MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan*
*http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA
Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
1 / 22
BAB 9. TURUNAN
1
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
2 / 22
BAB 9. TURUNAN
1
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
2
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
2 / 22
BAB 9. TURUNAN
1
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
2
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
3
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
2 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimana nilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Sebagai contoh, jika f = f (t) menyatakan posisi suatu benda yang berubah terhadap waktu t, kita ingin mengetahui seberapa cepat f berubah pada saat t tertentu. Permasalahan ini merupakan permasalahan limit yang khas, yang dikenal sebagai turunan.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
3 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di c apabila limit f (x) − f (c) x→c x−c lim
ada. Nilai limit tersebut kemudian disebut turunan dari f di c, yang dilambangkan dengan f 0 (c) atau Df (c). Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f (x) − f (c) . x→c x−c
f 0 (c) = lim
Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh f (c + h) − f (c) . h→0 h
f 0 (c) = lim HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
4 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Catatan: f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat bilangan L = f 0 (c) sedemikian sehingga f (c + h) − f (c) − Lh = (h) dengan
(h) h
→ 0 untuk h → 0.
Secara geometris, fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f (x) mempunyai garis singgung di titik (c, f (c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f 0 (c).
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
5 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f (x) di titik (c, f (c)) dalam hal ini adalah y = f (c) + f 0 (c)(x − c). Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f (x). Jika x berubah dari c ke c + h, maka y akan bertambah kira-kira sebesar hf 0 (c). Jadi, dengan mengetahui f 0 , kita mengetahui bagaimana f berubah (bila x berubah). Catatan: Masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
6 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
7 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Contoh 1. Misalkan f (x) = x2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai turunan di 1, kita hitung f (x) − f (1) x2 − 1 = lim = lim (x + 1) = 2. x→1 x→1 x − 1 x→1 x−1 lim
Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f 0 (1) = 2. Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f (x) = x2 mempunyai turunan di setiap titik c ∈ R, dengan f 0 (c) = 2c. Fungsi f 0 : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f .
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
8 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Contoh 2. Misalkan f (x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa f (h) − f (0) |h| = lim h→0 h→0 h h lim
tidak ada (mengapa?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0. Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c. Bukti. [Diberikan di papan tulis.]
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
9 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Catatan: Kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c. Kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] → R yang didefinisikan sebagai 2x, 0 ≤ x < 1; f (x) = 1, 1 ≤ x ≤ 2, tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
10 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
SOAL 1
2
Diketahui f (x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang mempunyai turunan hanya di sebuah titik.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
11 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Dengan menggunakan definisi turunan dan sifat-sifat limit, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, f g, dan f /g mempunyai turunan di c, dan (i) (λf + µg)0 (c) = λf 0 (c) + µf 0 (c); (ii) (f g)0 (c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c); 0 0 (c)g 0 (c) (iii) fg (c) = f (c)g(c)−f asalkan g(c) 6= 0. g 2 (c)
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
12 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Bukti. (i) Latihan. (ii) Perhatikan bahwa 1 f (c + hh)g(c + h) i− f (c)g(c) h h (c) = g(c + h) f (c+h)−f + f (c) h 0 0 → g(c)f (c) + f (c)g (c),
g(c+h)−g(c) h
i
untuk h → 0. (iii) Latihan.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
13 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f (x) = xn . Maka turunan dari f adalah f 0 (x) = nxn−1 . Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f (x) = x, jelas bahwa f 0 (x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika f (x) = xk , maka f 0 (x) = kxk−1 . Maka, untuk n = k + 1 atau f (x) = xk+1 , kita peroleh f 0 (x) = D(xk .x) = D(xk ).x + xk .D(x) = kxk−1 .x + xk = (k + 1)xk . Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n ∈ N.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
14 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c dan f mempunyai turunan di y = g(c). Maka, f ◦ g mempunyai turunan di c dan (f ◦ g)0 (c) = f 0 (g(c))g 0 (c). Bukti. Berdasarkan definisi turunan, f (g(x)) − f (g(c)) (f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(c) = lim . x→c x→c x−c x−c
(f ◦ g)0 (c) = lim
Bila g(x) − g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c − δ, c + δ), maka f (g(x)) − f (g(c)) g(x) − g(c) · = f 0 (g(c)) · g 0 (c). x→c g(x) − g(c) x−c
(f ◦ g)0 (c) = lim
Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Bagaimana mengatasinya? HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
15 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Untuk mengatasinya, definisikan ( h(y) :=
f (y)−f (g(c)) , y−g(c) 0
f (g(c)),
y 6= g(c), y = g(c).
Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teorema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c. Akibatnya, kita peroleh f (g(x)) − f (g(c)) x→c x−c g(x) − g(c) = lim h(g(x)) · x→c x−c 0 0 = f (g(c)) · g (c),
(f ◦ g)0 (c) = lim
sebagaimana yang kita harapkan. HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
16 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
SOAL 1
Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku D(xr ) = rxr−1
2
asalkan x > 0. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai invers f −1 : R → R dan f −1 mempunyai turunan di y = f (x), maka 1 Df −1 (y) = . Df (x)
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
17 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f 0 , merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I. Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan dari f 0 , yang nilainya di c adalah f 0 (x) − f 0 (c) , x→c x−c
f 00 (c) = lim asalkan limit ini ada.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
18 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Dapat diperiksa bahwa bila f mempunyai turunan kedua di c, maka f (c + h) − f (c) − hf 0 (c) − dengan
(h) h2
h2 00 f (c) = (h), 2
→ 0 untuk h → 0.
Dengan mengetahui f 00 , kita dapat mengetahui bagaimana f 0 berubah. Secara geometris, turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f . Jika f 00 bernilai positif pada suatu interval, maka f 0 membesar sehingga grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut. Jika f 00 bernilai negatif pada suatu interval, maka f 0 mengecil sehingga grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut. HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
19 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunan ketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n) (x) menyatakan turunan ke-n, n ∈ N, dari f . Contoh 7. Jika f (x) = x1 , maka f 0 (x) = −
1 ; x2
2 ; x3 6 f 000 (x) = − 4 ; x dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n) (x) untuk n ∈ N?) f 00 (x) =
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
20 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n − 1 dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
21 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
SOAL 1
Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, dapat ditunjukkan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka f (c + h) − 2f (c) + f (c − h) . h→0 h2
f 00 (c) = lim
2
Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada. Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p(m) (x) = 0 untuk m > n.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
27 February 2017
22 / 22