Bab IV IV.1
Gravitasi Braneworld
Pendahuluan
Pada Bab III, telah diperoleh sebuah deskripsi teori efektif 4-dimensi dari teori 5dimensi dengan cara mengkompaktifikasi pada orbifold
dalam kerangka
kerja teori supergravitasi. Dalam proses kompaktifikasi dimensi ekstra diasumsikan kompak dan memiliki orde skala Planck, sehingga oleh pengamat pada 4-dimensi, dimensi ekstra tersebut tidak dapat diamati. Orbifold adalah sebuah lingkaran yang memiliki sifat-sifat bahwa dua buah titik dihubungkan oleh simetri refleksi melalui diameternya. Pada titik-titik tetap dari simetri ini dapat ditempatkan dua buah 3-brane yang dinamakan brane orbifold di mana materi dapat terlokalisasi. Geometri ruang bulk 5-dimensi kemudian dinyatakan oleh M4 ×
. Model Randall-Sundrum I didasarkan pada geometri
seperti ini. Bab ini bertujuan untuk memperoleh persamaan-persamaan medan untuk dua buah sistem brane, khususnya diturunkan persamaan dinamika gravitasional pada brane.
Shiromizu, dkk., (2000), telah menurunkan persamaan medan gravitasional pada sebuah 3-brane dengan menggunakan pendekatan proyeksi Gauss-Codacci dari persamaan-persamaan medan pada bulk. Sebagai latar belakang solusinya, dipilih sistem koordinat normal Gaussian. Sebagaimana telah diperlihatkan bahwa pemilihan sistem koordinat normal Gaussian tidak mempengaruhi persamaanpersamaan medan pada brane. Untuk kasus dua buah brane atau lebih, jika sistem koordinat tersebut dipilih di dekat salah satu brane, maka tidak dapat menjamin berlaku pula pada brane yang lain. Ide dari Shiromizu, dkk., (2000) digunakan untuk memperoleh persamaan medan 4-dimensi secara serempak untuk sistem dua buah brane. Berbeda dengan dilakukan oleh Shiromizu dan Koyama (2003) melalui perumusan kurvatur kovarian, pada bab ini, penurunannya diperluas dengan menyatakan kuantitas-kuantitas 4-dimensi dalam ungkapan kuantitaskuantitas 5-dimensi (Arianto dan Zen, 2005). Dengan cara ini, dapat lebih mudah untuk mengetahui efek fisis dari ruang waktu bulk pada brane. Seperti juga kemungkinan perluasan tentang keberadaan medan-medan lain pada bulk, selain
68
konstanta kosmologi bulk. Pada Bab VI akan dibahas keberadaan medan vektor pada bulk yang dapat mempengaruhi persamaan-persamaan gravitasional pada brane. Untuk tujuan ini, sebagai latar belakang solusinya dipilih metrik 5-dimensi sebagai berikut: (IV.1) Struktur geometri dan model ruang-waktu untuk model dua buah brane diperlihatkan pada Gambar IV.1.
σ (+)
Bulk II
σ (−)
Bulk I
Bulk II
Simetri Z2
Simetri Z2
. MasingGambar IV.1 Struktur geometri untuk dua buah brane, M4 × masing brane ditempatkan pada titik-titik tetap orbifold. Ada dua bayangan identik bulk, daerah I dan II, dengan empat buah bidang batas seperti ditunjukan pada gambar (berwarna hijau), yang memberikan dua buah bayangan aksi bulk dan suku batas GibbonsHawking.
IV.2
Gravitasi Braneworld
Untuk menurunkan persamaan induksi untuk sistem dua buah 3-brane, ruangwaktu bulk yang ditinjau adalah ruang-waktu 5-dimensi dan memilki konstanta kosmologi negatif, Λ . Persamaan aksi dalam model ini diberikan oleh
69
(IV.2) di mana
adalah aksi pada bulk yang meliputi aksi Hilbert-Einstein dan adalah aksi pada
konstanta kosmologi bulk, sedangkan
brane yang terdiri dari aksi brane yang memiliki tegangan positif dan negatif, dan adalah aksi Gibbons-Hawking yang terdiri dari suku-suku batas. Masingmasing aksi diberikan sebagai berikut : (IV.3) (IV.4) (IV.5) (IV.6) Di dalam persamaan di atas,
dan
berturut-turut menyatakan metrik bulk dan
skalar Ricci 5-dimensi, sedangkan
adalah determinan dari metrik induksi
pada brane. pada brane dan
menyatakan Lagrangian dari materi-materi yang terlokalisasi adalah tegangan brane. Persamaan (IV.6) adalah persamaan
aksi Gibbons-Hawking dengan
menyatakan trace dari kurvatur ekstrinsik. Suku
ini dapat saling menghilangkan dengan suku batas yang mencul akibat dari variasi aksi bulk. Sebagaimana dijelaskan pada pasal berikutnya aksi ini menghasilkan syarat batas yang berlaku pada kedua sisi brane dan menentukan dinamika gravitasional dari sistem braneworld.
Persamaan-persamaan medan gravitasional pada brane dapat diperoleh dengan cara memproyeksikan kuantitas-kuantitas medan dari bulk. Tensor proyeksi pada brane didefinisikan oleh (IV.7) Disini
adalah vektor normal satuan terhadap brane yang arahnya menuju
positif. Untuk setiap tensor 4-dimensi,
, persamaan (IV.7) menghasilkan (IV.8)
70
yaitu hanya ada komponen ortogonal terhadap brane. Oleh sebab itu, pada persamaan (IV.9),
mendefinisikan metrik induksi pada masing-masing brane.
Secara teknis, tensor proyeksi dan metrik induksi tidak sama. Metrik induksi yang berjalan dari 0 sampai 3, dan didefininisikan dalam
membawa indeks bentuk basis
, (IV.9)
Basis
juga memenuhi syarat ortogonalitas dan hubungan kelengkapan (IV.10)
Inverse dari metrik induksi memenuhi hubungan kelengkapan pada brane, (IV.11) Oleh karena itu determinan dari metrik induksi tidak sama dengan nol, sedangkan determinan tensor proyeksi sama dengan nol. Agar tidak membingungkan untuk memahami kedua obyek yang berbeda tersebut, maka dalam disertasi ini digunakan konvensi sebagai berikut: untuk kuantitas sebagai
akan diartikan
, dalam hal ini, metrik induksinya adalah seperti
yang didefinisikan pada persamaan (IV.9). Sedangkan tensor-tensor dengan indeks latin,
digunakan untuk menyatakan tensor-tensor proyeksi.
Pada penurunan di bawah ini, tensor-tensor 4-dimensi lainnya membawa indeks latin. Indeks Yunani pada tensor akan digunakan ketika secara implisit basis yang dipilih adalah basis yang didefinisikan di dalam persamaan (IV.9) dan basis tersebut dapat digunakan dalam sistem koordinat di mana brane berada pada kedudukan konstan dari
. Indeks dari tensor 4-dimensi dapat dinaikan dan
diturunkan dengan menggunakan metrik induksi.
Tensor 4-dimensi lainnya yang sangat penting dalam memperoleh persamaan gravitasional adalah kurvatur ekstrinsik dari brane yaitu komponen dari aksi Gibbons-Hawking,
persamaan (IV.6). Definisi dari kurvatur ekstrinsik
diberikan oleh (Wald, 1984) (IV.12)
71
di mana
adalah turunan kovarian 5-dimensi terhadap metrik
. Jika diambil
sebuah sistem koordinat di mana brane pertama yang memiliki tegangan positif, , ditempatkan pada
maka kurvatur ekstrinsik dari brane dihitung pada dengan normal pada arah
permukaan hiper (hypersurface) di brane yang memiliki tegangan negatif, dihitung pada permukaan hiper di Integral pada
positif dan
, yang ditempatkan pada
, dengan normal juga pada arah
positif.
4-dimensi dihitung pada permukaan tersebut. Secara
matematis dapat dinyatakan sebagai ∫
∂M ( ± )
dx 4 = ∫
∂M ( + )
dx 4 − ∫
∂M ( − )
dx 4 . Sedangkan
integral pada 5-dimensi berjalan antara kedua sisi dari ruang-waktu. Dengan kata lain, dalam sebuah sistem koordinat di mana
menyatakan arah transversal dan
menyatakan dimensi orbifold, maka integral pada 5-dimensi dapat ditulis sebagai berikut: (IV.13) Pasal berikut ini membahas interpretasi fisis dari kurvatur ekstrinsik dan keberadaan suku Gibbons-Hawking (IV.6).
IV.2.1 Syarat Junction dan Suku Batas Tanpa keberadaan batas dalam ruang-waktu bulk, persamaan Einstein pada bulk hanya menggambarkan dinamika gravitasional pada bulk dan dapat diperoleh secara langsung melalui variasi aksi suku gravitasi. Namun ketika variasi aksi suku gravitasi dikerjakan pada sebuah manifold yang memiliki sebuah batas, persamaan yang diperoleh sedikit lebih rumit.
Variasi terhadap metrik dari rapat Lagrangian Einstein-Hilbert dapat ditulis sebagai berikut: (IV.14) (IV.15) Untuk sebuah manifold tanpa batas, maka suku turunan total dapat dikeluarkan, namun dengan keberadaan sebuah batas, suku ini harus diambil dalam perhitungan. Untuk manifold 5-dimensi
72
, dengan normal vektor
mengarah
keluar pada batasnya ∂M dan sebuah vektor
yang berada pada
dan
,
maka dengan menerapkan teorema Gauss dapat diperoleh (IV.16) di mana
metrik induksi pada
. Sehingga variasi dari aksi Einstein-Hilbert,
, diperoleh: (IV.17) (IV.18) Definisi dan arah dari vektor satuan normal
, dapat dilihat dari gambar IV.2 di
bawah ini.
N a( − ) = na
N a( + ) = −n a
−
+
Gambar IV.2 Vektor satuan normal, na , untuk brane dengan tegangan positif didefinisikan menuju daerah positif. Sehingga normal menuju ke dalam untuk daerah positif adalah N a( + ) = − n a di mana N a adalah normal menuju keluar. Dari struktur geometri yang diperlihatkan pada Gambar IV.1., batas dari ruangwaktu terdiri atas empat permukaan, daerah I dibatasi oleh sebuah bayangan dari
M ( + ) dan sebuah bayangan dari M ( − ) , begitu juga untuk daerah II. Karena ada dua suku batas pada M, maka persamaan (IV.18) menjadi (IV.19)
73
Tanda negatif yang muncul pada persamaan (IV.19) untuk brane yang memiliki tegangan positif M ( + ) karena normal pada persamaan (IV.18) arahnya menuju keluar sedangkan titik-titik normal arahnya menuju ke dalam (Gambar IV.2). Dengan menggunakan hubungan berikut (IV.20) maka persamaan (IV.19) menjadi
(IV.21)
di mana telah didefiniskan
(IV.22)
Superskrip plus dan minus pada metrik induksi dengan
dihilangkan dan diganti
sebagaimana integral berjalan pada masing-masing brane. Dalam
prinsip variasi, variasi terhadap metrik akan lenyap untuk setiap variasi pada mana lenyap pada batas. Suku pertama di dalam persamaan (IV.21) tidak lain merupakan turunan tangensial dari
yang menjadi lenyap terhadap variasi.
Sedangkan suku kedua merupakan turunan normal, yang secara umum tidak lenyap terhadap variasi. Jadi keberadaan suku batas oleh variasi dari aksi EinsteinHilbert dapat saling menghilangkan jika di dalam aksi tersebut ditambahkan aksi Gibbons-Hawking, persamaan (IV.6),
(IV.23)
74
Untuk memperlihatkan bahwa variasi dari aksi Gibbons-Hawking akan mengeliminasi turunan normal, terlebih dahulu perlu dihitung variasi dari trace kurvatur ekstrinsik. Dengan mengunakan hubungan berikut (IV.24) (IV.25) variasi dari trace kurvatur ekstrinsik diberikan oleh
(IV.26)
Dengan menggunakan persamaan (IV.24) dan persamaan (IV.25) serta maka persamaan (IV.26) menjadi (IV.27) Sehingga penambahan suku Gibbons-Hawking pada sektor gravitasional menghasilkan suku batas terhadap variasi metrik,
(IV.28)
Variasi dari aksi ini dengan
akan menghasilkan persamaan Einstein pada
bulk. Selanjutnya, persamaan di atas dapat disederhanakan dengan menghilangkan suku gradien. Turunan kovarian
terhadap metrik induksi
dihubungkan
dengan turunan kovarian 5-dimensi
melalui suatu proyeksi berikut: (IV.29)
Sehingga turunan kovarian 5-dimensi untuk sebuah medan vektor 4-dimensi diberikan oleh
75
(IV.30) Dari definisi persamaan (IV.29) dapat diperoleh
(IV.31)
Trace dari tensor kurvatur ekstrinsik dapat diperoleh dari persamaan (IV.12), (IV.32) Maka persamaan (IV.31) menjadi
(IV.33)
Suku pertama pada ruas kanan persamaan (IV.34) adalah turunan total terhadap metrik induksi
, oleh karena itu, dengan menggunakan teorema divergensi,
suku tersebut lenyap terhadap integrasi pada batas. Substitusi persamaan (IV.33) ke persamaan (IV.28) dan dengan menggunakan hubungan maka diperoleh (IV.35)
Variasi dari aksi total persamaan (IV.2) terhadap metrik menghasilkan persamaan Einstein pada bulk (IV.36) dengan suku batasnya diberikan oleh
(IV.37)
Sehingga untuk variasi sembarang di mana
76
tidak lenyap pada batas, diperoleh
(IV.38) di mana (IV.39) adalah
tensor
energi-momentum
mengasumsikan simetri
untuk
materi
pada
brane.
Dengan
sepanjang dimensi ekstra terhadap brane, berarti
bahwa kedua sisi dari brane tampak sama, dan persamaan (IV.38) menjadi (IV.40) di mana telah didefinisikan (IV.41) Persamaan (IV.40) dinamakan dengan syarat junction. Secara fisis, jika ada ketidakkontinuan pada sebuah brane yang dimasukan dalam ruang-waktu bulk, maka ketidakkontinuan tersebut terkait dengan energi-momentum pada brane. Dengan kata lain bahwa medan-medan materi terlokalisasi pada brane. Situasi ini analog dengan kasus elektromagnetik di mana ketidakkontinyuan komponen normal dari vektor pergeseran yang melewati dua media terkait dengan rapat muatan pada permukaan yang memisahkan kedua media.
IV.2.2 Persamaan Einstein pada Brane Pada pasal sebelumnya telah diperoleh dua buah persamaan yang menggambarkan dinamika gravitasional dari suatu sistem brane, yaitu persamaan (IV.36) dan persamaan (IV.40). Langkah selanjutnya adalah mencari kuantitas-kuantitas tensor 4-dimensi seperti tensor Einstein yang dibangun dari metrik induksi. Persamaan yang dapat menghubungkan kuantitas-kuantitas tensor 4-dimensi dan 5-dimensi adalah persamaan Gauss-Codacci.
Bagi pengamat pada sebuah brane, efek dari dimensi ekstra dan braneworld yang dimasukkan dalam ruang-waktu bulk adalah terjadinya modifikasi persamaan gravitasional 4-dimensi standar. Selanjutnya dibahas tensor Einstein 4-dimensi yang dinyatakan oleh
dan dibangun oleh metrik induksi
77
. Turunan-
turunan kovarian dalam ruang-waktu 4-dimensi dan 5-dimensi yang bekerja pada tensor 4-dimensi diberikan oleh persamaan (IV.29). Tensor Riemann 4-dimensi yang bekerja terhadap 1-form diberikan oleh (IV.42) di mana
adalah sebuah 1-form yaitu sebuah medan kovektor 4-dimensi
sembarang yang memenuhi,
. Ruas kanan persamaan (IV.42) dapat
dihitung sebagai berikut (untuk sementara superskrip
dapat dihilangkan):
(IV.43)
Dalam memperoleh persamaan di atas, telah digunakan definisi dari tensor kurvatur ektrinsik
diberikan oleh persamaan (IV.12) dan
Berdasarkan sifat antisimetrik dari indeks
.
dan , dan dengan mengingat bahwa
tensor kurvatur ektrinsik adalah simetrik, maka suku kedua pada persamaan (IV.44) menjadi lenyap, sedangkan suku ketiganya dapat ditulis dalam bentuk (IV.45) Dengan demikian, maka persamaan (IV.46) menjadi (IV.47) Dan dengan menggunakan definisi tensor Riemann 5-dimensi
, tensor
Riemann 4-dimensi dapat dinyatakan dalam ungkapan tensor Riemann 5-dimensi sebagai berikut: (IV.48) Persamaan (IV.48) dinamakan persamaan Gauss. Kontraksi persamaan (IV.48) pada indeks dan
serta menggunakan hubungan (IV.49)
menghasilkan ungkapan untuk tensor Ricci 4-dimensi, (IV.50)
78
Kemudian tensor Einstein 4-dimensi dapat diperoleh dengan mengggunakan persamaan berikut: (IV.51) di mana skalar Ricci 4-dimensi
dapat diperoleh dari persamaan (IV.50),
(IV.52)
Dengan menyisipkan persamaan (IV.50) dan persamaan (IV.52) ke persamaan (IV.51), maka diperoleh tensor Eintein 4-dimensi dalam ungkapan tensor Eintein 5-dimensi,
(IV.53)
adalah trace dari tensor Einstein 5-dimensi dan
di mana
(IV.54) (IV.55) Di dalam persamaan (IV.55), sedangkan
menyatakan tensor Weyl 5-dimensi 1 )
adalah tensor Weyl terproyeksi yang mengandung informasi
tentang geometri 5-dimensi.
Dalam analisis sebelumnya dari syarat jucntion, tensor kurvatur ekstrinsik yang diberikan oleh persamaan (IV.40) mengandung kuantitas-kuantitas yang terlokalisasi pada brane, yaitu tegangan brane, pada brane,
1)
, dan tensor energi-momentum
,
Dekomposisi tensor Riemann menjadi tensor Weyl, tensor Ricci dan skalar Ricci dalam 5dimensi diberikan oleh:
79
(IV.56)
Dalam ungkapan dua kuantitas ini, maka persamaan (IV.54) menjadi
(IV.57)
Kemudian persamaan Einstein (IV.36) dapat digunakan untuk mengeliminasi di dalam persamaan (IV.53), sehingga diperoleh (IV.58) Substitusi persamaan (IV.57) dan persamaan (IV.58) ke persamaan (IV.53), menghasilkan persamaan tensor Einstein pada brane yang diberikan oleh (IV.59) di mana (IV.60)
Persamaan-persamaan Einstein pada brane, persamaan (IV.59), berbeda dengan persamaan Eintein 4-dimensi standar dalam tiga aspek: 1. Kebergantungan dari tensor Einstein 4-dimensi pada tensor energimomentum 4-dimensi adalah kudratik. 2. Ada kontribusi dari tensor energi-momentum bulk. 3. Ada kontribusi dari tensor Weyl bulk. Interpretasi dari ketiga perbedaan tersebut adalah sebagai berikut. Dari analisis dimensi jelas bahwa hubungan antara tensor Einstein 4-dimensi dan tensor energi momentum brane tidak linier. Tensor Einstein memiliki dimensi kuadrat massa, , tensor energi-momentum 4-dimensi adalah dimensi adalah
dan kopling gravitasional 5-
. Jadi secara dimensional dapat dikombinasikan pangkat bulat
dari tensor energi-momentum dan kopling garvitasional yang dapat menghasilkan dimensi yang sama dengan tensor Einstein. Kombinasi pertama adalah (tensor e-
80
m)2/(kopling)2, kombinasi kedua adalah (tensor e-m)5/(kopling)6 dan seterusnya. Jelas bahwa persamaan gravitasional standar tidak mungkin untuk diperoleh.
Kesebandingan tensor Einstein 4-dimensi pada tensor energi-momentum bulk memberikan penjelasan bahwa sumber pada bulk tidak terlokalisasi pada brane namun mempengaruhi geometri brane. Kemudian, tensor Weyl bulk tidak dapat diselesaikan dari kontribusi materi lokal dan hanya dapat diselesaikan melalui solusi persamaan Eintein 5-dimensi. Untuk alasan ini suku tensor Weyl dinamakan suku non-lokal. Jadi di dalam persamaan (IV.59),
merupakan suku
non-lokal di dalam persamaan terproyeksi dan hanya memberikan informasi mengenai struktur global dari ruang-waktu 5-dimensi. Bagi pengamat yang terlokalisasi pada brane, informasi tersebut dapat berupa struktur dari dimensi ekstra (dimensi ke-5) yang mungkin dapat berhingga atau keberadaan brane yang lain, semuanya dibawa oleh tensor
.
IV.2.3 Kekekalan Tensor Energi-Momentum pada Brane Untuk lebih memahami dinamika gravitasional pada sebuah braneworld maka perlu diketahui persamaan kekekalan pada brane. Berikut ini diturunkan persamaan kekekalan tensor energi-momentum brane. Dengan menggunakan definisi (IV.29) dan (IV.61) maka dapat diperoleh
(IV.62)
Selanjutnya, dengan manipulasi aljabar tensor dapat pula diperoleh
(IV.63)
81
Dari persamaan (IV.61) dan persamaan (IV.62) diperoleh persamaan Codacci, (IV.64) Ruas kiri dari persamaan (IV.64), dapat dihitung dengan menggunakan syarat batas persamaan (IV.40), yang menghasilkan (IV.65) Sedangkan tensor
di dalam ruas kanan persamaan (IV.64) memenuhi
persamaan Einstein pada bulk, persamaan (IV.36), sehingga, (IV.66) Jadi dapat disimpulkan bahwa jika pada bulk tidak ada medan-medan lain, misalnya medan skalar bulk, persamaan (IV.65) dan persamaan (IV.66) mengimplikasikan hukum kekekalan untuk tensor energi-momentum brane, (IV.67) Persamaan kekekalan di atas menjelaskan bahwa tidak ada fluks energi baik dari
bulk menuju brane atau sebaliknya. Dengan kata lain bahwa pertukaran energi antara brane dan bulk hanya melalui medan gravitasional dan ini terjadi melalui proyeksi tensor Weyl yang merupakan karakteristik medan gravitasional di luar
brane.
Selanjutnya,
dengan
menghitung
divergensi
menggunakan identitas Bianchi terkontraksi,
persamaan
(IV.68)
serta
, dapat diperoleh persamaan
tensor Weyl terproyeksi,
(IV.69)
Persamaan ini menunjukkan bahwa divergensi pada koreksi dari ruang bulk terhadap persamaan medan gravitasional 4-dimensi, secara lengkap ditentukan oleh distribusi materi pada brane.
Jika
didekomposisikan menjadi bagian bebas divergensi (tranverse-traceless), , dan bagian longitudinal,
,
82
(IV.70) , akibatnya geometri pada bulk dan
maka persamaan di atas menentukan
materi pada brane akan saling mempengaruhi satu sama lain melalui bagian longitudinal dari
. Namun demikian, seperti halnya dalam teori gravitasi
standar, bagian bebas divergensi berhubungan dengan gelombang gravitasional. Gelombang gravitasional dibawa oleh graviton 5-dimensi yang akan tereksitasi oleh gerak materi dan eksitasinya mempengaruhi gerak materi pada brane dan sebaliknya. Jadi secara prinsip persamaan gravitasional 4-dimensi tidak tertutup karena harus menyelesaikan persamaan gravitasional bulk. Kecuali, jika maka
ditentukan sepenuhnya oleh distribusi materi pada brane melalui tensor
energi-momentum brane dan persamaan gravitasional pada brane menjadi tertutup.
Langlois (2003) dan Maartens (2004) telah menunjukkan bahwa, jika
dan
diasumsikan ada tensor energi-momentum fluida sempurna pada brane maka rapat energi menjadi homogen. Ini juga mengimplikasikan bahwa persamaanpersamaan medan gravitasional pada brane menjadi tertutup. Sebaliknya, rapat energi yang tidak homogen berakibat pada tidak lenyapnya tensor Weyl dan persamaan-persamaan medan gravitasional menjadi tidak tertutup. Jadi, kontribusi tensor Weyl terproyeksi pada persamaan Einstein efektif 4-dimensi bergantung pada konstrain dan asumsi. Oleh karena itu, ada hal yang menarik untuk dikaji, yaitu bagaimana memperoleh sebuah metoda yang dapat menyelesaikan persamaan Einstein 5-dimensi dalam limit energi rendah dan dapat menghitung kontribusi dari tensor Weyl terproyeksi.
Pada pasal selanjutnya, dibahas persamaan medan gravitasional efektif 4-dimensi yang tertutup pada limit energi rendah dan menunjukkan secara eksplisit bentuk dari kontribusi tensor Weyl. Penyelesaiannya dilakukan melalui pendekatan perturbatif persamaan Einstein terinduksi. Untuk memahami hal tersebut perlu mengetahui persamaan evolusi untuk tensor menurunkan persamaan evolusi tensor
.
83
. Pasal berikut ini bertujuan untuk
IV.2.4 Persamaan Evolusi Tensor Weyl Untuk memperoleh persamaan tensor Weyl terproyeksi dapat dimulai dari definisinya, diberikan oleh persamaan (IV.55),
(IV.71)
Untuk sistem dua buah brane, sistem koordinat yang dipilih adalah sistem koordinat persamaan (IV.1), (IV.72) di mana
adalah metrik induksi pada brane. Turunan Lie dari tensor kurvatur
ekstrinsik didefinisikan oleh (IV.73) Sistem koordinat (IV.72) menghasilkan ungkapan untuk tensor kurvatur ekstrinsik dalam bentuk (IV.74) di mana
dan
dengan
adalah turunan kovarian
4-dimensi pada brane.
Dalam ungkapan tensor kurvatur ekstrinsik, suku pertama pada ruas kanan persamaan (IV.71) adalah (IV.75) Sehingga persamaan tensor Weyl terproyeksi menjadi (IV.76) Tensor Eintein 5-dimensi di dalam persamaan di atas dapat dinyatakan dalam tensor energi-momentum bulk. Dalam kasus ini, diberikan oleh persamaan (IV.36). Akhirnya diperoleh
84
(IV.77) Dengan mengambil turunan Lie, diperoleh persamaan evolusi dari tensor Weyl
(IV.78)
di mana
(IV.79) dan (IV.80) Persamaan evolusi dalam sistem koordinat normal Gaussian dapat diperoleh bila dipilih A = 1 atau dengan menghilangkan suku-suku yang bergantung pada φ.
IV.3
Tensor Energi-Momentum pada Bulk
Sebagaimana telah dijelaskan pada awal bab ini, pendekatan yang digunakan untuk menurunkan persamaan medan gravitasional pada brane adalah dengan menyatakan kuantitas-kuantitas medan 4-dimensi dalam ungkapan kuantitaskuantitas medan bulk. Untuk kasus di atas, tensor energi-momentum bulk hanya mengandung konstanta kosmologi bulk, sehingga diperoleh persamaan medan gravitasional pada brane, yaitu persamaan (IV.56). Secara fisis, jika diasumsikan bahwa persamaan tensor Einstein berlaku pada bulk,
Gab = Rab −
1 g ab R = κ 2Tab , 2
3 G = − R = κ 2T , 2
(IV.78)
di mana Tab adalah tensor energi-momentum 5-dimensi. Maka persamaan (IV.50) dapat digunakan untuk menggambarkan dinamika gravitasional pada brane dalam ungkapan medan-medan sumber pada bulk. Dan persamaan (IV.78), menyatakan persamaan medan gravitasional pada brane, dengan (4)
(±) Gab =
2κ 2 ⎡ 1 ⎞ (±) ⎤ ⎛ Tcd h( ± )ac h( ± )bd + ⎜ Tcd n( ± ) c n( ± ) d − T ⎟ hab ⎢ ⎥ 3 ⎣ 4 ⎠ ⎝ ⎦
85
1 (±) (±) (±) + Fab( ± ) − hab F − Eab . 2
(IV.79)
Akibatnya, persamaan Codacci (IV.61) menjadi sebuah persamaan vektor,
Da( ± ) K ( ± )ba − Db( ± ) K ( ± ) = κ 2 J b
,
(IV.80)
di mana J b = Tbc n c yang menggambarkan adanya fluks energi-momentum dari
brane atau menuju brane. Sedangkan persamaan (IV.49) dapat dinyatakan kembali menjadi sebuah persamaan skalar,
1 2
(
(4)
)
R − K 2 + K ab K ab = −κ 2 P ,
(IV.81)
di mana P = Tab n a nb yang dapat diinterpretasikan sebagai ”tekanan” yang ditimbulkan pada brane. Analogi dengan perumusan Hamiltonian dalam relativitas umum (Arnowitt, dkk., 2004), persamaan (IV.80) dan persamaan (IV.81) berturut-turut dapat dipandang sebagai persamaan konstrain momentum dan Hamiltonian.
Dengan menggunakan persamaan tensor Einstein (IV.78) dan persamaan Codacci (IV.80), diperoleh hukum kekekalan untuk materi pada brane,
DaT ( ± )ba = −2Tcd( ± ) h( ± )bc n( ± ) d ,
(IV.82)
sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, persamaan di atas memperlihatkan adanya pertukaran energi-momentum antara bulk dan brane. Jika hanya ada konstanta kosmologi pada bulk, persamaan (IV.82) menjadi persamaan (IV.64).
IV.4
Rangkuman
Pada bab ini telah diturunkan persamaan-persaman medan gravitasional pada gravitasi braneworld secara kovarian dengan menyatakan kuantitas-kuantitas medan 4-dimensi dalam ungkapan kuantitas-kuantitas medan 5-dimensi. Secara geometri, metrik induksi pada brane merupakan proyeksi dari metrik 5-dimensi.
Persamaan-persamaan medan gravitasional yang diperoleh, memodifikasi persamaan medan gravitasional standar dalam relativitas umum dengan dua buah suku tambahan: sebuah suku kuadratik dari sumber yang menjadi relevan pada
86
energi tinggi, dan sebuah suku non-lokal yang terkait dengan proyeksi pada brane dari tensor Weyl 5-dimensi.. Tensor Weyl terproyeksi, Eab , merupakan karakteristik dari geometri bulk yang dapat mempengaruhi dinamika brane. Sebaliknya, keberadaan materi pada brane akan mengubah geometri bulk. Kedua hal ini dapat dilihat dari persamaan (IV.65). Akibatnya, persamaan medan Einstein 4-dimensi menjadi tidak tertutup. Untuk mengetahui Eab secara lengkap maka geometri bulk harus diselesaikan. Selain itu persamaan Einstein pada brane juga
mengandung
ketidaklinearan.
Gariga
dan
Giddings
(2000)
telah
mendemonstrasikan bahwa untuk dimensi ekstra yang tidak kompak, gravitasi dapat terlokalisasi pada brane akibat dari ketidaklinearan. Konsekuensi kosmologinya telah ditinjau oleh Kaloper (1999), Koyama dan Soda (2000), Binetruy, dkk. (2000), Mukohyama (2000), Langlois dan Marteens (2000).
Selain itu, Gubser (2001) telah menunjukkan bahwa gravitasi brane pada energi rendah dapat dipahami melalui korespondensi AdS/CFT. Namun sebagaimana diketahui bahwa korespondensi AdS/CFT masih merupakan sebuah conjecture, yakni supergravitasi pada AdS5 × S 5 adalah dual dengan teori super Yang-Mills N = 4 dalam 4-dimensi (Maldacena 1998). Dalam konteks braneworld, Shiromizu dan Ida (2001), telah menkaji korespondensi AdS/CFT melalui pendekatan geometri. Dalam kajian ini diperoleh bahwa trace dari suku kuadratik tensor energi-momentum pada brane terkait dengan anomali trace dari CFT pada brane. Namun hasil ini berupa sebuah paradoks karena brane dalam dimensi ganjil tidak ada anomali trace. Jadi hubungan yang tepat antara geometri dan korespondensi AdS/CFT masih belum dapat dipahami secara tepat.
Dalam model Randall-Sundrum, solusi statik terkait dengan solusi-solusi modus nol yang berarti brane berada pada posisi yang tetap. Untuk orde linear dalam perturbasi, keberadaan materi pada brane menjadi penting dan brane dapat berfluktuasi. Akibatnya akan berpengaruh pada geometri bulk, yaitu terhadap suku tensor Weyl Eab . Solusi orde ke-0 dalam skema iterasi menghasilkan lenyapnya tensor Weyl dan solusi orde ke-1 menghasilkan persamaan Einstein termodifikasi
87
oleh keberadaan tensor Weyl yang dipandang sebagai suku radiasi gelap, karena suku ini berbanding terbalik dengan faktor skala pangkat empat dalam kosmologi Friedmann-Robertson-Walker. Sedangkan untuk solusi orde-2 terdapat suku non lokal dalam persamaan efektif dengan bagian trace bersesuaian dengan anomali trace dari CFT.
Zen, dkk. (2006), telah memperoleh persamaan efektif energi rendah pada gravitasi braneworld tanpa menggunakan konsep korespondensi AdS/CFT. Untuk memperoleh persamaan gerak 5-dimensi digunakan metoda iterasi energi rendah. Melalui pendekatan ini, geometri bulk dan aksi efektif brane dapat diperoleh secara eksplisit. Munculnya suku kuadratik tensor Ricci dalam aksi efektif yang diperoleh tidak lain merupakan interpretasi dari CFT dalam konteks korespondensi AdS/CFT. Sampai iterasi pada orde ke-2, persamaan medan efektif pada sebuah brane adalah (4)
Gμν =
κ2 l
(2) Tμν + κ 4π μν − Eμν ,
(IV.83)
di mana l adalah skala kurvatur bulk berhubungan dengan konstanta kosmologi bulk, Λ = −6 / l 2 . Persamaan medan gravitasional (IV.83), kemudian dapat diturunkan dari persamaan aksi berikut:
S= +
l 2κ
2
∫d
4
x −h (4) R + Smatter + SCFT
αl 2 4 ⎛ d x −h ⎜ 2 ∫ 2κ ⎝
(4)
R μν
(4)
Rμν −
1 (4) 2 ⎞ β l 2 R ⎟ + 2 ∫ d 4 x − h (4) R 2 , 3 ⎠ 6κ
(IV.84)
di mana SCFT adalah aksi efektif non lokal yang dibanguan dari tensor τ μν . Sedangkan α dan β adalah konstanta-konstanta yang menyatakan derajat kebebasan dari gelombang gravitasional pada bulk. Dari persamaan (IV.83) dan (IV.84) tampak dengan jelas munculnya hubungan antara geometri bulk dan korespondensi AdS/CFT. Struktur dari persamaan (IV.84) berbeda dengan hasil yang diperoleh oleh Shiromizu dan Ida (2001) dengan keberadaan dua suku terakhir di dalam persamaan aksi (IV.84). Kedua suku tersebut menunjukkan bagaimana kuatnya pengaruh gelombang gravitasional pada bulk yang berpropagasi menuju brane.
88
