az A altér nyílt részhalmazai az A ∩ U alakú halmazok, ahol U ⊂ X nyílt. Hasonló igaz zárt halmazokra is. Bizonyítás. Legyen A részhalmaza X-nek és U ⊂ X nyílt halmaz. Az U -nak minden pontja belső pont. Tekintsünk az A ∩ U halmazból egy pontot. Ez U -nak belső pontja, így ha vesszük ezen belső pont A-ba eső környezetét, akkor látható, hogy az említett pont az A ∩ U halmaznak belső pontja lesz. Minden metszetbeli ponthoz tudunk olyan környezetet adni, ami benne van A-ban. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy A ∩ U nyílt A-ban.

10

Megfordítva, meg kell mutatni, hogy A minden nyílt halmaza A ∩ U alakú. Legyen N ⊂ A nyílt A-ban. Vegyünk N minden pontja körül olyan nyílt környezetet, amely benne van N -ben. Így N egy lefedését kapjuk, azaz [ N= {Dr (x) ∩ A|r > 0, Dr (x) ∩ A ⊂ N }, x∈N

így ! N=

[

{Dr (x)|r > 0, Dr (x) ∩ A ⊂ N }

∩ A,

x∈N

ahol

S

x∈N {Dr (x)|r


> 0, Dr (x) ∩ A ⊂ N } nyilvánvalóan nyílt részhalmaza X-nek.

2.5. Tétel. Összefüggő metrikus tér folytonos képe is összefüggő. 2.6. Definíció. Legyen X metrikus tér. Az A ⊂ X részhalmaz maximálisan összefüggő, ha nem létezik B ⊂ X összefüggő részhalmaz, hogy A ⊂ B és A 6= B. 2.7. Definíció. Metrikus tér maximális összefüggő részhalmazait a tér komponenseinek nevezzük. 2.8. Állítás (Komponensek létezése). Legyen X egy metrikus tér és x ∈ X. Ekkor azon összefüggő részhalmazok uniója, melyek x-et tartalmazzák X egy komponensét adják. Az, hogy ez maximális, az nyilvánvaló. Az összefüggőség pedig a következő állításból következik. 2.9. Állítás. Metrikus térben tekintsük összefüggő halmazok egy tetszőleges rendszerét. Ha ezek metszete nemüres, akkor uniója összefüggő. Bizonyítás. Ez az állítás a 2.2 tétel (3)-as részéből következik. Ha ezen Y unió nem lenne összefüggő, akkor lenne olyan f : Y → {0, 1} folytonos függvény, hogy f (Y ) = {0, 1}. Legyen x tetszőleges közös eleme a halmazrendszer tagjainak, y ∈ Y pedig olyan elem, melyre f (x) 6= f (y). Nyilván y eleme az uniót alkotó halmazok valamelyikének, ez viszont x-et is kell tartalmazza. Tehát ezen az összefüggő halmazon az f folytonos függvény a 0-t és az 1-t is felveszi, ami nyilvánvaló ellentmondás. 2.10. Állítás. Legyen X metrikus tér és C1 illetve C2 két tetszőleges komponense X-nek. Ekkor C1 ∩ C2 = ∅. Így a komponensek a metrikus tér egy osztályozását adják. 2.11. Definíció. Az X metrikus teret ívszerűen összefüggőnek nevezzük, ha ∀ x ∈ X, y ∈ X esetén ∃ a, b ∈ R, a ≤ b és γ : [a, b] → X folytonos függvény, melyre γ(a) = x és γ(b) = y. 2.12. Állítás. Minden ívszerűen összefüggő metrikus tér összefüggő, de a megfordítás nem igaz. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy X ívszerűen összefüggő, de nem összefüggő. Ekkor ∃ f : X → R folytonos függvény, melyre f (X) = {0, 1}. Ami azt jelenti, hogy ∃ x, y ∈ X,

11

melyre f (x) = 0 és f (y) = 1. Másrészt, mivel X ívszerűen összefüggő, ∃ a, b ∈ R, hogy a ≤ b és γ : [a, b] → X folytonos függvény, melyre γ(a) = x illetve γ(b) = y. Ekkor f ◦ γ is folytonos lesz az [a, b] intervallumon és (f ◦ γ)([a, b]) = {0, 1}, ami ellentmondás, hiszen az [a, b] intervallum összefüggő. Vegyük a síkon a H = {(x, sin 1/x)|x > 0} halmazt. Ez ívszerűen összefüggő, így összefüggő. A H lezártat tekintve, az összefüggőség megmarad, azonban ívszerűen nem összefüggő a H halmaz. 2.13. Állítás. Legyen X metrikus tér és A ⊂ X összefüggő részhalmaz. Ekkor tetszőleges A ⊂ B ⊂ A esetén B is összefüggő. Ez az állítás megint a 2.2 tétel (3)-as része alapján igazolható. 2.14. Állítás. Ha D ⊂ C nyílt, akkor D komponensei nyílt halmazok (nyílt részhalmazai a síknak). Bizonyítás. Legyen C a D egy komponense. A D nyíltsága miatt, a C egy x pontjához ∃ r > 0 : Dr (x) ⊂ D. Ez a Dr (x) nyílt körlap azonban összefüggő, hiszen ívszerűen összefüggő. C maximális összefüggősége miatt ekkor Dr (x) ⊂ C, azaz C tetszőleges pontja körül van olyan nyílt körlap, ami benne van C-ben. Így C nyílt. 2.15. Definíció. Ha T ⊂ C nemüres, összefüggő, nyílt halmaz, akkor T -t tartománynak nevezzük. 2.16. Tétel. Ha T tartomány, akkor T bármely két pontja T -beli töröttvonallal (véges sok szakasz uniójával) összeköthető és így T ívszerűen összefüggő. Bizonyítás. Legyen z ∈ T . Jelölje Ez a T azon pontjait, amelyek összeköthetőek a z ponttal töröttvonal segítségével, Nz pedig azon pontokat, amelyek nem. Ekkor Ez ∪ Nz = T és Ez ∩ Nz = ∅. Azt állítjuk, hogy mindkét halmaz nyílt. Ez 6= ∅, mivel z ∈ Ez . Legyen w ∈ Ez , ekkor ∃ r > 0 : Dr (w) ⊂ T és minden Dr (w)-beli u elemre u ∈ Ez . Ami azt jelenti, hogy Ez nyílt. Ugyanez a gondolat működik Nz -re. Összefoglalva a fentieket: T = Ez ∪ Nz ;

Ez ∩ Nz = ∅;

Ez 6= ∅;

melyekből T összefüggősége miatt következik, hogy Nz = ∅, Ez = T .

3. Komplex függvények differenciálhatósága

3.1. Definíció. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f : D → C és z0 ∈ D. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható a z0 pontban, ha létezik a lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

12

határérték. Továbbá ezt a komplex számot az f függvény z0 pontbeli differenciálhányadosának nevezzük és f 0 (z0 )-lal jelöljük. Ha f differenciálható a D minden pontjában, akkor f -et holomorfnak nevezzük D-n. Adott D esetén az összes ilyen f függvény halmazát H(D)-vel jelöljük. 3.2. Állítás. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz és f, g : D → C olyan függvények, melyek differenciálhatóak a z0 ∈ D pontban. Ekkor • f + g is differenciálható z0 -ban és (f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g 0 (z0 ); • bármely c ∈ C esetén (cf ) is differenciálható a z0 pontban és (cf )0 (z0 ) = cf 0 (z0 ); • (f g) is differenciálható a z0 pontban és (f g)0 (z0 ) = f 0 (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g 0 (z0 ); • ha g(z0 ) 6= 0, akkor

f g

is differenciálható z0 -ban és

 0 f f 0 (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g 0 (z0 ) . (z0 ) = g [g(z0 )]2 Továbbá, ha D0 ⊂ C nyílt, f (D) ⊂ D0 és a h : D0 → C függvény differenciálható f (z0 )ban, akkor h ◦ f is differenciálható a z0 pontban és (h ◦ f )0 (z0 ) = h0 (f (z0 ))f 0 (z0 ). Ezen differenciálási szabályok bizonyításai teljesen analóg módon történnek, mint valós függvények esetén. 3.3. Állítás. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f : D → C és z0 ∈ D. Ha f differenciálható z0 -ban, akkor f folytonos a z0 pontban. 3.4. Megjegyzés. A fentiek szerint, tetszőleges D ⊂ C nyílt halmaz esetén H(D) függvényalgebra. A következőkben a komplex differenciálhatóságra szeretnénk kritériumot adni a valós differenciálhatóság segítségével. Látni fogjuk, hogy a valós differenciálhatóság nem elegendő feltétel. Emellett szükség lesz az úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletek teljesülésére is. Rögzítsünk néhány jelölést. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz és tekintsük az f : D → C komplex függvényt. A z = x + iy (x, y ∈ R) jelöléssel f (z) = u(x, y) + iv(x, y), ahol u, v : D ⊂ R2 → R.

13

3.5. Tétel. A fenti jelölésekkel az f függvény (komplex értelemben) differenciálható a z0 = x0 + iy0 ∈ D (x0 , y0 ∈ R) pontban akkor és csak akkor, ha az u, v kétváltozós valós függvények differenciálhatóak az (x0 , y0 ) pontban (valós értelemben) és teljesülnek az alábbi úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletek: ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ); ∂x ∂y ∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ). ∂y ∂x Továbbá ebben az esetben f 0 (z0 ) =

∂v ∂u (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ). ∂x ∂x

Bizonyítás. Az f függvény pontosan akkor differenciálható (komplex értelemben) a z0 = x0 + iy0 pontban, ha ∃ a, b ∈ R, hogy lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) = a + ib. z − z0

A jobboldalt kivonva és közös nevezőre hozva ez ekvivalens a következővel: lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) − (a + ib)(z − z0 ) = 0, z − z0

ami pedig részletesen kiírva, azt jelenti, hogy ha z → z0 és z = x + iy (x, y ∈ R), akkor u(x, y) − u(x0 , y0 ) + i(v(x, y) − v(x0 , y0 )) − z − z0 a(x − x0 ) − b(y − y0 ) + ib(x − x0 ) + ia(y − y0 ) → 0. − z − z0 A képzetes és a valós részt különvéve z → z0 esetén u(x, y) − u(x0 , y0 ) − (a(x − x0 ) − b(y − y0 )) + z − z0 i[v(x, y) − v(x0 , y0 ) − (b(x − x0 ) + a(y − y0 ))] →0 + z − z0 A következőkben felhasználjuk, hogy egy komplex számsorozat pontosan akkor tart 0hoz, ha abszolút értéke tart 0-hoz, az abszolút érték pedig pontosan akkor tart 0-hoz, ha az abszolút érték négyzete tart a 0-hoz. Ez jelen esetben azt jelenti, hogy [u(x, y) − u(x0 , y0 ) − (a(x − x0 ) − b(y − y0 ))]2 →0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 és [v(x, y) − v(x0 , y0 ) − (b(x − x0 ) + a(y − y0 ))]2 → 0. (x − x0 )2 + (y − y0 )2 Ez ekvivalens azzal, hogy u és v differenciálható (x0 , y0 )-ban és u0 (x0 , y0 ) = (a, −b);

v 0 (x0 , y0 ) = (b, a),

14

azaz u és v differenciálható az (x0 , y0 ) pontban és teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek. Továbbá, ha f differenciálható a z0 pontban, akkor f 0 (z0 ) = a + ib =

∂v ∂u (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ). ∂x ∂x

Nézzünk néhány példát ezzel kapcsolatban: (1) Tekintsük a z → Re(z) (z ∈ C) leképezést. Ekkor egy (x, y) komplex szám esetén (x, y) → (x, 0), ami valós értelemben minden pontban differenciálható. A Cauchy-Riemann egyenletek azonban a következők: ∂u = 1; ∂x ∂u = 0; ∂y

∂v =0 ∂x ∂v = 0, ∂y

azaz a Cauchy-Riemann egyenletek sehol sem állnak fent, így a tétel szerint ez a függvény komplex értelemben sehol sem differenciálható. (2) A z → |z|2 (z ∈ C), azaz az (x, y) → (x2 + y 2 , 0) (x, y ∈ R) leképezés valós értelemben minden pontban diferrenciálható. Nézzük a Cauchy-Riemann egyenleteket: ∂u ∂v = 2x; =0 ∂x ∂x ∂v ∂u = 2y; = 0. ∂y ∂y Csak a (0, 0) pontban áll fenn a Cauchy-Riemann egyenlet, ami azt jelenti, hogy a függvény komplex értelemben pontosan a (0, 0) pontban differenciálható. (3) Végül tekintsük a z → z (z ∈ C), azaz az (x, y) → (x, −y) (x, y ∈ R) leképezést, ami valós értelemben szintén minden pontban differenciálható. Azonban ∂u ∂v = 1 6= −1 = , ∂x ∂y miatt kapjuk, hogy komplex értelemben egyetlen pontban sem differenciálható. Ebben az esetben a problémát a tükrözés jelenti, ami a forgási irányt megfordítja. A differenciálható esetben sosem fordulhat meg a forgási irány. Valóban, ha D ⊂ C nyílt, f : D → C pedig differenciálható z0 ∈ D-ben, továbbá f 0 (z0 ) 6= 0, akkor f lineárisan approximálható, azaz f (z) − f (z0 ) = f 0 (z)(z − z0 ) + ω(z)(z − z0 ) (z ∈ C) valamely ω : D → C függvénnyel, melyre ω(z) → 0, ha z → z0 . Ekkor f (z) ≈ f 0 (z0 )(z − z0 ) + f (z0 ) z0 egy kicsi környezetében, így f (z) jól közelíthető nyújtás, forgatás és eltolás segítségével, melyek mindegyike szögtartó és a forgási irányt megtartja. Következésképpen, ha egy komplex függvény a forgási irányt nem tartja meg, akkor nem lesz differenciálható komplex értelemben.

15

4. Hatványsorok P Pn 4.1. Definíció. A ∞ n=0 cn komplex számsort konvergensnek nevezzük, ha az sn = k=0 ck részletösszegek sorozatának létezik a határértéke, azaz ∃ c ∈ C : sn → c, ha n → ∞. P P∞ 4.2. Definíció. A ∞ n=0 cn számsort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a n=0 |cn | valós számsor konvergens. 4.3. Megjegyzés. Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens. P 4.4. Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium). Legyen ∞ n=0 cn komplex tagú sor. p P ∞ (1) Ha lim n |cn | < 1, akkor a n=0 cn sor abszolút konvergens; p P (2) ha lim n |cn | > 1, akkor a ∞ n=0 cn sor divergens. P 4.5. Tétel (D’Alembert-féle hányadoskritérium). Legyen ∞ n=0 cn olyan komplex tagú sor, melyre ∃ n0 ∈ N, hogy n0 < n esetén cn 6= 0. P cn+1 (1) Ha lim cn < 1, akkor a ∞ n=0 cn sor abszolút konvergens; P∞ cn+1 (2) ha lim cn > 1, akkor a n=0 cn sor divergens. 4.6. Megjegyzés. A Cauchy-féle gyökkritérium "jobb" abban az értelemben, hogy ha egy sor konvergenciáját el lehet dönteni a D’Alembert-féle hányadoskritériummal, azt el lehet dönteni a gyökkritériummal is. Ha ugyanis an > 0 (n ∈ N), akkor     √ √ an+1 an+1 n n lim ≤ lim an ≤ lim an ≤ lim . an an A következő sorozat egy olyan példa, ahol a Cauchy-féle gyökkritérium segítségével eldönthető a konvergencia, de a D’Alembert-féle hányadoskritériummal nem. Legyen ( 3−n , ha n páros an = 5−n , ha n páratlan. √ Ekkor lim n an = 31 < 1, viszont  −n  −n 5−(n+1) 1 5 3−(n+1) 1 3 = · ; = · , −n −n 3 5 3 5 3 5 amiből

 lim

an+1 an



 = 0;

lim

an+1 an

 = ∞.

4.7. Definíció. Legyen z0 ∈ C és cn ∈ C adottak n = 0, 1, 2... esetén. Ekkor a P∞ n (z ∈ C) sort z0 körüli hatványsornak nevezzük. Ezen hatványsor n=0 cn (z − z0 ) konvergenciasugara  p 1 n  √ , ha 0 < lim |cn | < ∞   lim n |cn | p R= 0 , ha lim n |cn | = ∞  p   ∞ , ha lim n |cn | = 0.

16

P n 4.8. Tétel (Cauchy-Hadamard tétel). Legyen a ∞ n=0 cn (z − z0 ) hatványsor konvergenciasugara R. Ekkor P (1) ha |z − z0 | < R, akkor a ∞ cn (z − z0 )n sor abszolút konvergens; Pn=0 n (2) ha |z − z0 | > R, akkor a ∞ n=0 cn (z − z0 ) divergens. Bizonyítás. A Cauchy-féle gyökkritérium alapján, ha p lim|z − z0 | n |cn | < 1, akkor a hatványsor abszolút konvergens z-ben és ha p lim|z − z0 | n |cn | > 1, p akkor divergens z-ben. A lim n |cn | értéke alapján három esetet különböztetünk meg. Legyen először p 0 < lim n |cn | < ∞. 1 √ esetén a hatványsor konvergens a z pontban, |z − z0 | > lim n |cn | p esetén a hatványsor divergens a z pontban. A lim n |cn | = 0 esetben a hatványsor minden p z pontban abszolút konvergens. Végül, ha lim n |cn | = ∞, akkor a hatványsor csak a z = z0 pontban konvergens.

Ekkor |z − z0 | <

1 √ lim n |cn |

4.9. Megjegyzés. Az R konvergenciasugár egyértelműen meghatározott azáltal, hogy a z0 körüli, R sugarú körlap belsejében abszolút konvergens a hatványsor, azon kívül pedig divergens. Függvénysorként tekintve a hatványsort, a konvergenciasugárnak megfelelő nyílt körlap belsejében az pontonként konvergens lesz, azonban sokkal hasznosabb lenne, ha az egyenletes konvergencia is teljesülne. A konvergenciasugárnak megfelelő teljes nyílt körlapon ez nem teljesül, azonban igaz a következő tétel. P 4.10. Tétel. A fenti jelölésekkel, ha R0 < R, akkor a ∞ n=0 cn (z − z0 ), mint függvénysor 0 egyenletesen konvergens a |z − z0 | ≤ R zárt körlapon. Bizonyítás. Legyen R0 < R, ekkor R0 <

1 √ , lim n |cn |

mely szerint létezik olyan q, hogy

p lim n |cn |R0 < q < 1. A lim definíciója miatt, ebből következik, hogy ∃ n0 ∈ N, melyre p sup n |cn |R0 < q, n0 ≤n

azaz ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ n0 ≤ n p n |cn |R0 < q. Végül ezt n-edik hatványra emelve kapjuk, hogy (R0 )n |cn | < q n ,

17

melyet felhasználva az adódik, hogy |cn (z − z0 )n | = |cn ||z − z0 |n ≤ |cn |(R0 )n < q n

(z ∈ DR0 (z0 )).

Így a függvénysor n0 < n indexű tagjai az R0 sugarú zárt körlapon a z-től függetlenül abP n szolút értékben becsülhető a ∞ n=0 q konvergens numerikus sor megfelelő tagjaival. Így a Weierstrass majoráns kritérium miatt a hatványsor egyenletesen konvergens a DR0 (z0 ) zárt körlapon. 4.11. Tétel. Legyen cn ∈ C, n ∈ N ∪ {0} és z0 ∈ C, továbbá legyen a hatványsor konvergenciasugara R. Ekkor az f (z) =

∞ X

cn (z − z0 )n

P∞

n=0 cn (z

− z0 )n

(|z − z0 | < R)

n=0

módon értelmezett függvény differenciálható és deriváltja 0

f (z) =

∞ X

ncn (z − z0 )n−1

(|z − z0 | < R).

n=1

Ebből következik, hogy az f függvény végtelen sokszor differenciálható és a cn együtthatókat egyértelműen meghatározza az összegfüggvény a következő módon: f (n) (z0 ) cn = n!

(n ∈ N ∪ {0}).

Bizonyítás. Legyen R0 < R és z, w ∈ DR0 (z0 ). Írjuk ki tagonként az f függvényt a z és w helyen, f (z) = c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + c3 (z − z0 )3 + ...; f (w) = c0 + c1 (w − z0 ) + c2 (w − z0 )2 + c3 (w − z0 )3 + ... A formális, tagonkénti differenciálással g(w) = c1 + 2c2 (w − z0 ) + 3c3 (w − z0 )2 + ... adódna. A g(w) pontosan akkor konvergens, ha w 6= z0 esetén a ∞ X

ncn (w − z0 )n

n=1

konvergens. Ez utóbbi hatványsor konvergenciasugara, felhasználva a p p √ √ p lim n n → 1, lim n n|cn | = lim n n n |cn | = lim n |cn | n→∞

összefüggéseket, szintén R lesz. Azonban ez a hatványsor pontosan ott konvergens, ahol a g konvergens, ami azt jelenti a 4.9 megjegyzés miatt, hogy g konvergenciasugara szintén R. A továbbiakban azt állítjuk, hogy f (z) − f (w) − g(w) → 0, z−w

18

ha z → w.

A baloldalt részletesebben kiírva c1 ((z − z0 ) − (w − z0 )) + c2 ((z − z0 )2 − (w − w0 )2 ) + c3 ((z − z0 )3 − (w − w0 )3 ) + . . . z−w −(c1 + 2c2 (w − z0 ) + 3(w − z0 )2 + . . .). Látható, hogy a következő alakú tagokat kell vizsgálni, cn [(z − z0 )n − (w − z0 )n ] − cn n(w − z0 )n−1 = z−w   (z − z0 )n − (w − z0 )n n−1 (n ∈ N). = cn − n(w − z0 ) z−w Általánosabb formában tekintve és a cn szorzót elhagyva a fenti kifejezés következőképpen írható an − b n − nbn−1 , a−b ahol a, b ∈ C. Ezt részletesen kiírva

(3)

an − b n − nbn−1 = a−b n−1 n−2 n−2 =a + a b + . . . + ab + bn−1 − bn−1 − bn−1 − . . . − bn−1 − bn−1 = (an−1 − bn−1 ) + (an−2 b − bn−1 ) + . . . + (abn−2 − bn−1 )

Az utóbbi összeg minden tagja felírható szorzat alakban, an−1 − bn−1 = (a − b)(an−2 + an−3 b + an−4 b2 + . . . + abn−3 + bn−2 ) an−2 b − bn−1 = (a − b)(ban−3 + ban−4 b + . . . + babn−4 + bbn−3 ) .. . abn−2 − bn−1 = (a − b)bn−2 , melynek segítségével az (3) továbbírható (a − b)(an−2 + 2an−3 b + . . . + (n − 1)bn−2 ) alakban. Abszolútértékben ez a kifejezés becsülhető: |(a − b)(an−2 + 2an−3 b + . . . + (n − 1)bn−2 )| ≤ ≤ |(a − b)|(|an−2 | + 2|an−3 ||b| + . . . + (n − 1)|bn−2 |) ≤ ≤ |a − b|(1 + . . . + (n − 1))(R0 )n−2 ahol felhasználtuk, hogy a = z − z0 és b = w − z0 és így |a|, |b| < R0 . Így azt kaptuk, hogy ! ∞ X f (z) − f (w) n(n − 1) (4) − g(w) ≤ |z − w| |cn | (R0 )n−2 . z−w 2 n=2

19

Mivel egy konvergens sort megszorozva egy konstanssal a sor konvergens marad, ezért az alábbi két sor egyszerre konvergens (z 6= z0 ) ∞ X

n(n − 1) (z − z0 )n−2 ; cn 2 n=2

∞ X

cn

n=2

n(n − 1) (z − z0 )n . 2

Felhasználva, hogy a jobboldali hatványsor konvergenciasugara r r p p n n(n − 1) n n(n − 1) n |cn | = lim lim |cn | = lim n |cn | 2 2 miatt szintén R, valamint, hogy a fenti két hatványsor egyszerre konvergens, az adódik, hogy a baloldali hatványsor konvergenciasugara szintén R. A (4) esetén (z − z0 ) helyére az R- nél kisebb R0 van írva, így ! ∞ X n(n − 1) 0 n−2 → 0, (R ) |z − w| |cn | 2 n=2 ha z → w. Ebből következik, hogy z → w esetén a (4) baloldala is tart 0-hoz, azaz f 0 (w) = g(w). Továbbá írjuk ki ekkor f első néhány magasabbrendű deriváltját: f 0 (z) = c1 + 2c2 (z − z0 ) + 3c3 (z − z0 )2 + 4c4 (z − z0 )3 + . . . f 00 (z) = 2c2 + 3 · 2c3 (z − z0 ) + 4 · 3c4 (z − z0 )2 + . . . f 000 (z) = 3 · 2c3 + 4 · 3 · 2c4 (z − z0 ) + . . . f (4) (z) = 4 · 3 · 2 · 1c4 + . . . . Ekkor az együtthatókra igaz az alábbi összefüggés: f (n) (z0 ) = n!cn .

5. Exponenciális és trigonometrikus függvények

5.1. Definíció. exp(z) =

∞ X zn n=0

n!

cos(z) =

∞ X (−1)n 2n+1 sin(z) = z ; (2n + 1)! n=0

;

∞ X (−1)n n=0

(2n)!

z 2n

(z ∈ C).

Ha numerikus sorként tekintem az exp függvényt definiáló kifejezést és nem hatványsorként, akkor a D’Alembert-féle hányadoskritérium alapján: cn+1 z cn = n + 1 → 0, ha n → ∞,

20

azaz ez a sor minden z ∈ C esetén abszolút konvergens, a konvergenciasugara ∞. Ugyanilyen módon belátható, hogy a másik két függvénysor is a teljes komplex számsíkon értelmezett, komplex értelemben végtelen sokszor differenciálható függvények lesznek. 5.2. Definíció. A teljes C számsíkon értelmezett, differenciálható függvényeket egész függvényeknek nevezzük. A 4.10 illetve a 4.11 tételek miatt kapjuk, hogy tetszőlegesen nagy, véges sugarú, zárt körlapon a konvergencia egyenletes lesz, illetve a derivált meghatározható tagonkénti differenciálással. 5.3. Tétel. Az exp, sin és cos függvények differenciálhatóak és exp0 (z) = exp(z);

sin0 (z) = cos(z);

cos0 (z) = − sin(z)

(z ∈ C).

5.4. Tétel (Euler-féle összefüggések). Az exp, sin és cos függvényekre teljesülnek az alábbi, úgynevezett Euler-féle összefüggések. exp(iz) = cos(z) + i sin(z);

exp(−iz) = cos(z) − i sin(z)

(z ∈ C).

A tétel könnyen igazolható a hatványsorokba történő behelyettesítéssel. A továbbiakban vezessük be az exp(z) = ez jelölést. 5.5. Következmény. Az Euler-féle összefüggések alapján igazak a következők: eiz − e−iz eiz + e−iz ; sin(z) = (z ∈ C). cos(z) = 2 2i P∞ P 5.6. Definíció. A ∞ n=0 dn komplex számsorok Cauchy-szorzata alatt a n=0 cn és a ! ∞ n X X ck dn−k n=0

k=0

módon definiált sort értjük. 5.7. Tétel. Két abszolút konvergens sor Cauchy-szorzata is abszolút konvergens és a Cauchy-szorzat összege a tényező sorok összegének a szorzata. Egy abszolút konvergens és egy feltételesen konvergens sor Cauchy-szorzata is konvergens, de nem abszolút konvergens és összege a tényezők összegének a szorzata. Az 5.7 tételből valamint abból, hogy az exp, sin és cos függvényeket definiáló sorok abszolút konvergensek következnek az alábbi állítások. 5.8. Tétel. ez · ew = ez+w ;

sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w);

cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w)

(z, w ∈ C).

Bizonyítás. Az első állításhoz írjuk fel a Cauchy-szorzat n-edik tagját: n X zk wn−k · . k! (n − k)! k=0

21

Ezt összegezve 0-tól végtelenig megkapjuk az ez és az ew abszolút konvergens sorok Cauchy-szorzatát, mely szintén abszolút konvergens lesz és ! ∞ n k n−k X X z w ez · ew = · . k! (n − k)! n=0 k=0 A jobboldal ekkor tovább alakítható, ! ∞ ∞ n X X X zk wn−k · = k! (n − k)! n=0 n=0 k=0

n

1 X zk wn−k n! · n! k=0 k! (n − k)!

! = ez+w

ahol felhasználtuk, hogy n X k=0

n!

zk wn−k · = (z + w)n . k! (n − k)!

Ennek segítségével már a másik két állítás is igazolható felhasználva az 5.5-ben szereplő összefüggéseket is. 5.9. Megjegyzés. Az előző tétel speciális eseteként megjegyezzük, hogy  π sin z + = cos(z), 2

felhasználva, hogy sin π2 = 1 és cos π2 = 0; valamint igaz a következő összefüggés is: 1 = cos(z − z) = cos2 (z) + sin2 (z) , ahol z ∈ C. 5.10. Megjegyzés. Legyen z = x + iy, ahol x, y ∈ R. Ekkor ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y), ahol ex = |ez | az ez hossza, y = arg ez π

ei 2 = i;

(mod 2π). Speciálisan, π

e−i 2 = −i;

e2πi = 1;

valamint eiπ = −1, amiből kapjuk, hogy eiπ + 1 = 0. A komplex exponenciális függvényt tovább vizsgálva, már találunk különbségeket a valós esethez képest. (1) Ilyen különbség például, hogy az exponenciális függvény periodikus az imaginárius tengely irányába, ugyanis ez+2πi = ez · e2πi = ez

(z ∈ C).

Megmutatható, hogy az exponenciális függvény csak 2πi egész számú többszörösei szerint periodikus. Tegyük fel, hogy x0 , y0 ∈ R úgy, hogy z0 = x0 + iy0 -ra fennáll ez+z0 = ez

22

(z ∈ C).

Ekkor ez0 = 1, azaz 1 = ez0 = ex0 (cos y0 + i sin y0 ), amiből adódik, hogy x0 = 0 és y0 = 2kπ (k ∈ Z), így z0 valóban 2kπi- vel lesz egyenlő. (2) Az exp függvény seholsem 0. Ha w ∈ C esetén ew = 0 lenne, akkor ez+w = ez · ew (z ∈ C) miatt az exp függvény azonosan 0 lenne. Ez ellentmondás, hiszen exp(0) = 1. Sőt, exp értékkészlete: C\{0}. Legyen ugyanis w ∈ C. Azt állítjuk, hogy ∃ z ∈ C, hogy w = ez . A w = ez = eRe(z) (cos Im(z) + i sin Im(z)),

(3)

(4) (5) (6)

összefüggés miatt, felhasználva a valós exp, sin és cos függvények tulajdonságait, z hosszát és argumentumát elő lehet állítani. Az exp függvény a komplex számsík x-tengellyel párhuzamos 2π szélességű, "felül zárt", "alul nyílt" sávját bijektív módon képezi le a C\{0}-ra. Az injektivitás a következő miatt áll fent. Ha ez = ew (z, w ∈ C), akkor ez−w = 1, amely azt jelenti, hogy z − w = 2kπi. Azonban a megadott sávon belül ez nem fordulhat elő, így z − w = 0. Ebben a sávban az x-tengellyel párhuzamos egyenes képe "origóból induló" (ahol az origó nincs benne) sugár. (Ugyanis a szög fix, csak a hossz változik.) A "mindkét oldalán nyílt" sáv képe: valamely sugártól és origótól megfosztott sík. Az y-tengellyel párhuzamos egyenes képe: origó körüli kör végtelen sokszor befutva.

A komplex számsíkon a −π és π által meghatározott "alul nyílt" és tekintve az exp függvény bijekció lesz, melynek értékkészlete ama komplex számsíkból a negatív félegyenest elhagyva kapunk. Ezen nevezzük a logaritmus főágának, mely differenciálható és deriváltja z

"felül nyílt" sávot halmaz, melyet a függvény inverzét 7→ z1 .

5.11. Megjegyzés. Nincs olyan függvény C\{0}-n, aminek deriváltja a z 7→ C\{0}) függvény.

1 (z z

∈

A továbbiakban a sin és cos függvények tulajdonságaival foglalkozunk. Ezen függvények zérushelyei ugyanazok lesznek, mint a valós esetben. Nézzük meg ezt a sin esetében. Egyrészt azt akarjuk, hogy sin(z) = 0 fennálljon valamely z ∈ C-re. Másrészt az 5.5 következmény alapján, sin(z) =

eiz − e−iz , 2i

amiből adódik, hogy eiz = e−iz és így e2iz = 1. Ekkor felhasználva az (5.10) megjegyzést következik, hogy 2iz = 2kπi (k ∈ Z),

23

azaz (k ∈ Z).

z = kπ

A cos függvényre hasonlóan megmutatható, hogy π (k ∈ Z). 2 Szintén az exp függvény segítségével belátható, hogy a valós esethez hasonlóan fennállnak az alábbiak: cos(z) = 0 ⇐⇒ z = (2k + 1)

cos(z) = cos(w) ⇐⇒ z = ±w + 2kπ sin(z) = sin(w) ⇐⇒ z = w + 2kπ

vagy

(k ∈ Z)

z = (π − w) + 2kπ

(k ∈ Z).

A sin és cos függvényeknél is van azonban egy nagy különbség a komplex és a valós eset között. Nevezetesen, míg valós esetben ezek a függvények korlátosak, addig a komplex sin és cos függvények minden komplex értéket felvesznek. Legyen w ∈ C tetszőleges. Belátjuk, hogy létezik olyan z ∈ C, melyre cos z = w. A 5.5 következményt felhasználva az utóbbi egyenlőség az alábbival ekvivalens w=

eiz + e−iz , 2

ahol eiz ∈ C\{0}. Az eiz = u jelöléssel ez azt adja, hogy w=

u+ 2

1 u

(u 6= 0),

melyet átalakítva a 0 = u2 − 2uw + 1 egyenlet adódik. Ez pedig az algebra alaptétele miatt garantáltan megoldható a komplex számok teste felett, ami azt jelenti, hogy ∃ z ∈ C : cos(z) = w. Felhasználva a sin2 (z) + cos2 (z) = 1 azonosságot, sin2 (z) = 1 − w2 adódik, melyet az Euler-féle cos(z) + i sin(z) = eiz összefüggésbe írva, a megfelelő megszorításokkal √ 1 z = log(w + w2 − 1), i ahol a log jelöli a logaritmus főágát. Hasonlóan a sin(z) = w egyenletből z=

√ π 1 + log(w − w2 − 1). 2 i

24

6. Pályamenti integrál

6.1. Definíció. A γ : [a, b] → C (a, b ∈ R, a < b) folytonos függvényt görbének nevezzük. A γ értékkészletét γ ∗ -gal jelöljük. A γ görbét zártnak nevezzük, ha γ(a) = γ(b). 6.2. Definíció. A γ : [a, b] → C görbe megfordításán a γˇ : [−b, −a] → C görbét értjük, melyre γˇ (t) = γ(−t) (t ∈ [−b, −a]). 6.3. Definíció. Legyen γ : [a, b] → C és δ : [b, c] → C két görbe, melyekre γ(b) = δ(b). Ekkor a γ és δ görbék egyesítésén a ( γ(t) ,ha t ∈ [a, b] (γ ∨ δ)(t) = δ(t) ,ha t ∈ [b, c]. módon definiált görbét értjük. 6.4. Definíció. A γ : [a, b] → C szakaszonként sima (szakaszonként folytonosan differenciálható) görbét pályának nevezzük. A zárt pálya olyan pálya, amely mint görbe zárt. 6.5. Megjegyzés. A görbéknél leírtakhoz hasonlóan értelmezhető a pályák megfordítása, valamint a pályák egyesítése. 6.6. Definíció. Legyen γ : [a, b] → C pálya, f : γ ∗ → C folytonos függvény. Ekkor az f függvény γ pályamenti integrálján a Z Z b f (z)dz = f (γ(t))γ 0 (t)dt γ

a

komplex számot értjük. 6.7. Megjegyzés. (1) A jobboldal létezik, hiszen a γ 0 szakaszonként folytonos. Azon intervallumokon kiszámolva az integrál értéket, ahol a γ 0 folytonos, majd ezeket az értékeket összeadva adódik a jobboldal által meghatározott komplex érték. (2) Az [a, b] felbontásától független a jobboldali integrál értéke. 6.8. Példák. (1) Legyen γ(t) = z0 + reit , ahol t ∈ [0, 2π], r > 0 és z0 ∈ C. Ekkor γ a z0 körüli, r-sugarú körpálya. Az f : γ ∗ → C folytonos függvény γ pályamenti integrálja: Z Z 2π Z 2π it it f (z)dz = f (z0 + re )re · idt = ir f (z0 + reit ) · eit dt. γ

0

0

(2) Legyen γ(t) = a + t(b − a), ahol t ∈ [0, 1] és a, b ∈ C. Ekkor γ az a és b pontokat összekötő szakaszpálya (lineáris pálya), melyre: Z Z 1 Z 1 f (z)dz = f (a + t(b − a))(b − a)dt = (b − a) f (a + t(b − a))dt γ

0

0 ∗

tetszőleges f ∈ C(γ ) esetén.

25

6.9. Megjegyzés. (1) Legyen γ : [a, b] → C pálya, f : γ ∗ → C folytonos függvény és ϕ : [α, β] → [a, b] olyan szürjektív, szigorúan monoton növekedő függvény, mely folytonosan differenciálható. Továbbá legyen γ1 = γ ◦ ϕ. Ekkor Z Z f (z)dz = f (z)dz. γ

γ1

R

Valóban, átalakítva az γ1 f (z)dz integrált, Z Z β f (z)dz = f ((γ ◦ ϕ)(t))γ 0 (ϕ(t))ϕ0 (t)dt = γ1

Z

α

β 0

b

Z

0

0

f (γ(ϕ(t)))γ (ϕ(t))ϕ (t)dt =

=

Z

f (γ(s))γ (s)ds =

α

a

f (z)dz. γ

(2) Legyen γ : [a, b] → C pálya, melynek megfordítása γˇ és f : γ ∗ → C folytonos függvény. Ekkor Z Z f (z)dz = − f (z)dz, γ ˇ

γ

ugyanis Z

Z

−a

f (ˇ γ (s))ˇ γ 0 (s)ds =

f (z)dz = −b

γ ˇ

Z

−a

Z

0

b

f (γ(t))γ 0 (t)dt.

f (γ(−s))γ (−s)(−1)ds = −

= −b

a

(3) Tekintsük a γ : [a, b] → C és δ : [b, c] → C pályákat, melyekre γ(b) = δ(b). Ekkor Z Z Z f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz. γ∨δ

γ

δ

(4) A pályamenti integrál lineáris. Legyen γ : [a, b] → C pálya és f, g : γ ∗ → C folytonos függvények. Ekkor Z Z Z (f + g)(z)dz = f (z)dz + g(z)dz; γ

valamint

γ

γ

Z

Z

f (z)dz

(λf )(z)dz = λ γ

(λ ∈ C).

γ

(5) A pályamenti integrált lehet becsülni a következőképpen. Legyen γ : [a, b] → C pálya és f : γ ∗ → C folytonos függvény. Ekkor Z f (z)dz ≤ kf k ∗ l(γ), γ γ

ahol kf kγ ∗ = sup |f (z)|, z∈γ ∗

továbbá l(γ) = sup

( n−1 X

) |γ(ti+1 ) − γ(ti )| : n ∈ N, a ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn ≤ b .

i=1

26

Megjegyezzük, hogy pálya esetén l(γ) =

Rb a

|γ 0 (t)|dt.

6.10. Következmény. Ha γ : [a, b] → C görbe, fn , f : γ ∗ → C (n ∈ N) folytonos függvények és fn → f egyenletesen (γ ∗ -on), akkor Z Z fn (z)dz → f (z)dz, γ

γ

azaz a pályamenti integrál és a határátmenet felcserélhető. Valóban, az integrálbecslést alkalmazva Z Z   Z fn (z)dz − f (z)dz = (fn − f )(z)dz ≤ sup |fn (z) − f (z)| l(γ) (n ∈ N), z∈γ ∗ γ

γ

γ

ahol supz∈γ ∗ |fn (z) − f (z)| a feltétel miatt tart 0-hoz midőn n → ∞. 6.11. Példák. (1) Legyen γ(t) = eit , ahol t ∈ [0, 2π] és f (z) = a pályamenti integrál: Z 2π 1 · eit · idt = 2πi. it e 0

1 z

(z ∈ C\0). Ekkor

(2) Tekintsük az f (z) = Re(z) és g(z) = z 2 (z ∈ C) függvényeket és integráljuk őket a következő pályák mentén.  h π i , γ(t) = eit t ∈ 0, 2 δ(t) = 1 + t(i − 1) (t ∈ [0, 1]). Ekkor kiszámolva a pályamenti integrálokat, Z Z i−1 iπ 1 − ; f (z)dz = . f (z)dz = 4 2 2 δ γ illetve, Z

Z 1 1 g(z)dz = − (1 + i); g(z)dz = − (1 + i). 3 3 γ δ A z 2 holomorf függvény esetén a megegyező kezdő-, illetve végpontú pályák mentén vett pályamenti integrál megegyezett, míg a komplex értelemben nem differenciálható z → Re(z) függvény esetén ezen pályamenti integrálok különböztek. 6.12. Tétel. Legyen γ : [α, β] → C zárt pálya, f : γ ∗ → C folytonos függvény. Definiáljuk a Z f (ξ) dξ (z ∈ / γ ∗) g(z) = ξ − z γ függvényt. Ekkor g holomorf függvény a C\γ ∗ halmazon, sőt előáll a g(z) =

∞ X

cn (z − z0 )n

n=0 ∗

hatványsor összegeként a z0 ∈ C\γ körüli azon legnagyobb sugarú nyílt körlapon, ami nem metsz bele a γ ∗ -ba. Továbbá itt Z f (ξ) dξ n = 0, 1, 2, ... cn = n+1 γ (ξ − z0 )

27

Bizonyítás. Világos, hogy g jól definiált komplex függvény C\γ ∗ -on. Továbbá elegendő megmutatni, hogy hatványsorba fejthető, ugyanis a 4.11 tétel szerint a hatványsorok végtelen sokszor differenciálhatóak. Felhasználva, hogy kompakt halmaz folytonos képe is kompakt halmaz, γ ∗ kompakt részhalmaza C-nek, amiből z0 ∈ / γ ∗ esetén d(z0 , γ ∗ ) = ρ > 0. Legyen ξ ∈ γ ∗ és z ∈ Dρ0 (z0 ), ahol ρ0 < ρ adott, tetszőleges pozitív szám. Tekintsük a (5)

1 1 1 h = = ξ−z (ξ − z0 ) − (z − z0 ) (ξ − z0 ) 1 −

z−z0 ξ−z0

i

kifejezést. Felhasználva, hogy |ξ − z0 | ≥ ρ és |z − z0 | < ρ0 < ρ kapjuk, hogy z − z0 ρ0 ξ − z0 < ρ < 1, ami egy ξ-től független becslés. Így (5) egyenlő a n ∞  X 1 z − z0 · ξ − z0 n=0 ξ − z0 kifejezéssel. Továbbá, ∞  0 n X ρ n=0

ρ

egy konvergens numerikus sor, ami a Weierstrass tétel miatt azt jelenti, hogy n ∞  X z − z0 ξ − z0 n=0 ξ-ben egyenletesen konvergens. Az f kompakt halmazon folytonos függvény, így f korlátos a γ ∗ -on, amiből következik, hogy ∞

X f (ξ) f (ξ) = (z − z0 )n n+1 ξ−z (ξ − z ) 0 n=0 is egyenletesen konvergens. Ekkor a 6.10 következmény miatt tagonként lehet integrálni, azaz  Z ∞ Z X f (ξ) f (ξ) dξ = dξ (z − z0 )n (|z − z0 | < ρ0 ), g(z) = n+1 ξ − z (ξ − z ) 0 γ γ n=0 ahol ρ0 < ρ tetszőleges. 6.13. Megjegyzés. A hatványsorba fejtés az egész ρ sugarú körlapon igaz. 6.14. Tétel. Legyen γ : [a, b] → C zárt pálya. Ekkor az Z 1 1 Indγ (z) = dξ (z ∈ / γ ∗) 2πi γ ξ − z módon definiált függvény a C\γ ∗ -on folytonos, egész értékű, ebből adódóan konstans a C\γ ∗ komponensein és zérus a C\γ ∗ nem korlátos komponensén.

28

Bizonyítás. Az előző 6.12 tétel miatt Indγ holomorf, így a pálya komplementerén folytonos. Az egész értékűséghez definiáljuk a Z t γ 0 (s) g(t)= ˙ ds t ∈ [a, b] (z ∈ C\γ ∗ ) γ(s) − z a függvényt. Ekkor a g : [a, b] → C függvény γ miatt szakaszonként sima, folytonos függvény lesz. Továbbá a h(t)=e ˙ −g(t) (γ(t) − z) t ∈ [a, b] módon definiált függvény szintén folytonos, szakaszonként sima függvény. Felhasználva, hogy integrálható függvény felső határfüggvénye folytonos, valamint folytonos függvény felső határfüggvénye differenciálható, kapjuk, hogy  0  γ (t) 0 −g(t) h (t) = e ·− (γ(t) − z) + e−g(t) γ 0 (t) = 0 γ(t) − z véges sok t ∈ [a, b] ponttól eltekintve. Ebből következik, hogy h konstans, így speciálisan h(a) = h(b), melyet részletesen kiírva γ(a) − z = e−2πi Indγ (z) (γ(b) − z) adódik. Innen γ zártsága miatt e2πi Indγ (z) = 1, majd az 5.10 megjegyzésből 2πi Indγ (z) = 2nπi n ∈ Z, így valóban, Indγ (z) = n n ∈ Z. c

γ ∗ nyílt részhalmaza C-nek, melynek egy felbontását adják a komponensei. A komponensek összefüggő halmazok és összefüggő halmaz képe szintén összefüggő, melyekből következik, hogy Indγ konstans a komponenseken. Továbbá, γ ∗ kompakt részhalmaza C-nek, így komplemeterének pontosan egy darab nem korlátos komponense van. Legyen M > 0, z ∈ C úgy, hogy d(z, γ ∗ ) > M és vizsgáljuk a ξ 7→

1 ξ−z

(ξ ∈ γ ∗ )

függvényt. Ekkor 1 1 ∗ ξ − z < M (ξ ∈ γ ), amiből a 6.9 megjegyzés (5) része miatt Z 1 1 ξ − z dξ ≤ M l(γ), γ ahol l(γ) adott konstans. Így kapjuk, hogy Indγ (z) tart 0-hoz, ahogy |z| → ∞, azaz Indγ c zérus a γ ∗ nem korlátos komponensén.

29

6.15. Definíció. A fenti tétel jelöléseivel az Indγ (z) mennyiséget a γ zárt pálya z-re vonatkozó körüljárási számának, illetve a z pont γ pályára vonatkozó indexének nevezzük. 6.16. Példa. Legyen γ : [0, 2π] → C a z0 ∈ C középpontú, r > 0 sugarú körpálya, azaz γ(t) = z0 + reit Ekkor 1 Indγ (z0 ) = 2πi

Z

t ∈ [0, 2π]. 2π

0

reit · i = 1. reit

7. Holomorf függvények Cauchy-elmélete

7.1. Állítás. Ha D ⊂ C nyílt, F ∈ H(D), ahol F 0 folytonos, továbbá γ : [a, b] → D zárt pálya, akkor Z F 0 (z)dz = 0. γ

Bizonyítás. Valóban, a Newton-Leibniz formulát szakaszonként alkalmazva Z b Z Z b 0 0 0 F (γ(t))γ (t)dt = (F ◦ γ)0 (t)dt = [F (γ(t))]ba = 0. F (z)dz = a

γ

a

7.2. Következmény. Ha γ : [a, b] → C zárt pálya, akkor Z z n dz = 0 n = 0, 1, 2, ..., γ

továbbá ez az egyenlőség teljesül n = −2, −3, ... esetén is, ha 0 ∈ / γ ∗. 7.3. Tétel (Goursat-lemma). Legyen D ⊂ C nyílt, H egy olyan háromszög-pálya, ami belsejével együtt benne van D-ben és f ∈ H(D). Ekkor Z f (z)dz = 0. H

Bizonyítás. Tekintsük a H = H0 háromszög-pályának azt a felbontását, amit úgy kapunk, hogy a háromszög-pálya minden oldalát megfelezzük és a felezőpontokat összekötjük egymással. Így 4 kisebb háromszög-pályát kapunk, legyenek ezek H11 , H12 , H13 és H14 . Végigjárva a keletkezett kis háromszög-pályákat pozitív irányban, a felező pontokat összekötő szakaszokon mindkét irányban áthaladunk, így ezeken a szakaszokon az integrál 0. Ez azt jelenti, hogy, ha a H0 eredeti háromszög-pályát is pozitív irányban járjuk végig, akkor Z Z Z Z Z I= f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz, H0

H11

H12

30

H13

H14

amiből következik, hogy valamelyik H1i feletti integrál abszolútértéke legalább |I|/4. Legyen i = 1, azaz Z |I| ≥ . f (z)dz 4 H11

Az előző eljárást megismételve H11 -re, majd az eme lépésben kiválasztott H21 -re és így tovább, háromszögeknek olyan (Hn ) sorozata adódik (a háromszögeket belsejükkel együtt értve), melyek egymásba skatulyázottak és az átmérőjük tart a 0-hoz. Valamint Z |I| ≥ f (z)dz 4n (n ∈ N). Hn Felhasználva, hogy az eredeti H háromszög belsejével együtt D-ben van, ez a sorozat egy pontra húzódik össze. Legyen ez z0 . Az f függvény differenciálható z0 -ban, így lineárisan approximálva f (z) = f (z0 ) + f 0 (z0 )(z − z0 ) + ω(z)(z − z0 ) (z ∈ D), ahol ω : D → C úgy, hogy ω(z) → 0, ha z → z0 . Legyen n ∈ N. Ekkor Z Z Z Z 0 f (z)dz = f (z0 )dz + f (z0 )(z − z0 )dz + ω(z)(z − z0 )dz, Hn

Hn

Hn

Hn

ahol f (z0 ) konstans, f 0 (z0 )(z − z0 )-nak pedig létezik primitív függvénye, így Z Z f (z0 )dz = 0, f 0 (z0 )(z − z0 )dz = 0. Hn

Hn

Továbbá, Z Z = f (z)dz Hn

l(H)2 l(H) ω(z)(z − z0 )dz ≤ sup |ω(z)| diam(Hn ) n ≤ sup |ω(z)| n . 2 4 z∈Hn z∈Hn Hn

Másrészt, |I| f (z)dz ≥ n , 4 Hn

Z így adódik, hogy

|I| ≤ sup |ω(z)|l(H)2 , z∈Hn

ahol supz∈Hn |ω(z)| → 0, ha n → ∞. Ez valóban azt jelenti, hogy I = 0. 7.4. Következmény (Cauchy-tétel lokális változata). Legyen D ⊂ C nyílt körlap, f ∈ H(D) és γ : [a, b] → D zárt pálya. Ekkor Z f (z)dz = 0. γ

Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy f -nek van primitív függvénye. Legyen z, z0 , w ∈ D és f -nek a z0 pontot a z ponttal összekötő szakaszpálya mentén vett pályamenti integrált jelöljük a következő módon Z z F (z) = f (ξ)dξ. z0

31

Ekkor a Goursat-lemma miatt Z Z z f (ξ)dξ + z0

w

Z

z0

f (ξ)dξ = 0,

f (ξ)dξ + w

z

amelyből azt kapjuk, hogy Z

z

F (z) − F (w) =

f (ξ)dξ. w

Ezt felhasználva, F (z) − F (w) − f (w) = z−w

Rz w

f (ξ)dξ − f (w)(z − w) = z−w

Rz w

(f (ξ) − f (w))dξ z−w

adódik, amiről azt kell belátni, hogy z → w esetén tart 0-hoz. Valóban, ha [z, w] jelöli a z-t és w-t összekötő szakaszt, akkor kapjuk, hogy
R z (f (ξ) − f (w))dξ supξ∈[z,w] |f (ξ) − f (w)| · |z − w| w ≤ = sup |f (ξ) − f (w)|, |z − w| |z − w| ξ∈[z,w] amely z → w esetén f folytonossága miatt tart 0-hoz. Ebből következik, hogy F differenciálható és F 0 (w) = f (w), ha w ∈ D. Ez azt jelenti, hogy f -nek van primitív függvénye, így a 7.1 állítás miatt következik, hogy Z f (z)dz = 0. γ

7.5. Definíció. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, ϕ0 , ϕ1 : [a, b] → D zárt görbék. Azt mondjuk, hogy ϕ0 és ϕ1 homotóp görbék D-ben, ha létezik olyan φ : [a, b] × [0, 1] → D folytonos függvény, melyre (a) ϕ0 (t) = φ(t, 0) (t ∈ [a, b]); (b) ϕ1 (t) = φ(t, 1) (t ∈ [a, b]); (c) t 7→ φ(t, p) (t ∈ [a, b]) zárt görbe minden p ∈ [0, 1] esetén. Ha ϕ0 és ϕ1 zárt pályák, akkor azt mondjuk, hogy homotópok D-ben, ha mint görbék homotópok. 7.6. Megjegyzés. A D-ben zárt pályák homotópiája ekvivalenciareláció. 7.7. Tétel (A Cauchy-integráltétel homotóp változata). Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f : D → C holomorf függvény. Legyen γ0 , γ1 : [a, b] → D a D-ben homotóp, zárt pályák. Ekkor Z Z f (z)dz = γ0

f (z)dz. γ1

Bizonyítás. Feltehető, hogy [a, b] = [0, 1]. A homotópia definíciójából következik, hogy ∃ φ : [0, 1]2 → D folytonos függvény, melyre γ0 (t) = φ(t, 0) (t ∈ [0, 1]) γ1 (t) = φ(t, 1) (t ∈ [0, 1])

32

és bármely p ∈ [0, 1] : t 7→ φ(t, p) zárt görbe. Mivel φ folytonos, így φ([0, 1]2 ) ⊂ D kompakt, így r = d(φ([0, 1]2 ), Dc ) > 0. Továbbá, φ kompakt halmazon folytonos, így egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy ∃ n ∈ N : (t, s), (t0 , s0 ) ∈ [0, 1]2 : √ p 2 (6) (t − t0 )2 + (s − s0 )2 ≤ n esetén |φ(t, s) − φ(t0 , s0 )| < r. Legyen zi,j = φ( ni , nj ) (i, j = 0, 1, ..., n). Tekintsük először a γ0 zárt pályát és a Q0 = [z0,0 , z1,0 , ..., zn,0 ] szakaszonként lineáris zárt pályát. Legyen ekkor σi = γ0 |[ i , i+1 ] n

n

és fűzzük hozzá a [zi+1,0 , zi,0 ] lineáris pályát. Így egy zárt pálya adódik, amelyre (6) teljesülése miatt: σi ∨ [zi+1,0 , zi,0 ] ⊂ Dr (zi,0 ). Továbbá r választása miatt Dr (zi,0 ) ⊂ D. Ekkor a Cauchy-tétel lokális változata miatt az f függvénynek a σi ∨ [zi+1,0 , zi,0 ] egyesített pálya mentén vett pályamenti integrálja 0, így Z Z f (z)dz.

f (z)dz = [zi,0 ,zi+1,0 ]

σi

Ezt összegezve, Z

Z f (z)dz =

γ0

f (z)dz. Q0

Legyen Qk = [z0,k , ..., zn,k ] (k = 1, ..., n). A következőkben a Qi és a Qi+1 (i = 1, ..., n − 1) szakaszonként lineáris pályák menti integrált vizsgáljuk. Ekkor Nk,i (k = 0, ..., n − 1) jelölje azt a négyszög-pályát, amely során a zk,i csúcspontból jutunk el a zk,i+1 csúcspontba, majd a zk,i+1 pontból a zk+1,i+1 pontba, végül zk+1,i+1 -ből a zk+1,i csúcspontba. Újból φ egyenletes folytonosságát és zi,j pontok definícióját felhasználva adódik, hogy [z0,i , z0,i+1 , z1,i+1 , z1,i ] ⊂ Dr (z0,i ), továbbá Dr (z0,i ) ⊂ D. A Cauchy-tétel lokális változata miatt Z f (z)dz = 0. [z0,i ,z0,i+1 ,z1,i+1 ,z1,i ]

Az f függvény Nk,i (k = 0, .., n − 1) pályák menti integrálok összegzésénél könnyen végiggondolható, hogy az átkötő szakaszokon kétszer kell végigmenni, méghozzá ellenkező irány szerint. (Pontosabban, az Nk,i négyszög-pálya körbejárása esetén a zk+1,i+1 pontból jutunk el a zk+1,i pontba, míg az Nk+1,i négyszög-pálya esetén a zk+1,i pontból jutunk el a zk+1,i+1 pontba (k = 0, ...n − 1) és az Nn,i négyszög-pálya esetén a z0,i+1 pontból jutunk el a z0,i pontba, ami az N0,i körbejárása esetén pont ellenkező iránnyal szerepel.) Így kapjuk, hogy Z Z n−1 Z X 0= f (z)dz = f (z)dz − f (z)dz, k=0

Nki

Qi

33

Qi+1

amiből következik, hogy Z

Z f (z)dz =

Qi

f (z)dz. Qi+1

Végül, hasonlóan az első lépéshez belátható, hogy Z Z f (z)dz = f (z)dz, Qn

γ1

amiből kapjuk, hogy az f függvény γ0 menti integrálja ugyanannyi, mint a γ1 menti integrálja, Z Z f (z)dz = f (z)dz. γ0

γ1

7.8. Definíció. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, γ zárt görbe D-ben. Azt mondjuk, hogy γ nullhomotóp, ha homotóp D-ben egy konstans görbével (1 pontból álló görbe). Az Ω ∈ C tartományát egyszeresen összefüggőnek nevezzük, ha benne minden zárt pálya nullhomotóp. 7.9. Következmény. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, γ nullhomotóp, zárt pálya D-ben és f : D → C holomorf függvény. Ekkor Z f (z)dz = 0. γ

Bizonyítás. Legyen γ0 konstans pálya D-ben. Ekkor Z Z b f (z)dz = f (γ0 (t))γ00 (t)dt = 0. γ0

a

7.10. Következmény. Legyen Ω ⊂ C egyszeresen összefüggő tartomány, γ zárt pálya Ω-ban és f : Ω → C holomorf függvény. Ekkor Z f (z)dz = 0. γ

7.11. Megjegyzés. Az egyszeresen összefüggőség alapvető feltétel. Gondoljunk az f (z) =

1 z

(z 6= 0)

függvényre. Ez holomorf C\{0}-on, ami nem egyszeresen összefüggő. Továbbá r > 0 esetén a γr (t) = reit

(t ∈ [0, 2π])

zárt pálya C\{0}-ban, melyre Z γr

1 dz = 2πi 6= 0. z

34

7.12. Tétel. Legyen T ⊂ C tartomány és f : T → C holomorf függvény. Ekkor f -nek pontosan akkor létezik primitív függvénye T -n, ha Z f (z)dz = 0 γ

minden T -beli γ zárt pálya esetén. Bizonyítás. Ha f -nek létezik primitív függvénye, akkor az állítás következik a NewtonLeibniz formulából. Megfordítva, tegyük fel, hogy Z f (z)dz = 0 γ

minden T -beli γ zárt pálya esetén. Legyen z0 ∈ T rögzített és z ∈ T . Ekkor felhasználva a 2.16 tételt, kapjuk, hogy van olyan töröttvonal T -ben, ami összeköti a z0 pontot a z-vel. A feltétel miatt pedig a pályamenti integrálja az f függvénynek, bármely z0 -t a z-vel összekötő T -beli pálya esetén megegyezik. Jelölje Z z F (z) = f (ξ)dξ z0

ahol az integrálást valamely z-t z0 -lal összekötő T -beli töröttvonal mentén végezzük. Legyen w ∈ T és tekintsük a F (z) − F (w) − f (w)(z − w) F (z) − F (w) − f (w) = = z−w z−w Rz Rw Rz f (ξ)dξ − z0 f (ξ)dξ − f (w)(z − w) (f (ξ) − f (w))dξ z0 = = w . z−w z−w kifejezést. Ennek az abszolút értékét becsülve, f folytonossága miatt adódik, hogy R z F (z) − F (w) supξ∈[w,z] |f (ξ) − f (w)||z − w| (f (ξ) − f (w))dξ = w − f (w) ≤ z−w |z − w| |z − w| ≤ sup |f (ξ) − f (w)| → 0, ξ∈[w,z]

ha z → w. Ez azt jelenti, hogy F ∈ H(T ) és F 0 = f , azaz f -nek van primitív függvénye.

7.13. Következmény. Legyen Ω ⊂ C egyszeresen összefüggő tartomány és f holomorf Ω-n. Ekkor ∃ F ∈ H(Ω), melyre F 0 = f . 7.14. Tétel. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz. Ha f ∈ H(D), akkor f végtelen sokszor differenciálható. Sőt, legyen z0 ∈ D és d(z0 , Dc ) = r > 0. Ekkor az f függvény hatványsorba fejthető a Dr (z0 ) nyílt körlapon. Bizonyítás. tekintsük a

Legyen z0 ∈ D. Ekkor Dr (z0 ) ⊂ D. Egy tetszőleges r0 < r választással γr0 (t) = z0 + r0 eit

35

(t ∈ [0, 2π])

módon definiált pályát. Továbbá, legyen z ∈ D, melyre |z − z0 | < r0 és  > 0 esetén ( < d(z, γr∗0 )) vegyük a γ (t) = z + eit körpályát. Vizsgáljuk a (7)

ξ 7→

f (ξ) ξ−z

(ξ ∈ Dr (z0 )\{z})

függvényt. Ez holomorf a Dr (z0 )\{z} tartományon, melyben a γr0 és γ körpályák homotópok. Ekkor a Cauchy-integráltétel homotóp változata (7.7 tétel) miatt Z Z f (ξ) f (ξ) dξ = dξ. (8) γ ξ − z γr0 ξ − z Azt állítjuk, hogy  → 0 esetén 1 2πi

Z γ

f (ξ) dξ → f (z). ξ−z

Ennek igazolásához az alábbi átalakítást végezzük. Z Z 2π Z 2π 1 1 f (ξ) f (z + eit ) 1 it = · e · idt = f (z + eit )dt. 2πi γ ξ − z 2πi 0 eit 2π 0 A jobboldal és f (z) távolsága becsülhető Z 2π Z 2π 1 1 it it = f (z + e )dt − f (z) (f (z + e ) − f (z))dt 2π 2π 0 0 Z 2π 1 ≤ |f (z + eit ) − f (z)|dt, 2π 0 ahol  → 0 esetén |f (z + eit ) − f (z)| → 0, a t változóban egyenletesen, az f függvény z-beli folytonossága miatt. Következésképpen, Z 2π 1 |f (z + eit ) − f (z)|dt → 0. 2π 0 A fentiekből és a (8) összefüggésből következik, hogy Z Z 1 f (ξ) 1 f (ξ) f (z) == lim dξ = dξ. →0 2πi γ ξ − z 2πi γr0 ξ − z  Legyen ξ ∈ γr∗0 és tekintsük a következő átalakítást (9)

1 1 1 h = = ξ−z ξ − z0 − (z − z0 ) (ξ − z0 ) 1 −

z−z0 ξ−z0

i,

ahol felhasználva, hogy |z − z0 | < r0 és |ξ − z0 | = r0 , adódik az z − z0 |z − z0 | <1 ξ − z0 = r0 összefüggés. Ennek segítségével a (9) kifejezés tovább alakítható az alábbi módon n X ∞  ∞ 1 1 X z − z0 (z − z0 )n = = . n+1 ξ−z ξ − z0 n=0 ξ − z0 (ξ − z ) 0 n=0

36

A függvénysorok egyenletes konvergenciájára vonatkozó Weierstrass kritérium miatt a k n  X z − z0 ξ 7→ (n ∈ N ∪ {0}) ξ − z 0 k=0 függvénysor egyenletesen konvergens. Az f függvény folytonos a γr0 kompakt halmazon, 1 függvény is korlátos. Következésképpen, így korlátos, továbbá a ξ → ξ−z 0 ξ 7→

n X k=0

f (ξ) (z − z0 )k (ξ − z0 )k+1

(n ∈ N ∪ {0})

függvénysor is egyenletesen konvergens. A 6.10 következmény alapján az ∞ X f (ξ) f (ξ) = (z − z0 )n n+1 ξ−z (ξ − z0 ) n=0 függvénysor esetén a pályamenti integrál vétele és a határátmenet felcserélhető, ami azt jelenti, hogy Z Z ∞ X 1 f (ξ) f (ξ)(z − z0 )n 1 f (z) = dξ = dξ = 2πi γr0 ξ − z 2πi γr0 (ξ − z0 )n+1 n=0 ! Z ∞ X 1 f (ξ) = dξ (z − z0 )n (|z − z0 | < r0 ). n+1 2πi (ξ − z ) 0 γr0 n=0 Így f valóban hatványsorba fejthető a Dr0 (z0 ) nyílt körlapon. 7.15. Megjegyzés. A γr0 körpálya esetén az r0 sugarat r00 -re cserélve, ahol r0 ≤ r00 ≤ r = d(z0 , Dc ), a (7) függvény holomorfitási tartományában a γr0 és γr00 pályák homotópok maradnak. Ekkor a Cauchy-integráltététel homotóp változata miatt Z Z f (ξ) f (ξ) dξ = dξ (z ∈ Dr (z0 )), γr00 ξ − z γr0 ξ − z így a bizonyításban szereplő hatványsorba fejtés igaz lesz a teljes Dr (z0 ) nyílt körlapon. 7.16. Tétel (Morera). Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f : D → C folytonos függvény. Ekkor az f ∈ H(D) pontosan akkor, ha minden olyan D-beli H zárt háromszögpálya esetén, amely belsejével együtt D-ben van, Z f (z)dz = 0. H

Bizonyítás. Ha f ∈ H(D), akkor a Goursat-lemma miatt a tételben szerplő H háromszögpályákra igaz, hogy Z f (z)dz = 0. H

Megfordítva, legyen z0 ∈ D. Ekkor ∃ r > 0 : Dr (z0 ) ⊂ D és legyenek z, w ∈ Dr (z0 ). Továbbá, jelölje F (z) az Z z f (ξ)dξ z0

37

integrált. A feltétel miatt Z z

Z

w

Z

f (ξ)dξ = 0

f (ξ)dξ +

f (ξ)dξ +

w

z

z0

z0

mely szerint Z

z

F (z) − F (w) =

f (ξ)dξ. w

Ennek segítségével Rz Rz f (ξ)dξ − f (w)(z − w) (f (ξ) − f (w))dξ F (z) − F (w) w − f (w) = = w , z−w z−w z−w következésképpen, felhasználva f folytonosságát R z F (z) − F (w) (f (ξ) − f (w))dξ = w − f (w) z−w |z − w| supξ∈[w,z] |f (ξ) − f (w)||z − w| = sup |f (ξ) − f (w)| → 0, ≤ |z − w| ξ∈[w,z] ha z → w. Így kapjuk, hogy a Dr (z0 ) körlapon F differenciálható és F 0 = f , azaz f a körlapon holomorf F függvénynek a deriváltja. Másrészt a 7.14 tétel miatt F végtelen sokszor differenciálható a Dr (z0 ) nyílt körlapon, ami azt jelenti, hogy f is végtelen sokszor differenciálható ezen a körlapon, azaz f holomorf. 7.17. Tétel. Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f ∈ H(D) és z ∈ D. Definiáljuk a ( f (w)−f (z) ha w ∈ D, w 6= z w−z g(w) = 0 f (z) ha w = z. függvényt. Ekkor g ∈ H(D). Bizonyítás. Elegendő a w = z esetben bizonyítani az állítást, hiszen w 6= z esetén g(w) két holomorf függvény hányadosa, ami így nyilvánvalóan holomorf. A w = z esetben pedig felhasználva, hogy f holomorf, ∃  > 0 és cn ∈ C (n ∈ N ∪ {0}), hogy |w − z| <  esetén ∞ X f (w) = cn (w − z)n , n=0

amiből 0

f (w) =

∞ X

ncn (w − z)n−1 .

n=1

Ekkor f (z) = c0 és f (w) − f (z) =

∞ X

cn (w − z)n = (w − z)

n=1

∞ X

cn (w − z)n−1 .

n=1

A fentiekből g(w)-re a következő kifejezések adódnak ( P f (w)−f (z) n−1 = ∞ ha w = 6 z n=1 cn (w − z) w−z P g(w) = ∞ 0 n−1 f (z) = c1 = n=1 cn (z − z) ha w = z,

38

azaz ∀ w ∈ D (z) esetén a g(w) g(w) =

∞ X

cn (w − z)n−1

n=1

hatványsorként áll elő, így a g függvény valóban holomorf D-n. 7.18. Tétel (Cauchy-integrálformulák). Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f ∈ H(D) és γ nullhomotóp, zárt pálya D-ben. Ekkor Z n! f (ξ) (n) Indγ (z)f (z) = dξ, 2πi γ (ξ − z)n+1 ahol z ∈ D, z ∈ / γ ∗ , n ∈ N ∪ {0}. Bizonyítás. Legyen n = 0. Ekkor a tételben szereplő állítás, az index definícióját beírva, a következőt jelenti Z Z 1 1 1 f (ξ) dξ · f (z) = dξ. (10) 2πi γ ξ − z 2πi γ ξ − z Ennek igazolásához belátjuk, hogy az alábbi, ezzel ekvivalens egyenlet fennáll Z 1 f (ξ) − f (z) dξ = 0. 2πi γ ξ−z Felhasználva, hogy a γ pálya zárt, nullhomotóp és f (ξ) − f (z) ξ−z holomorf, így a Cauchy-integráltétel miatt az utóbbi egyenlet valóban teljesül. A továbbiakban legyen z0 ∈ D, z0 ∈ / γ ∗ és d(z0 γ ∗ ) = R. Ekkor R nyilvánvalóan pozitív és létezik 0 < R0 < R, melyre DR0 (z0 ) ⊂ D\γ ∗ . Az f függvény DR0 (z0 )-on való Taylor-sorba fejthetőségéből ∞ X f (n) (z0 ) (z − z0 )n (z ∈ DR0 (z0 )). f (z) = n! n=0 c

Továbbá könnyen látható, hogy a z0 és a z a γ ∗ ugyanazon komponensében vannak, így Indγ (z) = Indγ (z0 ). Ekkor az n = 0 esetén belátott (10) egyenlet baloldala: Indγ (z)f (z) = Indγ (z0 ) ·

∞ X f (n) (z0 ) n=0

n!

(z − z0 )n

(z ∈ DR0 (z0 )).

Ugyanezen (10) egyenlet jobboldalának felírásához tekintsük az 1 1 1 h i= = = ξ−z ξ − z0 − (z − z0 ) 0 (ξ − z0 ) 1 − z−z ξ−z0   ∞ ∞ n X 1 X z − z0 (z − z0 )n = = ξ − z0 n=0 ξ − z0 (ξ − z0 )n+1 n=0

39

átalakítást, ahol z − z0 R0 ξ − z0 < R < 1. Ez azt jelenti, hogy a függvénysor minden tagja alapjának abszolútértéke egy, 1-nél kisebb, ξ-től független hányadossal majorálható, így Weierstrass tétele miatt a fenti függvénysor egyenletesen konvergens. Felhasználva, hogy f kompakt halmazon folytonos függvény, így korlátos, az egyenletes konvergencia megmarad a ∞

X f (ξ)(z − z0 )n f (ξ) = ξ−z (ξ − z0 )n+1 n=0 függvénysor esetén is. Egyenletes konvergencia esetén pedig tudjuk, hogy a pályamenti integrál és a határérték vétele felcserélhető, amiből következik, hogy az (10) egyenlet jobboldala Z Z ∞ X 1 f (ξ) 1 f (ξ) dξ = (z − z0 )n dξ (z ∈ DR0 (z0 )). n+1 2πi γ ξ − z 2πi γ (ξ − z0 ) n=0 Végül a hatványsor együtthatóinak egyértelműsége miatt adódik, hogy Z 1 f (ξ) f (n) (z0 ) = dξ. Indγ (z0 ) n! 2πi γ (ξ − z0 )n+1

7.1. Liouville-tétel. 7.19. Tétel (Cauchy-integrálbecslés). Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f : D → C holomorf függvény, z ∈ D és r > 0 úgy, hogy Dr (z) ⊂ D. Ekkor Mr n! (n ∈ N ∪ {0}), rn ahol Mr a körvonalon felvett értékek szuprémuma, azaz |f (n) (z)| ≤

Mr = sup{|f (ξ)| : ξ ∈ C, |ξ − z| = r}. Bizonyítás. Legyen γr = z + reit , ahol t ∈ [0, 2π]. Ekkor γr nullhomotóp, zárt pálya D-ben és Indγr (z) = 1. A Cauchy-integrálformulák (7.18 tétel) felhasználásával Z n! f (ξ) (n) dξ f (z) = 2πi γr (ξ − z)n+1 adódik. Az

f (ξ) ≤ Mr (ξ ∈ γr∗ ) (ξ − z0 )n+1 rn+1 egyenlőtlenség valamint a pályamenti integrál abszolút értékének becslése (6.9 [5]) segítségével kapjuk, hogy n! Mr Mr n! |f (n) (z)| =≤ · 2πr = n . n+1 2π r r

40

7.20. Definíció. Az egész C-n értelmezett holomorf függvényeket egész függvényeknek nevezzük. 7.21. Tétel (Liouville). Korlátos, egész függvény konstans. Bizonyítás. A Cauchy-integrálbecslés (7.19 tétel) alapján Mr r tetszőleges r > 0 esetén. Az f függvény korlátossága miatt ∃ M ∈ R : Mr ≤ M , így |f 0 (z)| ≤

|f 0 (z)| ≤

M r

(r > 0).

Ez azt jelenti, hogy f 0 (z) = 0 (z ∈ C), azaz f konstans. 7.22. Tétel (Az algebra alaptétele). Legyen P nem konstans, komplex polinom. Ekkor P -nek van gyöke. Bizonyítás. Legyen P (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n

an 6= 0, n ≥ 1.

Indirekt tegyük fel, hogy P -nek nincs gyöke. Ekkor a (11)

z→

1 P (z)

(z ∈ C)

egész függvény. A Liouville-tétel alkalmazásához meg kell mutatni, hogy korlátos is. Az nyilvánvaló, hogy |z| → ∞ esetén P (z) → an . zn Következésképpen, ∃ K ∈ R úgy, hogy |z| > K esetén P (z) |an | zn > 2 , amit átrendezve |an | · |z|n , 2 ahol |z| → ∞ esetén a jobboldal és így a baloldal is, tart végtelenhez. Így |P (z)| >

1 → 0, P (z)

ha |z| → ∞.

Ebből adódik, hogy ∃L ∈ R : |z| > L esetén |1/P (z)| < 1. Abban az esetben, ha |z| ≤ L, akkor a (11) definíció egy zárt körlapon folytonos függvényt határoz meg, ami korlátos. A fentiek alapján a (11) egész függvény valóban korlátos is, így konstans a Liouville-tétel alapján, ami ellentmond annak, hogy P nem konstans.

41

7.23. Példák (Cauchy-tétel és Cauchy-integrálformula alkalmazásai). zárt pálya C-ben. Tekintsük az alábbi két integrált Z Z z e dz; sin zdz. γ

(1) Legyen γ

γ

Felhasználva, hogy az ez és sin z függvényeknek létezik primitív függvénye C-n, a 7.12 tétel alapján ezen függvények pályamenti integrálja minden γ zárt pálya esetén 0. A z n függvénynek is létezik primitív függvénye C-n, ha n ∈ N és n 6= −1. Így Z z n dz = 0. γ

Az index definíciója alapján z0 = 0 választással adódik, hogy Z 1 1 Indγ (0) = (0 ∈ / γ ∗ ), 2πi γ z következésképpen Z γ

1 = 2πi Indγ (0) z

(0 ∈ / γ ∗ ).

(2) Tekintsük az Z |z|=2

2z dz z2 + 2

integrált, ahol a |z| = 2 pálya alatt az origó középpontú, 2 sugarú, pozitív irányba egyszer körbejárt körpályát értjük. Az 1 1 2z 2z √ √ = √ + √ = +2 (z + i 2)(z − i 2) z+i 2 z−i 2

z2

átalakítással a fenti integrál Z |z|=2

1 √ + z+i 2

Z |z|=2

1 √ z−i 2

√ alakba írható, ahol ismét az index definícióját alkalmazva a z0 = −i 2 illetve √ z0 = i 2 pontokra, adódik, hogy Z 2z dz = 4πi. 2 |z|=2 z + 2 A fenti pályát a |z − i| = 1 körpályára cserélve Z 2z = 2πi 2 |z−i|=1 z + 2 √ érték adódik, ugyanis az új körpálya, csak az i 2 pontot kerüli meg. (3) Az Z ez dz |z|=2 z − 1

42

integrál értéke a Cauchy-féle integrálformulák segítségével adható meg. Ezekből az n = 0 és z0 = 1 választással adódik, hogy Z 1 ez dz = 0!f (0) (1) 2πi |z|=2 z − 1 alakú. Következésképpen, Z |z|=2

ez dz = 2πie. z−1

Kisebb átalakítás után a Z |z|=1

sin z dz 4z + π

pályamenti integrál is kiszámolható a Cauchy-féle integrálformulák segítségével. √ ! √ Z Z 1 − 2 − 2πi sin z 1 sin z dz = = , dz = 2πi 4 |z|=1 z + π4 4 2 4 |z|=1 4z + π Itt n = 0-ra és z0 = − π4 -re alkalmaztuk az integrálformulát. (4) Legyen Z 2 ez dz. 2 |z|=2 (z − 1) A Cauchy-integrálformulát felhasználva n = 3 és z0 = 1 esetén az alábbi egyenlőség adódik  3  Z 2 6 ez d z3 . dz = 1 e 2πi |z|=2 (z − 1)2 dz 3 z=1 A deriválást elvégezve a jobboldal értéke   3   d z3 3 z2 e = (8z + 12z)e = 20e, dz 3 z=1 z=1 melyből a keresett integrál Z |z|=2

2

40eπi 20eπi ez dz = = . 2 (z − 1) 6 3

(5) Az Z |z|=1

1 dz 4z 2 − 4z + 5

1 integrál értéke 0 lesz. A z → 4z2 −4z+5 függvény ugyanis a z0 = 1/2 + i és a z1 = 1/2 − i pontokban nincs értelmezve, melyekre Indγ (z0 ) = Indγ (z1 ) = 0. (6) Az Z 1 dz 2 |z−1|=1 (z + 1)(z − 1)

integrált az alábbi alakba átírva a Z |z−1|=1

1 z+1

(z − 1)2

43

dz

pályamenti integrálhoz jutunk. Ekkor alkalmazhatjuk a Cauchy-integrálformulákat 1 n = 1-re és f (z) = z+1 függvényre, mely holomorf a D (1) nyílt körlapon, ahol 1 <  < 2. Így   Z 1 1 1 d 1 z+1 = − , dz = 1 2πi |z−1|=1 (z − 1)2 dz z + 1 z=1 4 amiből a kérdéses integrál Z |z−1|=1

1 z+1

πi 1 2πi = − . dz = − (z − 1)2 4 2

7.2. Cauchy integráltétel és integrálfomulák homológ változata. 7.24. Definíció. Legyenek γ1 , γ2 , ..., γn komplex pályák. Ezen pályák Γ = (γ1 , γ2 , ..., γn ) véges sorozatát láncnak nevezzük. Ha Γ∗ = ∪nj=1 (γj )∗ és f : Γ∗ → C folytonos függvény, akkor legyen Z n Z X f (z)dz. f (z)dz = Γ

γj

j=1

Ha Γ = (γ1 , γ2 , ..., γn ) lánc esetén γj zárt pálya (j = 1, ..., n), akkor a Γ láncot ciklusnak hívjuk. Ha Γ = (γ1 , γ2 , ..., γn ) egy ciklus és w ∈ C \ Γ∗ , akkor legyen IndΓ (w) =

n X

Indγj (w).

j=1

7.25. Tétel (Cauchy-féle integráltétel és integrálformulák homológ változata). Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, f ∈ H(D) és Γ olyan ciklus D-ben, melyre (z ∈ Dc ).

IndΓ (z) = 0 Ekkor Z

f (ξ)dξ = 0, Γ

továbbá IndΓ (z0 )f

(n)

n! (z0 ) = 2πi

Z Γ

f (ξ) dξ (ξ − z0 )n+1

44

(z0 ∈ D\Γ∗ , n = 0, 1, 2, ...).

8. Holomorf függvények zérushelyei

8.1. Tétel (Zérushelyek izoláltsága). Legyen T ⊂ C tartomány, f : T → C holomorf függvény és z0 ∈ T , melyre f (z0 ) = 0. Ekkor f azonosan 0, vagy ∃  > 0, hogy 0 < |z − z0 | < 

(z ∈ T )

esetén f (z) 6= 0. Bizonyítás. A T tartomány nyílt, így ∃ r > 0, melyre Dr (z0 ) ⊂ T . Az f függvény pedig a Dr (z0 ) körlapon Taylor-sorba fejthető. (12)

f (z) =

∞ X

cn (z − z0 )n

(cn ∈ C (n ∈ N ∪ {0}), z ∈ Dr (z0 )),

n=0

melyből f (z0 ) = c0 = 0. Megmutatjuk, hogy ha cn = 0, minden n-re, akkor f ≡ 0. Legyen w ∈ T , ekkor a 2.16 tétel miatt z0 és w pontok T -beli γ töröttvonallal összeköthetőek. Ekkor γ kompakt halmaz, melyre d(γ ∗ , T c ) = ρ > 0. A Taylor-sorból látszik, hogy cn = 0 minden n ∈ N ∪ {0} esetén, akkor f ≡ 0 a Dρ (z0 ) körlapon. Legyen z1 ∈ γ ∗ ∩ Dρ (z0 ). Ekkor f (z1 ) = 0 és f (n) (z1 ) = 0 minden n ∈ N-re. Másrészt, f a Dρ (z1 ) körlapon is Taylor-sorba fejthető, amelyben a f (n) (z1 ) (n ∈ N ∪ {0}) deriváltak szerepelnek, így f ≡ 0 a Dρ (z1 ) körlapon is. Véges sok lépés során a w pont elérhető, melyre szintén megmutatható, hogy f (w) = 0. Tekintve, hogy w tetszőlegesen lett választva, adódik, hogy f ≡ 0. Azt kaptuk tehát, hogy f 6≡ 0 esetén az (12) hatványsorból ∃ N ∈ N, melyre cN 6= 0. A legkisebb ilyen N -et választva f (z) a következő alakba írható f (z) = (z − z0 )N (cN + cN +1 (z − z0 ) + cN +2 (z − z0 )2 + ...) = (z − z0 )N g(z), ahol g(z) = (cN + cN +1 (z − z0 ) + cN +2 (z − z0 )2 + ...) hatványsor konvergens z ∈ Dr (z0 ) esetén. Az így definiált g függvény holomorf Dr (z0 ) nyílt körlapon, melyre g(z0 ) = cN 6= 0. Ez pedig g folytonossága miatt azt jelenti, hogy ∃ 0 <  < r, hogy z ∈ D (z0 ) esetén g(z) 6= 0. Világos tehát, hogy f (z) 6= 0

(z ∈ D (z0 )).

8.2. Megjegyzés. Legyen T ⊂ C tartomány, f ∈ H(T ), f nem azonosan 0 és z0 ∈ T , melyre f (z0 ) = 0. Ekkor ∃ n ∈ N, melyre f (n) (z0 ) 6= 0. Ezen n-ek közül a legkisebbet a z0 zérushely multiplicitásának nevezzük. 8.3. Tétel (Egyértelműségi tétel). Legyen T ⊂ C tartomány, f, g : T → C holomorf függvények. Ha az {z ∈ T |f (z) = g(z)}

45

halmaznak van torlódási pontja T -ben, akkor f ≡ g. Bizonyítás. A feltétel azt jelenti, hogy az (f − g) függvény zérushelyei torlódnak T -ben. A folytonosság miatt a torlódási pont is zérushely és nyilvánvalóan nem izolált. Így az előző tétel miatt f − g ≡ 0 teljesül, következésképpen f ≡ g. 8.4. Megjegyzés. Fontos, hogy a torlódási pont T -ben legyen. (Gondoljunk a sin 1/z függvényre.) 8.1. Maximum-tétel. 8.5. Tétel (Maximum-tétel). Legyen T ⊂ C tartomány és f ∈ H(T ). Ha f nem konstans, akkor tetszőleges z0 ∈ T esetén az |f | függvénynek nincs lokális maximuma z0 pontban. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy |f |-nek z0 -ban lokális maximuma van. Felhasználva azt is, hogy T tartomány, ∃ R > 0, hogy DR (z0 ) ⊂ T és az f függvény DR (z0 ) - ra való megszorításának maximuma van z0 - ban. Ekkor bármely 0 < r < R esetén |f (z0 )| ≥ |f (z0 + reit )|

t ∈ [0, 2π].

A γr = z0 + reit (t ∈ [0, 2π]) pálya belsejével együtt T -ben van, és f ∈ H(T ). Így a γr pályával és az f függvénnyel a Cauchy-integrálformulához szükséges feltételek teljesülnek. Alkalmazva ezt n = 0 esetén adódik, hogy Z Z 2π Z 2π f (ξ) f (z0 + reit ) it 1 1 1 f (z0 + reit )dt. dξ = re idt = f (z0 ) = it 2πi γr ξ − z0 2πi 0 re 2π 0 Az |f (z0 )| értéket becsülve kapjuk, hogy Z Z 2π Z 2π 1 2π 1 1 it it |f (z0 )| = f (z0 + re )dt ≤ |f (z0 + re )|dt ≤ |f (z0 )|dt = |f (z0 )|, 2π 0 2π 0 2π 0 ami azt jelenti, hogy |f (z0 )| = |f (z0 + reit )|

t ∈ [0, 2π].

Mivel r is változhat, így |f | konstans a DR (z0 ) nyílt körlapon. Feltehetjük, hogy |f (z0 )| = 6 0. (Ha |f (z0 )| = 0 teljesülne, akkor f 0 lenne a DR (z0 ) nyílt körlapon, amiből pedig a zérushelyek izoláltsága miatt f ≡ 0 teljesülne, ami ellentmond annak, hogy f nem konstans.) Az is feltehető, hogy |f | = 1 a DR (z0 ) nyílt körlapon. Ebből f f = 1 így f=

1 , f

mely szerint f holomorf a DR (z0 ) körlapon. Legyen f = u − iv,

f = u + iv;

és írjuk fel a Cauchy-Riemann egyenleteket f -re és f -ra. A Cauchy-Riemann egyenletek f esetén ux = −vy ; uy = vx

46

f esetén pedig uy = −vx .

ux = vy ;

Ez csak úgy teljesülhet, hogy ux = uy = vx = vy = 0 a DR (z0 ) körlapon, mely szerint u és v, és így f is konstans a DR (z0 ) körlapon. Végül, az egyértelműségi tételt alkalmazva adódik, hogy f konstans. 8.6. Tétel. Legyen T ⊂ C tartomány és f ∈ H(T ). Ha nem létezik z ∈ T : f (z) 6= 0 és f nem konstans, akkor az |f | függvénynek nincs lokális minimuma T -ben. Bizonyítás. Az

1 f

függvényre alkalmazhatjuk a maximum tételt.

8.7. Következmény. Legyen T ⊂ C korlátos tartomány, f : T → C nem konstans, folytonos függvény, amely a T tartományon holomorf. Ekkor az |f | függvény maximumát csak a T határán veheti fel.

9. Laurent-sor 9.1. Tétel (Laurent). Legyen 0 ≤ r < R ≤ ∞ és z0 ∈ C. Legyen f holomorf függvény a G = {z ∈ C|r < |z − z0 | < R} körgyűrűn. Ekkor f előáll ∞ ∞ X X f (z) = cn (z − z0 )n + c−n (z − z0 )−n n=0

(z ∈ G)

n=1

alakban. Az első hatványsor konvergens |z − z0 | < R esetén, a második függvénysor konvergens r < |z − z0 | esetén. A cn (n ∈ Z) együtthatók egyértelműen meghatározottak és tetszőleges G-beli, γ zárt pályára Z 1 f (ξ) Indγ (z0 )cn = dξ (n ∈ Z). 2πi γ (ξ − z0 )n+1 Bizonyítás. Legyen z ∈ G és tekintsünk ehhez a z ponthoz olyan r0 illetve R0 valós számokat, melyekre r < r0 < R0 < R és r0 < |z − z0 | < R0 . Legyen továbbá γR0 = z0 + R0 eit

t ∈ [0, 2π];

γr0 = z0 + r0 eit

t ∈ [0, 2π].

és Könnyen végiggondolható, hogy a Γ= ˙ γR0 ∨ (−γr0 ) választással olyan ciklust kapunk, melyre ( 0 ha w ∈ C \ G0 IndΓ (w) = 1 ha w ∈ G0 \ Γ∗ ,

47

ahol G0 = {z ∈ C|r0 < |z − z0 | < R0 }. Így alkalmazható a Cauchy-integráltétel homológ változata, mely szerint Z 1 f (ξ) IndΓ (z)f (z) = dξ = 2πi Γ ξ − z Z Z (13) 1 f (ξ) 1 f (ξ) dξ − dξ, 2πi γR0 ξ − z 2πi γr0 ξ − z ahol felhasználtuk a ciklusmenti-integrál definícióját. Az Z 1 f (ξ) dξ 2πi γR0 ξ − z kiszámításához tekintsük a ξ 7→

1 ξ−z

(ξ ∈ γR∗ 0 )

függvényt. Az 1/(ξ − z) átírható (14)

1 1 1  = = ξ−z ξ − z0 − (z − z0 ) (ξ − z0 ) 1 −

z−z0 ξ−z0



alakba, ahol z − z0 |z − z0 | ξ − z0 = R0 < 1.

(15)

Így (14) tovább alakítható és azt kapjuk, hogy n ∞  1 1 X z − z0 = . ξ−z ξ − z0 n=0 ξ − z0 A (15) mutatja, hogy a jobboldali hatványsor tagjai ξ-től függetlenül egy konvergens mértani sor tagjaival becsülhetőek. A Weierstrass-tétel miatt n ∞  X z − z0 ξ 7→ ξ − z0 n=0 egyenletesen konvergens. Másrészt, a (ξ ∈ γR∗ 0 )

ξ 7→ f (ξ) és a ξ 7→

1 ξ − z0

(ξ ∈ γR∗ 0 )

függvények korlátosak, így a ∞

X f (ξ) f (ξ) = (z − z0 )n n+1 ξ−z (ξ − z0 ) n=0 egyenlőség jobboldalán levő sor is egyenletesen konvergens ξ-ben, így a pályamentiintegrál vétele és a határátmenet felcserélhető. Következésképpen, ! Z Z ∞ X f (ξ) f (ξ) dξ = dξ (z − z0 )n . n+1 ξ − z (ξ − z ) 0 γR0 γR0 n=0

48

Az Z γr0

f (ξ) dξ ξ−z

kifejezés kiszámításához a −

1 1 1 1  = = = ξ−z z−ξ z − z0 − (ξ − z0 ) (z − z0 ) 1 − n X ∞  ∞ 1 X ξ − z0 (ξ − z0 )n = = , n+1 z − z0 n=0 z − z0 (z − z ) 0 n=0

ξ−z0 z−z0



sorfejtést tekintjük. Ez valóban fennáll ξ − z0 r0 ∗ = z − z0 |z − z0 | < 1 (ξ ∈ γr0 ) miatt, mely a függvénysor tagjainak egy ξ-től független becslését jelenti. Felhasználva a Weierstrass-tételt, valamint azt, hogy korlátos függvénnyel való szorzás az egyenletes konvergenciát nem befolyásolja, adódik a következő ! Z Z ∞ X f (ξ) f (ξ) − dξ = dξ (z − z0 )−(n+1) . −n γr0 ξ − z γr0 (ξ − z0 ) n=0 A kapott eredményeket a (13)-be beírva kapjuk, hogy ! Z ∞ f (ξ) 1 X dξ (z − z0 )n f (z) = n+1 2πi n=0 (ξ − z ) 0 γR0 ! Z ∞ f (ξ) 1 X + dξ (z − z0 )−(n+1) = −n 2πi n=0 γr0 (ξ − z0 ) ! ! Z Z ∞ ∞ X X 1 f (ξ) 1 f (ξ) = dξ (z − z0 )n + dξ (z − z0 )−n . n+1 −n+1 2πi (ξ − z ) 2πi (ξ − z ) 0 0 γR0 γr0 n=0 n=1 Legyenek r00 , R00 ∈]r, R[, továbbá γr00 = z0 + r00 eit és γR00 = z0 + R00 eit

t ∈ [0, 2π].

Ezek homotóp pályák az f függvény holomorfitási tartományában. Így a Cauchy-tétel homotóp változata miatt Z Z f (ξ) f (ξ) dξ = dξ (n ∈ Z). n+1 n+1 γR00 (ξ − z0 ) γr00 (ξ − z0 ) Következésképpen, (16)

f (z) =

∞ X n=0

cn (z − z0 )n +

∞ X n=1

49

c−n (z − z0 )−n

(z ∈ G),

ahol a 1 ck = 2πi

Z γR0

f (ξ) dξ (ξ − z0 )k+1

(k ∈ Z)

együtthatók csak k-tól függnek. A cn -ek egyértelműsége n ∈ Z-re, a bizonyítás következő részéből adódik. Legyen γ egy zárt pálya G-ben. Ismeretes (4.10 tétel), hogy a hatványsor konvergenciasugaránál kisebb sugarú zárt körlapon a konvergencia egyenletes. Így az, hogy a ∞ X cn (z − z0 )n n=0

hatványsor egyenletesen konvergens |z − z0 | < R esetén nyilvánvaló. A ∞ X

c−n (z − z0 )−n

n=1

függvénysor pedig tekinthető 1/(z − z0 ) hatványsorának, mely a feltételek miatt konvergens minden olyan z ∈ C-re, melyre 1/|z − z0 | < 1/r. Erre alkalmazható a 4.10 tétel, így tetszőleges r < r0 esetén a harványosor egyenletesen konvergens a D1/r0 (z0 ) zárt körlapon, amiből adódik, hogy a ∞ X

c−n (z − z0 )−n

n=1

függvénysor egyenletesen konvergens C\Dr0 (z0 )-n. Következésképpen f (z) =

∞ X

n

cn (z − z0 ) +

∞ X

c−n (z − z0 )−n

n=1

n=0

egyenletesen konvergens tetszőleges, G-beli zárt körgyűrűn. Másrészt, γ ∗ -ot bele lehet foglalni egy G-beli zárt körgyűrűbe, így γ ∗ -on is egyenletes a konvergencia. A (16) egyenlőséget adott k ∈ Z és ξ ∈ γ ∗ esetén (ξ − z0 )k+1 -nel végigosztva ∞ X f (ξ) = cn (ξ − z0 )n−(k+1) k+1 (ξ − z0 ) n=−∞

adódik. Az előbbiek miatt ezen egyenlőség jobboldalát tagonként lehet integrálni. A ξ 7→ (ξ − z0 )n−(k+1) hatványfüggvényeknek a γ pálya menti integrálja 0 minden olyan n ∈ Z esetén, melyre n − (k + 1) 6= −1. Következésképpen, Z f (ξ) = ck Indγ (z0 )2πi, k+1 γ (ξ − z0 ) amiből adódik a tétel állítása.

50

9.2. Definíció. A fenti tétel jelölései és feltételei mellett r = 0 esetén a z 7→

∞ X

c−n (z − z0 )−n

n=1

függvényt az f z0 -beli főrészének nevezzük. 9.3. Példa. Az alábbi függvény Laurent-sorait vizsgáljuk a 0 pont körül. f (z) =

3 2 + z − z2

A nevezőt vizsgálva adódik, hogy a függvény nincs értelmezve a z1 = −1 és z2 = 2 pontokban. Így a Laurent-sor különböző tartományokon írható fel. (1) A |z| < 1 körlapon az f függvény holomorf. Mivel körgyűrű helyett körlapot tekintünk, ebben az esetben a Laurent-sor egy Taylor-sor, méghozzá a következő alakú 1 1 1 1 3 1 + = + = f (z) = = 2 2+z−z 1+z 2−z 1 − (−z) 2 1 − z2  ∞ ∞  ∞ X 1 X  z n X 1 n n (−z) + = (−1) + n+1 z n (|z| < 1). 2 2 2 n=0 n=0 n=0 (2) A 1 < |z| < 2 körgyűrűn az f szintén az 1 < 1; z

holomorf. Ezen a tartományon fennállnak z <1 2

egyenlőtlenségek, így egyrészt 1 1 = · 1+z z

1 z

n X ∞ ∞  1X 1 1
= = (−1)n z −(n+1) , − z n=0 z +1 n=0

másrészt ∞

1 1 1 1 X  z n
= · = . 2−z 2 1 − z2 2 n=0 2 Következésképpen, a körgyűrűn f az alábbi alakban áll elő ∞ ∞ X 1 n X f (z) = z + (−1)n z −(n+1) n+1 2 n=0 n=0

(1 < |z| < 2).

(3) Végül a |z| > 2 esetben ∞

X 1 = (−1)n z −(n+1) , 1+z n=0 valamint 1 1 1 1 1
= · z · = · z 2−z 2 1− 2 2 2

∞

2 z

1 1 1 1X
=− ·
=− 2 z 1− z z n=0 −1

51

 n 2 . z

Így az f függvény ebben az esetben csak főrészből áll, ∞ ∞ ∞ X X X 1 2n ((−1)n − 2n ) f (z) = (−1)n n+1 − = z z n+1 z n+1 n=0 n=0 n=0

(|z| > 2).

10. Holomorf függvények izolált szinguláris helyei 10.1. Definíció. Legyen D ⊂ C nyílt, z0 ∈ D. Ha f ∈ H(D\{z0 }), akkor azt mondjuk, hogy f -nek z0 -ban izolált szinguláris helye van. Legyen z0 ∈ C, 0 < r ≤ ∞ és f holomorf függvény a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. Ebben a fejezetben f Laurent-sora legyen ∞ X f (z) = cn (z − z0 )n (z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }). n=−∞

10.2. Definíció. A fenti jelölések mellett azt mondjuk, hogy f -nek z0 (1) megszüntethető szinguláris helye, ha c−1 = c−2 = c−3 = ... = 0. (2) k-ad rendű pólusa (k ∈ N), ha létezik, de csak véges sok olyan n ∈ N, melyre c−n 6= 0 és ezek közül a legnagyobb k. (3) lényeges szinguláris helye, ha c−n 6= 0 végtelen sok n ∈ N esetén teljesül. 10.3. Tétel. Legyen z0 ∈ C, 0 < r < ∞, amivel az f függvény holomorf a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. Ekkor f -nek z0 pontosan akkor megszüntethető szinguláris helye, ha létezik olyan g holomorf függvény az egész Dr (z0 ) nyílt körlapon, melyre f (z) = g(z) (z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }). Bizonyítás. Ha f -nek z0 megszüntethető szinguláris helye, akkor f Laurent-sora valójában Taylor-sor. Legyen ∞ X f (z) = cn (z − z0 )n (z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }) n=0

és definiáljuk a g függvényt a következő módon ∞ X g(z)= ˙ cn (z − z0 )n

(z ∈ Dr (z0 )).

n=0

Ekkor a hatványsor tulajdonságai miatt g holomorf az egész Dr (z0 ) nyílt körlapon. Megfordítva, ha g holomorf Dr (z0 )-on, akkor g felírható g(z)= ˙

∞ X

dn (z − z0 )n

n=0

52

(z ∈ Dr (z0 ))

alakban és így f (z) =

∞ X

dn (z − z0 )n

(z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 })

n=0

Laurent-sora az f -nek. A Laurent-sor együtthatóinak egyértelműsége miatt f (z) =

∞ X

cn (z − z0 )n

(z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }).

n=0

Tehát c−n = 0 minden n ∈ N esetén. 10.4. Tétel. Legyen (k ∈ N), z0 ∈ C, 0 < r ≤ ∞ és f a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon értelmezett, holomorf függvény. Ekkor f -nek z0 pontosan akkor k-ad rendű pólusa, ha létezik olyan g holomorf függvény az egész Dr (z0 ) nyílt körlapon, melyre g(z0 ) 6= 0;

f (z) = (z − z0 )−k g(z)

(z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }).

Bizonyítás. Ha f -nek z0 k-adrendű-pólusa, akkor f Laurent sora f (z) = c−k (z − z0 )−k + c−k+1 (z − z0 )−k+1 + ... = (z − z0 )−k (c−k + c−k+1 (z − z0 ) + ...), ahol c−k 6= 0. A g függvényt a következő módon definiálva g(z)=c ˙ −k + c−k+1 (z − z0 ) + ... egy hatványsort kapunk, amely az egész Dr (z0 ) körlapon holomorf és g(z0 ) = c−k 6= 0. Megfordítva, legyen f (z) = (z − z0 )−k g(z)

(z ∈ Dr (z0 ) \ {0}),

ahol g(z0 ) 6= 0 és g holomorf. Ekkor g hatványsorba fejthető a Dr (z0 ) körlapon, így az f függvény felírható f (z) = (z − z0 )−k

∞ X

dn (z − z0 )n

(z ∈ Dr (z0 ) \ {0}),

n=0

alakban, ahol dn ∈ C (n ∈ N ∪ {0} és d0 6= 0. Tehát f (z) = d0 (z − z0 )−k + d1 (z − z0 )−k+1 + ...

(z ∈ Dr (z0 ) \ {0}).

Ekkor a Laurent-sor együtthatóinak egyértelműsége miatt 0 6= d0 = c−k ,

d1 = c−k+1 , ...

valamint c−(k+1) = c−(k+2) = ... = 0, mely szerint f -nek a z0 pont k-ad rendű pólusa. 10.5. Tétel (Casorati-Weierstrass). Legyen z0 ∈ C, r > 0, amivel az f függvény holomorf a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. Ekkor, ha f -nek z0 lényeges szinguláris helye, akkor tetszőleges 0 < r0 < r esetén az {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r0 } halmaz f általi képe mindenütt sűrű C-ben.

53

Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy ∃ 0 < r0 < r, w ∈ C és  > 0, hogy (z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}).

|f (z) − w| ≥  Ekkor h-t a következő módon definiálva 1 h(z) = f (z) − w

(z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}),

egy, a Dr0 (z0 ) \ {0}-n korlátos holomorf függvényt kapunk, ugyanis 1 (z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}).  A h függvény Laurent-sorának negatív indexű együtthatói kiszámolhatóak a következőképpen. Legyen 0 < r00 < r0 tetszőleges és γr00 = z0 + r00 eit , ahol t ∈ [0, 2π]. Ekkor Z 1 h(ξ) Indγr00 (z0 )cn = dξ n = −1, −2, ..., 2πi γr00 (ξ − z0 )n+1 |h(z)| ≤

ami Indγr00 (z0 ) = 1 miatt 1 cn = 2πi

Z

h(ξ)(ξ − z0 )−(n+1) dξ.

γr00

A pályamenti-integrál abszolútértéke a 6.9 megjegyzés (5) részében látott módon becsülhető, mely szerint 1 1 1 · · (r00 )−(n+1) · 2π(r00 ) = · (r00 )−n , 2π   00 0 ahol −n = 1, 2, .... Azonban cn a 0 < r < r választásától független, így r00 → 0 esetén |cn | ≤

1 |cn | ≤ (r00 )−n → 0,  azaz cn = 0, n = −1, −2, ... esetén. Következésképpen, h-nak z0 megszüntethető szinguláris helye, így felhasználva, hogy h egy komplex függvény reciproka h(z) =

∞ X

cn (z − z0 )n

(z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}),

n=k

ahol k ≤ 0 és ck 6= 0 (T.i. nyilván ∃ n > 0, melyre cn 6= 0). Ekkor h(z) (z − z0 )k (ck + ck+1 (z − z0 ) + ...)

(z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0})

alakban írható. Legyen g(z) = ck + ck+1 (z − z0 ) + ...

(z ∈ Dr0 (z0 )).

Ekkor g holomorf függvény a Dr0 (z0 ) nyílt körlapon és g(z0 ) 6= 0. A fentiek miatt 1 = (z − z0 )k g(z) f (z) − w

(z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}),

1 g(z)

(z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}),

amiből f (z) − w = (z − z0 )−k

54

végül f (z) = (z − z0 )

−k

1 + w = (z − z0 )−k g(z)



1 + w(z − z0 )k g(z)



(z ∈ Dr0 (z0 ) \ {0}).

Következésképpen az f függvénynek z0 k-ad rendű pólusa, ha k > 0 és megszüntethető szinguláris helye, ha k = 0. A szinguláris helyek egy másik jellemzését adja a követekező tétel. 10.6. Tétel. Legyen z0 ∈ C, 0 < r ≤ ∞ és f a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon értelmezett, holomorf függvény. Ekkor, ha f -nek z0 (1) megszüntethető szinguláris helye pontosan akkor, ha létezik a limz→z0 f (z) határérték; (2) pólusa pontosan akkor, ha limz→z0 |f (z)| = ∞; (3) lényeges szinguláris helye pontosan akkor, ha f -nek z0 -ban sem szűkebb ((1) pontban szereplő feltétel), sem tágabb értelemben ((2) pontban szereplő feltétel) sincs határértéke. Bizonyítás. Ha f -nek z0 megszüntethető szinguláris helye, akkor a 10.3 tétel alapján létezik olyan g függvény, ami holomorf a Dr (z0 ) nyílt körlapon és (z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }).

f (z) = g(z) Következésképpen,

lim f (z) = lim g(z) = g(z0 ).

z→z0

z→z0

Ha f -nek z0 pólusa, akkor a 10.4 tétel alapján létezik olyan g függvény, ami holomorf a Dr (z0 ) nyílt körlapon és f (z) = (z − z0 )−k g(z)

(z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }),

ahol k ∈ N és g(z0 ) 6= 0. Így adódik, hogy |f (z)| =

1 |g(z)| |z − z0 |k

(z ∈ Dr (z0 ) \ {z0 }),

ahol z → z0 esetén 1 → ∞; |z − z0 |k

|g(z)| → |g(z0 )| = 6 0.

Következésképpen, |f (z)| → ∞, ha z → z0 . Végül, ha f -nek z0 lényeges szinguláris helye, akkor a Casorati-Weierstrass tétel miatt f képe mindenütt sűrű C-ben, így f -nek sem (1)-ben és a (2)-ben szereplő értelemben sem lehet határértéke. A fentiek alapján pedig a visszafelé irányok triviálisak, hiszen a tétel jobb-, illetve baloldalán is három, egymást kizáró állítás szerepel, melyek az összes lehetőséget lefedik.

55

10.7. Következmény. Igaz a Casorati-Weierstrass tétel megfordítása is. Legyen z0 ∈ C, r > 0, amivel az f függvény holomorf a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. Ha tetszőleges 0 < r0 < r esetén az {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r0 } halmaz f általi képe mindenütt sűrű C-ben, akkor f -nek a z0 lényeges szinguláris helye. 10.8. Tétel (Kis-Picard tétel). Nem konstans, egész függvény legfeljebb egy érték kivételével minden komplex számot felvesz értékként. 10.9. Tétel (Nagy-Picard tétel). Legyen z0 ∈ C, r > 0, amivel az f függvény holomorf a {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. Ha z0 lényeges szinguláris helye f -nek, akkor minden r0 < r esetén a {z ∈ C|0 < |z −z0 | < r0 } környezet f szerinti képe legfeljebb egy pont kivételével minden komplex számot tartalmaz. 10.10. Tétel. Legyenek P és Q nem konstans, komplex polinomok úgy, hogy Q(z) = (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 . . . (z − zl )kl , ahol l ∈ N; k1 , k2 , ..., kl ∈ N, valamint z1 , ..., zl ∈ C úgy, hogy zn 6= zm , ha m, n ∈ {1, ..., l}; n 6= m. Továbbá tegyük fel, hogy P (zn ) 6= 0,

n = 1, 2, ..., l.

Ekkor léteznek olyan Anm ∈ C (n = 1, ..., km ; m = 1, ..., l) és S polinom, hogy l km P (z) X X Anm = + S(z). Q(z) m=1 n=1 (z − zm )n

Az Anm komplex számok (n = 1, ..., km ; m = 1, ..., l) egyértelműen meghatározottak. Bizonyítás. A feltétel alapján, P (z) = (z − z1 − z2 )k2 . . . (z − zl )kl P (z) = (z − z1 )−k1 (z ∈ C\{z1 , ..., zl }), k (z − z2 ) 2 . . . (z − zl )kl )k1 (z

ahol a P (z) (z ∈ C\{z1 , ..., zl }) (z − z2 . . . (z − zl )kl holomorf z1 egy környezetében és f (z1 ) 6= 0. A 10.4 tétel szerint ez azt jelenti, hogy a f (z) =

)k2

z→

P (z) Q(z)

(z ∈ C\{z1 , ..., zl })

racionális törtfüggvénynek z1 -ben k1 -ed rendű pólusa van, így a függvény Laurent-sorának főrésze a z1 -ben A11 A21 Ak1 1 + + ... + . 1 2 (z − z1 ) (z − z1 ) (z − z1 )k1 ahol A11 , A21 , ..., Ak1 1 ∈ C. Ezt a részt levonva a P (z)/Q(z) függvényből, a visszamaradó racionális törtfüggvénynek a z1 már megszüntethető szinguláris helye. A visszamaradó törtfüggvényre a fenti gondolatmenetet folytatva z2 esetén, majd a többi z3 , ..., zl komplex

56

számokra, olyan Anm ∈ C (n = 1, ..., km ; m = 1, ..., l) komplex számok adódnak, melyekre az l km P (z) X X Anm S(z) = − (z ∈ C\{z1 , ..., zl }) Q(z) m=1 n=1 (z − zm )n racionális törtfüggvény minden z1 , z2 , ..., zl szingularitása megszüntethető, így S polinom. Végül a Laurent-sorok együtthatóinak az egyértelműségéből következik az Anm ∈ C, n = 1, ..., km ; m = 1, ..., l számok egyértelműsége. 10.11. Példák. Az alábbiakban néhány függvény szingularitásait vizsgáljuk. (1) Az sin z f (z) = z függvénynek a z0 = 0 megszüntethető szinguláris helye. A sin z függvény Taylorsora alapján ugyanis ∞ X z3 z5 z 2n+1 =z− + − ··· sin z = (−1)n (2n + 1)! 3! 5! n=0

és így sin z z2 z4 =1− + − · · · (z ∈ C\{0}) z 3! 5! Látható, hogy a negatív kitevőjű tagok együtthatója valóban 0, azaz f -nek z0 megszüntethető szinguláris helye. A fentiek alapján könnyen végiggondolható, hogy sin z (z ∈ C\{0}) g(z) = 3 z függvénynek a z0 = 0 másodrendű pólusa. Azonban sin

1 1 z −3 z −5 = − + − ··· z z 3! 5!

miatt a 1 z függvénynek a z0 = 0 lényeges szinguláris helye. (2) Az h(z) = z sin

f (z) =

(z 2

1 1 = 2 4 2 + 1) (z − 1) (z + i) (z − i)2 (z − 1)4

(z ∈ C\{1, i, −i})

függvény izolált szinguláris helyei a (±i) és az 1. A −i szinguláris hely vizsgálatához az f függvényt átírva adódik, hogy f (z) = (z + i)−2

1 (z − i)2 (z − 1)4

(z ∈ C\{1, i, −i}).

Ekkor ∃  > 0, hogy g(z) =

1 (z − i)2 (z − 1)4

57

(z ∈ C\{1, i})

holomorf a D (−i) nyílt körlapon és g(−i) 6= 0. A 10.4-es tétel feltételei teljesülnek, így f -nek a (−i) másodrendű pólusa. Hasonlóan végiggondolható, hogy f -nek az i szinguláris hely másodrendű pólusa, az 1 pedig 4-edrendű pólusa. (3) Ugyancsak az exponenciális függvény hatványsorából látható, hogy a 1

f (z) = ze z

függvénynek a 0 lényeges szinguláris helye. (4) Legyen h(z) =

z2 = z − sin z

z2 z3 3!

−

z5 5!

+ ···

=

1 z 3!

−

z3 5!

+ ···

=

1 · z

1 1 3!

−

z2 5!

+ ···

,

ahol z − sin z 6= 0. Ekkor ∃  > 0, hogy g(z) =

1 1 3!

−

z2 5!

+ ···

(z ∈ C\{0})

holomorf a D (0) nyílt körlapon és g(0) 6= 0. Ez azt jelenti, hogy h-nak a 0 elsőrendű pólusa.

11. Cauchy-féle reziduum-tétel és alkalmazásai 11.1. Definíció. Legyen z0 ∈ C, r > 0, amivel az f függvény holomorf a B = {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. Az f függvénynek z0 pontbeli reziduumán a Laurent-sorának (−1) indexű tagját, c−1 -et értjük. Jelölése: Res(f, z0 ). 11.2. Megjegyzés. Az előző definíció jelöléseit alkalmazva, a Laurent-sor együtthatói segítségével, ha γ egy zárt pálya a B lyukas körlapon, akkor Z 1 f (ξ) dξ (j ∈ Z). Indγ (z0 )cj = 2πi γ (ξ − z0 )j+1 Ha Indγ (z0 ) = 1 és j = −1, akkor ez a következőt jelenti Z 1 c−1 = f (ξ)dξ, 2πi γ ami mutatja, hogy a reziduum a pályamenti integrállal van kapcsolatban. 11.3. Tétel (Reziduum-tétel). Legyen D ⊂ C nyílt halmaz, z1 , ..., zn ∈ D, f : D \ {z1 , ..., zn } → C holomorf függvény, γ zárt pálya D \ {z1 , ..., zn }-ben, amire (z ∈ / D).

Indγ (z) = 0 Ekkor Z f (ξ)dξ = 2πi γ

n X

Indγ (zk ) Res(f, zk ).

k=0

58

Bizonyítás. A D nyílt halmazból véges sok pontot kivéve a halmaz nyílt marad. Mivel γ ∗ kompakt halmaz, valamely ρ > 0-ra d((D \ {z1 , ..., zn })c , γ ∗ ) = ρ teljesül. Ezt felhasználva, valamint azt, hogy D nyílt halmaz adódik, hogy ∃ 0 < ρ0 < ρ, hogy Dρ0 (zk ) ⊂ D \ γ ∗ (k = 1, ..., n). Sőt az is elérhető, hogy 0 < γ 0 olyan legyen, hogy k = 1, 2, ..., n esetén a γk = zk + ρ0 eit

t ∈ [0, 2π]

körpályákra γj∗ ∩ γl∗ = ∅ j, l = 1, 2, ..., n. Tekintsük a Γ = γ ∨ (Indγ (z1 )(−γ1 )) ∨ ... ∨ (Indγ (zn )(−γn )) ciklust D \ {z1 , ..., zn }-ben. (Itt Indγ (zk )(−γk ) a γk pálya negatív irányban történő, Indγ (zk )-szor való bejárását jelenti (k = 1, ..., n).) Könnyen látható, hogy azon zk ponc tokra, melyek a γ ∗ nem korlátos komponensében vannak, Indγ (zk ) = 0, továbbá z ∈ (D \ {z1 , ..., zn })c .

IndΓ (z) = 0

A Cauchy-integráltétel homológ változatának feltételei teljesülnek, így Z f (ξ)dξ = 0, Γ

amiből Z f (ξ)dξ =

(17) γ

n X

Z f (ξ)dξ =

Indγ (zk ) γk

k=1

n X

Z Indγ (zk ) γk

k=1

f (ξ) dξ. (ξ − zk )−1+1

A Laurent-sor együtthatóinál látott képletből minden k = 1, ..., n-re (valamint a 11.2 megjegyzésből) Z f (ξ) dξ = 2πi Indγk Res(f, zk ), −1+1 γk (ξ − zk ) ahol Indγk (zk ) = 1 k = 1, ..., n. Ennek segítségével az (17) egyenlet jobboldala továbbírható, így Z n X Indγ (zk ) Res(f, zk ). f (ξ)dξ = 2πi γ

k=1

11.4. Példák. A következő függvények esetén az izolált szinguláris helyek reziduumát határozzuk meg. (1) Az 2 z

e =

∞  n X 2

z

n=0

·

1 n!

függvény esetén n = 1 helyettesítéssel kapható meg a függvény 0 pontbeli reziduuma, azaz 2 1 · = 2z −1 z 1!

59

2

miatt Res(e z , 0) = 2. (2) Legyen f (z) =

3 . 2z − z 2 − z 3

Az f függvényt átalakítva,   3 3 3 = = f rac1z − , f (z) = z(2 − z − z 2 ) −z(z − 1)(z + 2) (z − 1)(z + 2) és ∃ r > 0, hogy a 3 (z − 1)(z + 2) függvény holomorf és így Taylor-sorba fejthető a Dr (0) nyílt körlapon. Legyen g(z) = −

g(z) = c0 + c1 z + c2 z 2 + ..., melyet z-vel osztva

c0 + c1 + c2 z + ... z adódik, ahol könnyen látható, hogy 3 Res(f, 0) = c0 = g(0) = . 2 Az f függvény 1 és (−2) pontbeli reziduumai hasonlóan számolhatóak az alábbi felírások segítségével     1 3 1 3 f (z) = − ; f (z) = − . z−1 z(z + 2) z+2 z(z − 1) f (z) =

A fentiek alapján Res(f, 1) = −1 és Res(f, −2) = −1/2 adódik. 11.5. Megjegyzés (Reziduum kiszámítása). Legyen z0 ∈ C, r > 0, amivel az f függvény holomorf a B = {z ∈ C|0 < |z − z0 | < r} lyukas nyílt körlapon. (1) Ha f -nek z0 megszüntethető szinguláris helye van, akkor Res(f, z0 ) = 0. (2) Ha f -nek z0 egyszerű pólusa (rendje 1-gyel egyenlő), akkor Res(f, z0 ) = lim (f (z)(z − z0 )). z→z0

Valóban, ha f -nek z0 elsőrendű pólusa, akkor f (z) = c−1 (z − z0 )−1 + c0 + c1 (z − z0 ) + ..., ezért f (z)(z − z0 ) = c−1 + c0 (z − z0 ) + c1 (z − z0 )2 + ...

(z 6= z0 ).

Így c1 = Res(f, z0 ) megkapható a limz→z0 f (z)(z − z0 ) határérték segítségével. (3) Ha f -nek z0 n-edrendű pólusa, akkor Res(f, z0 ) = lim

z→z0

1 dn−1 (f (z)(z − z0 )n ). (n − 1)! dz n−1

Valóban, ha f -nek a z0 pont n-edrendű pólusa, akkor f (z) = c−n (z − z0 )−n + c−n+1 (z − z0 )−n+1 + ... + c−1 (z − z0 )−1 + c0 + ...,

60

így f (z)(z − z0 )n = c−n + c−n+1 (z − z0 ) + ... + c−1 (z − z0 )n−1 + c0 (z − z0 )n + ... Innen pedig deriválással kinyerhető a c−1 = Res(f, z0 ). 11.6. Példa. A |z| = 2 pálya alatt az origó középpontú, 2 sugarú, pozitív irányba egyszer körbejárt körpályát értjük. Adjuk meg az alábbi integrál értékét! Z ez dz 3 |z|=2 z + z A következő átalakítás alapján ez ez = z3 + z z(z − i)(z + i) látható, hogy az f (z) = ez /z 3 + z függvénynek a 0, az i és a −i is elsőrendű pólusa. Az előző megjegyzést felhasználva ekkor a függvény reziduumai ezekben a pontokban e−i ei ; Res(f, −i) = . −2 −2 Felhasználva továbbá, hogy Ind|z|=2 (0) = Ind|z|=2 (i) = Ind|z|=2 (−i) = 1, a kérdéses integrál értéke megadható a reziduum tétel segítségével   Z 1 i ez −i dz = 2πi 1 − (e + e ) = 2πi(1 − cos 1). 3 2 |z|=2 z + z Res(f, 0) = 1;

Res(f, i) =

11.1. Trigonometrikus integrálok. A következőkben néhány olyan valós integrált tekintünk, melyek kiszámítása egyszerűbbé válik a reziduum-tétel alkalmazásával. Az Z 2π

F (cos t, sin t)dt 0

alakú integrálok, ahol F kétváltozós, folytonos függvény, mindig átírhatóak az alábbi módon. Tekintve a γ(t) = eit t ∈ [0, 2π] pályát és felelevenítve a z+ eit + e−it = 2 2

sin t =

z + z1 eit − e−it = 2i 2i

illetve a összefüggéseket adódik, hogy  1  1 Z F z+ z ; z+ z 2 2i γ

1 z

cos t =

iz

Z dz = γ

F (cos t; sin t) it e idt. ieit

A fentiek alapján a Z 0

2π

1 dt 1 + 3 cos2 t

61

integrál kiszámításához tekinthető a Z

1 2 1+ 34 (z+ z1 )

iz

γ

γ

i z2 +

1

dz = γ

Z =

Z 

iz 1 +

3 4

z
dz = −4i + 23 z 2 + 43

3 4 z 4

z+ Z γ


1 2 z

 dz =

z dz. 3z 4 + 10z 2 + 3

Az integrandus egy racionális törtfüggvény, így a pólusai, reziduumai könnyen számolhatóak, z z   f (z) = 4 =  √
√
, 2 3z + 10z + 3 3 z − √i3 z + √i3 z − i 3 z + i 3 √ ahol a ±i 3 pontok a γ egységkörön kívül vannak, így √ √ Indγ (i 3) = Indγ (−i 3) = 0. Továbbá, a ± √i3 elsőrendű pólusai az f függvénynek. Ekkor a reziduum      i i Res f, √ = limi f (z) z − √ z→ √ 3 3 3 módon számolható, melynek segítségével   √i i 1 3     = Res f, √ = √ √ 16 3 √i − i 3 √i − i 3 3 √2i3 3 3 és hasonlóan

  i 1 Res f, − √ = . 16 3     Végül felhasználva, hogy Indγ √i3 = Indγ √i3 = 1, a reziduum-tételből kapjuk, hogy   Z 2π Z 1 z 1 1 dt = −4i dz = −4i2πi + = π. 4 2 1 + 3 cos2 t 16 16 0 γ 3z + 10z + 3

11.2. Racionális törtfüggvények improprius integrálja. Legyen f : R → R véges sok ponttól eltekintve folytonos függvény. Az Z ∞ f (t)dt −∞

improprius integrál számolható a következő módon. Z ∞ Z R f (t)dt = lim f (t)dt, 0

R→∞

0

ha ez a határérték létezik és Z

0

Z

0

f (t)dt = lim −∞

R→∞

62

f (t)dt, −R

ha ez a határérték létezik. Majd legyen Z Z ∞ f (t)dt = −∞

∞

Z

0

f (t)dt,

f (t)dt + −∞

0

amennyiben ez összeadható. Az improprius integrál kiszámítására egy másik módszer, melyet a továbbiakban alkalmazunk Z R Z ∞ f (t)dt, f (t)dt = lim R→∞

−∞

−R

amennyiben ez a határérték létezik. 11.7. Tétel. Legyenek P és Q valós polinomok, melyekre deg P = m és deg Q = n. Tegyük fel, hogy n ≥ m + 2 és Q-nak nincs valós gyöke. Ekkor   Z ∞ X P (z) P (t) dt = 2πi , zk , Res Q(z) −∞ Q(t) k ahol zk -k a

P Q

pólusai a felső félsíkon.

Bizonyítás. A feltételek miatt a számegyenesen nincs szingularitás és csak véges sok P szingularitása lehet a Q -nak. Így létezik olyan R > 0, hogy γ1 (t) = Reit

t ∈ [0, π];

γ2 (t) = −R + s(R − (−R))

s ∈ [0, 1].

esetén a γ = γ1 ∨ γ2 félkörpályára, γ az

∗c

korlátos komponense tartalmazza az összes zk szingularitást. Tekintve

Z π P (t) P (Reit ) it f (t)dt = dt + Re idt it γ −R Q(t) 0 Q(Re ) integrált alkalmazható a reziduum-tétel, mely szerint   Z X P f (t)dt = 2πi Res , zk , Q γ k Z

Z

R

ahol felhasználtuk, hogy Indγ (zk ) = 1 minden k esetén. A tétel igazolásához így azt kell megmutatni, hogy R → ∞ esetén Z π P (Reit ) it Re idt → 0. Q(Reit ) 0

Legyen P (z) = am z m + ... + a1 z + a0 ;

Q(z) = z n + ... + b1 z + b0 .

Felhasználva, hogy eit egy 1 abszolútértékű komplex szám, Z π Z π it P (Re ) |P (Reit )|R it ≤ Re idt dt, Q(Reit ) |Q(Reit )| 0

0

ami tovább becsülhető a |P (Reit )| ≤ |am |Rm + ... + |a1 |R + |a0 |

63

és |Q(Reit )| ≥ Rn − |bn−1 |Rn−1 − ... − |b1 |R − |b0 | összefüggések segítségével. Pontosabban, Z π Z π   P (Reit ) it |P (Reit )|R |am |Rm+1 + ... + |a1 |R2 + |a0 |R Re idt ≤ dt ≤ π , it |Q(Reit )| Rn − |bn−1 |Rn−1 − ... − |b1 |R − |b0 | 0 Q(Re ) 0 amely R → ∞ esetén 0-hoz tart. 11.8. Példák.

(1) Az alábbi integrál kiszámításához alkalmazzuk az előbbi tételt Z ∞ 1 dx. 2 2 −∞ (x + 1)(x + 4)

Az

1 1 = 2 + 1)(z + 4) (z − i)(z + i)(z − 2i)(z + 2i) átalakításból látható, hogy a szingularitások közül az i és a 2i azok, amelyek megfelelnek a tétel feltételeinek, azaz a felső félsíkon helyezkednek el. Így a következő reziduumokra van szükség az integrál meghatározásához f (z) =

(z 2

Res(f, i) = lim(f (z)(z − i)) = z→i

1 1 = ; 2i(−i)3i 6i

és hasonlóan 1 1 =− . i3i4i 12i A reziduum-tétel alapján így a kérdéses integrál Z ∞ 1 π 1 dx = 2πi = . 2 2 12i 6 −∞ (x + 1)(x + 4) Res(f, 2i) = lim(f (z)(z − 2i)) = z→i

(2) Az Z

∞

−∞

1 dx (x2 + 4)3

integrál esetén az f (z) =

(z 2

1 1 = 3 3 + 4) (z − 2i) (z + 2i)3

átalakítás miatt a Res(f, 2i) értéke szükséges az integrál meghatározásához. A 11.5 megjegyzés alapján ez a reziduum a következő módon számítható 1 d2 1 1 d2 3 (f (z)(z − 2i) ) = lim . 2 2 z→2i 3! dz (z + 2i)3 z→2i 3! dz

Res(f, 2i) = lim

Az ehhez szükséges deriváltak d2 1 = 12(z + 2i)−5 , 2 dz (z + 2i)3

d 1 = −3(z + 2i)−4 ; dz (z + 2i)3 így Res(f, 2i) =

1 6 1 3 1 12(4i)−5 = = . 2! 1024 i 512 i

64

Végül a kérdéses derivált értéke Z ∞ 1 3π 3 1 = . dx = 2πi 2 3 512 i 256 −∞ (x + 4) 11.9. Tétel. Legyenek P és Q valós polinomok, melyekre deg P = m és deg Q = n. Tegyük fel, hogy n ≥ m + 2 és Q-nak vannak valós tj gyökei j = 1, .., l, melyek 1 multiplicitásúak. Ekkor     Z ∞ l X X P (t) P (z) P (z) dt = 2πi , zk + πi Res , tj , Res Q(z) Q(z) −∞ Q(t) j=1 k ahol zk -k a P/Q pólusai a felső félsíkon. Bizonyítás. A 11.7 tételhez hasonlóan olyan alkalmas pályát választunk, mellyel a reziduum tétel alkalmazható. Rögzítsük azt a jelölést, hogy t1 < t2 < ... < tl (így t1 a −R-hez legközelebbi gyöke a Q polinomnak). Legyen  > 0 és definiáljuk az Fk k = 1, ..., 2l pontokat a számegyenesen úgy, hogy F2k−1 = tk −  és F2k = tk −  minden k = 1, ..., l. Ezen jelölések mellett definiáljuk a következő pályákat. Legyen γ1 (t) = Reit

t ∈ [0, π],

félkör-pálya, γj = tj + e−it

t ∈ [−π, 0]

j = 1, ..., l

negatív irányban bejárt félkör-pályák, melyek a tj j = 1, ..., l pontokat megkerülik továbbá δ1 (t) = −R + s(F1 − (−R)) s ∈ [0, 1]; δ3 (t) = F4 + s(F5 − F4 );

δ2 (t) = F2 + s(F3 − F2 )

s ∈ [0, 1];

... ; δl+1 (t) = F2l + s(R − F2l )

szakaszpályák. Ekkor a (18)

γR, = γ1 ∨ δ1 ∨ γ1 ∨ δ2 ∨ γ2 ∨ ... ∨ γl ∨ δl+1 ,

így a reziduum tétel alapján 2πi

X

 Res

j

P , zj Q



Z = γR,

P (z) dz Q(z)

A jobboldalon egyesített pályának a pályamenti integrálja Z Z l+1 Z l Z X X P (z) P (z) P (z) P (z) dz = dz + dz + dz. Q(z) Q(z) γ1 Q(z) γR, Q(z) j=1 δj j=1 γj Az előző tétel alapján tudjuk, hogy Z P (z) dz → 0, haR → ∞ γ1 Q(z) Az Z γj

P (z) dz Q(z)

j = 1, ..., l

65

integrálokat tekintve, a következő átalakítások P (z) P (z) = Q(z) (z − tj )Qj (z) során a feltételek miatt a Qj polinomnak j = 1, ..., l már nem gyöke a tj valós szám j = 1, ..., l. Következésképpen az Z Z π P (tj + eit ) P (z) dz = − eit idt it )Q (t + eit ) Q(z) (e j j 0 γj integrált tekintve  → 0 esetén P (tj + eit ) eit it it (e )Qj (tj + e ) t-ben egyenletesen. A korábbiak alapján egyenletes konvergencia esetén a pályamenti integrál és a határérték vétele felcserélhető, így   Z Z π P (z) P (tj + eit ) P it dz = − e idt → −iπ Res , tj j = 1, ..., l it it Q γj Q(z) 0 (e )Qj (tj + e ) A fentiek alapján l+1 X

intdeltaj

j=1

P (z) dz Q(z)

is konvergál, méghozzá R → ∞ és  → 0 esetén l+1 X

P (z) dz → intdeltaj Q(z) j=1

Z

∞

−∞

P (t) dt. Q(t)

Végül az (18) egyenletet átalakítva és az előzőeket felhasználva adódik az állítás. 11.10. Példa. Könnyen látható, hogy az alábbi integrál esetén alkalmazható a fenti tétel Z ∞ x dx 3 −∞ x − 8 és az

z z √ √ = −8 (z − 2)(z + 1 − i 3)(z + 1 + i 3) √ átalakításból látható, hogy a Res(f, 2) valamint a Res(f, −1 + i 3) reziduumokra van szükség az integrál meghatározásához. Mind a két szingularitás elsőrendű, így f (z) =

z3

Res(f, 2) = és

2 1 √ √ = 6 (3 − i 3)(3 + i 3)

√ √ −1 + i 3 6 − 2i 3 √ √ = √ . Res(f, −1 + i 3) = (−3 + i 3)2i 3 24i 3 Az integrál értéke így √ √ Z ∞ x πi (3 − i 3)π 3π √ dx = + = . 3 6 6 6 3 −∞ x − 8 √

66

11.11. Tétel. Legyenek P és Q valós polinomok, melyekre deg P = m és deg Q = n. Tegyük fel, hogy n ≥ m + 1, a Q-nak nincs valós gyöke, α > 0 és f (z) = Ekkor Z

∞

−∞

Z

eiαz P (z) . Q(z)

X P (t) cos(αt)dt = −2π Im Res(f, zj ); Q(t) j

∞

−∞

X P (t) sin(αt)dt = 2π Re Res(f, zj ), Q(t) j

ahol zj -k az f pólusai a felső félsíkon. 11.12. Tétel. Legyenek P és Q valós polinomok, melyekre deg P = m és deg Q = n. Tegyük fel, hogy n ≥ m + 1, a Q-nak vannak valós tj j = 1, ..., l gyökei, de mult(tj ) = 1 j = 1, ..., l. Legyen továbbá α > 0 és f (z) =

eiαz P (z) . Q(z)

Ekkor Z

∞

−∞

Z

l

X X P (t) cos(αt)dt = −2π Im Res(f, zj ) − π Im Res(f, tj ); Q(t) j j=1

∞

−∞

l

X X P (t) sin(αt)dt = 2π Re Res(f, zj ) + π Re Res(f, tj ), Q(t) j j=1

ahol zj -k az f pólusai a felső félsíkon. 11.13. Példák.

(1) Az ∞

eitx dx 2 −∞ π(1 + x ) integrál, mely a Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye, felírható a következő alakban Z ∞ Z ∞ Z ∞ eitx cos(tx) i sin(tx) dx = dx + dx. 2 2 2 −∞ π(1 + x ) −∞ π(1 + x ) −∞ π(1 + x ) Z

Az előző tételek segítségével t > 0 esetén Z 1 ∞ cos(tx) 1 dx = (−2π Im Res(f, i)) , 2 π −∞ (1 + x ) π ahol eitz eitz = . 1 + z2 (z − i)(z + i) Az f függvénynek az i szingularitás elsőrendű pólusa, így f (z) =

t

ei e−t Res(f, i) = lim(f (z)(z − i)) = = , z→i 2i 2i

67

melyből   Z 1 ∞ cos(tx) 1 −2e−t dx = (−2π Im Res(f, i)) = Im = Im(ie−t ) = e−t . π −∞ (1 + x2 ) π 2i Hasonlóan, 1 π

Z

∞

cos(tx) 1 dx = (2π Re Res(f, i)) = 0, (1 + x2 ) π

−∞

így kapjuk, hogy Z

∞

−∞

eitx dx = e−t π(1 + x2 )

t > 0.

Másrészt, t < 0 esetén −t-re alkalmazható a tétel, így a fentiek miatt Z ∞ Z ∞ cos(tx) − i sin(tx) cos(−tx) + i sin(tx) dx = dx = et t < 0. 2 2) π(1 + x ) π(1 + x −∞ −∞ A Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye tehát Z ∞ eitx dx = e−|t| . 2 −∞ π(1 + x ) (2) Az Z

∞

−∞

sin x dx x

esetén az

eiz z függvénynek csak a 0 valós szingularitása van, mely szerint Z ∞ sin x dx = π Re Res(f, 0) = π, −∞ x f (z) =

felhasználva, hogy Re Res(f, 0) = 1. (3) Az alábbi integrálra közvetlenül nem alkalmazható a megismert tételek egyike sem. A Z ∞ sin2 x dx 2 −∞ x helyett keresendő  > 0 esetén a Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 − cos 2x 1 cos 2x dx = dx − dx 2 2 2 2 2 2 −∞ x +  −∞ x +  −∞ x +  kifejezés értéke. Az Z

∞

−∞

cos 2x dx x2 + 2

esetén az

ei2z (z − i)(z + i) függvény az i a pozitív félsíkon lévő pólusa, mely elsőrendű, így  −2  Z ∞ cos 2x e πe−2 dx = −2π Im Res(f, i) = −2π Im = . 2 2 2i  −∞ x +  f (z) =

68

Hasonlóan, z2 miatt

Z

1 1 = 2 + (z − i)(z + i)

∞

−∞

x2

1 π 1 = . dx = 2πi 2 + 2i 

A fentieket összegezve   Z ∞ Z sin2 x 1 ∞ 1 − cos 2x π 1 − e−2 . dx = dx = 2 2 −∞ x2 + 2 2  −∞ x A L’Hospital szabályt alkalmazva a 1 − e−2  kifejezésre  → 0 esetén −e−2 · (−2) → 2π. 1 A kérdéses integrálra adódik, hogy Z ∞ sin2 x dx = π. 2 −∞ x 11.14. Tétel. Legyenek P és Q valós polinomok, melyekre deg P = m és deg Q = n. Tegyük fel, hogy n ≥ m + 2, a Q-nak nincs pozitív valós gyöke és a 0 legfeljebb 1 multiplicitású gyöke a Q-nak. Ekkor 0 < α < 1 esetén az f (z) = függvénnyel Z 0

∞

z α P (z) Q(z)

xα P (x) 2πi X dx = Res(f, zj ), Q(x) 1 − eiα2π j

ahol zj -k az összes nemzérus pólusai a P/Q-nak. 11.15. Megjegyzés. A z α kifejezés a következőt jelenti z α =e ˙ α log z , ahol a logaritmus függvény a logaritmus főágát jelenti. 11.16. Példa. Legyen 0 < α < 1 és keresendő az Z ∞ xα dx x(x + 1) 0 integrál értéke. A fenti tétel értelmében az f (z) =

1 z(z + 1)

függvénynek csak a (−1) pontbeli reziduuma szükséges az integrál meghatározásához. Következésképpen Z ∞ xα 2πi (−1)α dx = · , x(x + 1) 1 − eiα2π −1 0

69

így felhasználva, hogy (−1) = eiπ ;

így

(−1)α = eiαπ

az alábbi számolással adódik a kérdéses integrál értéke. Z ∞ xα 2πieiαπ π π dx = − . = − e−iαπ −eiαπ = iα2π x(x + 1) 1−e sin απ 0 2

11.3. Argumentum elv és Rouché-tétel. 11.17. Tétel. Legyen T ⊂ C tartomány, f : T → C olyan holomorf függvény, melynek T -beli gyökei Zf = {z1 , ..., zn } és γ : [α, β] → T \Zf olyan zárt pálya, melyre Indγ (z) = 0

(z ∈ / T ).

Ekkor Z γ

n X f 0 (ξ) dξ = 2πi Indγ (zj ) multf (zj ). f (ξ) j=1

Bizonyítás. Ha van olyan j = 1, ..., n, melyre f (n) (zj ) = 0 minden n ∈ N ∪ {0}, akkor a Taylor-sorban szereplő együtthatók mind 0-k, így valamely  > 0 esetén f (z) = 0 minden z ∈ D (zj ) számra. Ez a zérushelyek izoláltsága miatt csak úgy teljesülhet, hogy f azonosan 0, ami ellentmondás. Következésképpen minden j = 1, ..., n esetén létezik n ∈ N, melyre f (n) (zj ) 6= 0. Jelölje mj a legkisebb ilyen természetes szám, akkor mj = multf (zj ). Ekkor f felírható f (z) = (z − zj )mj g(z)

j = 1, ..., n

alakban, ahol g holomorf és g(zj ) 6= 0. Minden j = 1, ..., n esetén az mj (z − zj )mj −1 g(z) + (z − zj )mj g 0 (z) mj g 0 (z) f 0 (z) = = + f (z) (z − zj )mj g(z) z − zj g(z)

z ∈ D (zj ),

átalakításból, felhasználva, hogy g 0 (z)/g(z) holomorf  0  f mj = Res , zj j = 1, ..., n f adódik. Így a reziduum-tétel alapján következik az állítás. 11.18. Megjegyzés. Az előző tétel jelöléseivel Z β 1 1 Indf ◦γ (0) = f 0 (γ(t))γ 0 (t)dt = 2πi α f (γ(t)) Z β 0 Z 0 n X f (γ(t)) 0 1 f (ξ) 1 = γ (t)dt = dξ = Indγ (zj ) multf (zj ). 2πi α f (γ(t)) 2πi γ f (ξ) j=1

70

11.19. Tétel. Legyen T ⊂ C tartomány, f, g : T → C olyan holomorf függvények, melyre Zf és Zg végesek, γ : [α, β] → T olyan zárt pálya, amelyre (z ∈ / T ).

Indγ (z) = 0 Ha

(ξ ∈ γ ∗ ),

|f (ξ) − g(ξ)| < |f (ξ)| akkor X

Indγ (z) multf (z) =

z∈Zf

X

Indγ (z) multg (z).

z∈Zg

Bizonyítás. A tételben szereplő feltétel a következőt jelenti, 1 − g(γ(t)) < 1 ∀ t ∈ [α, β], f (γ(t)) ahol

g◦γ f ◦γ zárt pálya C-ben, így a Cauchy-tétel értelmében Ind fg◦γ (0) = 0. ◦γ Az alábbi számolás mutatja, hogy Z β 1 f (γ(t)) g 0 (γ(t))γ 0 (t)f (γ(t)) − g(γ(t))f 0 (γ(t))γ 0 (t) g◦γ 0 = Ind f ◦γ (0) == · = 2πi α g(γ(t)) f (γ(t))2  Z β 0 Z β 0 g (γ(t)) 0 f (γ(t)) 0 1 γ (t)dt − γ (t)dt = = 2πi α g(γ(t)) α f (γ(t))  Z 0 Z 0 1 g (ξ) f (ξ) = dξ − dξ , 2πi γ g(ξ) γ f (ξ) melyből adódik, hogy

Z 0 g 0 (ξ) f (ξ) dξ = dξ. γ g(ξ) γ f (ξ) Innen pedig az argumentum elv miatt igaz az állítás. Z

11.20. Következmény. Legyen P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n , ahol an 6= 0, n ≥ 1. Ekkor P -nek pontosan n darab gyöke van. Bizonyítás. Tekintve a |P (z) − an z n | = |a0 + a1 z + ... + an−1 z n−1 | összefüggést, z 6= 0 esetén |P (z) − an z n | → 0, |z n | ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan R > 0, melyre |P (z) − an z n | < |an | , ha |z n |

71

|z| ≥ R

és így |P (z) − an z n | < |an z n | , ha

|z| ≥ R.

A Rouché-tétel értelmében a P (z)-nek és az an z n -nek akármilyen R0 ≥ R sugarú körön belül multiplicitással számolva ugyanannyi, mégpedig n darab gyöke van. 11.21. Példák. (1) A Rouché-tétel segítségével megmutatható, hogy a z 5 + 3z 3 + 7 polinomnak 5 darab gyöke van a |z| = 2 körvonalon belül. Valóban, |z 5 + 3z 3 + 7 − z 5 | = |3z 3 + 7| ≤ 3|z|3 + 7 = 31 < 32 = |z|5

|z| = 2,

amiből adódik az állítás. (2) Szintén a Rouché-tételből következik, hogy a z 5 + 4z − 15 polinomnak nincs gyöke a |z| = 1 körön belül. Valóban, |z 5 + 4z − 15 − (4z − 15)| = |z|5 = 1 < 11 ≤ |4z − 15|. 11.22. Tétel (Nyílt leképezés tétel). Ha T ⊂ C tartomány, f : T → C olyan holomorf függvény, amely nem konstans, akkor f nyílt leképezés, azaz bármely D ⊂ T nyílt halmaz esetén f (D) nyílt. 11.23. Tétel (Inverz függvény tétel). Ha T ⊂ C tartomány, f : T → C olyan holomorf függvény, amely injektív, akkor az f −1 is holomorf. 11.24. Tétel (Riemann-leképezés tétel). Ha ∅ = 6 Ω C egyszeresen összefüggő tartomány, akkor Ω biholomorf ekvivalens a nyílt egységkörlappal.

72