2012 ANALISIS VARIABEL REAL 2
www.alfirosyadi.wordpress.com UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 1/1/2012
IDENTITAS MAHASISWA
NAMA
:
NIM
:
KELAS
:
KELOMPOK :
2
PENDAHULUAN Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari materi : 1. Turunan a. Kekontinuan b. Teorema nilai rata-rata c. Teorema L’Hospital 2. Integral a. Jumlah Riemann b. Teorema dasar Kalkulus c. Integral dengan Pendekatan Limit Modul ini terdiri dari peta konsep, aplikasi materi pada bidang teknologi, kegiatan belajar. Pada masing-masing kegiatan belajar, Anda diberi kesempatan untuk
melakukan
diskusi
dengan
kelompok
Anda
untuk
menyelesaikan
permasalahan yang sudah diberikan. Hasil diskusi Anda, tuliskan pada lembar jawaban yang sudah disediakan. Anda diharapkan mempelajari modul ini dengan baik, kemudian jika ada kesulitan dalam mempelajarinya coba tanyakan pada dosen pengampu. Selamat Belajar !
3
Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut!
definisi
teorema
Turunan
Kekontinuan
aturan pencarian turunan
aplikasi
aturan rantai
4
Teorema nilai rata-rata
KEGIATAN BELAJAR 1
Diskusikan dengan anggota kelompok Anda tentang definisi turunan dan kekontinuan suatu fungsi yang sudah pernah Anda peroleh di kalkulus I.
DEFINISI TURUNAN Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
Asalkan limit ini ada
DEFINISI KEKONTINUAN FUNGSI (Kekontinuan di satu titik). Kita katakana bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan
5
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Berikan penjelasan tentang definisi dari turunan dengan menggunakan ilustrasi secara geometri! (kaitkan dengan konsep gradien) 2. Apakah ada suatu fungsi f sedemikian hingga f’=f ? Jika ada, berikan contohnya! 3. Apakah keterkaitan antara limit dengan turunan? 4. Apakah keterkaitan antara kekontinuan dengan turunan? 5. Misalkan
, tentukan nilai dari
Lembar Jawaban
6
!
LATIHAN SOAL 1 1. Tentukan fungsi 2. Misalkan
kontinu atau tidak di
!
. Definisikan f agar kontinu di
3. Tentukan di titik mana saja
tak kontinu?
Lembar Jawaban
7
TEOREMA NILAI RATA-RATA Jika f kontinu pada selang tertutup titik dalam dari
dan terdiferensialkan pada titik-
, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam
dimana
Atau dapat dituliskan
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Jelaskan maksud teorema rata-rata tersebut dengan menggunakan ilustrasi grafik ! 2. Buktikan teorema nilai rata-rata tersebut! (gunakan ilustrasi secara geometri) 3. Kaitkan teorema nilai rata-rata tersebut dengan turunan dan kekontinuan yang sudah Anda pelajari sebelumnya!
8
Lembar Jawaban
9
LATIHAN SOAL 2
Pada soal nomor 1-3, didefinisikan sebuah fungsi dan diketahui sebuah selang tertutup. Tentukan, apakah teorema nilai rata-rata dapat digunakan pada fungsi yang diketahui pada selang yang diberikan? Jika iya, carilah nilai c yang mungkin! Cika perlu, sketsakan grafiknya pada selang yang diberikan! 1. 2. 3.
Lembar Jawaban
10
Lembar Jawaban
11
ATURAN L’HOPITAL untuk bentuk Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini: , Andaikan Apabila lim
, atau
,
.
dan
.
ada , baik ia terhingga atau tak terhingga,
maka
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! Gunakan aturan L’Hospital untuk menentukan nilai dari 1. 2. 3. 4. 5.
12
Lembar Jawaban
13
ATURAN L’HOPITAL untuk bentuk Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini: ,
, atau
,
.
Andaikan
dan
.
Apabila lim
ada , baik ia terhingga atau tak terhingga,
maka
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! Gunakan aturan L’Hospital untuk menentukan nilai dari: 1. 2.
Lembar Jawaban
14
Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut!
Integral
Jumlah Riemann
Integral Tentu
Aturan Trapesium
15
Teorema Dasar Kalkulus
JUMLAH RIEMANN Misalkan sebuah fungsi
f
yang didefinisikan pada selang tertutup
Pandang suatu partisi P dari selang panjangnya
sama)
memakai
Andaikan
.
menjadi n selang bagian (tidak perlu
titik-titik
.
. Pada setiap selang, ambillah sebarang titik, kita
sebut sebagai titik sampel untuk suatu selang bagian ke-i. Bentuklah penjumlahan
Yang selanjutnya kita sebut
sebagai jumlah Riemann untuk f yang
berpadanan dengan partisi P
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Berikan contoh sebuah fungsi, definisikan batasnya, selanjutnya tentukan luasnya dengan menggunakan jumlah Riemann! 2. Ilustrasikan soan nomor 1 secara geometri!
16
Lembar Jawaban
17
INTEGRAL TENTU Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup
. Jika
ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada
.
disebut integral tentu (Integral Reimann) f dari a
Lebih lanjut, ke b, diberikan oleh
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! Hitunglah integral tentu memakai definisi 1. 2.
(gunakan (gunakan
) )
18
Lembar Jawaban
19
TEOREMA DASAR KALKULUS Andaikan f kontinu (karena terintegralkan) pada
dan andaikan F
sebarang anti turunan dari f disana, maka
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Buktikan teorema dasar kalkulus tersebut dengan menggunakan jumlah rieman dan teorema nilai rata-rata! 2. Carilah semua sifat-sifat integral tentu, kemudian tuliskan pada lembar jawaban!
20
Lembar Jawaban
21
TUGAS PROYEK Carilah aturan Integral yang Anda ketahui, misalnya aturan trapezium, aturan parabol/simpson, dll. Kemudian buatlah rangkumannya, berikan satu contoh soal, dan presentasikan hasil kerja Anda
22
