05/03/2016
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22.
Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük (jelölés: ξ, η, x). (pl. x = {1,2,3,4,5,6}) Eloszlási függvényük alapján ( •
=
<
)
Diszkrét valószínűségi változó – A lehetséges értékek száma véges, megszámlálható (pl. kockadobás eredménye, újszülöttek neme) – Eloszlási függvényük diszkrét értékeket vehet fel (lépcsős eloszlási függgvény) – Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, Hipergeometrikus eloszlás, Polinomiális eloszlás – A diszkrét valószínüségi változókat számoljuk
•
Folytonos valószínűségi változó – A lehetséges értékek száma végtelen (bármely érték egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) – Eloszlási függvényük folytonos – Normál eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás – a folytonos valószínüségi változókat mérjük
1
05/03/2016
Binomiális eloszlás • ‚nevezetes’ diszkrét eloszlás • a valószínűségi változók egyedi mintázatot követnek • Binomiális = két nevű, két részből álló, két tagú – két diszkrét kimenetel kapcsolható egy eseményhez: sikerül valami vagy nem? (pl. balra vagy jobbra fordulok egy kereszteződésben, átmegyek a piroson vagy nem, egy gyógyszernek van mellékhatása vagy nincs)
A binomiális eloszlás kialakulásának feltételei • Az elvégzet vizsgálat (kísérlet) száma (n) rögzített (nem a siker vagy a kudarc száma!). • Minden kísérlethez két kimenetel társítható: siker vagy kudarc. • Minden kísérlet esetén a siker valószínűsége azonos (a siker és a kudarc valószínűsége nem kell, hogy azonos legyen). • Az elvégzett kísérletek függetlenek egymástól (egy kísérlet kimenetele nem befolyásolja egy másik alakulását).
2
05/03/2016
Binomiális együttható n! n = k k! n − k ! • kombináció ismétlés nélkül: hányféle úton lehet n próbából k-t kiválasztani (“n alatt a k”) Pl. hányféle képpen tudok 4 kártyát kiválasztani az 52 db-os Francia kártyából? 52! 52! 52 ∗ 51 ∗ 50 ∗ 49 52 = = = = 270725 4 4! 52 − 4 ! 4! 48! 4∗3∗2∗1 2 tablettát kell beadnom a betegnek 5-ből. Hányféle kombináció lehetséges?
Egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége binomiális eloszlás esetén =
(1 − )
=
!
! −
!
(1 − )
P: annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó (x) értéke n alkalommal elvégzett kísérlet esetén k esetben valósul meg x: valószínűségi változó (pl. a fejek számának alakulása pénzérme többszöri feldobása után) : binomiális együttható n: az elvégzett kísérlet teljes száma k: a sikeres esetek száma n-k: a sikertelen esetek száma p: a siker valószínűsége 1-p: a kudarc (komplementer esemény) valószínűsége
3
05/03/2016
Binomiális eloszlás jellemzői =
Átlag (‚várható érték’):
=
Variancia:
(1 − )
=
Szórás:
(1 − )
Példa a binomiális eloszlásra Egy érme 10x feldobva egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy: – 3 írást dobunk =
P x =
!
! −
!
(1 − )
10! 0.5# 1 − 0.5 3! 10 − 3 !
$% #
= 0.12
4
05/03/2016
Példa a binomiális eloszlásra Egy érme 10x feldobva egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy: – Kevesebb mint 3 írást dobunk – Több mint 3 írást dobunk – hogy írást dobunk – nem dobunk írást egyáltalán
x
P(x)
kumulatív P(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.00097 0.01 0.04 0.12 0.21 0.25 0.21 0.12 0.04 0.01 0.00097
0.00 0.01 0.05 0.17 0.38 0.62 0.83 0.95 0.99 1.00 1.00
Példa a binomiális eloszlásra x valószínűségi változó
ELOSZLÁSA
x
P(x)
kumulatív P(x)
0.25
0 1 2 3
0.00097 0.01 0.04 0.12
0.00 0.01 0.05 0.17
0.20
4
0.21
0.38
0.15
5 6
0.25 0.21
0.62 0.83
7 8 9 10
0.12 0.04 0.01 0.00097
0.95 0.99 1.00 1.00
P(X)
0.30
0.10 0.05 0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
5
05/03/2016
Példa a binomiális eloszlásra x valószínűségi változó ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE 1.2
0.95
1
1.0
0.99
1.0
(X < x)
0.83 0.8
x
P(x)
kumulatív P(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.00097 0.01 0.04 0.12 0.21 0.25 0.21 0.12 11 0.04 0.01 0.00097
0.00 0.01 0.05 0.17 0.38 0.62 0.83 0.95 0.99 1.00 1.00
0.62
( )=
0.6
0.38 0.4
0.17
0.2
0
0
0.01
0
1
2
0.05
0 3
4
5
6
7
8
x
9
10
12
Kísérlet 2 Egy orvosnak 1 év alatt a kezelt 2080 betegből 728-at sikerült meggyógyítania. Mi a valószínűsége annak, hogy a következő héten: – Nem gyógyít meg egy beteget sem. – Pontosan 4 beteget fog meggyógyítani. – Kevesebb mint 4 beteget fog meggyógyítani. – Több mint 4 beteget fog meggyógyítani.
6
05/03/2016
Poisson eloszlás Simeon Denis Poisson (19 századi ökológus) • ‚nevezetes’ diszkrét eloszlás • a valószínűségi változók egyedi mintázatot követnek • egy modell arra, hogy megtaláljuk egy diszkrét valószínűségi változó kialakulásának valószínűségét egy perióduson (szakasz, intervallum) belül (időben vagy térben).
A Poisson eloszlás feltételei • egy esemény előfordulása megszámlálható egy bizonyos időbeli vagy térbeli időszakon belül. – x felvehet bármilyen értéket (megszámlálhatóan) végtelen között.
0
és
a
• Az események függetlenek egymástól. • Egy időben csak egy esemény valósulhat meg.
7
05/03/2016
Egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége Poisson eloszlás esetén & λ λ' = ! P: egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége x: valószínűségi változó, a kialakuló események száma e: a természetes alapú logaritmus alapszáma (2.718…) λ: az esemény kialakulásának átlagos gyakorisága
A Poisson eloszlás jellemzői átlag: variancia: szórás:
= λ =λ = λ
8
05/03/2016
Példa a Poisson eloszlásra Egy gyógyszertárban 5 vásárlót szolgálnak ki óránként (λ) Mi a valószínűsége annak, hogy x személyt szolgálnak ki a következő órában? & λ λ' = !
Példa a Poisson eloszlásra Egy gyógyszertárban 5 vásárlót szolgálnak ki óránként (λ) Mi a valószínűsége annak, hogy x személyt szolgálnak ki a következő órában? x 0 1 2
P(x) 0.0067 0.0337 0.0842
Kumulatív P(x) 0.0067 0.0404 0.1247
3 4
0.1404 0.1755
0.2650 0.4405
5 6 7 8 9 10 11
0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181 0.0082
0.6160 0.7622 0.8666 0.9319 0.9682 0.9863 0.9945
12 13 14 15 16
0.0034 0.0013 0.0005 0.0002 0.0000
0.9980 0.9993 0.9998 0.9999 1.0000
9
05/03/2016
Példa a Poisson eloszlásra X valószínűségi változó ELOSZLÁSA 0.20 0.18 0.16 0.14
P(x)
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
Példa a Poisson eloszlásra X valószínűségi változó ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE 1.2
0.95
1
(X < x)
0.83 0.8 0.62
( )=
0.6
0.38
0.4
0.17
0.2
0
0.01
0.05
0 0
2
4
6
x
1.0
0.99
8
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1.0
P(x) 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181 0.0082 0.0034 10 0.0013 0.0005 0.0002 0.0000
Kumulatív P(x) 0.0067 0.0404 0.1247 0.2650 0.4405 0.6160 0.7622 0.8666 0.9319 0.9682 0.9863 0.9945 0.998012 0.9993 0.9998 0.9999 1.0000
10
05/03/2016
Folytonos valószínűségi változó Az eloszlásfüggvény alapján: – A lehetséges értékek száma megszámlálhatatlanul végtelen (bármely érték előfordulhat egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) – eloszlásfüggvényük folytonos Normális eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás ( ) = (( < ) – Ez a függvény minden x értékre megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó (X) x-nél kisebb értéket vesz fel. • A folytonos valószínűségi változó értéke egy bizonyos x pontban 0 (Formálisan minden értéknek végtelenül kicsi a valószínűsége, mely statisztikusan ekvivalens a zéróval.)
Sűrűségfüggvény Folytonos valószínűségi változó esetén a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriválásával álítható elő: )
=*
Folytonos valószínűségi változó esetén az eloszlásfüggvény a sűrűségfüggvény integrálásával álítható elő: '
=+ * -
,
11
05/03/2016
A sűrűségfüggvény jellemzői • *
* ; 8< *
• 8 •
≥ 0, &0 1&2&3 &453í7. , =1
, = (5 ≤
≤ :)
– az [a,b]-beli integrál megadja az X valószínűségi változó [a,b]-be esésének valószínűségét.
Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) • Az eloszlási függvénye folytonos. ( )= ( < ) • A sűrűség függvénye harang alakú. *
=
1
2=
&
$ ' > @ ?
– µ: várható érték, σ: szórás – a görbe alatti terület a valószínűségi megvalósulásának valószínűségével arányos – f(x) nem a valószínűséget jelenti
változó
12
05/03/2016
f(x)
Gauss-eloszlás sűrűségfüggvénye
P(X<x)
Gauss-eloszlás eloszlásfüggvénye
Normális eloszlás: sűrűségfüggvény 0.25
0.2
µ: 0 σ: 2
ϕ(x)
0.15
µ: 3 σ: 2
0.1
µ: 0 σ: 3
0.05
0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x µ: várható érték, σ: szórás
13
05/03/2016
Standard normális eloszlás • Ha µ=0 és σ=1, akkor a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye: A
1
=
&
2=
ϕ(x) 0.45
'@
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4
-3
• Eloszlásfüggvény: Φ
=
1
2=
'
+
-
&
B@
-2
-1
0 x
1
2
3
4
,3
A normális eloszlás standardizálása C=
−
normális eloszlás → standard normális eloszlás
14
05/03/2016
Standard normális eloszlás 0.9 0.8
C=
0.7
−
µ: 6 σ: 0.5
0.6
µ: 0 σ: 1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
C=
7
8
9
10
6.5 − 6 =1 0.5
15
05/03/2016
Z-táblázat
Normális eloszlás
16
05/03/2016
Normális eloszlás
P=0.841-(1-0.841)=0.841-1+0.841=0.682
• Vége!
17
