MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bandung)

MA3231 Analisis Real

29 March 2017

1 / 24

BAB 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN

1

14.1 Sifat-sifat Dasar Integral Riemann

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

2 / 24


1


2

14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

2 / 24


1


2


3

14.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

2 / 24


Pada bab ini kita akan mempelajari sifat-sifat dasar integral Riemann. Sifat pertama adalah sifat kelinearan, yang dinyatakan dalam Proposisi 1. Sepanjang bab ini, I menyatakan interval [a, b], kecuali bila kita nyatakan lain. Proposisi 1. Misalkan f, g : I → R terintegralkan pada I, dan λ ∈ R suatu konstanta. Maka λf dan f + g terintegralkan pada I dan Z b Z b λf (x) dx = λ f (x) dx, (1) a

Z

a

b

Z (f + g)(x) dx =

a

HG* (*ITB Bandung)

b

Z f (x) dx +

a


b

g(x) dx.

(2)

a

29 March 2017

3 / 24


Bukti. (1) Jika λ = 0, maka pernyataan tentang λf jelas benar. Sekarang tinjau kasus λ > 0. (Kasus λ < 0 serupa dan diserahkan sebagai latihan). Misalkan P := {x0 , x1 , . . . , xn } partisi sembarang dari I. Karena λ > 0, kita mempunyai inf{λf (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} = λ inf{f (x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} untuk k = 1, 2, . . . , n. Kalikan tiap suku ini dengan xk − xk−1 dan jumlahkan, kita dapatkan L(P, λf ) = λL(P, f ). Jadi, karena λ > 0, kita peroleh L(λf ) = sup{λL(P, f ) : P partisi dari I} = λ sup{L(P, f ) : P partisi dari I} = λL(f ).

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

4 / 24


Dengan cara yang serupa kita peroleh pula U (P, λf ) = λU (P, f ) dan U (λf ) = inf{λU (P, f ) : P partisi dari I} = λ inf{U (P, f ) : P partisi dari I} = λU (f ). Karena f terintegralkan, U (f ) = L(f ) dan akibatnya L(λf ) = λL(f ) = λU (f ) = U (λf ). Jadi λf terintegralkan dan Z b Z b λf (x) dx = λ f (x) dx. a

HG* (*ITB Bandung)

a


29 March 2017

5 / 24


(2) Untuk sembarang interval Ik := [xk−1 , xk ], kita mempunyai inf{f (x) : x ∈ Ik } + inf{g(x) : x ∈ Ik } ≤ inf{(f + g)(x) : x ∈ Ik }, sup{(f +g)(x) : x ∈ Ik } ≤ sup{f (x) : x ∈ Ik }+sup{g(x) : x ∈ Ik }. Dari sini kita peroleh L(P, f ) + L(P, g) ≤ L(P, f + g) U (P, f + g) ≤ U (P, f ) + U (P, g) untuk sembarang partisi P dari I. Sekarang, jika > 0 diberikan, maka terdapat partisi Pf, dan Pg, sedemikian sehingga U (Pf, , f ) ≤ L(Pf, , f ) + (/2) U (Pg, , g) ≤ L(Pg, , g) + (/2). Akibatnya, untuk P := Pf, ∪ Pg, , kita peroleh U (P , f +g) ≤ U (P , f )+U (P , g) ≤ L(P , f )+L(P , g)+ ≤ L(P , f +g)+.

Menurut Kriteria Keterintegralan Riemann, f + g terintegralkan. HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

6 / 24


Selanjutnya perhatikan bahwa dari ketaksamaan di atas, kita peroleh Z b (f + g)(x) dx ≤ U (P , f + g) ≤ L(P , f ) + L(P , g) + a Z b Z b ≤ f (x) dx + g(x) dx + . a

a

Sementara itu, Z b Z b f (x) dx + g(x) dx ≤ U (P , f ) + U (P , g) ≤ L(P , f + g) + a a Z b ≤ (f + g)(x) dx + . a

Dari kedua ketaksamaan ini, kita peroleh Z b Z b Z b (f + g)(x) dx − f (x) dx + g(x) dx < . a

HG* (*ITB Bandung)

a


a

29 March 2017

7 / 24


Karena ini berlaku untuk > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa Z b Z b Z b (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, a

a

a

dan bukti pun selesai.

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

8 / 24


Proposisi berikut dikenal sebagai sifat kepositifan integral Riemann. (Buktinya diserahkan sebagai latihan.) Proposisi 2. Misalkan f : I → R Rterintegralkan pada I. Jika b f (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I, maka a f (x) dx ≥ 0. Akibat 3. Misalkan f, g : I → R terintegralkan pada Rb R b I. Jika f (x) ≤ g(x) untuk tiap x ∈ I, maka a f (x) dx ≤ a g(x) dx. Akibat 4. Misalkan f : I → R terintegralkan pada I. Jika m ≤ f (x) ≤ M untuk tiap x ∈ [a, b], maka Z m(b − a) ≤

b

f (x) dx ≤ M (b − a). a

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

9 / 24


Proposisi 5. Misalkan f : [a, b] → R terbatas dan a < c < b. Maka, f terintegralkan pada [a, b] jika dan hanya jika f terintegralkan pada [a, c] dan pada [c, b]. Dalam hal ini, Z

b

Z f (x) dx =

a

c

Z f (x) dx +

a

b

f (x) dx. c

Catatan. Bukti Proposisi 4 tidak dibahas di sini; lihat [1] bila ingin mempelajarinya.

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

10 / 24


SOAL 1

Buktikan Proposisi 1 bagian (1) untuk kasus λ < 0.

2

Buktikan Proposisi 2.

3

Buktikan Akibat 3 dan Akibat 4.

4

Buktikan jika f terintegralkan R b pada I dan |f (x)| ≤ K untuk tiap x ∈ I, maka a f (x) dx ≤ K|b − a|.

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

11 / 24


Analog dengan Teorema Dasar Kalkulus I (Teorema 5 pada Sub-bab 12.3) untuk integral dari fungsi kontinu, kita mempunyai hasil berikut untuk integral Riemann dari fungsi terbatas. (Buktinya serupa dengan bukti Teorema 5 pada Sub-bab 12.3.) Teorema 6 (Teorema Dasar Kalkulus I). Misalkan f terbatas pada I = [a, b] dan F didefinisikan pada I sebagai Z x F (x) := f (t) dt, x ∈ I. a

Maka, F kontinu pada I. Selanjutnya, jika f kontinu di c ∈ (a, b), maka F mempunyai turunan di c dan F 0 (c) = f (c).

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

12 / 24


Demikian pula kita mempunyai Teorema Dasar Kalkulus II untuk integral Riemann, yang dapat dibuktikan tanpa menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I melainkan dengan menggunakan Kriteria Keterintegralan Riemann. Teorema 7 (Teorema Dasar Kalkulus II). Misalkan f terintegralkan pada I = [a, b]. Jika F : I → R adalah anti-turunan dari f pada I, maka Z b f (t) dt = F (b) − F (a). a

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

13 / 24


Bukti. Diberikan > 0 sembarang, pilih partisi P := {x0 , x1 , . . . , xn } dari I sedemikian sehingga U (P, f ) − L(P, f ) < . Menurut Teorema Nilai Rata-rata (yang kita terapkan pada F ), pada tiap interval [xk−1 , xk ] terdapat titik tk ∈ (xk−1 , xk ) sedemikian sehingga F (xk ) − F (xk−1 ) = (xk − xk−1 )f (tk ). Misalkan mk dan Mk adalah infimum dan supremum dari f pada [xk−1 , xk ]. Maka mk (xk − xk−1 ) ≤ F (xk ) − F (xk−1 ) ≤ Mk (xk − xk−1 ) untuk tiap k = 1, 2, . . . , n. Perhatikan bahwa bila kita jumlahkan suku-suku di tengah, maka kita peroleh suatu deret teleskopis yang jumlahnya sama dengan F (b) − F (a). Karena itu, kita peroleh L(P, f ) ≤ F (b) − F (a) ≤ U (P, f ). HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

14 / 24


Namun, kita juga mempunyai Z b L(P, f ) ≤ f (t) dt ≤ U (P, f ). a

Akibatnya, kita peroleh Z b f (t) dt − [F (b) − F (a)] < . a

Karena ini berlaku untuk > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa Z b f (t) dt = F (b) − F (a), a

sebagaimana yang kita kehendaki. HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

15 / 24


SOAL 1

Misalkan f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1]. Terkait dengan f , definisikan Z x F (x) := f (t) dt, x ∈ [−1, 1]. −1

1 2 3

2

Peroleh rumus untuk F (x), x ∈ [−1, 1]. 0 Periksa bahwa F R 1(x) = f (x) untuk x ∈ [−1, 1]. Periksa bahwa −1 f (t) dt = F (1) − F (−1).

Misalkan f : [−1, 1] → R didefinisikan sebagai   −1, −1 ≤ x < 0; 0, x = 0; f (x) =  1, 0 < x ≤ 1,

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

16 / 24

14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann 1

Terkait dengan f , definisikan Z x F (x) := f (t) dt,

x ∈ [−1, 1].

1

1 2 3

2

Peroleh rumus untuk F (x). Apakah F kontinu pada [−1, 1]? 0 Tunjukkan bahwa R 1 F (x) = f (x) untuk x ∈ [−1, 1], x 6= 0. Periksa apakah −1 f (t) dt = F (1) − F (−1). Berikan argumen yang mendukung fakta tersebut.

Misalkan f dan g terintegralkan dan mempunyai anti-turunan F dan G pada I = [a, b]. Buktikan bahwa Z b Z b F (x)g(x) dx = [F (b)G(b) − F (a)G(a)] − f (x)G(x) dx. a

a

(Catatan. Hasil ini dikenal sebagai teknik pengintegralan parsial.) HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

17 / 24


Jika f kontinu pada I = [a, b], maka (menurut Teorema 12 pada Bab 8) f akan mencapai nilai maksimum M dan minimum m pada [a, b]. Menurut Proposisi 4, kita mempunyai Z b m(b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) a

atau 1 m≤ b−a

HG* (*ITB Bandung)

Z

b

f (x) dx ≤ M. a


29 March 2017

18 / 24


Rb 1 f (x) dx disebut sebagai nilai rata-rata integral f pada Nilai b−a a interval I. (Dalam versi diskrit, nilai rata-rata aritmetik dari sejumlah bilangan adalah jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan itu. Dalam versi ‘kontinum’, integral menggantikan jumlah dan panjang interval menggantikan banyaknya bilangan. Secara fisis, bila f menyatakan kecepatan dari suatu partikel yang bergerak pada interval waktu I = [a, b], maka nilai rata-rata integral menyatakan ‘kecepatan rata-rata’ partikel tersebut pada I.) Rb 1 Mengingat m dan M ada di daerah nilai f dan b−a f (x) dx ada di a antara kedua nilai tersebut, maka menurut Teorema Nilai Antara mestilah terdapat suatu titik c ∈ I sedemikian sehingga Z b 1 f (c) = f (x) dx. b−a a HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

19 / 24


Fakta ini dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata untuk integral, yang dinyatakan di bawah ini. (Ingat bahwa sebelumnya kita juga mempunyai Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan. Dalam konteks turunan, f menyatakan posisi partikel yang bergerak pada interval waktu I = [a, b] sehingga nilai rata-rata turunan sama dengan kecepatan rata-rata partikel tersebut pada I.) Teorema 8 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral). Jika f kontinu pada I = [a, b], maka terdapat c ∈ I sedemikian sehingga 1 f (c) = b−a

HG* (*ITB Bandung)

Z

b

f (x) dx. a


29 March 2017

20 / 24


Pada Bab 10, kita telah membahas Teorema Taylor untuk turunan. Sekarang kita akan membahas teorema yang serupa untuk integral. Teorema 9 (Teorema Taylor untuk Integral). Misalkan f, f 0 , . . . , f (n) kontinu pada I = [a, b]. Maka f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + · · · + dengan En :=

1 (n−1)!

HG* (*ITB Bandung)

Rb a

(b − a)n−1 (n−1) f (a) + En (n − 1)!

(b − t)n−1 f (n) (t) dt.


29 March 2017

21 / 24


Bukti. Untuk n = 1, berdasarkan Teorema Dasar I, kita R b Kalkulus 0 mempunyai f (b) = f (a) + E1 , dengan E1 := a f (t) dt. Selanjutnya, untuk n ≥ 2, teknik pengintegralan parsial akan memberikan h 1 (b − t)n−1 f (n−1) (t)|ba En = (n − 1)! Z b i + (n − 1) (b − t)n−2 f (n−1) (t) dt a Z b n−1 (b − a) 1 (n−1) =− f (a) + (b − t)n−2 f (n−1) (t) dt. (n − 1)! (n − 2)! a Ulangi teknik pengintegralan parsial hingga n kali, dan kita pun akan sampai pada hasil yang diinginkan.

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

22 / 24


SOAL 1

Buktikan jika f kontinu pada I = [a, b] dan f (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I, maka terdapat c ∈ I sedemikian sehingga i1/2 h 1 Z b 2 . f (x) dx f (c) = b−a a

2

Buktikan jika f kontinu pada I = [a, b] dan f (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I, maka untuk sembarang k ∈ N terdapat c = ck ∈ I sedemikian sehingga h 1 Z b i1/k k f (c) = f (x) dx . b−a a

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

23 / 24


1

Misalkan f dan g adalah fungsi yang kontinu pada I = [a, b] sedemikian sehingga Z b Z b f (x) dx = g(x) dx. a

a

Buktikan bahwa terdapat c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = g(c).

HG* (*ITB Bandung)


29 March 2017

24 / 24

MA3231 Analisis Real

Recommend Documents