MA5032 ANALISIS REAL

Daftar Isi 0. BILANGAN REAL - BAGIAN I

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Hendra Gunawan∗ ∗ Dosen FMIPA - ITB E-mail: [email protected].

August 16, 2011

Hendra Gunawan

MA5032 ANALISIS REAL


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Sekilas Bilangan Real Sifat Lapangan Sifat Urutan Akar dan Persamaan Kuadrat Nilai Mutlak

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunan semua bilangan asli dilambangkan dengan N, yakni N := {1, 2, 3, . . . }. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yakni Z := {0, ±1, ±2, ±3, . . . }. (Tanda . . . di sini menyatakan ‘dan seterusnya’, yang mengasumsikan bahwa pembaca telah mengetahui pola yang ada.)

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkan dengan Q, yakni Q :=

p : p ∈ Z, q ∈ N, dan FPB(p, q) = 1 . q

(Di sini FPB(p, q) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari p dan q. Sebagai contoh, FPB(6, 10) = 2.)

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangan dalam bentuk desimal. Sebagai contoh, 1 = 1.00000 . . . 1 = 0.50000 . . . 2 1 = 0.33333 . . . √3 2 = 1.41421 . . . e = 2.71828 . . . π = 3.14159 . . .

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berhenti’, seperti 12 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berulang’, seperti 31 = 0.33333 . . . . Bilangan rasional senantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhenti atau berulang.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun √ berulang merupakan bilangan irasional. Sebagai contoh, 2 yang memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan 0.1010010001 . . . merupakan bilangan irasional.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut sebagai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R. Dalam hal ini, kita mempunyai N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Pada pembahasan selanjutnya, kita akan mempelajari sifat-sifat bilangan real secara lebih mendalam.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Soal Latihan

1

1 Nyatakan 12 dalam bentuk desimal. Apakah bentuk desimalnya berhenti atau berulang?

2

Nyatakan 0.123123123 . . . sebagai bentuk pecahan.

3

Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi persamaan x 2 = 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktian tak langsung.)

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Himpunan bilangan real R memenuhi Sifat Lapangan yang terkait dengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni: A1. x + y = y + x untuk setiap x, y ∈ R. A2. (x + y ) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y , z ∈ R. A3. Terdapat 0 ∈ R sedemikian sehingga x + 0 = x untuk setiap x ∈ R. A4. Untuk setiap x ∈ R terdapat −x ∈ R sedemikian sehingga x + (−x) = 0. A5. xy = yx untuk setiap x, y ∈ R. A6. (xy )z = x(yz) untuk setiap x, y , z ∈ R. A7. Terdapat 1 ∈ R, 1 6= 0, sedemikian sehingga x · 1 = x untuk setiap x ∈ R. A8. Untuk setiap x ∈ R, x 6= 0, terdapat x −1 ∈ R sedemikian sehingga x(x −1 ) = 1. A9. x(y + z) = xy + xz untuk setiap x, y , z ∈ R. Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dan secara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungan dengan itu tidak benar bahwa 1 = ∞. 0 Walaupun kelak lambang ∞ (baca: tak hingga atau tak terhingga) akan sering digunakan, ia tidak menyatakan sebuah bilangan real.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Teorema 1 (Hukum Pencoretan)

Misalkan x, y , dan z adalah bilangan real sembarang. (a) Jika x + z = y + z, maka x = y . (b) Jika xz = yz dan z 6= 0, maka x = y .

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Bukti. (a) Misalkan x + z = y + z. Tambahkan kedua ruas dengan −z, sehingga kita dapatkan (x + z) + (−z) = (y + z) + (−z). Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kita peroleh x + 0 = y + 0, dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kita sampai pada kesimpulan bahwa x = y . (b) Serupa dengan (a); dapat dicoba sebagai latihan.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Soal Latihan

1 2

Buktikan Teorema 1 bagian (b). Diketahui bilangan real a sembarang. Buktikan bahwa 1 2 3 4

3

a.0 = 0. (−1)a = −a. −(−a) = a. (−1)(−1) = 1.

Diketahui bilangan real a dan b. Buktikan jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan real R dengan operasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhi Sifat Urutan, yakni terdapat himpunan bagian P ⊆ R yang bersifat: B1. Jika x, y ∈ P, maka x + y ∈ P. B2. Jika x, y ∈ P, maka xy ∈ P. B3. Jika x ∈ P, maka −x ∈ / P. B4. Jika x ∈ R, maka: atau x ∈ P, atau x = 0, atau −x ∈ P. Bilangan x ∈ P disebut sebagai bilangan positif.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Selanjutnya kita tuliskan x < y (y > x) apabila y − x ∈ P; dan x ≤ y (y ≥ x) apabila x < y atau x = y . Notasi x < y (y > x) dibaca ‘x lebih kecil daripada y ’ (‘y lebih besar daripada x’). Sementara itu, x ≤ y (y ≥ x) dibaca ‘x lebih kecil daripada atau sama dengan y ’ (‘y lebih besar daripada atau sama dengan x’. Catat bahwa x > 0 berarti x ∈ P, yakni x merupakan bilangan positif. Diberikan tiga bilangan real a, b, dan c, notasi a < b < c berarti a < b dan b < c. Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 21 < 1.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilangan real a dan b, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antara tiga kemungkinan tersebut yang benar — yaitu: atau a > b, atau a = b, atau a < b. Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Teorema 2

. (i) Jika a > b dan b > c, maka a > c. (ii) Jika a > b dan c ∈ R, maka a + c > b + c. (iii) Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc; Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc. Bukti. (i) Misal a > b dan b > c. Maka, a − b ∈ P dan b − c ∈ P. Menurut sifat B1, a − c = (a − b) + (b − c) ∈ P. Jadi a > c. Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Contoh 3

Fakta bahwa 1 > 0 dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan sifat-sifat pada Teorema 2. Ingat bahwa 1 6= 0. Karena itu tinggal ada dua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 1 > 0. Andaikan 1 < 0. Tambahkan kedua ruas dengan −1, kita peroleh 0 < −1 atau −1 > 0. Akibatnya [lihat Soal Latihan 0.2 No. 2(d)], kita peroleh 1 = (−1)(−1) > 0, bertentangan dengan pengandaian semula. Dengan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itu mestilah 1 > 0.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Contoh 4

Misalkan diketahui a < b + untuk setiap > 0. Maka dapat disimpulkan bahwa a ≤ b. (Andaikan a > b. Maka, untuk = a + (−b) := a − b, berlaku a < b + (a − b) = a, sesuatu yang mustahil.)

Hendra Gunawan


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5



Soal Latihan

1

Buktikan Teorema 2 bagian (ii) dan (iii).

2

Buktikan jika a > 0, maka kebalikan dari a.)

3

Buktikan jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

4

Buktikan jika a < b dan A, B > 0, maka

5

Diketahui x, y > 0. Buktikan x < y jika dan hanya jika x 2 < y 2.

6

Buktikan jika b − < a < b + untuk setiap > 0, maka a = b.

Hendra Gunawan

1 a

> 0. (Di sini

a A

1 a

menyatakan

<


a+b A+B

<

b B.


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Untuk n ∈ N, kita tuliskan x n = x x · · · x (n kali). Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahas pada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikan y ≥ 0, terdapat sebuah bilangan x ≥ 0 (tunggal) sedemikian sehingga y = x n.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Untuk y ≥ 0, nilai x ≥ 0 yang memenuhi persamaan y = x n disebut sebagai akar ke-n dari y dan dilambangkan dengan x = y 1/n . √ Khususnya, untuk n = 2, kita gunakan notasi y = y 1/2 . Catat √ bahwa dalam hal ini senantiasa berlaku y ≥ 0. Jika y > 0, maka tentu saja terdapat dua buah bilangan yang kuadratnya sama √ √ dengan y , yaitu y yang bernilai positif dan − y yang bernilai √ √ √ negatif. Notasi ± y berarti ‘ y atau − y ’.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Jika r = m n adalah suatu bilangan rasional positif dan y ≥ 0, kita definisikan y r := (y 1/n )m . Jika r adalah suatu bilangan rasional negatif, maka −r merupakan bilangan rasional positif dan karenanya y −r terdefinisi. Khususnya, jika y > 0, maka kita dapat mendefinisikan y r sebagai y r :=

1 y −r

.

Kita juga mendefinisikan y 0 = 1. Dengan demikian, jika y > 0, maka y r terdefinisi untuk semua bilangan rasional. (Definisi y x untuk bilangan irasional x harus menunggu hingga pembahasan berikutnya.) Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Seperti telah disinggung di atas, untuk y > 0, persamaan x 2 = y √ mempunyai dua buah solusi, yaitu x = ± y . Persamaan x 2 = y di sini merupakan suatu persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam x) adalah ax 2 + bx + c = 0, dengan a 6= 0.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar real jika b 2 − 4ac < 0, mempunyai sebuah akar real (tunggal) jika b 2 − 4ac = 0, dan mempunyai dua buah akar real berbeda jika b 2 − 4ac > 0. Dalam hal b 2 − 4ac ≥ 0, akar persamaan kuadrat di atas diberikan oleh rumus √ −b ± b 2 − 4ac . x= 2a

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik persamaan y = ax 2 + bx + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-x pada sistem koordinat Cartesius. (Pembaca diasumsikan telah mengenal sistem koordinat Cartesius dan grafik persamaan padanya.) Ingat bahwa grafik persamaan kuadrat terbuka ke atas jika a > 0, atau terbuka ke bawah jika a < 0.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Soal Latihan 1

Misalkan koefisien a, b dan c pada persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 merupakan bilangan√rasional (dengan, tentu saja, a 6= 0). Buktikan jika α = r + s 2 merupakan akar√ persamaan ini, dengan r dan s rasional, maka β = r − s 2 juga merupakan akar.

2

Misalkan n ∈ N dan a1 , . . . , an dan b1 , . . . , bn adalah bilangan real. Buktikan bahwa (a1 b1 + · · · + an bn )2 ≤ (a12 + · · · + an2 )(b12 + · · · + bn2 ). (Catatan. Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaan Cauchy-Schwarz.) Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Jika x adalah bilangan real, maka nilai mutlak x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai x, jika x ≥ 0, |x| = −x, jika x < 0. Sebagai contoh, |2| = 2, |0| = 0, dan | − 5| = −(−5) = 5. Jelas bahwa |x| ≥ 0 untuk setiap x. √ Perhatikan pula bahwa |x|2 = x 2 , dan karenanya x 2 = |x| untuk setiap x.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Teorema 5

Untuk setiap bilangan real x berlaku −|x| ≤ x ≤ |x|.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Teorema 6

Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku |ab| = |a| · |b|.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga)

Untuk setiap a, b ∈ R berlaku |a + b| ≤ |a| + |b|.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku |a + b|2 = (a + b)2 = |a|2 + 2ab + |b|2 ≤ |a|2 + 2|a| · |b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 . Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh |a + b| ≤ |a| + |b|, sebagaimana kita harapkan.

Hendra Gunawan



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5


Soal Latihan

1

Buktikan Teorema 5.

2

Buktikan Teorema 6.

3

Buktikan bahwa |a| < b jika dan hanya jika −b < a < b.

4

Buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku |a − b| ≥ |a| − |b| dan juga |a − b| ≥ |a| − |b| .

5

Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka |x − y | < b − a. Berikan interpretasi geometrisnya.

Hendra Gunawan


MA5032 ANALISIS REAL

Recommend Documents