MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017
Hendra Gunawan, Ph.D.
Bab 7
Limit dan Kekontinuan 2
Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang bersama dengan Leibniz dinobatkan sebagai penemu Kalkulus. Karyanya yang terkenal adalah “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687) dan “Opticks” (1706).
Gottfried W. Leibniz (1646-1716) Gottfried Wilhem (von) Leibniz adalah seorang filsuf & matematikawan Jerman yang bersama dengan Newton dinobatkan sebagai penemu Kalkulus. Notasi dy/dx untuk turunan dan ʃ untuk integral yang kita pakai sekarang adalah notasi ciptaannya.
7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik Diberikanfungsi f yang terdefinisi pada interval (𝑎, 𝑏) kecuali mungkin di titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), kita tertarik untuk mengamati nilai 𝑓(𝑥) untuk x di sekitar c. Khususnya, kita bertanya: apakah f(x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c? Misalkan 𝐿 ∈ ℝ. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menuju c, dan kita tuliskan 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐 atau
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿,
𝑥→𝑐
apabila untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. 5
Limit Fungsi Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai limit L di c.
2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
6
PROPOSISI (i) lim 𝑘 = 𝑘. 𝑥→𝑐
(ii) lim 𝑥 = 𝑐. 𝑥→𝑐
2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
7
Limit Kiri dan Limit Kanan (1) Kadang, yang terjadi di sebelah kiri c berbeda dengan yang terjadi di sebelah kanan c. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik. Misalkan f terdefinisi pada interval (𝑎, 𝑐) dan 𝐿 ∈ ℝ. Kita katakan bhw f menuju L bila x menuju c dari kiri; kita tulis 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐 − atau lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑥→𝑐
apabila untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian shg jika 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. 2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
8
Limit Kiri dan Limit Kanan (2) Misalkan f terdefinisi pada interval (𝑐, 𝑏) dan 𝑀 ∈ ℝ. Kita katakan bhw f menuju M bila x menuju c dari kanan; kita tulis 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐 + atau lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑀, 𝑥→𝑐
apabila untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian shg jika 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.
Bilangan L dan M berturut-turut disebut limit kiri dan limit kanan dari f di c. 2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
9
Proposisi lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 jika dan hanya jika lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
dan lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿. 𝑥→𝑐
2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
10
7.2 Kekontinuan Fungsi Dalam definisi lim 𝑓(𝑥), nilai f di c sama sekali tidak 𝑥→𝑐
diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f(x) untuk x di dekat c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f terdefinisi di c, menarik untuk membandingkan nilai lim 𝑓(𝑥) dan f(c). 𝑥→𝑐
Jika lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐), kita katakan f kontinu di c. 𝑥→𝑐
2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
11
Catatan Berdasarkan Proposisi 3, f kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga: jika |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)| < 𝜖. Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak `terputus' di c. Jelas bahwa f kontinu di c jika dan hanya jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di c. 2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
12
Ketakkontinuan yang Dapat Dihapuskan dan Ketakkontinuan Loncat Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada, tetapi salah satu atau kedua limit tersebut tidak sama dengan f(c), maka f tidak kontinu di c. Jika limit kiri dan limit kanan f di c bernilai sama tetapi tidak sama dengan f(c), maka ketakkontinuan f di c disebut sebagai ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada tetapi berbeda nilainya, maka ketakkontinuan f di c dikenal sebagai ketakkontinuan loncat. 2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
13
Contoh 1 𝑛
(i) Untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 kontinu kanan di 0, dan kontinu di setiap x > 0. (ii) Fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 kontinu di setiap titik.
(iii) Fungsi 𝑓(𝑥) = ⌊ 𝑥 ⌋, yang sama dengan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, kontinu kecuali di setiap bilangan bulat. Ketakkontinuan f di setiap bilangan bulat merupakan ketakkontinuan loncat.
2/26/2017
(c) Hendra Gunawan
14
TEOREMA Misalkan f terdefinisi pada (𝑎, 𝑏) kecuali mungkin di 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 . Maka, kedua pernyataan berikut ekuivalen: (a) lim 𝑓 𝑥 = 𝐿. 𝑛→∞
(b) Untuk setiap barisan 〈𝑥𝑛 〉 di (𝑎, 𝑏), dengan 𝑥𝑛 ≠ 𝑐 (𝑛 ∈ ℕ) dan lim 𝑥𝑛 = 𝑐, berlaku 𝑛→∞
lim 𝑓 𝑥𝑛 = 𝐿.
𝑛→∞
Catatan. Jika f kontinu di c, maka lim 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓( lim 𝑥𝑛 ) . 𝑛→∞
2/26/2017
𝑛→∞
(c) Hendra Gunawan
15
SOAL Misalkan f terdefinisi pada (𝑎, 𝑏) dan kontinu di suatu titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Buktikan jika 𝑓(𝑐) > 0, maka terdapat 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿).
16
7.3 Sifat-Sifat Limit & Kekontinuan Proposisi. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (𝑎, 𝑏) kecuali mungkin di 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Misalkan lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 dan lim 𝑔 𝑥 = 𝑀, dan 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ. 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Maka
(i) lim 𝜆𝑓 𝑥 + 𝜇𝑔 𝑥 𝑥→𝑐
= 𝜆𝐿 + 𝜇𝑀.
(ii) lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐿𝑀. 𝑥→𝑐
(iii)
f 𝑥 lim 𝑔 𝑥 x→𝑐
=
𝐿 , 𝑀
asalkan 𝑀 ≠ 0. 17
AKIBAT Jika f dan g kontinu di c, maka 𝜆𝑓 + 𝜇𝑔, 𝑓𝑔, dan 𝑓 kontinu di c (asalkan 𝑔 𝑐 ≠ 0.) 𝑔
AKIBAT Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya.
18
Teorema Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka 𝑓 ∘ 𝑔 kontinu pada c. Bukti. Ambil 𝜖 > 0 sembarang. …
19
SOAL Benar atau salah: Jika lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 dan 𝑥→𝑐
lim 𝑓(𝑦) = 𝑀, maka lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑀?
𝑦→𝐿
𝑥→𝑐
20
