Voor wie kopiëren wil: U vindt dit boek goed en wenst er kopieën van te maken. Bedenk dan ook eens: • dat zowel uitgever als auteurs met de opbrengst ervan hun kosten moeten dekken; • dat kopiëren zonder toestemming niet alleen getuigt van weinig respect, maar ook onwettig (en strafbaar) is.
Beste leerling Wiskunde leren kan leuk zijn. Maar dan moet jij eerst weten hoe je graag wiskunde ontdekt. Begin je graag onmiddellijk oefeningen te maken of raadpleeg je eerst de theorie? Bouw je het liefst zelf de theorie stapsgewijs op of heb je graag hulp van je leraar? Matrix Wiskunde geeft je verschillende mogelijkheden. In elk geval moet je zelf aan de slag: samen met je leraar, samen met je klasgenoten of alleen. Verklaring van de iconen: Je mag een rekenmachine gebruiken. Je mag geen rekenmachine gebruiken. Werk de oefening uit op een apart blad. Zorg ervoor dat je steeds een aantal cursusbladen in je mapje hebt zitten. ad
Dit is leerstof van het eerste jaar. In je vademecum vind je de theorie.
Elke nieuwe les start in het leerwerkboek. • In de ‘Op verkenning’ ga je op zoek naar nieuwe leerstof die je via vragen en opdrachten zelf kunt ontdekken. Wat je zelf ontdekt, begrijp je immers beter en onthoud je langer. • De leerstof die je moet onthouden, wordt samengevat in een kader. Als de leerstof niet duidelijk is, kun je uitleg vragen aan je leraar of een leerling van je klas. • Daarna maak je een eerste reeks oefeningen. Zo kun je nagaan waar je problemen ondervindt. • Naast elke oefening vind je een verwijzing naar vervolgoefeningen in het oefenboek. –– Als je moeilijkheden ervaart, volg je de weer-verwijzingen. –– Wil je meer uitdagende oefeningen? Dan maak je de meer-oefeningen. Op die manier kom je zeker aan je trekken. In het oefenboek vind je heel wat oefenmateriaal op verschillende niveaus. Het niveau van elke oefening staat vermeld bij het nummer van de oefening. Ga nooit naar een hoger niveau als je het vorige nog niet beheerst. Op het openleertraject vind je alle oefeningen uit het leerwerkboek en het oefenboek in een handig overzicht. Gebruik markeerstiften om het openleertraject te personaliseren: • Kleur de oefeningen die jij moet maken geel. • Gebruik groen om een oefening te overkleuren als je ze correct kon oplossen. • Gebruik rood als je fouten hebt gemaakt. Op die manier zie je onmiddellijk met welke leerstof je problemen hebt op welk niveau. Uiteraard kun je ook digitaal oefeningen maken. Je vindt een massa oefenmateriaal op www.matrixwiskunde.be.
Voor meer info: www.pelckmans.be © 2010, Uitgeverij Pelckmans, Kapelsestraat 222, 2950 Kapellen Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot de reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Alles wat je moet kennen en kunnen op het einde van het tweede jaar staat in het vademecum. • De leerstof uit het basisonderwijs en het eerste jaar, die je ook dit jaar nog nodig hebt, wordt aangegeven met een apart icoon. • Bij het begin van het tweede jaar kun je een (digitale) diagnosetoets maken om na te gaan of je deze leerstof nog beheerst. Vanaf het tweede jaar hechten we veel belang aan bewijsvoering, vooral in de meetkunde. Een eigenschap bewijzen betekent dat je de waarheid van die uitspraak aantoont. Bewijzen gebeurt steeds op de volgende manier: verkennen – analyseren (vooruitdenken – terugdenken) – plan maken.
All rights reserved. No part of this book may be reproduced, stored or made public by any means whatsoever, whether electronic or mechanical, without prior permission in writing from the publisher.
In Matrix Wiskunde zul je ontdekken dat je wiskunde kunt gebruiken in heel wat dagelijkse situaties en om concrete problemen op te lossen. Op het einde van elk lesgeheel vind je in de rubriek problemsolving een reeks uitdagende problemen die je alleen of samen met je klasgenoten kunt oplossen.
Omslag en typografie: Studio Uitgeverij Pelckmans Lay-outontwerp: Studio Uitgeverij Pelckmans Lay-outuitvoering: Gambaz Tekeningen: Johan Verheyen, Gambaz
We wensen je een boeiende en leerrijke ontdekkingsreis toe. De auteurs
ISBN 978 90 289 4860 0 D/2010/0055/130 NUR 126 – 128 Onderwerpen: wiskunde, meetkunde
3
Hoe werk je met Matrix Wiskunde ? Voorbeelden om de theorie te illustreren en te verduidelijken.
M3
564 B
LEERWERKBOEK
De E-oefeningen zou je foutloos moeten kunnen maken. De B-oefeningen moet je vlot kunnen maken om naar de Tweede graad te gaan, welke studiekeuze je ook maakt.
Het volume van een piramide, een kegel en een bol (uitbreiding) Op verkenning • a
Het volume van een piramide
.............................................................................................................................................................................................................................
•
Hoe heet het ruimtelichaam links op de foto? ............................................................................
•
Hoe bereken je het volume van een prisma?
•
Vergelijk het volume van een piramide met het volume van een prisma met dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlak.
•
Wat moet je doen met het volume van de cilinder om het volume van de kegel te bepalen?
•
–
Hoeveel keer denk je dat de inhoud van de piramide in het prisma kan?
–
Vul de piramide en giet het water over in het prisma.
Wiskundetaal – formule voor het volume van een kegel Het volume van een kegel met grondvlak G en hoogte h
................
–
Meet de hoogte van het gevulde deel (= volume piramide).
–
Meet de hoogte van het prisma.
–
Hoeveel keer kan de inhoud van de piramide in het volume van het prisma?
Noteer de formule om het volume van een kegel te berekenen. V = .....................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................
........................................
SG · h V = _ 3
.............................................................................................
h
.......
G
Wat moet je doen met het volume van het prisma om het volume van de piramide te bepalen?
CONTROLE 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................
•
c
V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................... Wiskundetaal – formule voor het volume van een piramide Volume V
•
SG · h V = _ 3
G Bereken het volume van een vierzijdige piramide. Het grondvlak is een rechthoek met als lengte 2 dm en breedte 3 dm. De hoogte van de piramide is 5 dm.
b
16
Het volume van een kegel Welk ruimtelichaam heeft hetzelfde grondvlak als een kegel? .....................................................
•
Hoe bereken je het volume van een cilinder?
•
Vergelijk het volume van een kegel met het volume van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.
•
.....................................................................................
–
Hoeveel keer denk je dat de inhoud van de kegel in de cilinder kan? Vul de kegel en giet het water over in de cilinder.
–
Meet de hoogte van het gevulde deel (volume kegel). ...........................................................
– –
Herschrijf de formule voor het volume van de cilinder.
Noteer de formule voor het volume van een kegel en herschrijf de formule ook voor deze kegel.
–
Meet de hoogte van de cilinder. .....................................................................................................
–
Hoeveel keer kan de inhoud van de kegel in het volume van de cilinder?
aantal ribben
de naam van de piramide
567 V** het aantal grensvlakken
566 V*
4
.............................................................................................................................................................. ............................................
5
•
Hoeveel keer is het volume van de hele bol groter dan het volume van de kegel?
•
Noteer de formule voor het volume van de bol. V = ................................................................
.......................................................................................................................................................................
c Wiskundetaal – formule voor het volume van een bol Het volume van een bol met straal r.
Basisbegrippen 565 B
•
Vul in (geef het correcte aantal of geef de meest passende benaming). Hoeveel grensvlakken heeft een vijfzijdige piramide?
�������������������������������������������������������������
b
Welke vorm heeft het grondvlak van een vierzijdige piramide?
�������������������������������������������������������������
c
Welke vorm heeft het grondvlak van een driezijdige piramide?
�������������������������������������������������������������
d
Welke vorm hebben de opstaande grensvlakken van een achtzijdige piramide?
�������������������������������������������������������������
e
Hoeveel ribben heeft een twaalfzijdige piramide?
�������������������������������������������������������������
f
Hoeveel hoekpunten heeft een piramide met 10 ribben?
�������������������������������������������������������������
g
Hoeveel opstaande grensvlakken heeft een piramide met 12 ribben?
�������������������������������������������������������������
W
Een piramide met n grensvlakken is een � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � - zijdige piramide� Een piramide met n hoekpunten heeft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ribben�
c
Een piramide met n ribben heeft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � grensvlakken�
In de vlakke meetkunde is een regelamtige veelhoek een veelhoek waarvan ale zijden even lang zijn en alle hoeken even groot. In de ruimtemeetkunde is een regelmatig veelvlak een veelvlak waarvan alle grensvlakken regelmatige veelhoeken zijn en waarbij in elk hoekpunt evenveel zijvlakken samenkomen. Er bestaan slechts 5 regelmatige veelvlakken. Vul de tabel aan: Aantal grensvlakken
Aantal hoekpunten
Aantal ribben
Klas:
I
S
K
U
I
kubus of regelmatig � � � � � � � � � vlak
N
D
X
1
E
octaëder of regelmatig � � � � � � � � � vlak
Naam:
.............................................. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Nummer:
. ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
Schooljaar: .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Piramide, kegel en bol .. .. ... . ..
M2 Piramide, kegel en bol • Kleur de oefeningen die jij moet maken geel. • Gebruik groen om een oefening te overkleuren als je ze correct kon oplossen. • Gebruik rood als je fouten hebt gemaakt.
M2
7
OPENLEERTRAJECT
Leerwerkboek E B V
een bol met straal 2 cm. (Rond je resultaat af tot op 2 cijfers na de komma.)
Volume V
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
4 πr3 V = _ 3
CONTROLE 3
Een gasluchtballon heeft de vorm van een bol. Wat is het volume van zo’n ballon met een straal van 6,2 m? Rond het volume zinvol af.
a
B
M1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
De piramide van Cheops heeft een vierkant als grondvlak met een zijde van 230,4 m en de hoogte is 146,6 m.
Oefenboek E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
Ruimtelijke situaties voorstellen in een vlak
MEER? 599
569
..................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weetje
.....................................................................................................................
b
Kunstenaars willen deze piramide tijdens een zandsculptuurfestival nabouwen op schaal 1:100. Hoeveel m³ zand hebben zij nodig? (Rond af tot op 1 dm³.)
M2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
De piramide, de kegel en de bol
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
588
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
C
Oefeningen
Hoeveel keer is het volume van de piramide van zand kleiner dan de echte piramide? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
7
Bereken het volume van … a een vierzijdige piramide met een vierkant als grondvlak. De zijde van het vierkant bedraagt 1,5 m en de hoogte is 2 m. ............................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................
9
Een halve bol met straal r wordt gevuld met water. Als je dit water in een cilinder giet met straal r en hoogte 4r, welk deel van de cilinder is dan gevuld? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
WEER? 600 603 MEER? 601 602 604-608
Je scoort goed op het basisniveau. M3 een Waarom niet eens Het volume van een piramide, een kegel en V*-oefening proberen? een bol
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................. .............................................................................................................................................................................................................................
8 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
.............................................................................................................................................................................................................................
b
een kegel met als diameter van het grondvlak 5 cm en als hoogte 3 dm. ............................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................
G13
............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................
Recht en omgekeerd evenredige grootheid
Wat moet je kunnen? � het volume bepalen van een piramide, een kegel en een bol Ruimtemeetkunde
V
V
Je ziet onmiddellijk welke leerstof je onder de knie hebt en welke niet.
565 571 575 577 580 584 586
..................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eén van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis is ongetwijfeld Archimedes (287 - 212 v. Chr.). Op een gedenksteen bij zijn graf is een figuur gebeiteld die hiernaast is geschetst. Ze illustreert de stelling van Archimedes. Geloof je het niet? Je kunt deze stelling controleren in een oefening in je oefenboek.
V
Bereken het volume van deze piramide.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
a b
M A T R
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
r
MEER? 594-598
Een n-zijdige piramide heeft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ribben� Een n-zijdige piramide heeft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � opstaande grensvlakken�
Schrijf in wiskundetaal (n is een natuurlijk getal groter dan 2).
Het volume van een piramide, een kegel en een bol (vervolg)
8
Ben je op zoek naar meer uitdagende oefeningen of problemen? Dan volg je de ‘meer’verwijzingen. Zo kun je telkens een trapje hoger gaan in moeilijkheidsgraad.
Een n-zijdige piramide heeft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � hoekpunten�
c d
� � � � � � � � � vlak
Heb je de leerstof goed begrepen?
WEER? 592 593
b
het aantal hoekpunten
1
17
M3
Een n–zijdige piramide heeft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � grensvlakken�
tetraëder of regelmatig
Moeilijker: niet iedereen moet deze oefeningen kunnen maken. Wil je graag een studierichting volgen met veel uren wiskunde, dan moet je deze oefeningen zeker OPENLEERTRAJECT te personaliseren: ook beheersen.Gebruik kleur om dit openleertraject 6
3
Vul de kegel en giet het water over in de halve bol. Op foto 3 zie je het resultaat. Vul de kegel nogmaals en giet opnieuw. Wat stel je vast? (foto 4)
Hoeveel keer gaat het water van de kegel in de halve bol?
a
Naam
Ruimtemeetkunde
Ervaar je moeilijkheden bij een oefening, dan kun je in je oefenboek verder oefenen tot je het heel goed kunt. Je volgt de ‘weer’verwijzing.
c
de vorm van de opstaande grensvlakken
2
.......................................................................................................................................................................
......................
b
het aantal ribben
Hoeveel keer denk je dat het volume van de kegel in de halve bol kan?
–
n
het aantal opstaande ribben
SG = ..................................................................................................................................................... Waardoor mag je de hoogte bij deze cilinder vervangen?
...............................
6
aantal opstaande grensvlakken
Noteer de formule voor het volume van een cilinder.
– –
–
a
1
V = ...............................................................................................................................................................
•
5
aantal hoekpunten
566 V*
V = ....................................................................................................................................................... •
V = ...........................................................................................................................................
4
aantal grensvlakken
het aantal opstaande grensvlakken
..............................................................................................................................................................
CONTROLE 1
3
aantal zijden grondvlak
V = ............................................................................................................................................................... – Hoe bepaal je de oppervlakte van het grondvlak?
h
Schrijf in wiskundetaal (n is een natuurlijk getal groter dan 2).
Vul het schema in.
564 B
Bereken het volume van de kegel met diameter 8 cm en hoogte 10 cm.
Het volume van een bol Hiernaast zie je een halve bol, een kegel en een cilinder. De straal van de halve bol is de straal van het grondvlak van de kegel en de cilinder. De straal van de halve bol is ook de hoogte van de kegel en de cilinder.
SG is de oppervlakte van het grondvlak.
566 V*
kegel en bol Titel M2 1 Piramide,
V = ....................................................................................................................................
Noteer de formule om het volume van een piramide te berekenen.
Het volume van een piramide met grondvlak G en hoogte h
Volume V
OEFENBOEK
MEETKUNDE Lesgeheel 1
Inzicht opbouwen door vragen en opdrachten.
567 V** Als je de oefeningen van V** goed kon oplosssen, is het de moeite waard om je nog een trapje hoger te wagen. De V***oefeningen zijn alleen voor de bollebozen in de wiskunde. Als je deze oefeningen kunt maken, kun je met een gerust hart kiezen voor een studierichting waar wiskunde een hoofdvak is.
19
600
576 578 581
589 585
589
594 595 596 597 598 599 je een 605 probleem. 601 Hier 602heb 604 608 603 Vraag uitleg 606 aan607 de leraar
of aan een medeleerling en maak extra oefeningen op hetzelfde niveau of zet een stapje terug.
G14 Vraagstukken met recht en omgekeerd evenredige grootheden
4
Hoe werk je met matrix wiskunde?
5
Wiskunde wandeling Inhoud
1
Lesgeheel 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situaties voorstellen in een vlak M2 De piramide, de kegel en de bol M3 Het volume van een piramide, een kegel en een bol
8 12 16
Lesgeheel 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11
Spiegelingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de spiegeling Symmetrie Verschuivingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de verschuiving Draaiingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de draaiing De puntspiegeling
Ruimtemeetkunde
22 26 28 30 34 36 38 40
Dit kun je al 1 kubus en balk in cavalièreperspectief tekenen 2 piramide, kegel en bol herkennen 3 volume berekenen van kubus, balk en cilinder
Lesgeheel 3 Hoeken M12 Indeling van de hoeken volgens hun som M13 Indeling van de hoeken volgens hun ligging M14 Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M16 De som van de hoeken in een driehoek M17 Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken M18 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M19 Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek
44 46 50 54 58 60 62 70
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar je vademecum. A
1
Lesgeheel 4 Congruentie M20 M21 M22 M23 M24 M25 M26
Congruente figuren Congruente driehoeken Bewijzen met congruente hoeken Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek
74 76 82 86 88 90 94
2
Lesgeheel 5 Eigenschappen van driehoeken M27 M28 M29 M30 M31 M32 M33 M34
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een buitenhoek van een driehoek Constructie en classificatie van driehoeken De driehoeksongelijkheid Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Bewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek Bewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek Bewijs: de driehoeksongelijkheid
100 104 106 108 110 114 116 117
B
C
Verder oefenen?
Een kubus wordt voorgesteld in cavalièreperspectief. Wat is de correcte voorstelling?
ad
Welke ruimtefiguur is een piramide? ad
3
Hoe bereken je het volume van een cilinder?
V = 2πrh
V = πr2h
V=l·b·h ad
Lesgeheel 6 Eigenschappen van vierhoeken M35 M36 M37 M38
6
Eigenschappen van vierhoeken Classificatie van vierhoeken Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek
120 124 128 130
Thema’s
135
Register
151
INHOUD
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • • •
M1 Ruimtelijke situaties voorstellen in een vlak M2 De piramide, de kegel en de bol M3 Het volume van een piramide, een kegel
leerwerkboek p. 1 - 20 oefenboek nr. 564 - 608 rekenmachine geodriehoek passer
en een bol
p. 8 p. 12 p. 16
7
M1
Ruimtelijke situaties voorstellen in een vlak Op verkenning Wiskundetaal – begrippen
Aanzichten • Wat is de vorm van elk grensvlak van de dobbelsteen in werkelijkheid?
Een vluchtlijn of verdwijnlijn is de drager van een ribbe die loodrecht op het voorvlak staat.
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
• De grootte van elke hoek is in werkelijkheid . . . . . . . . . . en de lengte van elke ribbe is Ruimtefiguren kun je vanuit verschillende hoeken bekijken. Wat je dan ziet, noem je het aanzicht.
In cavalièreperspectief worden het voorvlak en het achtervlak op ware grootte of op schaal getekend.
......... .
• • • • • •
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
•
Wat is de vorm van elk aanzicht?
•
Wat weet je over de grootte van de hoeken en de lengte van de zijden van elk aanzicht?
.....................................................................................................
c
Isometrisch perspectief •
Elke hoek is . . . . . . . . . . en elke zijde is ..................................................................................................................................................... . . . . . . . Wiskundetaal – begrippen
b
Wat is de vorm van elk grensvlak op de figuur? ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Een aanzicht is het beeld dat je ziet vanuit één bepaalde kant.
• • • •
Wat is de lengte van elke ribbe? ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
•
De ribben die loodrecht op het voorvlak staan, worden gehalveerd. De hoek gevormd door (het verlengde van) de horizontale en de vluchtlijnen is 45°. De lengtes van de ribben van het voorvlak en het achtervlak blijven behouden, de andere worden gehalveerd. De hoekgrootten van het voorvlak en achtervlak blijven behouden. De hoekgrootten van de andere vlakken wijzigen. De evenwijdigheid blijft behouden.
Een grensvlak wordt voorgesteld op ware grootte (schaal) en met zijn werkelijke vorm. De lengtes van de ribben blijven behouden. De hoekgrootten blijven behouden. De evenwijdigheid blijft behouden. De ruimtelijke situatie verdwijnt.
•
Meet de aangeduide hoek: . . . . . . . . . .
Wiskundetaal – begrippen In isometrisch perspectief wordt vooraan een verticale ribbe op ware grootte of op schaal getekend. • • • •
De vluchtlijnen maken een hoek van 30° met de horizontale. De lengtes van de ribben blijven behouden. De hoekgrootten blijven niet behouden. De evenwijdigheid blijft behouden.
Cavalièreperspectief •
Wat is de vorm van het voorvlak op de figuur?
•
Wat is de vorm van het rechterzijvlak op de figuur? .........................................................
•
Welke afmeting klopt niet meer met de werkelijkheid?
..................................................................
. . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................
De drager van deze ribbe noem je ook vluchtlijn of verdwijnlijn. •
d Natuurlijk perspectief • Welke vorm heeft het linkerzijvlak op de figuur? ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
Vergelijk de lengtes van de verticale ribben op de figuur.
Weetje
a
Isometrisch kom t van de Griekse woorden isos en metrein die respectievelijk ge lijk en meten betekenen.
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
Meet de aangeduide hoek: . . . . . . . . . .
Waarom verklein je de afmetingen van ribben, voorwerpen, enz. die verder liggen? �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
Teken de vluchtlijnen van de groene ribben. Wat valt je op? �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
8
Ruimtemeetkunde
9
M1
Ruimtelijke situaties voorstellen in een vlak (vervolg) Weer? 566 - 570
2 Welk soort perspectief wordt gebruikt in deze vlakke voorstellingen? Dit punt wordt een vluchtpunt of verdwijnpunt genoemd. •
Meer? 571
Teken ook het tweede vluchtpunt van de kubus. In een natuurlijk perspectief kun je één of meerdere vluchtpunten tekenen. Dit hangt af van de positie van de waarnemer of tekenaar.
•
Teken een rechte door deze twee vluchtpunten. Hoe loopt die rechte?
������������������������������������������������������������
Wiskundetaal – begrippen Een vluchtpunt (of verdwijnpunt) is het snijpunt van vluchtlijnen.
������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������
Het natuurlijk perspectief of natuurperspectief is een natuurgetrouwe weergave van een voorwerp. • • • •
Vluchtlijnen komen samen in één of meerdere vluchtpunten op de horizon (= horizontale lijn op ooghoogte). De lengtes van ribben blijven niet altijd behouden. De hoekgrootten blijven niet altijd behouden. De evenwijdigheid blijft niet altijd behouden.
Weer? 572 - 574
3 Je ziet twee voorstellingen van een kubus. Zijn volgende uitspraken waar of niet waar? Zet een kruisje in de juiste kolom.
Meer? 575 - 581
O
F
G P
N
H
E
M
B
Oefeningen Weer? 564
1
Teken het vluchtpunt.
A
K
C
L
J
D I
Meer? 565
IJKL is het grondvlak van de kubus waar
niet waar
Driehoek ABC is in werkelijkheid een rechthoekige driehoek. Driehoek GCD is in werkelijkheid een gelijkbenige driehoek. Vierhoek ABCD is op de figuur een ruit. Hoek FEH is in werkelijkheid een rechte hoek. Vierhoek NMIJ is op de figuur een vierkant. Driehoek PMI is in werkelijkheid een gelijkbenige driehoek. Hoek NOP is op de figuur een rechte hoek. Vierhoek NOKJ is op de figuur een ruit.
Wat moet je kunnen?
10
Ruimtemeetkunde
ττ de verschillende perspectieven herkennen ττ informatie die verloren is gegaan op tekeningen in verschillende perspectieven weergeven
11
De piramide, de kegel en de bol Op verkenning a
b
De piramide • Vul de juiste benamingen in. Kies uit: opstaande ribbe, ribbe van het grondvlak, opstaand grensvlak, grondvlak, top, hoogte, hoekpunt. 1
.........................................
T
2
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............
R •
L
Q
Wentel de driehoek om een rechthoekszijde over een hoek van 360°.
D
.........................................
C
middelpunt
A
M
K
hoogte
F
.........................................
•
Het grondvlak van een piramide is ........................................................................................................................................ . . . . . .
– De opstaande grensvlakken zijn altijd .................................................................................................................................. . . . . . . Het aantal zijden van het grondvlak bepaalt de naam van de piramide. Een piramide met een driehoek als grondvlak noem je een driezijdige piramide. •
straal van het grondvlak
B
Vul aan. –
•
top
M
J .........................................
Knip uit een blad een rechthoekige driehoek.
.........................................
E P
•
• Welke ruimtefiguur bekom je? . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dit soort ruimtefiguur noem je een omwentelingslichaam.
T
3
De kegel
Welk omwentelingslichaam bekom je als je een rechthoek wentelt om een zijde over een hoek van 360°?
Weetje
M2
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Benoem bovenstaande piramides.
kegels en Er bestaan ook omwencilinders die geen zijn. telingslichamen
Wiskundetaal – begrippen
–
piramide 1: ...................................................................................................................................................................................... . . . . . .
–
piramide 2: ...................................................................................................................................................................................... . . . . . .
–
piramide 3: ...................................................................................................................................................................................... . . . . . .
Een kegel is een ruimtefiguur met als grondvlak een cirkel en die in een punt uitloopt.
ad
T
Wiskundetaal – begrippen Een piramide is een ruimtefiguur begrensd door een veelhoek met n zijden en n driehoeken (die samenkomen in de top).
T
E D
A Top: T De hoogte: | TM | Middelpunt van het grondvlak: M | AM | Straal van het grondvlak:
F A
M C
B
Het grondvlak van de piramide is een zeshoek, dus is het een zeszijdige piramide. Top: T Hoekpunten: T, A, B, C, D, E en F De hoogte: | TM | [TM] staat loodrecht op het grondvlak. Grensvlakken: • Het grondvlak: veelhoek ABCDEF • Opstaande grensvlakken: ∆ATB, ∆BTC, ∆CTD, ∆DTE, ∆ETF en ∆FTA Ribben: • Zijden van het grondvlak: [AB], [BC], [CD], [DE], [EF] en [AF] • Opstaande ribben: [TA], [TB], [TC], [TD], [TE] en [TF]
Naam:
12
Ruimtemeetkunde
M
c
De bol •
De bol is ook een . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
•
Welke figuur moet je draaien om een as om een bol te bekomen?
straal M
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
13
M2 G2
De piramide, de kegel en de bol (vervolg) 5 Van een ruimtelichaam krijg je het vooraanzicht en het rechterzijaanzicht. Omcirkel de naam van de ruimtelichamen die bij het vooraanzicht en het rechterzijaanzicht kunnen horen.
Wiskundetaal – begrippen Een bol is een ruimtefiguur die je bekomt door een cirkel om zijn middellijn te wentelen over 360°.
A M
vaz Kubus Balk Cilinder Prisma
Middelpunt van de bol: M | AM | Straal van de bol:
Oefeningen WEER? 582 583 MEER? 584 - 589
4
Weer? 590
raz Piramide Kegel Bol
vaz
raz
Kubus Balk Cilinder Prisma
Piramide Kegel Bol
6 Van 2 ruimtelichamen krijg je de bovenaanzichten. Omcirkel de vooraanzichten die bij deze bovenaanzichten kunnen horen.
vaz Kubus Balk Cilinder Prisma
raz Piramide Kegel Bol
Weer? 591
Hieronder is een achtzijdige piramide getekend. Geef de juiste naam. a
T:
...........................................................
b
[AB]:
...........................................................
c
| TM | :
...........................................................
d
ΔTAH:
...........................................................
e
ΔTMD:
...........................................................
f
[FT]:
...........................................................
T
C
D E
B M A
F H
G
Wat moet je kunnen? ττ een piramide, kegel en bol herkennen
14
Ruimtemeetkunde
15
M3
Het volume van een piramide, een kegel en een bol (uitbreiding) Op verkenning a
•
Wat moet je doen met het volume van de cilinder om het volume van de kegel te bepalen?
•
Noteer de formule om het volume van een kegel te berekenen.
Het volume van een piramide
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
•
Hoe heet het ruimtelichaam links op de foto? ............................................................................
•
Hoe bereken je het volume van een prisma?
•
Vergelijk het volume van een piramide met het volume van een prisma met dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlak.
•
V = . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
...............................................................................
–
Hoeveel keer denk je dat de inhoud van de piramide in het prisma kan?
–
Vul de piramide en giet het water over in het prisma.
–
Meet de hoogte van het gevulde deel (= volume piramide).
–
Meet de hoogte van het prisma.
–
Hoeveel keer kan de inhoud van de piramide in het volume van het prisma?
Wiskundetaal – formule voor het volume van een kegel Het volume van een kegel met grondvlak G en hoogte h
................
........................................
SG · h V = _ 3
.............................................................................................
h
.......
G
Wat moet je doen met het volume van het prisma om het volume van de piramide te bepalen?
CONTROLE 2
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
•
Wiskundetaal – formule voor het volume van een piramide Het volume van een piramide met grondvlak G en hoogte h
Volume V
c
Het volume van een bol Hiernaast zie je een halve bol, een kegel en een cilinder. De straal van de halve bol is de straal van het grondvlak van de kegel en de cilinder. De straal van de halve bol is ook de hoogte van de kegel en de cilinder. •
SG · h V = _ 3
Bereken het volume van de kegel met diameter 8 cm en hoogte 10 cm. V = .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Noteer de formule om het volume van een piramide te berekenen. V = . . . . . ..........................................................................................................................................................
Volume V
1
Noteer de formule voor het volume van een cilinder. V = . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . – Hoe bepaal je de oppervlakte van het grondvlak?
SG is de oppervlakte van het grondvlak. h G
–
SG = . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Waardoor mag je de hoogte bij deze cilinder vervangen?
–
Herschrijf de formule voor het volume van de cilinder.
2
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
CONTROLE 1
Bereken het volume van een vierzijdige piramide. Het grondvlak is een rechthoek met als lengte 3 dm en breedte 2 dm. De hoogte van de piramide is 5 dm. V = ...........................................................................................................................................
b
16
V = . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
Het volume van een kegel
3
V = . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
•
Welk ruimtelichaam heeft hetzelfde grondvlak als een kegel? .....................................................
•
Hoe bereken je het volume van een cilinder?
•
Vergelijk het volume van een kegel met het volume van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.
•
.....................................................................................
–
Hoeveel keer denk je dat de inhoud van de kegel in de cilinder kan?
–
Vul de kegel en giet het water over in de cilinder.
–
Meet de hoogte van het gevulde deel (volume kegel). ...........................................................
–
Meet de hoogte van de cilinder. .....................................................................................................
–
Hoeveel keer kan de inhoud van de kegel in het volume van de cilinder?
Ruimtemeetkunde
Noteer de formule voor het volume van een kegel en herschrijf de formule ook voor deze kegel.
Hoeveel keer denk je dat het volume van de kegel in de halve bol kan? – –
Vul de kegel en giet het water over in de halve bol. Op foto 3 zie je het resultaat. Vul de kegel nogmaals en giet opnieuw. Wat stel je vast? (foto 4) . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
...............................
–
......................
4
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
•
Hoeveel keer gaat het water van de kegel in de halve bol?
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Hoeveel keer is het volume van de hele bol groter dan het volume van de kegel?
5
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
•
Noteer de formule voor het volume van de bol. V = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
17
M3
Het volume van een piramide, een kegel en een bol (vervolg) c Wiskundetaal – formule voor het volume van een bol Het volume van een bol met straal r
een bol met straal 2 cm. (Rond je resultaat af tot op 2 cijfers na de komma.) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Volume V . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
r M
4 πr3 V = _ 3
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
8 CONTROLE 3
Een gasluchtballon heeft de vorm van een bol. Wat is het volume van zo’n ballon met een straal van 6,2 m? Rond het volume zinvol af.
De piramide van Cheops heeft een vierkant als grondvlak met een zijde van 230,4 m en de hoogte is 146,6 m. a
......................................................................................................................................................
Bereken het volume van deze piramide. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.....................................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
....................................................................................................................................................
Weetje
MEER? 599
Eén van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis is ongetwijfeld Archimedes (287 - 212 v. Chr.). Op een gedenksteen bij zijn graf is een figuur gebeiteld die hiernaast is geschetst. Ze illustreert de stelling van Archimedes. Je kunt deze stelling controleren in een oefening in je oefenboek.
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
b
Kunstenaars willen deze piramide tijdens een zandsculptuurfestival nabouwen op schaal 1:100. Hoeveel m³ zand hebben zij nodig? (Rond af tot op 1 dm³.) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Oefeningen WEER? 592 593 MEER? 594 - 598
7
Bereken het volume van … a een vierzijdige piramide met een vierkant als grondvlak. De zijde van het vierkant bedraagt 1,5 m en de hoogte is 2 m. . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
C
Hoeveel keer is het volume van de piramide van zand kleiner dan de echte piramide? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
9
Een halve bol met straal r wordt gevuld met water. Als je dit water in een cilinder giet met straal r en hoogte 4r, welk deel van de cilinder is dan gevuld? . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .
WEER? 600 603 MEER? 601 602 604 - 608
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
b
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .
een kegel met als diameter van het grondvlak 5 cm en als hoogte 3 dm. . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Wat moet je kunnen? τ het volume bepalen van een piramide, een kegel en een bol
18
Ruimtemeetkunde
19
Problemsolving 1
............................................................................................................................................................... . . . . . . .
R G
............................................................................................................................................................... . . . . . . .
B
P
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
............................................................................................................................................................... . . . . . . .
O Ge 2
2
Hiernaast zie je de ontwikkeling van een kubus. Als het gele vlakje (Ge) op de bovenkant van de kubus te zien is, welke kleur (letter) heeft de onderkant dan?
Dit kun je al
............................................................................................................................................................... . . . . . . .
1 de middelloodlijn van een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek meten en tekenen 3 de bissectrice van een hoek herkennen en tekenen 4 de coördinaat van een punt bepalen
............................................................................................................................................................... . . . . . . .
Rond de aarde wordt een touw geplaatst op één meter boven de oppervlakte. Hoeveel langer is dit touw dan de omtrek van de aarde? Doe een gok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar je vademecum. A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
In welke tekening is m de middelloodlijn van [AB]?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
3
1
B
4 _ 3
C
3 _ 2
D
2
E
m
2
4
Hoe groot is hoek B?
C
m
A
Eline maakt van een kubus acht kleinere balken door de kubus drie keer door te zagen. Ze wil de totale oppervlakte van de acht kleinere balken vergelijken met de totale oppervlakte van de kubus. De totale oppervlakte van de acht balken = ……. × de totale oppervlakte van de kubus. A
B
m
B A
70°
Verder oefenen?
B A
60°
B
ad
110°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................
ad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................
In welke tekening is d de bissectrice van hoek A?
d
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................
4
A
Een bouwplan voor een windmolenpark wordt afgekeurd. Volgens de richtlijnen mogen op die locatie slechts twee windmolens op één lijn staan. Hoeveel windmolens moeten minimaal weggehaald worden? 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Wat is de coördinaat van punt A? y
(2,–2)
d
A (2,2)
ad
A (–2,2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
ad
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
20
Problemsolving
x
1
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • •
M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11
leerwerkboek p. 21 - 42 oefenboek nr. 609 - 701 passer geodriehoek
Spiegelingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de spiegeling Symmetrie Verschuivingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de verschuiving Draaiingen herkennen en tekenen Eigenschappen van de draaiing De puntspiegeling
p. 22 p. 26 p. 28 p. 30 p. 34 p. 36 p. 38 p. 40
21
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen Op verkenning Stappenplan – het spiegelbeeld van een punt tekenen met de geodriehoek
4
5
6
7
7
10 170
3
1
20 160
0 1350
0 12 60
40 0 14
3 110 70
100 80
90
80 100
70 110
60 12 0
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
2 3
3 0 1350
1350 0
5
1
1 2
30 0 15
2
6
7
10 170
2
20 160
1
3
30 0 15
0
2
0 12 60
110 70
100 80
90
80 100
70 110
7
6
40 0 14
1
1
60 12 0
1350 0
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1
1
2
2
3
3 0 1350
0 12 60
110 70
100 80
90
80 100
70 110
6
7
10 170
2
20 160
3
30 0 15
4 14 40 0
40 0 14
5
15 30 0
60 12 0
1350 0
Het spiegelbeeld van een fi guur • Teken het spiegelbeeld van de figuur F ten opzichte van de spiegelas m. Hoe ga je te werk? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
b
15 30 0
c
160 20
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
160 20
Raak met één vinger de spiegel aan. Wat doet je spiegelbeeld?
170 10
•
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
14 40 0
Je staat voor de spiegel. Je doet drie stappen achteruit. Wat doet je spiegelbeeld?
15 30 0
•
A’
A 160 20
Gebruikt je spiegelbeeld ook de rechterhand om te zwaaien?
A
m
14 40 0
•
m
170 10
. . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................
m
170 10
Laat de loodlijn op de tekenzijde samenvallen met de spiegelas. Verschuif de geodriehoek zodat het punt A op de tekenzijde A ligt. Meet de afstand van A tot aan de spiegelas en duid op gelijke afstand, aan de andere kant van de spiegelas het punt A’ aan.
6
Spiegelingen in de werkelijkheid Dagelijks word je geconfronteerd met spiegels en spiegelbeelden. • Je staat voor de spiegel. Je zwaait met je rechterhand. Wat doet je spiegelbeeld?
7
a
Het spiegelbeeld van een punt • Teken het spiegelbeeld van het punt A. Noem dit punt A’. •
Meet de afstand van A tot m en de afstand van A’ tot m. Wat stel je vast? fig. F
. . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
•
Teken het spiegelbeeld van het punt B. Noem dit punt B’.
•
Meet de afstand van B tot m en de afstand van B’ tot m. Wat stel je vast?
A
m
B
. . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
•
•
Wat is de onderlinge ligging van m en AA’ en BB’?
Teken het spiegelbeeld van de cirkel t.o.v. spiegelas m. Hoe ga je te werk? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
•
m
m
De rechte m is de ....................................................................................... van [AA’] en [BB’].
Wiskundetaal – begrippen
⇔
Het punt A’ is het spiegelbeeld van Beeld van een punt door een het punt A door een spiegeling ten spiegeling: sm(A) = A' opzichte van (t.o.v.) spiegelas m als en slechts als (a.s.a.)
AA' ⊥ m d(A,m) = d(A',m)
m de middelloodlijn is van [AA']
O A
A’
m Wiskundetaal – begrippen
Wiskundetaal – symbolen wat gespiegeld wordt (tussen ronde haakjes) sm (A) = A' spiegeling (kleine letter)
22
spiegelbeeld
naam van de spiegelas (wordt een beetje lager geschreven)
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Sa(A) = A' lees je als het spiegelbeeld van A door spiegeling t.o.v. spiegelas a is A'.
Het spiegelbeeld van een figuur vind je door de bepalende punten van de figuur te spiegelen.
sm(ΔABC) = ΔA'B'C' A B
C
sm(ΔABC) = ΔA'B'C' A’
B’
m
lees je als het spiegelbeeld van de driehoek ABC t.o.v. de spiegelas m is de driehoek A'B'C'.
C’
23
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen (vervolg) 4
Oefeningen WEER? 609
1
MEER? 610 - 612
a
Teken het spiegelbeeld t.o.v. de rechte m a van de punten A, B en C b van het lijnstuk AB c van de driehoek ABC d van het parallellogram ABCD e van de cirkel C(C,r) c
b
A
sBE([AF]) =
m
B C m
d
sCF([AB]) = m
A
C
D
m
2
MEER? 616
C
A
D
............
B
5
C
F
............
E WEER? 617
Zijn de punten A en B t.o.v. dezelfde spiegelas gespiegeld? Zo ja, teken de spiegelas. a
A
b
A’
A
c
B
A
C
A’
m B
WEER? 613 614
B
sAD([BC]) = . . . . . . . . . . . . e
B
A
B A
Kleur en vul aan. a De rechte CF is de spiegelas. Kleur het spiegelbeeld van de blauwe driehoek groen. b Bekijk aandachtig het voorbeeld en vul in. Voorbeeld: sBE ([CD]) = [AF]
B’
d
Teken de spiegelas x als je weet dat sx (A) = A'.
A’ e
B = B’
B
B’ f
A A’
B
B’
A A’
B
B’
A
B’
A = A’ 6
A = A’
WEER? 618
Teken het spiegelbeeld van de rechte m t.o.v. de rechte a.
A’
a
a
c
Hoeveel spiegelassen kun je tekenen? . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................
b
x is de
................................................................... van [AA'].
m
m a
Hoeveel spiegelassen kun je tekenen?
a
............................................................................................... . . . . .
b
MEER? 619 - 621
m
Verklaar je antwoord. ................................................... . . . . . ............................................................................................... . . . . .
WEER? 615
3
Is fi guur F' het beeld van fi guur F door een spiegeling? Zo ja, teken dan de spiegelas.
a
Hoeveel punten moet je spiegelen om het spiegelbeeld van een rechte te kunnen tekenen? .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ...
a
b
Als de rechte de spiegelas snijdt:
b
c
fig. F’
fig. F’
fig. F
c
–
Wat is het spiegelbeeld van het snijpunt?
–
Hoeveel punten moet je nog extra spiegelen? . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ..
Wat merk je op als de rechte loodrecht op de spiegelas staat? . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .
fig. F’
fig. F fig. F
Wat moet je kunnen?
24
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
τ spiegelbeelden herkennen τ het spiegelbeeld tekenen van een punt, lijnstuk, rechte, vlakke figuren
τ de spiegelas aanduiden of tekenen als een figuur en zijn spiegelbeeld gegeven zijn
25
M5
Eigenschappen van de spiegeling Op verkenning • Teken het spiegelbeeld van figuur ABCDE t.o.v. de rechte m. Het spiegelbeeld van het punt A is het punt A’, het spiegelbeeld van B is B’, enz.
A
Verklaar je antwoord. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
B
•
Start bij punt A en wandel in wijzerzin door de figuur. Welk hoekpunt kom je als eerste tegen?
•
Start bij punt A’ en wandel in wijzerzin door het spiegelbeeld. Welk hoekpunt kom je als eerste tegen? ... . ... . ... . ... . ...
•
Wat stel je vast?
. . ... . ... . ... . ... . ... .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
E
P Eigenschappen – de spiegeling D
a
C
Het spiegelbeeld van een rechte is een rechte. Het spiegelbeeld van een lijnstuk is een lijnstuk. Het spiegelbeeld van een halfrechte is een halfrechte.
m
Elke spiegeling behoudt: • de lengte van een lijnstuk; • de grootte van een hoek; (maar keert de oriëntatie van de hoeken om); • de evenwijdigheid van rechten; • de loodrechte stand van rechten.
Lijnstukken • Meet op de figuur de lengte van de lijnstukken. | AB | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| A'B' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| BC | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| B'C' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| DE | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| D'E' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
A’ B B’
D
D’ C
De vorm en de grootte van een figuur blijft dus behouden bij een spiegeling.
Wat stel je vast?
C’
m
. . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Vergelijk in oefening 1b, 1c en 1d op p. 24 telkens |AB| en |A’B’|.
•
Wat kun je besluiten?
Oefeningen
. . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
b
7
a b
Hoeken • Meet op de figuur de grootte van de hoeken. |A| = ....................................
| B | = ....................................
| D| = ....................................
| A' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| B' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| D' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat stel je vast? . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Vergelijk in oefening 1c en 1d op p. 24 telkens | C | en | C' | .
•
Wat kun je besluiten?
Gegeven: sm(A) = A' en | A | = 34° | A' | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
8
Teken door zo weinig mogelijk punten te spiegelen het spiegelbeeld … a van een parallellogram. 1 Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een parallellogram te spiegelen?
•
.............
CD
2
A’B’
.............
C’D’
B
A
D
WEER? 626 MEER? 627 - 630
C
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
AB
.............
Welke eigenschap(pen) heb je toegepast? . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
De onderlinge ligging van rechten • Wat is de onderlinge ligging van de rechten op de figuur? Vul in. AB
MEER? 625
Welke eigenschap van de spiegeling heb je toegepast om dit antwoord te vinden?
. . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
c
WEER? 622 - 624
b BC
A’B’
.............
B’C’
Wat kun je besluiten?
van een vierkant. 1 Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een vierkant te spiegelen? . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
2
a
A
D
B
C
Welke eigenschap(pen) heb je toegepast?
. . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
d
De oriëntatie van hoeken • Teken op de figuur de rechte BP. •
26
Teken het spiegelbeeld van de rechte BP. Moet je hiervoor het punt P spiegelen?
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ......................................... . . . . . . .
a
Wat moet je kunnen? τ de eigenschappen van de spiegeling onderzoeken in oefeningen τ de eigenschappen van de spiegeling aantonen aan de hand van een voorbeeld
τ de eigenschappen van de spiegeling verwoorden τ de eigenschappen van de spiegeling toepassen om het spiegelbeeld van een figuur te tekenen
27
M6
Symmetrie Op verkenning •
Teken een gelijkbenige driehoek met tophoek A die aan de volgende voorwaarden voldoet. | A | = 50° | AB | = | AC | = 4 cm
•
Teken de bissectrice van de tophoek.
•
Spiegel het punt B t.o.v. de bissectrice en noem het B’.
•
Wat stel je vast?
10 Teken de andere helft van de vlinder.
WEER? 633
11 Teken de symmetrieas(sen).
WEER? 634
12 Teken in de symmetrische driehoeken alle symmetrieassen.
MEER? 635
.................................................................................................................................. . . . . . .
•
Spiegel het punt C t.o.v. de bissectrice en noem het C’.
•
Wat stel je vast?
•
Spiegel het punt A t.o.v. de bissectrice en noem het A’.
•
Wat stel je vast?
.................................................................................................................................. . . . . . .
.................................................................................................................................. . . . . . .
•
Teken het spiegelbeeld van ∆ABC t.o.v. de bissectrice.
•
Wat stel je vast? .................................................................................................................................. . . . . . .
Wiskundetaal – begrippen
Hoeveel symmetrieassen hebben ongelijkbenige driehoeken?
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
b
Hoeveel symmetrieassen hebben gelijkbenige driehoeken?
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
c
Hoeveel symmetrieassen hebben gelijkzijdige driehoeken?
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
A
a
B
Symmetrische fi guren zijn figuren met één of meerdere symmetrieassen.
fig. F
Sa(fig. F) = fig. F
Oefeningen 9
D
a is symmetrieas van fig. F
E
WEER? 631 - 632
C
⇔
Een symmetrieas van een figuur is een rechte die de figuur op zichzelf spiegelt.
a
F
G
H
13 Teken de rest van de fi guur als je weet dat x de symmetrieas is.
WEER? 636
Zijn deze fi guren symmetrisch? Indien ja, teken dan de symmetrieas(sen). a
b
. . . . . . . . . . . . ..................................
c
..............................................
d
..............................................
x
................................ . . . . . . . . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
28
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
τ een symmetrieas herkennen in een figuur τ een symmetrieas van een figuur tekenen
τ een figuur vervolledigen als de symmetrieas en een deel van de figuur gegeven zijn
29
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen Op verkenning Wiskundetaal – begrippen
Verschuivingen in de werkelijkheid
F
Tijdens een toneelstuk van ‘Finding Nemo’ moet in het decor een school vissen worden verplaatst. De vissen hangen allemaal aan elkaar vast en zijn met een staafje aan het punt X vastgemaakt. Als het punt X wordt verplaatst naar het punt Y, dan verschuiven alle vissen in het decor. Zo gaat de vis in punt A naar de plaats van de vis in punt A', de vis in punt B gaat naar de plaats van de vis in punt B', ... Naar welke plaats gaat de vis in punt F? Noem het punt F' en teken de vis op de juiste plaats.
X
A C
E
B D
A’
Y
C’ E’
B’ D’
b Het schuifbeeld van een punt •
Teken in de bovenstaande figuur het lijnstuk AA’, het lijnstuk BB’, het lijnstuk CC’, het lijnstuk DD’ en het lijnstuk FF’. –– Meet: |AA’|= ................................................
|DD’|= . ..............................................
–– Wat stel je vast? •
|BB’|= . ....................................
|CC’|= ���������������������������������������������������
|EE’| = .....................................
|FF’|= �����������������������������������������������������
(A) = A' t⟶ XY
a.s.a. het lijnstuk AA’ evenwijdig is met het lijnstuk XY (de lijnstukken hebben dezelfde richting) EN het lijnstuk AA’ even lang is als het lijnstuk XY (de lijnstukken zijn even lang) EN de pijl van A naar A’ dezelfde zin heeft als de pijl van X naar Y (de lijnstukken hebben dezelfde zin).
[AA’] // [XY]
Y X
A’
EN | AA' | = | XY | A EN [AA'] en [XY] hebben dezelfde zin
Wiskundetaal – symbolen (A) = A' t⟶ XY
wat verschoven wordt (tussen ronde haakjes)
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Teken op [AA’] een pijl van A naar A’. Teken op [BB’] een pijl van B naar B’. Doe dit voor alle lijnstukken. –– Wijzen alle pijlen naar dezelfde kant? Of met andere woorden: hebben alle lijnstukken dezelfde zin?
t⟶ (A) = A' XY verschuiving (= translatie) (kleine letter)
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
Beeld van een punt door een verschuiving:
Een verschuiving wordt bepaald door een vector. Het punt A’ is het schuifbeeld van het punt A door een verschuiving volgens vector XY
⇔
a
Wat is de onderlinge ligging van de rechte AA’, de rechte BB’, de rechte CC’, de rechte DD', ...
lees je als het schuifbeeld van A door de verschuiving volgens vector XY is A'.
schuifbeeld
de vector die de verschuiving bepaalt (wordt een beetje lager geschreven)
7 6 5 3 2 1
1 2
1
0 1080
1 0 1 2
3
1
4 2 3
90
2 1 2
2 1070 1
3
4 3
0
1 7010
80 100
70 110
60 120
50 130
40 140
3 15 0 0
1620 0
3
5 6
4 0 1080
7
3
1 2 3 90
80 100
70 110
60 120
50 130
40 140
1070 1
4
12 60 0
3 15 0 0
1620 0
5 6 7
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
130 50
30
⟶
⟶
Verschuif de cirkel volgens AB . Hoe ga je te werk?
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ..
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ..
X
B A
F vector voor.
140 40
⟶ ⟶ ⟶ XY , w , PP' stellen dezelfde
150 30
P
X
Verschuif de figuur F volgens XY . Hoe ga je te werk? •
⟶ w lees je als vector w.
X
160 20
P’
170 10
Y
X
1 7010
⟶
XY lees je als vector XY. De pijl boven de letters geeft de zin aan.
Y
Y
Het schuifbeeld van een fi guur •
Wiskundetaal – begrippen Een vector is een verzameling lijnstukken die allemaal dezelfde lengte, richting en zin hebben. Een vector wordt voorgesteld door een pijl.
c
A
12 60 0
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Alle lijnstukken met dezelfde lengte, richting en zin behoren tot dezelfde vector.
A’
130 50
Vergelijk de richting en de zin van [XY] met de richting en de zin van de andere lijnstukken. –– Wat stel je vast?
A
140 40
•
150 30
Let op de zin van het lijnstuk. Het punt A moet het beginpunt zijn en het punt A' moet het eindpunt zijn.
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
160 20
Meet: |XY| = . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergelijk dit met de lengte van [AA’], van [BB’], van [CC’], ... –– Wat stel je vast?
170 10
•
Teken door het punt A een evenwijdige met de rechte XY. Plaats op de evenwijdige rechte het punt A' zodat | XY | = | AA' |.
5
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Stappenplan – het schuifbeeld van een punt tekenen met de geodriehoek
Evenwijdige rechten hebben dezel fde richting.
6
Wat kun je nu vertellen over de richting van AA’, van BB’, ...
7
•
Weetje
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Y O
31
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen (vervolg) Wiskundetaal – begrippen (ΔABC) = ΔA'B'C' t⟶ XY
Het schuifbeeld van een figuur vind je door de bepalende punten van de figuur te verschuiven.
t⟶ (ΔABC) = ΔA'B'C' XY Y
X
A’
A
a
lees je als het beeld van de driehoek ⟶ ABC door de verschuiving volgens XY (de vector XY) is de driehoek A’B’C’.
B’
WEER? 646 - 649
16 Onderzoek de fi guren. Is fi g. F’ het beeld van fi g. F door een verschuiving? • Zo ja, teken de vector die deze verschuiving bepaalt. • Zo neen, verklaar waarom niet. c
b
e
d fig. F
fig. F
fig. F
fig. F
fig. F
B C’
fig. F’
C fig. F’
Oefeningen WEER? 637 - 640 MEER? 641 - 644
14 Verschuif. a
⟶
b
De verschuiving wordt bepaald door XY. Verschuif de punten A, B, C en D. A
⟶
De verschuiving wordt bepaald door TV. Verschuif de punten E, F, G en H. T
X
B
E Y
C
V
F G
D
H
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
b
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
c
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
d
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
e
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
a
B’
B’
A’
b
b
t⟶u (∆ABC) = ∆A'B'C' A
v B’
A’
c
C
u
A
B A
C A’
A
B
A’
e
B
f
C = C’ A = A’
C
c
C
t⟶w (ABCD) = A'B'C'D' A
B = B’
B
B D
a
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
b
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
c
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
d
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
e
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
f
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
B
C D
B’
B’ C
A
C
A
32
t⟶v (ABCD) = A'B'C'D'
B
A
d
WEER? 650 651
17 Verschuif de fi guren telkens volgens de gegeven vector.
15 Werden de punten A en B door dezelfde verschuiving verschoven? • Zo ja, verschuif het punt C volgens dezelfde verschuiving. • Zo neen, verklaar waarom niet. A’
fig. F’
a
a WEER? 645
fig. F’
fig. F’
C
w
Wat moet je kunnen? τ het schuifbeeld van een punt, een lijnstuk, een rechte, τ het beeld van een verschuiving herkennen τ de vector die de verschuiving bepaalt aanduiden of tekenen een vlakke figuur tekenen
33
M8
Eigenschappen van de verschuiving Op verkenning Eigenschappen – de verschuiving
⟶
Teken het schuifbeeld van figuur ABCDE. De verschuiving wordt bepaald door XY . Het schuifbeeld van A is A’, het schuifbeeld van B is B’, enz.
Het schuifbeeld van een rechte is een (evenwijdige) rechte. Het schuifbeeld van een lijnstuk is een (evenwijdig) lijnstuk. Het schuifbeeld van een halfrechte is een (evenwijdige) halfrechte.
Y
B P
a
C
|AB| = ...................................................
|A’B’| = ...................................................
|BC| = ................................................... Wat stel je vast?
|B’C’| = ...................................................
a b
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Hoeken • Meet op de figuur de grootte van de hoeken. | C | = ........................................................
| A' | = . ....................................................
| C' | = ......................................................
⟶ . 19 Verschuif de rechte m volgens t AB a Wat is de onderlinge ligging van een rechte en haar schuifbeeld ?
Vergelijk in oefening 17 a, b en c op p. 33 | B | en | B' |. Wat kun je besluiten?
•
DC
A’B’
...........
D’C’
AB
...........
BC
A’B’
...........
B’C’
Vergelijk in oefening 17 de onderlinge ligging van de rechten in de figuren en hun schuifbeelden. Wat kun je besluiten? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Teken de rechte BP in het rooster.
•
. Verschuif BP volgens t⟶ XY Moet je hiervoor het punt P verschuiven? ................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Verklaar je antwoord.
Wat is de onderlinge ligging van BP en B’P’? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
34
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
Y
D
C
A
WEER? 653
B
MEER? 654
Hoeveel punten moet je ten minste verschuiven m
om het beeld van een rechte te vinden? .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Verschuif [XY] volgens vector w . M is het midden van [XY]. Is het beeld M’ van M ook het midden van [X’Y’]? Verklaar.
X
M
MEER? 655
Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21 Onderzoek. a Kan vierkant B het beeld van vierkant A zijn door een verschuiving? Verklaar. . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 656 - 658
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
b
verschuiving? Verklaar. .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MEER? 659 660
C
Kan fig. C het beeld van fig. A zijn door een
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
WEER? 652
B
⟶
De onderlinge ligging van rechten • Wat is op de figuur de onderlinge ligging van de rechten? Vul in. ...........
A
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
b
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
AB
X
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. ....................................................
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
c
C’
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Wat stel je vast? •
D’
C
Hoeveel punten moet je verschuiven? . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Welke eigenschappen heb je toegepast?
Vergelijk in oefening 17 a, b en c op p. 33 |AB| en |A’B’|. Wat kun je besluiten?
|A| =
D
18 Teken het beeld van het parallellogram ABCD volgens t ⟶ . Verschuif zo weinig mogelijk punten om je XY beeld te vinden.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
b
B’
Oefeningen
Lijnstukken • Meet op de figuur de lengte van de lijnstukken.
•
Y
A’
De vorm en de grootte van een figuur blijft dus behouden bij een verschuiving.
E D
X B
Elke verschuiving behoudt: • de lengte van een lijnstuk; • de grootte van een hoek; • de evenwijdigheid van rechten; • de loodrechte stand van rechten.
X A
A
B
. . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat moet je kunnen? τ de eigenschappen van de verschuiving onderzoeken in oefeningen τ de eigenschappen van de verschuiving verwoorden
τ de eigenschappen van de verschuiving aantonen aan de hand van een voorbeeld τ de eigenschappen van de verschuiving toepassen om het schuifbeeld te tekenen
35
Draaiingen herkennen en tekenen Weetje
M9
Op verkenning a
Wiskundetaal – symbolen
Draaiingen in de werkelijkheid • Tom en Alec zitten in een reuzenrad. Nog 90° graden draaien en hun bakje hangt helemaal bovenaan. 5 4
wat gedraaid wordt (tussen ronde haakjes) draaibeeld
r (O,α) (A) = A' 6
3
alfabet t Griekse ebruikt e h it u r g lette de vaak α is een e wiskun duiden. d in t d r en wo a an t e grootten o m ho e k
rotatie = draaiing (kleine letter)
draaiingshoek centrum van de draaiing
r (O,α) (A) = A' lees je als het beeld van A door draaiing met centrum O en over een hoekgrootte α is A'.
7 Stappenplan – het draaibeeld van een punt tekenen met geodriehoek en passer 8
O
60 120 50 130
2 3
30 15 0 1620 0
4 10 0 17
5 6 7
B’ B
Hoe groot is de hoek waarover de naald is gedraaid van 0 tot 80 km/u?
D
A
E
r(O,α)(∆ABC) = ∆A'B'C'
A’
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................
•
r(O,–100°)(∆ABC) = ∆A'B'C'
Het draaibeeld van een figuur vind je door de bepalende punten van de figuur te draaien.
B
Is de naald van lengte veranderd als ze 80 km/u aanduidt?
B
Wiskundetaal – begrippen
Het draaibeeld van een punt Als de auto 80 km/u rijdt, duidt de snelheidsmeter 80 aan.
•
O
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
Meet |AC| = . . . . . . . . . . . . . . en |AB| = . . . . . . . . . . . . . .
40 140
Welke draaizin heeft de deur van je klas als de deur open gaat?
•
70 110
1
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Teken de naald voor 80 km/u.
2
1
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
•
3
C
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
...................................... . . . . . .
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
b
80 100
Het draaibeeld van een fi guur • Draai de figuur ABCDE rond centrum O over een hoek van 120°. • Hoe ga je te werk?
De klasdeur draait open. – Waarrond draait de klasdeur? –
90
•
Liesje zit in bakje 6 en het rad draait in tegenwijzerzin. Hoe groot is de draaihoek die Liesje nog moet afleggen voor ze kan uitstappen?
0 10 80
c
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
•
O
0
Duid het punt (het centrum) aan waar het rad rond draait. Vergelijk de afstand van de bakjes tot het centrum. Wat stel je vast?
O
1
– –
11 70 0
2
....................................... . . . . . .
12 60 0
1
In welk bakje zitten ze als het rad niet met de klok meedraait (in tegenwijzerzin)?
A
130 50
2
–
3
....................................... . . . . . .
140 40
3
In welk bakje zitten ze als het rad met de klok meedraait (in wijzerzin)?
150 30
160 20
170 10
4
–
A’
A
5
1
A
6
Teken een cirkel met centrum O en straal | OA |. Teken [OA]. Teken hoek AOA' zodat A' op de cirkel ligt. Let op de draaizin.
7
2
C A
A
lees je als het draaibeeld van de driehoek ABC rond centrum O over hoek α is driehoek A'B'C'.
C’
–100° O
C
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................
Oefeningen
Wiskundetaal – begrippen
Het centrum van een draaiing is het punt waarrond wordt gedraaid. De draaihoek heeft een grootte (het aantal graden) en een zin (wijzerzin of tegenwijzerzin). Wijzerzin noteer je met een negatieve hoek. Tegenwijzerzin noteer je met een positieve hoek.
Beeld van een punt door een draaiing: r(O,α)(A) = A' ⇔
Het punt A’ is het draaibeeld van het punt A door een draaiing rond het punt O over een hoek α.
| AOA' | = α | OA | = | OA' |
A’ O
70° (= tegenwijzerzin) A –70° (= wijzerzin)
WEER? 661 662
22 Bepaal de draaihoek.
23 Teken het draaibeeld van de punten A, B en C door r(O,–40°).
r(O,..........) F = F'
B
F
WEER? 663 - 665 MEER? 666 - 679
A
A’’
C F’
wijzerzin: | AOA" | = –70° tegenwijzerzin: | AOA' | = 70° O
O
Wat moet je kunnen?
36
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
τ het draaibeeld van een punt, een lijnstuk, een rechte, een vlakke figuur tekenen τ een draaiing herkennen (het centrum van een draaiing vinden, de draaihoek van een draaiing bepalen)
37
M10
Eigenschappen van de draaiing Op verkenning
Oefeningen
A
a
Wat is de oppervlakte van het beeld van deze cirkel?
b
Welke eigenschap heb je gebruikt om je antwoord te vinden?
B
D
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
P
E
WEER? 680 681
24 Een cirkel met een oppervlakte van 20 cm² wordt gedraaid over een hoek van 180°.
Teken het draaibeeld van figuur ABCDE. De figuur wordt gedraaid rond centrum O over een hoek van –100°. Het draaibeeld van A is A’, het draaibeeld van B is B’, enz.
WEER? 682 683
25 Gegeven: r(O, 90°) Gevraagd: Kleur het draaibeeld van de blauwe driehoek.
C O
a
O Lijnstukken • Meet op de figuur de lengte van de lijnstukken. |AB| = ...................................................
|A’B’| = ...................................................
|BC| = ................................................... Wat stel je vast?
|B’C’| = ...................................................
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Vergelijk in oefening 22 de lengte van de overeenkomstige lijnstukken in de figuren en in hun draaibeeld.
•
Wat kun je besluiten? . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
WEER? 684
26 Teken door zo weinig mogelijk punten te draaien r(o,110°) (ABCD) = A'B'C'D' a
Hoeveel punten heb je gedraaid om het beeld te vinden?
b
Welke eigenschap(pen) van de draaiing heb je gebruikt?
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
MEER? 685 - 687
. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
b
Hoeken • Meet op de figuur de grootte van de hoeken. |A| =
..............
| A' | = ..............
|B| =
..............
. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
| B' | = ...............
A
Wat stel je vast?
B O
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Vergelijk in oefening 22 de grootte van de hoeken in de figuren en in hun draaibeeld.
•
Wat kun je besluiten?
D
C
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
c
De onderlinge ligging van rechten • Wat is op de figuur de onderlinge ligging van de rechten? Vul in. AB •
...........
DC
A’B’
Wat stel je vast?
...........
D’C’
AB
...........
BC
A’B’
...........
B’C’
........................................................................................................................................... . . . . . . .
38
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
WEER? 688
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ..
Eigenschappen – de draaiing Het draaibeeld van een rechte is een rechte. Het draaibeeld van een lijnstuk is een lijnstuk. Het draaibeeld van een halfrechte is een halfrechte. B Elke draaiing behoudt: • de lengte van een lijnstuk; • de grootte van een hoek; • de evenwijdigheid van rechten; • de loodrechte stand van rechten. De vorm en de grootte van een figuur blijft dus behouden bij een draaiing.
27 Het draaibeeld van de driehoek is fout. Aan welke eigenschappen wordt niet voldaan?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ..
C B’
D
C’
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ..
D’ O
A
B
B’
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ..
A’
A
C’
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ..
O Wat moet je kunnen? τ de eigenschappen van de draaiing onderzoeken in oefeningen τ de eigenschappen van de draaiing aantonen aan de hand van een voorbeeld
A’
τ de eigenschappen van de draaiing verwoorden τ de eigenschappen van de draaiing toepassen om het draaibeeld van een figuur te tekenen
39
M11
De puntspiegeling Op verkenning De puntspiegeling Draai driehoek ABC over een hoek van 180° met K als centrum. Het draaibeeld van het punt A is het punt A’, het draaibeeld van B is B’ en het draaibeeld van C is C’. • Meet de lengtes. |AK| = .........................................
|A’K| = ......................................... . . . . . . .
|BK| =
|B’K| =
.........................................
|CK| = ......................................... Wat stel je vast?
Wiskundetaal – begrippen Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het spiegelpunt dat de figuur op zichzelf spiegelt.
O is een symmetriemiddelpunt van figuur F. O
⇔
a
sO(fig. F) = fig. F
......................................... . . . . . . .
|C’K| = ......................................... . . . . . . .
......................................................................................................................... . . . . . . .
Deze bijzondere draaiing wordt ook een puntspiegeling genoemd.
Oefeningen 28 Teken … a sO(A), sO(B), sO(C)
b
het beeld van het lijnstuk sO([XY]).
A
K
MEER? 691 - 693
X O
B
B
WEER? 689 690
O Y
C Wat is het punt O van figuur AC’B’A’CB?
A
C
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
c Wiskundetaal – begrippen Een puntspiegeling is een draaiing met een draaihoek van 180° of –180°.
r(O,180°)(F) = sO(F) = F'
Het centrum van de draaiing is het spiegelpunt.
O is het spiegelpunt.
A
B
C
O
A’
spiegeling (kleine letter)
b
sO(A) = A'
spiegelbeeld
naam van het spiegelpunt (wordt een beetje lager geschreven, hoofdletter)
Het symmetriemiddelpunt • Teken in vierkant ABCD de diagonalen. • Noem het snijpunt van de diagonalen M. • Spiegel ABCD t.o.v. het punt M. • Wat merk je op?
A
O
lees je als het spiegelbeeld van A door puntspiegeling met spiegelpunt O is A'.
B
1 2
Wiskundetaal – symbolen
sO(A) = A'
B
F’ B’
wat gespiegeld wordt (tussen ronde haakjes)
D
C’
F
sO(ruit ABCD) A
C 29 Een kunstwerk van M.C. Escher. a Zoek het centrum van de draaiing die hond 1 op hond 2 afbeeldt. b
MEER? 694
Hoe groot is de draaihoek? .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
30 Onderzoek. a Teken in de figuren de symmetriemiddelpunten in blauw en de symmetrieassen in het rood. Let op! Niet alle figuren zijn symmetrisch of hebben een symmetriemiddelpunt. b Hebben alle symmetrische figuren een symmetriemiddelpunt? .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . c Zijn alle figuren met een symmetriemiddelpunt symmetrisch? .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
MEER? 695
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................
31 Test je kennis van alle transformaties verder in het oefenboek.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................
D
40
Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
C
Wat moet je kunnen? τ het beeld van een punt, een lijnstuk, een rechte, een vlakke figuur tekenen door een puntspiegeling τ het symmetriemiddelpunt van een figuur bepalen
WEER? 696 697 MEER? 698 - 701
41
Problemsolving 1
De regelmatige vijfhoek OABCD (alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot) wordt gespiegeld t.o.v. de as OD, waarbij A wordt afgebeeld op A’. De beeldvijfhoek wordt daarna gespiegeld t.o.v. OA’, waarbij D wordt afgebeeld op D”. Zo ga je verder. Na hoeveel keer spiegelen krijg je vijfhoek OABCD voor het eerst terug? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................
3
C B D A
O
Hoeken
D''
Dit kun je al 1 een hoek meten 2 de verschillende soorten hoeken (op basis van hun grootte) herkennen 3 de verschillende soorten hoeken (op basis van hun grootte) tekenen
A'
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................
2
Dylan moet een vierkant leggen met een aantal puzzelstukjes zoals hiernaast. De puzzelstukjes mogen niet op elkaar liggen. Hoeveel puzzelstukjes heeft Dylan nodig? A 3 B 8 C 9 D 12 E 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar je vademecum.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
3
A
Maak de fi guur symmetrisch door zo weinig mogelijk extra vierkantjes te kleuren. 1
Hoe groot is hoek A?
B
| A | = 65°
C
| A | = 115°
Verder oefenen?
| A | = 35° ad
A
2
Hoek B is …
een gestrekte hoek
een nulhoek
een volle hoek
B
3 4
A
C
De cijfercombinatie van dit slot vind je als volgt. • De eerste twee getallen zijn de coördinaatgetallen van punt Q. Q(30, 80) • De twee volgende cijfers zijn de coördinaatgetallen van het spiegelbeeld van Q (= Q’). Het punt Q wordt gespiegeld t.o.v. de rechte met als vergelijking x = 50. • De twee laatste cijfers zijn de coördinaatgetallen van het snijpunt van [QQ’] en de spiegelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................
5
Welke hoek is een stompe hoek?
ad
In een machine zitten twee tandwielen tegen elkaar. De straal van het grote tandwiel is 3 keer zo groot als de straal van het kleine tandwiel. Wat gebeurt er met het kleine tandwiel als het grote tandwiel één keer tegen de klok in rond draait? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................
ad
B
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • • • • •
M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18
leerwerkboek p. 43 - 72 oefenboek nr. 702 - 773 passer geodriehoek groene en rode pen rekenmachine kleurpotloden
Indeling van de hoeken volgens hun som Indeling van de hoeken volgens hun ligging Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn De som van de hoeken in een driehoek Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M19 Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek
p. 44 p. 46 p. 50 p. 54 p. 58 p. 60 p. 62 p. 70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................
42
Problemsolving
43
Indeling van de hoeken volgens hun som
M12
2
Op verkenning a
WEER? 707
Teken B zodat deze het complement is van A.
Complementaire hoeken • Vul aan.
42°
20° B
18° 86°
4°
48°
E
A
|A| + |B| =
•
1
D
70°
1
2
Wat stel je vast?
| D | + | E | = ....... .......................
| F | + | F | = ............................. 1
A
2
30°
G
F ..............................
B 72°
2
| G1 | + | G2 | = .................... . . . . . .
3
WEER? 708
Teken het complement van A, zonder A te meten.
................................................................................................................................................................... . . . . . . .
A
Wiskundetaal – defi nitie
DEFINITIE
Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is.
B 26°
A en B zijn complementair. A
⇔
Je zegt: hoek A en hoek B zijn elkaars complement.
64°
| A | + | B | = 90°
A en B zijn complementaire hoeken. 4 b
Supplementaire hoeken • Vul aan.
a b
70°
134° 110°
|A| + |B| =
•
98°
46°
F
C
A ..............................
Wat stel je vast?
|D| + |C| =
Heeft elke hoek een complement? Welke hoeken hebben altijd een complement?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
D
B
WEER? 709
Complementaire hoeken
.............................
E
82°
|F| + |E| =
56°
124°
1 2 G
5
| A | ...............................
85°
22°
37°
| B |
| G1 | + | G2 | = .................... . . . . . .
................................................................................................................................................................... . . . . . . .
WEER? 717
6
WEER? 710 - 712
Vul aan zodat A en B supplementaire hoeken zijn.
71°
Teken B zodat deze het supplement is van A.
180° 32°
7
Teken het supplement van A, zonder A te meten.
Wiskundetaal – defi nitie
135°
Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180° is. Je zegt: hoek A en hoek B zijn elkaars supplement.
A
A en B zijn supplementair.
78° B
| A | + | B | = 180°
WEER? 718
A
A
102°
⇔
DEFINITIE
MEER? 713 - 716
B
A en B zijn supplementaire hoeken. 8
Oefeningen WEER? 702 703
1
| A |
MEER? 704 - 706
a b
Vul aan zodat A en B complementaire hoeken zijn.
| B |
24°
65°
Heeft elke hoek een supplement? Welke hoeken hebben altijd een supplement?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
108° 57°
WEER? 719
Supplementaire hoeken
0° 11° Wat moet je kunnen?
44
Hoeken
τ de definitie van complementaire hoeken verwoorden τ de definitie van supplementaire hoeken verwoorden
τ het complement van een hoek tekenen en berekenen τ het supplement van een hoek tekenen en berekenen
45
Indeling van de hoeken volgens hun ligging
M13
Op verkenning a
c
Aanliggende hoeken • Bekijk aandachtig A1 en A2, B1 en B2 , C1 en C2 .
Overstaande hoeken • Meet de grootte van de getekende hoeken.
1 1 A
1
2
F
B 2
Wat hebben deze hoeken gemeenschappelijk?
•
Teken op dezelfde manier twee hoeken met hoekpunt E en twee hoeken met hoekpunt F.
A
. . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . ..
|B | = 1
. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
|C | = 1
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
| D1 | = . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ...
|A | = 2
. . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .
|B | = 2
.. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
|C | = 2
.......................................
|D | = 2
1
•
2
2
1
80° 1 B
Eigenschap – overstaande hoeken Overstaande hoeken zijn even groot.
1
49°
54° 1
131°
| B | + | B | = ............................
|C | + |C | =
2
1
2
55°
2
..........................
|D | + |D | = 1
2
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M17.
Oefeningen
.................... . . . . .
Wat stel je vast i.v.m. de ligging en i.v.m. de som? 9
Teken van de gegeven hoek … a een overstaande hoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Wiskundetaal – defi nitie
b .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
een aanliggende hoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
WEER? 720 . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
MEER? 721
B A1 en A2 zijn nevenhoeken. ⇔
Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken die samen een gestrekte hoek vormen.
A1 en A2 zijn aanliggende hoeken en | A | + | A | = 180° 1
Hoeken
A
1
2
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
46
55°
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
2
D
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
DEFINITIE
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
126°
1
2
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
|A | = |A |
C
2
45°
A
⇓
100°
135°
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Vergelijk de grootte van de hoeken 1 en 2 die ‘tegenover elkaar staan’. Wat stel je vast?
1 2
Nevenhoeken • Vul aan.
| A | + | A | = ...........................
2
Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.
A1 en A2 zijn aanliggende hoeken.
A
1
1
Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en een been gemeenschappelijk hebben. Het gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere benen.
2
D
2
Wiskundetaal – defi nitie
DEFINITIE
Wiskundetaal – defi nitie
1
C
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
•
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
b
1
|A | = 1
•
DEFINITIE
B
1
E
2
1
2
A
C
2
2
2
1 A
A
A1 en A2 zijn nevenhoeken.
47
M13
Indeling van de hoeken volgens hun ligging (vervolg) c
een nevenhoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Weer? 726
12 Zet een kruisje in de juiste kolom(men). Welke hoeken zijn … .................................
1
C
2 1
WEER? 722
E
1
A
D 2
Meer? 727 728
C 2
B
10 Zet een kruisje in de juiste kolommen. Welke hoeken zijn… a1 en a2 A 1 2
c1 en c2
d1 en d2
aanliggende hoeken
B
1
b en e
C
2
1
supplementaire hoeken
2
nevenhoeken complementaire hoeken
D 1
F
2
E
2
2
1
a1 en a2
b1 en b2
13 Duid in het rood één paar nevenhoeken aan. Duid in het groen één paar complementaire hoeken aan. Duid in het zwart één paar aanliggende hoeken aan die geen nevenhoeken zijn.
1
c1 en c2
d1 en d2
e1 en e2
Weer? 729
f1 en f2
Overstaande hoeken Aanliggende hoeken Nevenhoeken WEER? 723 - 725
11 Duid op de tekening (met een boogje) a 1 paar overstaande hoeken aan in het groen. b 1 paar aanliggende hoeken aan in het zwart. c 1 paar nevenhoeken aan in het rood.
80° 4 3 2
d
5
A 1
Wat moet je kunnen?
48
Hoeken
ττ de definitie van aanliggende hoeken verwoorden ττ de definitie van nevenhoeken verwoorden ττ de definitie van overstaande hoeken verwoorden
ττ de eigenschap van overstaande hoeken verwoorden ττ aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken herkennen en tekenen
49
M14
Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn Op verkenning •
Kun je twee hoeken vinden met een verschillend hoekpunt die aan dezelfde kant van de boomstam liggen, maar waarbij de ene hoek een binnenhoek is en de andere hoek een buitenhoek? Geef een voorbeeld. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
c
Deze hoeken noem je overeenkomstige hoeken. buiten Wiskundetaal – begrippen
buiten 1
4
binnen
2
3 4 3
4
1
a
A
Als twee rechten worden gesneden De rechten a en b worden door een derde rechte dan bekom je gesneden door de rechte c. acht verschillende hoeken. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c.
1 2
3
4
2
b
B
1
b
3
2
buiten
Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn hoeken die tussen de rechten a en b liggen en aan dezelfde kant van de snijlijn c.
A2 en B1, A3 en B4 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
2
4
B
3
buiten 4
1
3
a
binnen
A
1 2
c
c
A 3
a 4
2
B 1
b •
Deze hoeken ken je al. Vul aan. –
A1 en A3 zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. Welke hoeken zijn nog overstaande hoeken?
–
•
........................................................................................... . . . . . . .
Verwisselende binnenhoeken zijn A en B , A en B 2 4 3 1 hoeken die tussen de rechten a en zijn verwisselende binnenhoeken. b liggen en aan weerskanten van de snijlijn c.
........................................................................................... . . . . . . .
Wat weet je over deze hoeken?
........................................................................................... . . . . . . .
Welke hoeken vind je binnen de oevers van de rivier? ........................................................................................... . . . . . . . Deze hoeken noem je binnenhoeken. – Welke hoeken vind je binnen de rivier aan dezelfde kant van de boomstam?
4
Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn hoeken die niet tussen de rechten a en b liggen en aan dezelfde kant van de snijlijn c.
A1 en B2, A4 en B3 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
Deze hoeken noem je verwisselende binnenhoeken. •
Welke hoeken vind je buiten de oevers van de rivier?
B 1
4
Verwisselende buitenhoeken zijn A en B , A en B 1 3 4 2 hoeken die niet tussen de rechten a zijn verwisselende buitenhoeken. en b liggen en aan weerskanten van de snijlijn c.
3
2
4
–
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Deze hoeken noem je verwisselende buitenhoeken.
Hoeken
c
B b
Overeenkomstige hoeken zijn A1 en B1, A2 en B2, A3 en B3, A4 en B4 hoeken die aan dezelfde kant van de zijn overeenkomstige hoeken. snijlijn liggen en waarbij één hoek een binnenhoek is en de andere hoek een buitenhoek.
3
2
4 3
a 4 b
50
A 1
a
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
c
B
Deze hoeken noem je buitenhoeken. – Welke hoeken vind je buiten de rivier aan dezelfde kant van de boomstam? Deze hoeken noem je buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Welke hoeken vind je buiten de rivier, maar aan weerskanten van de boomstam?
A 1
a
b
Deze hoeken noem je binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Welke hoeken vind je binnen de rivier, maar aan weerskanten van de boomstam? . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
2
b
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
–
3
a
A1 en A2 zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. Welke hoeken zijn nog nevenhoeken?
c
A
3
A 1
c
2
1
B 2
51
M14
Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn (vervolg)
Weer? 730 Meer? 731
14 a en b zijn twee rechten gesneden door een derde rechte c. Benoem de gevraagde hoeken. a c
| B | = 45° 3
1 2 A4 3
a
|A | = 3
. . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . ..
. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
|B | = 1
. . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . ..
. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
Zijn de verwisselende binnenhoeken even groot?
B 1 2 4 3
b
WEER? 732
15 Vul aan en verklaar. | A | = 30° 1
Oefeningen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
c
A4 en B1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A2 en B2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A1 en B3
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A3 en A2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A2 en B3
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A3 en B1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
B1 en B3
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A3 en B2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
b
2 3 4 b
B
1
3 2
16 Gegeven AB // DC a AB
1
B
c
4 1 3 2
A3 en B1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A2 en B1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A3 en A2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A1 en B1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A3 en B4
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A1 en B3
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A4 en B3
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
B4 en B2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
B4 en . . . . . . . . zijn verwisselende binnenhoeken.
WEER? 733
a
A b
4
a
c A 4 1 3 2
a
1
A
1
D
B 2
2
E
C
A en D zijn . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .. A en B1 zijn .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . D en E2 zijn . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
a
| B | en | E | zijn 1 1
.. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
| B | en | E | zijn 1 2
. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
A3 en . . . . . . . . zijn overeenkomstige hoeken. B4 en . . . . . . . . zijn overstaande hoeken. A4 en . . . . . . . . zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. A3 en . . . . . . . . zijn verwisselende buitenhoeken. A2 en . . . . . . . . zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. A1 en . . . . . . . . zijn nevenhoeken.
52
Hoeken
c
A 4 1 3 2
4
B
1 3 2
b Wat moet je kunnen? τ overeenkomstige hoeken herkennen τ verwisselende binnenhoeken herkennen τ verwisselende buitenhoeken herkennen
τ binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn herkennen τ buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn herkennen
53
M15
Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn Op verkenning c 4
Gegeven: a a // b en c a A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c.
3
3
Wat stel je vast? . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
1
B b
–
2
•
4
Maak de som van deze hoeken. . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
1
A
–
Welke hoeken zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
2
–
Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot?
–
Maak de som van deze hoeken.
–
Wat stel je vast?
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
•
Meet. |A | = 1
•
......................................................................................
•
1
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . ....................................................................................... . . . . . . .
Vul aan en verklaar.
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
| A | = ...................................................................................... 2
|B | = 2
A1 en A2 zijn ..........................................................................
B1 en B2 zijn ............................................................................ . . . . . . .
| A | = ......................................................................................
|B | =
A1 en A3 zijn ..........................................................................
B1 en B3 zijn ............................................................................ . . . . . . .
| A | = ......................................................................................
|B | =
A1 en A4 zijn ..........................................................................
B1 en B4 zijn
3
•
|B | =
4
3
4
....................................................................................... . . . . . . .
•
Controleer op de onderstaande tekeningen of … – de verwisselende binnenhoeken even groot zijn. . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn.
–
....................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
........................................................................... . . . . . . .
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Welke hoeken zijn overeenkomstige hoeken?
c
–
a
Vergelijk de hoekgrootten.
3
v
1
4 C
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
4
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
–
2
Wat stel je vast? . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
b
Welke hoeken zijn verwisselende binnenhoeken?
4 D
1
3
2
Vergelijk de hoekgrootten. . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Wat stel je vast? . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Welke hoeken zijn verwisselende buitenhoeken?
•
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig
a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c.
a.s.a.
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
s
S is het snijpunt van s en v. T is het snijpunt van t en v.
Zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair?
Wat stel je vast?
Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot?
s // t v
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
–
–
Welke hoeken zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn?
t
Teken op een apart blad twee evenwijdige rechten e en f en een rechte g die e en f snijdt. Noem de snijpunten E en F. – Zijn de verwisselende buitenhoeken even groot?
Eigenschap – hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn
–
Hoeken
s
a
Vergelijk de hoekgrootten.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
54
a // b c
–
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
T 1 2
⇔
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
4 3
C is het snijpunt van a en c. D is het snijpunt van b en c.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
–
S 1
3
2
de overeenkomstige hoeken dezelfde hoekgrootte hebben.
|A | = |B | 1 1 |A | = |B | 2 2 |A | = |B | 3 3 |A | = |B | 4
4
c
1
A a
2
3
1
4 B b
3
2
4
55
Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig
a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
⇔
M15
a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig
| A | + | B | = 180° 2 1 | A | + | B | = 180° 3
Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig
⇔
de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn.
| A | + | B | = 180° 1 2 | A | + | B | = 180° 4
1
a
4
c
b
1
B 1
3 b
4 3
3
A 2
WEER? 743
B
1
MEER? 744 - 750
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
b
2
Noteer de eigenschap die je toepast.
2
1
D
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
C
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
c
1 2
| A | =? | C | 2
2
. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
20 Gegeven rechten a en b met snijlijn c. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. Juist of fout? Is de uitspraak fout, verklaar dan waarom. c 1 4 A 3 2 a
c A
C
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
2
3 B 4
65° D
19 Gegeven trapezium ABCD, met | C1 | = 32° en diagonaal [AC]. a Bereken | A1 |.
2
4
a
Noteer de eigenschap die je toepast.
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
A 1 3
WEER? 739 MEER? 740 - 742
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
2
4
B
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
b
c A 3
4
a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
4
2
⇔
de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn.
2
3
a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
a
A
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
4
b
|A | = |B | 1 3 |A | = |B | 4
A 1 3
1
Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig de verwisselende buitenhoeken dezelfde hoekgrootte hebben.
c
3 B
⇔
3
4
b
|A | = |B | 2 4 |A | = |B |
de verwisselende binnenhoeken dezelfde hoekgrootte hebben.
a
18 Gegeven parallellogram ABCD, met | D | = 65°. a Bereken | A |.
1 2 B 1
b
2
a
Enkele van deze eigenschappen worden bewezen in les M18.
A1 en A3 zijn overstaande hoeken en zijn even groot.
WEER? 751
4 B1 3 2
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Oefeningen
b
A3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken en zijn even groot. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
WEER? 734 - 736
17 a // b c a A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. Bereken de grootte van de ontbrekende hoeken als telkens 1 hoek gegeven is.
MEER? 737 738
c
A
4 a
| A | = 47°
| B | = 125°
| A | = 34°
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|A | = .............
|B | = ............. 1
|A | = ............. 4
|B | = ............. 1
|B | = .............
|B | = .............
|B | = .............
|B | = .............
|B | = .............
|B | = .............
|B | = ............. 4
|B | = ............. 4
|B | = ............. 4
2
3
1
1
3
2
4
B
4 3
1 2
2
3
b
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
c
1
1
2
3
2
3
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
4
1
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
d
2
A1 en B2 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
e
A4 en A3 zijn overeenkomstige hoeken. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
2
3
B1 en B2 zijn nevenhoeken en zijn dus complementair.
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
f
A4 en B4 zijn overeenkomstige hoeken en zijn even groot. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van hoeken, gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn, verwoorden
56
Hoeken
τ hoekgrootten berekenen door eigenschappen van hoeken, gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn, toe te passen
57
De som van de hoeken in een driehoek
Teken een scherphoekige, een stomphoekige en een rechthoekige driehoek op een blad papier. – Knip deze driehoeken uit. – Kleur de hoekpunten. – Knip de hoeken een eind verder uit dan het deel dat je gekleurd hebt, zoals aangegeven op de figuur. – Leg telkens de drie stukken met de gekleurde hoekpunten tegen elkaar en laat alle stukjes mooi aansluiten.
•
80°
35°
55°
42°
������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
24 Driehoek ABC is rechthoekig in hoek A. Bereken de grootte van hoek C.
Wat stel je vast? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Vul aan. De som van de hoeken in de driehoeken is telkens
•
Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarvan de som van de hoeken niet gelijk is aan 180°?
............................................................................. . . . . . . .
............................................................................. . . . . . . .
A
⇓ 42°
Oefeningen 21 Bereken de ontbrekende hoekgrootte in driehoek ABC. Toon je berekening. a
| A | = 45°
b
Als je een ladder tegen een muur plaatst, staat die veilig als de hoek, gevormd door de ladder en de grond, een hoek is van 75°. Hoe groot zijn de andere hoeken?
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
65°
1
B
C 26 Gegeven ∆ABC Bereken | A |, | B | en | C | als
D 2
26°
42°
B Weer? 767
| B | = | A | + 14° | C | = | A | – 8°
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Meer? 768
In een d rieh is de som oek op een bol v niet geli an de hoeken jk aan 18 0°.
ΔABC
|A|
|B|
a
70°
15°
b
15° 45°
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
|C|
90°
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
22 Vul de ontbrekende hoek aan van ΔABC.
85°
Meer? 762 - 766
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
e
Weer? 761
A
..............................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
134°
D
1
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
d
B
C
73°
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M19.
c
Meer? 758 - 760
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
| A | + | B | + | C | = 73° + 65° + 42° = 180°
WEER? 754
Weer? 756 757
65°
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ABC is een driehoek.
C
|C| =
A
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
| A | + | B | + | C | = 180°
| B | = 65°
������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Eigenschap – de som van de hoeken in een driehoek De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180°.
64°
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
25 Bereken | A | als je weet dat | C1 | = | D1 |.
WEER? 752 753
Weer? 755
23 Bereken de grootte van de ontbrekende hoek in de gegeven driehoeken.
Op verkenning
Weetje
M16
90°
90°
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
40°
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
45°
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
16° 22°
Wat moet je kunnen? ττ de som van de hoeken in een driehoek berekenen
58
Hoeken
59
M17
Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken Op verkenning vraag
Een eigenschap is een uitspraak over gekende begrippen die altijd waar is. Als je één tegenvoorbeeld kunt vinden, heb je geen eigenschap. Omdat je onmogelijk alle voorbeelden kunt controleren moet je een eigenschap bewijzen. Bewijzen is de waarheid aantonen van de eigenschap. Hoe ga je hierbij te werk? Bewijzen gebeurt door te verkennen, te analyseren en het bewijs te geven.
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Kijk naar de figuur. Welk soort hoeken zijn A1 en A3?
STAP 1 Verkennen
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
verklaring
Wat is gegeven?
eigenschap Overstaande hoeken zijn even groot •
antwoord
Maak een schets en noem de overstaande hoeken A1 en A2.
Hoe groot is | A1 | + | A3 |?
|A | + |A | = 1 3
|A | + |A | = 2 3
Is in de figuur ook een nevenhoek getekend voor A2? Hoe groot is | A2 | + | A3 |? Wat kun je uit en besluiten?
Is dit wat je moet bewijzen?
Bewijs
STAP 3 Bij het uitschrijven van een bewijs is het absoluut noodzakelijk dat je een verklaring geeft voor elke stap die je zet. •
Je kunt de eigenschap ook anders formuleren: Als twee hoeken overstaand zijn, dan zijn deze hoeken even groot. – –
STAP 2
Wat na ‘als’ staat, noem je het gegeven. Noteer het gegeven van deze eigenschap: Wat na ‘dan’ staat, noem je het te bewijzen. Noteer het te bewijzen van deze eigenschap:
.................................................................................................... . . . . . . .
Bewijs – overstaande hoeken zijn even groot Gegeven:
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
.................................................................................................... . . . . . . .
b
Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
3 A 2 1
b 3 A 2 1
Te bewijzen: | A1 | = | A2 | Bewijs:
a
a
| A1 | + | A3 | = 180° (def. nevenhoeken) | A2 |+ | A3 | = 180° (def. nevenhoeken) ⇓ |A | + |A | = |A | + |A | 1 3 2 3
⇓ Eig. van een gelijkheid: beide leden – | A3 |
|A | = |A | 1 2
Wat moet je kunnen? τ De eigenschap van overstaande hoeken bewijzen.
60
Hoeken
61
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn Op verkenning STAP 3 eigenschap Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte
Bewijs Bewijs – als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte Gegeven:
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. Noem de overeenkomstige hoeken A1 en B1.
a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken. a
c A
B
1
1
b
•
Te bewijzen: | A1 | = | B1 |
Welke meetkundige elementen komen erin voor?
Bewijs:
Verschuif a volgens AB . Je bekomt b. t⟶ (a) = b Eig. het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte AB
Verschuif c volgens AB . Je behoudt c. ⟶ tAB (c) = c
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Wat wordt er beweerd?
⟶
( (
)
⟶
)
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
⇓ Eig. elke verschuiving bewaart de hoekgrootte
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken c
A
|A | = |B | 1
1
1
a B
1
b
vraag
antwoord
verklaring
Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je A1 op B1 afbeelden? Wat is het schuifbeeld van de rechte a? Wat is het schuifbeeld van de rechte c? Wat weet je over de hoekgrootte bij een verschuiving? Is dit wat je moet bewijzen?
62
Hoeken
63
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg)
eigenschap Als twee overeenkomstige hoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze worden gevormd evenwijdig
vraag
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. Kleur de overeenkomstige hoeken groen.
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. Zou het kunnen dat a niet evenwijdig is met b? Teken door B de rechte b1 evenwijdig met a.
•
Welke meetkundige elementen komen erin voor? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Wat wordt beweerd?
a
b
a // b1
Wat weet je over | B1 | en | B2 |? Noteer dit in symbolen
Wat weet je over | A 1 | en | B1 |?
Wat weet je over | A 1 | en | B2 |?
Noteer , en samen. Wat stel je vast?
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
verklaring
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur.
STAP 1 Verkennen •
antwoord
Welke mogelijkheden zijn er voor de rechten a en b?
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Is het mogelijk dat a en b snijdende rechten zijn?
Je verkent hier een andere bewijsvorm in de meetkunde. In plaats van de eigenschap rechtstreeks te bewijzen, ga je bewijzen dat elke andere mogelijkheid niet kan. De andere mogelijkheden leiden tot een tegenspraak met het gegeven. Dit soort bewijsvorm noem je ‘een bewijs uit het ongerijmde’.
Dat betekent
STAP 3
a // b
Bewijs
•
Stel je eens de vraag: Als je weet dat | A1 | = | B1 | , zou het dan kunnen dat a niet evenwijdig is met b?
•
Welke andere mogelijkheid heb je dan?
Bewijs – als twee overeenkomstige hoeken, gevormd door twee rechten en een snijlijn even groot zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Gegeven:
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken a A
a, b en c; c a en c b A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken. |A | = |B | 1 1
1
a A
b1
Te bewijzen: a // b Bewijs: b1 B 2
b
1
1
c
Uit het ongerijmde
Stel dat a niet evenwijdig is met b, dan kun je een rechte b1 tekenen door B die evenwijdig is met a. (Door elk punt kun je een rechte tekenen evenwijdig met een gegeven rechte.) | B1 | ≠ | B2 | | A1 | = | B1 | | A1 | = | B2 |
c
B 2
b
1
(b a en b1 // a) (gegeven) (eig. overeenkomstige hoeken: a // b1 met snijlijn c)
Uitdrukking is in tegenspraak met uitdrukkingen en . Er blijft dus maar één mogelijkheid over: a // b.
64
Hoeken
65
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) eigenschap Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte
Wat kun je uit en besluiten?
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. Is dit wat je moet bewijzen?
STAP 3
Bewijs Bewijs – als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte Gegeven:
•
Welke meetkundige elementen komen erin voor?
a // b, a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
A 3
a
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Wat wordt er beweerd? B b
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken c
Te bewijzen: | A3 | = | B1 |
A
Bewijs:
3
a
| A1 | = | B1 | | A1 | = | A3 |
(eig. overeenkomstige hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn) (eig. overstaande hoeken zijn even groot)
⇓ en
1
B
vraag
1
1
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
b
c
antwoord
| A | = | B | 3
1
verklaring
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat moet bewezen worden in het rood aan op de figuur.
66
Hoeken
Welke hoek met hoekpunt A heeft dezelfde grootte als B1? • Noteer de gelijkheid. • Duid deze hoek aan op de figuur en noem deze hoek A1.
Welke hoek met hoekpunt A heeft dezelfde grootte als A1? • Noteer de gelijkheid.
67
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) eigenschap Als twee verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze gevormd worden evenwijdig
Bewijs Bewijs – als twee verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze gevormd worden evenwijdig
STAP 1 Verkennen •
STAP 3
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets.
Gegeven:
| A | = | B | 3 1
(verwisselende binnenhoeken.) a, b, c c a en c b A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c.
c A 3
a
1
1 B b •
Te bewijzen: a // b
Welke meetkundige elementen komen erin voor? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Wat wordt er beweerd? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
STAP 2
Bewijs:
1
Oefeningen
3
27 Als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, dan zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Bewijs.
1 B
b
| A1 | = | B1 | ⇓ Eig. als overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan zijn a en b evenwijdig. a // b
c
a
(gegeven) (eig. overstaande hoeken zijn even groot)
⇓ en
Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
A
| A3 | = | B1 | | A1 | = | A3 |
c vraag
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur.
antwoord
b
MEER? 771 772
A 1 2
a
verklaring
WEER? 769 770
1 B
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. Welke hoek met hoekpunt A heeft dezelfde grootte als A1? • Noteer de gelijkheid. • Duid deze hoek aan op de figuur. Wat kun je uit en besluiten?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
Is dit wat je moet bewijzen?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
Wat moet je kunnen? τ eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn bewijzen
68
Hoeken
69
M19
Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek Op verkenning Welke hoek is even groot als C2? • Noteer de gelijkheid.
eigenschap De som van de hoeken in een driehoek is 180°
|A| + |B| + |C|
Welke stap moet je nog zetten om te komen tot wat je moet bewijzen?
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor?
•
Wat wordt beweerd?
•
In les M16 knipte je de hoeken van een driehoek af en bracht je ze samen. In het bewijs wil je dit knippen en plakken nabootsen. Hoe kun je dit doen? Je tekent door het punt C een rechte a evenwijdig met AB.
= =
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Is dit wat je moet bewijzen?
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
– –
Wat is de som van C1, C2 en C3? ................................................................................. . . . . . . . Wat is je vermoeden over de som van de hoeken in een driehoek?
STAP 3
Bewijs Bewijs – de som van de hoeken in een driehoek is 180° driehoek ABC
Gegeven:
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
a
STAP 2
3
3
C 1
B
2
A
Te bewijzen: | A | + | B | + | C | = 180° Teken door C een rechte a evenwijdig met AB. De hoeken die ontstaan in punt C noem je C1, C2 en C3.
Bewijs: B
vraag
2 1
Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken.
a
C
| C1 | = | C | | C2 | = | A | | C3 | = | B |
A
antwoord
(C = C1) (Eig. verwisselende binnenhoeken: a // AB en snijlijn AC) (Eig. verwisselende binnenhoeken: a // AB en snijlijn BC)
| C1 | + | C2 | + | C3 | = 180° (de hoeken vormen samen een gestrekte hoek) ⇓ , en
verklaring
Wat is gegeven?
| C | + | A | + | B | = 180°
⇓ Het optellen is commutatief in q.
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen.
| A | + | B | + | C | = 180°
• Kleur door het punt C een rechte a evenwijdig met AB. Welke hoeken ontstaan op deze figuur in punt C (onder de rechte a)?
Oefeningen 28 Als in driehoek ABC één hoek A even groot is als de som van de andere twee hoeken, dan is de driehoek rechthoekig in A. Gegeven: ∆ABC | A | = | B | + | C | TB: | A | = 90°
Wat is de som van deze hoeken? • Noteer dit in symbolen. Welke hoek is even groot als C1? • Noteer de gelijkheid. Welke hoek is even groot als C3? • Noteer de gelijkheid.
Bewijs:
WEER? 773
. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
Wat moet je kunnen?
70
Hoeken
τ de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek bewijzen
71
Problemsolving 1
4
Lotte wil de kapstokken in de gang van de school versieren. Ze hangt boven enkele van de 17 hangers een hartje. Dat doet zij bij de eerste kapstok, de derde, de vijfde, … Na de les gaat Lotte verder met versieren. Dit keer start ze bij hanger 17 en plakt ze een hartje bij de eerste kapstok, de vierde, de zevende, … Hoeveel hangers krijgen geen hartje?
Congruentie Dit kun je al
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
1 2 3 4 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
2
Een kangoeroe maakt sprongen van grootte 1 in het eerste kwadrant. Hij begint in de oorsprong (0,0) en springt naar punt (1,0), daarna naar (1,1), (0,1), (0,2), (1,2), … Naar welk punt springt de kangoeroe na zijn 120ste sprong?
een figuur spiegelen, verschuiven of draaien de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek de afstand bepalen tussen twee punten en van een punt tot een rechte hoeken berekenen met de hoekensom
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord� Controleer je antwoord in de correctiesleutel� Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum� A
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
Hoe wordt figuur A afgebeeld op figuur B?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
o fig. A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
B
C
Verder oefenen?
r(O, –180°)(fig� A) = fig� B t⟶ XY(fig� A) = fig� B
sa(fig� A) = fig� B
oef� nr� 610
X Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
fig. B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
a 3
Vanuit een regelmatige negenhoek (alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot) worden twee zijden doorgetrokken tot ze snijden. Hoe groot is de hoek bij het vraagteken?
2 Wat is geen eigenschap van De grootte van de De lengte van een lijn- De oriëntatie van de oef� nr� 623 de spiegeling? hoek blijft behouden� stuk blijft behouden� hoeken blijft behouden� 3 In welke driehoek is m de m m C middelloodlijn van een zijde? C C m
............................................................................................................................................... . . . . . . . ............................................................................................................................................... . . . . . . .
?
ad
A
............................................................................................................................................... . . . . . . . ............................................................................................................................................... . . . . . . .
4 Hoe bepaal je de afstand van het punt S tot de rechte k?
............................................................................................................................................... . . . . . . .
4
A
A B
Hoeveel witte vierkantjes telt de tiende fi guur uit deze rij?
S
5
S
S ad
k Bereken | A | als je weet dat | C | = 35°
B
B
| A | = 55°
k | A | = 145°
k | A | = 65°
oef nr� 752
A
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
72
Problemsolving
C
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • • • •
M20 Congruente figuren M21 Congruente driehoeken M22 Bewijzen met congruente driehoeken M23 Eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk M24 Eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek M25 Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk M26 Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek
leerwerkboek p� 73 - 98 oefenboek nr� 774 - 871 geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden
p� 74 p� 76 p� 82 p� 86 p� 88 p� 90 p� 94
73
Congruente fi guren
M20
Op verkenning a
Congruente figuren • Welke figuur is een spiegelbeeld van figuur 1?
1
2
3
•
Kun je trapezium ABCD afbeelden op trapezium KLMN
•
door een spiegeling? �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � Teken de spiegelas a� Welke eigenschappen blijven behouden bij het spiegelen?
� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������
•
Teken de spiegelas en noem ze a� Welke figuur is een schuifbeeld van figuur 1? ⟶
D
C
N
M
Teken een verschuivingsvector en noem deze XY� Welke figuur is een draaibeeld van figuur 3?
4
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
5
Teken het centrum O van deze draaiing� Hebben deze vier figuren dezelfde vorm en dezelfde grootte?
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������
•
Zijn deze trapeziums congruent?
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
•
Welke hoek uit trapezium KLMN is het spiegelbeeld van C? C en M noem je overeenkomstige hoeken�
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
•
Geef de overeenkomstige zijde van [AB]�
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
Waaruit kun je dit met zekerheid afleiden? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Wiskundetaal – begrippen en eigenschappen
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Kun je figuur 1 door een spiegeling, een verschuiving of een draaiing afbeelden op figuur 5? Waarom (niet)? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
BEGRIPPEN
Elke figuur, behalve figuur 5, heeft dezelfde vorm en dezelfde grootte als haar beeld. Als je de figuur en het beeld zou uitknippen en op elkaar zou leggen, dan zouden ze elkaar volledig bedekken. Figuren die precies op elkaar passen, zijn congruente figuren.
Weetje
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
DEFINITIE
C o n g ru e nt komt va Latijnse woord c n het o n g ru e r overeen ed s t e mm e n beteke at nt�
e
IGeNSCHAP
Wiskundetaal – definitie Congruente figuren zijn figuren die door een spiegeling, een verschuiving, een draaiing (of een samenstelling ervan) op elkaar kunnen worden afgebeeld� Congruente figuren hebben dezelfde vorm en dezelfde grootte�
CONTROLE 4
L
K
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������
•
B
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������
•
A
b Congruente veelhoeken
AFSPRAAK 1
2
figuur 1 ≅ figuur 2 lees je als figuur 1 is congruent met figuur 2�
Zijn de figuren congruent? Verklaar�
≅ bestaat uit het gelijkheidssymbool = en het gelijkvormigheidssymbool ~
• Congruente veelhoeken zijn congruente figuren� • In congruente veelhoeken zijn overeenkomstige zijden of overeenkomstige hoeken de zijden en de hoeken die op elkaar worden afgebeeld door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing� (of een samenstelling ervan)�
G
A
• In congruente veelhoeken zijn alle overeenkomstige zijden even lang en alle overeenkomstige hoeken even groot� • In congruente veelhoeken noteer je altijd de overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde� ∆ABC ≅ ∆DEF
H
B
E C F
D
ABCD ≅ EFGH [AB] en [EF] zijn overeenkomstige zijden� A en E zijn overeenkomstige hoeken�
Oefeningen 1
Weer? 774 - 786
Welke figuren zijn congruent? • Verklaar� • Gebruik de juiste notatie�
Meer? 787 - 791
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� ��
2
3
1
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� ��
9
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� ��
7
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� ��
4
5
10 6
8
11
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������
74
Congruentie
�������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � �
Wat moet je kunnen? τ congruente figuren herkennen τ congruente figuren tekenen τ congruente figuren definiëren
τ elke figuur is congruent met zichzelf τ def� congruente driehoeken
75
Congruente driehoeken
M21
Op verkenning
b 2 gelijkheden
Driehoek DEF is congruent met driehoek ABC.
| DE | = | AB |en | D |= | A |
•
eIGeNSCHA
D
B
E
D
| AB | = � � � � � � � � � � � � � � � �
| BC | = � � � � � � � � � � � � � � � �
| AC | = � � � � � � � � � � � � � � � �
|A| =
|B| =
|C| =
����������������
Congruente driehoeken zijn driehoeken waarvan alle overeenkomstige zijden even lang zijn en alle overeenkomstige hoeken even groot�
����������������
����������������
•
P
∆ABC ≅ ∆PQR
3
A | AB | = | PQ |
| A| = |P|
| AC | = | PR |
| B| = |Q|
| BC | = | QR |
| C | = |R|
3,5
3 C
•
E
Vul aan�
eigenschap – congruente driehoeken
P
| D |= | A |en | E |= | B |
F
C
A
| DE |= | AB |en | DF |= | AC |
4 3,5
Q 4
R B
c
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als: –– 1 paar zijden even lang en 1 paar hoeken even groot zijn?
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
–– 2 paar zijden even lang zijn?
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
–– 2 paar hoeken even groot zijn?
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
3 gelijkheden 3 paar hoeken of 3 paar zijden | D |= | A |en | E |= | B |en | F |= | C |
| DE |= | AB |en | DF |= | AC |en | EF |= | BC |
Gebruik hiervoor je passer.
∆ABC ≅ ∆QRP Moet je telkens al deze gelijkheden gebruiken om een driehoek te tekenen die congruent is met een gegeven driehoek?
Onderzoek.
Werkwijze: – Je neemt de begindriehoek ABC� Je tracht telkens een driehoek DEF te tekenen die voldoet aan de gegeven gelijkheid (of gelijkheden), maar die niet congruent is met de begindriehoek ABC� – Controleer je tekening met de transparante begindriehoek ABC�
a
1 gelijkheid •
|D| = |A|
| DE | = | AC |
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: –– 3 paar hoeken hebben, die even groot zijn?
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
–– 3 paar zijden hebben, die even lang zijn?
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
2 paar hoeken en 1 paar zijden •
Hoe kun je de zijde tekenen ten opzichte van de gegeven hoeken? � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� �
| D |= | A |en | DE |= | AB |en | E |= | B | D
•
76
E
D
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als: –
1 paar zijden even lang is?
��������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
–
1 paar hoeken even groot is?
��������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Congruentie
77
M21
Congruente driehoeken (vervolg) •
•
Als je van twee hoeken in een driehoek de hoekgrootte kent, wat weet je dan over de grootte van de derde hoek?
Wiskundetaal – congruentiekenmerken voor driehoeken
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Twee driehoeken zijn congruent als Notatie: volgende elementen even groot zijn:
Stel dat je in de vorige tekening de zijde niet tussen de hoeken tekent, kun je dan een driehoek DEF tekenen die niet congruent is met driehoek ABC? •
•
Leg dit uit. � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Weetje
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
ZZZ
en HHH is ge � ekenmerk ti n congrue •
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze:
de drie zijden
een zijde en twee hoeken
HZH
–– 2 paar hoeken hebben, die even groot zijn en als de ingesloten zijde even lang is? ��������������������������������������������� � � � � � � � –– 2 paar hoeken hebben, die even groot zijn als de aanliggende zijde even lang is? ��������������������������������������������� � � � � � � � ZHH
2 paar zijden en 1 paar hoeken •
HHZ
Hoe kun je de hoek tekenen ten opzichte van de gegeven zijden? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
| A |= | D |en | AB |= | DE |en | BC |= | EF | Weet je
| AC |= | DF |en | A |= | D |en | AB |= | DE |
•
Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: –– 2 paar zijden hebben, die even lang zijn en de ingesloten hoek even groot is?
��������������������������������������������� � � � � � � �
–– 2 paar zijden hebben, die even lang zijn en als een aanliggende hoek even groot is? ��������������������������������������������� � � � � � � � •
Wat als hoek A recht is? –– Kun je een rechthoekige driehoek DEF tekenen die niet congruent is met driehoek ABC als je 2 paar zijden even lang neemt?
twee zijden en de ingesloten hoek
HZZ of ZZH zijn geen congruentiekenmerken, tenzij de hoek 90° is� • twee zijden en een rechte hoek tegenover één van die zijden
ZHZ
ZZ90°
Oefeningen 2 • •
Weer? 792 - 794
Zijn de driehoeken congruent? Verklaar met een congruentiekenmerk.
a
b
c
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � ��
� � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �
��������������������������������������������� � � � � � � �
B
3 Teken een driehoek DEF congruent met de gegeven driehoek ABC en gebruik het kenmerk ZHZ. Duid het congruentiekenmerk aan op de figuur.
C
Je ontdekte dat drie goed gekozen gelijkheden voldoende zijn om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn. Deze drie gelijkheden vormen een congruentiekenmerk.
78
Congruentie
Weer? 801 Meer? 802 803
A
A
Meer? 795 - 800
C
B
79
M21 Weer? 804 Meer? 805 806
Congruente driehoeken (vervolg) 4 • • •
b
Verdeel de figuur telkens in twee congruente driehoeken. Noteer de congruente driehoeken. Noteer het congruentiekenmerk.
a
b
B A
A
A B
c
A
U
CB // TU
Voor ∆ABC en ∆STU geldt: � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
T
B
B
C
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
D
D � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������
Weer? 807 808
5 • •
D
C
����������������������������������������������������������������������
C
C
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
S
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
���������������������������������������������������������������� � � � � � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
Teken driehoek ABC met | A | = 60° en | B | = 70°. Teken driehoek DEF als je weet dat ∆ABC ≅ ∆DEF.
Meer? 809
C
E
L F
Voor ∆EFG en ∆KLM geldt: � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
K
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
G
M
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
D
A
d
| AU |= | AR |
Voor ∆ARS en ∆AUT geldt: � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
B
Weer? 810 Meer? 811 812
A
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
S
6 Zijn de gegeven driehoeken congruent? Indien ja, noteer het congruentiekenmerk en noteer de driehoeken volgens overeenkomstige zijden. Indien neen, verklaar. a
T
U
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
R
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
C
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
Voor ∆ABC en ∆ADC geldt: ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
B
D
e
Voor ∆ABC en ∆DBE geldt: A
D
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
C
B
E
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
A
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
Wat moet je kunnen?
80
Congruentie
ττ congruentiekenmerken van driehoeken formuleren ττ congruentiekenmerken van driehoeken herkennen
ττ congruentiekenmerken van driehoeken illustreren door een tekening
81
M22
Bewijzen met congruente driehoeken Op verkenning • Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur�
In de tweede eeuw na Christus bedacht de Romeinse landmeter Marcus Nipsus een methode om de breedte van een rivier te bepalen zonder die rivier te moeten oversteken.
Kun je op de figuur nog zijden of hoeken vinden waarvan je zeker weet dat ze even groot of even lang zijn? Denk aan vroegere eigenschappen� • Omcirkel het congruentiekenmerk dat je kunt gebruiken�
ZHZ ZZZ HZH ZHH ZZ90°
• Noteer de gelijkheden�
Vanuit een punt B kiest hij, loodrecht op de oever, aan de overkant een herkenningspunt (bv� de boom in het punt A)�
Hij zet een paaltje in het punt B, stapt 20 passen verder langs de oever en plaatst in het punt C een tweede paaltje� Hij stapt nog eens 20 passen verder tot in het punt D en plaatst er een derde paaltje�
Vanuit D gaat hij loodrecht van de oever weg tot hij A en C op één rechte lijn ziet� Dit punt noemt hij E� Hij beweert dat de lengte van [DE] even lang is als de breedte van de rivier� Heeft Marcus Nipsus gelijk?
STAP 3
Bewijs Bewijs – congruente driehoeken
STAP 1 Verkennen •
Wat mag je nu besluiten? Had Marcus Nipsus gelijk?
Wat weet je zeker? Duid dit in het groen aan op de derde tekening�
Gegeven:
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
| BC | = | DC |
| B | = | D | = 90°
A
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
1
Wat wordt er beweerd? Duid dit in het rood aan op de derde tekening� B
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
Bewijs:
C
2
Te bewijzen: | AB | = | ED |
A
B
C
Voor ∆ABC en ∆EDC geldt: H | B | = | D | = 90° Z | BC | = | DC | H | C1 | = | C2 |
D
D
E
(gegeven) (gegeven) (eig� overstaande hoeken)
⇓ HZH ∆ABC ≅ ∆EDC
E vraag
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen� • Duid in het groen aan op de figuur�
antwoord
verklaring
⇓ Eig� overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | AB | = | ED |
Weetje
•
In een bewijs met congruente driehoeken noteer je alle elementen van de ene drieho ek links van het gelijkheidsteken� De elementen van de andere dr iehoek noteer je rechts van het ge lijkheidsteken�
De congruentiekenmerken van driehoeken kun je vaak gebruiken om aan te tonen dat in een figuur twee lijnstukken even lang of twee hoeken even groot zijn.
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen� • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur�
82
Congruentie
83
M22
Bewijzen met congruente driehoeken (vervolg)
Weer? 813 - 816 Meer? 817
7
• •
Bewijs dat je de vlieger ABCD kunt opsplitsen in twee congruente driehoeken ABC en ADC. Wat weet je nu over B en D? Verklaar.
B A
Gegeven:
Meer? 831 832
F C
F
F
�����������������������������������������������������������������������
D
�����������������������������������������������������������������������
D
E
F
A
B
C
E
D
Te bewijzen: ����������������������������������������������������������������������� Bewijs:
Weer? 830
9 Toon aan dat het grondvlak en het bovenvlak van dit driezijdig prisma congruent zijn. Gegeven: Prisma met grondvlak ∆ABC en bovenvlak ∆DEF Te bewijzen: ∆ABC ≅ ∆DEF
Oefeningen
C
C
Verbind de punten A en C� Zo bekom je de driehoeken � � � � � � � � � � � � en � � � � � � � � � � � � � A
Voor ∆ � � � � � � � � � � � � en ∆ � � � � � � � � � � � � geldt: ���������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � �
���������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
���������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � �
B
C
Verkenning: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
⇓ � � � � � � � � � � � � �
Weer? 818 - 825
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
��������������������������������������������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Analyseren: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
8 Bewijs via congruentie dat in de onderstaande figuur | BM | = | CM |. A
Meer? 826 - 829
M
D
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
Bewijs: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
B
C
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
84
Congruentie
Wat moet je kunnen? τ congruentie van driehoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken τ gelijke lengten van lijnstukken en gelijke grootte van hoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken van driehoeken
85
M23
eigenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Op verkenning Stappenplan – een middelloodlijn van een lijnstuk construeren Eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk Phoebe en Robinah hebben elk een schooltje in een dorp in Afrika. Je belooft hen te helpen om een waterput te bouwen die langs de weg ligt maar die ook even ver ligt van het schooltje van Phoebe (punt P) en het schooltje van Robinah (punt R). Waar bouw je de waterput? •
Teken de afstand tussen het schooltje in P en het schooltje in R in vogelvlucht�
•
Snijdt de weg dit lijnstuk in het midden? ������������������������������������������������
•
Construeer een punt C op 4 cm van P en R en een punt D op 3 cm van P en R�
•
–
Teken een rechte m door de punten C en D�
Duid de twee snijpunten P en Q aan die je bekomt.
B
A
B
P
–
m is ������������������������������������������������������������������������������������������� van [PR]�
B
De afstand in vogelvlucht is de kortste afstand tussen twee punten�
Q
Teken nog twee verschillende punten op de rechte m�
Teken door de snijpunten P en Q de rechte m. Deze rechte is de middelloodlijn van [AB].
Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R? ����������������������������� •
Neem een passeropening groter dan de helft van [AB]. Construeer twee cirkelboogjes met middelpunten A en B, en met dezelfde straal.
A
A Weetje
a
m P
A
Teken twee verschillende punten die niet op de rechte m liggen�
B
Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R? ����������������������������� •
Waar denk je dat de punten moeten liggen opdat de afstanden tot de punten P en R gelijk zouden zijn?
P
Het bewijs van de contructie van de middelloodlijn vind je in het oefenboek: oef. 861.
� � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
Bepaal de plaats waar je de waterput gaat bouwen�
R
Oefeningen Weer? 833 834
10 Verdeel [XY] in twee even lange lijnstukken. Gebruik alleen passer en liniaal.
Z is een punt op de middelloodlijn m van [XY]�
11 Construeer alle punten die even ver liggen van A en B.
Weer? 837 838 Meer? 839 - 850
Meer? 835 836
eigenschap – middelloodlijn van een lijnstuk Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk
Q
Plaats de nodige merktekens.
X
A
mZ
a�s�a� het punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van het lijnstuk�
| ZX | = | ZY |
X
M
Y
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M25� Y
b Constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk •
B
Welke eigenschap hebben de punten die op de middelloodlijn van [AB] liggen? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten?
����������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Hoeveel punten heb je nodig om een rechte te kunnen tekenen?
����������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Wat moet je kunnen?
86
Congruentie
ττ de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden ττ de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk toepassen ττ de middelloodlijn van een lijnstuk met de passer construeren
87
M24
eigenschap en constructie van de bissectrice van een hoek Op verkenning a
Duid de twee snijpunten X en Y aan die de cirkelboogjes maken met de benen van hoek A�
Eigenschap van de bissectrice van een hoek Een houtfabriek wil zich vestigen in de buurt van twee belangrijke autosnelwegen. Vier vestigingsplaatsen komen in aanmerking. Welke vestigingsplaats ligt even ver van de twee snelwegen? • Hoe meet je de afstand van een punt tot een rechte?
A Y
� � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Teken in X en Y telkens een cirkelboog met dezelfde straal� Deze cirkelbogen snijden in het punt Z�
� � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
X
Meet telkens de afstand van de punten tot de benen van de hoek X� Wat stel je vast voor: –
punt A?
���������������������������������������������������������������������������������������������
–
punt B?
���������������������������������������������������������������������������������������������
–
punt C?
���������������������������������������������������������������������������������������������
–
punt D?
���������������������������������������������������������������������������������������������
•
Teken in het groen door C en D een rechte b�
•
Wat is b van de hoek X? Wat vermoed je?
A
Z Y
Teken de rechte door Z en het hoekpunt A� Deze rechte is de bissectrice van A�
B
X A
C
X A
D
Z Y
Plaats de nodige merktekens�
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
•
X
Het bewijs van deze constructie vind je in het oefenboek: oef� 866�
Wat denk je over de punten die op b liggen?
Oefeningen
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
eigenschap – de bissectrice van een hoek Een punt ligt op de bissectrice van een hoek
P is een punt op de bissectrice b van A�
B b A
a�s�a� het punt op gelijke afstand ligt van de benen van de hoek�
Weer? 851 - 854
12 Construeer alle punten die even ver liggen van de benen van hoek X.
Meer? 855 - 857
P
d( P,[AB ) = d( P,[AC ) C Het bewijs van deze eigenschap vind je in je oefenboek: oef� 861�
b Constructie van de bissectrice van een hoek • Welke punten liggen op de deellijn van A?
X Weer? 858
13 Construeer alle bissectrices van de snijdende rechten a en b. a
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Hoe bepaal je de afstand van een punt tot de benen van een hoek?
•
Wat weet je van de afstanden van de voetpunten van die loodlijnen tot het hoekpunt A?
•
Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten?
Hoeveel hoeken vormen twee snijdende rechten?
b Hoeveel bissectrices heb je getekend? c Wat stel je vast?
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �
Meer? 859 860
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
d Wat is op deze tekening de onderlinge ligging van de twee bissectrices?
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
a
Stappenplan – een bisscetrice van een hoek construeren Construeer een cirkelboog door elk been met als middelpunt A en een willekeurige straal� A
b Wat moet je kunnen?
88
Congruentie
τ de eigenschap van de bissectrice van een hoek verwoorden τ de eigenschap van de bissectrice van een hoek toepassen τ de bissectrice van een hoek met de passer construeren
89
M25
Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk Op verkenning vraag
Z is een punt op de middelloodlijn m van [XY]�
Z
m
a�s�a�
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen� • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur�
| ZX | = | ZY |
het punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van het lijnstuk�
X
M
Y
STAP 1 Verkennen •
Vul aan� In de eigenschap zie je een dubbele pijl� Dit betekent ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Deel1:
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
–
Noteer voor deel 1 het gegeven�
–
Noteer voor deel 1 het te bewijzen�
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Deel2:
verklaring
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen� • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur�
eigenschap – de middelloodlijn van een lijnstuk Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk
antwoord
Als een punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt
Hoe kun je bewijzen dat afstanden gelijk zijn? • Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur� Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden�
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
–
Noteer voor deel 2 het gegeven� � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
–
•
STAP 3 Bewijs
Noteer voor deel 2 het te bewijzen�
Bewijs – eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (deel 1)
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk�
Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel 2 (verdieping)�
DEEL 1 eigenschap
Gegeven:
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk Weetje
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken m Z
Punt Z ligt op de middelloodlijn m en kun je symbolisch noteren als Z ∊ m, want m is een rechte en dus een verzameling van punten� Z is een element van deze verzameling�
m is de middelloodlijn van [XY]� Z is een punt van de middelloodlijn m (Z ∊ m)�
m Z
Te bewijzen: | ZX | = | ZY | Bewijs:
Voor ∆XZM en ∆YZM geldt: (def� middelloodlijn) Z | XM | = | YM | | | | | H M1 = M2 = 90° (def� middelloodlijn) Z | ZM | = | ZM | (gemeenschappelijke zijde)
1 X
M
2 Y
⇓ ZHZ ∆XZM ≅ ∆YZM ⇓ Eig� overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | ZX | = | ZY | X
90
Congruentie
M
Y
91
M25
Bewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (vervolg) DEEL 2 eigenschap Als een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een
lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
Bewijs – eigenschap van de middelloodlijn (deel 2 verdieping) Als een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk� m Gegeven: [XY] | ZX | = | ZY | Z
Z
X
STAP 3 Bewijs
X
Y
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? Je hebt verschillende mogelijkheden. • Teken m en noem M het snijpunt met [XY]. Wat weet je nu nog meer door deze tekening?
antwoord
Y
Te bewijzen: Z is een punt van m (Z ∊ m), met rechte m de middelloodlijn van [XY]� Bewijs:
vraag
1 2 M
verklaring
Je hebt drie mogelijkheden: Bv� 1 Je gebruikt in de driehoek de hoogtelijn uit Z� ZM is een hoogtelijn M is het snijpunt van ZM en XY� Voor ∆XZM en ∆YZM geldt: Z Z H
| ZX | = | ZY | | ZM | = | ZM |
| M | = | M | = 90° 1 2
(gegeven) (gemeenschappelijke zijde) (def� hoogtelijn)
⇓ ZZ90° ∆XZM ≅ ∆YZM ⇓ Eig� overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | XM | = | MY |
⇓ Def� zwaartelijn m is de zwaartelijn uit Z op [XY] Uit & volgt: ZM is de middel - loodlijn van [XY]�
Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden.
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen
92
Congruentie
93
M26
Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek Op verkenning Hoe kun je bewijzen dat afstanden gelijk zijn?
eigenschap – de bissectrice van een hoek Een punt ligt op de bissectrice van een hoek
P is een punt op de bissectrice b van A�
B
a�s�a�
b A
d( P,[AB ) = d( P,[AC )
het punt op gelijke afstand ligt van de benen van de hoek�
P C
STAP 1 Verkennen •
Vul aan� In de eigenschap zie je een dubbele pijl� Dit betekent ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Deel 1:
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan
• Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur� Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lang zijn of hoeken waarvan je weet dat ze even groot zijn? –
Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden�
– –
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
–
Noteer voor deel 1 het gegeven�
–
Noteer voor deel 1 het te bewijzen�
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Deel 2:
Als een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
–
Noteer voor deel 2 het gegeven�
–
Noteer voor deel 2 het te bewijzen�
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel 2 (verdieping)�
DEEL 1 eigenschap
A
Bewijs – eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel 1) Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk� Gegeven: b is bissectrice van A� B P is een punt van de bissectrice b (P ∊ b)
vraag
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen� • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur� Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen� • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur�
A
Bewijs:
B
1 2
b
C
Uit P worden loodlijnen getekend op de benen van hoek A� De voetpunten noem je B en C� d( P, [AB ) = | PB |
P
P
1 2
Te bewijzen: d( P, [AB ) = d( P, [AC )
d( P, [AC ) = | PC |
Voor ∆ABP en ∆ACP geldt: C
Congruentie
STAP 3 Bewijs
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
94
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
antwoord
verklaring
H H Z
| B | = | C | = 90° |A | = |A | 1
2
| AP | = | AP |
(def� afstand van een punt tot een rechte) (def� bissectrice) (gemeenschappelijke zijde)
⇓ HHZ ∆ABP ≅ ∆ACP ⇓ Eig� overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | PB | = | PC |
⇓ |B| = |C| = 90° d( P, [AB ) = d( P, [AC )
Def� afstand punt – rechte
95
M26
Bewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek (vervolg) eigenschap
DEEL 2
Als een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van een hoek
STAP 3 Bewijs Bewijs – eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel 2)
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
Als een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van de hoek� Gegeven: hoek A b = AP d( P, [AB ) = d( P, [AC ) B en C zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van hoek A�
B A
P
A b
C vraag
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur.
antwoord
verklaring
B
1 2
P
Te bewijzen: P is een punt van de bissectrice b van hoek A (P ∊ b)� |A | = |A | 1 2 Bewijs:
Voor ∆ABP en ∆ACP geldt: Z Z H
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen.
C
| AP | = | AP |
| BP | = | CP |
| B | = | C | = 90°
(gemeenschappelijke zijde) (gegeven) (def� afstand van een punt tot een rechte)
⇓ ZZ90° ∆ABP ≅ ∆ACP ⇓ Eig� overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken
• Teken de rechte AP. • Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lang zijn of hoeken die even groot zijn? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden.
|A | = |A | 1 2
⇓ P ligt op de bissectrice b van hoek A�
Oefeningen Weer? 861 862
14 De bissectrices c en d van snijdende rechten a en b staan steeds loodrecht op elkaar. Bewijs dit. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
Meer? 863 - 871
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
d a
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
c b
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van de bissectrice van een hoek bewijzen
96
Congruentie
97
Problemsolving
5
2 cm
m
Een aantal ringen wordt geschakeld tot een ketting als in de figuur. De totale lengte van de ketting is 1,7 m. Uit hoeveel ringen bestaat de ketting?
3c
1
eigenschappen van driehoeken
Dit kun je al 1,7 m A 17
B 21
C 30
D 42
e
85
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
1 een hoek meten 2 de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken gebruiken 5 een vergelijking oplossen
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Elke vraag heeft maar één juist antwoord� Controleer je antwoord in de correctiesleutel� Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum�
2 Hieronder zijn een aantal ontwikkelingen van een kubus getekend. Welke ontwikkelingen zijn congruent? 1
2
3
4
5
Test jezelf
6 A
1
90°
Hoe groot is A? 110 70
0 12 60
100 80
90
80 100
70 110
60 12 0
3
2
2
1
1
ad
160 20
6
5
4
3
2
1
0
1
2
10 170
170 10
20 160
7
120°
30 0 15
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Verder oefenen?
1350 0
15 30 0
3
60°
C
40 0 14
14 40 0
0 1350
B
3
4
5
6
7
A
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
2
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Wat is de meest passende naam voor de driehoek ABC? A
gelijkbenige, stomphoekige driehoek
rechthoekige, gelijkzijdige driehoek
rechthoekige, gelijkbenige driehoek
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
ad
3 De diameter |XY| van de cirkel is 10 cm. Hoe lang is de omtrek van de groene figuur?
B
3
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
X
Y
C
In welke figuur vind je overstaande hoeken? oef� nr� 720
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
4
4 Hoeveel procent van de volledige figuur is grijs gekleurd? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
5
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
98
problemsolving
Vul aan� Verwisselende binnenhoeken zijn bij evenwijdigen en een snijlijn ��� Los op� –2x + 5 = –6
complementair
even groot
supplementair
oef� nr� 735
1 x = _ 2
–11 x =_ 2
x = 5,5
oef� nr� 145
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • • • •
M27 M28 M29 M30 M31 M32 M33 M34
leerwerkboek p� 99 - 118 oefenboek nr� 872 - 967 passer geodriehoek groene en rode pen kleurpotloden
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een buitenhoek van een driehoek Constructie en classificatie van driehoeken De driehoeksongelijkheid Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Bewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek Bewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek Bewijs: de driehoeksongelijkheid
p� 100 p� 104 p� 106 p� 108 p� 110 p� 114 p� 116 p� 117
99
M27
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek Op verkenning a
b
De hoeken in een gelijkzijdige driehoek
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek • Vul aan� In de gelijkbenige driehoek ABC is A de � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � hoek, B en C zijn de � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � hoeken� • Vul de rest van de tabel in� B
C
| B | = ����������������������������������������������������������
A
|C| =
K
Wat stel je vast?
| A | = 110°
���������������������������������������������������������
E
����������������������������������������������������������������� � � � � ����������������������������������������������������������������� � � � �
•
Wat stel je vast?
D
| D | = 90°
����������������������������������������������������������������� � � � �
| E | = ����������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������� � � � �
|F|=
����������������������������������������������������������������� � � � �
���������������������������������������������������������
L
M
����������������������������������������������������������������� � � � �
Noteer de meest passende naam voor de driehoek KLM�
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ���
Is deze driehoek ook gelijkbenig? Leg uit� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � � •
Bekijk de gelijkbenige driehoek KLM met K als tophoek� Wat weet je over de andere hoeken?
•
Bekijk de gelijkbenige driehoek KLM met L als tophoek� Wat weet je over de andere hoeken?
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �
F
Teken een scherphoekige driehoek Meet de lengten van de zijden van met twee even grote hoeken� de driehoek� Noteer op de figuur�
Wat stel je vast? ����������������������������������������������������������������� � � � �
•
Wat besluit je over de grootte van de hoeken in een gelijkzijdige driehoek? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��
•
Vul in: | K | = � � � � � � � � � � � � � � � �
| L | = ����������������
|M| = ����������������
����������������������������������������������������������������� � � � �
eigenschap – de hoeken in een gelijkzijdige driehoek
����������������������������������������������������������������� � � � �
Een driehoek is gelijkzijdig
C
In driehoek ABC geldt: 60°
| AB | = | BC |= | CA |
⇔
a�s�a� de hoeken even groot zijn�
180° = 60° |A| = |B| = |C| = _ 3
eigenschap – de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkbenig
In ∆ABC geldt:
de basishoeken even groot zijn�
60° 60° B
B
Het bewijs van die eigenschap vind je in je oefenboek: oef� 951-952�
| AB | = | AC |
CONTROLE 6
⇔
a�s�a�
A
Is driehoek XYZ gelijkzijdig als | X | = 60°? �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � ��
C
|B| = |C|
Oefeningen
A Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M31�
CONTROLE 5
Is driehoek STU gelijkbenig als | S | = 70° en | T | = 55°? Verklaar� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
1
• • •
Bereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek DEF. De hoek D is de tophoek. Maak eerst een schets. |D|
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
1
|E|
4
100
Eigenschappen van driehoeken
Meer? 875 - 877
112° 75°
2 3
|F|
Weer? 872 - 874
60° 52°
101
M27 Weer? 878 879 Meer? 880
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) 2 • • •
5
Bereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC met A als top.
| A | = 2| B |
Maak eerst een schets. Los de oefening op met een vergelijking.
• •
Juist of fout? Verklaar telkens en teken een tegenvoorbeeld bij de foute uitspraken.
a
Een gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn�
Weer? 889 890 Meer? 891
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
b
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
Een gelijkbenige driehoek heeft altijd drie scherpe hoeken� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
c � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
Gelijkzijdige driehoeken zijn steeds scherphoekig� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
d
Een gelijkbenige driehoek is ook gelijkzijdig� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
6 Weer? 881 Meer? 882 - 886
Weer? 887
3 • •
Teken de gelijkbenige driehoek GHI die aan de volgende voorwaarden voldoet. basis | GH |= 2,8 cm | I |= 84° Maak eerst de nodige berekeningen.
• •
Construeer in een gelijkzijdige driehoek ABC de drie bissectrices. Wat stel je vast?
• •
Noem het snijpunt van de bissectrices S. Bereken de hoeken in driehoek ABS.
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
4 • •
7
Bereken | V2 |, | I |en | R |. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring.
Meer? 888
V
R
1 2
?
∆ABC is gelijkbenig met tophoek A. Bereken de ontbrekende hoekgrootten als... a
?
111° E
Weer? 892
?
I
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
| A | = 50°
b
| B | = | A | + 30°
c
| B | = _1 | A |
Meer? 893
3
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� �
�������������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Wat moet je kunnen?
102
Eigenschappen van driehoeken
τ de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek verwoorden τ de eigenschap van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek verwoorden
103
M28
een buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) A
Op verkenning a
Een buitenhoek van een driehoek • Teken [CB� – De binnenhoek van de driehoek in het hoekpunt B noem je B1� – De nevenhoek van B1 noem je B2� •
DEFINITIE
Eigenschap – een buitenhoek van een driehoek Een buitenhoek van een driehoek is A is een buitenhoek van 2 even groot als de som van de twee ∆ABC niet-aanliggende binnenhoeken. ⇓ | A2 |= | B |+ | C |
Teken een nevenhoek van C� Hoeveel oplossingen heb je? ������������������������������������������������������������
C
Wiskundetaal – defi nitie
65° B
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M32.
2 B
1
C
| B | + | B | = 180°
Oefeningen 8 Teken alle buitenhoeken van driehoek DEF.
A
2
Meer? 897 898
D
2
F 9 • •
Teken alle buitenhoeken van driehoek ABC�
A
������������������������������������
Weer? 894 - 896
E
B
1 C
Hoeveel buitenhoeken tel je?
30°
C
1 2
A
B1 en B2 zijn aanliggende hoeken
•
B
| A2 |= 65° + 30° = 95°
Een buitenhoek van een driehoek is In driehoek ABC is B2 een een nevenhoek van een binnenhoek buitenhoek� van de driehoek� a� s� a�
1
2 A 85° 95°
Hoe groot is de buitenhoek in het hoekpunt C als in de driehoek ABC | A | = 50° en | B | = 44°? Toon je berekening.
Weer? 899 - 901
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
Meer? 902 - 905
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
b
Eigenschap van een buitenhoek van een driehoek B C • Opdracht – Teken een driehoek ABC op een blad papier� Teken een buitenhoek B1� – Kleur de hoeken A en C in de driehoek in een verschillende kleur� – Knip de driehoek ABC met zijn buitenhoek B1 uit, zoals aangegeven op figuur 1� – Knip de hoeken A en C af, zoals aangegeven op figuur 2� – Leg deze afgeknipte hoeken, netjes aansluitend met de gekleurde hoekpunten tegen elkaar op hoek B1� Figuur 1
Figuur 2
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
10 • •
Weer? 906
Teken de driehoek KLM die voldoet aan de volgende voorwaarden. | KL | = 4 cm
| K |= 30°
Meer? 907 908
buitenhoek | L2 |= 120° Maak eerst de nodige berekening.
Figuur 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �
A
A
A
11 • • C
B1
C
B1
C
B
Bereken | A1 |, | A2 | en | C1 | als je weet dat a // b. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring.
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
•
Wat stel je vast?
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
•
Wat vermoed je? Een buitenhoek is even groot als
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarbij dit niet zo is?
B 1
b
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
Weer? 909
2 A 1
a
72° D
Meer? 910 - 914
1 C
1
103° E
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� �
������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Wat moet je kunnen?
104
Eigenschappen van driehoeken
ττ een buitenhoek van een driehoek herkennen ττ de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek verwoorden
105
Constructie en classificatie van driehoeken
M29
Op verkenning ad
a
Overzicht – classifi catie van driehoeken op basis van de symmetrieassen
Constructie van driehoeken Construeer een ongelijkbenige driehoek ABC met zijden van 4 cm, 2 cm en 3 cm�
Construeer een gelijkbenige driehoek DEF met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm�
Construeer een gelijkzijdige driehoek GHI met een zijde van 4 cm�
Een ongelijkbenige driehoek heeft geen symmetrieassen�
B
A
C E
Een gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is, heeft één symmetrieas�
D
F H
b
Classifi catie van driehoeken • Teken in de bovenstaande driehoeken alle mogelijke symmetrieassen�
•
Een gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen�
–
Hoeveel symmetrieassen heeft de ongelijkbenige driehoek ABC?
������������������������������������������������������ � � � � � � �
–
Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkbenige driehoek DEF?
������������������������������������������������������ � � � � � � �
–
Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkzijdige driehoek GHI?
������������������������������������������������������ � � � � � � �
G
I
Teken ook in de volgende driehoeken alle mogelijke symmetrieassen�
Oefeningen B
E
G
12 Construeer de gevraagde driehoeken. a Construeer een gelijkbenige driehoek ABC met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm�
Meer? 933 - 938
I
A
D
C
H
F
K
Weer? 915 - 932
L
Q b T
Construeer de driehoek ABC met een zijde van 4 cm en drie symmetrieassen�
M S
U
P R
Wat moet je kunnen?
106
Eigenschappen van driehoeken
τ een driehoek construeren die aan bepaalde voorwaarden voldoet τ driehoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen
107
Meet in elke driehoek de lengte van de zijden. 75<0;>< 8-:31:51A .>A3 2>C?@>∆ABC ∆DEF ∆GHI :785: --@ > ; ;?1B1 8 ?|@ >AC |= �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � � | DE |= � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � | IH |= � �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��<��8��-��-��@��?�� �� ��@��#�� �� �� �� �� �� � ��� � : 1 -> 78 | | | | ?� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � | (* AB + BC = � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � | EF |+ | FD |= IG |+ | GH |= � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � ��� � 1F • Vul aan. •
B-:C1?1:.171?@>--@
B-:->@1B1801? @>
--@
81:?@> --@ B-:?@> -
--@
-?@>-@
G
;?E?@>
>7@
>3?@>-@
<->;/45-: ?@>--@ #
-
5:7 ? 18? @>-@
9;81: .1
?5:@6/;.?9-
-<;?@18?@>--@
?5:@6 ?@>--/;.?# @
2>-:
8-:31? 5:@-::
<815
7;> -::- @1?5:@# ?@>-@
?48?
<>5: ?1??
6-: 851>
B8195:/7 ?@>--@
?@>$
B
1>9 -:
>59 ?@> --@
:# <-<1-@61 ?@>-
-
75<0;>< 9->73 >-B1?@ >--@
(
.;>F 1?@>-@
:
7;>@ (/ 1:51 A C? @>--@
--:01: # ?@> --@
-@
4; ;3? @>-
B8 -
A
7 -@1856:1B1?@
7
3>; <51@ @1 1><; @?@> --@
7--5
:05 6/7
?@B-
FA5 0
C-: 018@ 1>>?
a
*
91879-
QX
B8-?9>7@
? ?@>--@
>@?@>$
aZZ
G
>
6-:.8;9?@>--@
Op verkenning ďč
3>;@1 9->7@ =
3
Q^_`
4?@> -> 7 -@ <51@ 815:1 ?@>-1><;@ -@
@ 7--?>A5
>7@ 9>: :?# 1 ;; 17 1E7 -:3
-@
;A0
$ C56:3-->0 ?@ > 4$/;:?/51:/1 , 61FA51@1: >A5 <815:
@17;1<;;
4-B De driehoeksongelijkheid ?@>- 1>#
M30
SMZ S
(-
?A57 1>>A ) 5
G
-:??@> --@
-<<189
?@>--@
=A1885:
--@
.>1E018?@>
-::11?
.;>:? @>--@
B-:1> @
1?@
75<0 ;>
B1? @
@-. -7
?1:??@ >--@
-@
?@> -
A
;@@;B1:5A ??@>--@
@-. -7 B1? @
9->5- <56<185:/D?@>--@
?5:@9->@1:??@>--@
;A01B-->@<8--@?
?81 5
>A .1:
?@> --@
-@
.> -: 0@ ?@> -
1A3418?@>--@
>1 9
.1D ?@> -@
6-/ ;. 6; >0 -1: ?@> ?# -@
-@
?@> -
@
>A ?? @> -@
01
-@
?@> -
.;: 0
B1>
6
/1881.>;101>?? @>--@
1571:?@>--@
@
71@18?@>--@
.135 6:1: B1
?@
-@
?@> -
B1> .;: 0
-@
9->? /4 -87
91/418?1<815:
3 1> - >0 ?@ >--@
--@
.1356: 1:?@>
-@
9; :@ ?@> -
. 1>
8-9
-@
1>? @ >-
FC 563
-@
8;@@ /4->
567
?@> -
8-:31
@C--829
?5:@#
4A501B1@@1>??@>--@
8-:313-?@4A5?? @>--@
.>101?@> --@
.;3->01?@
-@
1?.117 ?@>-
B-:/> -
-@
B; 87? @>
3>-9-E1 ?@>--@
?A0
3?@ >- @
3112?@>--@
>--@
-@
:-@5; :-81? @>-
C51
--@
5;: -81? @>-@
:-@
<-:0? @>
811AC1: ?@>$
3#
4;;
>50 7;>@1 01> ?@> $
;1B 1>
8-:3 1 > 5001> ?@>-@ C <;9 --5? <# @>?@> -@ --@ ?-89 ?@>-@
<-/4 @ ?@>$ #
78;; ?@1>? @>
--@
-@
-@
?59
@1>85?@?@>--@
@ --
91/4
0 B-:
?@> 5:3 98 91
: -:@;;
8--@?
-@ >-
@
<1857--:?@>--@
>51 9? @ >-
.1001:?@>--@
<18 3
-@
?@> -
1>:1
171 :
?/4 180
@5:7 --5
<8-:
B1>. 1:@>1 >-:01 <;@?@ >$
5/4 518? 7-5
-@
?@ >@ ;; :: B-
< 8;;?
11:C13 91/418?1?@
:? 2>6-:
?1
# -:?
--@
-@
01> 4;A ?@>
01 C18? @>
4;B1:51>??@>-
@-8?1?@>--@
-@
?`MP_\M^W
: >@1 91
79 ?@;/
?@>
-9 010
01B>51>1?@>-
<; 80
G /1:@>--8
G
56?815
-5
G
? :9-@
7-
G
G
1 =A5:@
81;<;80?@>
# 0A? 8-: -@ .;8 ?@>-
-@
@ @>-15:?
8 118< 7-?@
-5
G
G
-@
-@ 8;A5F-?@>-
1??1?@>7-
3-:3 @1>:5:/7
31AF1:?@>--@
3>--2B-:139;:@?@>--@
C-8? 1
G
G
8-:3141>1:
81;<;80?@>
2
9? 17
G
G
G
.[`MZU_OTQ G `aUZ
G
8-:313-:3
7B180
78;;?@1>?@>--@
>C1>
B8-
G
915?@>--@
--@ A5??@>
->91 0A5B18? ?@>--@
-?@4
G
5:/ B819
?5: @#9
-@
C-<<1>
13 7;>@
-@
: 91 @ 7-9 ?@>--
G
G
7;8B1:51>?@>-
G
G
@>8;9.->01:?
G
G
-@ ?@>71>? ?/456:C1 >
:? @>- -@
0>A771>56?@>--@
G
G
7-991
G
>7@
F-:0
Het verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uit-4 5? >1E >-1851 :01 breiding). @1: / 3>;1:# 151> * ?@>--@ > 9 F C8AC # ? @? <8 -31911: > • Noteer van driehoek ABC: ? 7; 7 @>@ ?@> C --@ > @ @1 1?@>--@ -@ 78->1: ? # – de grootste hoek@$6-:?B ��������������������������������������������������������������������� D ?@>--@ 851@ ) -5 7; . 1>3?@ ��������������������������������������������������������������������� 915> B>560 ? > / ĎĖ – de langste zijde $ 4 . -?@ ; > 1 : A 3 / 9->7@ 3 –– De lengte van een zijde is steeds ................................. # 3 81E??@> dan de som van � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� 9->7@ * 51>?@>$ --@ – de kleinste hoek ��������������������������������������������������������������������� ?@11 ?@-@51? 91 :4; ––5 > In de driehoek XYZ is ......... < ......... + ......... @1:51>? @>--@ AC1>?B < B 8 – de kortste zijde ��������������������������������������������������������������������� @? (0 1?@ * A ( en ......... < ......... + ......... ?@113 tussen de grootte van de hoeken en de 8;9.->0 1:4;verband • Bestaat >er567een 9 1:B1?@ , 17 ?71: 017 1E 3>;1:0-8?@>$ ?1>815 en ......... < ......... + ......... 7--5ĎĖlengte van de zijden? 9A :@? 7>; @> • Construeer de driehoek JKL. – Welke 9zijde 91 staat tegenover--de @ grootste hoek? ������������������������ 7;@>--@61 C B1? 1881 | JK | (, = 8 cm 6;01:?@>--@ -A3 hoek? ������������������������� >1:C--3 .;; tegenover de kleinste @5: – Welke , F1 A 56 B | | B8 - zijde staat Ďĕ KL = 4 cm 3 3? ? : @56: ?@> -:0 -:01>1:?@ <8 @>4; / 1 $ A :?@ >$ E , | | / LM = 3 cm F @ C-->0 7# -@ >- 1B1>056?@>--@ 2?@>-–?@$ Vul aan� Tegenover de grootste hoek+ligt ����������������������������������� /1:@>--8 4; ? @@1>? ?/4A @ ? > @ @ > --@ 9 5/45 --@ Wat stel je vast? 18? 71801> >56? B-: 7; • Teken een ?81A@18?@>--@ ? @>$ongelijkbenige driehoek� ?@$-:0 C56/ ( ?@>--@ <8- 910 > 7 5 � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���@� ��>- -@ 1 5 <83>--: – Markeer in de driehoek de>kleinste hoek�??@> -@? 1 5671 >562? -@? :19->7@ 815 7 . 1 @ : A71kortste zijde� – Markeer in de driehoek de 0 A (( ; @ 9->7@ 8 ;>318?@> ?@$-:@;:5A??@>2>?@>- -->beide? # 9– Bestaat er een verband tussen :/7 Eigenschap – driehoeksongelijkheid . -@ >5?@>- 1:# 7 #@4 .->?1: � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� -@ / 4-<<-1>@ B851 ;>@1 � � � � � � � � � � � 1 --8 1>1< 2,8 cm + 6 cm / ? 7 cm In een driehoek is de lengte van een In driehoek ABC geldt: -@ @ >> ?@ > 3 7 ? > .1 @ ? @> 189 ?@>-->1: @>-? ?@1 5: 1 -@1><8 @41 @ @ 2,8 cm5-<817 cm + 6 cm zijde altijd kleiner dan de som van de | -@ | -:| | | | 1:. AB < BC + CA ? 5 + 2,8 cm 1 ?5: eigenschap – verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) 6 cm < 7 cm lengten van de + andere twee zijden. | | | # | | | @#-: >3?@>) 2;>@A -@ 188?@> 9@ C5881 BC < AB + CA ? 0>5 /4;E -@ 85:?@> B81 1?< hoek @1?@B> --@driehoek 31 grotere A In elke ligt tegenover :een een 95 | CA |< | AB |+ | BC | 8- B85 :/ @ @? 7;>@141>1:@-8?# 1>? grotere zijde en omgekeerd� 7 + ?/4A@>--@ B1 @>?@>--@ 3;101 80 4 cm --89; 3 cm -@ 104° ? 4;;< 1F1:51> 7 cm <>171> :51AC?@-0@;;< ??@ >--@ ?@>-??@>-? @ 5B-: ?@> :> > 41 @ 1 1 7 >;?5 1> -. ;;3 41A>/7?@>--@ @ 8;A 45° 31° . C 5F7@ > B5?9 B 9 6 cm /4 A -> 8; 180 A 5F 5-8 1?@ 15 | AB | < | BC | ⇔ | C | < | A | -9 6 cm >-@ C$81<18? > 8-:3 @>--@ 5 2,8 cm 1 Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M33� 815 751B5@?@>--@ @ ?5:@6 7?B1? C . @ ; >5?<; ?@#>;/ zijde� Welke hoek is de grootste hoek van de driehoek? � � � � � � � � � � CONTROLE 7 In de driehoek PQR is [QR] de langste ;>@ 4A??@ >--@ Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M34. 81;<;80<8--@? .;A> b Driehoeksongelijkheid 7>;:1:. @ 8-?@> A>3?@>>??@>---@ .1>B;1@ -@ /41>91 ? ? @>- -@ @ > -@ B B-:81>5A?? 7>;:1:. 9 A>3?@>-> --@ -@ Oefeningen ?@> 9- 5-#4 ?/4 7 / # 5: 1: >55: () 180 7;:5:3@ #41 >5è@ @1>: 1?@ @>-? : >>51 @-81 758 H -@ 13 Benoem telkens @@- de5grootste hoek van de driehoeken. 5 # @ : . -@Weer? ? > . @>- -:# .8-AC@;>1:<815: 815 6-/;.?@>-939 - 943 B; . /; 6@ > @ ? >?@ -@ A 8 1>9 8 119 :3 >--@ Meer? 1 ?@> -:# ?@driehoek 50?@ | AB |= 4,5 cm B-:1| EBC | CA |= 4,8 cm ABC 1 De grootste hoek � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � /78|1= 4 944 - 948 6 >- --@ 5 5 5,2 cm GB> @ C18 C B-9;>1@A?815 B1> | EF |= 3,6 cm | FD |= 8 cm driehoek - DEF | DE |= 7,2 cm De grootste hoek � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���<�8��� �: ���@5 � :1: 8--@? 9->:5DDD<8?@> >@# > 8-@ @ --@ ?@> I 11? 1?@ --@ .> 1:B --@ > 7 : @ 6 @ 5 : ? ; > | HI |= 3 cm |5:/ | IG |= 3,4 cm 8?@> | GH De grootste hoek � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � C18 B-driehoek GHI .13 ;351 9A 1018= 3,4 cm > B 8 1 @ > ?1A > .>5-89 ? 7 @ @>8$01C-18<8--@? 9? ;:@8 -@ # Vul aan en controleer. @>C5 -@ 28; 881 @;8 .A @ ?@> In ∆ABC: | BC |< ...........-@+ ........... >5?Controle: ........... < ........... + ........... 9? >1? ??@>-: 1 > ? ? 0 @ @ -@ > @ > F @>? @> 8 >/;=A584-@?@ 6; --@ 191 -@ ?/4 E ;. @ Wat moet je 4kunnen? (+ / 6 580 @ * 1>? : >-@; ?@> 1?@ 5 @ 5 ττ de driehoeksongelijkheid tussen de8zijden van een driehoek verwoorden >2? @ --@ -: ? A 6 ?@> 31 @ 8 119 -@ :3?@>Eigenschappen 108 109 ?@> .11 van driehoeken @ 80 ->--
M31
Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek • eigenschap – de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkbenig
B
In driehoek ABC geldt: | AB | = | AC |
Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden.
⇔
a�s�a� de basishoeken even groot zijn�
Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur.
|B| = |C|
C A
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig en vul aan� In de eigenschap zie je een dubbele pijl� Dit betekent ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Deel1: | AB | = | AC | ⇒ | B | = | C | lees je als:
STAP 3 Bewijs
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
DEEL 1
Deel2: | B | = | C | ⇒ | AB | = | AC | lees je als: � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
Bewijs (deel 1) – als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot Gegeven: ∆ABC | AB |= | AC |
A
Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel 2 (verdieping)�
DEEL 1 eigenschap Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
Te bewijzen: | C |= | B |
A
B
C vraag
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen� • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur� Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen� • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur�
antwoord
verklaring
Bewijs:
Je hebt verschillende mogelijkheden.
mogelijkheid: Teken de zwaartelijn m uit de top. Noem D het snijpunt met [BC].
Voor ∆ADC en ∆ADB geldt: (def. zwaartelijn) Z | CD |= | DB | Z | AC |= | AB | (def. gelijkbenige driehoek) Z | AD |= | AD | (gemeenschappelijke zijde)
B
C D m
⇓ ZZZ
∆ADC ≅ ∆ADB ⇓ Eig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken | C |= | B | De andere mogelijkheden om deze eigenschap te bewijzen vind je in het oefenboek: oef. 949.
Hoe kun je aantonen dat hoeken even groot zijn?
Welke bijzondere rechte m verdeelt driehoek ABC in twee congruente driehoeken? Er zijn verschillende mogelijkheden� Noem D het snijpunt van de rechte m met de basis�
110
Eigenschappen van driehoeken
111
M31
Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) DEEL 2
eigenschap
Als de basishoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig
STAP 3
Bewijs Bewijs (deel 2) – als een driehoek even grote basishoeken heeft, is de driehoek gelijkbenig
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken A
Gegeven: ∆ABC | B |= | C |
A
Te bewijzen: | AB |= | AC |
C vraag
Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen� • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur� Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen� • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur� Hoe kun je aantonen dat zijden even lang zijn? Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek ABC in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? Er zijn verschillende mogelijkheden� Noem het snijpunt van de rechte h met de basis D� • Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur� Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden�
B antwoord
verklaring
Bewijs:
Je hebt verschillende mogelijkheden.
Bv.: Teken de hoogtelijn m uit de top. Noem D het snijpunt met [BC].
1
C
B
D
Voor ∆ADC en ∆ADB geldt: (gegeven) H | B |= | C | H | D1 |= | D2 |= 90° (def. hoogtelijn) Z | AD |= | AD | (gemeensch. zijde)
2
⇓ HHZ
∆ADB ≅ ∆ADC ⇓ Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | AB |= | AC | Andere mogelijkheden om deze eigenschappen te bewijzen, vind je in het oefenboek: oef. 950.
Oefeningen 14 ∆ABC is gelijkbenig met tophoek C. [AB] wordt in drie gelijke delen verdeeld. Bewijs dat | CE | = | CF |
Weer? 949 - 957
A
Meer? 958 - 967
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
F
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
E C
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
B
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
Wat moet je kunnen? ττ de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek bewijzen
112
Eigenschappen van driehoeken
113
M32
Bewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) eigenschap – een buitenhoek van een driehoek Een buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken�
B2 is een buitenhoek van ∆ABC� ⇓
A
Zoek uit deze vergelijking de grootte van de buitenhoek B2�
|B | = |A| + |C| 2
C
Is dit wat je moet bewijzen?
1 2 B
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig� Welke meetkundige elementen komen er in voor?
STAP 3 Bewijs
� � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken •
A
Onderzoek de eigenschap voor de buitenhoek B2 � Je kunt deze eigenschap natuurlijk ook met een andere buitenhoek onderzoeken�
C vraag
antwoord
Gegeven:
A
1
C
2 B
Te bewijzen: | B2 | = | A | + | C | Bewijs:
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen�
driehoek ABC buitenhoek B2
1 2 B verklaring
Wat is gegeven?
Bewijs – een buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken van die driehoek
| B1 | + | B2 | = 180°
(def� nevenhoeken)
| A | + | B1 | + | C | = 180°
(eig� som van de hoeken in een driehoek)
⇓ + |B | + |B | = |A| + |B | + |C| 1
2
1
⇓ Eig � van een gelijkheid beide leden – | B1 | Welke eigenschap ken je al over de som van de hoeken in ∆ABC? • Noteer dit in symbolen�
| B | = |A| + |C| 2
Hoe groot is de som van | B1 | en | B2 |?
|B | + |B | = 1
2
Uitdrukking = uitdrukking � • Noteer dit in symbolen�
Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek bewijzen
114
Eigenschappen van driehoeken
115
M33
Bewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek (uitbreiding)
M34
eigenschap – verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd�
eigenschap – driehoeksongelijkheid
B 104°
3 cm
Bewijs: de driehoeksongelijkheid
4 cm
45°
31°
C
In een driehoek is de lengte van een In driehoek ABC geldt: 7 cm < 2,8 cm + 6 cm 2,8 cm < 7 cm + 6 cm zijde altijd kleiner dan de som van de | | | | | | AB < BC + CA 6 cm < 7 cm + 2,8 cm lengten van de andere twee zijden� | | | | | | BC < AB + CA | CA | < | AB | + | BC | A
6 cm
A
7 cm
| AB | < | BC | | C | < | A |
Bewijs (deel 1) – in een driehoek ligt tegenover een grotere zijde een grotere hoek Gegeven:
B
∆ACB | AB | > | AC |
1
Te bewijzen: | C | > | B | Bewijs:
6 cm
C 2
2,8 cm C
1
A D B Als | AB | > | AC | dan kun je op [AB] een punt D vinden zodat ∆ACD een gelijkbenige driehoek is� In ∆ACD is | C1 | = | D1 | en (eig� basishoeken in een gelijkbenige driehoek)� in ∆CDB is | D1 | > | B | (eig� buitenhoek van de driehoek | D1 | = | C2 | + | B |) ⇓ en |C | > |B| 1 ⇓
| C1 | + | C2 | = | C |
Bewijs – in een driehoek is de lengte van een zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden Gegeven:
∆DEF
E 1
2
het geheel is altijd groter dan het deel
|C| > |B|
•
Waarom wordt in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Te bewijzen: | DE | < | DF | + | FE | Bewijs:
∆ACB |C| > |B|
C
Te bewijzen: | AB | > | AC | Bewijs:
•
A Bewijs uit het ongerijmde Stel dat | AB | niet groter is dan | AC |� Dan heb je twee andere mogelijkheden: Stel dat | AB | = | AC |, dan zou ∆ACB gelijkbenig zijn en de hoeken B en C even groot� Dit is in tegenspraak met het gegeven� Stel dat | AB | < | AC |, dan zou volgens het eerste deel van het bewijs | C | < | B |� Dit is in tegenspraak met het gegeven� Er blijft dus maar één mogelijkheid over: | AB | > | AC |
B •
G
| DF | + | FE |
Je maakt de som | DF | + | FE | zichtbaar op de tekening: Je verlengt [DF] met [FG] zodat | DF | + | FG | = | DG | (met | EF | = | FG |)�
|E | = |G| 2 en | E | > | E2 | dus is | E | > | G |
In ∆DEG ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde: | DG | > | DE | of | DF | + | FE | > | DE |
Bewijs (deel 2) – in een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde Gegeven:
F
D
(eig� basishoeken in gelijkbenige driehoek) (het geheel is altijd groter dan het deel want | E | = | E1 | + | E2 |)
Waarom wordt er in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �� �
Wat is een bewijs uit het ongerijmde? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
•
In het bewijs uit het ongerijmde worden drie mogelijkheden bekeken� Welke? � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van het verband tussen hoeken en zijden in een driehoek bewijzen
116
Wat moet je kunnen? τ de driehoeksongelijkheid bewijzen/verklaren
117
Problemsolving 1
Gamal knipt uit een vel papier een driehoek. Twee zijden van zijn driehoek zijn 6 cm en 8 cm, de hoek tussen deze zijden is een rechte hoek. Hij gaat de driehoek één keer vouwen en kan zo verschillende fi guren vormen Bijvoorbeeld: of
6
6
Eigenschappen van vierhoeken
8
Dit kun je al 1 2 3 4
Welke van de volgende getallen kan de oppervlakte van een fi guur zijn? B 12 cm2 C 18 cm2 D 24 cm2 e 30 cm2 A 9 cm2
de verschillende benamingen van de vierhoeken de congruentiekenmerken van driehoeken verwoorden hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen de eigenschap van de middelloodlijn verwoorden
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
2
Een driehoek heeft een hoek van 86°. In de driehoek zijn de drie bissectrices getekend. Hoeveel graden is de hoek met het vraagteken?
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum.
86°
A
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
1
?
B
C
Verder oefenen?
In welke vierhoek is een diagonaal getekend?
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ad
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
3
Van een driehoek zijn twee zijden elk 7 cm lang. De lengte van de derde zijde is een geheel aantal centimeters. Hoeveel cm is de grootste omtrek die zo’n driehoek kan hebben? A 14 B 15 C 21 D 27 e 28
2
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
3
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Uit welke drie gegevens kun HZH je geen congruentie afleiden? In welke tekening zijn de verwisselende binnenhoeken aangeduid?
ZZZ
HHH
oef. nr. 795 oef. nr. 731
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
a
a
a
b
b
b
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
a // b
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
4
4
Van een stomphoekige en een scherphoekige dr iehoek zijn de volgende hoeken gekend: 120°, 80°, 55° en 10°. Hoe groot is de kleinste hoek van de scherphoekige driehoek?
In welke tekening ligt het punt A op de middelloodlijn van het lijnstuk XY?
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
a // b
A
X
a // b A
Y X
oef. nr. 834
A
Y X
Y
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � �
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • • •
M35 Eigenschappen van vierhoeken M36 Classificatie van vierhoeken M37 Bewijs: de eigenschap van de som van
leerwerkboek p. 119 - 134 oefenboek nr. 968 - 1035 geodriehoek kleurpotloden een groene en rode pen
de hoeken in een vierhoek
problemsolving
p. 128
M38 Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek
118
p. 120 p. 124
p. 130
119
M35
Eigenschappen van vierhoeken Op verkenning Wiskundetaal – definitie
De som van de hoeken in een vierhoek • Teken in elke vierhoek één diagonaal.
DEFINITIE
–
Uit hoeveel driehoeken bestaat je vierhoek?
–
De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan
B
.........................................
D
...........................
–
De som van de hoeken van de twee driehoeken is gelijk aan
–
Elke vierhoek bestaat uit . . . . . . . . . . . . . . driehoeken.
–
De som van de hoeken van een vierhoek is dus gelijk aan ................
C [AB] // [DC]
..........
Wiskundetaal – definitie en eigenschappen
DEFINITIE
Eigenschap – de som van de hoeken in een vierhoek De som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360°.
A
Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden.
ABCD is een vierhoek. ⇓ |A |+ |B |+ |C |+ |D |= 360°
A
EIGENSCHA
B
57°
P
118° 125°
60°
D |A |+ |B |+ |C |+ |D |= 360°
C
Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.
In een parallellogram: • zijn de overstaande zijden even lang; • zijn de overstaande hoeken even groot; • delen de diagonalen elkaar middendoor.
ABCD is een parallellogram. ⇔
a
A
[AB] // [DC] en [AD] // [BC] ABCD is een parallellogram. ⇓ | AB |= | CD |en | AD |= | BC | | A |= | C |en | B |= | D |
B M
D
C
| AM |= | MC |en | BM |= | MD |
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M37. Wiskundetaal – definitie en eigenschappen
DEFINITIE
EIGENSCHA
P
minstens één paar evenwijdige zijden twee paar evenwijdige zijden de overstaande zijden zijn even lang de overstaande hoeken zijn even groot
de diagonalen snijden elkaar middendoor de diagonalen zijn even lang de diagonalen staan loodrecht op elkaar
120
Eigenschappen van vierhoeken
| AB |= | BC |= | CD |= | DA | ABCD is een ruit. ⇓ AB // DC en AD // BC
In een ruit: • zijn de overstaande zijden evenwijdig; • zijn de overstaande hoeken even | A |= | C |en | B |= | D | groot; • delen de diagonalen elkaar | AM |= | MC |en | BM |= | MD | middendoor; • staan de diagonalen loodrecht [AC] ⊥ [BD] op elkaar. M is het snijpunt van de diagonalen.
B
A
M
C
D
Wiskundetaal – definitie en eigenschappen
DEFINITIE
de vier zijden zijn even lang alle hoeken zijn rechte hoeken
ABCD is een ruit.
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
⇔
Diagonalen, zijden en hoeken • Gebruik de tekeningen in de tabel om de eigenschappen van vierhoeken te onderzoeken. • Zet een kruisje op de juiste plaats in de tabel.
EIGENSCHA
P
Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.
In een rechthoek: • zijn de overstaande zijden evenwijdig; • zijn de overstaande zijden even lang; • zijn de diagonalen even lang; • delen de diagonalen elkaar middendoor.
ABCD is een rechthoek. ⇔
b
| A |= | B |= | C |= | D |= 90° ABCD is een rechthoek. ⇓ AB // CD en AD // BC
A
B M
| AB |= | CD |en | AD |= | BC | | AC |= | BD | | AM |= | MC |= | BM |= | MD | M is het snijpunt van de diagonalen.
D
C
121
Eigenschappen van vierhoeken (vervolg) b Wiskundetaal – definitie en eigenschappen
DEFINITIE
| K |=
ABCD is een vierkant. ⇔
Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken.
|A |= |B |= |C |= |D |= 90°
A
en |AB | = | BC | = | CD | = | DA |
EIGENSCHA
P
ABCD is een vierkant. ⇓ AB // DC en AD // BC
In een vierkant: • zijn de overstaande zijden evenwijdig; • zijn de diagonalen even lang; • delen de diagonalen elkaar middendoor; • staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
vierhoek KLMN met | M |= 60° en | K |=|L |=|N |.
B M
4
D
|AC |= |BD | |AM |= |MC |en |BM |= |MD |
| Y |=
..............
| L |= .................
| Z |=
..............
| N |= ................
| Q |=
. .. .. .. .. .. ..
WEER? 977
Onderzoek de regelmaat bij de som van de hoeken in een veelhoek. a Teken alle diagonalen die vertrekken vanuit het hoekpunt A. b Vul de tabel verder aan.
C
A
B
MEER? 978 H
A
C
B
C E
B
A
F E
[AC] ⊥ [BD]
Oefeningen 1
vierhoek XYZQ met | X |= 25° en | Y |=2| X |en
|Z |=3| Y |.
................
De bewijzen van de eigenschappen vind je in les M38 en in het oefenboek: oef 1014 - 1027.
WEER? 968 - 970
c
D
C
D
D
G F
E
Aantal hoekpunten Aantal driehoeken
Van een vierhoek zijn drie hoekgrootten gegeven. Bereken de grootte van de vierde hoek. |A |
|B |
|C |
20°
100°
120°
90°
90°
50°
102°
76°
82°
Som van de hoeken
|D |
c
Weetje
M35
Vul de tabel aan. aantal hoekpunten
aantal driehoeken waarin de veelhoek kan worden verdeeld
som van de hoeken
In een regelmatige ve elhoek zijn alle hoeken even groot en alle zijden even lang.
grootte van elke hoek in een regelmatige veelhoek
3 WEER? 971
2
Bereken de hoekgrootten. Toon je berekening. a
MEER? 972
D
A ? 50°
4 b
B
5
F
E
6
120°
10 15 51°
40° C
WEER? 973 974 MEER? 975 976
3
H
n ? G
. . . . . . . . . . . . . .........................................................................................
................................................................................................. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .........................................................................................
................................................................................................. . . . . .
Bereken de onbekende hoekgrootten in … a vierhoek ABCD met AB//CD en AD//BC en |Â|=100°. Maak eerst een schets. | B |= . . . ............................................................................................ | C |= . . ............................................................................................ | D |= . . ............................................................................................
................................................................................................. . . . . .
5
WEER? 979 - 981
Bereken de ontbrekende hoekgrootten in het trapezium. Verklaar.
A
B
MEER? 982
100°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
D 70°
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . ............................................................................................ . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
Wat moet je kunnen? � de eigenschappen van de vierhoeken verwoorden
122
Eigenschappen van vierhoeken
� de eigenschappen van de vierhoeken gebruiken
123
M36
Classificatie van vierhoeken Op verkenning Volgend schema leidt je naar de meest passende naam van een vierhoek. Elke mus is een vogel maar niet elke vogel is een mus! • Geef de meest nauwkeurige benaming van de vierhoeken. . . . . .......................................
5
...................................................
2
. . . . .......................................
6
...................................................
3
. . . . .......................................
7
...................................................
4
. . . . .......................................
1 2 5 3
Is er een paar evenwijdige zijden?
Weetje
1
n ek waarva Een vierho liggende aan twee paar lang zijn, is zijden even een vlieger.
•
Noteer de cijfers van:
–
alle trapeziums: ......................................................................................... . . . . . . .
–
alle rechthoeken: ...................................................................................... . . . . . . .
–
alle ruiten: ................................................................................................... . . . . . . .
–
alle vliegers: ................................................................................................ . . . . . . .
–
alle vierhoeken met loodrecht op elkaar staande diagonalen: ........................................................................................................................ . . . . . . .
6
–
NEEN
Twee paar aanliggende zijden even lang?
NEEN
vierhoek
JA vlieger
JA
Zijn er twee paar evenwijdige zijden?
NEEN
trapezium
JA Zijn alle zijden even lang?
NEEN
Zijn er vier rechte hoeken?
NEEN
parallellogram
JA
alle vierhoeken met even lange diagonalen: ................................... . . . . . . .
4 7
•
rechthoek
JA
Wat is de betekenis van de pijlen tussen de vierhoeken? . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Waarvoor staat de pijl tussen figuur 3 en figuur 6?
•
Waarom staat er geen pijl tussen figuur 5 en figuur 3?
•
Tussen welke twee figuren is de pijl getekend die staat voor de eigenschap vier rechte hoeken?
•
Zet de cijfers van de vierhoeken in de juiste verzameling. V = de verzameling van alle vierhoeken. T = de verzameling van alle trapeziums. P = de verzameling van alle parallellogrammen. Ru = de verzameling van alle ruiten. Re = de verzameling van alle rechthoeken. Vi = de verzameling van alle vierkanten.
Zijn er vier rechte hoeken?
NEEN
ruit
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
JA
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
V T P
Ru
Vi
124
Eigenschappen van vierhoeken
vierkant
Re
125
M36
Classificatie van vierhoeken (vervolg) 8
Oefeningen 3 WEER? 983
6
MEER? 984
Om de deur van de schatkamer te openen moet je op de juiste vierhoek drukken. Je hebt echter maar een stukje van de figuur meegekregen. Vul de onderstaande tabel in en maak dan je keuze.
1
2 5 4 6
9 de vierhoek waarop je moet drukken is …
naam vierhoek
waarom?
WEER? 988
Geef de meest correcte benaming. a
Een parallellogram met een rechte hoek is een
b
Een parallellogram met vier even lange zijden is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . .
c
Een vierhoek met de eigenschappen van een ruit en van een rechthoek is een
d
Een parallellogram met even lange diagonalen is een
e
Een ruit waarin twee opeenvolgende hoeken even groot zijn, is een
f
Een parallellogram waarvan twee opeenvolgende zijden even lang zijn, is een .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
MEER? 989 - 994
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
Symmetrische vierhoeken. a Teken alle symmetrieassen in de symmetrische vierhoeken.
WEER? 995 - 1003 MEER? 1004 - 1012
zeker geen …
misschien een …
zeker een …
7 WEER? 985 MEER? 986 987
Wanneer heeft een tovenaar zijn toverkracht nodig? Geef steeds een verklaring. De tovenaar heeft toverkracht nodig als hij … a alle vierkanten omzet naar rechthoeken.
b
C
Vul in met één, twee, drie of vier. –
Elk vierkant heeft . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
–
Elke rechthoek heeft ten minste . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
–
Elke ruit heeft ten minste . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
–
Elke vlieger heeft ten minste . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
Waarom wordt 'ten minste' vermeld in bovenstaande uitdrukkingen?
. . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
b
alle rechthoeken omzet naar vierkanten.
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
. . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
c
alle ruiten omzet naar vierkanten.
d
alle vierkanten omzet naar ruiten.
. . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
126
Eigenschappen van vierhoeken
Wat moet je kunnen? � vierhoeken classificeren op basis van eigenschappen van hoeken en zijden � vierhoeken classificeren op basis van de eigenschappen van hun diagonalen � vierhoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen
127
M37
Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek Op verkenning Reken uit. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?
eigenschap De som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360°
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor?
•
Noteer de eigenschap in symbolen.
STAP 3 Bewijs
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
Eigenschap – de som van de hoeken in een vierhoek is 360°
. . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................
A
ABCD is een vierhoek.
Gegeven:
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
2 1
B
B
D
Te bewijzen: | A | + | B | + | C | + | D | = 360°
C
Bewijs: vraag
A
antwoord
verklaring
Wat is gegeven? Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen.
D
2
1 C
Teken de diagonaal AC.
Noem de hoeken die gevormd worden A1, A2 en C1 en C2.
In ∆ABC geldt: | A1 | + | B | + | C1 | = 180°
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
In ∆ACD geldt: | A2 | + | C2 | + | D | = 180°
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
⇓ + | A | + | B | + | C | + | A | + | C | + | D | = 180° + 180° 1 1 2 2
Welke eigenschap (van driehoeken) kun je gebruiken om deze eigenschap te bewijzen? • Noteer deze eigenschap in symbolen.
⇓ | A | + | B | + | C | + | A | + | C | + | D | = 360° 1 1 2 2
⇓ Eig. het optellen is commutatief in q
• Teken diagonaal AC. Hoeveel driehoeken ontstaan er? De diagonaal verdeelt A in A1 en A2 en C in C1 en C2.
| A | + | A | + | B | + | C | + | C | + | D | = 360° 1 2 1 2
⇓ Eig. het optellen is associatief in q
( | A | + | A | ) + | B | + ( | C | + | C | ) + | D | = 360°
• Noteer in symbolen de som van de hoeken voor de twee driehoeken.
1
2
1
⇓
2
| A1 | + | A2 | = | A | en | C1 | + | C2 | = | C |
| A | + | B | + | C | + | D | = 360°
Hoe groot is de som van de hoeken van de twee driehoeken?
Oefeningen • Noteer dit in symbolen. 10 Bewijs dat de som van de hoeken in een vijfhoek gelijk is aan 540°. Mag je de grootte van de twee delen van hoek A en van hoek C bij elkaar optellen? Welke eigenschappen van de optelling heb je gebruikt?
WEER? 1013
A
E
B
• Noteer dit in symbolen.
D
C
Wat moet je kunnen?
128
Eigenschappen van vierhoeken
� de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek bewijzen
129
M38
Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek Op verkenning eigenschap
• Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur.
Vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn
Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden.
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor?
•
Maak een schets en duid de informatie aan.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je dan nog zetten? •
Vul aan. In de eigenschap zie je de notatie ‘als en slechts als’. Dit betekent dat Deel 1:
Als
.............................................................................. . . . . . . .
........................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
dan .......................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
STAP 3 Bewijs Eigenschap – als vierhoek ABCD een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang Gegeven:
ABCD is een parallellogram.
A
Deel 2: Als ........................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
2
B
1
dan .......................................................................................................................................................................................... . . . . . . . •
Je bewijst eerst deel 1 (in het leerwerkboek) en dan deel 2 (in het oefenboek).
DEEL 1 eigenschap
Als vierhoek ABCD een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang
Bewijs:
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken A
B
D vraag
Wat is gegeven? Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de tekening.
D
Teken de diagonaal AC.
Noem de hoeken die gevormd worden A1, A2 en C1, C2.
Voor ∆ABC en ∆CDA geldt:
H Z H
|A | = |C | 1 2
| AC | = | AC |
|C | = |A | 1 2
1 C
(eig. verwisselende binnenhoeken van AB // CD met snijlijn AC) (gemeenschappelijke zijde) (eig. verwisselende binnenhoeken van AD // BC met snijlijn AC)
⇓ HZH
C antwoord
Te bewijzen: | AB | = | CD | en | AD | = | BC |
2
∆ABC ≅ ∆CDA verklaring
⇓ Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | AB | = | CD | en | BC | = | AD |
Het bewijs van deel 2 vind je in je oefenboek: oef. 1014.
Hoe kun je bewijzen dat lijnstukken even lang zijn?
Hoe kun je twee congruente driehoeken bekomen? • Teken dit.
130
Eigenschappen van vierhoeken
131
M38
Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek (vervolg) eigenschap
Als vierhoek ABCD een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar
Wat is de onderlinge ligging van [AC] en [BD]?
STAP 1 Verkennen •
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor?
•
Formuleer de omgekeerde bewering. Als in een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan, dan is deze
•
Is deze bewering een eigenschap?
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................
• Noteer dit in symbolen.
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................
Bewijs – in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
Gegeven:
A
D
STAP 3 Bewijs ABCD is een ruit.
A
D
B
B
Te bewijzen: [AC] ⊥ [BD] Bewijs:
C vraag
antwoord
verklaring
C
Voor de ruit ABCD geldt: | AB | = | AD | (def. ruit)
en
| BC | = | CD |
⇓ (eig. van de middelloodlijn)
Wat is gegeven? Wat leer je uit de definitie van een ruit? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de tekening.
⇓ (eig . van de middelloodlijn)
A ligt op de middelloodlijn [BD] en
C ligt op middelloodlijn van [BD]
⇓ Een rechte wordt bepaald door twee verschillende punten. AC is de middelloodlijn van [BD]
Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de tekening.
⇓ Def. middelloodlijn [AC] ⊥ [BD] Je kunt deze eigenschap ook met congruentie bewijzen.
Hoe liggen de punten A en C ten opzichte van de punten B en D?
Oefeningen Op welke rechte liggen de punten A en C?
Hoeveel rechten kun je tekenen door twee verschillende punten?
(def. ruit)
11 Bewijs dat in een parallellogram de overstaande hoeken even groot zijn. Er zijn verschillende mogelijkheden.
A
21
D
B
2
1 C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
WEER? 1014 MEER? 1015 - 1035
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
Wat moet je kunnen? � de eigenschappen van vierhoeken bewijzen
132
Eigenschappen van vierhoeken
133
Problemsolving 1
Thema's
In de figuur hiernaast is de oppervlakte van de ruit gelijk aan 6 cm2. Hoe groot is de oppervlakte van de rechthoek? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................
2
p. 136
Thema 2 Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
p. 144
De twee regelmatige zeshoeken zijn even groot. Welk deel van het parallellogram is lichtgekleurd?
A 3
Thema 1 Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren?
1 _
B
6
1 _
C
5
1 _
1 _
D
4
E
3
1 _ 2
Van een gelijkzijdige driehoek kun je een trapezium maken door er een hoekje af te snijden. Vervolgens maak je nog zo’n even groot trapezium en je legt dit omgekeerd tegen het eerste trapezium aan zodat je een parallellogram bekomt. De omtrek van dit parallellogram is 10 cm meer dan de omtrek van de eerste gelijkzijdige driehoek waar je mee begon. Wat is de omtrek van die gelijkzijdige driehoek? A
10
B
30
C
D
40
E
60
Kun je niet weten.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
4
De driehoeken ABC en ADE zijn even groot. | AB | en | AD | zijn 1, | AC | en | AE | zijn 4. De oppervlakte van vierhoek ADFB is ... keer zo groot als de oppervlakte van driehoek ABC. A
1 _ 5
B
1 _ 4
C
2 _ 5
D
1 _ 2
E
1 _ 3
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................
5
F
D
E A
B
Een gelijkzijdige driehoek is verdeeld in een ruit, een kleine gelijkzijdige driehoek en twee trapeziums. De ruit heeft oppervlakte 18, de kleine gelijkzijdige driehoek heeft oppervlakte 1. Wat is de oppervlakte van een van de trapeziums? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
A
134
10
problemsolving
B
12,5
C
15
D
16
E
18
135
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? Een heel bijzondere verhouding in de meetkunde 1
3
Over een vierkant, een driehoek, een cirkel en… een heel bijzondere verhouding In het vierkant zie je een gelijkbenige driehoek en daarin de ingeschreven cirkel.
•
Meet en bereken de verhouding: | AD | _ = . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | DC |
•
Waar zit in de vijfhoek een driehoek verborgen die dezelfde eigenschappen bezit als driehoek ABC?
E' G
K
E
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
K'
•
Meet en bereken in de eerste figuur de verhouding. | GK | _ = ....................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . | KE | | G'K' | Meet en bereken in de tweede figuur _. | K'E' | Wat is het resultaat?
1
•
•
In elk pentagon kun je een vijfpuntige ster tekenen (een pentagram).
•
Meet en bereken de verhouding: | AS | _ = ................................................................................................................................... | SC |
Weetje
•
136
Bepaal op het lijnstuk EB een punt dat het lijnstuk in dezelfde verhouding verdeelt.
•
Controleer op [AB] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0,1 cm).
• A
2
E
B
Controleer opnieuw op [AB] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0,1 cm). S
| AS | Bereken _ = . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. | SB |
B . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
B
| AB | _ = . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
| AS |
Hoe vind je op het lijnstuk AB de juiste plaats voor dit speciale punt S? 1 | AB |. In de rechthoekige driehoek ABC: | BC | = _ 2 Maak in de driehoek de volgende constructie.
S
D
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
S
A
Euclides was een Griekse wiskundige (ca 325 v.C. – 265 v.C). Van zijn leven is niet veel meer bekend dan dat hij onderwees in Alexandrië. Toen de koning hem vroeg of er geen eenvoudige behandeling van de meetkunde mogelijk was, antwoordde Euclides: “Sire, er is geen koninklijken weg naar de meetkunde”. Zijn boek ‘De Elementen’ behoort tot de mooiste en meest invloedrijke wetenschappelijke werken. De schoonheid ervan ligt in de logische opbouw van de meetkunde en enkele andere takken van de wiskunde. Het voldoet ook aan de door de grote filosoof Plato gestelde eis “Wiskundige kennis wordt alleen door denken verkregen en dient losgemaakt te worden van het materiële”. Het boek bestaat uit 13 delen en begint met een aantal definities zoals “Een punt is datgene wat geen delen heeft” en “Een lijn is een lengte zonder breedte”. Veel van de meetkunde uit zijn boeken gebruiken we nu nog altijd.
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
_ = _
A
. . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................
Maak op de figuur het pentagon zichtbaar.
Euclides zoekt een punt S op het lijnstuk AB zodat:
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
. . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................
•
C
“Vertaal” dit probleem in wiskundetaal. •
Over een knoop, een ster en… een heel bijzondere verhouding • Maak een gewone knoop in een reep papier, trek hem voorzichtig aan terwijl je hem plat drukt, en er verschijnt een pentagon. Wat is een synoniem voor het woord pentagon?
. . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................
B
Rond 300 voor Christus worstelt de Griekse wiskundige Euclides met een meetkundig probleem. “Hoe kun je een lijnstuk in twee delen verdelen zodat de verhouding van het grootste deel tot het kleinste deel gelijk is aan de verhouding van de som van de delen tot het grootste deel? Hoe lang moeten die twee delen dan zijn?” (Euclides zelf sprak over: “een lijn in uiterste en middelste reden verdelen”)
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
2
D
We keren terug in de tijd…
G'
•
A
Over een driehoek, een driehoek en… een heel bijzondere verhouding In de gelijkbenige driehoek ABC: | A | = 36°. BD is de bissectrice van B .
C
C
B
A
•
Teken een cirkelboog met middelpunt C en straal | CB |. D is het snijpunt van deze boog met de zijde AC.
•
Teken een cirkelboog met middelpunt A en straal | AD |. S is het snijpunt van deze boog met de zijde AB.
137
3
Bereken in de constructie de volgende verhoudingen. – De verhouding tussen de lengten van de volgende lijnstukken | AS | _ = ..................................................................................................................................... | SB | | AB | _ = ................................................................................................................................... | AS | Wat stel je vast? ................................................................................................................. – Omschrijf in woorden wat je net berekend en getekend hebt.
Weetje
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? (vervolg) Φ = 1,618034 Een meer nauw keurige waarde voor de Gulden Verhouding is 1, 618034. Dit geta l noemt men Phi (uitgesprok en als ‘fie’ en ee n letter uit het Grieks alfabet) . Het symbool voor Phi is Φ, ter nagedachte nis van de Grie kse bouwheer Phidias.
Waar is Φ? • Bereken in de bovenstaande afbeeldingen telkens de verhouding tussen de lengten van het grootste en het kleinste lijnstuk. Parthenon
»
De lengte van het lijnstuk AS is .......................................................................... dan de lengte van het lijnstuk SB.
dan de lengte van het lijnstuk AS.
•
De Gulden Verhouding ontstaat als je een lijnstuk in twee delen verdeelt zodat de verhouding van het grootste deel (Major) tot het kleinste deel (minor) gelijk is aan de verhouding van de som van de delen (de lengte van het gehele lijnstuk) tot het grootste deel.
S verdeelt [AB] in de Gulden Verhouding ⇔ Het symbool voor de Gulden Verhouding is Φ.
S
minor
Wat valt je op in je berekeningen? De verhouding benadert telkens het getal: . . . . . . . . . Toeval of niet? Leonardo da Vinci en andere kunstenaars zijn gefascineerd door wiskunde en door Phi. Zij zijn overtuigd dat het begrip “schoonheid” veel samenhang vertoont met de Gulden Snede. Als we iets mooi vinden, zou de Gulden Snede erin terug te vinden zijn… Eens controleren in de klas? Meet en bereken de verhouding van je totale lengte tot de afstand van je navel tot de grond. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. Benaderen jullie lichaamsmaten de Gulden Verhouding?
B
Mijn totale lengte =
| AS | _ | AB | _ = | SB |
vrouw
Lengte van het grootste lijnstuk
Je maakte zonet een heel belangrijke meetkundige constructie! Het punt S verdeelt het lijnstuk AB in de Gulden Verhouding of Gulden Snede. Naar dit punt S was Euclides en waren wij op zoek.
major
vijfhoek
Verhouding van de lengten
De lengte van het lijnstuk AB is
A
Man van Vitruvius
Lengte van het kortste lijnstuk
»
.........................................................................
2
Verhouding =
| AS |
.. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Afstand van mijn navel tot mijn voeten =
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
De verhoudingen van de lichaamsmaten van mijn klasgenoten:
Phi is overal ... !? 1
Phi duikt op de meest onverwachte plaatsen op. Het lijkt wel of het magische eigenschappen bezit… • Tal van toepassingen vind je in de architectuur. Vb het Parthenon in Athene Het gemiddelde van deze verhoudingen is
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
De gulden rechthoek Een rechthoek waarvan de zijden de Gulden Verhouding hebben, noemt men een gulden rechthoek. Sommige kunstenaars noemen de gulden rechthoeken opnieuw de mooiste rechthoeken die er bestaan. 1
• •
•
138
Ook in de schilderkunst vind je Φ vaak terug. Een mooi voorbeeld zie je bij ‘De man van Vitruvius‘ van Leonardo Da Vinci. Het pentagram, de vijfpuntige ster, is één van de oudste heilige symbolen ter wereld. In de magische wetenschappen van de Middeleeuwen was het pentagram ook een symbool dat bescherming bood tegen heksen en boze geesten. Spiegeltje, spiegeltje aan de wand…
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
Teken een gulden rechthoek. • Neem voor de langste zijde een lengte van 8 cm. Bereken de lengte van de kortste zijde van deze gulden rechthoek. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
•
Teken heel nauwkeurig de gulden rechthoek.
139
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? (vervolg) •
Een héél bijzondere getallenrij
Een gulden rechthoek is heel speciaal, hij lijkt wel een toverrechthoek… Neem van de gulden rechthoek een zo groot mogelijk vierkant af en arceer dit vierkant. Is de overgebleven rechthoek ook een gulden rechthoek? Reken dit na.
1
Vervolledig de rij van de maatgetallen van de zijden van de vierkanten uit de vorige opgave.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
1
1
2
3
...........
...........
...........
...........
...........
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Doe dit nog eens opnieuw. Wat kun je zeggen van de rechthoek die nu overblijft?
•
Vul de rij aan met de drie volgende getallen.
•
Hoe ontstaan de getallen in deze rij?
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Als je deze stappen met steeds kleiner wordende rechthoeken blijft herhalen, merk je dat er een spiraalvormig patroon kan ontdekt worden. Deze gulden spiraal lijkt misschien wel sterk op de nautilusschelp…
2
.........
.........
.........
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
•
Deze bijzondere rij blijkt ook op te duiken bij de studie van een bijzondere konijnenpopulatie.
Een paartje jonge konijntjes wordt vruchtbaar na 2 maanden en daarna produceert zo’n paartje elke maand een nieuw paartje jonge konijntjes. Stel dat we met 1 paartje jonge konijntjes beginnen, hoeveel konijnenpaartjes zijn er dan na 1, 2, 3, 4… maanden? In dit verhaal gaan de konijntjes niet dood. De 1ste 2 maanden heb je alleen maar 1 paartje. Daarna krijg je steeds de konijntjes die je al had (dat is het vorige aantal) plus de nieuwe babykonijntjes die geboren worden.
Gulden rechthoeken, vierkanten en een bijzondere rij van getallen Kijk naar de figuur: De figuur ontstaat door telkens specifieke vierkanten aan elkaar te rijgen.
1 koppel 4
Je begint bij vierkant 1, de zijde heeft een maatgetal 1. Dan wordt vierkant 2 getekend, vervolgens vierkant 3, vervolgens vierkant 4, vervolgens de vierkanten 5 en 6.
1 koppel
5 1 3
•
Vervolledig de figuur met vierkant 7.
•
Je vervolledigde de figuur met een vierkant 7 en het eindresultaat is een rechthoek. Deze rechthoek benadert een gulden rechthoek! Verklaar.
2 koppels
2
3 koppels
. . . . . . . . . . . . . .................................................................................. . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
5 koppels
. . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
6
. . . . . . . . . . . . . .................................................................................. . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
Aantal maanden
0
1
. . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
Aantal konijnenpaartjes
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
. . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
Noteer de getallenrij van het aantal konijnenpaartjes:
. . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
Je ontdekte zonet een merkwaardige rij van getallen.
Vervolledig de tabel en verklaar hoe je de twee laatste cijfers berekende. Nr. van het vierkant
1
2
3
4
5
6
Maatgetal van een zijde
1
1
2
3
5
8
7
8
9
(door jou getekend)
(niet getekend)
(niet getekend)
De rij van Fibonacci is een getallenrij waarin elk getal (behalve de eerste twee) gelijk is aan de som van de twee voorgaande getallen. (afhankelijk van het probleem kan deze rij in toepassingen beginnen met de getallen 1,1,2,3,… of 0,1,1,2,3,…)
Weetje
•
Vervolledig de tabel:
De beroemd e rij van Fibon acci werd ongeve er 800 jaar ge leden ontdekt door Leonardo Fibo nacci uit Pisa in Ital ië.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . .
140
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
141
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? (vervolg) 2
Een merkwaardig verband • Bereken ver genoeg in de rij de verhouding van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci: 34 55 = .................................................. _ 89 = ........................................................... . . . . . . . _ _ = . . . ...................................................... 12 55 34
•
Wat zie je op de foto?
Hoeveel gele spiralen tel je? . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Herhaal deze berekening nog 2 keer. Neem telkens de verhouding van 2 opeenvolgende getallen in de rij. Wat stel je vast?
Wat valt je op? .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Een kritische noot. Je hoeft het helemaal niet eens te zijn met de theorie dat de Gulden Verhouding en Fibonacci overal aanwezig zijn. Onder meer in het boek “De ontstelling van Pythagoras, over de geschiedenis van de goddelijke proportie” van Albert van der Schoot heeft de auteur toch wel een andere kijk op het verhaal.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Een merkwaardig verband! De verhouding van twee opeenvolgende getallen, ver genoeg in de rij van Fibonacci is gelijk aan Phi of de Gulden Verhouding.
3
. . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hoeveel groene spiralen tel je? . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
•
Bekijk de volgende foto.
Blijkbaar bestaat er ook een Fibonacci-gedicht! Dit type gedichten is een beetje vergelijkbaar met de Japanse haiku‘s. De lettergreepverdeling in een haiku is gebaseerd op priemgetallen 5-7-5 en heeft 17 lettergrepen. In het Fibonaccigedicht is de lettergreepverdeling gelijk aan de rij van Fibonacci. Dit betekent meestal zes regels met telkens 1, 1, 2, 3 enz. lettergrepen. Schrijf jouw Fibonacci-gedicht!
De Fibonacci-rij zit vol met eigenaardigheden… Elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de rij is deelbaar door elf. Probeer dit maar eens uit! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................
Fibonacci is overal Fibonacci duikt op heel wat plaatsen op. Toeval of niet? •
Bekijk aandachtig de foto van een piano. Vul de ontbrekende getallen in de tekst aan.
•
Een octaaf op een piano bestaat uit . . . . . . . toetsen: . . . . . . . witte toetsen en . . . . . . . zwarte toetsen. De zwarte toetsen worden opgesplitst in groepjes van . . . . . . . en . . . . . . . . Allemaal Fibonacci-getallen!
•
Waarom...
Bekijk de affiche van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2000. Wat zie je op de foto? . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................
Geef een ander woord voor ‘bochten’. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................
Waarom gebruikt de Vlaamse Wiskunde Olympiade deze affiche denk je?
...vormen zonnebloempitten
21 bochten in de ene richting en 34 in de andere?
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................
Vlaamse Wiskunde Olympiade Kijk alvast op www.kulak.ac.be/vwo/ Een wedstrijd in samenwerking met de Katholieke Universiteit Leuven, de Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk, het Limburgs Universitair Centrum, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Vrije Universiteit Brussel, de Vlaamse Vereniging Wiskunde Leraars, het Belgisch Wiskundig Genootschap, Uitgeverij De Sikkel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Rhombus.
Where do you want to go today? ® www.microsoft.com/benelux/
bron: www.vwo.be W etenschap maakt knap
Een initiatief van de Vlaamse minister bevoegd voor W etenschapsbeleid
Naar een idee van Stéphane Durand, Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montreal. Met dank aan de Canadian Mathematical Society en de Association Mathématique du Québec. Foto:Yves Couder Dit initiatief kwam mee tot stand dankzij de actieve steun van de Vlaamse minister bevoegd voor Wetenschapsbeleid en maakt deel uit van het actieplan Wetenschapsinformatie.
142
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
V.U. Prof. Paul Igodt, Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w., Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk.
Wiskunde. Van verwondering tot logisch inzicht. Beleef het mee!
W orld Mathematical Year 2000
143
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde Een erfenisprobleem
3
Tomas en Teo, twee Belgische kinderen zijn helemaal niet zeker of ze later van hun ouders een stuk grond zullen krijgen om een huis op te bouwen. In Uganda, hoewel het land niet zo rijk is als België, doen ouders daar heel hard hun best voor. Jozeph en Amina uit Namwendwa, een dorpje in Uganda, hebben 3 kinderen, twee zonen en een dochter: Anthony, Jonas en Mebra. Een vierde kind, Martha, is zeer jong gestorven (ongeveer 89 kinderen per 1000 sterven voor ze 5 jaar zijn). Anthony is tot 15 jaar naar school geweest, zijn broer Jonas helemaal niet. Een jaar school lopen kost ongeveer 60 euro. Te veel geld voor deze familie! Mebra, hun grote zus, is al getrouwd en “behoort nu tot een andere familie” (lees: zij krijgt geen grond). Jozeph en Amina willen heel graag hun twee zonen een stuk grond geven bij hun huwelijk. Na hard werken en sparen kopen zij een stuk grond dat de vorm heeft van een rechthoekig trapezium ABCD: | AB | = 50 m | DC | = 80 m | AD | = 40 m. 1 . De figuur is een afbeelding van de grond op schaal _ 1000 A
Omdat beide zonen hun grond moeten kunnen bereiken vanaf de weg besluiten ze de scheidingslijn loodrecht op de twee evenwijdige zijden [AB] en [DC] te trekken en zo de oppervlakte in twee gelijke delen te verdelen. Vader Jozeph stelt ditmaal voor om de afstand AB te verdelen in 2 gelijke delen. A
B
D
C weg Kaliro - Namwendwa
a b c
B
Construeer de middelloodlijn van [AB]. Noem T het snijpunt van de middelloodlijn met [AB] en U het snijpunt van de middelloodlijn met [DC] Arceer het deel van zoon 1 (////) en van zoon 2 (\\\\) op de figuur hierboven • Kleur het verschil tussen de twee oppervlaktes. • Noem het verschil S en bereken S. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
D
C
4
weg Kaliro - Namwendwa
“De helft van het verschil moet ik bij de ene weghalen, de helft van het verschil moet er bij de andere bijkomen “ redeneert Jozeph. Is dit een juiste redenering?
1
Kun jij de oppervlakte van de grond berekenen? Noteer eerst de formule.
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
2
Jozeph wil de grond eerlijk verdelen tussen zijn twee zonen en stelt hen voor de scheidingslijn te trekken evenwijdig aan de grenslijnen [AB] en [DC] en halfweg de punten A en D. a Krijgen Jonas en Anthony nu elk een even groot deel?
A
B
. . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Wat gebeurt er intussen met het oppervlak van zoon 2 (\\\)? . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
b
Bereken het verschil en arceer dit op de figuur. . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
Over welke afstand moet lijnstuk TU evenwijdig (naar rechts) verschoven worden om de oppervlaktes gelijk te maken? Probeer dit ook op de tekening. Denk na wat er gebeurt als TU opschuift. • Wat gebeurt er met het oppervlak voor zoon 1 (///)? •
. . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
b
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
Bereken waar de juiste scheidingslijn moet komen en teken op de figuur de juiste verdeling van de grond. Het rechthoekje dat erbij moet komen noem je TURP. A B . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
D
. . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
C weg Kaliro - Namwendwa
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
D
C weg Kaliro - Namwendwa
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
144
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
145
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde (vervolg) c
Bereken de oppervlakte van de delen van beide zonen.
Mag je hieruit besluiten welk land het rijkst is? . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ..
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................
Waarmee moet je nog rekening houden? b
. . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................
d
c
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
5
Jonas twijfelt en zegt dat de vorm wel een trapezium is, maar dat de hoek in D misschien geen rechte hoek is. Hij stelt een controle voor: vanuit de hoekpunten A en D pas je een gelijke afstand af op de evenwijdige grenslijnen [AB] en [DC] en noem je de punten respectievelijk N en L. Dan controleer je of de diagonalen van de ontstane vierhoek even lang zijn. a Gebruikt Jonas een juiste methode om te controleren of de hoek in D een rechte hoek is? Verklaar.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
b
Teken de handelingen die ze uitvoeren. A
. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
In België: . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . Hier liggen de verhoudingen ongeveer gelijk, maar een schoolgebouw, de didactische uitrusting… zijn in België veel beter. In Uganda kunnen leerlingen misschien wel spelen op grote voetbalvelden en in tuinen met ananasplanten en passievruchten, maar hun scholen zijn enkel heel elementair uitgerust. Een bibliotheek, labo's en computerlokalen zijn er meestal niet.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
De schoolkosten Om een jaar naar school te gaan betaalt een gezin in Uganda € 60 per kind. Maar in Uganda heeft men geen mooie schoolgebouwen, niet voldoende of geen computers…. In België betaalt een gezin (via de belastingen) ongeveer € 5000 per jaar per kind. Vergelijk opnieuw het gemiddelde inkomen met de jaarlijkse schoolkosten in beide landen. Wat kun je besluiten? In Uganda:
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
In België: . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . Uganda scoort beter/slechter dan België. Omcirkel je antwoord.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Het inkomen van een gezin In Uganda verdien je gemiddeld € 300 per jaar. In België verdien je (bruto) ongeveer € 30 000 per jaar. Bereken voor beide landen de verhouding van de grondprijs t.o.v. je inkomen. Hoeveel ha kan een gezin in Uganda kopen van 1 jaarinkomen? En een gezin in België? Wat kun je besluiten? In Uganda:
Hoe zou je in de praktijk (d.w.z. op het stuk land) de scheidingslijn construeren? Je hebt enkel een stuk touw en een stok om de klus te klaren.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
d
De benzinekosten Benzine voor auto’s kost in Uganda even veel als in België. Auto’s, fietsen en alle andere niet inheemse goederen zijn in Uganda meestal duurder dan in België. Dikwijls zijn goederen er ook niet te verkrijgen (denk aan water, elektriciteit, gezondheidszorg, wegen, computers…)
Besluit Nu je dit allemaal weet, waar lijkt het voor jou het leukste om te wonen? Voor welk land zou jij kiezen? Bespreek dit met klasgenoten.
B
Een waterput boren D
C weg Kaliro - Namwendwa
6
De ouders hakken de knoop door en beslissen dat ze de grond zullen verdelen zoals in oplossing 4. Ze zuchten: het waren zuur verdiende centen waarmee ze de grond kochten. Zuur verdiend? Lees de volgende probleemstelling. Probleemstelling: is België rijker dan Uganda of is Uganda rijker dan België? Vergelijk. a De grondprijzen In Uganda kost de grond ongeveer € 100 per hectare. In België is dat € 100 per m². • Hoeveel betaal je in België per hectare? 1 ha is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2. In België betaal je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . per hectare, in Uganda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . per hectare. In België is de grond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . maal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan in Uganda!
In Uganda heeft slechts 50 % van de bevolking toegang tot drinkbaar water. De school ‘Kidiki Parents Secundary School’ heeft een waterput nodig. Gelukkig worden de mogelijke plaatsen waar je een waterput kunt boren opgespoord en doorgegeven. Een landmeter duidt de juiste plaats voor het boren van een put aan door een steen in de grond te verankeren. Helaas spoelt in het regenseizoen de steen van Kidiki weg en moet de werkman Tamali de plaats opnieuw zoeken. Hij telefoneert de landmeter. Die geeft hem de plaatsbepaling zoals landmeters dat doen. Tamali noteert alles snel op een stukje papier, maar helaas vergeet hij de eerste hoek te noteren die de landmeter opgeeft. De plaatsbepaling van de landmeter luidt als volgt. • Vertrek aan het gemeentehuis (punt G) op de weg Kamuli-Namwendwa en kijk naar het oosten. • Maak met deze richting een hoek van …° in tegenwijzerzin (deze hoek vergeet Tamali te noteren). Ga in die richting 300 m verder. Je bent nu in punt P. • Vanaf punt P ga je verder onder een hoek van 160°, gemeten in tegenwijzerzin met het lijnstuk PG. Leg 450 m af. • Je staat nu in het punt W waar je de waterput kunt boren. Tamali kan de landmeter niet meer bereiken (elektriciteitspanne) om de eerste hoek opnieuw te vragen. Het schooljaar gaat beginnen. De tijd dringt. Help Tamali om de plek te zoeken waar de waterput moet komen.
Uganda scoort beter/slechter dan België? Omcirkel je antwoord.
146
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
147
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde (vervolg) N
100m
N
in
O
Dr
W
s at la
kp
Z
O
en er
W
di
Boom GSM mast
Z G weg Kaliro - Namwendwa
1
Tamali noteerde de eerste hoek niet. Er zijn dus meerdere mogelijkheden. Volg de aanduidingen van de landmeter en test die uit door 3 mogelijke hoeken te tekenen. • Laat de grootte van de eerste hoek 30° zijn en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt (W1). • Neem voor de grootte van de eerste hoek 45° en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W2. • Kies voor de grootte van de eerste hoek 60° en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W3. • Kijk goed naar de verschillen en de overeenkomsten tussen de mogelijkheden die je probeerde. Als je al die mogelijke punten W bekijkt, kun je dan iets zeggen over hun ligging? Kun je zeggen waar overal kan geboord worden?
Gids1 Gids2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
2
Tamali herinnert zich wel nog dat de steen op de verbindingslijn tussen de grote boom met de reigers en de gsm-zendmast ligt. Teken de verbindingslijn tussen de gsm-mast en de boom.
3
Lokaliseer de plaats waar Tamali moet boren.
1
Wilde dieren lokaliseren Een toeristisch hoogtepunt in Uganda is een bezoek aan de berggorilla’s. De zoektocht naar de dieren door het (“ondoordringbaar”) oerwoud is één groot avontuur. Een van de zilverruggen, Georges, (200 kg wegend mannetje) draagt een zendertje. Baby Nana ook. De gids bepaalt met een antenne de richting (*) waarin de dieren zich bevinden, hij weet niet op welke afstand ze zitten. In 2006 kon de gids zeggen: “in die richting (*) moeten we zoeken”. Na een paar jaren keert toerist Karel terug en nu weet de gids bovendien te zeggen: “de gorilla zit op een afstand van ongeveer 1 km”. Karel denkt na, maar begrijpt niet hoe de gids nu niet alleen de richting (*) kan bepalen, maar ook de afstand. Tot er een tweede groep toeristen met een tweede gids opdaagt. Karel ziet hoe beide gidsen met elkaar in verbinding staan via hun gsm. Het wordt hem stilaan duidelijk. Karel neemt een plan van de omgeving en zet zich aan het denken. Volg zijn denkpatroon mee.
148
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
Beide gidsen bepalen met hun antenne in welke richting zij gorilla Georges moeten zoeken. • Volgens gids 1 zit de gorilla op 30° in tegenwijzerzin ten opzichte van het noorden. Teken op bovenstaande figuur de lijn die vanuit de plaats van gids 1 deze richting (*) aangeeft. • Weet gids 1 waar de gorilla exact zit? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Gids 2 meet dat de gorilla zich op 20° in wijzerzin ten opzichte van het noorden bevindt. Teken de lijn waarop de gorilla te vinden is voor gids 2. • Waar bevindt zich de gorilla? Teken op de figuur. Vertrek nu vanuit een andere positie voor gids 1. • Stel dat gids 1 zich op de kaart 2 cm meer naar het noorden bevindt. Teken op de kaart in welke richting (*) gids 1 nu de gorilla opspoort. • Kan een gids de juiste positie van de gorilla’s bepalen als hij alleen is (dit betekent: als hij de plaats van een andere gids niet kent en ook niet de richting waarin de andere gids de gorilla meet)? •
2
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ...
•
Welke informatie moeten de gidsen via gsm aan mekaar doorgeven om de exacte plaats van de groep gorilla’s te bepalen? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
(*) Zou een professor in de wiskunde hier ook telkens spreken over “in die richting”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .
149
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en... meetkunde (vervolg)
Register
Een benefietconcert voor Kidiki
Je school organiseert een benefietconcert voor Kidiki Secundary School. De geluidsinstallatie van de school bestaat uit 1 enorme grote luidspreker (woofer W) die de lage tonen uitstuurt binnen een hoek α (zie figuur). Hogere tonen worden door twee kleinere luidsprekers S1 en S2 uitgezonden. Om het geluid optimaal te horen: a sta je best op gelijke afstand van de benen van de hoek waaronder de woofer W geluid uitzendt; b (voor de hogere tonen) sta je best op gelijke afstand van de twee kleinere luidsprekers S1 en S2. Construeer op de figuur op welk plaatsje P de organisatoren voor jou zouden moeten reserveren. Welke strategie gebruik je om dit punt P te construeren? 1
Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
2
Verklaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
3
Constructie
S1
leerwerkboek pagina
A aanliggende hoeken aanzicht
46 8
basishoeken 100 bissectrice van een hoek construeren 88 binnenhoeken 51 binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 51, 56 bol 14 buitenhoek driehoek 104 buitenhoeken 51 buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 51, 56 bewijs van de driehoeksongelijkheid 117 bewijs van de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek 111, 113 bewijs van de eigenschap van de bissectrice van een hoek 95, 97 bewijs van de eigenschap van de diagonalen in een ruit 133 bewijs van de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 91, 93 bewijs van de eigenschap van de overstaande zijden in een parallellogram 131 bewijs van de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek 71 bewijs van de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek 129 bewijs van de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 115 bewijs van de eigenschap van overstaande hoeken 64 bewijs van de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 67, 69 bewijs van het verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek 116
Woofer W
9 36 107 124 44 76 74 75
D S2
150
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
driehoeken construeren draaibeeld draaihoek draaiing driehoeksongelijkheid
eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek 100 eigenschap van de bissectrice van een hoek 88 eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 86 eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek 58 eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek 120 eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 105 eigenschap van overstaande hoeken 47 eigenschappen parallellogram 121 eigenschappen rechthoek 121 eigenschappen ruit 121 eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 55, 56 eigenschappen vierkant 122
F formule volume bol formule volume kegel formule volume piramide
18 17 16
G grensvlak
8
I isometrisch perspectief
9
K kegel
13
M middelloodlijn van een lijnstuk construeren
87
N
C
α
leerwerkboek pagina
E
B
cavalièreperspectief centrum van een draaiing classificatie driehoeken classificatie vierhoeken complementaire hoeken congruente driehoeken congruente figuren congruente veelhoeken
natuurlijk perspectief nevenhoeken
10 46
O overeenkomstige hoeken overeenkomstige zijden overstaande hoeken overstaande zijden
51, 75 75 47, 121 121
P 106 36 36 37 109
parallellogram piramide puntspiegeling
121 12 40
register
151