05/03/2016
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15.
Esemény Egy
kísérlet
vagy
megfigyelés
(vagy
mérés)
lehetséges
eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai. • Elemi esemény: egyelemű részhalmaz. • Összetett esemény: többelemű részhalmaz.
1
05/03/2016
Egy kísérlet eredménye (16 dobás dobókockával).
Eseménytér: Egy kísérlet lehetséges eredményeinek összessége (halmaza).
2
05/03/2016
Elemi esemény: egyelemű részhalmaz.
Összetett esemény: többelemű részhalmaz.
3
05/03/2016
Populáció és minta • Populáció (alapsokaság, sokaság): A vizsgálat tárgyát képező elemek összessége, amelynek tulajdonságaira egy részük (minta) vizsgálata alapján következtetünk. • Minta: az alapsokaságból megvizsgálásra kiválasztott rész. – mintavétel: a sokaságból véletlenszerűen kiválasztunk bizonyos számú elemet – a kiválasztott elemek jellemzői: • független kísérlet vagy megfigyelés eredményei • azonos eloszlású független valószínűségi változóknak tekinthetők
– a minta reprezentatív • minden mintának azonos valószínűsége van
A minta jellemzői •
mintaközép (mintaátlag, számtani közép) ∑ ̅=
• •
medián (sorba rendezett minta középső eleme) mintaterjedelem (a rendezett minta legkisebb és legnagyobb elemének különbsége (R) = − szórásnégyzet (variancia, korrigált tapasztalati szórásnégyzet (n ≤ 10)) ∑ ( − ̅) = −1 standard deviáció (A minta standard deviációja a populáció standard deviációjának torzítatlan becslése!)
•
•
•
∑
− ̅) −1 Az átlag standard hibája (a mintaeloszlás varianciája): az átlag reprodukálhatósága (az alkalmazott mérési módszer megbízhatóságáról informál) =±
(
̅
•
Várható érték
4
05/03/2016
valószínűség • Egy esemény relatív gyakorisága (a kísérlet többszöri ismétlését követően) egy bizonyos érték körül ingadozik, amit az esemény valószínűségének hívunk. • A esemény valószínűsége (P(A): relatív gyakoriság): egy esemény gyakorisága (k) osztva az események teljes számával (n) (arányszám). → P(A)
Kombinatorika (hányféle módon lehet elrendezni objektumokat) n: elemszám
minden elemet kiválasztunk
PERMUTÁCIÓ = !
ismétlés nélküli
ismétléses
,
,…
=
!∗
k darab elemet választunk ki
a sorrend fontos
a sorrend nem fontos
VARIÁCIÓ
KOMBINÁCIÓ
! −
=
! !…∗
,!
!
=
!
=
=
,!
=
!
+
! −
!
−
5
05/03/2016
Permutáció Sorba rendezés lehetőségeinek száma (sorrendbe írt sorozatok száma). • Ismétlés nélküli permutációk száma egy n elemű halmaz esetén: = ! (n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..*1) lap szó betűinek sorrendbe állítása (3! = 6) lap, lpa, pla, pal, apl, alp 1 2 3 4 számok sorrendbe állítása (4! = 24) #$ , .
$# .
,
# $ #.
,
#$ $.
,
$ # &.
,
$# '.
*4
32 lapos magyar kártya megkeverésének hányféle eredménye lehet? 32! = 2.631308369*1035 •
Ismétléses permutációk száma egy n elemű, k darab azonosnak tekintett elemű komponens ! , ,… = !∗ !…∗ ! (n: összes elem száma; kr: r-edik fajtából való elemek száma; k1+k2+k3+…kr = esetén: n) sas szó betűinek sorrendbe állítása (3!/2! *1!= 6/2*1 = 3) sas, ssa, sas, ssa, ass, ass. baba szó betűinek sorrendbe állítása (4!/2!*2! = 24/4 = 6) (()) ()() ())( ))(( )()( )(() , , , , , . . #. $. &. '.
2 csomag magyar kártya megkeverésének hányféle eredménye lehet? (2*32)!/2! 32 = 2.954316609*1079
Variáció n elem közül k darab kiválasztása. Sorrend fontos! • ismétlés nélküli variáció: * =
! ( + )!
(n: az összes eltérő elem száma, k: kiválasztott elemek
száma). lap szóból kétbetűs egységek kirakása (3!/(3-2)! = 6) pl, pa, lp, la, ap, al
• ismétléses variáció: * , = (n: az összes eltérő elem száma (rendelkezésre álló elemek száma), k: kiválasztott elemek száma (kitöltendő elemek száma)) A magyar rendszámban lévő három betű variálhatóságának számossága (263=17576) TOTÓ szelvény kitöltésének számossága 1,2,x variálása 14 sorban (314=4782969)
6
05/03/2016
kombináció •
Ismétlés nélküli kombináció: n különböző elemből álló halmazból képezhető k elemű részhalmazok számossága (sorrend nem fontos!)
, =
fontos!
=
! !( + )!
(n: az összes eltérő elem száma, k: kiválasztott elemek száma). Sorrend nem
32 kártyalapból négyes leosztással hány kombináció lehetséges (32!/(4!(32-4)!)=35960 51 kártyalapból kettes leosztással hány kombináció lehetséges (51!/(2!(51-2)!)=1275 5-ös lottó 5 találatos szelvényeinek lehetséges száma (90!/(5!(90-5)!)=43949268 •
Ismétléses kombináció: Az n különböző elemet tartalmazó halmaz összes különböző k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma:
+-−1 -
A valószínűség jellemzői 0 ≤P A ≤1 P Ω = 1 (a biztos esemény valószínűsége) P ∅ = 0 (a lehetetlen esemény valószínűsége) Egymást nem kizáró (együtt előfordulható) események A és B együttes bekövetkezése megtörténhet P A+B =P A +P B −P A∗B • Egymást kizáró (együtt elő nem forduló) események A és B együttes bekövetkezése nem történik meg: P(A*B)=0 P A+B =P A +P B 4 = 1 − P(A) (P A 4 : komplementer esemény) • P A
• • • •
7
05/03/2016
Egymást kizáró események A és B esemény együtt nem valósulhat meg: P A+B =P A +P B pl. kockadobás eredménye 2 vagy 4 egy kocka használata esetén. P(x=1): 1/6 P(x=2): 1/6 P(x=3): 1/6 P(x=4): 1/6 P(x=5): 1/6 P(x=6): 1/6 P(x=2 vagy 4) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 33.3%
Egymást nem kizáró események A és B esemény együtt is megvalósulhat : P A+B =P A +P B −P A∗B pl. kockadobás eredménye 2 vagy 4 két kocka használata esetén.
k = 20, n = 36 P(x=2 vagy 4) = 20/36 = 55.5% P(x=2 vagy 4) = 11/36 + 11/36 – 2/36 = 20/36 = 55.5%
8
05/03/2016
Újabb kockadobás A esemény: a dobott pontszám páratlan B esemény a dobott pontszám 4-nél nagyobb Kérdések: P(A), P(B), P(A*B), P(A+B) • eseménytér: {1; 2; 3; 4; 5; 6}, az összes esetek száma: 6 • A: {1; 3; 5} • B: {5; 6} • A*B: {5} (A és B esemény együttes (egyszerre történő) megvalósulása) • A+B: {1; 3; 5; 6} (A vagy B esemény megvalósulása) • • • • •
P(A) = 3/6 = 0.5 P(B) = 2/6 = 0.33 P(A*B) = 1/6 = 0.166 P(A+B) = 4/6 = 0.66 P(A+B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6
Valószínűségi változó • Egy statisztikai mennyiség (egy kísérlet, esemény kimenetele, melyet a véletlen befolyásol) mely tetszőleges értéket vehet fel (diszkrét vagy folytonos) és nem becsülhető meg biztosan csak valószínűsíthető. • Ha egy véletlen eseményhez (az eseményt befolyásoló összes tényezőt nem ismerjük) számszerű értéket rendelünk, akkor egy véletlentől függő változót, valószínűségi változót kapunk. • Elemi eseményekhez rendelt számérték. • Véletlentől függő számértékeket felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük (jelölés: ξ, η, x). pl. vérnyomás, vércukor, magasság, kockadobás eredménye, levegő hőmérséklete.
9
05/03/2016
Valószínűségi változó típusai Eloszlási függvényük alapján • Diszkrét valószínűségi változó – A lehetséges értékek száma véges, megszámlálható (pl. kockadobás eredménye, újszülöttek neme) – Eloszlási függvényük diszkrét értékeket vehet fel (lépcsős eloszlási függgvény) Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, Hipergeometrikus eloszlás, Polinomiális eloszlás • Folytonos valószínűségi változó – A lehetséges értékek száma végtelen (bármely érték egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) – Eloszlási függvényük folytonos Normál eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás
Eloszlási függvény • Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényén a következő függvényt értjük: B( ) = C(- < )
• Ez a függvény minden x értékre megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó (-) x-nél kisebb értéket vesz fel. • Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépcsős függvény.
10
05/03/2016
Eloszlási függvény jellemzői • monoton növekvő: B
≥B
•
lim B
•
lim B
, FG
>
=0
→+K
=1
→K
• minden helyen balról folytonos: lim B
→ L +M
=B
M
Eloszlási függvény diszkrét valószínűségi változó esetén Két kocka dobása eredményének összege. (N)
(N)
0
0
OPOQRSí 0
1
0
0
2
1/36
1/36
3
2/36
3/36
4
3/36
6/36
5
4/36
10/36
6
5/36
15/36
7
6/36
21/36
8
5/36
26/36
9
4/36
30/36
10
3/36
33/36
11
2/36
35/36
12
1/36
36/36
(N)
11
05/03/2016
Diszkrét valószínűségi változó eloszlása • X eloszlás: C(k = )
0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye B B(
)
= C(- < )
1.10 1.00
35/36 33/36
0.90
36/36
30/36
0.80
26/36
0.70 0.60
21/36
0.50
15/36
0.40 0.30
10/36
0.20
6/36 3/36
0.10 0.00
1/36 0/36
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
12
05/03/2016
Várható érték • Egy valós szám mely körül egy kísérlet várható eredményeinek átlaga ingadozik (E(X), M(x), M, µ, mx, m). • diszkrét valószínűségi változó várható értéke – súlyozott átlaga a valószínűségi változó várható értékeinek (x). – Mx = ∑ U • folytonos valószínűségi változó várható értéke Y∞ – Mx = V+∞ W X
Kockadobás várható értéke • Mx = ∑
U
N!
Z!
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Mx= 1∗ ' + 2∗ ' + 3∗ ' + 4∗ ' + 5∗ ' + 6∗ ' = 3.5
13
05/03/2016
• vége
14
