Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011

Daftar Isi 5. DERET

ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Hendra Gunawan∗ ∗ Dosen FMIPA - ITB E-mail: [email protected].

September 26, 2011

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Deret dan Kekonvergenannya Deret Positif dan Uji Kekonvergenan Uji Kondensasi Cauchy dan Uji Lainnya Deret Berganti Tanda Kekonvergenan Mutlak dan Kekonvergenan Bersyarat

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Diberikan sejumlah terhingga bilangan a1 , . . . , aN , kita dapat menghitung jumlah a1 + · · · + aN . Namun, diberikan tak terhingga banyaknya bilangan a1 , a2 , a3 , . . . , bagaimana kita menghitung atau memaknai a1 + a2 + a3 + · · · ? Misalkan han i adalah suatu barisan bilangan real. Definisikan barisan hsN i dengan sN :=

N X

an = a1 + · · · + aN ,

N ∈ N.

n=1

Untuk tiap N ∈ N, sN dikenal sebagai jumlah parsial ke-N dari deret ∞ X an , n=1

dan an disebut suku ke-n dari deret tersebut. Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Daftar Isi 5. DERET


Jika sN → s untuk N → ∞, maka deret

∞ P

an dikatakan

n=1

konvergen ke s. Dalam hal ini s disebut sebagai jumlah deret tersebut dan kita tuliskan ∞ X

an = s.

n=1 ∞ P

Jika hsN i divergen, maka deret

an dikatakan divergen.

n=1

Catatan. Indeks n dapat ‘berjalan’ mulai dari 0, sehingga kita ∞ P mempunyai deret an . Indeks n dapat pula berjalan mulai dari n=0

sembarang bilangan asli n0 . Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Contoh 1 Deret geometri

∞ X 1 2n n=1

merupakan barisan jumlah parsial sN =

N X 1 1 = 1− N, n 2 2 n=1

yang konvergen ke 1. Jadi dalam hal ini kita dapat menuliskan ∞ X 1 = 1. 2n n=1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Daftar Isi 5. DERET


Secara umum, deret geometri ∞ X

xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .

n=0

mempunyai jumlah parsial sN =

N X

xn =

n=0

1 − x N+1 . 1−x

Jika |x| < 1, maka x N+1 → 0 untuk N → ∞; sehingga sN →

1 , 1−x

Jadi, untuk |x| < 1, deret

∞ P

untuk N → ∞.

x n konvergen ke

n=0

Jika |x| ≥ 1, maka deret divergen. Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

1 1−x .

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Contoh 2 Deret

∞ X n=1

1 n(n + 1)

mempunyai jumlah parsial N X

N X 1 1 1 sN = = − n(n + 1) n n+1 n=1 n=1 1 1 1 1 1 + − + ··· + − = 1− 2 2 3 N N +1 1 . =1− N +1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Di sini sN → 1 untuk N → ∞, sehingga deret di atas konvergen dan mempunyai jumlah 1, yakni ∞ X n=1

1 = 1. n(n + 1)

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 3 Jika deret

∞ P

an konvergen, maka an → 0 untuk n → ∞.

n=1

Bukti. Misalkan

∞ P

an = s. Maka

n=1

sN =

N X

an → s,

n=1

untuk N → ∞. Akibatnya, aN = sN − sN−1 → s − s = 0, untuk N → ∞. Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Daftar Isi 5. DERET


Proposisi 3 menyatakan bahwa lim an = 0 merupakan syarat n→∞ ∞ P an . Sebagai contoh, perlu untuk kekonvergenan deret n=1 ∞ X

(−1)n

n=1

divergen, karena lim (−1)n 6= 0 (persisnya, lim (−1)n tidak ada). n→∞

n→∞

Kebalikan dari Proposisi 3 tidak berlaku: lim an = 0 bukan n→∞ ∞ P merupakan syarat cukup untuk menjamin bahwa deret an konvergen. Sebagai contoh,

lim 1 n→∞ n

Hendra Gunawan

= 0, tetapi

∞ P n=1

ANALISIS REAL

n=1 1 n

divergen.

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 4 (Kriteria Cauchy)

Deret

∞ P

an konvergen jika dan hanya jika untuk setiap > 0

n=1

k+p P terdapat N ∈ N sedemikian sehingga an < untuk k ≥ N n=k

dan p ∈ N.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 5

Misalkan

∞ P n=1

an dan

∞ P

bn konvergen ke a dan b berturut-turut.

n=1

Jika λ dan µ adalah bilangan real sembarang, maka ∞ P (λan + µbn ) konvergen ke λa + µb. n=1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Bukti. Perhatikan bahwa N X

(λan + µbn ) = λ

n=1

N X

an + µ

n=1

N X n=1

→ λa + µb untuk N → ∞, menurut Proposisi 5 pada Bab 3.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

bn

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Daftar Isi 5. DERET


Soal Latihan 1

Tunjukkan bahwa

∞ P n=1

2

4 4n2 −1

= 2.

Tentukan jumlah parsial deret

∞ P

(−1)n , dan simpulkan

n=1

3

bahwa deret ini divergen. ∞ P n Apakah deret 100n+1 konvergen? n=1

4

5

Buktikan Proposisi 4. ∞ P Misalkan deret an konvergen. Buktikan bahwa, untuk n=1

setiap N ∈ N, deret N → ∞.

∞ P

an konvergen dan

n=N

Hendra Gunawan

∞ P n=N

ANALISIS REAL

an → 0, untuk

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Deret yang suku-sukunya bernilai positif (atau tak negatif) termasuk deret yang mudah dipelajari, karena jumlah parsialnya membentuk barisan naik. Jadi, jika kita ingin menunjukkan bahwa deret tersebut konvergen, kita hanya perlu menunjukkan bahwa barisan jumlah parsialnya terbatas di atas. Jika barisan jumlah parsialnya tak terbatas di atas, maka deret tersebut konvergen ke +∞. Proposisi 6 Misalkan an ≥ 0 untuk tiap n ∈ N. Maka,

∞ P

an konvergen jika

n=1

dan hanya jika barisan jumlah parsialnya terbatas (di atas).

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Contoh 7 Deret

∞ X 1 n2 n=1

mempunyai suku-suku yang bernilai positif. Jumlah parsialnya, yaitu 1 1 sN = 1 + 2 + · · · + 2 , 2 N membentuk barisan naik dan terbatas di atas (lihat Contoh 12 pada Bab 3). Karena itu deret di atas konvergen (namun pada saat ini kita belum dapat menghitung jumlah deret tersebut).

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Contoh 8

Deret

∞ X 1 n=1

n

mempunyai suku-suku yang bernilai positif. Jumlah parsialnya, yaitu 1 1 sN = 1 + + · · · + , 2 N membentuk barisan naik yang tak terbatas di atas (Soal Latihan 3.4 no. 5). Jadi deret ini konvergen ke +∞.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Daftar Isi 5. DERET


Akibat 9 (Uji Perbandingan) Misalkan 0 ≤ an ≤ bn untuk tiap n ∈ N. ∞ ∞ P P (i) Jika bn konvergen, maka an konvergen. (ii) Jika

n=1 ∞ P

n=1

an divergen, maka

n=1

∞ P

bn divergen.

n=1

Bukti. (i) Misal

∞ P

bn konvergen. Untuk tiap N ∈ N,

n=1

a1 + a2 + · · · + aN ≤ b1 + b2 + · · · + bN . Karena jumlah parsial di ruas kanan terbatas, jumlah parsial di ∞ P ruas kiri juga terbatas. Akibatnya an konvergen. n=1 Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Akibat 10 (Uji Limit Perbandingan)

Misalkan an ≥ 0 dan bn > 0 untuk tiap n ∈ N. Misalkan pula ∞ ∞ P P an dan bn keduanya konvergen lim bann = L 6= 0. Maka

n→∞

n=1

n=1

atau keduanya divergen.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Soal Latihan ∞ P

1 n! .

1

Selidiki kekonvergenan deret

2

Misalkan hrn i adalah barisan bilangan rasional

n=1

1 1 2 1 2 3 , , , , , ,.... 2 3 3 4 4 4 ∞ P Tunjukkan bahwa rn konvergen ke +∞. n=1 3 4

Buktikan Akibat 10. Selidiki kekonvergenan deret berikut: ∞ P n=1 ∞ P n=1

1 n2 +1 n n2 +1 . Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 11 (Uji Kondensasi Cauchy)

Misalkan an ≥ 0 dan an ≥ an+1 untuk tiap n ∈ N. Maka, konvergen jika dan hanya jika

∞ P

n=1

2n a2n konvergen.

n=0

Hendra Gunawan

∞ P

ANALISIS REAL

an

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Bukti. Perhatikan bahwa untuk tiap n ∈ N berlaku a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + a8 + · · · + a2n ≤ a1 + 2a2 + 4a4 + · · · + 2n a2n . Jadi, jika

∞ P

∞ P

2n a2n konvergen, maka

an juga konvergen.

n=1

n=0

Sebaliknya, kita juga mempunyai 1 a1 +a2 +a3 +a4 +· · ·+a2n−1 +1 +· · ·+a2n ≥ [a1 +2a2 +4a4 +· · ·+2n a2n ]. 2 Jadi, jika

∞ P

an konvergen, maka

n=1

∞ P

2n a2n juga konvergen.

n=0

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Contoh 12

Deret

∞ P n=1

1 np

konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk p ≤ 1.

Untuk p > 0, Uji Kondensasi Cauchy dapat diterapkan: ∞ ∞ X X 2n = 2n(1−p) . 2np n=0

n=1

Deret ini merupakan deret geometri dengan rasio r = 21−p , dan karenanya konvergen jika dan hanya jika p > 1.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 13 (Uji Limit Rasio) = L. Misal an > 0 untuk tiap n ∈ N dan lim aan+1 n→∞ n ∞ P an konvergen. (i) Jika L < 1, maka (ii) Jika L > 1, maka

n=1 ∞ P

an divergen.

n=1

Catatan. Dalam hal L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan ∞ ∞ ∞ P P P 1 1 apapun tentang an . Sebagai contoh, termasuk n dan n2 n=1

n=1

dalam kasus ini.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

n=1

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 14 (Uji Rasio)

Misal an > 0 untuk tiap n ∈ N. (i) Jika terdapat N ∈ N dan q ∈ R dengan 0 < q < 1 sedemikian ∞ P ≤ q untuk n ≥ N, maka an konvergen. sehingga aan+1 n n=1

(ii) Jika terdapat N ∈ N sedemikian sehingga ∞ P n ≥ N, maka an divergen. n=1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

an+1 an

≥ 1 untuk

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 15 (Uji Limit Akar)

1/n

Misal an ≥ 0 untuk tiap n ∈ N dan lim an n→∞ ∞ P an konvergen. (i) Jika L < 1, maka (ii) Jika L > 1, maka

n=1 ∞ P

= L.

an divergen.

n=1

Catatan. Dalam hal L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan ∞ P apapun tentang an . n=1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Propisisi 16 (Uji Akar)

Misal an ≥ 0 untuk tiap n ∈ N. (i) Jika terdapat N ∈ N dan q ∈ R dengan 0 < q < 1 sedemikian ∞ P 1/n sehingga an ≤ q untuk n ≥ N, maka an konvergen. n=1

(ii) Jika

1/n an

≥ 1 untuk tak terhingga banyak n, maka

∞ P n=1

divergen.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

an

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Daftar Isi 5. DERET

Misal

an =

Maka an+1 = an

1 3n , 1 2n ,


jika n ganjil jika n genap

3n , 2n+1 2n , 3n+1

jika n ganjil jika n genap

Jadi lim aan+1 tidak ada, dan karenanya Uji Limit Rasio tidak n→∞ n dapat digunakan. Demikian pula Uji Limit Akar tidak terpakai. 1/n Namun, karena an ≤ 12 untuk tiap n ∈ N, maka menurut Uji ∞ P Akar an konvergen. n=1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Soal Latihan 1

Misalkan han i turun, an > 0 untuk tiap n ∈ N, dan

∞ P

an

n=1

2

konvergen. Buktikan bahwa nan → 0 untuk n → ∞. [Petunjuk: Tinjau an+1 + · · · + a2n .] Misalkan an ≥ 0 dan bn > 0 untuk tiap n ∈ N, dan ∞ ∞ P P lim bann = 0. Buktikan jika bn konvergen, maka an

n→∞

3

n=1

n=1

konvergen. Tunjukkan, dengan contoh, bahwa kebalikannya tidak berlaku. Misal 0 < r < 12 dan n r , jika n ganjil an = rn 2 , jika n genap Buktikan bahwa

∞ P n=1

an konvergen.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Pada beberapa sub-bab terdahulu, kita telah mempelajari deret dengan jumlah parsial yang mempunyai rumus sederhana atau yang membentuk barisan naik, sehingga kekonvergenannya relatif mudah diselidiki. Bagaimana bila tidak demikian situasinya? Seperti halnya ketika kita berurusan dengan barisan, kita dapat memeriksa apakah jumlah parsial deret yang kita amati membentuk barisan Cauchy. Teorema berikut membahas kekonvergenan deret dengan suku-suku yang ‘berganti-tanda’.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 17

Misalkan han i turun, an > 0 untuk tiap n ∈ N, dan an → 0 untuk n → ∞. Maka deret ∞ X

(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + − · · ·

n=1

konvergen.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Bukti. Bila kita dapat menunjukkan bahwa hsn i merupakan barisan Cauchy, maka bukti selesai. Perhatikan bahwa untuk m > n, kita mempunyai 0 ≤ an+1 − an+2 + − · · · + −am ≤ an+1 . Ini terjadi karena ak > 0 dan ak − ak+1 ≥ 0 untuk tiap k. Sekarang misalkan > 0 diberikan. Karena an → 0 untuk n → ∞, terdapat N ∈ N sehingga an < untuk n ≥ N. Akibatnya, untuk m > n ≥ N, kita peroleh |sm − sn | = |an+1 − an+2 + − · · · + −am | ≤ an+1 < . Ini berarti bahwa hsn i Cauchy, sesuai dengan harapan kita. Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Contoh 18

Deret

∞ X (−1)n−1 n=1

n

=1−

1 1 1 + − + −··· 2 3 4

konvergen.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Soal Latihan 1

Selidiki benar atau salah pernyataan berikut: Jika

∞ P

an dan

∞ P

bn konvergen, maka

an bn konvergen.

n=1

n=1

n=1

∞ P

∞ P bn konvergen, dan Jika bn > 0 untuk tiap n ∈ N, n=1 P P N ∞ P N an ≤ bn , untuk tiap N ∈ N, maka an konvergen. n=1

2

n=1

n=1

Misalkan bn > 0 untuk tiap n ∈ N dan

∞ P n=1

Buktikan jika |an | ≤ bn , maka

∞ P

n ∈ N,

an konvergen.

n=1 Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

bn konvergen.

Daftar Isi 5. DERET

Deret

∞ P

konvergen. Sebagai contoh,

n=1

∞ P n=1

1 n2


an dikatakan konvergen mutlak apabila deret

n=1

∞ P

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

∞ P

|an |

n=1 (−1)n−1 n2

konvergen mutlak karena

konvergen.

Deret yang konvergen tetapi tidak konvergen mutlak dikatakan ∞ P (−1)n−1 konvergen bersyarat. Sebagai contoh, konvergen tetapi n n=1

tidak konvergen mutlak, karena itu ia konvergen bersyarat.

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Proposisi 19 Deret konvergen mutlak senantiasa konvergen.

Bukti. Untuk k > j, k k X X an ≤ |an |. n=j

n=j

Berdasarkan Kriteria Cauchy, kita simpulkan bahwa konvergen bila

∞ P

∞ P n=1

|an | konvergen.

n=1 Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

an

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Penyusunan Ulang Deret Misalkan p : N → N merupakan suatu permutasi dari P N, yakni pemetaan satu-satu dari N pada N. Maka, deret ap(n) n=1

merupakan suatu penyusunan ulang dari deret

∞ P

an .

n=1

Sebagai contoh, deret 1−

1 1 1 1 1 1 − + − − + − ··· 2 4 3 6 8 5

merupakan suatu penyusunan ulang dari deret berganti tanda ∞ P (−1)n+1 . n n=1

Bila

∞ P n=1

(−1)n+1 n

= s, maka dapat ditunjukkan bahwa penyusunan

ulang di atas konvergen ke 2s . Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Teorema 20

Misal

∞ P

an konvergen mutlak dan p : N → N suatu permutasi

n=1

dari N. Maka

∞ P

ap(n) konvergen mutlak dan

n=1

∞ P n=1

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

ap(n) =

∞ P n=1

an .

Daftar Isi 5. DERET

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5


Soal Latihan

1

Buktikan jika

∞ P n=1

an2 dan

∞ P

bn2 konvergen, maka

n=1

∞ P

an bn

n=1

konvergen mutlak (dan karenanya konvergen). 2

Selidiki apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen: ∞ P

√

n=1 ∞ √ P n=1 ∞ P n=1

√ n+1− n . n √ n+1− n √ . n

(−1)n−1 √ . n

Hendra Gunawan

ANALISIS REAL

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011

Recommend Documents