MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bandung)

MA3231 Analisis Real

13 March 2017

1 / 25

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

1

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

2 / 25


1


2

10.2 Titik Stasioner

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

2 / 25


1


2


3

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

2 / 25


Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f (x) ≤ f (c) untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal. Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

3 / 25


Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

4 / 25


Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ di x = c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di x = c. Jika f (c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f .

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

5 / 25


Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai x + 2, x < −1, f (x) = |x|, x ≥ −1. Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f (−1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

6 / 25


Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f 0 (c) = 0. Bukti. Menurut definisi turunan, f (x) − f (c) → f 0 (c) x−c untuk x → c. Misalkan f 0 (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f (x) − f (c) >0 (1) x−c untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x 6= c. Akibatnya, jika x ∈ (c, c + δ), maka f (x) − f (c) > 0 atau f (x) > f (c), dan jika x ∈ (c − δ, c), maka f (x) − f (c) < 0 atau f (x) < f (c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c. Hal serupa terjadi ketika f 0 (c) < 0. Jadi, jika f 0 (c) 6= 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

7 / 25


Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f 0 (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. SOAL 1

2

Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f (1) bukan merupakan nilai maksimum f pada (−2, 2). Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

8 / 25


Titik c dengan f 0 (c) = 0 disebut titik stasioner f . Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f (x) = x3 , maka f 0 (x) = 3x2 , sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f . (Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f , yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi f .)

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

9 / 25


Gambar 10.2 Grafik fungsi f (x) = x3

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

10 / 25


Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi 2 x sin x1 , x 6= 0, f (x) = 0, x=0 mempunyai turunan di 0, yaitu f 0 (0) = 0, tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi. Fungsi yang lebih ekstrim dapat ditemukan di literatur, anda mungkin tertarik mencarinya.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

11 / 25


Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f (a) = f (b), maka f 0 (c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b). Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu c1 ∈ [a, b] dan mencapai nilai minimum m di suatu c2 ∈ [a, b]. Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f (a) = f (b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f 0 (c) = 0 untuk setiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 ∈ (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1 . Menurut Teorema 2, f 0 (c1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b].

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

12 / 25


Gambar 10.3 Teorema Rolle menjamin adanya garis singgung dengan gradien 0.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

13 / 25


Gambar 10.4 Michel Rolle (1652-1719) adalah adalah matematikawan Perancis yang terkenal dengan Teorema Rolle, yang diperlukan dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata dan uraian deret Taylor. HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

14 / 25


SOAL 1

2

Diketahui f (x) = x|x|, x ∈ R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0. Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f (a) = f (b), namun tidak ada c ∈ (a, b) dengan f 0 (c) = 0.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

15 / 25


Gambar 10.5 Brook Taylor (1685-1731) adalah matematikawan Inggris yang terkenal dengan Teorema Taylor (untuk fungsi yang mempunyai turunan ke-k) dan deret Taylor untuk fungsi yang dapat diturunkan tak terhingga kali. HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

16 / 25


Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

untuk suatu c ∈ (a, b).

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

17 / 25


Catatan. Nilai

f (b)−f (a) b−a

disebut nilai rata-rata f pada [a, b].

Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f (x) terdapat suatu titik (c, f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jika y = f (t) menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t, maka f 0 (t) menyatakan (a) menyatakan kecepatan kecepatan sesaat pada saat t dan f (b)−f b−a rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rata-ratanya pada suatu saat c ∈ (a, b).

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

18 / 25


Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x) = f (x) − hx dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni f (b) − f (a) . h= b−a Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F 0 (c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b). Namun F 0 (c) = f 0 (c) − h = 0, sehingga teorema pun terbukti. HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

19 / 25


Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (c, f (c)) adalah y = f (c) + (x − c)f 0 (c). Untuk x dekat c, nilai f (c) + (x − c)f 0 (c) merupakan hampiran yang ’baik’ untuk f (x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

20 / 25


Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n − 1) di c. Maka polinom P (x) = f (c)+(x−c)f 0 (c)+

(x − c)2 00 (x − c)n−1 (n−1) f (c)+· · ·+ f (c) 2! (n − 1)!

mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1, . . . , n − 1, yang sama dengan turunan ke-k dari f . Karena itu masuk akal untuk menghampiri f (x) dengan P (x) untuk x di sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. Teorema Taylor (pada halaman berikut) menjawab pertanyaan tersebut.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

21 / 25


Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x ∈ I, berlaku f (x) = f (c) + (x − c)f 0 (c) + + dengan En =

1 (x n!

HG* (*ITB Bandung)

(x − c)2 00 f (c) + · · · 2!

(x − c)n−1 (n−1) f (c) + En (n − 1)!

− c)n f (n) (ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c.


13 March 2017

22 / 25


Bukti. Untuk t di antara x dan c, definisikan F (t) = f (x) − f (t) − (x − t)f 0 (t) − · · · −

(x − t)n−1 (n−1) f (t). (n − 1)!

Perhatikan bahwa F 0 (t) = −

(x − t)n−1 (n) f (t). (n − 1)!

Sekarang definisikan G(t) = F (t) −

x − t n x−c

F (c).

Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan c sedemikian sehingga G0 (ξ) = 0. HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

23 / 25


Tetapi n(x − ξ)n−1 F (c) (x − c)n (x − ξ)n−1 (n) n(x − ξ)n−1 F (c). =− f (ξ) + (n − 1)! (x − c)n

G0 (ξ) = F 0 (ξ) +

Dari sini kita peroleh F (c) =

(x − c)n (n) f (ξ) n!

dan teorema pun terbukti.

HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

24 / 25


SOAL 1 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f 0 (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada [a, b]. 2 Misalkan f : R → R mempunyai turunan di setiap titik dan f 0 (x) = x2 untuk setiap x ∈ R. Buktikan bahwa f (x) = 13 x3 + C, dengan C suatu konstanta. 3 Diketahui f : R → R memenuhi ketaksamaan |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|p , 4

x, y ∈ R,

untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan. Misalkan c ∈ R dan n ∈ N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor bahwa (1 + c)n = 1 + nc +

n(n − 1) 2 c + · · · + cn . 2!

(Petunjuk. Tinjau f (x) = xn .) HG* (*ITB Bandung)


13 March 2017

25 / 25

MA3231 Analisis Real

Recommend Documents