BOGEN EN BRUGGEN ♥ De methode om openingen te overbruggen met een platte balk werd vanaf de vroegste geschiedenis gebruikt . De horizontale balk wordt ondersteund door muren of zuilen . De krachten werken zoals je op de tekening ziet verticaal naar beneden .
Voor grote overspanningen was dit echter niet geschikt omdat zware belasting van de draagbalk deze zou dun buigen en tenslotte breken zodat deze balk dan zeer zwaar zou moeten zijn . ♥ In de tempel van Apollo in Delphi zien we dit opgelost door 2 schuingeplaatste balken . De drukkrachten worden nu schuin afgevoerd via de balken . Dit vraagt versterking van de zijkanten .
♥ Een verdere evolutie was het aanbrengen van een sluitsteen en tenslotte de ronde boog .
Deze bakstenen halfronde boog in Susa is een van de eerste voorbeelden in de geschiedenis . (1300 v. C . )
♥ Een beroemd voorbeeld van halfcirkelvormige boogconstructie zien we bij de beroemde aquaduct van de Pont du Gard nabij Nimes .
Het is een van de imposantste overgebleven voorbeelden van de Romeinse bouwkunst, onderdeel van een enorme onderneming om vers water uit de heuvels - over de rivier de Gard heen - naar de Romeinse stad Narbo (Nimes) te brengen. Compositorisch is het bouwwerk onder te verdelen in drie gestapelde lagen met ieder een reeks bogen (de bovenste reeks kleine bogen staat in een verhouding van 3 : 1 ten opzichte van de twee onderste lagen en in een verhouding 4 :1 tot de grootste boog over de Gard). Hoewel dit in essentie een waterbouwkundig werk is, ontbreekt het in geen historisch overzicht van architectuur, vergelijkbaar met bijvoorbeeld het Colloseum in Rome. Het bouwwerk was een verplicht onderdeel van de ‘tour’ die de compagnons (gezellen) vroeger tijdens hun leertijd door Frankrijk maakten, waarbij ze hun kenteken in de stenen graveerden . ♥ Hier zien we hoe zo’n boog kon gemaakt worden :
♥ Door zo’n boog een verschuiving te laten ondergaan bekomen we een tongewelf .De boog kon later ook een ellips , parabool , kettinglijn , spitsboog … zijn .
♥ Een paraboolvorm in Ctesiphon, ca. 30 km ten zuiden van Bagdad, het huidige AlMadain : na de val van Seleucia, de toenmalige hoofdstad van Mesopotamië, installeerden de Parthen hier de nieuwe dynastie der Sassaniden (224-651). Bij het enige gebouw dat nog gedeeltelijk overeind staat, een paleis, springt een parabolisch gevormd tongewelf onmiddellijk in het oog. Uitsluitend met bakstenen gebouwd , overspant dit technische hoogstandje een meer dan 25 meter brede ruimte, nu reeds meer dan 1700 jaar lang! De paraboolvorm, uitstekend geschikt wegens zijn optimaal krachtenverloop, werd daarna vergeten. Tot de Catalaanse architect Antoni Gaudi (1852-1926) deze boogconstructie toepaste in de gevel van het Palacio Guëll (1886-'89) en zo de belangstelling nieuw leven inblies. De kettingboog, ook wel sassanidische boog genoemd, volgt als het ware de lijn die gevormd wordt door een ketting op te hangen tussen twee even hoge punten. Dit benadert sterk de kromming van een parabool, de bekende kegelsnede. (zie verder ) ♥ De middeleeuwse bouwers gebruikten uitsluitend stenen en bakstenen voor het bouwen van kathedralen . Ze gebruikten hierbij geen ingewikkelde berekeningen maar steunend op
ervaring ontwikkelden ze stabiele meetkundige vormen voor hun bogen en gewelven die weerstonden aan aardbevingen en bombardementen . ♥ Een bakstenen muur weerstaat perfect aan verticale drukkrachten maar veel minder aan zijdelingse krachten . De tekeningen illustreren dit .
♥ Een ketting heeft daarentegen een grote weerstand aan spankrachten en geen enkele weerstand aan zijdelingse krachten . Een ketting wil alleen maar spankrachten .
♥ Galilei en later in 1675 de Engelsman Hooke waren de eersten die wiskundig onderzochten wat een boog of gewelf stabiel maakt . Hooke redeneerde als volgt : Hang een ketting aan 2 punten op . Het gaat in een vorm hangen waarin pure spankrachten de zwaartekracht compenseren . De hangende ketting ( in stijf gemaakte vorm bijvoorbeeld d.m.v. bakstenen ) draai je nu ondersteboven . Je krijgt een boog met pure drukkrachten en dus zéér stabiel .
♥ De kettinglijn is de naam voor de kromme gevormd door vrij hangen van een ketting . Ondersteboven gekeerd is het dus een zeer stabiele en zelfdragende boog . De kromme werd voor het eerst bestudeerd door Leibniz , Jean Bernoulli en Huygens in 1691 . Huygens gaf er de naam catenaria aan . Engels : catenary , funicular curve ; Frans : chainette ; Duits : Kettenlinie . Hieronder een aantal van die kettinglijnen :
De beroemde Gateway Arch in St Louis , Missouri .
De kettinglijn is ook de vorm aangenomen door een zeil dat vastgemaakt wordt aan 2 horizontale staven en waarop de wind loodrecht blaast .
♥ Een brok Fysica :
We leggen de X-as en de Y-as zo dat de Y-as de richting heeft van de zwaartekracht maar tegengestelde zin en dat de Y-as door het laagste punt gaat van de kromme . Beschouw nu een boog met lengte s met beginpunt het laagste punt van de kromme. De spankrachten zullen zoals we weten uit het voorgaande werken volgens de raaklijn . De spankracht in het laagste punt noemen we T0 De spankracht in het eindpunt noemen we T , deze hangt af van s . Het gewicht per lengte-eenheid van de draad noemen we w , zodat het gewicht van de beschouwde boog w.s is . Vermits de draad in evenwicht is , is de som van de drie krachten T , T0 en het gewicht : 0. De verticale componenten moeten dus ook 0 zijn , dus als we de hoek die T maakt met de X-as φ noemen dan is : T . sin φ = w.s De horizontale componenten moeten samen ook 0 zijn zodat : T . cos φ = T0
w.s Door deling van de 2 gelijkheden volgt hier dan uit : tg φ =
T
0
w.s Volgens de Analyse weten we dan dat y’ =
T
0
Leiden we deze uitdrukking af dan volgt er nu :
w. ds y’’ = T 0 dx
(w en T0 zijn constanten)
Bekijken we nu een elementaire boog ds dan volgt door toepassing van de stelling van Pythagoras ( het boogje kan je als rechtlijnig beschouwen ) : ds = dx 2 + dy 2
en dus ook :
ds dx
= 1 + y' 2
We komen aldus tot de volgende zogenaamde differentiaalvergelijking : y' ' =
w T0
1 + y' 2
OPDRACHT : controleer door substitutie in de differentiaalvergelijking dat de oplossing is :
y=
Merk op dat voor x = 0 y0 = T0 / w .
T0 w.x ch ( ) w T0
T0 =a Stellen we w dan wordt de vergelijking van de kromme dus van de vorm : y = a ch
x a
dus een cosinus hyperbolicus !!!
OPDRACHT : Toon het volgende verband tussen spanwijdte 2L en diepte H : H=
T0 w
wL − 1 ch T0
Cartesische vergelijking :
Een parametervoorstelling :
.
Een tweede parametervoorstelling
OPDRACHT : parameter .
.
Controleer beide parametervoorstellingen door eliminatie van de
♥ Als de kettinglijn de natuurlijke vorm is die een draad aanneemt onder invloed van zijn eigen gewicht , dan onderzoeken we nu wat er gebeurt als we aan de draad gewicht hangen . Dit bijkomende gewicht beschouwen we horizontaal en homogeen van gewicht . Denk aan een hangbrug :
We kunnen dezelfde redenering volgen als bij de kettinglijn . Het gewicht van de draad wordt nu verwaarloosd t.o.v. het gewicht dat aan de draad hangt . Het gewicht dat een boog tussen [0 , x ] moet dragen is evenredig met de lengte x . We kunnen dit gewicht dus voorstellen als C.x met C een constante .
Dit leidt tot : T . sin φ = C.x T . cos φ = T0 C x Waaruit : y’ = tg φ = T0 y=
OPDRACHT : Controleer dat differentiaalvergelijking .
C 2 x + y0 2T0 de oplossing is van deze
OPDRACHT : Bewijs het volgende verband tussen de spanwijdte 2L en de spandiepte H . C L2 H= 2T0
♥ Een kettinglijn kan goed benaderd worden door een parabool zoals we weten uit de reeksontwikkeling van ch x . OPDRACHT : Geef de reeksontwikkeling van ch x .
Bekijk ook de volgende kettinglijnen en parabolen .
Voor eenzelfde lengte zijn de parabolen puntiger .
♥ We hebben nu 2 situaties bekeken : een draad die hangt onder zijn eigen gewicht , en een die een uniform horizontaal gewicht draagt . Ondersteboven dus : een boog die enkel zijn eigen gewicht draagt en een boog die een uniforme horizontale last draagt zoals de volgende brug in paraboolvorm .
Als we echter zoals in kathedralen ook rekening moeten houden met de opvullende stenen boven de bogen wordt de wiskundige behandeling zeer lastig en moet de computer overnemen Gaudi deed het echter zonder wiskunde . Om het gewicht van de belasting te simuleren maakte hij gewichtsberekeningen en hing aan de draden gewichtjes . Gaudi experimenteerde 10 jaar lang aan één model met aan het plafond hangende kettinkjes die onder hun eigen gewicht “ parabolische “ vormen aannamen . Keerde je
alles om dan kreeg je een stabiele en sterke constructie waarin alleen drukkrachten optraden . Zijn modellen blijken vaak beter te werken dan de hedendaagse computerberekeningen ! ♥ Bovendien plaatste Gaudi de zuilen in de richting van de werklijnen van de neerwaartse krachten en niet verticaal zoals tot dan toe altijd gedaan werd . Viollet-le-Duc apprecieerde de gotische architectuur als de meest effectieve manier om kathedralen te bouwen : grote , hoge en lichtrijke gebouwen . Gaudi ging nog een stap verder en maakte het gebruik van luchtbogen , steunberen en verzwarende spitsen om de zijwaartse druk op te vangen overbodig .
