Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Hendra Gunawan∗ ∗ Dosen FMIPA - ITB E-mail:
[email protected].
September 12, 2011
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui limitnya. Persisnya, jika kita dihadapkan pada sebuah barisan yang monoton dan terbatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ia konvergen. Namun bagaimana bila barisan tersebut bukan barisan monoton dan limitnya tak dapat diterka? Upaya yang dapat kita lakukan dalam hal ini adalah mengamati jarak antara satu suku dengan suku lainnya.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Barisan hxn i disebut barisan Cauchy apabila untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk m, n ≥ N berlaku |xm − xn | < . Secara intuitif, suku-suku pada barisan Cauchy dapat sangat berdekatan satu sama lain, dan ini terjadi tidak hanya pada dua atau beberapa suku berturutan tetapi semua suku setelah indeks tertentu.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Proposisi 10
Jika hxn i konvergen, maka hxn i merupakan barisan Cauchy.
Bukti. Misalkan hxn i konvergen ke L. Diberikan > 0, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk tiap n ≥ N berlaku |xn − L| < 2 . Maka, untuk m, n ≥ N, kita peroleh |xm − xn | ≤ |xm − L| + |L − xn | <
+ = . 2 2
Ini membuktikan bahwa hxn i Cauchy.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Sifat Interval Bersarang
Kebalikan dari Proposisi 10 juga berlaku, namun untuk membuktikannya kita memerlukan lemma berikut. Lemma 11 (Sifat Interval Bersarang) (i) Misal In := [an , bn ] dengan an < bn sedemikian sehingga In+1 ⊆ In untuk tiap n ∈ N. Maka ∩∞ n=1 In 6= ∅. (ii) Jika, sebagai tambahan, |In | := bn − an → 0 bila n → ∞, maka ∩∞ n=1 In merupakan himpunan singelton (hanya mempunyai sebuah anggota).
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Bukti. (i) Untuk tiap n ∈ N berlaku a1 ≤ an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn ≤ b1 . Jadi han i naik dan terbatas di atas (sementara hbn i turun dan terbatas di bawah). Akibatnya, an ↑ a := sup{an : n ∈ N} bila n → ∞. Lebih jauh, an ≤ a ≤ bn untuk tiap n ∈ N, sehingga a ∈ ∩∞ n=1 In . (ii) Jika x, y ∈ ∩∞ n=1 In , maka |x − y | ≤ bn − an untuk tiap n ∈ N. Karena bn − an → 0 bila n → ∞, maka haruslah |x − y | = 0 atau x = y.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Catatan. Ketertutupan interval In pada Sifat Interval Bersarang merupakan hipotesis yang penting. Periksa bahwa bukti bagian (i) tidak sah bila In := (an , bn ).
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 12 Jika hxn i Cauchy, maka hxn i konvergen.
Bukti. Misalkan hxn i Cauchy. Kita definisikan secara induktif barisan bilangan asli hnk i sebagai berikut: Tetapkan n1 := 1 dan untuk tiap k ∈ N pilih nk+1 bilangan asli terkecil sedemikian 1 . sehingga nk+1 > nk dan jika i, j ≥ nk+1 , maka |xi − xj | < 2k+2 Tinjau 1 1 Ik := xnk − k , xnk + k , k ∈ N. 2 2 Maka Ik+1 ⊆ Ik untuk tiap k ∈ N. (Jika x ∈ Ik+1 , maka x ∈ Ik 1 1 karena |x − xnk | ≤ |x − xnk+1 | + |xnk+1 − xnk | < 2k+1 + 2k+1 = 21k .) Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Selanjutnya, |Ik | = 22k → 0 bila k → ∞. Akibatnya, ∩∞ n=1 Ik := {x} untuk suatu x ∈ R. Kita klaim bahwa xn → x bila n → ∞. Ambil > 0. Pilih K ∈ N sedemikian sehingga 21K < . Jika n ≥ nK +1 , maka 1 |xn − xnK +1 | < K +2 . 2 Sementara itu, x ∈ IK +1 mengakibatkan 1 . 2K +1
|x − xnK +1 | < Karena itu, |xn − x| ≤
1 2K +2
+
1 2K +1
<
1 < . 2K
Dengan demikian klaim kita terbukti. Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 13 Diketahui barisan hxn i dengan x1 = 1, x2 = 2, dan 1 xn+2 = (xn+1 + xn ), n ∈ N. 2 Maka, dapat diperiksa bahwa untuk tiap n ∈ N kita mempunyai 1 |xn+2 − xn+1 | = n . 2 Dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga, kita peroleh untuk m>n 1 |xm − xn | ≤ |xm − xm−1 | + · · · + |xn+1 − xn | ≤ n−2 . 2 Diberikan > 0, kita dapat memilih N ∈ N sedemikian sehingga 1 < . Maka, untuk m, n ≥ N, kita peroleh 2N−2 1 |xm − xn | ≤ 2N−2 < . Ini menunjukkan bahwa hxn i Cauchy, dan karenanya konvergen. Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Soal Latihan 1
Buktikan secara langsung bahwa jika hxn i Cauchy, maka hxn i terbatas (tanpa melalui fakta bahwa hxn i konvergen) .
2
Tentukan limit barisan hxn i pada Contoh 13.
3
Barisan hxn i dikatakan kontraktif apabila terdapat 0 < K < 1 sedemikian sehingga |xn+2 − xn+1 | ≤ K |xn+1 − xn | untuk tiap n ∈ N. Buktikan bahwa barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, dan karenanya konvergen.
4
Diketahui barisan hxn i dengan x1 = 1, x2 = 2, dan xn+2 =
√
xn+1 xn ,
n ∈ N.
Buktikan bahwa hxn i merupakan barisan Cauchy. 5
Selidiki apakah barisan h n1 i kontraktif. Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Misalkan hxn i barisan dan hnk i barisan naik murni dengan nk ∈ N untuk tiap k ∈ N. Maka, barisan hxnk i disebut sebagai sub-barisan dari hxn i. Catatan. Pada pembuktian Teorema 12, kita mengkonstruksi subbarisan hxnk i yang konvergen ke suatu x ∈ R. Secara umum, dapat ditunjukkan bahwa setiap barisan terbatas selalu mempunyai subbarisan yang konvergen.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 1 (i) Diketahui barisan h(−1)n i. Maka, h(−1)2k−1 i = h−1i dan h(−1)2k i = h1i merupakan sub-barisan dari h(−1)n i. (Pada sub-barisan pertama nk = 2k − 1, sedangkan pada sub-barisan kedua nk = 2k.) (ii) Misalkan hrn i adalah barisan 1, 2, 23 , 53 , 85 , 13 8 , . . . . Maka 3 8 1, , , . . . 2 5
5 13 dan 2, , , . . . 3 8
merupakan sub-barisan dari hrn i. (Pada sub-barisan kedua, nk = k + 1.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Hipotesis hnk i naik murni merupakan bagian penting dalam definisi sub-barisan. Salah satu akibat dari hipotesis ini, kita mempunyai nk ≥ k untuk tiap k ∈ N. Fakta ini dapat dibuktikan dengan Prinsip Induksi Matematika. (Jelas bahwa n1 ≥ 1. Selanjutnya, jika nk ≥ k, maka nk+1 > nk ≥ k dan karenanya nk+1 ≥ k + 1.) Catat bahwa setiap sub-barisan dari barisan terbatas juga bersifat terbatas. Selanjutnya, kita mempunyai teorema berikut.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 2
Jika hxn i konvergen ke L, maka setiap sub-barisan dari hxn i konvergen ke L.
Bukti. Misalkan hxnk i adalah sub-barisan dari hxn i. Diberikan > 0, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |xn − L| < . Maka, untuk setiap k ≥ N, kita mempunyai nk ≥ k ≥ N, dan karenanya |xnk − L| < . Dengan demikian hxnk i konvergen ke L.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 3
Kita telah membahas kedivergenan barisan h(−1)n i. Bukti alternatif yang lebih sederhana dapat diberikan dengan menggunakan Teorema 2. Karena terdapat sub-barisan h−1i yang konvergen ke -1 dan sub-barisan h1i yang konvergen ke 1, maka barisan h(−1)n i tidak mungkin konvergen. (Jika ia konvergen, maka menurut Teorema 2 kedua sub-barisan di atas seharusnya konvergen ke bilangan yang sama.)
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 4
Pada Soal Latihan 3.4 No. 3, anda diminta menunjukkan bahwa hx n i konvergen untuk 0 < x < 1. Sekarang kita dapat menentukan limitnya dengan menggunakan Teorema 2 sebagai berikut. Misalkan hx n i konvergen ke L. Maka, sub-barisan hx 2k i akan konvergen ke L juga. Namun, x 2k = (x k )2 → L2
untuk k → ∞.
Karena itu L = L2 , sehingga kita dapatkan L = 0 atau L = 1. Mengingat 0 < x < 1 dan hx n i turun, kita simpulkan bahwa L = 0. Hasil ini sesuai dengan Soal Latihan 3.3 No. 5.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 5 Pada Sub-bab 3.4, Contoh 13, kita telah menunjukkan bahwa barisan hxn i yang didefinisikan secara induktif dengan xn+1 =
1 2 xn + , 2 xn
n ∈ N,
konvergen. Sekarang misalkan limitnya adalah L. Maka, menurut Teorema 2, hxn+1 i juga konvergen ke L. Akibatnya L=
1 2 L+ , 2 L
sehingga L2 = 2. Namun x1 > 0 √ mengakibatkan xn > 0 untuk tiap n ∈ N. Karena itu mestilah L = 2. Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Soal Latihan 1
2
3
4
Diketahui barisan hxn i. Tunjukkan jika hx2k−1 i dan hx2k i konvergen ke bilangan yang sama, maka hxn i konvergen. Buktikan jika hxn i Cauchy dan mempunyai subbarisan yang konvergen ke x, maka xn → x bila n → ∞. Diketahui barisan hxn i didefinisikan secara induktif dengan x1 = 1 dan 1 xn+1 = xn + , n ∈ N. xn Mungkinkah hxn i konvergen? Diketahui barisan hrn i didefinisikan secara induktif dengan r1 = 1 dan 1 rn+1 = 1 + , n ∈ N. rn Tunjukkan jika hrn i konvergen, maka ia akan konvergen ke √ (1 + 5)/2. Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Barisan hxn i dikatakan konvergen ke +∞ dan kita tuliskan xn → +∞ bila n → ∞ apabila untuk setiap M > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku xn > M. Serupa dengan itu, barisan hxn i dikatakan konvergen ke −∞ dan kita tuliskan xn → −∞ bila n → ∞ apabila untuk setiap M > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku xn < −M.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Catatan. Walaupun di sini kita menggunakan istilah konvergen dan notasi yang mirip dengan notasi untuk barisan konvergen, barisan yang kita bahas sebetulnya merupakan barisan divergen di R. Proposisi 5 pada Bab 3 tidak berlaku untuk barisan yang konvergen ke ±∞ mengingat ±∞ ∈ / R.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 16
(i) Barisan hni konvergen ke +∞; sementara barisan h−ni konvergen ke −∞.
1 1 (ii) Barisan 1 + + · · · + pada Soal Latihan 3.4 no. 5 2 n merupakan barisan yang konvergen ke +∞. (iii) Barisan h(−1)n ni bukan merupakan barisan yang konvergen ke +∞ ataupun konvergen ke −∞. Catatan. Barisan hxn i yang divergen dan bukan merupakan barisan yang konvergen ke ±∞ dikatakan berosilasi.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 17
(i) Jika hxn i naik dan tak terbatas (di atas), maka ia konvergen ke +∞. (ii) Jika hxn i dan tak terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke −∞. Catatan. Teorema 17 merupakan perluasan dari Teorema 11 pada Bab 3. Sebagai akibatnya, pada sistem bilangan real yang diperluas, barisan monoton selalu konvergen.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Soal Latihan
1
Buktikan Teorema 17.
2
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r > 0, barisan hnr i konvergen ke +∞.
3
Misalkan xn > 0 untuk tiap n ∈ N. Buktikan bahwa hxn i konvergen ke 0 jika dan hanya jika x1n konvergen ke +∞.
Hendra Gunawan
ANALISIS REAL
