Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 4. téma Teljes valószínőség tétel és a Bayes-tétel Teljes valószínőség tétel. Szemléltetés fa diagrammal. Bináris csatorna példája. Bayes-tétel és alkalmazása. Inverz fa diagram. Feladatok.

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Teljes valószínőség tétel TELJES VALÓSZÍNŐSÉG TÉTEL Legyen B1, B2, B3,…, Bn teljes eseményrendszer, azaz páronként egymást kizáró események, melyek összege az Ω eseménytér: Bk·Bi=Ø ( ha k≠i ) és B1+ B2+ B3+…+ Bn = Ω.

Ekkor tetszıleges A eseményre n

P( A) = P ( A | B1 ) ⋅ P( B1 ) + P ( A | B2 ) ⋅ P( B2 ) + ... + P ( A | Bn ) ⋅ P( Bn ) = ∑ P ( A | Bk ) ⋅ P( Bk ) k =1

Bizonyítás A·B1

A·B2

A·B3

B2

B1

B3

A = A ⋅ Ω = A ⋅ ( B1 + B2 + ... + Bn ) = = A ⋅ B1 + A ⋅ B2 + ... + A ⋅ Bn Mivel (A·Bk)·(A·Bi)=Ø , ha k≠i , ezért

A A·B4

P( A) = P ( A ⋅ B1 + A ⋅ B2 + ... + A ⋅ Bn ) =

B4

= P ( A ⋅ B1 ) + P ( A ⋅ B2 ) + ... + P ( A ⋅ Bn )

B5 A·B5

Teljes valószínőség tétel A valószínőségek szorzás-tétele alapján

P ( A ⋅ Bk ) = P ( A | Bk ) ⋅ P ( Bk ) minden k=1, 2, 3,…, n esetén. Behelyettesítve az elızı egyenlıségbe, kapjuk a bizonyítandó teljes valószínőség tétel formuláját n

P( A) = P ( A | B1 ) ⋅ P( B1 ) + P ( A | B2 ) ⋅ P( B2 ) + ... + P ( A | Bn ) ⋅ P( Bn ) = ∑ P ( A | Bk ) ⋅ P( Bk ) k =1

A tétel olyan esetekben hasznos segítség, amikor az összeg tagjai könnyebb kiszámítani, mint közvetlenül az A esemény valószínőségét.


Szemléltetés fa diagrammal

ValószínőSzorzat ségeik események

P(A|B1 )

B1 B1

A

A

B1·A

P(B1·A)

A

P(B1 ) P(A|B2 ) P(B2 ) B2

start

B3

A

B2·A

P(B2·A)

B3·A

P(B3·A)

B2 A

Feldaraboltuk az eseményteret idegen részekre a B1, B2 és B3 eseményekkel! Tetszıleges A eseményt ez a darabolás diszjunkt Bk·A részekre oszt.

P(A|B3 )

P(B3 )

A

B3 A

A gráf start csúcsából induló élek megfelelnek a darabolásoknak. Az egyes élekre írt P(Bk) valószínőségek, a darabok mértékei az egészhez viszonyítva. A következı bináris élsorozatok azt mutatják, hogy az egyes darabok mekkora része van A-ban illetve mekkora része nincs Aban. Az élekre a feltételes valószínőségek kerülnek. A valószínőségek szorzás szabálya alapján a levelekhez vezetı úton vett szorzatok a szorzat események valószínőségeit adják P(Bk·A) = P(A|Bk ) ·P(Bk ) Ha a szürkével jelölt sorok valószínőségeit összeadjuk, akkor megkapjuk A valószínőségét! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Bináris csatorna átmenet valószínőségei Kódolás

0

0,95

A Encoder

0,0 5

0,6

0,1

0,9

A

Adott valószínőségek

Vétel

B

Események 1 A = { az adó 1 jelet ad }

Decoder

0,4 érkezése

Bináris jelek

1

átvitel

B

B = { a vevı 1 jelet vett } 0

P(A) = 0.4

P(B|A) = 0.95

P(B|A) = 0.1

P(A) = 0.6

P(B |A) = 0.05

P(B |A) = 0.9

P(B)= mekkora az 1 jel vételének valószínősége? Keresett valószínőségek

P(A| B) = mekkora valószínőséggel továbbított 1 jelet az adó, feltéve hogy a vevı 1 jelet vett?


Bináris csatorna döntés fa diagramja Az adás bitjei

A vétel bitjei

P

Start

) (A

P(

A) =

Útvonal valószínőségek szorzata

B

w1 = A·B

0.4 · 0.95 = 0.38 = P(ω1)

.05

B

w2 = A·B

0.4 · 0.05 = 0.02 = P(ω2)

0.1 = ) |A P(B

B

w3 = A·B

0.6 · 0.1 = 0.06 = P(ω3)

B

w4 = A·B

0.6 · 0.9 = 0.54 = P(ω4)

95 = 0. ) A | P(B

.4 =0

Szorzat események

A P(B |A) =0

0.6

A

P(B| A)=

0.9

Összeg = 1.00

Az 1 jel vételének valószínősége, a teljes valószínőség-tétel alapján

P(B)= P(A·B) + P(A·B)=0.38 + 0.06 = 0.44


Bayes-tétel BAYES - TÉTEL Legyen B1, B2, B3,…, Bn teljes eseményrendszer, azaz páronként egymást kizárók és összegük az Ω eseménytér: Bk·Bi=Ø ( ha k≠i ) és B1+ B2+ B3+…+ Bn = Ω.

Ha az A esemény pozitív valószínőségő és k rögzített index 1 és n között, akkor

P ( Bk | A ) =

P ( A | Bk ) ⋅ P( Bk ) n

∑ P ( A | B ) ⋅ P( B ) i

i

i =1

Bizonyítás Felhasználva a feltételes valószínőség definícióját, a szorzás-szabályt és a teljes valószínőségtételét kapjuk a Bayes-tétel állítását

P ( Bk | A ) =

P ( Bk ⋅ A ) P( A)

=

P ( A | Bk ) ⋅ P( Bk ) P( A)

=

P ( A | Bk ) ⋅ P( Bk ) n

∑ P ( A | B ) ⋅ P( B ) i

i =1

Ezzel igazoltuk a Bayes-tétel állítását. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

i

Bináris csatorna inverz fa diagramja Cseréljük fel az eredeti fa oszlopait! A teljes valószínőségtétel alapján kaptuk!

A vétel bitjei P

= B) ( P

Start

P(

4 0.4

Az adás bitjei

3 0.86 = ) (A|B

Szorzat események

Útvonal valószínőségek szorzatai adottak

A

w1 = A·B

0.38 = P(ω1)

A

w3 = A·B

0.06 = P(ω3)

B P (A |B)

=0 .13

7

Sorrendcsere történt!

B) =

0.5 6

B

5 .03 0 B)= | A P(

A

w2 = A·B

0.02 = P(ω2)

A

w4 = A·B

0.54 = P(ω4)

P(A| B)= 0.96 5

Összeg = 1.00

A Bayes-tétel alkalmazásával kapjuk a P(A|B) valószínőséget!

P(A·B) P(A| B) =

P(B)

=

0.38

= 0.863

0.44


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 1. Tekintsünk egy közúti szállítással foglalkozó céget vagy rendszert! A cég a vállalt szállítási kötelezettségeinek idınként a csúcsforgalom miatt nem tud eleget tenni. Ilyenkor a szállítási feladat meghiúsul, azt mondjuk, hogy a rendszer leáll. A cég a szállítással kapcsolatos feladatait 3 csoportba sorolja: alacsony, közepes és magas szintő szállítási kötelezettségek. Ezek a szállítás sürgısségével függnek össze. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes kötelezettségi szintek gyakoriságai alapján számolt valószínőségeket és a rendszer leállásának feltételes valószínőségeit, az egyes kötelezettségi szintnek megfelelı feltételek mellett

Kötelezettségi szint Alacsony Közepes Magas

P( szint ) 0.6 0.3 0.1

P( a rendszer leáll | szint) 0 0.1 0.5

(a) Határozzuk meg a rendszer leállásának valószínőségét! Rajzoljuk fel a feladat fa diagramját, amelyen tüntessük fel a rendszer mőködését is, mint a leállás ellentét eseményét! (b) Ha azt észlelték, hogy a rendszer leállt, akkor ezt a leállást mekkora valószínőséggel idézte elı egy közepes szintő kötelezettség? Rajzoljuk fel a feladat inverz fa diagramját! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 2. Négy egymást követı közlekedési lámpa szinkronizálási problémájával kapcsolatosan megfigyelték a következı adatokat. Minden egyes lámpa 50 másodperces periódusonként vált át pirosra és ekkor 30 másodpercig piros jelzést ad. A következı feltételes valószínőségeket mérték

(

)

P(Sk+1|Sk) = 0.15 és P S k +1 | S k = 0.40, k =1, 2, 3 esetén, ahol az Sk esemény azt jelöli, hogy a k-adik lámpa megállította a gépkocsivezetıt! A fa diagram felrajzolása segítségével számítsuk ki annak valószínőségét, hogy egy gépkocsivezetıt (a) Mind a négy lámpa megállítja (b) Egyik lámpa sem állítja meg, azaz „zöld hullámot” kap (c) Legfeljebb egy lámpa tartóztatja fel.


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 3.

Három urnánk van. Minden urna tartalmaz 1 fehér golyót. Ez mellett az I. urna 1 fekete golyót, a II. urna 2 fekete golyót és a III. urna 3 fekete golyót tartalmaz. Egy urnát kiválasztunk találomra és a kiválasztott urnából kihúzunk egy golyót. A három urna kiválasztásának a valószínőségei rendre 1/6, ½ és 1/3. Ha tudjuk, hogy fehér golyót húztunk, akkor mekkora a valószínősége, hogy egy adott urnából való a golyó! Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 4. Egy szociológiai kísérlet abban áll, hogy 4 lepecsételt boríték mindegyikébe egy-egy megoldandó problémát tettek. Ezután megkérték a résztvevıket, hogy válasszanak egy borítékot és próbálják megoldani a problémát 10 percen belül. Kísérletek alapján tudjuk, hogy a legnehezebb problémát 0.1 valószínőséggel meg tudják oldani a résztvevık. A többi problémára vonatkozóan a valószínőségek rendre 0.3, 0.5 és 0.8. Tudjuk, hogy a csoportnak sikerült megoldani a problémát a megadott idın belül. Mekkora a valószínősége, hogy a legnehezebb problémát kapták? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!



Angliában egy adott helyen a jó idıjárás esélye 20 %, míg a rossz idıjárás a megfigyelések 80 %-ára teljesül. Ha egy adott nap az idıjárás jó, akkor annak valószínősége, hogy a következı nap is jó idı lesz az 0.25. Ha egy adott napon rossz idı van, akkor annak valószínősége, hogy a következı nap is rossz idı lesz 0.75. Ha ma jó idı van, akkor mi a valószínősége annak, hogy tegnap is jó idı volt? Ha ma rossz idı van, akkor mi a valószínősége annak, hogy tegnap is rossz idı volt? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 6. Egy vizsgán minden kérdésre 4 választási lehetıség közül kell kiválasztani a helyes választ! (ún. multiple-choice teszt) Tegyük fel, hogy ha egy diák tudja a helyes választ, akkor 1 valószínőséggel a jót választja, míg ha találgat, akkor ¼ valószínőséggel válaszol helyesen. Tételezzük fel továbbá, hogy egy jó tanuló a kérdések 90%-ára tudja a választ, egy gyenge tanulónál ugyanez 50%. Ha egy jó tanuló egy kérdésre helyesen válaszolt, akkor mekkora a valószínősége, hogy találgatással találta el a helyes választ? (1/37) Ha egy gyenge tanuló egy kérdésre helyesen válaszolt, akkor mekkora a valószínősége, hogy találgatással találta el a helyes választ? (1/5) Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 7. Egy tranzisztorokat tesztelı gép a hibás tranzisztort 0.95 valószínőséggel felismeri, de egy jó tranzisztort hibásnak minısít 0.1 valószínőséggel. Egy technikus tudja, hogy egy rádióban levı 10 tranzisztor közül 1 hibás (nem tudja, hogy melyik az). Kiválaszt egyet véletlenszerően a 10 közül, majd teszteli és a gép azt mutatja, hogy hibás. Mekkora a valószínősége, hogy a tranzisztor valóban hibás? Tegyük fel, hogy a gép azt mutatja a tesztelés során, hogy a tranzisztor jó. Mekkora a valószínősége ekkor, hogy a tranzisztor mégis hibás? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!



Bizonyos fajta megfázás orvoslására az esetek ⅓ –ánál C vitamint, ½ részénél antibiotikumot míg 1/6 részben látszatgyógyszert (ún. placebo) alkalmaznak. A megfázást a C-vitamin az alkalmazott esetek ¼ részében meggyógyította, míg ugyanez az arány ½ és 3/5 volt az antibiotikum és a látszatgyógyszerek esetében. Ha egy ember nem gyógyult ki a megfázásából, mekkora a valószínősége annak, hogy ennek a C-vitamin volt az oka? Ha egy illetı kigyógyult a megfázásából, akkor mi a valószínősége annak, hogy ez a gyógyulás a látszatgyógyszernek köszönhetı? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 9. Egy zenekutató megpróbálja meghatározni, hogy egy újonnan felfedezett barokk dalnak ki a zeneszerzıje. Úgy gondolja, hogy egyforma valószínőséggel lehet a szerzı Archangelo Spumani és a kevésbé ismert bátyja, Pistachio. A kérdés eldöntésének kulcsa a zeneszerzık által alkalmazott A-dúr és F-moll hangnemek gyakorisága. Ismert, hogy Archangelo az esetek 60% -ban A - dúrban, míg Pistachio az esetek 80%ban F-mollban komponált. Ha a zenekutató által felfedezett zenemővet F-mollban írták, akkor mi a valószínősége, hogy azt Archangelo komponálta? Illetve Pistachio komponálta? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!


Feladatok teljes valószínőség- és Bayes-tételre 10. Egy hivatal által szervezett pikniken 200 résztvevıbıl 150 fı evett csak egy fogást – krumpli salátát – 30 fı evett két fogásos és 20 fı evett három fogásos ételt (ezek között is szerepelt a krumpli saláta). Késıbb a résztvevık közül sokan megbetegedtek, és felfedezték, hogy ennek oka a krumpli saláta volt. Az orvos úgy tapasztalta, hogy a résztvevık 0.3 valószínőséggel betegedtek meg. Ha valaki megbetegedett, akkor mekkora a valószínősége, hogy 1, 2 vagy 3 fogást evett? Ha valaki nem betegedett meg, akkor mekkora a valószínősége, hogy 1, 2 vagy 3 fogást evett? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!


Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Recommend Documents