Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

2012. február

Tartalomjegyzék I.

Feladatok

5

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) . . . . . . . . . 1.1. A definíciók egyszerű következményei . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek . . . 1.2.1. Alapintegrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Alapintegrálokra vezető típusok . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Integrálás ügyesen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 1.2.4. Parciális integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Integrálás helyettesítéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Racionális függvények integrálása . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2. A határozott integrál . . . . . . . . . 2.1. A határozott integrál kiszámítása . 2.2. A határozott integrál alkalmazásai . 2.3. Improprius integrálok . . . . . . . .

. . . .

. 22 . . 22 . . 22 . . 25

II.

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

Megoldások

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) . . . . . . 1.1. A definíciók egyszerű következményei . . . . . . . . . . . . 1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 1.2.1. Alapintegrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Alapintegrálokra vezető típusok . . . . . . . . . . . 1.2.3. Integrálás ügyesen” . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 1.2.4. Parciális integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Integrálás helyettesítéssel . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Racionális függvények integrálása . . . . . . . . . . 1.2.7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 8 8 9 11 12 14 14 19

31 . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

33 33 35 35 35 39 41 44 46

. . . . . . 50

Tartalomjegyzék

3

2. A határozott integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1. A határozott integrál kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2. A határozott integrál alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4

Tartalomjegyzék

I. rész Feladatok

5

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

7

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) Jelölések, elnevezések Ebben a jegyzetben végig az R számhalmaz valamely I nyílt intervallumán értelmezett, valós értékű függvényeket fogunk csak tekinteni. A f : I → R függvénynek F : I → R egy primitív függvénye, ha F deriválható az I intervallumon és F 0 (x) = f (x) (x ∈ I). Nyilvánvaló, hogy ha F a f függvénynek egy primitív függvénye, akkor minden c valós esetén az F (x) + c (x ∈ I) is primitív függvénye f -nek. Mivel intervallumon értelmezett függvényekről van szó, ezért az állítás megfordítása is igaz: f primitív függvényei csak konstansban különböznek egymástól. (Ez az állítás nem igaz, ha f értelmezési tartománya nem intervallum.) Az f : I → R függvény összes primitív függvényeinek a halmazát f határozatlan integráljának nevezzük és az Z Z f vagy az f (x) dx szimbólumok valamelyikével jelöljük. A fentiek alapján tehát Z Z f = f (x) dx = {F + c | F egy primitív függvénye f -nek, c ∈ R} . A továbbiakban a következő egyszerűsített jelölést fogjuk használni: Z f (x) dx = F (x) + c (x ∈ I, c ∈ R). Ha f -nek F egy primitív függvénye, akkor bármely rögzített x0 ∈ I esetén az F (x) − F (x0 ) (x ∈ I) függvény f -nek egy, az x0 pontban eltűnő primitív függvénye. Nyilvánvaló, hogy f -nek legfeljebb egy, az x0 pontban eltűnő primitív függvénye létezik. Ezt így jelöljük: Z Z f x0

f (x) dx.

vagy x0

8

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek

1.1. F1.

F2.

F3.

A definíciók egyszerű következményei

Határozza meg az alábbi függvények összes primitív függvényét:

1 1 (a) f (x) := x ∈ (0, +∞) ; (b) f (x) := x ∈ (−∞, 0) ; x x
1 1 x ∈ R). x ∈ (0, π) ; (d) f (x) := (c) f (x) := 2 1 + x2 sin x Határozza meg az f : I → R függvény x0 ∈ I pontban eltűnő primitív függvényét, ha
; (a) f (x) := cos x x ∈ R, x0 := 3π 4
1 (b) f (x) := √ x ∈ R+ , x0 := 8 . 3 x Keresse meg azt a f függvényt, amelyre 1 (a) f 0 (x) = √ (x ∈ R+ ), f (4) = 1; 2 x 1 (b) f 0 (x) = (x > −1), f (0) = 2; 1+x (c) f 00 (x) = x (x ∈ R), f (0) = −3, f 0 (0) = 2; 1 (d) f 00 (x) = 2 (x ∈ R+ ), f (1) = 0, f 0 (2) = 0; x 00 (e) f (x) = 3ex + 5 sin x (x ∈ R), f (0) = 1, f 0 (0) = 2; (f) f 000 (x) = sin x, (x ∈ R), f (0) = 1, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 1.

1.2.

Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 1.2.1.

F4.

Alapintegrálok

Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: Z Z
√ √
2 (a) 6x − 8x + 3 dx, I := R; (b) x + 3 x dx, I := R+ ; Z q p √ (c) x x x dx, I := R+ ;

Z (d)

(x + 1)2 √ dx, I := R+ ; x

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) Z
5 2x + √ (e) dx, I := (−1, 1); 1 − x2 Z cos2 x − 5 dx, I := (− π2 , π2 ). (f) 1 + cos 2x

1.2.2. •

R

f0 f

9

Alapintegrálokra vezető típusok

alakú integrálok

F5.

Mutassa meg, hogy ha f : I → R pozitív és differenciálható az I intervallumon, akkor Z 0 f (x) dx = ln f (x) + c (x ∈ I). f (x)

F6.

Az előző feladat segítségével számítsa az adott I intervallumokon: Z x dx, I := R; (a) 2 x +3 Z
(c) tg x dx, I := − π2 , π2 ; Z dx (e) , I := (0, 1); x ln x

•

R

F7.

Z (b)

x2

x−3 dx, I := R; − 6x + 27

e3x dx, I := R; e3x + 5 Z dx (f) , I := (1, +∞). x ln x Z

(d)

f α · f 0 alakú integrálok Tegyük fel, hogy az f : I → R függvény pozitív és differenciálható az I intervallumon és α 6= −1 valós szám. Mutassa meg, hogy Z

F8.

ki az alábbi határozatlan integrálokat

f α (x)f 0 (x) dx =

f α+1 (x) +c α+1

(x ∈ I).

Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: Z Z √ 2 3 2012 (a) x (2x +4) dx, I := R; (b) x2 6x3 + 4 dx, I := R+ ;

10

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z x x 3 (c) e (1 − e ) dx, I := R; (d) sin3 x cos x dx, I := R; Z 5 Z r ln x arsh x + dx, I := R ; (e) (f) dx, I := R+ ; x 1 + x2 Z
4x + 7 5 ; (g) p dx, I := −∞, − 2 4 (2x2 + 7x + 5)5 Z
1 p (h) dx, I := 0, π2 . cos2 x (tg x)3 Z

•

R

F9.

f (ax + b) dx alakú integrálok Legyen I ⊂ R egy intervallum és F : I → R a f : I → R függvénynek egy primitív függvénye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a ∈ R \ {0}, b ∈ R esetén Z F (ax + b) f (ax + b) dx = +c (x ∈ I). a

F10. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: Z Z

√ 3 3 10 1 − 3x dx x < 31 ; (a) (2x − 3) dx x > 2 ; (b) Z Z q   1 1 dx (x ∈ R); (d) dx x > 23 ; (c) 2 2 2 + 3x 2 − 3x Z (e) q   Z 1 q   2 1 √ (f) dx x > . 3 2 √ dx |x| < 23 ; 3x − 2 2 2 − 3x F11. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: Z Z dx dx (x ∈ R); (b) (x ∈ R); (a) 2 2 2x − 12x + 23 3x + 12x + 16 Z dx (c) √ (x ∈ R); 2 3x + 12x + 30 Z √ √
1 dx 1 − 5 < x < 1 + 5 . (d) √ 4 + 2x − x2

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)
R • f g(x) g 0 (x) dx alakú integrálok

11

F12. Az első helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i) a g : I → R függvény deriválható az I intervallumon, (ii) J ⊂ R egy intervallum és Rg ⊂ J, (iii) az f : J → R függvénynek létezik primitív függvénye. Ekkor az f ◦ g · g 0 függvénynek is létezik primitív függvénye és Z



f g(x) g 0 (x) dx = F g(x) + c

(x ∈ J),

ahol F a f egy primitív függvénye. (Ez az állítás speciális esetként tartalmazza az F5., F7. és F9. feladatokat!) F13. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: √ Z Z sh x 2 √ dx, I := R+ ; (a) x sin x dx, I := R; (b) x Z (c) (6x + 2) sin(3x2 + 2x − 1) dx, I := R; Z 1 (d) dx, I := R+ ; 2 x(1 + ln x) Z
1 1 p (e) dx, I := − π2 , π2 ; 2 cos x 1 + tg 2 x Z tg x
e (f) dx, I := − π2 , π2 . 2 cos x

1.2.3.

Integrálás ügyesen” ”

F14. Az integrandus alkalmas” átalakítása után számítsa ki az alábbi határozat” lan integrálokat a megadott I intervallumokon: Z Z 2x + 3 x2 (b) dx, I := (2, +∞); (a) dx, I := R; 2 x−2 x +1 Z Z √ x 3 3 (c) dx, I := R; (d) x 1 + x2 dx, I := R; 4 + x4

12

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z

π π (f) tg 2 x dx, I := − π2 , π2 ; (e) tg x dx, I := − 2 , 2 ; Z Z 2 (g) sin x dx, I := R; (h) cos3 x dx, I := R; Z Z x x (i) sin 3x · cos 7x dx, I := R; (j) cos cos dx, I := R; 2 3 Z Z
1 1 (k) dx, I := (0, π); (l) dx, I := − π2 , π2 ; sin x cos x Z Z (m) sin2 x·cos3 x dx, I := R; (n) sin2 x · cos4 x dx, I := R. Z

1.2.4.

Parciális integrálás

F15. Parciális integrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvények deriválhatók az I intervallumon és f 0 g-nek van primitív függvénye. Ekkor az f g 0 függvénynek is van primitív függvénye és Z

0

Z

f (x)g (x) dx = f (x)g(x) −

f 0 (x)g(x) dx

(x ∈ I).

Ezt a módszert a következő esetek mindegyikében lehet alkalmazni: 1. típus: Ha P (x) tetszőleges algebrai polinom, akkor   αx   e         sin αx   Z   P (x) · cos αx dx; legyen f (x) := P (x).      sh αx        ch αx   2. típus:   sin βx      Z  cos βx  dx; eαx ·  sh βx        ch βx

itt f (x) bármelyik tényező lehet.

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

13

3. típus:   ln αx           arc sin αx          arc cos αx         arc tg αx  Z    arc ctg αx · 1 dx;       ar sh αx          ar ch αx            ar th αx       ar cth αx

itt f (x) valamelyik függvény és g 0 (x) = 1.

Parciális integrálást a fentiektől különböző esetekben is lehet alkalmazni (lásd például az (i) és az (l) feladatokat). F16. A parciális integrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: Z Z 2x (a) xe dx, I := R; (b) x2 sin 3x dx, I := R; Z

Z

x

e sin x dx, I := R;

(c) Z (e)

2

Z

+

2

+

x ln x dx, I := R ;

(j) Z

arc tg 3x dx, I := R;

(g)

x ln x dx, I := R ;

(h)

(l)

Z

+

ln x dx, I := R ; Z

e2x ch 3x dx, I := R;

cos(2x + 1)e3x+2 dx, I := R;

Z (f)

(d)

cos(ln x) dx, I := R+ .

Z (i)

3

x5 ex dx, I := R;

Z (k)

arc sin x dx, I := (−1, 1);

14

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek

1.2.5.

Integrálás helyettesítéssel

F17. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i) I és J nyílt intervallumok, (ii) g : I → J egy bijekció (g-nek tehát van inverze) és g ∈ D(I), (iii) f : J → R és az (f ◦ g) · g 0 függvénynek létezik primitív függvénye az I intervallumon. Ekkor az f függvénynek is létezik primitív függvénye a J intervallumon és Z

Z


f g(t) · g 0 (t) dt

f (x) dx =

t=g −1 (x)

(x ∈ J).

(Ilyenkor azt mondjuk, hogy az x = g(t) helyettesítést alkalmazzuk.) F18. Állítsa elő helyettesítéses integrálással a következő határozatlan integrálokat: Z Z √ √ 1 − x2 dx (x ∈ (−1, 1)); (b) 1 + x2 dx (x ∈ R); (a) Z Z √ √ 2 (c) x − 1 dx (x > 1); (d) x2 − 3x + 3 dx (x ∈ R).

1.2.6.

Racionális függvények integrálása

Racionális függvénynek nevezzük két polinom hányadosát, azaz az R(x) :=

P (x) Q(x)

alakú függvényeket, ahol P és Q algebrai polinomok. • A négy alaptípus integrálása Először azt jegyezzék meg, hogy az alábbi négy típusú racionális függvény primitív függvényét hogyan lehet meghatározni. 1. alaptípus: Z

1 dx (x − α)n


x ∈ (α, +∞) ,

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

15

ahol α ∈ R és n ∈ N adott számok. Ez egy alapintegrál :   Z ha n = 1 ln(x − α) + c, 1 dx = (x − α)−n+1  (x − α)n  + c, ha n = 2, 3, . . .. −n + 1 2. alaptípus: Z

2ax + b dx ax2 + bx + c (x ∈ I, ahol I egy olyan intervallum, amelyen ax2 + bx + c > 0), azaz a számlálóban a nevező deriváltja szerepel ; az integrandus tehát Ennek már tudjuk a primitív függvényét: Z 2ax + b dx = ln(ax2 + bx + c) + C (x ∈ I). ax2 + bx + c 3. alaptípus: Z

Ax + B dx, ax2 + bx + c

f0 f

alakú.

ahol A, B ∈ R, b2 − 4ac < 0 és x ∈ R.

(A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van.) A számláló tehát egy tetszőleges elsőfokú polinom, a nevező pedig olyan másodfokú polinom, aminek nincs valós gyöke. Ezt már nehezebb meghatározni. A mindig alkalmazható eljárást a (d) feladatban mutatjuk be. 4. alaptípus: Z Ax + B dx, 2 (ax + bx + c)n

ahol A, B ∈ R, n = 2, 3, . . . , b2 − 4ac < 0 és x ∈ R.

(A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van.) Ekkor léteznek olyan A1 , B1 , D1 , E1 valós számok, amelyekre Z Z Ax + B A1 x + B1 1 dx = + D dx + E1 . 1 (ax2 + bx + c)n (ax2 + bx + c)n−1 (ax2 + bx + c)n−1 0

0

16

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek

Az integrandus nevezőjében levő kitevőt tehát 1-gyel csökkentettük. A jobb oldal középső tagjára is egy hasonló formula érvényes. Ezt az eljárást folytatva egy olyan összeget kapunk, amelyiknek az egyik tagja Z 1 C dx, 2 ax + bx + c 0

az összes többi tag pedig racionális függvény. F19. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: Z Z 1 1 dx, x > 3; (b) dx, x < 3; (a) x−3 x−3 Z Z x+1 2x + 3 (c) dx, I := R; (d) dx, I := R; x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3 Z Z 1 x+5 (e) dx, I := R; (f) dx, I := R; 2 2 x +x+1 x −x+5 Z 6x (g) dx, I := R. 2 x − 2x + 7 F20. Igazolja, hogy tetszőleges n = 1, 2, . . . esetén Z Z 1 2n − 1 1 x 1 dx = + dx. 2 n+1 2 n (1 + x ) 2n (1 + x ) 2n (1 + x2 )n Határozza meg az f (x) :=

1 (x ∈ R) függvény primitív függvényét. (1 + x2 )3

• Parciális törtekre bontás módszere P (x) racionális függvény primitív függvényének meghatározáTetszőleges R(x) = Q(x) sát az a fontos észrevétel teszi lehetővé, hogy minden ilyen tört egyszerű alakú törtek (az ún. parciális törtek ) összegére bontható. Ennek az eljárásnak az egyes lépései a következők: P (x) 1. lépés: A Q(x) törtet egy polinomnak és egy olyan racionális törtnek az összegeként írjuk fel, amelyben a számláló fokszáma már kisebb, mint a nevező fokszáma:

P (x) P ∗ (x) = T (x) + , Q(x) Q(x)

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

17

ahol T (x) és P ∗ (x) polinomok, de P ∗ (x) fokszáma kisebb, mint Q(x) fokszáma. Ezt sok esetben egyszerű átalakításokkal, az általános esetben pedig polinomosztással végezhetjük el. Például : 2x4 + x2 + 2x + 1 x2 + 1 = 2x + ; x3 + 1 x3 + 1 x3 + 5x2 + 6x + 7 = (az x3 + 5x2 + 6x + 7 = (x + 5)(x2 − 1) + 7x + 12 alapján) x2 − 1 7x + 12 =x+5+ 2 . x −1 P (x) 2. lépés: Itt már feltesszük, hogy a Q(x) törtben a P (x) fokszáma kisebb, mint Q(x) fokszáma. A nevezőben levő Q(x) polinomot (ameddig csak tudjuk) valós együtthatós polinomok szorzatára bontjuk.

Például: Q(x) = x2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4); Q(x) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1); Q(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 ; Q(x) = 2x3 − 7x2 + x + 10 = (x − 2)(x + 1)(2x − 5); Q(x) = 1 − x4 = (1 − x)(1 + x)(1 + x2 ). Figyeljük meg, hogy a felbontásban elsőfokú tényezők, illetve olyan másodfokú tényezők szerepelnek, amelyeknek nincsenek valós gyökei. Általában is bizonyítható, hogy minden Q(x) valós együtthatós polinomot fel lehet írni valós együtthatós első- és másodfokú tényezők szorzataként, ahol a másodfokú tényezőknek már nincsenek valós gyökeik. (Adott Q(x) polinom esetén egy ilyen felbontás meghatározása nem mindig egyszerű feladat!!!) 3. lépés: a parciális törtekre bontás. A nevezőtől függően keressük az egyszerű alakú törteket mégpedig határozatlan” együtthatókkal. ”

18

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Például: 1 A1 A2 = + ; (x − 1)(x − 4) x−1 x−4 x2 + 3 A1 B1 x + C1 = + 2 ; 2 (x − 1)(x + x + 1) x−1 x +x+1 4x2 − 8x A2 A1 B1 x + C1 B2 x + C2 + + 2 = + . 2 2 2 2 (x − 1) (x + 1) x − 1 (x − 1) x2 + 1 (x + 1)2

Itt vegyék észre, hogy az elsőfokú tényezők esetén a számlálóban egy állandót, a másodfokú tényezők esetén pedig a számlálóban egy elsőfokú polinomot kell venni. Általában: Ha a nevezőben szereplő Q(x) polinomban az (x − r) elsőfokú tényező az m-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz A2 Am A1 + + ··· + 2 x − r (x − r) (x − r)m alakú törtek tartoznak. Ha a nevezőben szereplő Q(x) polinomban a (x2 + px + q) másodfokú tényező (ez tehát már egy olyan polinom, aminek nincs valós gyöke, mert a p2 −4q diszkriminánsa negatív) az n-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz B2 x + C2 Bn x + Cn B1 x + C1 + 2 + ··· + 2 2 2 x + px + q (x + px + q) (x + px + q)n alakú törtek tartoznak. P (x) Az R(x) = Q(x) racionális tört az ilyen parciális törtek összege. Az Ai , Bi , Ci együtthatók meghatározására egy természetes” módszer kínál” kozik: a jobb oldalon hozzunk közös nevezőre, majd a számlálót x hatványai szerint rendezzük. Az így adódó tört számlálója egyenlő a bal oldalon levő tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két polinom akkor és csak akkor egyenlő, ha a megfelelő együtthatói megegyeznek. A két oldal számlálójában az együtthatók egyenlőségéből a határozatlan együtthatókra egy egyenletrenszert kapunk. Ennek megoldásai a keresett Ai , Bi , Ci együtthatók.

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

19

F21. Parciális törtekre bontással számítsa ki a következő határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: Z 1 (a) dx, I := (2, 4); (x − 2)(x − 4) Z Z 1 1 (b) dx, I := (−1, 1); (c) dx, I := (1, +∞); 1 − x2 1 − x2 Z Z 3x − 5 11 − x dx, (x > 1); (e) dx, (x > −1); (d) 6x2 + x − 2 x2 + 2x + 1 Z Z 1 1 + (f) dx, I := R ; (g) dx, (x > −1); 2 x(x + 4) x3 + 1 Z Z 3 1 x − 4x2 + 2 dx, x > 0; (h) dx, x > 3; (i) 2 4 x(x + 4) (x − 3) Z 3 x −4 (j) dx, I := R+ ; 5x3 + x Z Z 1 1 (k) dx, x ∈ R; dx, x ∈ R; (l) 2 2 4 (1 + x ) x +1 Z 1 (m) dx, x ∈ R. (x2 + 4x + 5)2

1.2.7.

•

R

Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések

 q  R x, n ax+b dx alakú integrálok, cx+d

ahol R(u, v) kétváltozós polinomok hányadosa. Ezekben a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racionális törtfüggvény integrálására jutunk. Pontosabban: legyen r n ax + b . t := cx + d A x = g(t) helyettesítő függvényt úgy kapjuk meg, hogy ebből az x-et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk.

20

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek

F22. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi integrálokat racionális függvények integráljára: Z √ Z 1 x− x √ dx (x > 0); (a) √ dx (x > 0); (b) 1+ x x+ x Z r Z r 1 2x − 3 1 2x − 3 3 (c) dx (x > 2 ); dx (x < 0); (d) x x x x Z Z r √ x−3 3 (e) x 5x + 3 dx (x > − 5 ); (f) dx (x > 3); x−1 r Z 1 3 x−1 (g) dx (x > 1). x2 x + 1 R • R (sin x, cos x) dx alakú integrálok, ahol R(u, v) kétváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t = tg

x 2

helyettesítést, azaz az x = 2arc tg t =: g(t) helyettesítő függvényt alkalmazzuk, és felhasználjuk az alábbi azonosságokat: 2tg x2 2 sin x2 · cos x2 2t sin x = = , 2 x x = 2x 2 1 + tg 2 1 + t2 sin 2 + cos 2 cos x =

cos2 x2 − sin2 sin2 x2 + cos2

x 2 x 2

=

1 − tg2 x2 1 − t2 = . 1 + tg2 x2 1 + t2

Mivel

2 (t ∈ R), 1 + t2 ezért a g függvény szigorúan monoton növekedő, van tehát inverze és az a t = g −1 (x) = tg x2 (x ∈ (−π, π)) függvény. g 0 (t) =

F23. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: Z Z 1 1 dx (0 < x < π); (b) dx (− π2 < x < π2 ); (a) sin x cos x

1. A határozatlan Z (c) Z (d) Z (e) Z (f) Z (g) Z (h) Z (i) •

R

integrál (primitív függvények)

21

1 dx − π2 < x < π); 1 + sin x + cos x cos x dx (−π < x < π); 1 + cos x 1 + sin x dx (0 < x < 2π); 1 − cos x 2 dx (0 < x < π2 ); 1 + 2tg x 1 dx (x ∈ R); 5 + 3 cos2 x 1 dx (x ∈ R); (2 − sin x)(3 − sin x) cos x dx (0 < x < π). 1 + cos x

S (ex ) dx alakú integrálok,

ahol S(u) egyváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t = ex helyettesítést, azaz az x = ln t =: g(t) helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g 0 (t) = 1t > 0, ha t > 0, tehát g szigorúan növekedő, ezért van inverze és az a t = ex = g −1 (x) (x > 0) függvény. F24. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: Z Z 4 e3x (a) dx (x > ln 2); (b) dx (x ∈ R); e2x − 4 ex + 2 Z ex + 4 (c) dx (x ∈ R). e2x + 4ex + 3

22

2. A határozott integrál

2. A határozott integrál 2.1.

A határozott integrál kiszámítása

F25. A Newton–Leibniz-tétel felhasználásával számítsa ki az alábbi határozott integrálokat: Z e Z 5 sin(ln x) dx dx; (b) √ (a) ; 2 x 5 + 4x − x 1 2 Z 4 Z √3−2 dx dx ; (c) (d) ; 2 2 x + 4x + 5 3 x − 3x + 2 −2 Z π Z e x (e) e sin x dx; (f) ln x dx; 0

Z

1 5

(g) 0

Z

dx √ ; 2x + 3x + 1

2.2.

(h)

ln 2

√

ex − 1 dx.

0

A határozott integrál alkalmazásai

Síkidom terülte Ha a korlátos f : [a, b] → R függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon és f (x) ≥ 0 (x ∈ [a, b]), akkor az f grafikonja alatti A := {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} síkidom területét így értelmezzük: Z

b

t(A) :=

f (x) dx. a

Ha f ≤ 0 az [a, b] intervallumon, akkor a B := {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ 0} síkidom területe: Z t(B) := −

b

f (x) dx. a

2.2. A határozott integrál alkalmazásai F26. Határozza meg az R sugarú kör területét. F27. Határozza meg az R 3 x → x2 és a 0 ≤ x → közrezárt síkidom területét.

23 √

x függvények grafikonjai által

F28. Számolja ki az y = x − 1 egyenletű egyenes és a az y 2 = 2x + 6 egyenletű parabola által közrezárt síkidom területét. F29. Határozza meg az y = x4 és az y = 4−x2 görbék által meghatározott síkidom területét. F30. Határozza meg az y = x4 és az y = 3x2 − 2 görbék által meghatározott síkidom területét. F31. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: (a) {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4x − x2 }; (b) {(x, y) ∈ R2 |

3 2

≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ ln x}.

Síkbeli görbe ívhossza Legyen Γ az f : [a, b] → R folytonosan differenciálható függvény grafikonja. Ekkor a Γ görbe rektifikálható, és ívhossza: Z bq  2 l(Γ) = 1 + f 0 (t) dt. a

F32. Számítsa ki az R sugarú kör kerületét. F33. Határozza meg az alábbi függvények grafikonjának a hosszát: √ (a) f (x) = x (1 ≤ x ≤ 2); (b) f (x) = x3/2

(0 ≤ x ≤ 4);

2(x − 1)3/2 (2 ≤ x ≤ 5); 3
(d) f (x) = ln cos x (0 ≤ x ≤ π3 ).

(c) f (x) =

Forgástest térfogata Legyen f : [a, b] → R folytonos függvény és tegyük fel, hogy f ≥ 0 az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az x-tengely körüli forgatásával adódó H := {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, y 2 + z 2 ≤ f (x)}

24

2. A határozott integrál

forgástest térfogata: Z V (H) := π

b

f 2 (x) dx.

a

F34. Számítsa ki az R sugarú gömb térfogatát. F35. Határozza meg az f : [a, b] → R függvény grafikonjának az x-tengely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: q 2 (a) f (x) := 3 1 − x4 (x ∈ [−2, 2]); (b) f (x) := sin x (x ∈ [0, π]); (c) f (x) := sin2 x (x ∈ [0, π]); (d) f (x) := xex (x ∈ [0, 1]).

Forgástest felszíne Legyen f : [a, b] → R egy folytonosan differenciálható függvény és tegyük fel, hogy f ≥ 0 az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az x-tengely körüli forgatásával adódó H := {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, y 2 + z 2 = f (x)} forgásfelület felszíne: Z F (H) := 2π

b

q  2 f (x) 1 + f 0 (x) dx.

a

F36. Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét. F37. Határozza meg az f : [a, b] → R függvény grafikonjának az x-tengely körüli megforgatásával adódó forgástest felszínét: √ (a) f (x) := x (x ∈ [1, 4]); (b) f (x) := x2 (x ∈ [0, 1]); √ (c) f (x) := 2 1 − x2 (x ∈ [−1, 1]); (d) f (x) := sin x (x ∈ [0, π]).

2.3. Improprius integrálok

25

2.3. D1.

Improprius integrálok

Tegyük fel, hogy az f függvény Riemann-integrálható a tetszőleges (a, b) ⊂ R intervallum (a lehet −∞ és b lehet +∞ is) minden kompakt [α, β] ⊂ (a, b) részintervallumán, és legyen c ∈ (a, b) egy tetszőleges, de rögzített pont. Az f függvényt impropriusan integrálhatónak nevezzük az (a, b) intervallumon (vagy azt mondjuk, hogy f improprius integrálja konvergens (a, b)-n), ha léteznek és végesek az alábbi határértékek: Z c Z s f (x) dx és lim f (x) dx, lim t→a+0

s→b−0

t

c

és f improprius integrálján ezek összegét értjük: Z

b

Z f (x) dx := lim

a

t→a+0

c

Z f (x) dx + lim

t

s→b−0

s

f (x) dx. c

T1.

Ha f impropriusan integrálható az (a, b) intervallumon, akkor az improprius integráljának az értéke független a definíciójában szereplő c ∈ (a, b) pont megválasztásától.

T2.

Tegyük fel, hogy a korlátos f függvény Riemann-integrálható a kompakt [a, b] ⊂ R intervallumon. Ekkor f impropriusan is integrálható (a, b)-n és ezen az intervallumon az improprius integrálja megegyezik az f függvény [a, b]-n vett Riemann-integráljával.

F38. Vizsgálja meg az alábbi improprius integrálok konvergenciáját. Ha konvergens, akkor határozza meg az értékét: Z +∞ Z 1 1 1 (a) dx (α ∈ R), (b) dx (α ∈ R), α α x 1 0 x Z +∞ Z +∞ 1 1 (d) dx, (c) dx (α ∈ R), 2 α x −∞ 1 + x 0 Z 1 Z 1 1 1 √ (e) dx, (f) dx. 2 2 1−x −1 −1 1 − x F39. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek a konvergensek. A konvergensek esetén számolja ki az integrál értékét.

26

2. A határozott integrál Z

0

xex dx,

(a) Z

Z

−∞ ∞

−∞ 1

Z (d)

ln x, dx,

(c) 0

Z (e) 0

Z

1

∞

(b)

Z

ln x √ dx, x

1 ∞

(f) e

x3 dx, ln x dx, x 1 dx (p ∈ R), x lnp x

+∞

x+3 dx. (x − 1)(x2 + 1) 2 F40. Mutassa meg, hogy  Z 3 √ 1 1 √ +√ dx = 4 5. 3−x x+2 −2 (g)

Rb

x 2 dx b→+∞ −b 1+x

F41. Mutassa meg, hogy a lim

Z

+∞

−∞

határérték létezik és véges, de a

x dx 1 + x2

R +∞ improprius integrál divergens. (Emlékeztetőül: a −∞ f (x)dx improprius R0 R +∞ integrált akkor mondjuk konvergensnek, ha a −∞ f (x)dx és 0 f (x)dx improprius integrálok mindegyike konvergens, és ebben az esetben Z +∞ Z 0 Z +∞ f (x)dx := f (x)dx + f (x)dx.) −∞

T3.

−∞

0

Az összehasonlító kritérium: Legyen (a, b) ⊂ R (ahol lehet a = −∞ és lehet b = +∞), és tegyük fel, hogy f is és g is Riemann-integrálható (a, b)-nek minden kompakt részintervallumán, továbbá
0 ≤ f (x) ≤ g(x) x ∈ (a, b) . Rb Rb Ha az a g(x) dx improprius integrál konvergens, akkor az a f (x) dx improprius integrál is konvergens (majoránskritérium). Rb Rb Ha az a f (x) dx improprius integrál divergens, akkor az a g(x) dx improprius integrál is divergens ( minoránskritérium).

2.3. Improprius integrálok

27

F42. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek-e: Z +∞ Z 1 dx dx √ √ √ , (b) (a) , 3 3 4 3 x+2 x+x 2x + x2 + 1 + 5 1 0 Z +∞ Z +∞ 1 cos2 x √ dx, (d) (c) dx, 2 1+x x3 + 1 1 1 Z +∞ Z 1 −x x e √ dx. (f) (e) dx, x x5 + 1 0 0 D2.

Akkor mondjuk, hogy az

Rb

f (x) dx improprius integrál abszolút konver-

a

gens, ha az

Rb

|f (x)| dx improprius integrál konvergens.

a

T4.

Ha az

Rb

f (x) dx improprius integrál abszolút konvergens, akkor konvergens

a

is. F43. Mutassa meg, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek: Z 1 Z +∞ cos x sin x √ dx, (a) (b) dx. x2 x 0 1 F44. Bizonyítsa be, hogy Z +∞ sin x dx konvergens, (a) x 1 T5.

Z (b) 1

+∞

sin x x dx divergens.

+ Tegyük fel, hogy az f : [1, P +∞) → R0 függvény folytonos, monoton csökkenő. Mutassa meg, hogy a f (n) számsor konvergens vagy divergens aszerint, n=1

hogy az

+∞ R

f (x) dx improprius integrál konvergens vagy divergens.

1

A tétel érvényben marad abban az esetben is, amikor f a fenti tulajdonságokkal a [k, +∞) intervallumon (k ∈ N) rendelkezik. Ebben az esetben +∞ +∞ R R P P f (n), illetve f (x) dx helyébe f (n), illetve f (x) dx értendő. n=1

1

n=k

k

28

2. A határozott integrál

F45. Az előző tétel felhasználásával vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi számsorokat: X 1 X 1 . (a) (α ∈ R); (b) α n n ln n n=1 n=2 F46. A valószínűségszámításban a λ > 0 paraméterű exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye így van definiálva: fλ (x) := λe−λx

(x ∈ [0, +∞)).

Néhány λ > 0 paraméter esetén szemléltesse az fλ függvényt, és mutassa meg, hogy az f grafikonja alatti terület a [0, +∞) intervallumon minden λ > 0 esetén 1-gyel egyenlő, azaz Z

+∞

fλ (x)dx = 1 minden λ > 0 számra. 0

F47. Számítsa ki a következő integrálokat: Z +∞ xλe−λx dx; (a) 0

Z

+∞

(x − 1/λ)2 λe−λx dx (λ > 0 paraméter).

(b) 0

F48. Milyen a, b ∈ R esetén lesz

R +∞ −∞

f (x)dx = 1, ha

(a) f (x) := xe−ax (x ∈ R); ( ea−bx , ha x ∈ [0, +∞) (b) f (x) := 0, ha x ∈ (−∞, 0). F49. Mutassa meg, hogy Z

+∞

−∞

2

xe−ax = 0 minden a ∈ (0, +∞) paraméterre.

2.3. Improprius integrálok

29

F50. A statisztikában és a valószínűségszámításban fontos szerepet játszó Gaussféle haranggörbét így definiálják: x2

f (x) := e− 2

(x ∈ R).

(Ez a függvény az ún. standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye.) SzemR +∞ −x2 /2 léltesse a függvény grafikonját. Mutassa meg, hogy a −∞ e dx improprius integrál konvergens. Jegyezze meg, hogy Z +∞ √ x2 e− 2 dx = 2π. −∞

A

Z x t2 1 (x ∈ R) Φ(x) := √ e− 2 dt 2π −∞ függvényt valószínűségintegrálnak, illetve Gauss-hibaintegrálnak nevezik. F51. Legyen µ tetszőleges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekintse az (x−µ)2 1 f (x) := √ e− 2σ2 σ 2π

(x ∈ R),

függvényt. Mutassa meg, hogy +∞ +∞ R R −x2 √ (a) f (x)dx = 1 (használja fel, hogy e dx = π); −∞

(b)

−∞

+∞ R

xf (x)dx = µ;

−∞

(c)

+∞ R

x2 f (x)dx = σ 2 + µ2 .

−∞

R +∞ F52. (a) Bizonyítsa be, hogy minden x > 0 valós számra az 0 tx−1 e−t dt improprius integrál konvergens. A Z +∞ Γ(x) := tx−1 e−t dt (x ∈ R+ ) 0

függvényt gammafüggvénynek nevezzük. (b) Igazolja, hogy (i) Γ(x + 1) = xΓ(x) (x ∈ R+ ), (ii) ha n = 1, 2, 3, . . ., akkor Γ(n + 1) = n!.

30

2. A határozott integrál

II. rész Megoldások

31

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

33

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) 1.1. Z M1.

A definíciók egyszerű következményei

1 dx = ln(x) + c x

(a) Z (b)


x ∈ (0, +∞) ;

1 dx = ln(−x) + c x


x ∈ (−∞, 0) ;

Z

1 dx = −ctg x + c (x ∈ (0, π)); sin2 x

Z

1 dx = arctg x + c (x ∈ R). 1 + x2

(c) (d) Z

M2.

(a)

cos x dx = sin x + c és sin 43 π + c = 0 =⇒ c = − √ Z 2 cos x dx = sin x − (x ∈ R); 2

√

2 ; 2

3 π 4

√ 3 √ 1 3 x2 3 3 2 √ (b) dx = + c és 8 + c = 0 =⇒ c = −6; 2 3 2 x √ Z 3 3 x2 1 √ dx = − 6 (x > 0). 3 2 x Z

8

M3.

Z √ 1 1 √ dx = f (x) = x + c és f (4) = 1 ⇒ (a) f (x) = √ ⇒ 2 x 2 x √ 4 + c√= 1 ⇔ 2 + c = 1 ⇔ c = −1, azaz f (x) = x − 1 (x > 0); Z 1 1 0 (b) f (x) = ⇒ dx = f (x) = ln (1 + x) + c és f (0) = 2 ⇒ 1+x 1+x ln (0 + 1) + c = 2 ⇔ 0 + c = 2 ⇔ c = 2, azaz 0

f (x) = ln (x + 1) + 2 (x > −1).

34

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z x2 02 00 (c) f (x) = x ⇒ x dx = f 0 (x) = + c1 és f 0 (0) = 2 ⇒ + c1 = 2 ⇔ 2 2 Z x2 x2 c1 = 2 és f 0 (x) = + 2 ⇒ ( + 2) dx = f (x) = 2 2 03 x3 + 2x + c2 és f (0) = −3 ⇒ + 2 · 0 + c2 = −3 ⇔ c2 = −3 és 2·3 6 3 x f (x) = + 2x − 3 (x ∈ R). 6 Z 1 1 1 00 (d) f (x) = 2 ⇒ dx = f 0 (x) = − + c1 és f 0 (2) = 0 ⇒ 2 x x x Z  1 1 1 1 1 1 0 − + c1 = 0 ⇔ c1 = és f (x) = − + − + ⇒ dx = 2 2 x 2 x 2 x 1 1 f (x) = − ln x + + c2 és f (1) = 0 ⇒ − ln 1 + + c2 = 0 ⇔ c2 = − 2 2 2 x 1 és f (x) = − ln x + − (x > 0). 2 2 Z 00 x (e) f (x) = 3e + 5 sin x ⇒ (3ex + 5 sin x) dx = f 0 (x) = 0 = 3ex − 5 cos x + c1 és f 0 (0) = 2 ⇒ 3e Z − 5 cos 0 + c1 = 2 ⇔

c1 = 4 és f 0 (x) = 3ex − 5 cos x + 4 ⇒

(3ex − 5 cos x + 4) dx = f (x) =

= 3ex − 5 sin x + 4x + c2 és f (0) = 1 ⇒ 3e0 − 5 sin 0 + 4 · 0 + c2 = 1 ⇔ c2 = −2 és f (x) = 3ex − 5 sin x + 4x − 2 (x ∈ R). Z 000 (f ) f (x) = sin x ⇒ sin x dx = f 00 (x) = − cos x + c1 és f 00 (0) = 1 ⇒ Z 00 − cos 0 + c1 = 0 ⇔ c1 = 1 és f (x) = − cos x + 1 ⇒ (1 − cos x) dx = = f 0 (x) = x − sin x + c2 és f 0 (0) = Z 1 ⇒ 0 − sin 0 + c2 = 1 ⇔

c2 = 1 és f 0 (x) = x − sin x + 1 ⇒ x2 2

(x − sin x + 1) dx = f (x) = 2

+ cos x + x + c3 és f (0) = 1 ⇒ 02 + cos 0 + 0 + c3 = 1 ⇔ x2 c3 = 0 és f (x) = + cos x + x (x ∈ R). 2

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

1.2.

Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek 1.2.1.

Z M4.

(a) Z (b)

35

Alapintegrálok


6x2 − 8x + 3 dx = 2x3 − 4x2 + 3x + c (x ∈ R); √

x+

√ √
√ 3 3 x dx = 23 x3 + 34 x4 + c (x > 0);

Z q p Z 15 √ x8 7 (c) x x x dx = x 8 dx = 15 + c (x > 0); 8

Z (d)

2

(x + 1) √ dx = x 5

3

Z

3

1

1

x 2 + 2x 2 + x− 2 dx = 1

= 25 x 2 + 43 x 2 + 2x 2 + c (x > 0); Z Z Z
5 1 (e) 2x + √ dx = 2 x dx + 5 √ dx = 2 1−x 1 − x2 = x2 + 5arc sin x + c (|x| < 1).

1.2.2. •

R

M5.

M6.

f0 f

Alapintegrálokra vezető típusok

alakú integrálok
0 0 0 0 Az ff függvény egy primitív függvénye ln f , mert ln f = ff . Mivel ff intervallumon értelmezett, ezért minden primitív függvénye ln f -től egy konstansban különbözik. Z Z 1 2x 1 x dx = dx = ln (x2 + 3) + c (x ∈ R); (a) 2 2 x +3 2 x +3 2 Z Z x−3 1 2x − 6 (b) dx = dx = 2 2 x − 6x + 27 2 x − 6x + 27 = 12 ln(x2 − 6x + 27) + c (x ∈ R); Z Z Z sin x − sin x (c) tg x dx = dx = − dx = − ln(cos x) + c (|x| < π2 ); cos x cos x Z Z e3x 1 3e3x 1 (d) dx = dx = ln(e3x + 5) + c (x ∈ R); e3x + 5 3 e3x + 5 3

36

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (e) ha x ∈ (0, 1), akkor ln x < 0, ezért Z Z 1 dx x = dx = ln(− ln x) + c (x ∈ (0, 1)); x ln x ln x Z Z 1 dx x (f ) = dx = ln ln(x) + c (x > 1). x ln x ln x

•

R

M7. M8.

f α · f 0 alakú integrálok M5-höz Z hasonlóan. Z 1 2 3 2012 (a) x (2x + 4) dx = 6x2 (2x3 + 4)2012 = 6 1 (2x3 + 4)2013 + c (x ∈ R); = 2013 Z 6 Z √ 1 1 2 3 (b) x 6x + 4 dx = 18x2 (6x3 + 4) 2 dx = 18 3

1 (6x3 + 4) 2 = + c (x > 0); 3 18 2 Z Z (1 − ex )4 x x 3 (c) e (1 − e ) dx, = − (−ex )(1 − ex )3 dx = − + c (x ∈ R); 4 Z sin4 x + c (x ∈ R); (d) sin3 x · cos x dx = 4 Z 5 Z ln x 1 5 ln6 x (e) dx = ln x dx = + c (x > 0); x x 6 3 Z r Z 1 1 ar sh 2 x ar sh x 2 +c= (f ) dx, = √ ar sh x dx = 3 1 + x2 1 + x2 2 3

2ar sh 2 x = + c (x > 0); 3 Z Z 4x + 7 5 p (g) dx = (4x + 7) · (2x2 + 7x + 5)− 4 dx = 4 (2x2 + 7x + 5)5 4 = −√ + c x < −5/2; 4 2 2x + 7x + 5 Z Z 1 1 −2 3 p (h) dx = ·(tg x)− 2 dx = √ +c (x ∈ (0, π2 )). 2 2 3 cos x tg x cos x (tg x)

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) R • f (ax + b) dx alakú integrálok

37

M9.

M5-höz hasonlóan. Z (2x − 3)11 (2x − 3)(10+1) +c= + c (x > 32 ); M10. (a) (2x − 3)10 dx = 2 · (10 + 1) 22 Z Z 4 √ 1 (1 − 3x) 3 3 3 +c= (b) 1 − 3x dx = (1 − 3x) dx = 4 · (−3) 3 p = − 41 · 3 (1 − 3x)4 + c (x < 31 ); Z Z Z 1 1 1 1 1 · (c) dx = · q 2 dx = 3 2 dx = 2 2 + 3x 2 2 1 + 2x 3 x 1+ 2 q 3 1 arctg 2 x q = · + c (x ∈ R); 2 3 2

Z Z 1 1 1 1 1 dx = · dx = · (d) q 2 dx = 3 2 − 3x2 2 2 1 − 2 x2 3 1− x 2 q 3 p 1 arth 2 x q + c (x > 2/3); = · 2 3 Z

2

Z (e)

= Z (f )

=

1 1 √ dx = √ 2 2 − 3x 2 √1 2

·

q

2 arc sin 3

q

1 1 √ dx = √ 3x2 − 2 2 √1 2

·

q

2 ar ch 3

q

Z r 1−

3 x 2



p 2/3);

1 rq



dx =
2 3 x 2

+ c (|x| <

Z

3 x 2

1 q

3 x 2

2

+ c (x >

dx = −1

p 2/3).

38

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z

Z Z dx 1 1 1 1 = M11. (a) dx = 23 dx = 2 2 2x − 12x + 23 2 x − 6x + 2 2 (x − 3)2 + 25 Z Z 1 1 1 1 2 q dx = dx = = · 2 2 2 5 5 (x − 3) + 1 5 [ 2 (x − 3)]2 + 1 5 q q
1 5 2 = 5 · 2 arctg (x − 3) + c (x ∈ R); 5 Z Z Z 1 1 dx = dx = dx = (b) 2 2 3x + 12x + 16 3(x + 4x) + 16 3(x + 2)2 + 4 Z √ √ 1 1 1 q dx = arctg ( 23 x + 3) √ + c (x ∈ R); = 4 [ 3 (x + 2)]2 + 1 2 3 4 Z Z dx 1 (c) √ = p dx = 3x2 + 12x + 30 3(x + 2)2 + 18 Z q
1 1 1 3 rq =√ dx = √ arsh (x+2) +c (x ∈ R); 18 18 3 3 (x + 2)]2 + 1 [ 18 Z Z 1 1 (d) √ dx = p dx = 2 4 + 2x − x −(x − 1)2 + 5 Z 1 1 r =√ dx = q  1 2 5 1− (x − 1) 5 q √ √
1 = arc sin (x − 1) + c (1 − 5 < x < 1 + 5). 5
R • f g(x) g 0 (x) dx alakú integrálok M12. M5-höz hasonlóan. Z Z cos x2 1 2 M13. (a) x sin x dx = 2 2x sin x2 dx = − + c (x ∈ R); 2 √ Z Z √ √ sh x 1 √ dx = 2 √ sh x dx = 2ch x + c (x > 0); (b) x 2 x Z (c) (6x + 2) sin(3x2 + 2x − 1) dx = − cos(3x2 + 2x − 1) + c (x ∈ R);

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) 39 Z Z 1 1 1 dx = (d) dx = arc tg(ln x) + c (x > 0); 2 x 1 + (ln x)2 x(1 + ln x) Z 1 1 p dx = ar sh(tg x) + c (|x| < π/2); (e) cos2 x 1 + tg 2 x Z Z tg x 1 e dx = etg x dx = etg x + c (|x| < π/2). (f ) 2 2 cos x cos x

1.2.3.

Integrálás ügyesen” ”

Z 2 Z  x2 x +1−1 1  1 − (a) dx = dx = dx = x2 + 1 x2 + 1 1 + x2 = x − arctg(x) + c (x ∈ R); Z Z Z  2x + 3 2x − 4 + 7 7  (b) dx = dx = 2+ dx = x−2 x−2 x−2 Z Z 1 = 2 dx + 7 dx = 2x + 7 ln(x − 2) + c (x > 2); x−2 Z Z Z x 1 1 1 (c) dx = x = x = 1 4 2 2 4+x 4 + (x ) 4 1 + 4 (x2 )2 Z

M14.

2

= 41 arc tg x2 + c (x ∈ R); Z Z √ √ 3 3 2 (d) x 1 + x dx = [x(1 + x2 ) − x] 3 1 + x2 dx = Z Z Z √ 1 4 3 2 1+ 13 = x(1 + x ) dx − x 1 + x2 dx = 2x(1 + x2 ) 3 dx − 2 Z 7 4 √ 1 1 (1 + x2 ) 3 1 (1 + x2 ) 3 − 2x 3 1 + x2 dx = − + c (x ∈ R); 7 4 2 2 2 3 3 Z Z Z sin x − sin x dx = − dx = − ln cos x + c (|x| < π2 ); (e) tg x dx = cos x cos x Z Z Z Z   sin2 x 1 − cos2 x 1 2 dx = dx = − 1 dx = (f ) tg x dx = cos2 x cos2 x cos2 x = tg x − x + c (|x| < π/2);

40

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z Z Z 1 cos 2x 1 − cos 2x 2 dx = dx − dx = (g) sin x dx = 2 2 2 x sin 2x = − + c (x ∈ R); 4 Z 2 Z Z 3 2 (h) cos x dx = cos x · cos x dx = cos x · (1 − sin2 x) dx = Z

Z

Z cos x dx −

=

cos x · sin2 x dx = sin x −

sin3 x + c (x ∈ R); 3

sin(α + β) + sin(α − β) azonosság alapján (i) a sin α · cos β = 2 Z Z sin 10x + sin(−4x) dx = sin 3x · cos 7x dx = 2 Z Z Z sin 10x − sin(4x) 1 1 = dx = · sin 10x dx − · sin 4x dx = 2 2 2 1 cos 10x 1 cos 4x =− · − · + c (x ∈ R); 2 10 2 4 cos(α + β) + cos(α − β) (j) most a cos α·cos β = azonosságot alkalmazzuk: 2 Z Z x 1 x x x x x [cos( + ) + cos( − )] dx = cos cos dx = 2 3 2 2 3 2 3 = Z (k)

3 5

· sin 65 x + 3 sin x6 + c (x ∈ R); Z Z 1 1 1 dx = x x x dx = sin sin x 2 sin 2 cos 2 2 cos 2x cos2 2

Z =

1 1 2 cos2 x2 tg x2

x 2

dx =

dx = ln(tg x2 ) + c (x ∈ (0, π));

(l) a cos x = sin x + felhasználásával;

π 2




(x ∈ R) azonosság, valamint az előző feladat

(m) a következő átalakítást lehet használni: sin2 x · cos3 x = sin2 x · cos2 x · cos x = sin2 x · (1 − sin2 x) · cos x = = cos x · sin2 x − cos x · sin4 x;

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

41

(n) tekintsük az alábbi azonosságokat:

=

1 4

1 sin2 x · cos4 x = (2 sin x · cos x)2 · cos2 x = 4 1 + cos 2x · sin2 (2x) · = 18 sin2 (2x) + 81 cos(2x) · sin2 (2x). 2

1.2.4.

Parciális integrálás

M15. M5-höz hasonlóan.   Z 1 2x 2x 0 0 2x M16. (a) xe dx = f (x) = x =⇒ f (x) = 1 , g (x) = e =⇒ g(x) = e 2 Z 2x 2x 2x e e xe 1 =x − dx = − e2x + c (x ∈ R); 2 2 2 4 Z (b) x2 sin 3x dx =   − cos 3x 2 0 0 f (x) = x =⇒ f (x) = 2x , g (x) = sin 3x =⇒ g(x) = 3 Z cos 3x 2 = −x2 + x cos 3x dx = 3 3   sin 3x 0 0 f (x) = x =⇒ f (x) = 1 , g (x) = cos 3x =⇒ g(x) = 3 Z i x2 cos 3x 2 h x sin 3x 1 =− + − 1 sin 3x dx = 3 3 3 3 2 2 cos 3x −x cos 3x 2 + x sin 3x + + c (x ∈ R); = 3 9 9 3 Z (c) ex sin x dx =   x 0 x 0 f (x) = e =⇒ f (x) = e , g (x) = sin x =⇒ g(x) = − cos x Z x = −e cos x + ex cos x dx =   f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex , g 0 (x) = cos x =⇒ g(x) = sin x

42

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z x x = −e cos x + e sin x − ex sin x dx; rendezés után kapjuk, hogy Z −ex cos x + ex sin x + c (x ∈ R); ex sin x dx = 2 Z (d)

e2x ch 3x dx parciális integrálással is meghatározható, de egyszerűbb

a következő:  Z Z Z  5x 3x + e−3x e e−x 2x 2x e e ch 3x dx = e · dx = + dx = 2 2 2 e5x e−x = − + c (x ∈ R); 10 2 Z cos(2x + 1)e3x+2 dx = (e)  sin(2x + 1)  3x+2 0 3x+2 0 f (x) = e , f (x) = 3e ; g (x) = cos(2x + 1), g(x) = 2 Z e3x+2 sin(2x + 1) 3 = − e3x+2 sin(2x + 1) dx = 2 2  cos(2x + 1)  f (x) = e3x+2 , f 0 (x) = 3e3x+2 ; g 0 (x) = sin(2x + 1), g(x) = − 2 Z h 3x+2 3x+2 sin(2x + 1) 3 −e cos(2x + 1) −3e cos(2x + 1)  = e3x+2 − − dx = 2 2 2 2 Z 3 3x+2 9 3x+2 sin(2x + 1) =e + e cos(2x + 1) − e3x+2 cos(2x + 1) dx, 2 4 4 rendezés után azt kapjuk, hogy Z 2e3x+2 sin(2x + 1) + 3e3x+2 cos(2x + 1) cos(2x + 1)e3x+2 dx = + c (x ∈ R); 13 Z (f )

Z

ln x dx = 1 · ln x dx =   g 0 (x) = 1 , g(x) = x; f (x) = ln x, f 0 (x) = x1 Z 1 = x ln x − x dx = x ln x − x + c (x > 0); x

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) Z Z (g) arc tg 3x dx = 1 · arc tg 3x dx =   3 0 0 g (x) = 1, g(x) = x, f (x) = arc tg 3x, f (x) = 1 + (3x)2 Z Z 3x 18x 1 = xarc tg 3x − dx = xarctg 3x − dx = 2 1 + (3x) 6 1 + 9x2 = xarc tg 3x − 61 ln(1 + 9x2 ) + c (x ∈ R); Z

(h)

x2 ln x dx =   3 g 0 (x) = x2 , g(x) = x3 ; f (x) = ln x, f 0 (x) = x1 Z 3 x3 x 1 x3 x3 = ln x − dx = ln x − + c (x > 0); 3 3 x 3 9

Z 1 3 x3 · 3x2 ex dx = (i) x e dx = 3   3 3 f (x) = x3 , f 0 (x) = 3x2 g 0 (x) = 3x2 ex , g(x) = ex   Z 1 3 3 x3 2 x3 = x e − 3x e dx = 31 ex (x3 − 1) + c (x ∈ R); 3 Z

Z (j)

5 x3

x ln2 x dx =   2 g 0 (x) = x, g(x) = x2 ; f (x) = ln2 x, f 0 (x) = 2 lnx x Z 2 Z x2 2 x 2 ln x x2 2 = ln x − dx = ln x − x ln x dx = 2 2 x 2   x2 1 0 0 g (x) = x, g(x) = 2 ; f (x) = ln x, f (x) = x Z 2 x2 2 x2 x 1 = ln x − ( ln x − dx) = 2 2 2 x x2 2 x2 x2 = ln x − ln x + + c (x > 0); 2 2 4

43

44

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Z (k) arc sin x dx = 1 · arc sin x dx =   1 0 0 g (x) = 1, g(x) = x; f (x) = arc sin x, f (x) = √ 1 − x2 Z Z x 1 1 = x arc sin x − √ dx = x arc sin x + (−2x)(1 − x2 )− 2 dx = 2 1 − x2 √ = x arc sin x + 1 − x2 + c (|x| < 1); Z Z 1 (l) cos(ln x) dx = cos(ln x) x dx = x   1 0 g (x) = cos(ln x) , g(x) = sin(ln x); f (x) = x, f 0 (x) = 1 x Z Z 1 = x sin(ln x) − sin(ln x) dx = x sin(ln x) + − sin(ln x) x dx = x   1 g 0 (x) = − sin(ln x) , g(x) = cos(ln x); f (x) = x, f 0 (x) = 1 x Z = x sin(ln x) + x cos(ln x) − cos(ln x) dx =⇒
Z x sin(ln x) + cos(ln x) cos(ln x) dx = + c (x > 0). 2 Z

1.2.5.

Integrálás helyettesítéssel

M17. M5-höz hasonlóan. M18. Az alábbi összefüggést használjuk: Z

Z f (x) dx =

f (g(t))g 0 (t) dt

t=g −1 (x)

Itt f egy I intervallumon adott (pl. folytonos) függvény, g : J → I pedig egy szigorúan monoton (növekedő vagy csökkenő) differenciálható függvény a J intervallumon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az x = g(t) helyettesítést alkalmazzuk. (Figyeljünk majd a g helyettesítő függvény szigorú monotonitásának az ellenőrzésére!) (a) Most az x = sin t
=: g(t) helyettesítést alkalmazzuk. Mivel −1 < x < 1, ezért g-t a − π2 , π2 intervallumon tekintjük. Itt g szigorúan monoton

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

45

növekedő, ezért a fenti képlet alkalmazható: Z Z p √ 2 1 − x dx = 1 − sin2 t cos t dt

t=arc sin x

Z

2

cos t dt =

Z

Z =

cos2 t

t=arc sin x

=

 1 + cos(2t) dt 2



 t sin 2t arc sin x sin(arc sin x) cos(arc sin x) = + +c= − +c= 2 4 2 2 t=arc sin x √ arc sin x x 1 − x2 = + + c (|x| < 1). 2 2 (b) Itt az x = sh t =:= g(t) (t ∈ R); g ↑, g 0 (t) = ch t (t ∈ R) helyetesítést alkalmazzuk: Z

√ 1 + x2 dx =

Z

√ 1 + sh 2 t ch t dt

t=ar sh x

=

Z √

ch 2 t ch t dt

t=ar sh x

=

(ch 2 t − sh 2 t = 1, ch (2t) = sh 2 t + ch 2 t)   Z ch 2t + 1 sh 2t t +c= = dt = + t=ar sh x 2 4 2 t=ar sh x   ch t sh t t = + +c= 2 2 t=ar sh x √ xch (ar sh x) ar sh x x 1 + x2 ar sh x = + +c= + + c. 2 2 2 2 Z √ (c) Az x2 − 1 dx (x > 1) integrál kiszámításához alkalmazza az x = ch t =: g(t) (t > 0) helyettesítést.

46

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek

1.2.6. Z M19. (a)

Racionális függvények integrálása

1 dx = ln(x − 3) + c, ha x ∈ (3, +∞); x−3

Z

1 dx = ln(3 − x) + c, ha x ∈ (−∞, 3); x−3 Z Z 1 2x + 2 x+1 dx = dx = 12 ln(x2 + 2x + 3) + c (x ∈ R); (c) 2 2 x + 2x + 3 2 x + 2x + 3  Z  Z 2x + 3 2x + 2 1 dx = + dx = (d) x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3 Z 1 2 dx = ln(x2 + 2x + 3) + = ln(x + 2x + 3) + (x + 1)2 + 2 Z 1 1 + dx = 1 √ 2 [ 2 (x + 1)]2 + 1 (b)

√

= ln(x2 + 2x + 3) + 22 arctg( √x2 + √12 ) + c (x ∈ R); Z Z Z 4 1 1 1 dx = · hq dx = (e) i2 1 2 3 dx = 2 x +x+1 3 (x + 2 ) + 4 1 4 · (x + 2 ) + 1 3 √   2 3 2 1 = · arc tg √ · (x + ) + c (x ∈ R); 3 2 3 Z Z 1 2x + 10 x+5 dx = · dx = (f ) 2 2 x −x+5 2 x −x+5 Z Z 1 2x − 1 1 1 = ·[ dx + 11 · dx] = · [ln (x2 − x + 5) + 2 2 2 x −x+5 x −x+5 2 Z 1 1 + 11 · · [ln (x2 − x + 5) + 19 dx] = 1 2 2 (x − 2 ) + 4 Z 4 1 1 + · 11 · dx] = · ln (x2 − x + 5) + 2 1 2 19 2 [ √19 (x − 2 )] + 1 √ 11 · 19 + · arctg [ √219 · (x − 21 )] + c (x ∈ R); 19

1. A határozatlan integrál (primitív függvények) 47 Z Z Z 2x − 2 + 2 2x − 2 6x dx = 3 · dx = 3 · [ dx + (g) 2 2 2 x − 2x + 7 x − 2x + 7 x − 2x + 7 Z Z 1 1 2 2 +2· dx] = 3·[ln(x −2x+7) + 6 · dx] = 1 2 (x − 1) + 6 [ √6 (x − 1)]2 + 1 √ = 3 · ln(x2 − 2x + 7) + 6 · arc tg [ √16 · (x − 1)] + c (x ∈ R). M20. A feladatban megadott rekurzív formula az egyenlőség mindkét oldalának deriválásával igazolható. Az f primitív függvényének kiszámításához először azt jegyezzük meg, hogy 1 az 1+x 2 (x ∈ R) függvény határozatlan integrálja arc tg x (x ∈ R). A rekurzív formulát n = 1-re alkalmazva kapjuk az (1+x1 2 )2 (x ∈ R) primitív függvényét. Ennek ismeretében ismét a rekurzív formulát felhasználva n = 2-re adódik az (1+x1 2 )3 (x ∈ R) primitív függvénye.  M21. (a) Az integrandust parciális törtek összegére bontjuk: A B A(x − 4) + B(x − 2) 1 = + = = (x − 2)(x − 4) x−2 x−4 (x − 2)(x − 4) =

(A + B)x − (4A + 2B) (x − 2)(x − 4)

alapján A + B = 0, −(4A + 2B) = 1 adódik, amiből A = − 21 , B = következik. Ezért Z Z Z 1 1 1 1 1 dx = − dx + dx = (x − 2)(x − 4) 2 x−2 2 x−4 1 1 = − ln(x − 2) + ln(4 − x) + c, 2 2 (b) Z

Z  1 A B  dx = + dx = · · · = (1 − x)(1 + x) 1−x 1+x Z  1 Z Z 1   1 1 1 2 2 = + dx = dx + dx = 1−x 1+x 2 1−x 1+x 1 1 = − ln(1 − x) + ln(1 + x) + c = 2r 2 1+x = ln + c, ha x ∈ (−1, 1).  1−x

1 dx = 1 − x2

Z

ha 2 < x < 4. 

1 2

48

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c) Az ln függvény értelmezési tartományára kell figyelni! A számolások az előző feladathoz hasonlók; a változások: Z Z Z  1 1 1 1 dx + dx = dx = · · · = 1 − x2 2 1−x 1+x Z Z  1 1 1 = − dx + dx = 2 x−1 1+x 1 1 = − ln(x − 1) + ln(1 + x) + c = 2r 2 1+x = ln + c, ha x ∈ (1, +∞).  x−1 (d) Z

(e) Z

Z  11 − x A B  dx = + dx = (3x + 2)(2x − 1) 3x + 2 2x − 1 Z  3  −5 + dx = = 3x + 2 2x − 1 5 3 = − ln(3x + 2) + ln(2x − 1) + c ha x ∈ (1, +∞).  3 2

11 − x dx = 6x2 + x − 2

Z

Z  3x − 5 A1 A2  dx = + dx = · · · = (x + 1)2 x + 1 (x + 1)2 Z  3 −8  = + dx = x + 1 (x + 1)2 8 + c ha x ∈ (−1, +∞).  = 3 ln(x + 1) + x+1

3x − 5 dx = x2 + 2x + 1

Z

(f ) Az integrandus így bontható fel: A Bx + C A(x2 + 4) + x(Bx + C) 1 = + = = x(x2 + 4) x x2 + 4 x(x2 + 4) (A + B)x2 + Cx + 4A = x(x2 + 4)

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

49

alapján A + B = 0, C = 0, 4A = 1, azaz A = 14 , B = − 14 . Ezért Z

Z Z 1 1 1 2x 1 dx = dx − dx = 2 2 x(x + 4) 4 x 8 x +4 1 1 = ln x − ln(x2 + 4) + c, ha x > 0.  4 8

(g) Z

Az Z

Z  1 A Bx + C  dx = + dx = (x + 1)(x2 − x + 1) x + 1 x2 − x + 1  1 − 1 x + 32  3 = ··· = + 23 dx = x + 1 Zx − x + 1 1 1 x−2 = ln(x + 1) − dx 3 3 x2 − x + 1

1 dx = 3 x +1

x−2 x2 −x+1

Z

a 3. alaptípusnak megfelelő törtfüggvény. A primitív függvénye:

Z x−2 1 2x − 1 − 3 dx = dx = 2 x −x+1 2 x2 − x + 1 Z Z 1 3 2x − 1 1 = dx − dx =
2 2 1 2 x −x+1 2 x − 2 + 34 Z 1 3 1 1 2  2  dx = = ln(x − x + 1) − · 3 √ 2 2 4 1 + 3(x−1)2 √ 2x − 1 1 3 arctg √ = ln(x2 − x + 1) − 2 · +c= 2 2 3 √ 1 2x − 1 = ln(x2 − x + 1) − 3arctg √ + c ha x ∈ (−1, +∞). 2 3

Ezért Z

√ 1 1 2x − 1 2 √ dx = ln(x − x + 1) − 3arctg + c ha x ∈ (−1, +∞).  x3 + 1 2 3

50

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek

1.2.7.

Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések

M22. (a) Legyen t =

√

x. A helyettesítő függvény x = t2 =: g(t) (t > 0).

Mivel g 0 (t) = 2t > 0, ha t > 0, ezért g szigorúan monoton növekedő, következésképpen a második helyettesítési szabály alkalmazható: Z Z Z 1 1+t−1 1 √ dx = · 2t dt √ = 2 dt √ = 1+t 1+t 1+ x t= x t= x  Z  1 1− dt √ = =2 1+t t= x √ √ = 2 (t − ln(1 + t) + c) √ = 2 x − 2 ln(1 + x) + c, t= x ha x > 0.  √ (b) t = x, x > 0; x = t2 =: g(t) (t > 0) és g 0 (t) = 2t (t > 0) miatt g szigorúan monoton növekedő. Így √ Z 2 Z 2 Z t −t (t − 1) − (t + 1) + 2 x− x √ dx = · 2t dt √ = 2 dt √ = 2 t +t t+1 x+ x t= x t= x Z h 2 i =2 (t − 1) − 1 + dt √ = t+1 t= x h t2 i =2 − 2t + 2 ln(t + 1) + c √ = 2 t= x √ √ = x − 4 x + 4 ln( x + 1) + c, (x > 0)  (c) Tudjuk, hogy a r t=

2x − 3 = x

r 2−

3 x

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

51

helyettesítés racionális törtfüggvény integrálására vezet. Ha x > 23 , akkor √ nyilván 0 < t < 2, ami azt jelenti, hogy az x=

√ (t ∈ (0, 2))

3 =: g(t) 2 − t2

helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g 0 (t) =

√
t ∈ (0, 2) ,

6t >0 (2 − t2 )2

ezért g szigorúan monoton növekedő, így a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályunk valóban alkalmazható: Z Z r 2 − t2 1 2x − 3 6t dx = ·t· dt √ . x x 3 (2 − t2 )2 t= 2x−3 x Mivel  Z Z  Z 6t 2t2 4 2 − t2 √ ·t· dt = dt = −2 + √ dt = 3 (2 − t2 )2 2 − t2 ( 2 − t)( 2 + t) √  Z  √ 1 1 2+t 4 √ +√ dt = −2t + 2 ln √ + c, = −2t + √ 2 2 2−t 2+t 2−t ezért r √ √ Z r 1 2x − 3 2x − 3 √ 2x + 2x − 3 3 dx = −2 + 2 ln √ + c (x > ). √ x x x 2 2x − 2x − 3 M23. (a) Z

1 dx = sin x

Z

1 2t 1+t2

= ln tg

(b) ... 

2 · dt = 1 + t2 t=tg x2

x + c, 2

Z

1 dt = (ln t + c) = t t=tg x2 t=tg x2

ha 0 < x < π. 

52

1.2. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c) Z

1 dx = 1 + sin x + cos x

Z

1 1+

2t 1+t2

1+

t2

Z =

+

1−t2 1+t2

dt = t=tg x2

2 = dt + 2t + 1 − t2 t=tg x2

Z

1 dt = (ln(t + 1) + c) = 1 + t t=tg x2 t=tg x2

x ha x ∈ − π2 , π .  = ln tg + 1 + c, 2 =

(d) ...  (e) Z 2 Z Z 2t 1 + 1+t 2 t + 1 + 2t 1 + sin x 2 dx = dt = dt = 2 · 2 1−t 1 − cos x t2 (1 + t2 ) t=tg x2 1 − 1+t2 1 + t t=tg x2 Z Z 1 1 = +2 dt = (∗) 2 x t t=tg 2 t(1 + t2 ) t=tg x2 Most az

1 t(1+t2 )

törtet parciális törtekre bontjuk: 1 A Bt + C (A + B)t + Ct + A = + = 2 2 t(1 + t ) t 1+t t(1 + t2 )

alapján C = 0, A = 1, B = −1, tehát 1 1 t = − . t(1 + t2 ) t 1 + t2 Ezért Z   1 1 t  (∗) = − + 2 − = t t 1 + t2 t=tg x2  1  = − + 2 ln t − ln(1 + t2 ) + c = t t=tg x2     = −ctg x2 + 2 ln tg x2 − ln 1 + tg2 x2 + x (x ∈ (0, 2π)). 

1. A határozatlan integrál (primitív függvények)

53

M24. (a) Z

Z 4 1 1 · dt =4 dt = 2 t − 4 t t=ex t(t − 2)(t + 2) t=ex Z  A B C  =4 + + dt = t t−2 t+2 t=ex

4 dx = 2x e −4

Z

= ··· = Z  1 1 1  −4 =4 + 8 + 8 dt = t t−2 t+2 t=ex   1 1 = − ln t + ln(t − 2) + ln(t + 2) + c = 2 2 t=ex = −x +


1 ln e2x − 4 + c, ha x > ln 2.  2

(b) Z

1 e3x dx = −2ex + e2x + 4 ln(ex + 2) + c x e +2 2

(c) Z

ex + 4 dx = e2x + 4ex + 3

Z t2 Z

=

(x ∈ R) 

t+4 1 · dt = + 4t + 3 t t=ex

(t + 4) dt = t(t + 1)(t + 3) t=ex

= ··· Z 4 1 − 23 3 = + + 6 dt = t t + 1 t + 3 t=ex
1
4 3 = x − ln ex + 1 ln ex + 3 + c 3 2 6

(x ∈ R) 

54

2. A határozott integrál

2. A határozott integrál 2.1.

A határozott integrál kiszámítása

Z

Z 1 1 √ M25. (a) dx = p dx = arc sin x−2 + c, 3 2 5 + 4x − x 9 − (x − 2)2 ha −1 < x < 5, ezért Z 5  x − 2 5 π 1 √ dx = arcsin = arcsin 1 − arcsin 0 = .  2 3 2 5 + 4x − x2 2 Z sin(ln x) (b) dx = − cos(ln x) + c, ha x > 0, ezért x Z e sin(ln x) dx = 1 − cos 1.  x 1 (c) Mivel Z

Z  1  1 1 dx = − dx = (x − 2)(x − 1) x−2 x−1 x−2 = ln + c, ha x > 2, x−1

1 dx = 2 x − 3x + 2

ezért Z

4

Z

h x − 2 i4 1 dx = ln = ln 32 − ln 12 = ln 43 .  x2 − 3x + 2 x−1 3

3

(d) Mivel Z

1 dx = 2 x + 4x + 5

Z

1 dx = arctg (x + 2) + c, ha x ∈ R, (x + 2)2 + 1

ezért √

Z −2

3−2

√

h i 3−2 1 dx = arctg (x + 2) = x2 + 4x + 5 −2 √ π = arctg 3 − arctg 0 = .  3

2.2. A határozott integrál kiszámítása

55

(e) Parciális integrálással Z sin x − cos x x e +c (x ∈ R) ex sin x dx = 2 adódik, ezért Z π h sin x − cos x iπ sin π − cos π sin 0 − cos 0 0 ex sin x dx = ex = eπ − e = 2 2 2 0 0 eπ + 1 = .  2 (f ) Parciális integrálással Z ln x dx = x ln x − x + c

(x > 0)

adódik, ezért Z e h ie

ln x dx = x ln x − x = e ln e − e − 1 ln 1 − 1 = 1.  1

1

(g) Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a √ t = 3x + 1, 0 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ t ≤ 4 helyettesítést, azaz tekintsük az t2 − 1 =: g(t) (1 ≤ t ≤ 4) 3 helyettesítő függvényt. A g függvény szigorúan monoton növekedő az [1, 4] intervallumon, deriválható és g 0 (t) = 32 t (t ∈ [1, 4]), ezért a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: Z Z dx 1 2 √ = · t dt √ . 2 2 t= 3x+1 (t − 1) + t 3 2x + 3x + 1 3 x=

Mivel Z

Z Z 1 2 2t 2t · t dt = dt = dt = 2 2 2 2t + 3t − 2 (2t − 1)(t + 2) (t − 1) + t 3 3 Z h A B i = + dt = · · · = 2t − 1 t + 2 Z Z 2 1 4 1 1 4 = dt + dt = ln(2t − 1) + ln(t + 2) + C, 5 2t − 1 5 t+2 5 5

56

2. A határozott integrál ha t ∈ [1, 4], ezért Z √ √
4
dx 1 √ dx = ln 2 3x + 1 − 1 + ln 3x + 1 + 2 + C. 5 5 2x + 3x + 1 A Newton–Leibniz-tétel alapján tehát Z 5 √ √

i5 ln 112 dx 1h √ . dx = ln 2 3x + 1 − 1 + 4 ln 3x + 1 + 2 = 5 5 0 3x + 1 0 2x + (h) Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Most a √ t = ex − 1, 0 ≤ x ≤ ln 2, 0 ≤ t ≤ 1 helyettesítéssel próbálkozunk, azaz vesszük az x = ln(1 + t2 ) =: g(t) (0 ≤ t ≤ 1) 2t helyettesítő függvényt. A g függvény deriválható és g 0 (t) = 1+t 2 (t ∈ [0, 1]), g tehát szigorúan monoton növekedő. A határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: Z Z Z  √ 2t 1  x e − 1 dx = t · dt dt √ = 2 1 − = 1 + t2 t=√ex −1 1 + t2 t= ex −1   √ √ = 2t − 2arctg t √ = 2 ex − 1 − 2arctg ex − 1 + C. t= ex −1

A Newton–Leibniz-tétel alapján tehát Z ln 2 h √ iln 2 √ √ π ex − 1 dx = 2 ex − 1 − 2arctg ex − 1 =2− .  2 0 0

2.2. M26. ... M27. ...

A határozott integrál alkalmazásai

2.2. A határozott integrál kiszámítása M28. M29. M30. M31. M32. M33.

57

...  ...  ...  ...  ...  (b) Az ívhossz kiszámolásához szükségünk van a deriváltra: f 0 (x) =

3√ x. 2

Ezért Z l=

4

Z q  2 0 1 + f (x) dx =

0

√
8 = 10 10 − 1 .  27

0

4

q h8  32 i4 9 9 1 + 4x = 1 + 4 x dx = 27 0

(d) Mivel f 0 (x) = cos1 x · (− sin x) = −tg x, ezért Z πq Z πp 3 3  2 0 l= 1 + f (x) dx = 1 + tg2 x dx = 0 0 Z π Z πr 2 2 3 3 1 cos x + sin x dx = dx. = 2 cos x 0 0 cos x
Az cos1 x x ∈ (0, π3 ) függvény primitív függvényét a már ismert t = tg x2 -es helyettesítéssel számítjuk ki: Z Z 2 1 1 · = dx = dt 2 2 1−t cos x 1 + t t=tg x2 2 1+t Z Z 2 1 = dt = dt = 2 x 1−t (1 − t)(1 + t) t=tg x2 t=tg 2 Z   1+t
1 1  = + dt = ln + c . 1−t 1+t 1−t t=tg x2 t=tg x2 Ezért Z l= 0

π 3

√ h 1 + tg x i π3 1 3+1 2 dx = ln = ln √ .  x cos x 1 − tg 2 0 3−1

58

2. A határozott integrál

M34. ...  M35. (c) A sin4 x (x ∈ R) függvény primitív függvénye: Z Z Z Z
4 2 2 2 sin x dx = sin x 1 − cos x dx = sin x dx − sin2 x cos2 x dx = Z Z 1 − cos 2x 1 = dx − sin2 2x dx = 2 4 Z 1 − cos 4x x sin 2x 1 − dx = = − 2 4 4 2 3 sin 2x sin 4x = x− + + c, 8 4 32 ezért a keresett térfogat: Z π h3 sin 2x sin 4x iπ 3 2 + = π .  π f 2 (x) dx = x − 8 4 32 0 8 0