BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Ilmu aktuaria memegang peranan penting dalam analisis dan pengelolaan
risiko finansial yang disebabkan oleh peristiwa aktuaria (actuarial events). Variabel risiko yang menjadi perhatian dalam ilmu aktuaria adalah peluang terjadinya suatu klaim atau event yang menjadi perhatian (occurrence), kapan terjadinya suatu klaim (timing), dan biaya yang ditimbulkan akibat klaim tersebut (severity) (Klugman, Panjer, dan Willmot, 2004). Berdasarkan variabel resiko tersebut, maka seorang aktuaris harus dapat menghitung dengan tepat premi yang dibayarkan pihak tertanggung sesuai dengan kondisi tertanggung sehingga perusahaan tidak mengalami kerugian yang disebabkan premi terlalu rendah atau kehilangan pelanggan karena premi yang terlalu tinggi. Ketepatan perhitungan premi harus didasarkan pada probabilitas kematian seseorang dalam suatu jangka waktu tertentu. Alat yang tepat dan mudah digunakan untuk memperhitungkan kemungkinan mati dan hidupnya seseorang dalam jangka waktu tertentu ialah suatu daftar yang memuat kehidupan dan kematian kelompok orang-orang tersebut yang dinamakan sebagai tabel mortalita (Effendie, 2015: 29). Tabel mortalita adalah suatu alat statistik yang digunakan oleh aktuaris, demograf, pegawai kesehatan masyarakat dan lainnya untuk menyajikan pengalaman kematian populasi. Keterangan-keterangan tentang jumlah penduduk yang meninggal pada berbagai tingkat usia, yang bertahan hidup pada berbagai
1
2
tingkat usia dan tentang usia rata-rata yang mereka capai diterangkan oleh tabel mortalita. Tabel ini memberikan gambaran tentang sejarah kehidupan suatu kohor hipotetik, yaitu banyaknya orang yang lahir pada saat yang sama dan kemudian secara berangsur-angsur akan berkurang jumlahnya karena suatu kematian. Pembentukan tabel mortalita terdiri dari dua tahapan. Tahap pertama yaitu penentuan model yang diberikan sebagai suatu asumsi yang biasanya dinyatakan dalam formulasi matematik, dan tahapan yang kedua adalah pengumpulan data untuk mendapatkan informasi yang dapat digunakan untuk memberi karakteristik pada model atau memberikan spesifikasi pada model yang sesuai dengan fenomena yang menjadi perhatian (Danardono, 2013: 2). Studi tentang model parametrik untuk pembentukan tabel mortalita, kadang-kadang disebut sebagai hukum kematian, telah menarik bagi aktuaris selama bertahun-tahun. Model yang baik dapat memberikan kita pemahaman yang lebih baik dari mekanisme yang mendasari pola mortalitas. Model parametrik untuk tabel mortalita mempunyai banyak kelebihan, diantaranya: (i) melibatkan parameter yang memiliki interpretasi demografi dan statistik; (ii) berlaku untuk usia non-integral; (iii) memungkinkan
perbandingan
di
antara
tabel-tabel
mortalita
dengan
membandingkan beberapa parameter saja; dan (iv) menyediakan ekstrapolasi di luar jangkauan data yang tersedia. Model parametrik yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah model Heligman-Pollard (1980). Model dengan delapan parameter ini diyakini merupakan salah satu model survival yang dapat menggambarkan pengalaman mortalitas dengan baik. Beberapa penerapan dari model Heligman-Pollard pada
3
berbagai pengalaman mortalitas telah digunakan di Amerika Serikat oleh Mode dan Busby, dan di Swedia oleh Hartmann. Hartmann menyimpulkan bahwa model Heligman-Pollard adalah model demografi terbaik dari kematian pada semua usia dan merupakan cara yang efisien untuk menghasilkan tabel mortalita, misalnya untuk penggunaan proyeksi penduduk. Model Heligman-Pollard juga telah dikaji oleh Kostaki. Kostaki menyimpulkan bahwa model ini memberikan representasi yang cukup memuaskan dari pola usia kematian. Model ini juga telah diterapkan oleh Yuen untuk memodelkan pola mortalitas pada tabel mortalita Hong Kong 1991 dan 1993 baik pada laki-laki maupun perempuan. Yuen menyimpulkan bahwa model Heligman-Pollard adalah model parametrik yang paling bagus karena model ini memiliki bentuk yang lebih sederhana dan rekonstruksi dari model ini sesuai. Model Heligman-Pollard dapat digunakan untuk menjabarkan suatu tabel mortalita tak lengkap pada himpunan data empiris penduduk Malaysia periode 1991-2000 pada kedua jenis kelamin (Ibrahim, 2008). Metode estimasi parameter Bayes merupakan salah satu metode yang paling terkenal dan telah banyak digunakan dalam berbagai kajian mengenai estimasi parameter. Metode Bayes di samping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Walpole dan Myers, 1995). Metode ini memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut dengan distribusi prior (Bolstad, 2007). Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam distribusi prior dikombinasikan dengan informasi data sampel
4
melalui teorema Bayes, dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode Bayes (Berger, 1990). Berdasarkan uraian pada latar belakang tersebut, maka peneliti akan mengkaji tentang estimasi parameter model survival distribusi Heligman-Pollard dengan menggunakan metode Bayes pada data mortalitas di RSUD Dr. Soehadi Prijonegoro, Sragen, Jawa Tengah tahun 2010-2014 baik pada laki-laki maupun perempuan. Sehingga diharapkan dengan model ini didapatkan hasil peramalan tingkat kematian yang selanjutnya akan digunakan untuk mencari probabilitas kematian yang disusun dengan tabel mortalita, sehingga dapat digunakan untuk mencari implementasi-implementasi yang berguna pada bidang aktuaria.
1.2
Perumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang, penulis dapat merumuskan
beberapa permasalahan yang menjadi kajian dalam penelitian ini, yaitu: 1.
Bagaimana mengestimasi parameter pada model Heligman-Pollard dengan menggunakan metode Bayes?
2.
Bagaimana implementasi pada bidang aktuaria dari model Heligman-Pollard yang diperoleh?
5
1.3
Pembatasan Masalah Dalam penulisan ini, pembatasan masalah sangat diperlukan untuk
menjamin keabsahan dalam kesimpulan yang diperoleh. Adapun beberapa batasan masalah sebagai berikut: 1.
Data yang digunakan untuk mengestimasi parameter pada model HeligmanPollard adalah data mortalitas di RSUD Dr. Soehadi Prijonegoro, Sragen, Jawa Tengah tahun 2010-2014 baik pada laki-laki maupun perempuan.
2.
Metode estimasi yang digunakan adalah metode Bayes.
1.4
Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini, antara lain:
1.
Menentukan estimasi parameter pada model Heligman-Pollard dengan menggunakan metode Bayes.
2.
Mencari implementasi pada bidang aktuaria dari model Heligman-Pollard yang diperoleh.
1.5
Metodologi Penelitian Penelitian tentang estimasi parameter model survival distribusi Heligman-
Pollard dengan menggunakan metode Bayes ini dilakukan dengan studi pustaka yang dilakukan dengan cara mengkaji literatur yang disajikan dalam bentuk buku serta jurnal-jurnal baik yang diperoleh dari perpustakaan ataupun yang diambil dari internet. Secara garis besar, langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
6
1.
Menelusuri jurnal yang berhubungan dengan model distribusi HeligmanPollard.
2.
Mempelajari model distribusi Heligman-Pollard.
3.
Menentukan salah satu metode untuk melakukan estimasi parameter model distribusi Heligman-Pollard, dalam hal ini dipilih metode Bayes.
4.
Melakukan
estimasi
parameter
model
distribusi
Heligman-Pollard
menggunakan metode Bayes menggunakan software R. 5.
Menyusun life table yang digunakan untuk mencari implementasi pada bidang aktuaria dari model Heligman-Pollard yang diperoleh.
1.6
Tinjauan Pustaka Model distribusi Heligman-Pollard merupakan model survival yang
dikenalkan oleh L. Heligman dan J. H. Pollard (1980). Model ini merupakan gabungan dari tiga distribusi survival yaitu distribusi Weibull, distribusi lognormal, dan distribusi Gompertz (Yuen, 1997). Masing-masing distribusi tersebut merepresentasikan komponen mortalitas yang berbeda. Bagian pertama merefleksikan mortalitas saat masa kanak-kanak, bagian kedua merefleksikan mortalitas usia 10 sampai 40 tahun, dan bagian ketiga merefleksikan pola eksponensial dari mortalitas saat usia dewasa. Berdasarkan tiga komponen tersebut maka model Heligman-Pollard diyakini dapat merepresentasikan mortalitas dalam semua tingkatan usia dengan baik. Seiring dengan perkembangan ilmu, model Heligman-Pollard semakin sering digunakan dalam penelitian peramalan tingkat kematian di beberapa negara
7
seperti misalnya Amerika Serikat (Mode dan Busby, 1982), Swedia (Hartmann, 1987) dan (Kostaki, 1991), Hong Kong (Yuen, 1997), Malaysia (Ibrahim, 2008), dan Afrika Selatan (Sharrow dkk, 2013). Penelitian di berbagai negara tersebut menyimpulkan bahwa model Heligman-Pollard merupakan suatu model distribusi survival yang efisien untuk menghasilkan tabel mortalita. Penelitian dalam tesis ini didasari oleh jurnal yang ditulis oleh Dellaportas dkk (2001) dan Sharrow dkk (2013). Penelitian yang telah dilakukan oleh Dellaportas dkk (2001) dan Sharrow dkk (2013) yaitu mengenai analisis Bayesian pada estimasi parameter Heligman-Pollard. 1.7
Sistematika Penulisan Tesis ini disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut: BAB I
PENDAHULUAN Bab ini membahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, metodologi penelitian, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan.
BAB II
LANDASAN TEORI Bab ini membahas tentang teori-teori dasar mengenai probabilitas, model survival, model survival aktuaria, life table, transpose matriks, determinan matriks, invers matriks, matriks kovarians, jarak Mahalanobis, matriks Hessian, model Heligman-Pollard, distribusi
Uniform,
distribusi
Binomial,
distribusi
Normal
Multivariat, estimasi, distribusi bersyarat, analisis Bayesian, dan algoritma IMIS (Incremental Mixture Importance Sampling).
8
BAB III
PEMBAHASAN Bab ini merupakan bab inti dari penulisan ini yang membahas mengenai bagaimana proses estimasi parameter.
BAB IV
STUDI KASUS Bab ini membahas mengenai analisa implementasi numeris modelmodel yang telah dibahas pada BAB III pada sebuah data mortalitas di RSUD Dr. Soehadi Prijonegoro, Sragen, Jawa Tengah tahun 2010-2014 baik pada laki-laki maupun perempuan.
BAB V
PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan masalah dan saran sebagai konsekuensi dari kekurangan maupun kelebihan dari hasil pembahasan.
