Bab II II.1
Tinjauan Pustaka: Dimensi Ekstra dan Braneworld
Pendahuluan
Mekanika kuantum dan relativitas umum adalah dua teori yang sukses menggambarkan fisika pada masing-masing wilayah. Masalahnya adalah belum ada cara untuk menggabungkan keduanya menjadi sebuah teori yang konsisten. Salah satu kandidat yang dapat menggabungkan teori tersebut adalah teori string (Green, dkk., 1988). Teori string berupaya untuk merumuskan sebuah kerangka teoretik yang konsisten, yang mana semua gaya-gaya fundamental, termasuk gaya gravitasi, dapat digabungkan sedemikian sehingga semua gaya dapat dipahami secara konsisten meskipun pada level kuantum. Teori string memperluas konsep partikel serupa titik menjadi obyek yang diperluas satu dimensi, yaitu string, sebagai obyek fundamental. String tersebut berada dalam ruang-waktu 10-dimensi atau 11-dimensi untuk teori supergravitasi. Dalam bekerja dengan teori string, pendekatan secara perturbatif sering digunakan dengan persamaan-persamaan yang cukup kompleks. Telah diperoleh bahwa ada lima perumusan berbeda dari teori string perturbatif dan satu sama lain dihubungkan melalui dualitas: dualitasT dan dualitas-S. Deskripsi berbeda kelima teori string yang dihubungkan melalui dualitas tidak lain adalah deskripsi berbeda dari sebuah teori fundamental 11dimensi yang dinamakan teori-M.
Ada dua jenis string yaitu string tertutup dan string terbuka. Gravitasi digambarkan oleh string tertutup dan materi digambarkan oleh string terbuka. Dalam teori string non perturbatif ada obyek-obyek yang diperluas dinamakan Dbrane di mana ”D” berasal dari syarat batas Dirichlet. D-brane merupakan permukaan di mana ujung-ujung string terbuka dapat mulai dan berakhir padanya. Jika materi dapat berada dalam sebuah brane yang memiliki tiga dimensi spasial, dimensi ekstra dapat berukuran besar. Model braneworld terinspirasi dari teori string, khususnya dari model Horava-Witten (Horava dan Witten, 1996). Dalam model braneworld materi dan medan-medan Standar Model dapat terlokalisasi pada brane sedangkan gravitasi berpropagasi di dalam dimensi lebih tinggi dari empat yang dinamakan bulk. Ini berarti bahwa gravitasi merupakan sebuah
21
interaksi dimensi tinggi dan hanya dapat dilihat sebagai teori efektif 4-dimensi pada brane. Sejauh ini belum ada teknologi yang dapat mengukur dimensi ekstra kompak berorde skala Planck. Tetapi jika dimensi ekstra berukuran besar, relatif terhadap skala Planck, ada kemungkinan dapat diamati dalam eksperimen collider bahkan juga dalam observasi kosmologi.
Dalam ruang waktu 4-dimensi, ada dua skala energi fundamental yang cukup penting: skala elektrolemah,
dan skala Planck (Planck scale),
Model Standar fisika dapat menggambarkan kuantitas-kuantitas fisika hingga mencapai energi
GeV. Pada skala Planck, gravitasi menjadi
sama kuatnya dengan interaksi-interaksi Model Standar dan pada skala ini diperlukan sebuah teori graviasi kuantum. Mengapa perbedaan antara kedua skala ini sangat besar?
Pertanyaan ini merupakan esensi dari masalah hirarki
(hierarchy problem). Analisis yang cukup sederhana dari perbedaan yang cukup besar antara skala lemah dan skala Planck bahwa diantara rentang perbedaan tersebut
terdapat
kemungkinan
terpopulasinya
teori-teori
baru,
seperti
supersimetri. Di atas skala perusakan supersimetri, masalah koreksi radiatif untuk massa Higgs secara teoretik dapat diselesaikan meskipun partikel Higgs sampai sejauh ini belum ditemukan. Ada pemecahan lain untuk masalah hirarki yaitu melalui model braneworld, dengan mengasumsikan bahwa hanya ada satu skala energi fundamental, skala lemah. Skala Planck yang cukup besar dipandang sebagai skala yang berasal dari dimensi ekstra dan menjadi skala efektif dalam 4dimensi. Dengan kata lain, bagi pengamat yang geraknya dibatasi dalam sebuah braneworld yang dimasukkan dalam ruang-waktu bulk akan mengamati bahwa skala energi Planck merupakan skala efektif. Misalnya sebuah braneworld yang dimasukkan dalam ruang-waktu
-dimensi, skala Planck
-dimensi,
, yang merupakan skala gravitasi kemudian diambil seorde dengan skala lemah. Untuk
dimensi ekstra dengan
menyatakan volume dari seluruh ruang
kompak, skala Planck 4-dimensi efektif dinyatakan oleh m 2pl = M n + 2Vn . Dengan mengambil
cukup besar maka skala energi yang cukup tinggi dapat diperoleh .
22
Pada bab tinjauan pustaka ini, dipaparkan perkembangan dari dimensi ekstra,
braneworld dan aspek kosmologi dimensi ekstra. Pembahasan dimulai dari teori dimensi ekstra Kaluza-Klein dan menjelaskan bagaimana dimensi ekstra dapat menggabungkan dua buah interaksi. Model-model braneworld dan aspek kosmologi dimensi ekstra dibahas dalam konteks braneworld Randall-Sundrum.
II.2
Teori Kaluza-Klein dan Dimensi Ekstra Kompak
Dengan menambah satu dimensi dari tiga dimensi ruang yang telah diketahui, Kaluza dan Klein dapat menggabungkan gravitasi dan elektromagnetik. Tambahan satu dimensi ruang (dimensi ekstra) adalah berbeda dengan tiga dimensi yang lainnya. Dimensi ekstra dalam teori Kaluza-Klein membentuk sebuah ruang kompak dengan skala kompaktifikasi L. Misalnya, satu buah dimensi ekstra dapat berupa lingkaran dengan radius L. Untuk lebih dari satu buah dimensi ekstra, ruang ini dapat berupa bola dimensi tinggi atau torus. Secara umum, ruang-waktu (4 + n)-dimensi dalam pendekatan Kaluza-Klein memiliki sebuah geometri yang terdiri dari ruang-waktu Minkowski 4-dimensi, M4, dan manifold kompak n-dimensi dari dimensi ekstra yang dinamakan manifold internal, Xn. Secara simbolik dapat dituliskan sebagai: M4 x Xn. Implikasi pendekatan Kaluza-Klein adalah dinamika dalam ruang-waktu (4 + n)-dimensi setelah dikompaktifikasi menghasilkan ruang-waktu Minkowski 4-dimensi. Oleh sebab itu, geometri M4 x Xn adalah solusi dari persamaan Einstein (4 + n)-dimensi. Pada skala jarak yang lebih besar dari L, dimensi ekstra tidak dapat diamati. Berikut ini dibahas implikasi fisis dari dimensi ekstra kompak.
Tinjau sebuah medan skalar dalam ruang-waktu (4 + 1)-dimensi dengan rapat Lagrangian diberikan oleh:
1 L = − ∂ a Φ∂ a Φ . 2
(II.1)
Disini a = 0,1,2,3,5 dan medan Φ (t , x , y ) = Φ ( x μ , y ), μ = 0,1, 2,3 bergantung pada koordinat 4-dimensi, x μ , dan juga koordinat dimensi ekstra, y (atau x5). Dimensi ektra diasumsikan terkompaktifikasi pada sebuah lingkaran S1 dengan
23
radius L, sehingga ruang-waktu (4 + 1)-dimensi memiliki geometri M4 x S1. Dalam ruang ini medan skalar adalah periodik terhadap y → y + 2π L :
Φ( x μ , y ) = Φ( x μ , y + 2π L) .
(II.2)
Ekspansi harmonik dari medan skalar pada lingkaran adalah Φ( x μ , y) =
+∞
∑ φ ( xμ ) e
n =−∞
n
iny / L
,
(II.3)
di mana φn* ( x μ ) = φ− n ( x μ ) . Substitusi ekspansi ini ke persamaan (II.1), rapat lagrangian dapat dinyatakan kembali sebagai berikut:
L=−
1 +∞ ⎛ nm ⎞ i ( n + m) y / L μ . ∑ ⎜ ∂ μφn ∂ φm − 2 φnφm ⎟e 2 n , m =−∞ ⎝ L ⎠
(II.4)
Dan dalam bentuk aksi dapat dinyatakan oleh
S = ∫ d 4x
2π L
∫
dy L = −
0
⎞ 2π L 4 +∞ ⎛ n2 μ * ∂ ∂ + φ φ φ φ* . d x ∑ ⎜ μ n n 2 n n ⎟ ∫ 2 L n =−∞ ⎝ ⎠
(II.5)
Aksi di atas mengandung sejumlah tak hingga medan-medan 4-dimensi, φn ( x μ ) . Untuk mempelajari sifat-sifat dari medan ini, diperkenalkan notasi
ϕ ≡ 2π L φn .
(II.6)
Sehingga aksi (II.5) menjadi +∞ ⎛ ⎞ k2 ⎡ 1 ⎤ S = ∫ d 4 x ⎢ − ∂ μϕ0∂ μϕ0 ⎥ − ∫ d 4 x ∑ ⎜ ∂ μφk ∂ μφk* + 2 φkφk* ⎟ . L ⎣ 2 ⎦ k =1 ⎝ ⎠
(II.7)
Hasil spektrum dari teori yang dikompaktifikasi terdiri dari •
sebuah medan skalar tak-bermassa (massless) yang dinamakan modus nol, yaitu ϕ0 ,
•
sejumlah tak hingga medan-medan skalar kompleks bermassa dengan massa berbanding terbalik dengan radius kompaktifikasi, mk2 = k 2 / L2 .
Semua keadaan ini dinamakan dengan modus Kaluza-Klein. Pada energi rendah, yaitu ketika E << 1/L, hanya modus nol menjadi penting sedangkan pada energi tinggi E >>1/L semua modus Kaluza-Klein menjadi penting. Ini berarti bahwa jika dikompaktifikasi pada radius yang sangat kecil, maka medan-medan tak bermassa menjadi medan efektif dalam teori 4-dimensi. Keberadaan dimensi
24
ekstra hanya dapat diamati ketika modus-modus bermassa tereksitasi dan diperlukan energi yang cukup besar untuk terjadi eksitasi.
Selanjutnya ditinjau gravitasi dalam ruang-waktu (4 + 1)-dimensi dan bagaimana gravitasi 4–dimensi dapat digabungkan dengan elektromagnetik melalui gravitasi 5-dimensi. Gravitasi dapat dijelaskan secara klasik melalui teori relativitas umum Einstein. Dalam teori tersebut, materi meyebabkan alam semesta melengkung dan partikel-partikel bergerak sepanjang geodesik dalam geometri melengkung ini. Jika materi digambarkan oleh tensor energi-momentum 4-dimensi,
, dan
adalah konstanta Newton, maka (II.8) dengan
,
dan
berturut-turut menyatakan metrik, skalar Ricci dan tensor
Ricci. Dengan menggunakan prinsip variasi, persamaan Einstein (II.8) dapat diturunkan dari aksi Einstein-Hilbert, (II.9) di mana
dan (II.10)
Sedangkan medan-medan materi dinyatakan oleh aksi
.
Sementara itu, persamaan Maxwell untuk sebuah potensial gauge, terkopel dengan sebuah sumber arus elektromagnetik,
, yang
, diberikan oleh (II.11) (II.12)
Disini
adalah tensor medan elektromagnetik dan
adalah permeabilitas
vakum. Persamaan (II.11) dapat diturunkan dari aksi berikut (II.13) di mana (II.14)
25
Jika persamaan (II.9) dan persamaan (II.13) digabungkan, maka diperoleh teori Einstein-Maxwell untuk gravitasi yang terkopel dengan sebuah medan elektromagnetik. Ide Kaluza dan Klein adalah meninjau gravitasi murni dalam 5dimensi dan mengabaikan suku materi. Aksi dalam 5-dimensi yang ditinjau adalah (II.15) Metrik 5-dimensi dinyatakan oleh
dan
adalah skalar Ricci 5-dimensi.
Seperti juga dalam contoh sebelumnya dimensi ekstra ruang dikompaktifikasi pada lingkaran,
. Dengan mengekspansi metrik sebagai deret Fourier dengan
bentuk (II.16) Maka dapat diperoleh sejumlah tak hingga medan-medan dalam 4-dimensi. Modus n ≠ 0 terkait dengan medan-medan bermassa, n/L, sedangkan modus nol terkait dengan medan-medan tak-bermassa. Jika L diambil sangat kecil maka massa dari medan-medan bermassa sangat besar. Ini berarti bahwa jika skala kompaktifikasi sangat kecil, dimensi ekstra dapat diamati melalui eksitasi medanmedan bermassa.
, dan definisikan komponen-komponen
Selanjutnya tinjau untuk modus nol, metrik 5-dimensi,
,
dan
, dalam ungkapan medan-medan 4-dimensi,
,
dan . Secara eksplisit dapat diberikan oleh komponen-komponen berikut: (II.17) di mana (II.17),
dan
. Metrik yang diberikan oleh persamaan
diinterpretasikan sebagai foton,
adalah medan skalar dilaton dan
adalah graviton. Dengan hanya meninjau medan-medan tak bermassa, maka integrasi terhadap
dari persamaan aksi (II.15), menghasilkan aksi efektif 4-
dimensi yang diberikan oleh (II.18)
26
Jadi melalui teori gravitasi 5-dimensi dapat diperoleh teori gravitasi efektif 4dimensi, elektromagnetik dan sebuah medan skalar dilaton.
Jika metode kompaktifikasi Kaluza-Klein digunakan untuk mereduksi sebuah teori
-dimensi untuk menghasilkan teori 4-dimensi, maka kompaktifikasi
pada n-dimensi manifold berbeda, secara umum akan menghasilkan teori efektif yang berbeda dalam 4-dimensi, dengan asumsi bahwa manifold tersebut sangat kecil dan kompak. Meskipun teori Kaluza-Klein berhasil menggabungkan gravitasi dan elektromagnetik, belum dapat menjelaskan mengapa gravitasi lebih lemah dari elektromagnetik dan mengapa dimensi ekstra sangat kecil dan tidak mengeksitasi modus-modus bermassa. Hanya dengan mengambil modus nol yang menghasilkan teori effektif dalam 4-dimensi. Pasal berikut ini mejelaskan alternatif kompaktifikasi Kaluza-Klein di mana dimensi ekstra dapat berhingga, tidak-berhingga dan melengkung melalui model braneworld.
II.3
Braneworld dan Dimensi Ekstra
II.3.1 Model Horava-Witten
Adannya kemungkinan dimensi ekstra non-Planckian pertama kali diperkenalkan oleh Horava dan Witten (1996) melalui teori string heterotik E8 × E8 yang merupakan limit energi rendah dari teori supergravitasi 11-dimensi. Dalam model Horava-Witten, dimensi ke-11 adalah kompak dan periodik: x11 ∈ [ −π R, π R ] dan memenuhi simetri
2
: x11 → − x11 . Pada titik-titik tetap orbifold, x11 = 0 dan
x11 = π R terdapat batas-batas yang dinamakan brane-orbifold, dengan ruangwaktu 10-dimensi. Pada batas-batas tersebut terdapat medan-medan gauge yang tidak dapat keluar menuju bulk. Kedua batas tersebut saling berinteraksi melalui gravitasi. Dibandingkan dengan ide awal dari teori string bahwa dimensi ekstra berorde skala Planck, dalam model Horava-Witten, besarnya skala orbifold,
Lor ~ π R , lebih besar dari enam dimensi ekstra yang lain, LCY ~ M pl−1 yang dikompaktifikasi dalam manifold Calabi-Yau: Lor > LCY . Ketika Lor > M pl−1 dipenuhi, maka ruang-waktu efektifnya adalah 5-dimensi. Lukas, dkk., (1999)
27
merealisasi model Horava-Witten pada energi rendah dalam 5-dimensi dan solusi kosmologi juga telah diperoleh (Reall, 1999).
Di dalam model Horava-Witten, ruang bulk 11-dimensi terdiri dari supermultiplet graviton sedangkan supermultiplet Yang-Mills berada pada masing-masing batas 10-dimensi. Aksi bagian bosonik diberikan oleh Lukas, dkk., (1999):
S = S SUGRA + SYM ,
(II.19)
di mana S SUGRA = −
1 2κ
+
SYM
∫d
11
2 11 M11
2 I1 ε 1728
I11
1 ⎛ κ ⎞ =− ⎜ ⎟ 8πκ112 ⎝ 4π ⎠
1 ⎛ κ ⎞ − ⎜ ⎟ 8πκ112 ⎝ 4π ⎠
1 ⎛ x − g11 ⎜ R + CIJKLG IJKL 24 ⎝
⎞ CI1 I 2 I3 GI 4 I5 I6 I7 GI8 I9 I10 I11 ⎟ , ⎠
(II.20)
2/3
⎡ 10 (1) ∫(1) d x − g10 ⎢⎣tr F M10
)
2/3
⎡ d 10 x − g10 ⎢tr F (2) ⎣ (2) M10
)
(
(
∫
2
2
1 ⎤ − trR 2 ⎥ 2 ⎦
1 ⎤ − trR 2 ⎥ . 2 ⎦
(II.21)
Disini FIJ( i ) adalah medan-medan gauge E8 dan CIJK adalah 3-form dengan kuat medan diberikan oleh GIJKL = 24∂[ I CJKL] . Di dalam makalah Horava dan Witten (1996) suku trR 2 tidak ada. Suku ini ditambahkan oleh Lukas, dkk., (1999) agar aksi di atas konsisten dengan supersimetri. Ansat metrik untuk mereduksi teori 11-dimensi menjadi 5-dimensi adalah
( )
( )
M ds112 = V −2 / 3 g MN x M dx M dx N + V 1/ 3Ω MN dz M dz N , ˆˆ z ˆ
ˆ
ˆ
(II.22)
di mana V = e−φ adalah sebuah medan moduli yang menyatakan volume dari ˆ
ruang Calabi-Yau, x M adalah koordinat ruang-waktu 5-dimensi, z M adalah koordinat dalam ruang Calabi-Yau dengan metrik Ω MN ˆ ˆ . Proses penurunan secara lengkap dari aksi 11-dimensi menjadi 5-dimensi dapat dilihat pada makalah Lukas, dkk., (1999). Hasilnya adalah teori supergravitasi N = 1 5-dimensi terkopel dengan supermultiplet gauge 4-dimensi, secara simbolik diberikan oleh persamaan (I.2).
28
Aksi efektif 5-dimensi yang diturunkan dari aksi 11-dimensi persamaan (II.19) adalah S5 = −
1 2κ
+
2
2
κ
2
∫d ∫d
5
4
1 1 2 ⎡ ⎤ x − g ⎢ R + ( ∇φ ) + 2e −φ ∇ M ς∇ M ς + α 2e −2φ ⎥ 2 3 ⎣ ⎦ x − hα e −φ −
2
κ2
∫d
4
x − hα e −φ ,
(II.23)
dengan α adalah konstanta, hμν dan hμν adalah metrik-metrik induksi pada masing-masing batas dan ς adalah medan skalar kompleks: ς = e ρ + iθ . Solusi kosmologi dari model HW ditinjau oleh (Reall, 1999) dengan metrik 5dimensinya diberikan oleh ds 2 = −e 2U ( t , y ) dτ 2 + e 2 A(t , y ) ds32 + e 2 B ( t , y ) dy 2 ,
(II.24)
di mana
φ = φ (t , y),
ρ = ρ (t , y) .
(II.25)
Melalui pemisahan variabel, U ( t , y ) = U1 ( t ) + U 2 ( y ) dan seterusnya diperoleh solusi-solusi dari komponen metrik hanya bergantung pada koordinat y: e A2 = eU 2 = a0 H 1/ 2 ,
e B2 = b0 H 2 ,
ς = eiθ ( d 0 H 4 + ς 0 ) ,
eφ2 = b0 H 3 , H ( y) =
2 α y + c0 , 3
(II.26)
(II.27)
di mana a0 , b0 , d 0 , ς 0 , c0 adalah konstanta-kontanta. Persamaan-persamaan medan untuk solusi bergantung waktu dapat diperoleh dengan mengasumsikan bahwa
e B1 = eφ1 dan sebuah gauge eU1 = konstan . Solusi untuk faktor skala pada brane dan solusi untuk medan skalar eφ1 dalam waktu comoving dt = eU1 dτ adalah p
3⎛ 4 ⎞ 1∓ , ⎜ 11 ⎝ 3 3 ⎠⎟
e A1 ≡ a(t ) = P t − t0 ,
p=
e B1 ≡ eφ1 = Q t − t0 ,
2 q= 1± 2 3 , 11
(
q
)
(II.28)
dengan P, Q dan t0 adalah konstanta-konstanta. Dari solusi-solusi yang diperoleh di atas, e A1 menentukan ukuran dari worldvolume brane dan e B1 menentukan besarnya skala orbifold. Karena besarnya skala orbifold berubah terhadap waktu,
29
maka jarak antara brane juga berubah. Stabilisasi dari model ini kemudian ditinjau oleh Huey, dkk., (2000).
II.3.2 Mekanisme Lokalisasi
Ide bahwa alam semesta dapat direalisasikan sebagai sebuah hypersurface di dalam ruang-waktu dimensi tinggi telah banyak dikaji dalam kerangka kerja relativitas umum. Aplikasi ide ini dalam fisika partikel pertama kali dikerjakan oleh Akama (1982) dan juga oleh Rubakov dan Shaposhnikov (1983) dengan menunjukan sebuah mekanisme lokalisasi di dalam braneworld. Berikut ini diberikan contoh bagaimana medan-medan dapat terlokalisasi pada brane.
Tinjau sebuah medan skalar dalam 5-dimensi dengan rapat Lagrangian diberikan oleh 2 1 λ L = − ∂ a Φ∂ a Φ − ( Φ 2 − v 2 ) , 2 4
yang invarian terhadap transformasi invarian, yaitu terhadap 2
2
2
(II.29)
: Φ → −Φ , tetapi vakumnya tidak
dua vakum Φ = ±v dapat bertukar. Karena itu simetri
rusak secara spontan. Sebagaimana telah ditunjukan oleh Rubakov dan
Shaposhnikov (1983), ada solusi domain wall dengan persamaan gerak klasik medan skalar adalah ⎛ λv 2 ⎞ Φ kls = v tanh ⎜ y ⎟ ≡ v tanh ( m0 y ) . ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
(II.30)
Karena solusi ini transversal terhadap domain wall maka dapat dibayangkan bahwa worldvolume-nya memiliki koordinat ruang 3-dimensi, yang kemudian disebut 3-brane. Tegangan dari wall merupakan rapat energi permukaan yang didefinisikan oleh σ = ∫ dyH ( Φ kls ) = ∫ dyT00 ( Φ kls ) dengan H adalah Hamiltonian dan T00 adalah komponen-(00) dari tensor energi-momentum. Tegangan brane kemudian diperoleh
σ ~
m03
λ
~ λ 2−3 / 2 v3 .
30
(II.31)
Sesuai dengan ide braneworld, eksitasi dari medan-medan dapat diidentifikasi oleh partikel-partikel Model Standar. Spektrum perturbasi dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan gerak yang dilinearkan untuk medan skalar, Φ ( x μ , y ) = Φ kls ( y ) + δΦ ( x μ , y ) .
(II.32)
Kemudian persamaan gerak 5-dimensi memiliki solusi:
⎛ d Φ kls ⎞ μ ⎟ ρ (x ) , dy ⎝ ⎠
δΦ( x μ , y ) = ⎜
(II.33)
dengan ρ adalah medan 4-dimensi yang memenuhi persamaan gerak ∂μ∂μ ρ = 0 ,
(II.34)
Jadi ρ adalah fungsi gelombang dari sebuah medan skalar tak bermassa yang berada di dalam ruang-waktu 4-dimensi. Fungsi gelombang ini sebanding dengan
d Φ kls / dy dan lenyap di luar brane. Akibatnya medan skalar tak bermassa terlokalisasi pada brane. Untuk medan fermion, tinjau medan fermion 5-dimensi Ψ yang terkopel dengan medan skalar Φ dalam sebuah interaksi Yukawa LΨ = iΨΓ a ∂ a Ψ − hΦΨΨ .
(II.35)
Persamaan gerak medan fermion adalah iΓ a ∂ a Ψ − hΦ kls Ψ = 0 .
(II.36)
Persamaan ini memiliki sebuah solusi yang dapat dinormalisasi dalam ungkapan modus chiral tak bermassa 4-dimensi, χ L , ⎡ y ⎤ Ψ N x μ , y = exp ⎢ − ∫ hΦ kls ( z ) dz ⎥ χ L x μ , ⎢⎣ 0 ⎥⎦
(
)
( )
(II.37)
dengan
iΓ μ ∂ μ χ L = 0,
χL =
(1 − γ 5 ) χ . 2
(II.38)
Dari ungkapan di atas dapat dilihat bahwa fungsi gelombang dari modus ini lenyap diluar brane. Sehingga modus chiral 4-dimensi adalah terlokalisasi pada brane.
31
II.3.3 Skenario ADD dan Dimensi Ekstra Besar
Model fenomenologi untuk merealisasikan konsep braneworld dengan dimensi ekstra besar dan bertujuan untuk menyelesikan masalah hirarki pertama kali dikaji oleh Arkani-Hamed, dkk., (1999) yang dinamakan model Arkani-HamedDimopoulos-Dvali
yang
disingkat
dengan
model
ADD.
Model
ADD
menggabungkan ide braneworld dan kompaktifikasi Kaluza-Klein dengan skenario sebagai berikut: •
Partikel-partikel model standar terlokalisasi pada sebuah 3-brane, sedangkan gravitasi dapat berpropagasi dalam (4+n)-dimensi.
•
Skala gravitasi fundamental adalah M dan skala Model Standar berukuran TeV.
•
n buah dimensi ekstra terkompaktifikasi dengan ukuran karakteristik yang sama, L.
Aksi dari model ADD diberikan oleh
M 2+ n 4 d x ∫ d n y −GR(G ) + ∫ d 4 x −hLMS ( Ψ ) , ∫ 2 0 L
S ADD =
(II.39)
di mana GMN adalah metrik (4+n)-dimensi, hμν adalah metrik induksi pada brane dan LMS adalah Lagrangian Model Standar. Bagian gravitasional dari aksi (II.39) dapat direduksi melalui prosedur Kaluza-Klein menjadi aksi 4-dimensi
M 2+ n 4 d x ∫ d n y −GR(G ) → ∫ 2 0
M 2 + n Ln 4 d x −hR ( h ) . 2 ∫
L
(II.40)
Sehingga hubungan antara massa Planck 4-dimensi mpl dan massa Planck (4+n)dimensi adalah m 2pl = Ln M 2 + n ≡ V n M 2 + n .
(II.41)
Dari persamaan ini dapat dipahami bahwa untuk memperoleh massa Planck yang jauh lebih besar daripada skala gravitasi fundamental, M, ukuran dimensi ekstra haruslah cukup besar dibandingkan dengan panjang fundamental, M −1. Jika
M = mEW , maka besarnya dimensi ekstra diberikan oleh ⎛M ⎞ L = Lew ⎜ pl ⎟ ⎝ M ew ⎠
2/n
~ 10
32
30 −17 n
cm .
(II.42)
Sebagai contoh, untuk satu buah dimensi ekstra, n =1, diperoleh L ~ 1013 cm yang merupakan daerah kerja dari hukum Newton dalam sistem surya. Ukuran dimensi ekstra cukup besar dalam hal ini dan gravitasi 5-dimensi tidak diamati, jadi skala ini tidak dapat diterima. Untuk n makin besar ukuran dimensi ekstra makin kecil. Kasus yang menarik adalah untuk dua buah dimensi ekstra, n = 2, yang menghasilkan dimensi ekstra L ~ 1 mm. Eksperimen gravitasi tidak pernah dilakukan pada skala yang lebih kecil dari sub millimeter, oleh sebab gravitasi pada skala ini mungkin berbeda dengan gravitasi 4-dimensi. Untuk n = 6, besarnya dimensi ekstra sekitar 10-14 cm dan lebih besar dari panjang Planck, 10-33 cm. Ini berarti bahwa efek dimensi ekstra terhadap gravitasi dapat diungkap dari skala sub millimeter sampai skala inti atom. Dalam model ADD, potensial gravitasional oleh massa m diberikan oleh +∞
V (r ) = −G m ∑ Ψ n ( y = 0) n =−∞
2
e − mn r . r
(II.43)
Fungsi Ψ n ( y = 0) menyatakan modus KK ke-n pada posisi brane, y = 0, dan mn = n / L . Jika r >> L maka dari persamaan (II.43) gravitasi menjadi 4-dimensi
V (r ) = −G
m . r
(II.44)
Dalam limit yang berlawanan, pada jarak yang lebih pendek dari ukuran dimensi ekstra, r << L, keberadaan dimensi ekstra dapat diamati melalui modifikasi potensial gravitasional yang diberikan sebagai berikut
V (r ) = − M − (2 + n )
m , r 1+ n
(II.45)
yaitu memenuhi hukum interaksi gravitasional (4 + n)-dimensi.
Model ADD dapat menyelesaikan masalah hirarki dan gravitasi dimodifikasi pada skala sub millimeter. Model ini telah memotivasi untuk mengukur gravitasi pada skala yang sangat kecil (Hoyle, dkk., 2001; Long, dkk., 2003). Meskipun berhasil memecahkan masalah hirarki massa, model ini memunculkan hirarki baru antara skala elektrolemah dan skala kompaktifikasi. Jika diasumsikan massa Planck fundamental disekitar skala energi elektrolemah 1 TeV, skala panjang dimensi
33
ekstra masih lebih besar dari skala panjang elektrolemah. Misalnya untuk n = 6, L ~ 10-14 cm >> Lelektrolemah ~ 10-19 cm yaitu ada masalah hirarki skala.
II.4
Dimensi Ekstra Lengkung dan Model Randall-Sundrum (RS)
Di dalam sub bab ini ditinjau model braneworld yang lebih populer yaitu model Randall-Sundrum (RS). Seperti juga dalam model-model yang telah dibahas sebelumnya, alam semesta merupakan sebuah brane di dalam ruang-waktu 5dimensi dengan simetri refleksi sepanjang dimensi ekstra dan medan-medan gauge Model Standar terlokalisasi pada brane. Randall dan Sundrum (1999) memberikan solusi alternatif dalam permasalahan hirarki skala. Dalam model RS, sebuah hirarki eksponensial dari skala massa muncul tanpa perlu dimensi ekstra berukuran besar. Ini karena latar belakang solusi dari persamaan gerak adalah sebuah metrik non-factorizable. Dalam teori Kaluza-Klein, geometrinya digambarkan oleh sebuah metrik factorizable yaitu metrik 4-dimensi tidak bergantung pada koordinat dimensi ekstra. Untuk metrik non-factorizable bagian metrik 4-dimensi dikalikan oleh sebuah fungsi, dinamakan dengan faktor kelengkungan (warped factor), yang bergantung pada dimensi ekstra.
II.4.1 RS I dan Masalah Hirarki
Pada model RS I, ada dua buah 3-brane yang dimasukkan dalam ruang waktu bulk Anti-de Sitter 5-dimensi. Dimensi ekstra terkompaktifikasi pada orbifold sehingga struktur geometri ruang-waktu bulk 5-dimensi adalah M4 × dan diparameterisasi oleh koordinat ( x μ ,φ ) di mana φ memiliki interval [ −π , π ] . Titik-titik tetap (fixed points) orbifold berada pada φ = 0 dan φ = π yang tidak lain merupakan posisi dari kedua 3-brane. Brane yang memiliki tegangan positif
σ ( + ) , dinamakan hidden brane (atau brane Planck), ditempatkan di φ = 0 dan brane yang memiliki tegangan negatif σ ( −) , dinamakan visible brane (atau brane Model Standar), ditempatkan di φ = π . Dalam RS I, medan-medan Model Standar terlokalisasi pada brane yang memiliki tegangan negatif. Aksi dari model RS I diberikan oleh (+) ( −) S = S grav + Sbrane + Sbrane ,
34
(II.46)
di mana
S grav =
1 2κ
π
d 4 x ∫ dφ − g ( R − 2 Λ ) , 2 ∫
(II.47)
−π
(
)
(II.48)
(
)
(II.49)
(+) Sbrane = ∫ d 4 x − h ( + ) L( + ) − σ ( + ) , (−) Sbrane = ∫ d 4 x − h ( − ) L( − ) − σ ( − ) .
Di dalam persamaan di atas g menyatakan metric bulk dan h( ± ) adalah metrik induksi pada brane
(
)
(
(+) hμν = δ μaδνb g ab x μ ,φ = 0 ,
)
(−) hμν = δ μaδνb g ab x μ ,φ = π .(II.50)
Untuk memperoleh solusi persamaan gerak, metrik 5-dimensi lengkung yang mempertahankan invarian Poincare 4-dimensi adalah ds 2 = e −2 A(φ )η μν dx μ dxν + rc2 dφ 2 .
(II.51)
Koordinat φ dapat diskala ulang untuk menghilangkan koefisien rc yang merupakan karakteristik dari radius kompaktifikasi dimensi ekstra. Dengan metrik (II.51) persamaan Einstein 5-dimensi menjadi persamaan diferensial biasa untuk faktor lengkung A:
1 A′2 = − rc2 Λ . 6 A′′ = −
κ2 3
(II.52)
rc ⎡⎣σ ( − )δ (φ ) + σ ( + )δ (φ − π ) ⎤⎦ .
(II.53)
Disini aksen menyatakan turunan terhadap φ. Solusi dari persamaan (II.53) adalah A = rc | φ | −
Λ ≡ rc | φ | k , 6
⇒
Λ <0,
(II.54)
di mana k = (−Λ / 6)1/ 2 adalah sebuah skala yang berorde skala Planck 5-dimensi dan
⎧−φ , | φ |= ⎨ ⎩ φ,
−π <φ < 0
0 < φ < π.
,
(II.55)
Kondisi Λ < 0 menyatakan bahwa ruang-waktu 5-dimensi adalah Anti-de Sitter. Dengan mengambil turunan kedua terhadap φ solusi (II.54) A′′ = 2krc ⎡⎣δ (φ ) − δ (φ − π ) ⎤⎦ ,
35
(II.56)
dan membandingkan persamaan ini dengan persamaan (II.53) maka diperoleh
σ ( + ) = −σ ( − ) =
6
κ
2
−
Λ 6 1 = 2 , 6 κ l
(II.57)
di mana l adalah skala kurvatur bulk, k = l −1 , dan
Λ=−
6 , l2
(II.58)
Persamaan (II.57) menyatakan sebuah ketertalaan antara tegangan brane dengan konstanta kosmologi bulk. Sebagaimana dibahas pada Bab IV, ketertalaan mengakibatkan konstanta kosmologi pada brane menjadi lenyap.
II.4.2
Pemecahan Masalah Hirarki
Untuk memecahkan Masalah hirarki, skala Planck 4-dimensi efektif,
,
dinyatakan dalam skala 5-dimensi M, k dan rc . Ini dilakukan untuk mengidentifikasi teori efektif energi rendah 4-dimensi sebagai akibat dari fluktuasi graviton tak bermassa. Secara prinsip, untuk menyatakan kuantitaskuantitas 5-dimensi dalam ungkapan kuantitas-kuantitas 4-dimensi dilakukan dengan meninjau fluktuasi medan-medan tak bermasa di dalam brane, seperti medan radion (Charmousis, dkk., 2000). Namun ini tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan skala Planck 4-dimensi efektif,
, secara langsung (Pilo, dkk.,
2000). Dengan menyisipkan metrik Minkowski 4-dimensi terganggu
( )
( )
hμν x μ = η μν + f μν x μ ,
(II.59)
ke persamaan aksi (II.46) maka diperoleh sebuah aksi efektif π
Seff = ∫ d x ∫ 2dφ M 3rc e−2 krc |φ | −h R ( h ) + 4
,
(II.60)
−π
Pada persamaan (II.59) metrik f μν menyatakan graviton fisis dalam teori efektif 4-dimensi dan merupakan modus tak bermassa dari dekomposisi Kaluza-Klein. R ( h ) adalah skalar Ricci yang dibangun dari metrik hμν di dalam persamaan
(II.60). Dengan mengintegrasi aksi efektif (II.60), diperoleh hubungan antara massa Planck 4-dimensi m pl dan massa Planck 5-dimensi M,
36
π
m pl = M 3rc ∫ dφ e−2 krcφ = −π
(
)
M3 1 − e−2 krcπ . k
(II.61)
Dapat dilihat bahwa kebergantungan massa Planck m pl cukup lemah terhadap skala kompaktifikasi oleh peredaman eksponensial. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap parameter massa meff pada brane yang memiliki tegangan negatif dihubungkan dengan massa fundamental m0 melalui meff = e − krcπ m0 .
(II.61)
Jika krc ~ 12, massa fisis skala elektrolemah mEW dapat dihasilkan dari skala Planck fundamental. Dari tinjauan ini, lemahnya gravitasi merupakan efek geometri dari faktor kelengkungan yang mengalikan metrik induksi pada brane bertegangan negatif.
II.4.3 RS II dan Alternatif Kompaktifikasi
Sebagaimana telah dipaparkan sebelumnya, di dalam sebuah braneworld medanmedan Model Standar terlokalisasi pada brane (Rubakov dan Shaposhnikov, 1983, Akama, 1982), sedangkan gravitasi dapat berpropagasi dalam dimensi ke-5. Untuk memperoleh teori gravitasi 4-dimensi dengan tidak melanggar hukum gaya gravitasional Newton
yang telah dibuktikan secara eksperimen
mm,
maka dimensi ekstra dapat dipandang sangat kecil dan kompak, dengan skala massa atau energi berada diantara modus tak-bermassa graviton dan modus bermassa Kaluza-Klein. Hal ini untuk menjamin bahwa gravitasi dapat berperilaku dalam 4-dimensi. Sebagaimana telah dipelajari sebelumnya, di dalam model braneworld dimensi ekstra dapat berukuran besar dan gravitasi berperilaku dalam 5-dimensi. Ini tentunya melanggar hukum Newton. Model kedua dari Randall dan Sundrum dapat memecahkan masalah ini meskipun dimensi ekstra dibuat tak berhingga dan tetap menghasilkan hukum Newton pada brane. Ini adalah akibat dari konstanta kosmologi negative pada bulk. Model braneworld RS II tidak menyelesaikan masalah hirarki namun lebih memberikan gambaran terhadap perilaku gravitasional dalam 4-dimensi.
37
Model braneworld RS II dapat diperoleh dari model braneworld RS1 dengan memperbesar jarak antara kedua brane sampai pada tak hingga dan hanya brane yang memiliki tegangan positif yang ditinjau. Brane yang memiliki tegangan negative bekerja sebagai regulator. Dalam kasus ini metrik yang mempertahankan simetri
2
: y → − y dan invarinsi Poincare 4-dimensi diberikan oleh
(
)
ds 2 = e 2 A( y ) − dt 2 + dx i dxi + dy 2 ≡ e 2 A( y )η μν dx μ dxν + dy 2 .
(II.62)
Di sini dimensi ekstra tidak kompak dan diparametrisasi oleh koordinat y sebagai pengganti φ. Dengan menghilangkan aksi brane yang memiliki tegangan negatif (II.46), persamaan Enstein 5-dimensi menjadi
1 A′2 = − Λ . 6 A′′ = −
κ2 3
(II.63)
σ ( + )δ ( y ) .
(II.64)
Solusi umum persamaan (II.63) adalah ⎧ Λ ⎪− − y + A0 = −ky + A0 , 6 ⎪ A( y ) = ⎨ ⎪+ − Λ y + A = + ky + A , 0 0 ⎪⎩ 6
y > 0, (II.65) y < 0.
Dari solusi ini ada singularitas koordinat di tak-hingga y → ±∞ dan singularitas fungsi delta di y = 0. Kontanta integrasi A0 dapat dihilangkan melalui transformasi koordinat pada brane. Untuk sistem satu buah brane tegangan dari
brane diberikan oleh
σ (+) =
6 1 , κ2 l
(II.66)
Dengan mengambil fluktuasi pada metrik Minkowski 4-dimensi seperti RS I maka massa Planck 4-dimensi menjadi y
m pl = 2 M
3
−2 ky ∫ dy e = 0
M3 1 − e −2 ky ) , ( k
(II.67)
di mana y adalah skala karakteristik dari dimensi ekstra. Massa Planck 4-dimensi masih berhingga meskipun diambil y → ∞ . Ini menunjukan bahwa graviton tak bermassa terikat terhadap brane dan bagi pengamat pada brane gravitasi 5-
38
dimensi terlihat sebagai gravitasi efektif 4-dimensi. Namun demikian, masih perlu untuk menentukan spektrum dari fluktuasi metrik (II.62),
(
)
g μν ≡ e −2 k | y |η μν + f μν x μ , y .
(II.68)
Untuk mengetahui modus-modus Kaluza-Klein yang muncul dalam teori efektif 4-dimensi dapat dilakukan melalui reduksi Kaluza-Klein. Melalui pemisahan variablel f μν ( x μ , y ) = ψ ( y ) eipx di mana p 2 = m 2 maka fluktuasi pada metrik menghasilkan persamaan gelombang
⎡ m2 2 k | y| 1 2 ⎤ − ∂ y − 2kδ ( y ) + 2k 2 ⎥ψ ( y ) = 0 . ⎢− 2 e 2 ⎣ ⎦
(II.69)
Garriga dan Tanaka (2000) telah menunjukan bahwa solusi modus nol dari persamaan ini adalah graviton 4-dimensi tak bermassa yang terlokalisasi pada
brane. Analisis selanjutnya juga ditunjukan bahwa keadaan-keadaan bermassa
m2 > 0 menghasilkan suku koreksi terhadap potensial Newton, V ( r ) = GN
m1m2 ⎛ 2 l 2 ⎞ ⎜1 + ⎟. r ⎝ 3 r2 ⎠
(II.70)
Jika kelengkungan dari ruang AdS sangat kuat, yaitu jika k sangat besar, maka diperoleh potensial Newton yang telah dikenal pada brane. Sebaliknya jika sangat kecil maka potensial yang diperoleh adalah potensial 5-dimensi. Hukum Newton dalam ruang-waktu (4+n)-dimensi telah dikaji oleh Ito (2002). Hukum Newton 4dimensi telah diuji pada skala sub milimeter, sehingga parameter l terkendala sebagai berikut
l ≤ 0.1 mm ~ 1011 GeV −1 .
II.5
(II.71)
Braneworld Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP)
Skenario braneworld yang lain diperkenalkan oleh Dvali, dkk., (2000). Dalam model ini hanya ada satu buah brane seperti model RS II dengan ruang bulk adalah Minkowski tanpa konstanta kosmologi bulk, Λ 5 = 0 serta tidak ada tegangan brane. Gravitasi standar dapat diperoleh pada skala yang lebih kecil dari skala crossover, rc . Untuk skala yang lebih besar dari skala ini, gravitasi adalah 5dimensi. Model DGP dapat menggambarkan kosmologi standar pada awal
39
semesta (Deffayet, 2001) dan menjelaskan percepatan alam semesta saat ini tanpa energi gelap (Deffayet, dkk., 2002). Model ini tidak bertujuan untuk menyelesaikan masalah hirarki. Ide dari model DGP adalah melokalisasi gravitasi dengan memasukan suku kurvatur (skalar Riccci 4-dimensi) induksi pada brane. Dari sudut pandang bulk suku ini sebagai sebuah sumber dan bekerja sebagai suku kinetik 4-dimensi untuk graviton 5-dimensi. Suku ini ditambahkan by hand tetapi tidak merusak simetri Poincare 4-dimensi. Gravitasi terinduksi pada brane merupakan koreksi loop kuantum dari interaksi antara suku sumber yang terlokalisasi pada brane dan graviton. Aksi dari braneworld DGP diberikan oleh
S DGP
M 53 4 M 42 4 = d x ∫ dy − g5 R5 + d x −hR + ∫ d 4 xLmat . ∫ ∫ 2 2
(II.72)
Dapat dianalisis bahwa aksi pada suku-suku gravitasi saling berkompetisi. Ketika suku gravitasi 4-dimensi dominan, pengamat pada brane akan merasakan gravitasi 4-dimensi. Ketika suku gravitasi 5-dimensi menjadi dominan, gravitasi keluar menuju dimensi ekstra dan interaksi gravitasi masuk dalam daerah bulk 5-dimensi. Potensial gravitasi yang dihasilkan antara dua buah sumber statik pada brane sama seperti potensial gravitasi 4-dimensi V ~ 1/ r untuk jarak r: M 5−1 << r << rc . Sedangkan gravitasi menjadi 5-dimensi V ~ 1/ r 2 pada skala yang lebih besar dari skala crossover yang didefinisikan oleh
rc =
M 42 , 2M 53
(II.73)
di mana M 5 adalah skala Planck 5-dimensi dan M 4 adalah skala Planck 4dimensi. Jika skala crossover dipilih disekitar radius Hubble H 0−1 ( rc ≥ 1025 cm) maka
skala
Planck
fundamental
5-dimensi
dapat
memilki
nilai
M 5 ~ 10 − 100 MeV (Dvali, dkk., 2002).
II.6
Kosmologi Braneworld
Kosmologi braneworld 1) secara bebas dikembangkan pertama kali oleh Binetruy, dkk., (2000) dan secara signifikan ditemukan bahwa berbeda dengan kosmologi
1)
Kajian ulang kosmologi braneworld dapat dilihat pada: Langlois (2003), Maartens (2004), Brax (2004) dan Davis (2005).
40
standar. Persamaan Friedman pada brane menjadi termodifikasi. Pada energi tinggi parameter Hubble sebanding dengan rapat energi. H ∝ ρ, sedangkan dalam kosmologi standar, H ∝ ρ1/2. Deffayet, dkk., (2001) mengkaji model braneworld ADD dan menemukan bahwa ada suatu fasa percepatan disebabkan oleh sumber yang berasal dari suku kurvatur. Dalam solusinya, transisi ke sebuah percepatan alam semesta 4-dimensi dapat diatur dalam sebuah alam semesta datar, jika skala gravitasi fundamental dipilih sedemikian sehingga parameter kritis dari model, rc berbanding terbalik dengan parameter Hubble, rc ∝ H-1. Hasil ini sesuai dengan data pengamatan dari Supernovae (Riess, dkk., 1998) dan pengukuran konstanta kosmologi (Perlmutter, dkk., 1999).
Pada pasal berikut ini dikaji aspek kosmologi dalam ruang-waktu 4-dimensi dan dibandingkan dengan hasil perhitungan yang diperoleh dalam konteks braneworld.
II.6.1 Kosmologi 4-dimensi: Hasil Relativitas Umum
Dalam model kosmologi standar, alam semesta diasumsikan homogen dan isotropik pada skala besar. Metrik yang sesuai untuk menggambarkan model ini adalah metrik Friedmann-Robertson-Walker (FRW), ⎛ 1 ⎞ ds 2 = −dt 2 + a 2 (t ) ⎜ dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 ⎟ , 2 ⎝ 1 − kr ⎠
(II.74)
dengan a(t) adalah faktor skala alam semesta dan k adalah kurvatur spasial, k = 0,
±1 yang menentukan geometri alam semsta. Persamaan Einstein dalam relativitas umum diberikan oleh
Gμν = −Λhμν + κ 42Tμν .
(II.75)
Untuk Λ = 0 dan κ 42 = 8π GN diperoleh tensor Riemann 1 ⎛ ⎞ Rμν = 8π G ⎜ Tμν − hμν T ⎟ . 2 ⎝ ⎠
(II.76)
Selanjutnya, tinjau sebuah fluida ideal dengan tensor energi-momentum Tμν = ( ρ + P )U μUν + Phμν ,
di mana U μ adalah kecepatan-4:
41
(II.77)
Uμ =
dx μ , ds
U μU μ = −1 ,
(II.78)
Sehingga trace dari tensor energi-momentum menghasilkan
T = − ρ + 3P ,
(II.79)
Rapat energi ρ dan tekanan P diukur dalam kerangka diam fluida. Dalam koordinat komoving yangmana fluida adalah diam, kecepatan-4 diberikan oleh
U μ = (1,0,0,0 ) .
(II.80)
Dari persamaan kekekalan energi, evolusi dari rapat energi digambarkan oleh persamaan kontinuitas
a a
ρ + 3 ( ρ + P) = 0 .
(II.81)
Jika persamaan keadaan dari fluida ideal dinyatakan oleh
P = ωρ ,
(II.82)
dengan ω adalah konstan, maka persamaan (II.81) menjadi
d ⎡⎣ ρ a 3(1+ω ) ⎤⎦ = 0 . dt
(II.83)
Solusi persamaan ini adalah ⎛a⎞ ρ = ρ0 ⎜ ⎟ ⎝ a0 ⎠
−3(1+ ω )
.
(II.84)
Komponen waktu tensor Ricci (II.76) adalah
Rtt = 4π G ( ρ + 3P ) .
(II.85)
Sedangan dari metrik (II.48) diperoleh
a Rtt = −3 . a
(II.86)
Persamaan-persamaan (II.85) dan (II.86) menghasilkan persamaan Friedmann
a 4π G =− ( ρ + 3P ) . a 3
(II.87)
Untuk setiap jenis materi yang memiliki persamaan keadaan (II.82), ruas kanan persamaan (II.87) selalu negatif. Dari observasi, alam semesta adalah mengembang saat ini, yang berarti bahwa turunan kedua dari faktor skala harus positif dan memenuhi ketidaksamaan ρ + 3P < 0 . Bentuk materi yang memiliki persamaan keadaan ω < −1/ 3 adalah relevan untuk menjelaskan hal ini.
42
Sifat isotropik dari alam semesta dapat ditinjau dari komponen θθ tensor Ricci, Rθθ = ( aa + 2a 2 + 2k )r 2 .
(II.88)
Komponen spasial persamaan (II.76) adalah Rij = 4π G ( ρ − P ) hij .
(II.89)
Sehingga komponen θθ tensor Ricci diberikan oleh
Rθθ = 4π G ( ρ − P ) a 2 r 2 .
(II.90)
Maka persamaan-persamaan (II.88) dan (II.90) menghasilkan k ⎛ a ⎞ 8π G ρ− 2. ⎜ ⎟ = 3 a ⎝a⎠ 2
(II.91)
Jika konstanta kosmologi ada pada persamaan medan Einstein persamaan Friedmann menjadi
a 4π G Λ =− ( ρ + 3P ) + , a 3 3 H2 =
8π G k Λ ρ− 2 + . a 3 3
(II.92) (II.93)
Parameter Hubble didefinisikan oleh H ≡ a / a . Dengan mengabaikan nilai yang cukup kecil k / a 2 H 2 (sesuai dengan observasi bahwa alam semesta mendekati geometri datar, Bennett, dkk., 2003) dan juga mengabaikan konstanta kosmologi, maka persamaan Friedmann memiliki solusi 2
⎛ t ⎞ 3(1+ω ) a = a0 ⎜ ⎟ , ⎝ t0 ⎠
(II.94)
Persamaan-persamaan (II.92) – (II.94) adalah persamaan Friedmann yang menggambarkan dinamika kosmologi FRW. Oleh identitas Bianchi, Persamaanpersamaan (II.92) – (II.94) adalah tidak bebas, misalnya persamaan (II.92) dapat diperoleh dari persamaan (II.93) dan (II.94). Secara umum, persamaan (II.92) adalah persamaan dinamika untuk faktor skala a(t), sedangkan persamaan (II.93) merupakan persamaan kendala yang digunakan untuk menentukan konstanta integrasi.
II.6.2 Kosmologi 5-dimensi: Hasil Randall-Sundrum Braneworld
43
Tinjau sebuah model satu buah brane (RS II) yang dimasukkan dalam ruangwaktu 5-dimensi. Kosmologi homogen dan isotropik pada brane diberikan oleh metrik Friedmann-Robertson-Walker ds 2 = −dt 2 + a02 (t )γ ij dxi dx j ,
(II.95)
di mana γ ij adalah ruang 3-dimensi simetrik maksimal
γ ij dxi dx j =
1 dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 . 2 1 − kr
(II.96)
Sedangkan a0 (t ) adalah faktor skala pada brane dan t adalah waktu proper pada brane. Metrik didekat brane dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Gaussian di
mana brane ditempatkan di y = 0, ds 2 = g ab dx a dx b = g μν dx μ dxν + dy 2 , = −n 2 (t , y )dt 2 + a 2 (t , y )γ ij dx i dx j + b 2 (t , y )dy 2
(II.97)
Metrik (II.97) adalah konsisten menggambarkan kosmologi homogen dan isotropik pada brane. a(t , y = 0) = a0 (t ) adalah faktor skala brane dan
n(t , y = 0) = 1 jika t adalah waktu proper pada brane. b(t , y) = 1 dapat dipenuhi dengan mendefinisikan koordinat dimensi ekstra yang baru.
Persamaan Einstein 5-dimensi adalah Gab = κ 2Tab ,
a, b = 0,...,3,5 .
(II.98)
Tensor energi-momentum 5-dimensi terkomposisi oleh tensor energi-momentum bulk dan tensor energi-momentum brane, Tab = Tab bulk + Tab brane ,
(II.99)
Λ5
(II.100)
dengan bagian bulk,
Tab bulk = −
κ2
g ab ,
yaitu hanya ada kontanta kosmologi. Dan bagian brane adalah
Tab
brane
=
δ ( y) b
diag ( − ρ − σ , P − σ , P − σ , P − σ , 0 ) ,
(II.101)
Dalam sistem koordinat (II.97), komponen-komponen persamaan Einstein yang tidak nol diberikan oleh:
44
⎧⎪ a ⎛ a b ⎞ n 2 ⎛ a '' a ' ⎛ a ' b ' ⎞ ⎞ n 2 ⎫⎪ G00 = 3 ⎨ ⎜ + ⎟ − 2 ⎜ + ⎜ − ⎟ ⎟ + k 2 ⎬ , a ⎭⎪ ⎩⎪ a ⎝ a b ⎠ b ⎝ a a ⎝ a b ⎠ ⎠ Gij =
a2 ⎧ a ⎛ a n⎞ a b⎛ a − + 2 ⎟ − 2 + ⎜ −2 + 2 ⎨ ⎜ n ⎩a ⎝ a n⎠ a b⎝ a
(II.102)
n⎞ b⎫ ⎟ − ⎬ηij n⎠ b⎭
a2 ⎧ a ' ⎛ a ' n' ⎞ b'⎛ n' a' ⎞ a '' n '' ⎫ + 2 ⎨ ⎜ + 2 ⎟ − ⎜ + 2 ⎟ + 2 + ⎬ηij − kηij b ⎩a ⎝ a n⎠ b⎝n a⎠ a n⎭
(II.103)
⎛ a n' b a' a' ⎞ + − ⎟, G05 = 3 ⎜ ⎝a n b a a ⎠
(II.104)
⎧ b2 ⎛ a ⎛ a n ⎞ a ⎞ a ' ⎛ a ' n ' ⎞ b2 ⎫ G55 = 3 ⎨− 2 ⎜ ⎜ − ⎟ + ⎟ + ⎜ + ⎟ − k 2 ⎬ . a ⎭ ⎩ n ⎝a⎝a n⎠ a⎠ a ⎝ a n ⎠
(II.105)
Di dalam persamaan-persamaan di atas, sebuah titik menyatakan turunan terhadap waktu proper t dan aksen menyatakan turunan terhadap koordinat ke-5, y. Diperlukan sebuah syarat junction untuk memperoleh solusi kosmologi pada brane akibat dari ketidakontinuan persamaan Einstein 5-dimensi oleh keberadan brane. Jika diasumsikan tidak ada fluks materi ke dalam dimensi ekstra 2}, T05 = 0 ,
persamaan (II.104) menghasilkan a n' b a' a' + − = 0, a n ba a
Persamaan-persamaan
Einstein
(II.106)
dapat
dibuat
lebih
sederhana
dengan
mendefinisikan sebuah fungsi (Binetruy, dkk., 2000),
(a 'a) F (t , y ) = b
2
2
( aa ) − n
2
2
− ka 2 .
(II.107)
Dengan memanfaatkan persamaan-persamaan (II.101) dan (II.106), turunan terhadap y dari fungsi (II.107) adalah
F'=
2a ' a 3 2 0 κ T0 bulk . 3
(II.108)
Sedangkan turunan terhadap waktu diberikan oleh
F=
2}
2aa 3 2 5 κ T5 bulk . 3
(II.83)
Tetadris (2003) memperoleh solusi kosmologi oleh adanya fluks energi yang masuk (influx) dari bulk ke brane dan menghasilkan ekspansi yang dipercepat yang bergantung pada persamaan keadaan dari materi pada brane.
45
Sehingga
F=
2κ 2 0 a4Λ 3 +C , T0 a ' a dy = − bulk ∫ 3 6
(II.109)
dengan C adalah konstanta integrasi. Konstanta integrasi ini dapat pula diperoleh dari tensor Weyl 5-dimensi yang terproyeksi pada brane (Ida, 2000). Suku ini dinamakan dengan suku radiasi gelap. Collins dan Holdom (2000) serta Barcelo dan Visser (2000) telah menunjukkan bahwa C berhubungan dengan massa lobang hitam dalam ruang-waktu Schwarchild- Anti deSitter (S-AdS).
Persamaan (II.109) bersama-sama dengan persamaan (II.107) menghasilkan 2
2
k Λ C ⎛ a ⎞ ⎛ a' ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − 2 + + 4 . 6 a ⎝ an ⎠ ⎝ ab ⎠ a
(II.110)
Ketidakkontinuan pada brane menghasilkan syarat junction sebagai berikut K μν = −
κ2 ⎛
1 ⎞ ⎜ Tμν − hμν T ⎟ . 2 ⎝ 3 ⎠
(II.111)
Komponen-komponen tensor kurvatur ekstrinsik dapat pula diperoleh dari metrik, ⎛ n' a' a' a' ⎞ K νμ = diag ⎜ , , , ⎟ . ⎝n a a a⎠
(II.112)
Dengan menggunakan persamaan (II.111), kemudian diperoleh syarat junction
[ a '] a
=− y =0
κ2 3
T00
brane
[ n ']
,
n
=− y =0
(T 3
κ2
i i brane
− 2 T00
brane
).
(II.113)
Jika brane memiliki simetri Z2,
a( y) = −a(− y),
a '( y) = −a '(− y ) ,
(II.114)
n( y) = −n(− y),
n '( y) = −n '(− y ) ,
(II.115)
persamaan (II.113) menjadi a' κ2 = − (σ + ρ ) , a y =0 6
n' κ2 = − (σ − 3 P − 2 ρ ) . n y =0 6
(II.116)
Dengan menyisipkan kondisi ini ke persamaan (II.105) diperoleh hukum kekekalan untuk fluida pada brane
ρ +3
a ( ρ + P) = 0 . a
46
(II.117)
Persamaan ini dapat juga diturunkan secara langsung dari identitas Bianchi. Dengan mengambil b = 1, persamaan (II.110) menghasilkan persamaan Friedmaan pada brane
κ 42 ⎛ ρ ⎞ k Λ C H = ρ ⎜1 + ⎟− + + , 3 ⎝ 2σ ⎠ a 2 6 a 4 2
(II.118)
di mana konstanta kosmologi 4-dimensi pada brane didefinisikan oleh
Λ4 =
1 Λ + κ 42σ ) , ( 2
(II.119)
dan konstanta kopling garvitasional 4-dimensi didefinisikan oleh
κ4
κ 42 = 8π G =
6
σ.
(II.120)
Suku pertama pada ruas kanan persamaan (II.118) adalah suku linear di dalam persamaan Friedmann standar (II.65) dan suku ini adalah relevan pada energienergi rendah ketika tegangan brane jauh lebih besar dari rapat energi pada brane,
σ >> ρ . Tetapi pada energi tinggi σ << ρ suku kuadratik menjadi dominan ( H ∝ ρ ) dan mengubah dinamika kosmologi standar di mana H ∝ ρ 1/ 2 . Suku terakhir adalah suku yang mencirikan akibat pengaruh dari bulk. Dengan mengambil C = 0, evolusi dari faktor skala pada brane adalah 1
a ∝ t 3(1+ω ) ,
(II.121)
yaitu evolusi lebih lambat dibandingkan dengan kasus standar
a∝t
2 3(1+ ω )
,
(II.122)
Persamaan Friedmann yang kedua dapat diperoleh dari persamaan (II.118) dan (II.117), H =−
κ 42 2
( ρ + P ) ⎛⎜1 + ⎝
ρ 2σ
C ⎞ k ⎟+ 2 −2 4 . a ⎠ a
(II.123)
ρ ⎞ k C ⎟+ 2 −2 4 . a 2σ ⎠ a
(II.99)
Atau H =−
κ 42 2
⎛ ⎝
ρ (1 + ω ) ⎜1 +
Ungkapan persamaan-persamaan Friedman dalam model Randall-Sundrum memodifikasi prediksi nukleosintesa primodial oleh keberadaan suku kuadratik
47
rapat energi dan suku radiasi gelap (Langlois, dkk., 2001, Barrow and Maartens, 2002; Ichiki, dkk., 2002, Bratt, dkk., 2002),
⎛ ρ* ⎞ ⎜ ⎟ << 0.03, ⎝ ρ rad ⎠nuc
ρ* ≡
3C . κ 42 a 4
(II.124)
Sehingga untuk alam semesta yang didominasi oleh radiasi materi ρ rad >> ρ * suku radiasi gelap dapat diabaikan.
II.7
Rangkuman
Pada bab ini telah dibahas ide-ide dari dimensi ekstra dan model braneworld serta aspek
kosmologinya.
Teori
Kaluza-Klein
serta
perkembangan
teori
superstrings/M menuju ke sebuah ide bahwa alam semesta dapat berupa sebuah 3-brane dalam ruang-waktu dimensi tinggi. Model braneworld yang popular, model Randall-Sundrum, memberikan sebuah konsep baru tentang alam semesta, yaitu alam semesta dapat berupa 3-brane yang berada dalam ruang waktu AdS 5dimensi. Geometri lengkung dalam model ini dapat melokalisasi partikel-partikel model standar di dalam brane. Selain masalah hirarki dapat dijelaskan, aspek kosmologi model Randall-Sundrum mengubah persamaan dinamika oleh dua kontribusi: suku kuadratik dalam rapat energi dan suku radiasi gelap. Suku radiasi gelap hanya dapat ditentukan melalui solusi persamaan-persamaan medan bulk. Akibatnya persamaan-persamaan Friedmann menjadi tidak tertutup, yaitu masih ditentukan oleh geometri bulk dan ini sulit untuk dilakukan kecuali hanya dengan mengambil kasus-kasus khusus seperti mengabaikan keberadaan tensor Weyl 5dimensi. Selain itu, dalam model RS I (model dua buah brane) kedua brane adalah statik. Sesuai dengan ide braneworld bahwa gravitasi dapat berpropagasi dalam seluruh ruang-waktu. Ini berarti bahwa jika propagasi gravitasi mempengaruhi materi-materi yang terlokalisasi pada brane maka brane dapat berfluktuasi, sebaliknya fluktuasinya akan mempengaruhi geometri dari bulk dan materi-materi brane yang lain. Sehingga tidak dapat dijamin bahwa kedua brane tetap pada kedudukannya dan statik.
Dalam disertasi ini, permasalahan tersebut dapat dipecahkan melalui sebuah metode ekspansi gradien, yakni dengan mengekspansi metrik 5-dimensi dalam
48
deret perturbasi. Parameter perturbasi didefinisikan pada limit energi rendah dengan mengambil perbandingan antara kuadrat skala kelengkungan bulk dan skala kelengkungan brane sangat kecil. Selanjutnya setiap tensor dapat diekspansi untuk masing-masing orde perturbasi. Keberadaan tensor Weyl sebagai efek dari dimensi ekstra muncul secara aljabar dan dapat dieleminasi melalui persamaanpersamaan dinamika yang diperoleh. Dengan demikian keberadaan tensor Weyl dan interpretasi fisisnya dapat dipahami secara jelas. Kemudian, keberadaan medan skalar 4-dimensi yaitu radion sebagai hasil ekspansi orde-1, menjamin bahwa brane yang berada di dalam bulk adalah dinamik. Fluktuasi radion menentukan jarak antara brane.
49
