Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % 60-80 81-90 91-100 101-110 111-120 121-140 141-160 161-200
Dolgozók száma 30 70 90 100 80 60 40 30
a) Határozza meg az átlagos teljesítmény % értékét és az átlag körüli szórás nagyságát! b) Számítsa ki a szórási együtthatót! c) Ábrázolja a tapasztalati sőrőségfüggvényt és a tapasztalati eloszlásfüggvényt! 2. Automata gép zöldbabot tölt tasakokba. Mintavétel során az alábbi értékeket kapták a tömegre (g): 478, 503, 508, 487, 500, 513, 513, 504, 492, 515, 500, 486, 497, 509, 499, 487, 500, 516, 516, 500, 500, 492, 497, 510, 508, 495, 509, 498, 500, 498. a) Határozza meg a minta mediánját, a móduszt és a minta terjedelmét! b) Számítsa ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórást! c) Határozza meg a szórási együtthatót és a standard hibát! d) Adjon megbízhatósági intervallumot a várható értékre 99%-os valószínőségi szinten! 3. Egy üzemben elıírt átmérıjő alkatrészeket gyártanak. Az egy hónap alatt legyártott több ezres tételbıl 160 elemő mintát vettek. Az átmérıre vonatkozó adatokat osztályokba sorolva a következı gyakoriságokat kapták: Átmérı (mm) 12,325-12,355 12,355-12,385 12,385-12,415 12,415-12,445 12.445-12,475 12,475-12,505 12,505-12,535 12,535-12,565 12,565-12,595 12,595-12,625 12,625-12,655 12,655-12,685 12,685-12,715
Gyakoriság 2 4 4 10 16 22 44 26 12 8 6 4 2 48
Ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt és a tapasztalati sőrőségfüggvényt! 4. Palackozó automata gép által az üvegekbe töltött üdítıital térfogatát mérték 50 elemő minta alapján. A mintaátlag 494 cm3 volt. Hosszabb idın át végzett megfigyelések azt mutatták, hogy a gép 9 cm3-es szórással dolgozik. Feltételezve, hogy az üvegekbe töltött ital mennyisége normális eloszlást követ, adja meg a konfidenciaintervallumot 90%-os valószínőségi szinten a palackokba töltött italmennyiség várható értékére. 5. Egy forgalmas útkeresztezıdésnél félórán át percenként feljegyezték az egyik irányban áthaladó gépkocsik számát. A megfigyelt adatok: 10, 20, 13, 18, 12, 23, 26, 21, 25, 21, 14, 15, 22, 24, 18, 16, 17, 18, 20, 23, 27, 28, 20, 25, 19, 23, 23, 30, 28, 17 a) Számítsa ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórást! A szórás hány százaléka az átlagnak? b) Adja meg a konfidenciaintervallumot a várható értékre 99%-os valószínőségi szinten! 6. A dobozos margarin névleges tömege 250 g. Ellenırzéskor 60 doboz tömegét mérték, és a következı adatokat kapták: 248, 250, 240, 246, 251, 243, 247, 244, 248, 256, 253, 251, 250, 258, 248, 249, 249, 251, 253, 246, 253, 245, 242, 250, 244, 248, 246, 254, 245, 252, 250, 251, 249, 255, 248, 252, 255, 250, 258, 243, 254, 258, 259, 250, 251, 242, 238, 248, 250, 252. a) Határozza meg a minta mediánját és a mintaátlagot! b) Készítse el a tapasztalati sőrőségfüggvényt! 7. Egy fonal szakítószilárdságának átlaga 20 mérésbıl 35 N. Szabványelıírás alapján a szórás nem lehet több, mint 3,2 N. a) 99%-os valószínőségi szinten milyen konfidenciaintervallumba esik a várható érték? b) Hány mérést kell végezni, ha a szabvány a konfidenciaintervallum félszélességére legfeljebb 2 N-t enged meg? 8. Automata töltıgép elıírt 1 kg tömegő gyümölcsöt tölt konzervdobozokba. 20 esetben mérték meg a gyümölcs tömegét és az elıírt tömegtıl való eltéréseket osztályokba sorolták: 1 kg Eltérés a szabványtól 100 (-4;-3] (-3;-2] (-2;-1]
Gyakoriság 1 2 4
49
(-1;0] (0;1] (1;2] (2;3]
8 5 3 1
a) Készítse el a tapasztalati sőrőségfüggvényt és a tapasztalati eloszlásfüggvényt! b) Számítsa ki a minta átlagát! c) 95%-os valószínőségi szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az átlag eltérése a 0 várható értékétıl csak véletlen? 9. Egy adott típusú személygépkocsi átlagos fogyasztása a gyártó szerint 8,5 liter/100km. Húsz mérést végezve az átlagos fogyasztásra 9 liter/100km, a szórásra 2 liter/100km értéket kaptunk. Elfogadható-e a gyári adat 99%-os valószínőségi szinten? 10. Egy csomag liszt névleges tömege 1 kg. Normális eloszlást feltételezve ellenırizni kívánták, hogy a csomagok átlagos tömege megfelel-e az elıírt értéknek. Véletlenszerően kiválasztott 30 db csomag tömegét megmérve az átlagérték 0,96 kg; a korrigált tapasztalati szórás 8 g volt. a) 95%-os valószínőségi szinten elfogadható-e az az állítás, hogy egy csomag liszt tömegének várható értéke 1 kg? b) Vizsgálja meg ugyanezt a hipotézist 99%-os valószínőségi szinten is! 11. Kétféle tápszert alkalmazva vizsgálták az állatok tömeggyarapodását. Az elsı esetben 26 elemő mintánál x1 = 61 és (s1∗)2 = 19 ; a második esetben 21 elemő mintánál x 2 = 64,5 és (s2∗)2 = 22 értéket kaptak. 95%-os valószínőségi szinten véletlen-e a két szórás eltérése, illetve a két átlag eltérése? 12. Töltıgépet magasabb értékre állítva - feltételezve, hogy a szórás nem változik - , ellenırizni kívánjuk, hogy a várható érték valóban növekedett. A beavatkozás elıtt és után mintát véve az átlagra és a szórásra az alábbi eredményeket kapták: n 1 = 20 x1 = 488 s1∗ = 4,5 n 2 = 20 x 2 = 494 s∗2 = 3,8 . Döntsük el, hogy 95%-os valószínőségi szinten a várható érték növekedése szignifikánsnak minısíthetı-e? 13. Két üzemben ugyanazt a fajta mosóport gyártják. A névleges tömeg 500 g. A két üzemrész termékeibıl 36-36 elemő mintánk van. Az elsı minta tapasztalati szórása l2 g, a másodiké 26 g. Az egyes üzemrészekben elıállított termékek tömege két, független, normális eloszlású valószínőségi változónak tekinthetı. Welch próbával kívánjuk ellenırizni azt a feltevést, hogy a két üzemrészbıl származó mosóporok tömegének várható értéke megegyezik. 95%-os valószínőségi szinten a két minta átlagának legfeljebb hány grammal kell eltérnie egymástól ahhoz, hogy a feltevést elfogadjuk?
50
14. Az alábbi két mintáról szórásaik és átlagaik alapján állapítsuk meg, hogy szignifikánsan különböznek-e? (p=0,05) I. Gyakoriság (fi) 1 2 4 3 2 Tömeg (x1) 4 6 9 10 13 II. Gyakoriság (fi) Tömeg(x2)
2 4
4 5
3 6
3 8
2 10
1 12
15. Búzaállományból 300 elemő mintát vettek, és a kalászhosszat mérve a következı adatokat kapták: Kalászhossz (cm) Gyakoriság xi-1-xi fi 3,5-4,5 4 4,5-5,5 10 5,5-6,5 23 6,5-7,5 42 7,5-8,5 81 8,5-9,5 61 9,5-10,5 43 10,5-11,5 25 11,5-12,5 11 2 χ próbával vizsgálja meg 95%-os valószínőségi szinten azt a feltevést, hogy az alapsokaság normális eloszlású! 16. Egy városban adott idıpontban 240 parkolóhelyen végeztek felmérést a parkoló helyeken található gépkocsik számára nézve: Parkolóhely Gépkocsik száma xi-1-xi fi 0-10 11 10-20 22 20-30 46 30-40 85 40-50 43 50-60 20 60-70 13 95%-os valószínőségi szinten igaz-e, hogy normális eloszlású sokaságból származik a minta? 17. Egy textilüzemben a korábbi tapasztalok szerint a fonalszakadások száma Poisson 51
eloszlású λ=2 paraméterrel. Az alábbi adatok alapján vizsgáljuk meg, hogy igaz-e az állítás 95%-os valószínőségi szinten! Fonalszakadások száma xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ≥9
Gyakoriság fi 29 53 50 37 19 7 3 1 1 0
18. Szalámi zsírtartalmának változását kísérték figyelemmel az érlelés idıtartama alatt. Vizsgálja meg az összefüggést a tárolási idı és a zsírtartalom között! a) Számítsa ki a korrelációs együttható értékét! b) Számítsa ki a regressziós függvény paramétereit! Tárolási idı (hét) x 1 2 3 4 5 6 8 10 11 12
Zsírtartalom % y 11 13 13,5 14 14 15 15,5 17 18 16
19. Egy vizsgálat során 15 állat szérum - koleszterolszintjét (y) és az artériafal kalciumtartalmát (x) mérték. Az alábbi eredmények alapján számítsa ki a korrelációs együttható értékét! x (mg/100ml) 42
59
58
52
24
24
40
63
57
36
24
40
26
60
42
y(mg/100g 230 286 290 304 238 240 266 290 288 265 238 258 253 285 270 szárazsúly) Ha erıs lineáris korreláció van, adja meg a becsült regressziós függvényt! 20. A szántás mélysége és a termésátlag kapcsolatát vizsgálva az alábbi eredményt kaptuk: 52
Szántás mélysége (cm) xi 7 8 9 10 11 12 13
Termésátlag (t/ha) yi 3,5 3,7 3,9 4,2 4,3 4,5 4,7
a) Ábrázolja az összetartozó értékeket korrelációs diagramon! b) Határozza meg a regressziós függvény paramétereit!
53
