ANALISIS PROBLEMATIKA PERKULIAHAN ANALISIS REAL

ISSN 2579-9258

Journal Cendekia: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 1, No. 1, Mei 2017. 135-149

ANALISIS PROBLEMATIKA PERKULIAHAN ANALISIS REAL Molli Wahyuni Dosen Tidak Tetap pada Universitas Pahlawan Tuanku Tambusai Mahasiswa S3 Program Studi Ilmu Pendidikan Orientasi Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Negeri Padang [email protected] ABSTRAK Artikel ini disusun bertujuan untuk menyajikan berbagai permasalahan yang terjadi pada perkuliahan analisis real pada umumnya yang dialami oleh mahasiswa program sarjana matematika dan sarjana pendidikan matematika. Mata kuliah Analisis Real bertujuan untuk mendidik peserta kuliah agar: a) memiliki pengetahuan dasar analisis matematika, khususnya tentang bilangan, barisan, fungsi, limit, dan turunan, b) mampu bernalar secara logis dan mengekspresikan hasil pernalarannya secara tertulis, sistematis dan rigorous. Analisis real merupakan salah satu mata kuliah yang sering dianggap oleh mahasiswa yang kuliah pada program studi matematika dan pendidikan matematika. Pada makalah ini, penulis memaparkan berbagai alternatif solusi yang disarankan dapat dilakukan untuk membantu mahasiswa dalam menghadapi perkuliahan analisis real. Upaya perbaikan kualitas juga dapat dilakukan oleh dosen diantaranya dengan melakukan sejumlah intervensi, menerapkan Lesson Study, menerapkan pendekatan RME, pengembangan buku teks analisis real. Kata Kunci : Analisis Real, Lesson Study, RME ABSTRACT This article was compiled aims to present a wide range of problems that occur in the course of real analysis is generally experienced by undergraduate students in mathematics and mathematics education scholars. Real Analysis courses aimed at educating participants courses in order to: a) have a basic knowledge of mathematical analysis, especially about numbers, sequences, functions, limits, and derivatives, b) is able to reason logically and express the results in writing them reason, systematic and rigorous. Analysis estate is one of the subjects that are often considered by students who study on courses of mathematics and mathematics education. In this paper, the authors describe the various alternatives suggested solutions can be done to help students in the face of real analysis lectures. Quality improvement efforts can also be conducted by lecturers include making a number of interventions, applying Lesson Study, apply the RME approach, textbook development real analysis. Keywords : Real analysis, LessonStudy, Realistik Mathematic Education (RME)

 Corresponding author: Address : Bankinang, Kabupaten Kampar, Riau Email : [email protected]

ISSN 2579-9258

136

Jurnal Cendekia: Jurnal Pendidikan Matematika, Volume 1, No. 1, Mei 2017, hal. 135-149

matematik,

Pendahuluan Proses pembelajaran matematika di perguruan

tinggi

membutuhkan

dan

menggunakan

(4)

memilih

dan

bermacam-macam

jenis

penalaran dan metode pembuktian.

kemampuan kognitif tingkat tinggi, seperti

Dalam

matematika,

pembuktian

kemampuan analisis, sintesis, dan evaluasi,

adalah serangkaian argumen logis yang

tidak hanya sekedar ingatan pengetahuan

menjelaskan kebenaran suatu pernyataan.

faktual ataupun aplikasi sederhana dari

Pembuktian adalah penerapan sejumlah

berbagai formula atau prinsip. Mahasiswa

berhingga langkah-langkah logis dari apa

diharapkan mampu untuk bernalar dengan

yang diketahui (aksioma, prinsip-prinsip

baik

atau

dan

mengekspresikan

hasil

hasil

yang

telah

dibuktikan

pernalarannya secara tertulis, sistematis

sebelumnya) dan menerapkan prinsip-

dan ketat (Rigorous). Kemampuan ini

prinsip

dapat

argumen

diperoleh

melalui

kegiatan

pembuktian.

logika,

untuk

deduktif

yang

menciptakan valid

guna

mencapai suatu kesimpulan menggunakan

Mengingat pentingnya kemampuan pembuktian

dalam

Argumen-argumen ini dapat berasal dari

pembelajaran matematika maka National

premis pernyataan itu sendiri, teorema-

Council of Teachers of Mathematics

teorema lainnya, definisi, dan dapat juga

(NCTM) (2000) telah menekankan adanya

berasal

pembuktian dalam matematika sekolah,

matematika

yang juga mencerminkan pergeseran ke

dimaksud logis di sini, adalah semua

arah pemecahan masalah dan berpikir

langkah

kritis. Tapi untuk mengkonstruksi bukti

dijustifikasi oleh langkah sebelumnya.

yang

lebih

matematik

aturan inferensi yang dapat diterima.

tersebut

pada

setiap

dimana

sistem

berasal.

Yang

argumen

harus

Pembuktian memegang peranan

tinggi.

yang sangat penting dalam matematika

Kurikulum matematika harus mencakup

karena pembuktian merupakan bagian

banyak dan beragam pengalaman yang

yang

memperkuat dan memperluas keterampilan

matematika

dan

bagian

penalaran logis siswa sehingga semua

terpisahkan

dari

matematika.

siswa dapat: (1) mengenal penalaran dan

merupakan bagian yang esensial dalam

pembuktian

melakukan

di

diberikan

postulat

pada

perkuliahan

rumit

dari

perguruan

sebagai

aspek-aspek

mutlak

dan

doing,

mendasar

dalam

yang

tidak Karena

komunikasi,

dan

fundamental matematika, (2) membuat

recording matematika. Peran pembuktian

konjektur dan memeriksa kebenaran dari

yaitu: 1) untuk memverifikasi bahwa suatu

konjektur itu, (3) mengembangkan dan

pernyataan itu benar, 2) untuk menjelaskan

mengevaluasi argumen dan pembuktian

mengapa suatu pernyataan itu benar, 3)

137 Analisis Problematika Perkuliahan Analisis Real, Molli Wahyuni

untuk mengkomunikasikan pengetahuan

agar: a) memiliki pengetahuan dasar

matematika, 4) untuk menemukan atau

analisis matematika, khususnya tentang

menciptakan matematika baru, atau 5)

bilangan,

mensistematiskan

turunan, b) mampu bernalar secara logis

pernyataan

menjadi

sistem aksiomatis.

barisan,

fungsi,

limit,

dan

dan mengekspresikan hasil pernalarannya

Untuk itu mahasiswa matematika

secara tertulis, sistematis dan rigorous.

harus memiliki kemampuan melakukan

Melalui

pembuktian

mahasiswa berlatih untuk memverifikasi

matematik.

pembuktian

matematik

Dalam

terdapat

dua

bahwa

perkuliahan suatu

Analisis

pernyataan

itu

Real, benar,

kemampuan yaitu kemampuan membaca

menjelaskan mengapa suatu pernyataan itu

bukti dan mengkonstruksi bukti. Maka

benar, mengkomunikasikan pengetahuan

berargumentasi secara

matematika, dan menuliskannya dalam

matematik dan

melakukan pembuktian haruslah menjadi

bahasa

bagian yang esensial bagi mahasiswa yang

Kemampuan tersebut dapat ditingkatkan

belajar matematika. Karena itu pengkajian

melalui kegiatan pembuktian. Kegiatan

tentang

pembelajaran

pembuktian banyak dilakukan dalam mata

pembuktian adalah komponen kunci dalam

kuliah Analisis Real yang sarat dengan

peningkatan

definisi,

pengajaran

dan

pembelajaran

matematika

yang

logis

lemma,

dan

dan

sistematis.

teorema.

Agar

secara menyeluruh. Ada beberapa alasan

mahasiswa dapat memahami Analisis Real

mengapa

pengajaran

dengan baik maka mahasiswa dituntut

pembuktian yaitu: 1) bukti adalah bagian

untuk dapat memahami setiap lemma dan

yang yang integral dalam matematika, 2)

teorema yang dipelajari. Salah satu syarat

untuk verifikasi dan penemuan fakta, 3)

agar

untuk pengembangan kemampuan berpikir

mahasiswa harus mempunyai kemampuan

logis dan kritis siswa, dan 4) mempercepat

dalam membuktikan lemma dan teorema

dan meningkatkan pemahaman matematik

yang dipelajari dan beberapa permasalahan

siswa.

yang terkait dengan penerapan definisi,

perlu

Salah

satu

diberikan

mata

kuliah

hal

tersebut

tercapai

adalah

yang

lemma, dan teorema. Dengan demikian,

mendukung hal tersebut adalah Analisis

peningkatan pemahaman mahasiswa dalam

Real. Mata kuliah Analisis Real diberikan

Analisis Real dapat dilakukan melalui

pada Program Studi Matematika dan

peningkatan

Pendidikan Matematika perguruan tinggi

dalam

di Indonesia. Mata kuliah Analisis Real

kenyataan

bertujuan untuk mendidik peserta kuliah

kemampuam

pembuktian. ditemui

mahasiswa

Namun bahwa

dalam banyak

138


mahasiswa mengalami kesulitan dalam

2. Intuisi pemahaman terhadap suatu

pembuktian.

konsep yang dimiliki mahasiswa

Berdasarkan pengalaman mengajar

sedikit.

mata kuliah Analisis Real di Jurusan Pendidikan Pahlawan

Matematika Tuanku

3. Concept

Universitas

Tambusai

Riau,

tidak

4. Mahasiswa tidak dapat dan tidak berkeinginan

yaitu: 1) menilai kebenaran dari sebuah

sendiri.

pernyataan, 2) memahami informasi, 3)

5. Mahasiswa

menemukan ide, dan 4) menuliskan ide. (2017),

pembuktian

cukup.

mengalami kesulitan dalam beberapa hal

Muda

untuk

mengerjakan

ditemukan bahwa mahasiswa biasanya

Yuslenita

images

membuat tidak

contoh

mengetahui

bagaimana menggunakan definisi

salah

untuk

seorang dosen Universitas Islam Negeri

6. memperoleh struktur pembuktian

Suska Pekanbaru yang kini sedang kuliah

yang menyeluruh.

di University of Essex Colchester Inggris

7. Mahasiswa tidak dapat memahami

yang sedang mendalami tentang analisis

dan

menggunakan

real mengungkapkan bahwa analisis real

notasi

dirasakan sulit oleh mahasiswa karena

matematik.

terlalu abstrak, meskipun namanya real.

8. Mahasiswa

tidak

bahasa

dan

mengetahui

Mahasiswa sering tidak paham dari mana

bagaimana memulai pembuktian.

proses

Agar dapat membuat pembuktian

pembuktian

harus

dimulai.

Beberapa solusi yang pernah ia tempuh

matematik

dengan

untuk memperbaiki kualitas perkuliahan

dituntut

memiliki

dan membantu mahasiswa menyelesaikan

pengetahuan prasyarat, misalnya logika

permasalahan analisis real antara lain

matematika dan metode pembuktian dalam

membimbing mahasiswa menyelesaikan

matematika.

masalah step by step, memberikan ilustrasi

pengetahuan prasyarat tidak menjamin

dalam

bahwa mahasiswa dapat mengembangkan

bentuk

gambar,

memberikan

metode terbaik dan dosen juga bertanya

dan

kepada rekan sejawat.

Untuk

Kelemahan

dan

kesulitan

baik,

pengetahuan-

Dengan

mengkomunikasikan dapat

mahasiswa

dimilikinya

suatu

mengembangkan

mengkomunikasikan

dan

suatu

pembuktian

baik,

mahasiswa

mahasiswa dalam pembuktian matematika

matematika

antara lain:

dituntut untuk memiliki kreativitas, intuisi,

1. Mahasiswa tidak dapat menyatakan definisi dengan bahasanya sendiri.

dengan

bukti.

dan pengalaman. Memiliki intuisi berarti memiliki kemampuan untuk membuat


konjektur yang merupakan bagian yang

Di dalam proses pembelajaran

sangat penting dalam proses pembuktian

maupun perkuliahan terdapat beberapa

matematik.

faktor

Sedangkan

memiliki

yang

kreativitas berarti memiliki kemampuan

keberhasilan

untuk

mengajar.

menyatakan

berbagai

model

persoalan yang

dalam

menjadi

penghambat

dalam

proses

belajar

Kesulitan

dalam

belajar

operasional.

merupakan salah satu faktor penghambat

Kreativitas, intuisi, dan pengalaman dapat

dalam mencapai tujuan pembelajaran yang

dikembangkan dan disediakan melalui

telah ditetapkan. Faktor-faktor tersebut

pembelajaran.

dapat digolongkan menjadi dua golongan,

Beberapa

hasil

penelitian

menunjukkan bahwa mahasiswa sangat sulit mengkonstruksi bukti sekalipun bukti sederhana atau rutin sekalipun. Hasilpenelitian tersebut

diantaranya adalah

pengantar pembuktian (Moore, 1994), analisis real (Bills and Tall, 1998) dan , aljabar abstrak (Weber 2001). Mahasiswa pada umumnya tidak menentukan apa yang dinyatakan dalam sebuah bukti (Resio and Godino: 2001) dan mahasiswa tidak dapat menentukan apakah suatu bukti

yaitu faktor intern dan faktor ekstern. Faktor intern adalah faktor yang ada di dalam diri individu yang sedang belajar, sedangkan faktor ekstern adalah faktor yang ada di luar individu (Slameto, 2010:54).

Kedua

faktor

tersebut

mempunyai arti yang sangat penting dalam rangka

membantu

seseorang

dalam

mencapai prestasi belajar yang sebaikbaiknya. Adapun faktor-faktor intern yang dimaksud terdiri dari (1) Faktor jasmaniah:

valid atau tidak. Berdasarkan latar belakang di atas,

faktor kesehatan dan cacat tubuh. (2)

maka dapat dirumuskan masalah sebagai

Faktor psikologis: intelegensi, perhatian,

berikut :

minat, bakat, motivasi, kematangan, dan

a. Mengapa mahasiswa kesulitan dalam mengkonstruksi

pembuktian

pada

upaya

faktor ekstern yang dimaksud terdiri dari (1) Faktor keluarga: cara orang tua

mata kuliah analisis real? b. Bagaimana

kesiapan. (3) Faktor kelelahan. Sedangkan

untuk

mendidik, relasi antaranggota keluarga,

meningkatkan kemampuan berfikir

suasana

mahasiswa

keluarga, pengertian orang tua, dan latar

dalam

Analisis Real?

mata

kuliah

rumah,

keadaan

ekonomi

belakang kebudayaan. (2) Faktor sekolah:

Kajian Teori

metode mengajar, kurikulum, relasi guru

1. Kesulitan Belajar

dengan siswa, relasi siswa dengan siswa,

140


disiplin sekolah, alat pelajaran waktu

miskonsepsi. Bahkan pemilihan strategi

sekolah, standar pelajaran di atas ukuran,

pengajaran yang kurang tepat, misalnya

keadaan gedung, metode belajar, dan tugas

penggunaan analogi yang kurang tepat,

rumah. (3) Faktor masyarakat: kegiatan

dapat juga mengganggu proses berpikir

siswa dalam masyarakat, mass media,

siswa dan mendapat kesulitan dalam

teman bergaul, dan bentuk kehidupan

memahami konsep-konsep yang dipelajari.

masyarakat, (Slameto, 2010:54).

Miskonsepsi

mahasiswa

dideteksi dengan :

2. Miskonsepsi Miskonsepsi

memberi

tes

dipandang

diagnostik pada awal perkuliahan atau

sebagai suatu pengertian yang tidak akurat

pada setiap akhir pembahasan. Bentuknya

terhadap konsep, penggunaan konsep yang

dapat berupa tes obyektif pilihan ganda

salah, klasifi kasi contoh-contoh yang

atau bentuk lain seperti menggambarkan

salah, dan hubungan konsep-konsep yang

diagram fi sis atau vektoris, grafik, atau

tidak benar. Bentuk miskonsepsi dapat

penjelasan dengan kata-kata; b) memberi

berupa kesalahan konsep, hubungan yang

tugas-tugas terstruktur misalnya tugas

tidak benar antar konsep, dan gagasan

mandiri atau kelompok sebagai tugas akhir

intuitif

pengajaran atau tugas pekerjaan rumah ;c)

atau

dapat

a)

dapat

pandangan

yang

keliru

(Suparno, 2005) dalam Sastradi (2013).

memberi pertanyaan terbuka, pertanyaan

Miskonsepsi terbentuk secara alami

terbalik (reverse question) atau pertanyaan

dan tidak terelakkan dari bagian proses

yang kaya konteks (context-rich problem);

belajar. Miskonsepsi sering dibawa siswa

d)

dari tingkat sekolah dasar sampai ke

digunakan siswa atau mahasiswa dalam

perguruan tinggi. Konsep massa, gaya

menyelesaikan

berat, berat/beban, kelembaman massa dan

e)mengajukan

massa gravitasi juga merupakan konsep

terbuka secara lisan kepada siswa atau

yang

mahasiswa; f) mewawancarai misalnya

paling

sering

menimbulkan

mengoreksi

langkah-langkah soal-soal

yang essai;

pertanyaan-pertanyaan

miskonsepsi di dalam ilmu fi sika oleh

dengan menggunakan kartu pertanyaan.

para siswa, dari sekolah menengah hingga

3. Kemampuan Matematik

ke universitas (Gonen,

2008)

dalam

Sastradi (2013). Penyampaian

Sumarmo

dan

Hendriana

(2014:19), kemampuan matematik dapat informasi

yang

diklasifikasikan dalam lima kompetensi

kurang jelas dan kurang lengkap yang

utama

yaitu:

diterima oleh siswa dalam proses belajar

pemecahan

juga diduga sebagai penyebab terjadinya

matematik,

pemahaman

matematik,

masalah,

komunikasi

koneksi

matematik,

dan


penalaran matematik. Kemampuan yang

efisien

lebih

menyelesaikan masalah.

tinggi

diantaranya

adalah

kemampuan berfikir kritis matematik dan kemampuan berfikir kreatif matematik. a. Pemahaman Matematik Pemahaman

dan

tepat

dalam

d. Komunikasi Matematik Komponen

tujuan

pembelajaran

(NCTM, 1999): mengkomunikasikan matematik

gagasan

dengan

simbol,

tabel,

(mathematical understanding) dalam

diagram atau ekspresi matematika

hal ini berbeda dengan pemahaman

untuk memperjelas keadaan atau

yang

taksonomi

masalah

matematik

menghargai kegunaan matematika

memiliki tingkat kedalaman tutunan

dalam kehidupan, sikap rasa ingin

kognitif

Selain

tahu, perhatian dan minat dalam

teorema,

mempelajari matematika, serta sikap

terdapat

bloom.

pada

Pemahaman yang

mengetahui

berbeda. suatu

dan

memiliki

pemahaman matematis juga akan

ulet

memberikan

menyelesaikan masalah.

menguasai

kemampuan aspek-aspek

untuk dalam

membuktikan serta aplikasi dari teorema tersebut.

dan

penarikan

matematik

merupakan

suatu

proses

kebenarannya

memecahkan masalah tidak secara

probabilistik.

data

terbatas

sehingga

nilai bersifat

2) Penalaran deduktif. Merupakan penarikan

c. Koneksi Matematik

kesimpulan

berdasarkan pengamatan terhadap

masalah

cara lain terlebih dahulu.

dalam

1) Penalaran induktif. Merupakan

Pemecahan

langsung melainkan harus melalui

diri

e. Penalaran Matematik suatu

b. Pemecahan Masalah Matematik

percaya

sikap

kesimpulan

berdasarkan

aturan

yang

sehingga

nilai

Pentingnya memiliki kemampuan

disepakati

konseksi matematik (NCTM, 1989) :

kebenarannya bersifat mutlak.

memahami

konsep

matematika,

f. Berfikir Kritis Matematik

menjelaskna keterkaitan antarkonsep

Berfikir kritis merupakan berfikir

dan mengaplikasikan konsep atau

reflektif

algoritma

difokuskan

secara

luwes,

akurat,

yang

beralasan

penetapan

apa

dan yang

142


dipercayai atau dilakukan. Indikator

b) Memberikan

banyak

cara

kemampuan berfikir kritis adalah:

atau saran untuk melakukan

1) Memfokuskan

berbagai hal

diri

pada

pertanyaan

c) Selalu memikirkan lebih dari

2) Menganalisis dan mengklarifikasi pertanyaan, jawaban dan argumen 3) mempertimbangkan sumber yang terpercaya dan

menganalisis

deduksi

a) Menghasilkan

gagasan,

atau

pertanyaan

yang variasi, dapat melihat masalah dari sudut pandang

5) Menginduksi dan menganalisis induksi

yang berbeda b) Mencari

6) Merumuskan

eksplanatori,

kesimpulan dan hipotesis

banyak

pertimbangan

yang

alternatif

atau arah yang berbeda-beda c) Mampu

bernilai

mengubah

pendekatan

cara

atau

cara

pemikiran

8) Menetapkan suatu aksi

3) Ciri-ciri Originality

9) Berinteraksi dengan orang lain. 10)

2) Ciri-ciri Flexibility jawaban

4) Mengamati

7) Menarik

satu hawaban

Jika dihubungkan dengan

a) Mampu

melahirkan

ungkapan baru yang unik

Taksonomi Bloom maka berfikir

b) Memikirkan cara yang tidak

kritis sebanding dengan analisis,

lazim untuk mengungkapkan

sintesis dan evaluasi dari suatu

diri

konsep.

c) Mampu membuat kombinasikombinasi yang tidak lazim

g. Berfikir Kreatif Matematik Ciri-ciri komponen berfikir kreatif yaitu :

dari

bagian-bagian

atau

unsur-unsur. 1) Ciri-ciri Fluency a) Mencetuskan banyak

4) Ciri-ciri Elaboration banyak

jawaban,

penyelesaian

ide,

banyak masalah,

banyak pertanyaan dengan lancar

a) Mampu

memperkaya

mengembangkan

dan suatu

gagasan atau produk b) Menambah atau memerinci detail-detail dari suatu objek,


gagasan, atau situasi hingga

Polya (Recio and Godino: 2002) mempelajari

menjadi lebih menarik.

penalaran

intuitif

dalam

Analisis dan Pemecahan Masalah

matematika. Beliau memandang penalaran

1. Problematika Perkuliahan Analisis

intuitif sebagai penalaran yang digunakan

Real

untuk Dalam

individu

kehidupan

secara

sehari-hari

normal

argumentasi

informal

institusional

bergantung

menggunakan yang

bersifat

konteks

dan

memformulasikan

dugaan

matematika dan menamakannya palusible reasoning. Garuti

(1998),

terdapat

kontinuitas dalam memproduksi dugaan dan mengkonstruksi bukti, oleh karena itu

suasana emosionalnya (Miller: 1991).

argumen

matematika

informal

dapar

Menurut Fernandes (Recio: 2002), ciri

mendasari level awal bukti matematika.

(a)

Faktor-faktor penyebab munculnya

diaplikasikan pada issu yang relevan oleh

kesulitan dalam memproduksi bukti valid

orang

dikalangan

utama

argumen yang

ini

membuat

adalah

:

argumen,

(b)

mahasiswa

telah

banyak

argumen ini dinamis tergantung konteks

diungkap melalui hasil-hasil penelitian.

dan situasi, (c) diaplikasikan pada tugas-

Yackel dan Cobb (1996) menyelebutkan

tugas terbuka, samar, dan tidak deduktif,

istilah

(d)

sehari-hari,

untukmenyatakan bagaimana pengaruh

bukan bahasa simbol dan formal, (e)

lingkungan seperti buku teks, komentar

digunakan

guru, dan umpan balik tugas-tugasnya

menggunakan

bahasa

dalam

semua

ranah

sociomathematical

pengetahuan, termasuk dalam matematika

menentukan

dan sains. Miller-Jones (1991), mahasiswa

mahasiswa termasuk tindakannya. Dreyfus

memiliki

membedakan

(1999) mengklaim bahwa “ apa yang

argumentasi intuitif yang mereka gunakan

sebuat dengan justifikasi matematika yang

dalam dalam kehidupan sehari-hari dari

diterima “ adalah suatu contoh dari

pemikiran deduktif

dikehendaki

sociomathematic norm. Seperti yang telah

dalam perkuliahan. Recio dan Godino

dikemukakan di atas, perbedaan karir

(2001) menyebutkan bahwa banyak teknik

akademik mahasiswa, perbedaan tipe dari

bukti yang salah justru digunakan dalam

justifikasi

domain non-matematik. Misalnya, menarik

menyebabkan kesulitan mahasiswa dalam

konklusi umum dengan menguji beberapa

membangun bukti. Tipe justifikasi mana

kasus khusus biasanya digunakan dalam

yang dibuthkan? Hal ini jarang dijelaskan

kesulitan

sains dan ilmu sosial.

yang

kepercayaan

norms

yang

matematika

dibutuhkan

dapat

144


kepada mahasiswa. Terkadang mahasiswa

(Dubinsky,

menerima informasi yang berbeda.

mengilustrasikan bagaimana mengekaksi

Rendahnya perkembangan kognitif

makna

1988)

berhasil

pernyataan logika berkuantor

mahasiswa juga merupakan salah satu

kelihatan sangat sulit dan merupakan

penyebab kesulitan pemahaman konsep

proses kompleks. Penalaran mahasiswa

bukti. Piaget mengklaim bahwa anak tidak

tentang pernyataan multi quantified hanya

membedakan atau engkonstruksi argumen

melibatkan bagian predikat pernyataan dan

deduktif hingga mereka sampai pada

mengabaikan

tingkat

dikuantifikasi. (Pinto dan Tall: 1999).

operasi

formal

dalam

perkembangan kognitifnya. Weber (2001) meneliti

perkembangan

bagaimana

variabel

Faktor-faktor penyebab munculnya

kognitif

kesulitan memproduksi bukti yang valid di

mahasiswa dan menemukan hanya 22%

kalangan mahasiswa yang diungkap d atas

mahasiswa yang mencapai tingkat operasi

menunjukkan kemungkinan adanya faktor

formal dalam perkembangan kognitifnya.

internal yang dipengaruhi oleh faktor-

Hal serupa ditemukan oleh Tall (1991)

faktor : jenis buku teks, komentar dosen,

dalam observasinya bahwa menyebutkan

dan umpan balik dosen terhadap tugas-

bahwa banyak mahasiswa (setidaknya

tugas mahasiswa, kebiasaan penalaran

awal

dalam

tahun

pertama)

tidak

dapat

memahami bukti deduktif.

kehidupan

sosial

mahasiswa,

perkembangan kognitif mahasiswa dan,

Faktor lain yang menjadi kesulitan dalam memproduksi bukti adalah kesulitan

kesulitan pemehaman notasional. Dalam

pembelajaran

matematika

notasional. Pada kuliah tingkat lanjut,

khususnya pada pembelajaran matematika

banyak bukti menggunakan notasi formal.

lanjut yang berorientasi pembuktian, kita

Mahasiswa menemukan beberapa aspek

memerlukan

kesulitan dari

bagaimana

notasi

ini diantaranya

cara suatu

pandang bukti

tentang

yang

dapat

adalah: khususnya penggunaan multipel

diterima? kita membutuhkan pandangan

quantifier

tersebut,

yang

menyusahkan.

Selden

karena

mahasiswa

bukanlah

(1995) memintta 61 mahasiswa dari

seorang matematikawan, tetapi juga kita

pengantar perkuliahan untuk mengubah

mengupayakan mereka memiliki konsep

pernyataan informal ke dalam bahasa

yang benar tentang bukti matematika. Bagi

kalkulus predikatif. Beliau menemukan

mahasiswa bukti haruslah dapat membantu

bahwa mahasiswa yang sukses pada tugas

memahami mengapa sesuatu pernyataan

ini kurang dari 10% dalam waktu yang

itu benar.

telah

ditentukan.

Penelitian

lain


Setelah mengetahui permasalahan-

2. Alternatif Pemecahan Masalah

permasalahan yang dihadapi mahasiswa

Berdasarkan

dan

maka

dalam

dalam melakukan pembuktian matematis

pengkajian

pada mata kuliah analisis real, dapat

merumuskan intervensi guna mengatasi

dirumuskan

permasalahan

yang

terjadi,

peneliti

berpedoman

pada

teori

belajar

permasalahan yang dihadapi mahasiswa

behaviorisme

dan

dalam melakukan pembuktian matematis

diantaranya

pada mata kuliah analisis real. Perumusan

(reinforcement) dari B.F Skinner, teori

intervensi-intervensi tersebut didasarkan

pembiasaan (conditioning) dari Pavlov,

pada pengkajian yang dilakukan oleh

dan teori belajar interaksi sosial dari

peneliti

Vygotsky

perlu

intervensi-intervensi

diberikan

terhadap

guna

yang

mengatasi

permasalahan

yang

di

dugaan atas,

konstruktivisme,

teori

yang

penguatan

menekankan

pada

terjadi berdasarkan perspektif teori belajar

pemberian scaffolding. Adapun intervensi-

yang telah dirumuskan oleh para pakar

intervensi yang dapat dirumuskan dari

yang disesuaikan dengan karakteristik

hasil pengkajian yang telah dilakukan

kemampuan serta kebiasaan belajar dan

peneliti diantaranya yaitu dengan: 1)

berpikir mahasiswa.

memberikan penguatan (reinforcement)

Sejumlah

hasil

penelitian

terhadap penguasaan materi pra syarat, 2)

menunjukkan bahwa permasalahan yang

melakukan

terjadi

kemampuan

melalui kegiatan drill, practice, and

mahasiswa

exercise, dan 3) memberikan scaffolding

berkaitan

pembuktian disebabkan

dengan

matematis karena:

1)

lemahnya

berupa

pembiasaan

petunjuk

(conditioning)

pembuktian

secara

penguasaan materi pra syarat seperti

deduktif dengan menyertakan definisi atau

himpunan,

teorema untuk melakukan pembuktian

sistem

bilangan,

sifat-sifat

operasi biner, relasi dan fungsi, limit dan

matematis.

turunan fungsi; 2) kurangnya intensitas

Di samping itu, salah satu cara

latihan dalam pembuktian matematis; 3)

yang dapat ditempuh untuk memperbaiki

terlalu banyaknya definisi dan teorema

kualitas perkuliahan analisis real yaitu

yang harus dipelajari sehingga mahasiswa

melalui Lesson study (Darmadi, 2011).

kebingungan dalam menentukan definisi

Lesson

atau teorema mana yang harus digunakan

pembinaan

untuk membuktikan permasalahan yang

pengkajian

berikan.

kolaboratif dan berkelanjutan berlandaskan

study

adalah

profesi

suatu

pendidik

pembelajaran

model melalui secara

146


prinsip-prinsip kolegalitas yang saling

masuk kelas, karena akan mengganggu

belajar untuk membangun masyarakat

konsentrasi mahasiswa.

belajar. Pada kegiatan Lesson Study, kolegalitas

membicarakan

Pelaksanaan dan observasi (Do dan

praktik

See) meliputi seorang dosen model dan

pembelajaran, saling mengobservasi kelas

dosen lain sebagai observer. Observer

pembelajaran, membuat gagasan bersama

mengambil tempat sedemikian hingga

mengenai kelas, dan saling mendorong

dapat leluasa mengamati jalannya proses

satu sama

meningkatkan

pembelajaran tanpa mengganggu aktivitas

kualitas pembelajaran. Fungsi perencanaan

dan konsentrasi mahasiswa. Observer tidak

antara

diperkenankan melakukan intervensi pada

lain dalam

lain

penyusunan

pembelajaran

beserta

scenario

perangkat

panduan

observasinya

dipahami

sesama

yang

dosen,

dan dapat

pembelajaran, seperti menegur dosen dan membantu

atau

bertanya

kepada

pelatihan

mahasiswa. Fokus observasi ditekankan

pembelajaran dan langsung diterapkan di

pada aktivitas belajar mahasiswa, baik

kelas, pengimbasan pengetahuan secara

secara

kolaboratif dari pakar atau sesama dosen,

sesuai dengan pokok permasalahan yang

penerapan

penelitian

diambil. Pengamat melakukan pengamatan

pembelajaran yang telah dilakukan, dan

secara penuh sejak awal sampai akhir

penyusunan

pembelajaran. Selain mengamati siswa

suatu

hasil

awal

proposal

penelitian

individual

maupun

tindakan kelas jika diperlukan. Lesson

belajar,

Study

memperhatikan teknik pengelolaan kelas

bukan

suatu

metode/model

pengamat

kelompok,

perlu

pembelajaran, tetapi merupakan suatu

yang

model pembinaan profesi pendidik dengan

mengefektifkan

kebersamaan dan saling belajar di antara

pembelajaran,

para pendidik. Para dosen bekerjasama

pembelajaran, dan upaya dosen membuat

secara

mahasiswa kreatif. Dalam diskusi refleksi

kolaboratif

dalam

membuat

dilakukan

juga dosen,

teknik

pencapaian

tujuan

pemanfaatan

media

perencanaan (Plan) pembelajaran yang

mempunyai

tahapan:

meliputi brieffing singkat tentang rencana

penyaji/dosen

model

pembelajaran yang akan dilaksanakan oleh

pembelajaran yang telah dilakukan; 2)

dosen

lembar

tanggapan/usul/saran dari observer yang

observasi, RPS, LKM, atau perangkat lain

difokuskan pada aktivitas pembelajaran

yang diperlukan, dan memastikan agar

mahasiswa sebagai hasil observasi dan

pada waktu pengamatan nanti tidak keluar

bukan didasarkan pada opini/teori; 3)

model,

menyiapkan

1) tentang

refleksi strategi

tanggapan balik dari penyaji/dosen model;


dan 4) menarik kesimpulan dan saran

kehidupan sehari-hari. Upaya ini dilihat

untuk

dari

perbaikan/perencanaan

berbagai

situasi

dan

pembelajaran pada putaran berikutnya.

persoalan

Melalui kolegalitas pada kegiatan Lesson

dimaksudkan tidak mengacu pada realitas

Study

pada realitias tetapi pada sesuatu yang

diharapkan

permasalahan-

“realistik”.

persoalan-

Realistik

ini

permasalahan yang ada pada pembelajaran

dapat

analisis real dapat dibahas bersama dan

memberikan mengarahkan siswa membuat

kualitas perkuliahan analisis real jadi lebih

poster tentang konvergen yang diawali

baik.

dengan kondisi kehidupan sehari-hari. Somakim (2007)

memaparkan

dibayangkan. Misalnya, dengan

Adapun

menurut

pandangan

bahwa dalam meningkatkan kemampuan

konstruktivis

matematis siswa dalam

adalah memberikan kesempatan kepada

perkuliahan

pembelajaran

analisis real dapat juga dilaksanakan

siswa

dengan

pembelajaran

konsep matematika dengan kemampuan

Pembelajaran

sendiri melalui proses internalisasi. Guru

penerapan

matematika

realistik.

matematika belajar

realistik

mengajar

merupakan

Teori

matematika

realistik

diperkenalkan

dan

mengkonstruksi

konsep-

teori

dalam hal ini berperan sebagai fasilitator.

pendidikan

Dalam pembelajaran matematika guru

pembelajaran

memang harus memberikan kesempatan

dalam

matematika.

untuk

matematika

pertama

dikembangkan

kali di

kepada siswa untuk menemukan sendiri konsep-konsep

matematika

dengan

Belanda pada tahun 1970 oleh Institut

kemampuan siswa sendiri dan guru terus

Freudenthal.

berpendapat

memantau atau mengarahkan siswa dalam

bahwa matematika harus diartikan dengan

pembelajaran walaupun siswa sendiri yang

realita

akan

Freudenthal

dan

aktivitas

matematika

manusia.

Freudenthal

memang

merupakan

menemukan

konsep-konsep

Dari

pendapat

matematika, setidaknya guru harus terus

benar

alangkah

mendampingi siswa dalam pembelajaran

baiknya dalam pembelajaran matematika harus ada hubungannya dengan kenyataan

matematika. Harini,

dkk

(2014)

bahwa

miskonsepsi

dan kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu

mengungkapkan

manusia harus diberi kesempatan untuk

mahasiswa

menemukan ide dan konsep matematika

pengembangan buku teks analisis real

dengan

yang bermuatan peta pikiran.

bimbingan

orang

dewasa.

Matematika harus dekat dengan anak dan

dapat

dieksplorasi

dengan Cara ini

dinilai merupakan salah satu strategi untuk

148


mengetahui

penyebab

miskonsepsi

terhadap

materi

sehingga

mahasiswa dalam pembuktian analisis real,

menyulitkan dalam pembuktian.

sehingga dapat dilakukan tindaklanjut

3. Upaya perbaikan kualitas juga

untuk

membantu

mahasiswa

agar

dapat

menggunakan konsep yang benar.

diantaranya

Beberapa hal yang juga perlu menjadi

perhatian

dalam

dilakukan

oleh

dengan

dosen

melakukan

sejumlah intervensi, menerapkan

mendukung

Lesson

Study,

menerapkan

perkuliahan analisis real adalah dukungan

pendekatan RME, pengembangan

lingkungan. Dukungan keluarga sangat

buku teks analisis real.

perlu dalam memotivasi mahasiswa dalam

4. Upaya

lainnya

dapat

belajar. Dukungan dari sekolah antara lain

dilakukan

penerapan metode pembelajaran yang

kualitas perkuliahan analisis real

mendukung, menjaga hubungan yang baik

adalah

antara

pembenahan

dosen

dan

mahasiswa

serta

membina mahasiswa agar dapat menjaga

untuk

yang

dengan

meningkatkan melakukan

instrumental

dan

dukungan dari lingkungan.

hubungan baik sesama. Dukungan dari masyarakat

dapat

diwujudkan

salah

satunya dengan memilih teman bergaul yang mendukung dalam pembelajaran. KESIMPULAN Dari beberapa uraian di atas, maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut : 1. Analisis Real merupakan salah satu mata kuliah yang diajarkan pada program

studi

matematika.

Mata

kuliah

ini

kritis mahasiswa, untuk mampu pembuktian

menonjol

Buschman, L. 2004. Teaching Problem Solving in Mathematics. NCTM Journal. 10 (6). 302. Tersedia dalam: www.nctm.org. Ernest,

P. 1991. The Philosophy of Mathematics Education. Falmer Press tersedia dalam http://www.questia.com/libr ary/book/.

dalam

permasalahan yang diajukan. 2. Permasalahan

Bills, E & Tall, D. 1998. Overall Definitions in Advanced Mathematics. The Case of least Upper Bound in Proceeding of PME 22 (2), Stellenbosch, South Africa.

pendidikan

membutuhkan kemampuan berfikir membuat

DAFTAR RUJUKAN

yang

paling

dihadapi

dalam

perkuliahan analisis real adalah terjadinya miskonseps mahasiswa

Hanna, G. & Janhke. 1996. Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives. Tersedia dalam http://www.nap.edu/catalog/ 10126.html.


Hanna, G. and Jahnke, H.N. 1996, ‘Proof and proving’, in A. Bishop, K. Clements, C.

Slameto. 2003. Belajar dan Faktor-faktor yang Mempengaruhinya. Jakarta: Rineka Cipta.

Marzano. 1988. Dimensions of Thinking: A Framework for Curriculum and Instruction. Alexandria, Va: ASCD Moore, R. C. 1994. Making the Transition to Formal Proof, dalam Journal of Educatinal Studies in Mathematics. Springer Netherlands Volume 27(3) Oktober 1994. ISSN 0013-1954.

Slavin.

Movshovitz & Hadar,N. 2001. Institutiona l and Personal Meanings of Mathematical Proof. Tersedia dalam wwwdidactique.imag.fr/preuve/preuveBi blio.html. Perkins,D.N. & Weber,R.J. 1992. Inventive Mind: Creative in Technology. New York: University Press. Recio,

A. M . & Godino, J. D. 2001. Institutional and Personal Meanings of Proof. Educational Studies in Mathematics 48 (1), 83-99. Tersedia dalam http://www.math. ntnu.Edu.t w

Sastradi, T. (2013) Pengertian Prakonsepsi dan Miskonsepsi. http://mediafunia.blogspot.com/201 3/03/pengertian-prakonsepsi-dan miskonsepsi.html. Selden, A. & Selden, J. 2002. Validation of Proofs Written as Texts: Can Undergraduates Tell whether an Argument Proves a Theorem? Journal for research in Mathematics Education, 38 (1), 4-36. Tersedia dalam http://www.math.ntnu.Edu.tw .

1997. Educational Psycology Theory and Practice. Five Edition. Boston: Allin and Bacon.

Sumarmo, U. 2005. Pengembangan Berpikir Matematika Tingkat Tinggi Siswa SMP dan SMU serta Mahasiswa S1 Melalui Berbagai Pendekatan Pembelajaran. Laporan Hibah Pascasarjana Tahun Ketiga. UPI Bandung: Tidak diterbitkan. Sumarmo, U & Hendriana, H. 2014. Penilaian Pembelajaran Matematika. Bandung: Refika Aditama. Tall,

D. 1991. The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. In D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking (pp. 3-23). Kluwer: The Netherlands.

Weber,

K. 2001. Student Difficulty in Constructing Proof: The Need for Strategies Knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48 (1) 101119. Tersedia dalam http, wwwmath, ntnu. Edu.tw.

ANALISIS PROBLEMATIKA PERKULIAHAN ANALISIS REAL

Recommend Documents