MEKANISME PERUSAKAN SIMETRI DENGAN DIMENSI EKSTRA
SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Fisika
Muhandis Shiddiq 0305027041
Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan ALam Universitas Indonesia Depok 2008
Lembar Persetujuan
Nama
:
Muhandis Shiddiq
NPM
:
0305027041
Departemen
:
Fisika
Peminatan
:
Fisika Nuklir dan Partikel
Tanggal Sidang :
5 Desember 2008
Judul Skripsi
Mekanisme Perusakan Simetri dengan Dimensi Ekstra
:
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko
Dr. Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Agus Salam
Dr. Anto Sulaksono
Ketua Departemen Fisika
Dr. Santoso Soekirno
Kata Pengantar Perusakan simetri dalam teori model standar dihasilkan dengan memperkenalkan medan partikel Higgs sehingga partikel dapat memperoleh massa. Salah satu kesulitan dalam teori tersebut adalah partikel Higgs belum ditemukan sampai saat ini. Eksperimen penting untuk menemukan keberadaan (ketidakberadaan) partikel Higgs baru dimulai pada tahun 2008 (tahun penulisan skripsi ini). Untuk mengantisipasi tidak ditemukannya partikel Higgs, telah diusulkan beberapa mekanisme alternatif untuk perusakan simetri. Salah satu metode alternatif tersebut adalah perusakan simetri dengan menggunakan dimensi ekstra. Secara umum, metode ini dilakukan dengan membuat Lagrangian yang invarian terhadap simetri di dunia dengan dimensi ekstra. Lagrangian empat dimensi diperoleh dengan mengintegralkan Lagrangian sebelumnya terhadap koordinat dimensi ekstra. Lagrangian empat dimensi ini akan menghasilkan suku-suku yang merusak simetri. Skripsi ini mengkaji mekanisme perusakan simetri dengan dimensi ekstra untuk menghasilkan massa boson gauge electroweak. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian skripsi ini baik secara langsung maupun tidak langsung, antara lain: • Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ideide, dukungan dan saran yang diberikan. • Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini. iii
• Dr. Agus Salam dan Dr. Anto Sulaksono selaku penguji I dan II atas diskusi dalam penyelesaian tugas akhir ini. • Orang tua dan adik-adik penulis atas semua dukungan yang diberikan. • Rekan-rekan di Laboratorium Fisika Nuklir dan Partikel: Ryky Nelson, Pak Ayung, Pak Andreas, Pak Sulaiman, Sandi Wibowo, Andrias Fajaruddin, dan Fathia R. Syahroni. Terimakasih khusus penulis ucapkan untuk tiga orang terakhir untuk kesediaannya mendengarkan pertanyaan-pertanyaan ’aneh’ dari penulis. • Teman-teman fisika angkatan 2005. • Juga semua pihak yang tidak dapat disebutkan di sini atas dukungan dan doa kepada penulis selama penyelesaian tugas akhir ini. Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang membangun dari para pembaca.
Depok, November 2008 Muhandis Shiddiq
iv
Abstrak Dikaji pemakaian model dimensi ekstra untuk pada perusakan simetri untuk menghasilkan massa boson electroweak tanpa memakai mekanisme Higgs. Model ini memperluas dimensi fisika 4 dimensi dengan satu dan tiga dimensi ekstra. Ditunjukkan bahwa model dengan satu dimensi ekstra tidak bisa mereproduksi spektrum massa boson electroweak. Spektrum massa bisa dijelaskan dengan model tiga dimensi ekstra dengan geometri berbentuk balok dengan ukuran rusuk L5 = ∞, L6 = (1, 09664 ± 0.00002) × 10−2 GeV −1 , dan L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2 GeV −1 . Kata kunci: dimensi ekstra, massa boson gauge electroweak. viii+31 hlm.; lamp. Daftar Acuan: 17 (1961-2004)
Abstract The symmetry breaking to reproduce masses of the electroweak gauge bosons through extra dimension instead of using the conventional Higgs mechanism is discussed. The model extends the 4-dimensional physics to one and three extra dimension(s). It is shown that the model with one extra dimension cannot reproduce the mass spectrums of electroweak gauge boson. The mass spectrums can be reproduced in the model with three extra dimensions with the geometry of rectangular parallelepiped shape with sides L5 = ∞, L6 = (1, 09664 ± 0.00002) × 10−2 GeV −1 , and L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2 GeV −1 . Keywords: extra dimensions, electroweak gauge boson masses. viii+31 pp.; appendices. References: 17 (1961-2004)
v
Daftar Isi Kata Pengantar
iii
Abstrak
v
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
viii
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Model Standar 2.1
2.2
2.3
4
Teori Medan Kuantum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Formulasi Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Keinvarianan Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Perusakan Simetri dan Mekanisme Higgs . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
Perusakan Spontan Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Perusakan Spontan Simetri Gauge Global . . . . . . . . . .
10
2.2.3
Mekanisme Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS) . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.1
14
Massa Boson Gauge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Dimensi Ekstra 3.1
17
Dekomposisi Kaluza-Klein di Lima Dimensi . . . . . . . . . . . . vi
19
3.2
Medan Gauge di Teori Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Hasil dan Pembahasan 4.1
24
Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak dengan Satu Dimensi Ekstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
21
24
Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak dengan Tiga Dimensi Ekstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2.1
Dimensi Ekstra Berbentuk Bola . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2.2
Dimensi Ekstra Berbentuk Silinder . . . . . . . . . . . . .
27
4.2.3
Dimensi Ekstra Berbentuk Kubus . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.4
Dimensi Ekstra Berbentuk Balok . . . . . . . . . . . . . .
29
5 Kesimpulan dan Saran
33
A Notasi
34
Daftar Acuan
35
vii
Daftar Gambar 2.1
Potensial V (ϕ) = 12 µ2 ϕ2 + 14 λϕ4 untuk (a) µ2 > 0 dan (b) µ2 < 0, dan λ > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
9
2
Potensial V (ϕ) untuk medan skalar kompleks untuk kasus µ < 0, dan λ > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.1
Dimensi ekstra berbentuk bola dengan koordinat r, θ, dan ϕ. . . .
27
4.2
Dimensi ekstra berbentuk silinder dengan koordinat r, z, dan θ. .
28
4.3
Dimensi ekstra berbentuk kubus dengan rusuk L. . . . . . . . . .
28
4.4
Dimensi ekstra berbentuk balok dengan rusuk-rusuk L5 , L6 , dan L7 . 29
4.5
Grafik L6 terhadap L7 . Daerah yang diarsir menunjukkan nilai L6 dan L7 yang mungkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
32
Bab 1 Pendahuluan 1.1
Latar Belakang
Simetri merupakan salah satu prinsip dasar dalam memahami alam. Prinsip Simetri telah menjadi salah satu alat paling berguna untuk membangun pemahaman dalam fisika teoritis dewasa ini. Berikut beberapa contoh pemakaian simetri. Kerangka teoritis yang menyediakan basis dari deskripsi alam pada energi tinggi adalah teori medan kuantum (Quantum Field Theory / QFT). Model standar (Standard Model / SM) adalah teori medan kuantum yang mendeskripsikan, dengan presisisi yang luar biasa, interaksi non-gravitasi antara partikel fundamental: interaksi kuat dan electroweak. Petunjuk dasar untuk menurunkan SM dari hasil eksperimen adalah prinsip simetri. Selanjutnya, bahan dasar untuk teori medan kuantum yang konsisten adalah: prinsip simetri, mekanika kuantum, dan prinsip dekomposisi kluster [1]. Teori gravitasi, yang dideskripsikan oleh relativitas umum, adalah salah satu contoh paling indah dari penerapan prinsip simetri. Contoh lainnya adalah formulasi Hamiltonian Mekanika klasik dan penyatuan kelistrikan dan magnetisme klasik juga berdasarkan simetri. Jadi, simetri memainkan peran yang penting sebagai penunjuk untuk membangun pengetahuan tentang hukum alam fundamental. Namun, ada banyak simetri yang hanya terjaga sebagian di alam. Sebagai contoh yaitu ferromagnet Heisenberg, susunan interaksi dipol magnet berspin 12 . Walaupun Hamiltonian untuk sistem ini invarian secara rotasi, keadaan dasarnya terarahkan ke orientasi tertentu sehingga merusak simetri awal. Berkaitan dengan fisika partikel, contoh 1
yang biasa adalah simetri chiral yang, walaupun rusak oleh massa quark, menyediakan salah satu model fenomologis hadron yang pertamakali sukses. Contoh lainnya yang juga penting adalah simetri electroweak di SM yang rusak secara spontan. Daftar ini dapat berlanjut terus, tapi yang perlu ditekankan di sini adalah perusakan simetri sama pentingnya dengan simetri itu sendiri. Secara umum, simetri mengimplikasikan hubungan antara besaran-besaran fisika, sehingga perusakan simetri bukanlah pekerjaan mudah jika seseorang juga ingin tetap menjaga sifat-sifat yang timbul dari hubungan simetri. Salah satu masalah dalam perusakan simetri adalah bahwa tidaklah natural untuk menerapkan simetri yang berbeda pada bagian-bagian yang berbeda dari suatu teori. Efek kuantum secara umum akan menginduksi suku-suku perusakan divergen, merusak sifat-sifat yang diperoleh dari keivarianan semula. Banyak penelitian dewasa ini yang langsung berhubungan dengan studi dan pemahaman terhadap subjek ini. Skripsi ini ditulis untuk alasan-alasan tersebut. Tulisan ini akan mengkaji perusakan simetri di fisika partikel, khususnya dalam teori electroweak. Dalam skripsi ini akan dikaji kemungkinan perusakan simetri dengan dimensi ekstra. Motivasi utama studi ini adalah karena fisika dimensi ekstra menyediakan mekanisme baru dalam perusakan simetri. Mekanisme perusakan simetri yang standar di teori electroweak adalah melalui mekanisme Higgs. Namun, partikel Higgs yang menjadi syarat utama dalam mekanisme Higgs ini sampai sekarang belum ditemukan. Eksperimen untuk mencari keberadaan (ketidakberadaan) partikel Higgs baru dimulai tahun 2008 (tahun penulisan skripsi ini) dengan memakai Large Hadron Collider (LHC) di CERN, Eropa. Salah satu kandidat alternatif model perusakan simetri tanpa boson Higgs adalah model dengan perusakan simetri yang diinduksi oleh efek dimensi ekstra. Efek dimensi ekstra ini muncul akibat proses kompaktifikasi untuk membuat teori kembali menjadi teori empat dimensi seperti yang dikenal selama ini.
2
1.2
Perumusan masalah
Pendekatan alternatif dalam perusakan simetri melalui penggunaan dimensi ekstra dipelajari. Dalam skripsi hanya diteliti masalah perusakan simetri untuk mereproduksi massa boson gauge electroweak. Dimensi ekstra yang digunakan adalah satu dan tiga dimensi ekstra.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Teori electroweak yang diperkenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam [2,3,4] mempunyai kesulitan besar apabila partikel Higgs tidak ditemukan. Hal ini menyebabkan perusakan simetri yang menyebabkan partikel mempunyai massa tidak akan terjadi. Sehingga dibutuhkan teori-teori baru diluar SM yang dapat menjelaskan perusakan simetri tanpa partikel Higgs. Dalam hal ini penulis menggunakan model dimensi ekstra dengan satu dan tiga dimensi ekstra. Model dimensi ekstra dalam skripsi ini dikembangkan dari teori Kaluza-Klein [5,6] di lima dimensi.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang mekanisme perusakan simetri di model standar untuk menghasilkan massa boson gauge electroweak dengan menggunakan dimensi ekstra.
3
Bab 2 Model Standar Hingga saat ini telah diketahui bahwa partikel dasar di alam semesta ini terbagi menjadi dua macam, yaitu fermion dan boson. Fermion yang menjadi partikel dasar penyusun materi terbagi menjadi dua grup: quark dan lepton. Quark berinteraksi melalui gaya elektromagnetik, gaya kuat, dan gaya lemah. Lepton berinteraksi melalui gaya elektromagnetik dan gaya lemah. Quark dikatakan memiliki enam buah flavor, mereka adalah up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t), dan bottom (b). Lepton dikatakan memiliki tiga buah tipe, yaitu elektron (e) dan neutrinonya (νe ), muon (µ) dan neutrinonya (νµ ), serta tau (τ ) dan neutrinonya (ντ ). Sedangkan boson yang menjadi partikel mediasi interaksiinteraksi dasar terdiri dari: gluon yang menjadi mediasi dalam interaksi kuat, foton yang menjadi mediasi dalam interaksi elektromagnetik, boson W dan Z yang menjadi mediasi dalam interaksi lemah, serta graviton yang menjadi mediasi dalam interaksi gravitasi (jika memang benar gravitasi terkuantisasi). Sedangkan terdapat empat buah interaksi yang terjadi di alam semesta, keempat buah interaksi tersebut adalah interaksi kuat, interaksi elektromagnetik, interaksi lemah, dan interaksi gravitasi. Diantara keempat buah interaksi ini, interaksi elektromagnetik yang pertamakali dapat dimengerti dan dijelaskan dengan sangat baik oleh teori elektrodinamika kuantum (Quantum ElectroDynamics / QED), kemudian dibuat sebuah teori yang dapat menjelaskan interaksi kuat yang modelnya diambil dari teori QED yang diberi nama teori kromodinamika quantum (Quantum ChromoDynamics / QCD), walaupun perhitungan secara analitiknya sangat rumit (sehingga sering digunakan metode numerik) te-
4
tapi teori ini cukup baik dalam menjelaskan fenomena interaksi kuat. Setelah itu S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam mencoba menjelaskan fenomena interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah dengan sebuah teori yang disebut teori Electroweak atau sering juga disebut dengan teori Glashow-Weinberg-Salam, walaupun tidak sebaik QED namun teori ini dapat menjelaskan fenomena interaksi lemah dengan cukup baik. QCD bersama dengan teori electroweak tergabung menjadi teori model standar (SM), sedangkan fenomena interaksi gravitasi yang dijelaskan oleh relativitas umum belum dapat dimasukkan ke dalam kerangka model standar ini. SM inilah yang menjadi kerangka dasar untuk menjelaskan semua fenomena interaksi fisika kecuali gravitasi.
2.1
Teori Medan Kuantum
Teori medan kuantum merupakan penyatuan antara relativitas khusus dan mekanika kuantum. Teori ini membentuk kerangka model standar dalam fisika partikel. Formulasi matematika yang menjadi landasan dalam teori medan kuantum adalah formulasi Lagrangian.
2.1.1
Formulasi Lagrangian
Jika medan ϕ(x) mempunyai energi kinetik T dan potensial V, maka Lagrangiannya adalah L = T − V.
(2.1)
Pada kasus kontinyu sebenarnya kita bekerja dengan densitas Lagrangian L L=T −V =
∫
d3 x L.
(2.2)
Jika kita mengintegrasikan Lagrangian terhadap waktu, kita mendapatkan kuantitas baru yang disebut aksi S
∫
S=
dtL.
(2.3)
Aksi merupakan fungsional karena aksi selalu mengambil fungsi sebagai argumen dan menghasilkan sebuah bilangan. Partikel selalu mengambil lintasan dengan aksi terkecil. Untuk menemukan lintasan, maka variasi dari aksi harus diminimalkan. Hal ini dilakukan dengan menggambarkan aksi sebagai suku minimum 5
dan sebuah suku variasi. S −→ S + δS.
(2.4)
dengan aksi minimum memenuhi syarat δS = 0.
(2.5)
Pada teori medan kuantum, karena yang dipakai adalah densitas lagrangian, maka persamaan untuk aksi akan menjadi ∫
S=
d4 x L.
(2.6)
Dalam teori medan kuantum densitas Lagrangian L sering disebut Lagrangian itu sendiri. Berikut merupakan contoh Lagrangian untuk partikel skalar 1 1 L = (∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − m2 ϕ2 . 2 2
(2.7)
Suku pertama merupakan suku energi kinetik (mengandung (∂ϕ)2 ) dan suku kedua merupakan suku massa (mengandung ϕ2 ). Dalam teori medan kuantum dipelajari bahwa setiap teori yang dibangun berdasarkan suatu simetri tertentu maka teori tersebut haruslah invarian terhadap transformasi gauge global dan lokal dari simetri yang dibangun. Jika teori tersebut invarian maka besaran-besaran fisis yang dihasilkan, nilainya tidak bergantung pada kerangka acuan inersia dimana besaran tersebut diukur. Pernyataan di atas berimplikasi bahwa Lagrangian yang dibuat dalam suatu teori haruslah invarian terhadap simetri tertentu.
2.1.2
Keinvarianan Gauge
Transformasi gauge global berbentuk ψ → eiθ ψ,
(2.8)
dengan θ adalah konstan. Sedangkan gauge lokal berbentuk ψ → eiα(x) ψ, 6
(2.9)
dengan α(x) merupakan fungsi ruang dan waktu. Untuk melihat keinvarianan suatu Lagrangian terhadap kedua transformasi di atas, perhatikan lagrangian berikut ini L = iψγ µ ∂µ ψ − mψψ,
(2.10)
Lagrangian di atas merupakan Lagrangian persamaan Dirac untuk partikel berspin 12 . Jelas terlihat bahwa Lagrangian di atas invarian terhadap transformasi global tetapi tidak untuk transformasi lokal. Suku pertama Lagrangian tersebut tidak invarian terhadap gauge lokal di atas. Untuk membuat Lagrangian di atas invarian maka derivative ∂µ dimodifikasi menjadi Dµ ≡ ∂µ − ieAµ ,
(2.11)
1 Aµ → Aµ + ∂µ α. e
(2.12)
dengan transformasi Aµ adalah
Sehingga Lagrangian (2.10) akan berbentuk: L = iψγ µ Dµ ψ − mψψ = ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ + eψγ µ ψAµ .
(2.13)
Jadi, dengan adanya syarat keinvarianan gauge lokal, dibuat medan vektor Aµ yang disebut medan gauge. Medan ini terkopel dengan partikel Dirac (ψ). Secara fisis medan gauge ini merupakan medan foton. Karena medan ini merupakan medan foton, maka kita perlu menambahkan suku kinetik medan foton pada lagrangian (2.13). Karena suku kinetik harus invarian terhadap transformasi gauge, suku tersebut hanya dapat terdiri dari gauge invariant field strength tensor Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(2.14)
Sehingga Lagrangian lengkapnya adalah 1 L = ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ + eψγ µ ψAµ − Fµν F µν . 4
(2.15)
Lagrangian ini adalah Lagrangian QED. Perhatikan bahwa penambahan suku massa medan gauge 12 m2 Aµ Aµ adalah terlarang oleh syarat keinvarianan gauge. 7
Sehingga foton, sebagai partikel gauge, tidak bermassa. Foton yang tidak bermassa ini sesuai dengan kenyataan bahwa medan elektromagnetik mempunyai jangkauan yang tidak terbatas.
2.2
Perusakan Simetri dan Mekanisme Higgs
Telah ditunjukkan pada bagian sebelumnya bahwa foton harus tidak bermassa karena keberadaan suku massa medan foton ( 12 m2 Aµ Aµ ) akan membuat Lagrangian tidak memenuhi keinvarianan gauge. Tetapi, hal ini tidak dapat diterapkan pada interaksi lemah karena partikel mediasinya (W ± , Z) harus bermassa menurut hasil eksperimen. Sehingga, harus ditambahkan suku yang akan membangkitkan massa dalam Lagrangian. Bagian berikut akan menjelaskan prosedur tersebut.
2.2.1
Perusakan Spontan Simetri
Perhatikan Lagrangian 1 1 1 L ≡ T − V = (∂ϕ)2 − ( µ2 ϕ2 + λϕ4 ), (2.16) 2 2 4 dengan λ > 0. Di sini, Lagrangian invarian terhadap transformasi ϕ menjadi −ϕ. Dua kemungkinan bentuk potensial ditunjukkan pada Gambar 2.1. Kasus (a) untuk µ2 > 0 mendeskripsikan medan skalar dengan massa µ. Suku ϕ4 merepresentasikan interaksi-sendiri dari medan dengan kopling λ. Keadaan dasar (vakum) adalah λ = 0. Keadaan ini mematuhi simetri refleksi dari Lagrangian. Kasus (b) dengan µ2 < 0 merupakan kasus yang menarik. Sekarang, Lagrangian (2.16) mempunyai suku massa dengan tanda yang salah untuk medan ϕ, karena tanda relatif suku ϕ2 dengan energi kinetik T adalah positif (seharusnya negatif). Tidak seperti kasus (a), dalam kasus (b) potensial mempunyai dua nilai minimum. Nilai-nilai minimum ini memenuhi ∂V = ϕ(µ2 + λϕ2 ) = 0 ∂ϕ dan terletak pada √
ϕ = ±ν dengan ν =
(2.17)
−µ2 λ (2.18)
8
Gambar 2.1: Potensial V (ϕ) = 21 µ2 ϕ2 + 14 λϕ4 untuk (a) µ2 > 0 dan (b) µ2 < 0, dan λ > 0. Nilai ekstrim ϕ = 0 bukanlah keadaan dengan energi minimum. ϕ = 0 merupakan keadaan tidak stabil (lihat Gambar 2.1), keadaan tersebut dapat bergeser ke salah satu dari dua keadaan minimum lainnya, dimana ϕ = +ν atau ϕ = −ν, yang merupakan keadaan dasar sebenarnya. Namun, memilih satu dari keadaan ini akan merusak simetri. Dalam kasus Lagrangian (2.16), diketahui bahwa minimum sebenarnya pada ϕ = ±ν. Titik ϕ = 0 tidak stabil, maka ekspansi perturbasi terhadap titik ini tidak konvergen. Sehingga, ekspansi perturbasi harus dilakukan terhadap ϕ = +ν atau ϕ = −ν. Keadaan ϕ(x) dapat ditulis ϕ(x) = ν + η(x),
(2.19)
dengan η(x) merepresentasikan fluktuasi kuantum terhadap minimum. Dalam hal ini, telah dipilih ϕ = +ν, tetapi generalitas tidak hilang dalam kasus ini karena ϕ = −ν selalu dapat dihasilkan dari simetri refleksi. Subtitusi (2.19) ke dalam Lagrangian (2.16), didapat 1 1 L′ = (∂η)2 − λν 2 η 2 − λνη 3 + λη 4 + const. 2 4
(2.20)
Medan η mempunyai suku massa dengan tanda yang benar karena tanda relatif suku η 2 dengan energi kinetik adalah negatif. Bandingkan dua suku pertama dengan Lagrangian (2.7), didapat mη =
√
√
2λν 2 9
=
−2µ2 .
(2.21)
Suku η dengan pangkat yang lebih tinggi merepresentasikan interaksi-sendiri medan η. Ada kebingungan di sini. Lagrangian L pers.(2.16) dan L′ pers.(2.20) adalah ekuivalen. Transformasi (2.19) tidak mungkin merubah hal yang fisis. Jika dua Lagrangian tersebut dapat diselesaikan dengan tepat, mereka harus menghasilkan fisika yang identik. Tetapi dalam fisika partikel, perhitungan secara tepat sulit dilakukan, sebagai gantinya dipakai teori perturbasi dan menghitung fluktuasi di sekitar energi minimum. Jika L digunakan, deret perturbasi tidak akan konvergen karena ekspansi dilakukan di sekitar titik yang tidak stabil ϕ = 0. Sehingga digunakan L′ dan ekspansi dilakukan dalam η di sekitar titik stabil ϕ = +ν. Dalam teori perturbasi, L′ memberikan gambaran fisika yang benar, sedangkan L tidak. Jadi, partikel skalar (yang dideskripsikan oleh Lagrangian L dan L′ yang ekuivalen secara prinsip) memang mempunyai massa. Cara ”membangkitkan” massa ini sering disebut ”perusakan simetri secara spontan”. Dalam teori versi L′ , simetri refleksi dari Lagrangian telah rusak dengan pilihan keadaan dasar ϕ = +ν (daripada ϕ = −ν).
2.2.2
Perusakan Spontan Simetri Gauge Global
Untuk membangkitkan massa dari boson gauge, prosedur di atas diulang kembali √ untuk medan skalar kompleks ϕ = (ϕ1 + iϕ2 )/ 2 yang mempunyai Lagrangian L = (∂µ ϕ)∗ (∂ µ ϕ) − µ2 ϕ∗ ϕ − λ(ϕ∗ ϕ)2 ,
(2.22)
yang invarian terhadap transformasi global ϕ → eiθ ϕ. Seperti sebelumnya, kasus yang dipertimbangkan adalah kasus dengan λ > 0 dan µ2 < 0. Lagrangian (2.22) ditulis ulang menjadi 1 1 1 1 L = (∂µ ϕ1 )2 + (∂µ ϕ2 )2 − µ2 (ϕ21 + ϕ22 ) − λ(ϕ21 + ϕ22 )2 . 2 2 2 4
(2.23)
Sekarang ada lingkaran nilai minimum potensial V (ϕ) di bidang ϕ1 , ϕ2 dengan radius ν, sehingga ϕ21 + ϕ22 = ν 2 dengan ν 2 =
−µ2 , λ
(2.24)
seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2. Selanjutnya, medan ϕ ditranslasikan ke posisi energi minimum, yang tanpa kehilangan generalitas, diambil sebagai titik 10
Gambar 2.2: Potensial V (ϕ) untuk medan skalar kompleks untuk kasus µ2 < 0, dan λ > 0. ϕ1 = ν, ϕ2 = 0. L diekspansi di sekitar vakum dalam suku medan η, ξ dengan mensubstitusikan
√
ϕ(x) =
1 [ν + η(x) + iξ(x)] 2
(2.25)
ke dalam (2.22) dan didapatkan 1 1 L′ = (∂µ ξ)2 + (∂µ η)2 + µ2 η 2 + const. + suku kubik dan pangkat empat dalam η, ξ. 2 2 (2.26) Suku ketiga merupakan suku massa (− 12 m2η η 2 ) untuk medan-η. Sehingga massa-η √ adalah mη = −2µ2 . Suku pertama dalam L′ merepresentasikan energi kinetik medan-ξ, tetapi tidak ada suku massa untuk ξ. Sehingga teori ini mempunyai medan skalar tak bermassa, yang biasa disebut dengan boson Goldstone. Jadi, terdapat masalah; dalam usaha untuk membangkitkan massa boson gauge, teori perusakan gauge spontan tampaknya dihinggapi masalah partikel skalarnya sendiri tidak bermassa. Hal ini disebabkan karena potensial pada arah tangen (ξ) adalah datar, mengimplikasikan mode tak bermassa; tidak ada hambatan untuk eksitasi sepanjang arah-(ξ) pada Gambar 2.2. Lagrangian pada kasus ini merupakan contoh sederhana dari teorema Goldstone [7], yang menyatakan bahwa partikel skalar tak bermassa akan terjadi setiap
11
kali simetri kontinu dari sebuah sistem fisik ”rusak secara spontan” (atau, lebih tepat ”tidak terlihat di keadaan dasar”). Terlihat bahwa teori dengan gauge global mempunyai masalah dengan partikel skalar tak bermassa. Namun, teori dengan gauge lokal telah dapat mengatasi masalah ini. Bagian berikut akan membahas teori gauge lokal.
2.2.3
Mekanisme Higgs
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang perusakan spontan simetri gauge lokal. Di sini diambil contoh paling sederhana: simetri gauge U (1). Pertama, Lagrangian (2.22) harus invarian terhadap transformasi gauge lokal, ϕ → eiα(x) ϕ.
(2.27)
Hal ini mengakibatkan ∂µ harus digantikan oleh covariant derivative, Dµ = ∂µ − ieAµ ,
(2.28)
dengan medan gauge bertransformasi seperti 1 Aµ → Aµ + ∂µ α. e
(2.29)
Dengan demikian Lagrangian invarian gauge adalah 1 L = (∂ µ + ieAµ )ϕ∗ (∂µ − ieAµ )ϕ − µ2 ϕ∗ ϕ − λ(ϕ∗ ϕ)2 − Fµν F µν . 4
(2.30)
Jika µ2 > 0, maka Lagrangian di atas adalah Lagrangian QED untuk partikel skalar bermuatan dengan massa µ (kecuali suku interaksi-sendiri ϕ4 ). Tetapi, di sini akan diambil µ2 < 0 karena akan dibangkitkan massa dengan perusakan simetri spontan. Medan kemudian ditranslasikan ke keadaan dasar sebenarnya. Dengan mensubstitusikan (2.25), Lagrangian (2.30) menjadi L′ =
1 1 1 (∂µ ξ)2 + (∂µ η)2 − ν 2 λη 2 + e2 ν 2 Aµ Aµ 2 2 2 1 −eνAµ ∂ µ ξ − Fµν F µν + suku interaksi. 4
12
(2.31)
Terlihat bahwa spektrum partikel L′ terdiri dari boson Goldstone tak bermassa ξ, partikel skalar masif η, dan vektor masif Aµ . Dari (2.31) didapat mξ = 0, mη =
√
2λν 2 , mA = eν. (2.32)
Secara dinamik telah dibangkitkan massa untuk medan gauge, tetapi masih terdapat masalah dengan hadirnya boson Goldstone tidak bermassa. Namun, dalam Lagrangian L′ terdapat suku Aµ ∂µ ξ, yang berarti L′ harus diinterpretasi ulang. Tampaknya spektrum partikel yang diberikan kepada L′ adalah tidak benar. Dengan memberikan massa kepada Aµ , derajat polarisasi meningkat dari dua menjadi tiga, karena Aµ sekarang mempunyai polarisasi longitudinal. Tetapi, hanya dengan mentranslasikan variabel medan, seperti pada (2.25), tidak menciptakan derajat kebebasan baru. Sehingga dapat disimpulkan bahwa medan dalam L′ tidak semuanya merepresentasikan partikel fisis tertentu. Sekarang yang harus dilakukan adalah menentukan medan yang mana yang tidak fisis dan menemukan transformasi gauge yang menghilangkan medan tersebut dari Lagrangian. Satu petunjuk didapat dari √
ϕ = √
≈
1 (ν + η + iξ) 2 1 (ν + η)eiξ/ν 2 (2.33)
untuk orde terendah dalam ξ. Hal ini berarti set medan yang ada harus digantikan oleh set medan real yang lain yaitu h, θ, Aµ , dimana √
1 (ν + h(x))eiθ(x)/ν 2 1 → Aµ + ∂µ θ eν
ϕ → Aµ
(2.34) (2.35)
Dalam gauge ini θ(x) dipilih sedemikian sehingga h real. Sehingga teori akan bergantung pada θ. Jadi, didapat L′ =
1 1 1 (∂µ h)2 − λν 2 h2 + e2 ν 2 A2µ − λνh3 − λh4 2 2 4 1 1 2 2 2 2 2 µν + e Aµ h + νe Aµ h − Fµν F . 2 4 13
(2.36)
Dari Lagrangian (2.36) terlihat bahwa boson Goldstone sebenarnya tidak ada dalam teori. Hal ini berarti derajat kebebasan ekstra yang terjadi sebenarnya palsu, karena tergantung pada kebebasan untuk membuat transformasi gauge. Lagrangian hanya mendeskripsikan dua partikel yang berinteraksi, boson gauge vektor Aµ dan skalar masif h, yang disebut partkel Higgs. Boson Goldstone yang tak dikehendaki telah diubah menjadi polarisasi longitudinal partikel gauge masif. Prosedur ini disebut “mekanisme Higgs”.
2.3
Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS)
Teori GWS atau electroweak dibangun berdasarkan simetri gauge isospin lemah dan hypercharge lemah (SU (2)L × U (1)Y ), dengan transformasi gauge yang berbentuk aτ a
ϕ → eiα
eiβ/2 ϕ,
(2.37)
disini telah dimasukkan sebuah muatan +1/2 terhadap simetri U (1)Y , dan nilai τ a = 12 σ a dengan σ a adalah matriks Pauli 2 × 2. Agar teori GWS ini invarian, maka covariant derivative dari ϕ harus berbentuk 1 Dµ ϕ = (∂µ − igWµa τ a − i g ′ Bµ )ϕ, 2
(2.38)
dengan Wµa dan Bµ adalah boson gauge dari SU (2)L dan U (1)Y . Sedangkan g dan g ′ merupakan konstanta kopling dari SU (2)L dan U (1)Y .
2.3.1
Massa Boson Gauge
Suku massa dari boson gauge dapat diperoleh dengan cara mengkuadratkan pers.(2.38) dengan memasukkan medan Higgs Φ yang berbentuk 1 Φ= √ 2
(
0 v
)
(2.39)
sebagai ϕ. Maka akan didapatkan suku massa dari boson gauge yang berbentuk Lmassa
boson gauge
=
] 1 v2 [ 2 1 2 g (Wµ ) + g 2 (Wµ2 )2 + (−gWµ3 + g ′ Bµ )2 . 2 4
14
(2.40)
Dari persamaan diatas akan muncul tiga buah boson bermassa dan sebuah boson yang tidak bermassa sebagai berikut 1 v Wµ± = √ (Wµ1 ∓ iWµ2 ) dengan massa MW = g ; (2.41) 2 2 √ 1 v 3 ′ 2 + g ′2 ; (2.42) Zµ0 = √ 2 (gW − g B ) dengan massa M = g µ Z µ 2 g + g ′2 1 (g ′ Wµ3 + gBµ ) dengan massa MA = 0. (2.43) Aµ = √ 2 g + g ′2 Dua buah boson baru yang bermassa yang muncul pada persamaan diatas, yaitu boson W dan Z disebut sebagai weak boson, adalah boson yang muncul dari interaksi lemah. Sedangkan boson yang tidak bermassa pada persamaan diatas telah muncul sebelumnya dalam teori QED yang dikenal sebagai foton, adalah boson yang muncul dari interaksi elektromagnetik. Mulai sekarang akan lebih baik jika semua persamaan dituliskan dalam hubungannya dengan mass eigenstates, karena bentuk inilah yang memiliki arti fisis yang diukur oleh eksperimen. Untuk fermion dalam representasi umum SU (2), dengan muatan U (1) adalah Y , covariant derivative-nya akan berbentuk Dµ = ∂µ − igWµa T a − ig ′ Y Bµ .
(2.44)
dalam hubungannya dengan mass eigenstates persamaan diatas akan menjadi g 1 Dµ = ∂µ − i √ (Wµ+ T + + Wµ− T − ) − i √ 2 Z (g 2 T 3 − g ′2 Y ) ′2 µ g + g 2 gg ′ −i √ 2 Aµ (T 3 + Y ), (2.45) g + g ′2 dengan T ± = (T 1 ± iT 2 ). Normalisasi dipilih sedemikian rupa sehingga 1 T ± = (σ 1 ± iσ 2 ) = σ ± . 2
(2.46)
Agar pers.(2.45) menjadi persamaan yang memiliki bentuk yang terkait dengan interaksi elektromagnetik, maka perlu didefinisikan sebuah koefisien dari interaksi elektromagnetik sebagai muatan elektron e, e= √
gg ′ , g 2 + g ′2
(2.47)
dan mendefinisikan bilangan kuantum muatan listrik sebagai Q = T 3 + Y. 15
(2.48)
Untuk menyederhanakan pers.(2.45), akan didefinisikan weak mixing angle, θw , sebagai sudut yang muncul dalam perubahan basis dari gauge eigenstates (Wµ3 , Bµ ) menjadi mass eigenstates (Zµ0 , Aµ ): (
Zµ0 Aµ
)
(
=
cos θw − sin θw sin θw cos θw
)(
Wµ3 Bµ
)
,
(2.49)
sehingga
g g′ √ , sin θ = , w g 2 + g ′2 g 2 + g ′2 maka pers.(2.45) dapat ditulis dalam bentuk cos θw = √
(2.50)
g g Dµ = ∂µ − i √ (Wµ+ T + + Wµ− T − ) − i Zµ (T 3 − sin2 θw Q) cos θ 2 w −ieAµ Q, (2.51) dengan g=
e . sin θw
(2.52)
Dapat dilihat disini bahwa semua pasangan (kopling) dari weak boson dideskripsikan oleh dua buah parameter: muatan elektron e dan sebuah parameter baru θw . Sedangkan massa boson W dan Z memiliki hubungan berdasarkan pers.(2.41) dan (2.42) adalah sebagai berikut MW = cos θW MZ
(2.53)
Semua proses yang melibatkan pertukaran boson W dan Z dapat dituliskan dalam tiga buah parameter dasar e, θw , dan mW .
16
Bab 3 Dimensi Ekstra Besar gaya gravitasi F antara dua objek makroskopik yang terpisah pada jarak r mematuhi hukum kuadrat terbalik, F ∼ r−2 . Hal ini tidak akan terjadi jika dunia mempunyai N ≥ 1 dimensi spasial ekstra yang mirip dengan dunia tiga dimensi biasa-dalam kasus tersebut akan terukur F ∼ r−(2+N ) . Argumen yang sama berlaku untuk dunia mikro partikel elementer. Sebagai contoh, dari eksperimen dengan akselerator diketahui bahwa interaksi elektromagnet dari partikel bermuatan mematuhi hukum kuadrat terbalik. Namun, kemampuan eksperimen terbatas dan begitu juga pengetahuan terhadap kevalidan hukum alam ini. Sebagai contoh, interaksi elektromagnetik diketahui mematuhi hukum kuadrat terbalik sampai pada jarak dengan orde 10−16 cm, tetapi interksi tersebut mungkin berubah pada skala lebih kecil dari itu. Pada saat sekarang adalah tidak jelas bagaimana tepatnya hukum alam ini mungkin berubah. Ada kemungkinan bahwa hukum tersebut akan berubah menurut hukum di dimensi ruang yang lebih tinggi jika dimensi ekstra ada. Namun, adalah wajar untuk mempertanyakan mengapa seseorang harus berpikir bahwa dunia ini mungkin memiliki dimensi ekstra? Berikut merupakan argumen teoritis utama yang memotivasi penelitian tentang dimensi ekstra. Eksplorasi ilmiah pertama terhadap ide dimensi ekstra dilakukan oleh Kaluza [5] dan Klein [6]. Mereka menduga bahwa interaksi gravitasi dan elektromagnetik, karena begitu mirip, mungkin merupakan turunan dari interaksi yang sama. Namun, hal yang mengherankan adalah teori penyatuan gravitasi dan elektromagnetik hanya mungkin diformulasikan di ruang dengan dimensi ekstra. Setelah itu,
17
interaksi lemah dan kuat juga dapat disatukan dengan gravitasi Einstein dalam model dengan ekstra dimensi. Oleh karena itu, alasan pertama studi terhadap dimensi ekstra adalah penyatuan interaksi gauge dan gravitasi dari partikel elementer. Di awal bab telah disinggung sedikit tentang gravitasi klasik. Mengenai gravitasi modern, satu hal yang pasti adalah kuantisasi gravitasi bukanlah hal yang mudah. Teori kandidat untuk gravitasi kuantum, string theory (M-theory), dapat diformulasikan secara konsisten di ruang dengan dimensi ekstra; Sehingga, alasan kedua untuk mempelajari dimensi ekstra adalah kuantisasi interaksi gravitasi. Semua dimensi ekstra yang dibicarakan di atas adalah sangat kecil, dalam skala panjang Planck dan karena itu tidak terdeteksi. Temuan terbaru oleh ArkaniHamed, Dimopoulos, dan Dvali (ADD)[8] menunjukkan bahwa masalah hirarki massa Higgs mungkin dapat diselesaikan oleh model dengan dimensi ekstra yang besar. Karena dimensi ekstra adalah besar dalam kerangka ADD, efek dimensi ekstra tersebut akan dapat diukur dalam eksperimen table-top, astrofisika, dan di akselerator pada masa depan. Selain itu, model ini dapat dimasukkan dalam kerangka string theory [9]. Setelah itu, Randall dan sundrum mengajukan model dengan dimensi ekstra terlipat [10] yang juga menyediakan prosedur yang menarik untuk menyelesaikan masalah hirarki massa Higgs. Sehingga, alasan ketiga adalah masalah hirarki massa Higgs. Tipe lain dari masalah hirarki adalah masalah konstanta kosmologi. Masalah ini sangat sulit untuk dipecahkan kecuali satu dari banyak ide konvensional seperti lokalitas, unitaritas, kausalitas, atau empat dimensi dari ruang-waktu diabaikan. Dalam kasus ini, teori dengan volum dimensi ekstra tak terhingga [11] - satu-satunya teori yang tidak empat dimensi pada energi rendah - diajukan sebagai kandidat untuk memecahkan masalah konstanta kosmologi [12,13]. Jadi, alasan keempat adalah masalah konstanta kosmologi. Akhir-akhir ini juga terdapat pemikiran untuk menggunakan dimensi ekstra untuk perusakan simetri [14]. Model dengan dimensi ekstra ini dapat menjadi model alternatif atau model yang melebihi SM. Jadi, alasan kelima adalah perusakan simetri. Alasan inilah yang melandasi penulisan skripsi ini.
18
3.1
Dekomposisi Kaluza-Klein di Lima Dimensi
Dimensi spasial ekstra adalah tidak sama dengan tiga dimensi biasa dalam pendekatan Kaluza-Klein (KK). Dimensi ekstra KK membentuk ruang kompak dengan skala kompaktifikasi L tertentu. Sebagai contoh, suatu dimensi ekstra KK dapat merupakan suatu lingkaran dengan radius L, atau hanya suatu interval dengan ukuran L. Untuk dimensi ekstra lebih dari satu, ruang ini dapat berbentuk bola berdimensi lebih tinggi, torus atau manifold lainnya. Secara umum, ruang-waktu berdimensi-D dalam pendekatan KK mempunyai geometri perkalian langsung M 4 × X D−4 dengan M 4 melambangkan ruang-waktu Minkowski empat dimensi, dan X D−4 melambangkan manifold kompak dari dimensi ekstra - disebut juga manifold internal. Hal yang diimplikasikan dari pendekatan KK adalah bahwa terdapat dinamika tertentu di ruang-waktu berdimensi-D yang memberikan kompaktifikasi tertentu pada dimensi ekstra (D − 4) membuat dimensi minkowskian empat tidak terganggu. Sebelumnya diperkenalkan dahulu beberapa notasi dan asumsi. Indeks A, B digunakan untuk merepresentasikan seluruh dimensi; µ, ν digunakan untuk merepresentasikan ruang-waktu empat dimensi; dan i, j digunakan untuk merepresentasikan dimensi ekstra. Terdapat juga beberapa asumsi geometri, yaitu • Tidak ada interferensi antara komponen 4D dengan dimensi ekstra, sehingga metrik tensor berbentuk (
gAB =
gµν 0 0 gij
)
.
(3.1)
• Bentuk empat dimensi Minkowskian adalah datar, sehingga
gµν =
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
(3.2)
• Bentuk dimensi ekstra adalah datar, sehingga gij = 1. 19
(3.3)
Sekarang akan dibahas tentang implikasi fisik dari dimensi ekstra kompak. Berdasarkan akal sehat adalah jelas bahwa pada skala jarak jauh lebih besar dari L, dimensi ekstra harusnya tak terlihat. Dimensi ekstra hanya menjadi terlihat ketika seseorang menyelidiki pada jarak yang sangat dekat seorde dengan L. Untuk membahas sifat ini lebih jauh akan dimulai dari contoh paling sederhana dari medan skalar real di ruang-waktu berdimensi-(4+1). Densitas Lagrangian berbentuk 1 L = − ∂A Φ∂ A Φ, 2
A = 0, 1, 2, 3, 5.
(3.4)
Di sini medan Φ(t, ⃗x, y) ≡ Φ(xµ , y), µ = 0, 1, 2, 3, bergantung pada koordinat berdimensi-empat xµ dan koordinat ekstra y. Dimensi ekstra diasumsikan dikompaktifikasi menjadi lingkaran S 1 dengan radius L. Sehingga, ruang-waktu berdimensi-lima mempunyai geometri M 4 × X D−4 . Ekspansi medan Φ(x, y) =
+∞ ∑
ϕn (x)einy/L .
(3.5)
n=−∞
Perhatkan bahwa ϕ∗n (x) = ϕ−n (x). Substitusikan ekspansi di atas ke ∂A Φ∂ A Φ = (∂µ Φ∂ µ Φ) + (∂5 Φ∂ 5 Φ) {
+∞ ∑
=
n,m=−∞ +∞ ∑
=
[
]
[∂µ ϕn ∂ µ ϕm ] ei(n+m)y/L + ∂5 (einy/L )∂ 5 (eimy/L ) ϕn ϕm
}
]
[
nm (∂µ ϕn ∂ ϕm ) − ( 2 ϕn ϕm )ei(n+m)y/L , L
(3.6)
∑ nm 1 +∞ (∂µ ϕn ∂ µ ϕm − 2 ϕn ϕm )ei(n+m)y/L , 2 n,m=−∞ L
(3.7)
µ
n,m=−∞
sehingga L=−
sementara aksi akan berbentuk ∫
S=
∫
2πL
d4 x 0
dyL = −
+∞ ∑ n2 2πL ∫ 4 (∂µ ϕn ∂ µ ϕ∗n − 2 ϕn ϕ∗n ). dx 2 L n,m=−∞
(3.8)
Pada sisi kanan dilakukan integrasi terhadap y. Ekspresi yang dihasilkan adalah aksi untuk tak terhingga medan ϕn (x) empat dimensi. Perhatikan bahwa aksi empat dimensi telah rusak simetrinya karena adanya suku ϕn ϕ∗n yang merupakan suku massa. Suku ini dihasilkan dari ∂5 yang bekerja pada Φ yang merupakan
20
kontribusi dari dimensi ekstra. Untuk mempelajari sifat medan empat dimensi diperkenalkan medan φ≡
√
2πLϕn .
(3.9)
Hal ini menyebabkan (3.8) dapat ditulis menjadi ∫
S=
∫ +∞ ) ∑( 1 k2 d4 x[− ∂µ φ0 ∂ µ φ0 ] − d4 x ∂µ φk ∂ µ φ∗k + 2 φk φ∗k . 2 L k=1
(3.10)
Sehingga, spektrum medan teori kompaktifikasi terdiri dari: • Satu medan skalar riil tak bermassa, yang disebut mode-nol, φ0 ; • Medan skalar kompleks yang jumlahnya tak terhingga dengan masssa berbanding terbalik dengan radius kompaktifikasi, m2k = k 2 /L2 . Hal di atas mengimplikasikan bahwa dari sudut pandang 4D, medan skalar 5D terlihat sebagai sumber (tak terhingga) medan 4D yang disebut mode KaluzaKlein: φn dengan massa2 , m2n = n2 /L2 . Pada energi rendah, yaitu ketika E < 1/L, hanya mode-nol yang penting; sementara pada energi tinggi E ≥ 1/L semua mode KK menjadi penting. Jadi, dari sudut pandang 4D, jejak kehadiran dimensi ekstra adalah munculnya sumber mode KK yang tak terhingga.
3.2
Medan Gauge di Teori Kaluza-Klein
Selanjutnya akan dibahas contoh medan gauge Abelian berdimensi-(4+1). Syarat tambahan, dibandingkan dengan kasus skalar, adalah keinvarianan gauge lokal. Ambil densitas Lagrangian L=−
1 FAB F AB , 4g5
(3.11)
dengan FAB = ∂A AB −∂B AA dan dimensi diset sebagai berikut: [AB ] = [massa], [g5−1 ] = [massa]. Seperti dalam contoh sebelumnya, diasumsikan kompaktifikasi pada lingkaran S 1 dengan radius L. Aµ dan A5 dapat diekspansi menjadi Aµ (x, y) =
+∞ ∑
Aµ(n) (x)einy/L ,
A5 (x, y) =
+∞ ∑ n=−∞
n=−∞
21
(n)
A5 (x)einy/L .
(3.12)
Sehingga FAB F AB = Fµν F µν + 2Fµ5 F µ5 [
=
+∞ ∑
∂µ (
Aν(n) einy/L )
− ∂ν (
n=−∞
[
[
= =
(n) A5 einy/L )
− ∂5 (
n=−∞ +∞ ∑
n=−∞ [ +∞ ∑
e
iny/L A(n) ) µ e
n=−∞
+∞ ∑
+ 2 ∂µ (
]2
+∞ ∑
iny/L
iny/L A(n) ) µ e
n=−∞
]2
(∂µ A(n) ν
−
∂ν A(n) µ ) ]
e
]2
+∞ ∑
i(n+m)y/L
(n) (m)µν Fµν F
+2
+∞ ∑
iny/L
e
(n) (∂µ A5
n=−∞ +∞ ∑ i(n+m)y/L
[
+2
n=−∞
[
e
in − A(n) ) L µ
(n)
(∂µ A5 ∂ µ A(m)5
n=−∞
]
in inm im (m)µ (n) µ (n)5 (m)µ A ∂µ A5 − A(n) − 2 A(n) ) . − µ ∂ A µ A L L L
(3.13)
∗(k)µ Terlihat bahwa suku massa A(k) akan dihasilkan dari ∂5 Aµ ∂ 5 Aµ . Terlihat µ A (n)
(n)
juga bahwa untuk Lagrangian empat dimensi L4 suku ∂µ A5 . A5
merupakan
komponen medan di dimensi kelima, signifikansi medan ini di empat dimensi terbatas pada keadaan dasar atau mode-nol. Mode-mode selain mode-nol tidak signifikan di empat dimensi. Oleh karena itu suku-suku tersebut tidak ditulis secara eksplisit dalam L4 . Dengan menggunakan hasil-hasil di (3.13) didapat L4 ≡
∫
∫
2πL
2πL
dyL = 0
0
dy − {
1 FAB F AB 4g52
[
+∞ ∑ 1 2k 2 (0) (0)µν (k) ∗(k)µν ∗(k)µ = − Fµν F +2 Fµν F + 2 A(k) µ A 4g4 L k=1 (0)
}
+ 2(∂µ A5 )2 .
]
(3.14)
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa spektrum model terkompaktifikasi terdiri atas keadaan-keadaan berikut: • Satu mode nol - suatu medan gauge A(0) µ tak bermassa dengan kopling gauge g4 = g5 /(2πL); • Boson-boson gauge masif dengan massa m2k = k 2 /L2 ; (0)
• Medan skalar A5 yang tak bermassa. Berikut beberapa penjelasan tentang keinvarianan gauge local. Model lima dimensi adalah invarian terhadap transformasi gauge lokal lima dimensi AB (x, y) → 22
]2
AB (x, y) + ∂B α(x, y). Setelah kompaktifikasi transformasi gauge lima dimensi tereduksi menjadi tak terhingga transformasi gauge empat dimensi - satu untuk (n) (n) setiap level KK A(n) (x). Namun, hanya mode-nol yang µ (x) → Aµ (x) + ∂B α
merupakan medan gauge tak bermassa, semua mode KK yang lebih tinggi adalah masif. Hal ini dapat diinterpretasikan sebagai konsekuensi dari mekanisme Higgs yang terjadi pada setiap level KK masif dimana satu medan gauge tak bermassa (n)
”memakan” satu skalar A5 dan menjadi medan gauge masif dengan tiga derajat kebebasan. Pada level medan tak bermassa terdapat medan gauge tak bermassa (0)
4d dengan dua derajat kebebasan fisik dan satu skalar riil A5 tak bermassa.
23
Bab 4 Hasil dan Pembahasan Dalam bab ini, kita hanya fokus pada cara menghasilkan suku massa. Oleh karena itu, kita hanya tertarik pada bagian Lagrangian yang menghasilkan suku massa di empat dimensi. Dari uraian pada bab sebelumya, bagian tersebut adalah suku (∂i Aµ )(∂ j Aµ ) dengan Aµ merupakan komponen medan di empat dimensi, sedangkan i, j adalah indeks untuk dimensi ekstra (i, j = 5, 6, 7...).
4.1
Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak dengan Satu Dimensi Ekstra
Pada bagian ini akan coba dicari massa boson electroweak (W ± , Z, dan γ) dengan menggunakan satu dimensi ekstra terkompaktifikasi, sebagai alternatif metode medan Higgs. Seperti sebelumnya, digunakan ruang-waktu berdimensi-(4+1), dengan satu dimensi ruang tambahan terkompaktifikasi menjadi lingkaran S 1 dengan radius L. Sehingga ruang-waktu lima dimensi mempunyai geometri M 4 × S 1 . Untuk interaksi electroweak terdapat tiga medan gauge SU(2), Wµa (x) dengan a = 1, 2, 3, dan satu medan U(1), Bµ . Perhatikan Lagrangian energi kinetik untuk boson electroweak di lima dimensi L=−
1 (WAB .WAB − BAB B AB ), 4g5
(4.1)
dengan WAB = ∂A WB − ∂B WA − gWA × WB , 24
dan BAB = ∂A BB − ∂B BA . (4.2)
Medan diekspansi menjadi +∞ ∑
Wµa (x, y) =
Wµa(n) (x)einy/L ,
W5a (x, y) =
+∞ ∑
a(n)
W5
(x)einy/L
(4.3)
n=−∞
n=−∞
dan Bµ (x, y) =
+∞ ∑
Aµ(n) (x)einy/L ,
B5 (x, y) =
+∞ ∑
(n)
B5 (x)einy/L
(4.4)
n=−∞
n=−∞
Dari Bab 3 terlihat bahwa massa partikel dihasilkan dari ∂5 yang bekerja pada komponen medan empat dimensi. Sehingga massa boson gauge didapatkan dengan menghitung ∫
2πL
0
[
]
dy (∂5 Wµ ).(∂ 5 Wµ ) + (∂5 Bµ )(∂ 5 B µ )
(4.5)
yang hasilnya adalah 2πL
+∞ ∑
2k 2 (Wµ1(k) W ∗1(k)µ + Wµ2(k) W ∗2(k)µ + Wµ3(k) W ∗3(k)µ + Bµ(k) B ∗(k)µ ). (4.6) 2 L k=1
Terlihat bahwa semua medan gauge 4D bermassa sama. Hal ini berarti kita tidak berhasil mereproduksi massa boson gauge electroweak SM. Sumber dari masalah ini adalah hanya terdapat satu parameter, yaitu L (radius kompaktifikasi), dalam teori lima dimensi dengan dimensi kelima terkompaktifikasi. Untuk menghasilkan tiga massa boson yang berbeda (massa W ± , Z, dan A) maka setidaknya harus terdapat tiga parameter independen. Salah satu cara menambah parameter independen adalah dengan menambah jumlah dimensi ekstra. Oleh karena itu, pada bagian selanjutnya akan dibahas tentang reproduksi massa boson gauge electroweak dengan tiga dimensi ekstra.
4.2
Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak dengan Tiga Dimensi Ekstra
Setelah sebelumnya kita tidak berhasil mereproduksi massa boson gauge electroweak dengan satu dimensi ekstra, sekarang kita coba mereproduksi massa boson dengan tiga dimensi ekstra. Sebelumnya diingatkan kembali beberapa notasi. Indeks A, B digunakan untuk merepresentasikan seluruh dimensi; µ, ν digunakan 25
untuk merepresentasikan ruang-waktu empat dimensi; dan i, j digunakan untuk merepresentasikan dimensi ekstra. Tiga dimensi ekstra dapat berbentuk bermacam-macam. Tetapi, di sini hanya akan diselidiki dimensi ekstra yang berbentuk bola, silinder, kubus, dan balok. Berikut pembahasan reproduksi massa boson gauge electroweak dengan bentukbentuk dimensi ekstra seperti di atas.
4.2.1
Dimensi Ekstra Berbentuk Bola
Dimensi ekstra berbentuk bola mempunyai radius R. Kita memakai koordinat bola dalam dimensi ekstra ini, yaitu r, θ, dan ϕ (Gambar 4.1). Sehingga Medan dapat diekspansi menjadi WAa (x, r, θ, ϕ)
+∞ ∑
=
a(n)
(x)einr/R einθ einϕ
(4.7)
BA (x)einr/R einθ einϕ .
(4.8)
WA
n=−∞
dan BA (x, r, θ, ϕ) =
+∞ ∑
(n)
n=−∞
Sekarang, dilihat bentuk ∂i Wµa (x, r, θ, ϕ) untuk masing-masing i ∂r Wµa =
∂θ Wµa =
+∞ ∑
in a(n) Wµ (x)einr/R einθ einϕ , R n=−∞ +∞ ∑
(4.9)
inWµa(n) (x)einr/R einθ einϕ ,
(4.10)
inWµa(n) (x)einr/R einθ einϕ .
(4.11)
n=−∞
∂ϕ Wµa =
+∞ ∑ n=−∞
Terlihat dari ketiga persamaan di atas bahwa untuk suku massa hanya akan terdapat satu parameter yaitu R. Hal ini mirip dengan kasus menggunakan satu dimensi ekstra, jelas tidak akan didapatkan boson dengan massa berbeda. Sehingga reproduksi massa boson gauge electroweak dengan dimensi ekstra berbentuk bola tidak berhasil.
26
Gambar 4.1: Dimensi ekstra berbentuk bola dengan koordinat r, θ, dan ϕ.
4.2.2
Dimensi Ekstra Berbentuk Silinder
Dimensi ekstra berbentuk silinder mempunyai radius alas R dan tinggi L. Kita memakai koordinat silinder dalam dimensi ekstra ini, yaitu r, z, dan θ (Gambar 4.2). Sehingga medan dapat diekspansi menjadi +∞ ∑
WAa (x, r, z, θ) =
a(n)
(x)einr/R einz/L einθ
(4.12)
BA (x)einr/R einz/L einθ .
(4.13)
WA
n=−∞
dan BA (x, r, z, θ) =
+∞ ∑
(n)
n=−∞
Sekarang, dilihat bentuk ∂i Wµa (x, r, z, θ) untuk masing-masing i ∂r Wµa =
∂z Wµa = ∂θ Wµa =
+∞ ∑
in a(n) Wµ (x)einr/R einz/L einθ , R n=−∞ +∞ ∑
in a(n) Wµ (x)einr/R einz/L einθ , L n=−∞ +∞ ∑
inWµa(n) (x)einr/R einz/L einθ .
(4.14)
(4.15) (4.16)
n=−∞
Terlihat bahwa hanya akan tedapat dua parameter yaitu R dan L. Dengan tiga jenis massa boson gauge yang berbeda, dua parameter jelas tidak mencukupi.
27
Gambar 4.2: Dimensi ekstra berbentuk silinder dengan koordinat r, z, dan θ.
4.2.3
Dimensi Ekstra Berbentuk Kubus
Dimensi ekstra berbentuk kubus mempunyai rusuk L (Gambar 4.3). Terlihat bahwa dalam dimensi ekstra ini juga hanya terdapat satu parameter, yaitu L. hal ini mengakibatkan dimensi ekstra berbentuk kubus tidak dapat digunakan untuk menghasilkan tiga massa boson yang berbeda.
Gambar 4.3: Dimensi ekstra berbentuk kubus dengan rusuk L.
28
Gambar 4.4: Dimensi ekstra berbentuk balok dengan rusuk-rusuk L5 , L6 , dan L7 .
4.2.4
Dimensi Ekstra Berbentuk Balok
Dimensi ekstra berbentuk balok mempunyai tiga rusuk yang berbeda panjangnya, yaitu L5 , L6 , dan L7 (Gambar 4.4). Dalam dimensi ekstra ini terdapat tiga parameter (L5 , L6 , dan L7 ) sehingga memungkinkan untuk menghasilkan tiga massa boson yang berbeda. Koordinat yang dipakai dalam dimensi ekstra ini adalah y5 , y6 , dan y7 . Medan dapat diekspansi menjadi WAa (x, y) = √
+∞ ∑ 1 a(n) WA (x)einy5 /L5 einy6 /L6 einy7 /L7 L5 L6 L7 n=−∞
dan BA (x, y) = √
+∞ ∑ 1 (n) B (x)einy5 /L5 einy6 /L6 einy7 /L7 . L5 L6 L7 n=−∞ A
(4.17)
(4.18)
Koefisien di depan tanda sigma ditambahkan untuk normalisasi. Massa boson gauge didapatkan dengan menghitung integral ∫
[
d3 y (∂i Wµ ).(∂ j Wµ ) + (∂i Bµ )(∂ j B µ )
]
(4.19)
yang hasilnya adalah +∞ ∑
2k 2 (Wµ1(k) W ∗1(k)µ + Wµ2(k) W ∗2(k)µ + Wµ3(k) W ∗3(k)µ + Bµ(k) B ∗(k)µ ). L L i j k=1 (4.20) dengan i, j = 5, 6, 7. Terlihat bahwa ada enam kombinasi L yang berbeda ( L12 , 5
dan
1 ) L6 L7
1 , 1, 1 , 1 , L26 L27 L5 L6 L5 L7
untuk menghasilkan tiga jenis massa boson. Terjadi kelebihan kombina-
si, namun yang perlu diingat adalah bahwa salah satu boson tidak bermassa. Hal 29
ini dapat menjadi petunjuk untuk menyelesaikan ketidaksesuaian antara jumlah jenis massa boson dengan jumlah kemungkinan kombinasi yang ada. Ambil Aµ =
+∞ ∑
2k 2 Bµ(k)
(4.21)
k=1
atau Aµ A
∗µ
=
+∞ ∑
4kBµ(k) B ∗(k)µ .
(4.22)
k=1
Selanjutnya dapat dipilih 1 2 1 , MA = 2 2L25
(4.23)
L5 = ∞.
(4.24)
karena MA = 0, maka
Hal di atas mengurangi kemungkinan kombinasi yang ada. Karena boson W ± dan Z bermassa, L5 tidak dapat digunakan lagi untuk menentukan massa bosonboson tersebut. Sehingga kombinasi yang ada tinggal tiga lagi. Sekarang kita definisikan Wµ± =
+∞ ∑√
2k(Wµ1(k) ∓ iWµ2(k) )
(4.25)
k=1
maka Wµ+ W +∗µ = Wµ− W −∗µ =
+∞ ∑
2k 2 (Wµ1(k) W ∗1(k)µ + Wµ2(k) W ∗2(k)µ ).
(4.26)
k=1
Dari hasil (4.26) berarti dapat dipilih 2 MW =
1 , L6 L7
(4.27)
atau 1 . L6 L7
(4.28)
2k 2 Wµ3(k)
(4.29)
MW = √ Dan terakhir, apabila Zµ =
+∞ ∑ k=1
atau Zµ Z ∗µ =
+∞ ∑
4kWµ3(k) W ∗3(k)µ ,
k=1
30
(4.30)
maka 1 1 2 MZ = . 2 2L26
(4.31)
Dengan kata lain MZ =
1 . L6
(4.32)
Kita juga dapat mengetahui perbandingan massa W ± dan Z, yaitu MW = cos θW = MZ
√
L6 . L7
(4.33)
Karena massa boson W ± dan Z telah diketahui dari eksperimen, yaitu [15] MW = 80, 403 ± 0.029 GeV ,
(4.34)
MZ = 91, 1876 ± 0, 0021 GeV ,
(4.35)
maka dapat dihitung nilai L6 dan L7 . Nilai L6 didapat dari pers.(4.32). Sedangkan nilai L7 dapat dicari dengan menggabungkan pers.(4.27) dan (4.32) sehingga dihasilkan L7 =
MZ . 2 MW
(4.36)
Ketidakpastian L6 dan L7 dapat dihitung dengan rumus [16]: (
∆L6,7 ≈
)
(
∂L6,7 ∂L6,7 ∆MZ + ∂MZ ∂MW
)
∆MW .
(4.37)
Berikut nilai L6 dan L7 beserta ketidakpastiannya masing-masing: L6 = (1, 09664 ± 0.00002) × 10−2 GeV−1 , L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2 GeV−1 .
(4.38)
Batas atas dan bawah nilai ini ditampilkan di Gambar 4.5. Hal lain yang perlu diperhatikan dari pembahasan di atas adalah tidak ada percampuran antara medan Bµ dan Wµ untuk menghasilkan medan fisis Aµ dan Zµ . Hal ini berbeda dengan teori electroweak dalam SM dimana medan fisis Aµ dan Zµ dihasilkan dari percampuran medan Bµ dan Wµ3 .
31
Gambar 4.5: Grafik L6 terhadap L7 . Daerah yang diarsir menunjukkan nilai L6 dan L7 yang mungkin.
32
Bab 5 Kesimpulan dan Saran Perusakan simetri dengan menggunakan satu dimensi ekstra tidak berhasil mereproduksi massa boson gauge electroweak yang benar. Model ini menghasilkan boson electroweak yang semuanya bermasa sama. Hal ini disebabkan karena dalam satu dimensi ekstra hanya terdapat satu parameter, yaitu radius dimensi ekstra tersebut, sedangkan boson electroweak mempunyai tiga jenis massa yang mengindikasikan bahwa sekurang-kurangnya harus terdapat tiga parameter. Kebutuhan akan tiga parameter tersebut dipenuhi dalam model dimensi ekstra berbentuk balok dengan ukuran L5 × L6 × L7 . Model ini dapat mereproduksi massa boson gauge electroweak apabila rusuk-rusuk balok dimensi eksttra tersebut berukuran L5 = ∞, L6 = (1, 09664 ± 0.00002) × 10−2 GeV −1 , dan L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2 GeV −1 . Dalam model ini tidak ada percampuran antara medan Bµ dan Wµ untuk menghasilkan medan fisis Aµ dan Zµ . Hal ini berbeda dengan teori electroweak dalam SM dimana medan fisis Aµ dan Zµ dihasilkan dari percampuran medan Bµ dan Wµ3 . Penelitian ini hanya terbatas pada masalah perusakan simetri dengan dimensi ekstra untuk menghasilkan massa boson gauge electroweak. Ke depan penelitian lebih komprehensif harus dilakukan, khususnya untuk mengkaji interaksi antar medan gauge dan fermion. Juga aneka implikasinya secara fenomenologis sebagai alat untuk memverifikasi model. Selain itu, sesuai dengan motivasi awal model dimensi ekstra, kajian terkait dengan teknik memasukkan gaya gravitasi serta interaksinya perlu dilakukan.
33
Lampiran A Notasi Sistem satuan yang digunakan dalam perhitungan adalah sistem satuan alami (natural system of units), di mana didefinisikan h ¯ = c = 1 dan tidak berdimensi. Energi, massa, dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan satuan GeV. Dengan demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi energi−1 dan energi−2 . Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi besaran yang ingin diketahui, digunakan konversi berikut [17]: h ¯ = 6.58212233(49) × 10−25 GeV s
(A.1)
h ¯ c = 197.327053(59) × 10−3 GeV fm
(A.2)
(¯ hc)2 = 0.38937966(23) GeV2 mbarn
34
(A.3)
Daftar Acuan [1] S. Weinberg, The Quantum theory of fields. VoL 1: Foundations, Vol. 2: Modern applications. [2] S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22, 579 (1961). [3] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967). [4] A. Salam, in Elementary Particle Theory, (edited by N. Svartholm), Almquist and Forlag, Stokcholm, 1968. [5] Th. Kaluza, Sitzungsber. Preuss.Akad.Wiss. Phys. Math. Klasse 996 (1921); Reprinted with the English translation in Modern Kaluza-Klein Theories, T. Appelquist, A. Chodos, P.G.O. Freund (Addison-Wesley, Menlo Park, 1987). [6] O. Klein, Z.F. Physik, 37, 895 (1926); Reprinted with the English translation in Modern Kaluza-Klein Theories, T. Appelquist, A. Chodos, P.G.O. Freund (Addison-Wesley, Menlo Park, 1987). [7] J. Goldstone, Nuovo Cim. 19, 154 (1961); J. Goldstone, A. Salam and S. Weinberg, Phys. Rev. 127, 965 (1962) . [8] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, Phys. Lett. B 429, 263 (1998) [arXiv:hep-ph/9803315]. [9] I. Antoniadis, N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, Phys. Lett. B 436, 257 (1998) [arXiv:hep-ph/9804398]. [10] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) [arXiv:hepth/9906064].
35
[11] G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, Phys. Lett. B 485, 208 (2000) [arXiv:hep-th/0005016]. [12] G. R. Dvali and G. Gabadadze, Phys. Rev. D 63, 065007 (2001) [arXiv:hepth/0008054]. [13] G. Dvali, G. Gabadadze and M. Shifman, Phys. Rev. D 67, 044020 (2003) [arXiv:hep-th/0202174]. [14] C. Biggio, Symmetry Breaking in Extra Dimensions, Ph.D Thesis, Universita di Padova, Italia, 2003. [15] Particle Data Group, Review of Particle Physics, Phys. Lett. B, 592 (2004) [16] P. R. Bevington dan D. K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis for The Physical Sciences (2nd ed.), McGraw-Hill, USA, 1992. [17] M. E. Peskin dan D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Westview, USA, 1995.
36
