BAB I PENDAHULUAN 1.1 Umum Balok tinggi adalah elemen struktur yang dibebani sama seperti balok biasa dimana besarnya beban yang signifikan dipikul pada sebuah tumpuan dengan gaya tekan yang menggabungkan pembebanan dan reaksi. Sebagai hasilnya, distribusi tegaangannyatidak lagi linier dan deformasi geser menjadi signifikan jika dibandingkan pada lenturan murni. Ada banyak cara dalam menganalisis sebuah balok tinggi, misalnya metode finite difference, metode elastisitas dua dimensi, metode analisis tegangan. Metode elemen hingga (finite element method ) dapat digunakan untuk menganalisis tegangan yang timbul dan menghitung deformasi pada balok tinggi. Tegangan-tegangan yang dihasilkan dapat dipakai sebagai gambaran untuk menempatkan tulangan pada perencanaan balok tinggi. Menurut Daryl L. Logan (2007), tegangan bidang didefensisikan sebagai keadaan yang mana tegangan normal dan tegangan geser yang mengarah tegak lurus terhadap bidang diasumsikan sama dengan nol. Sementara regangan bidang didefenisikan sebagai keadaan yang mana regangan normal pada bidang x-y, πππ§π§ dan regangan geser , πΎπΎπ₯π₯π₯π₯ dan , πΎπΎπ¦π¦π¦π¦ diasumsikan sama dengan nol. Asumsi dari
regangan bidang secara realistis pada bidang yang memanjang kearah x dengan potingan melintang konstan dan diberi pembebanan yang bereaksi hanya pada arah x dan/ atau arah y dan tidak bervariasi pada arah z.
Gambar 1.1 tegangan bidang pada (a) pelat dengan lubang (b) pelat dengan irisan (Daryl L. Logan : 2007)
15 Universitas Sumatera Utara
Gambar 1.2 regangan bidang pada (a) dam yang mengalami beban horizontal (b) pipa yang mengalami beban vertikal (Daryl L. Logan : 2007)
Konsep dari kondisi tegangan dan regangan dua dimensi dan hubungan antara tegangan/regangan untuk tegangan bidang dan regangan bidang perlu diketahui pada penyusunan dan aplikasi dari matriks kekakuan untuk tegangan/ regangan bidang dengan elemen segitiga. Pertama sekali dilustrasikan keadaan tegangan dua dimensi berdasarkan gambar berikut :
Gambar 1.3 keadaan tegangan dua dimensi (Daryl L. Logan : 2007)
Elemen sangat kecil dengan sisi dx dan dy yang telah mengalami tegangan normal πππ₯π₯ dan πππ¦π¦ masing-masing berperan pada arah sumbu x dan y ( disini pada
permukaan vertikal dan horizontal). Sedangkan gaya geser πππ₯π₯π₯π₯ berperan pada tepi sumbu y ( permukaan vertikal ) dalam arah y dan gaya geser πππ¦π¦π¦π¦ berperan pada tepi sumbu x( permukaan vertikal ) dalam arah y. Momen keseimbangan dari
elemen menghasilkan πππ₯π₯π₯π₯ yang sama besarnya dengan πππ¦π¦π¦π¦ . Oleh karena itu tiga
tegangan-tegangan yang secara bebas ada dan diwakili oleh vektor matriks kolom.
16 Universitas Sumatera Utara
πππ₯π₯ ππ {ππ} = οΏ½ π¦π¦ οΏ½ πππ₯π₯π₯π₯
Tegangan yang diberikan dari persamaan diatas akan dinyatakan dalam derajat kebebasan perpindahan pada suatu titik. Oleh karena itu setelah perpindahan nodal ditentukan maka tegangan- tegangan dapat langsung dievaluasi. Berdasarkan konsep tegangan, tegangan-tegangan utama dimana tegangan minimum dan maksimum pada bidang dua dimensi dapat diperoleh dari persamaan berikut :
ππ1 =
πππ₯π₯ + πππ¦π¦ πππ₯π₯ β πππ¦π¦ 2 2 = ππ + οΏ½οΏ½ οΏ½ + πππ₯π₯π₯π₯ ππππππ 2 2
ππ1 =
πππ₯π₯ + πππ¦π¦ πππ₯π₯ β πππ¦π¦ 2 2 = ππ β οΏ½οΏ½ οΏ½ + πππ₯π₯π₯π₯ ππππππ 2 2
Juga sudut utama ππππ yang mendefinisikan keadaan normal yang arahnya
tegak lurus terhadap bidang dimana tegangan maksimum atau minimum berperan dapat dicari melalui persamaan : π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππππ =
2πππ₯π₯π₯π₯ πππ₯π₯ β πππ¦π¦
Metode elemen hingga dapat dipandang sebagai perluasan metode perpindahan ( yang dikenal pada konstruksi rangka ) ke masalah kontinum berdimensi duadan tiga, seperti plat, stuktur selaput (shell) dan lain-lain.Dalam metode ini, kontinum sebenarnya diganti dengan sebuah struktur ideal ekivalen yang terdiri dari elemen β elemen diskrit. Pada dasarnya struktur dengan system diskrit ini sama dengan system generalized, yaitu bilajumlah elemen-elemen yang membangun struktur tersebut mendekati tak berhingga. Pemecahan sistem iniberupa persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk matiks, sedangkan untuk sistem generalized pemecahan berupa persamaan diferensial. 17 Universitas Sumatera Utara
Ada dua tipe elemen yang paling umum digunakan yaitu elemen berbentuk segi empat dan berbentuk segitiga, Dalam tulisan ini akan dibahan mengenai pemakaian elemen segitiga.
Gambar 1.4 model elemen segitiga Masing β masing titik pada elemen mempunyai 2 derajat kebebasan (two degree of freedom ) . maka untuk elemen segitiga total derajat kebebasannya menjadi 6 ( u1, v1, u2, v2, u3, v3 ). Serta gaya- gaya yang sesuai adalah ( Fx2, Fy1, Fx2, Fy2, Fx3, Fy3 )
Berdasarkan JR William Weaver dan Paul R Johnston. (1993), Matriks Kekakuan elemen segitiga (Constant Strain Triangle) dapat dinyatakan sebagai :
Dimana :
[ππ] = π‘π‘ π΄π΄ [π΅π΅]ππ [π·π·][π΅π΅]
[k] = matriks kekakuan struktur, t
= tebal elemen,
π΄π΄= luasan elemen,
[B] = matriks gabungan,
[D] = matriks elastisitas.
18 Universitas Sumatera Utara
Dalam tulisan ini yang akan dihitung adalah tegangan bidang dan asusmsi yang digunakan adalah : πππ§π§ = πππ₯π₯π₯π₯ = πππ¦π¦π¦π¦ = 0
Hubungan antara tegangan dan regangan adalah : πππ₯π₯ = πππ¦π¦ = πππ₯π₯π₯π₯ = Dimana :
πΈπΈ οΏ½ππ + π£π£πππ¦π¦ οΏ½ (1 β π£π£ 2 ) π₯π₯
πΈπΈ οΏ½ππ + π£π£πππ₯π₯ οΏ½ (1 β π£π£ 2 ) π¦π¦
πΈπΈ = πΎπΎπ₯π₯π₯π₯ = πΊπΊπΎπΎπ₯π₯π₯π₯ 2(1 β π£π£ )
E = merupakan modulus elastisitas bahan v = angka poisson. G = modulus geser
Matriks elastisitas [D] didapat dari kondisi tegangan dan regangan dua dimensi, didapat matriks : {ππ} = [π·π·]{ππ}
1 πΈπΈ π£π£ [π·π·] = οΏ½ 1 β π£π£ 2 0
π£π£ 1 0
0 0 1 β π£π£ οΏ½ 2
Matriks gabungan [B] didapat dari hubungan antara regangan/ perpindahan dan tegangan / regangan. Regangan yang berhubungan dengan perpindahan dengan elemen dua dimensi dinyatakan dalam matriks dibawah ini :
19 Universitas Sumatera Utara
{ππ} =
π½π½ 1 ππ οΏ½0 2π΄π΄ πΎπΎ ππ
0 πΎπΎππ π½π½ππ
π½π½ππ 0 0 πΎπΎππ πΎπΎππ π½π½ππ
π½π½ππ 0 πΎπΎππ
Atau :
ππππ π½π½ππ ] οΏ½ ππππ οΏ½ ππππ
π½π½ππ
{ππ} = [π½π½ππ
π’π’ππ β§ π£π£ππ β« 0 βͺ βͺ π’π’ πΎπΎππ οΏ½ π£π£ππ ππ π½π½ππ β¨π’π’ β¬ βͺ ππ βͺ β© π£π£ππ β
Dimana : π½π½ππ [π½π½ππ ] = οΏ½ 0 2π΄π΄ πΎπΎππ 1
0 πΎπΎππ οΏ½ π½π½ππ
π½π½ππ οΏ½π½π½ππ οΏ½ = οΏ½ 0 2π΄π΄ πΎπΎππ 1
0 πΎπΎππ οΏ½ π½π½ππ
[π½π½ππ ] =
Kemudian matriks diatas disederhanakan menjadi :
π½π½ππ 0 οΏ½ 2π΄π΄ πΎπΎππ
0 πΎπΎππ οΏ½ π½π½ππ
1
{ππ} = [π΅π΅]{ππ}
[π΅π΅] = οΏ½π΅π΅ππ π΅π΅ππ π΅π΅ππ οΏ½
Sehingga hubungan dari matriks kekakuan elemen segitiga dapat dijabarkan menjadi :
π½π½ππ β‘0 β’ π½π½ππ [ππ] = π‘π‘π‘π‘ β’ β’0 β’π½π½ππ β£0
Dimana:
disimbolkan
0 πΎπΎππ 0 πΎπΎππ 0 πΎπΎππ
[ππ] = π‘π‘ π΄π΄ [π΅π΅]ππ [π·π·][π΅π΅]
πΎπΎππ π½π½ππ β€ π½π½ 0 π½π½ππ πΎπΎππ β₯ ππ β₯ οΏ½ 0 πΎπΎππ 0 π½π½ππ β₯ πΎπΎ π½π½ππ πΎπΎππ πΎπΎππ β₯ ππ π½π½ππ β¦
0 πΎπΎππ π½π½ππ
1 π½π½ππ 0 πΈπΈ π£π£ 0 πΎπΎππ οΏ½ οΏ½ οΏ½οΏ½ 1 β π£π£ 2 0 πΎπΎππ π½π½ππ
π£π£ 1 0
0 0 1 β π£π£οΏ½ 2
[k] = sebuah fungsi variasi dari koordinat titik x dan y, dan dapat dengan πΎπΎ dan π½π½.
E = merupakan modulus elastisitas bahan . v = angka poisson.
20 Universitas Sumatera Utara
Setelah kita mendapatkan matriks kekakuan [k], maka nilai kekakuan setiap elemen dapat digabungkan kedalam matriks kekakuan global.
Dimana:
{πΉπΉ} = matriks gaya
{πΉπΉ} = [πΎπΎ]{ππ}
{ππ} = matriks perpindahan
Dengan didapatkannya nilai perpidahan, maka kita bisa mencari nilai tegangan, melalui persamaan matriks : {ππ} = [π·π·][π΅π΅]{ππ}
Secara umum, penjabaran persamaan diatas menjadi
1 πππ₯π₯ πΈπΈ π£π£ οΏ½ πππ¦π¦ οΏ½ = οΏ½ 2 (1 β π£π£ ) πππ₯π₯π₯π₯ 0
π£π£ 1 0
0 π½π½1 0 π½π½3 1 0 0 πΎπΎ1 0 1 β π£π£ οΏ½ π₯π₯ οΏ½2π΄π΄οΏ½ οΏ½ πΎπΎ1 π½π½1 πΎπΎ3 2
0 πΎπΎ3 π½π½3
ππ1π₯π₯ β§ππ β« 1π¦π¦ π½π½2 0 βͺ βͺ βͺ βͺ ππ 0 πΎπΎ2 οΏ½ 3π₯π₯ ππ πΎπΎ2 π½π½2 β¨ 3π¦π¦ β¬ βͺ βͺππ2π₯π₯ βͺ βͺ β©ππ2π¦π¦ β
21 Universitas Sumatera Utara
1.2 Latar Belakang Masalah Dalam menghitung tegangan pada balok tinggi dapat dikerjakan melalui berbagai metode.Secara eksak nilai tegangan dapat dicari tetapi membutuhkan waktu yang lama dan pendalaman pada rumus yang dipakai. Salah satu metode lain yang bisa dipakai untuk mencari tegangan pada balok tinggi dapat menggunakan metode elemen hingga ( finite element method ). Untuk melakukan analisis ini dipergunakan elemen segitiga yaitu dengan membuat garis fiktif yang sedemikian rupa sehingga membentuk elemen-elemen segitiga dan masing-masing nodal diberi nomor-nomor yang berurutan. Tetapi dalam perhitungannya akan mejadi lama jika dilakukan secara manual. Maka diperlukan alat bantu yang dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut, oleh karena itu penulis memakai program Microsoft Excel yang nantinya nilai tegangan yang didapat akan dibandingkan dengan menggunakan metode Heft 240. Metode Heft 240 dipergunakan untuk mendapatkan tegangan dengan prosedur dan tabel-tabel yang sudah ditetapkan untuk berbagai kondisi perletakan dan pembebanan.
Gambar 1.5 keadaan tegangan antara balok biasa dengan balok tinggi(M. Rα½sler, 2002)
22 Universitas Sumatera Utara
Dibawah ini adalah model balok tinggi yang akan dianalisis : 400 kN
500 mm
500 mm
500 mm
3000 mm
500 mm
500 mm
500 mm
400 kN
500 mm
3000 mm 500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
Gambar 1.6 model balok tinggi
Kemudian struktur diatas akan dihitung dengan menggunakan elemen segitiga.
23 Universitas Sumatera Utara
400 kN
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
400 kN
3000 mm 500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
Gambar 1.7 pembagian elemen segitiga 400 kN
400 kN 14
27
28
41
42
49
12
25
26
39
40
48
9
10
23
24
37
38
47
7
8
21
22
35
36
46
5
6
19
20
33
34
45
3
4
17
18
31
32
44
1
2
15
16
29
30
43
500 mm
13
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
11
3000 mm 500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
500 mm
Gambar 1.8 penomoran elemen
24 Universitas Sumatera Utara
1.3 Aplikasi 1.3.1 Transfer girder Balokgirderadalah balok diantara dua penyangga (pier atauabutment ) yang berfungsi untuk mendukung balok lainnya yang lebih kecil dalam suatu konstruksi, umumnya merupakan balok I, tetapi juga bisa berbentuk box, ataupun bentuk lainnya. Pada balok tinggi sebagai transfer girder adalah ketika balok tinggi mengambil peranan balok girder ini dengan menyalurkan pembebanan yang dipikul dari struktur diatasnya ke perletakan. Contoh bangunannya adalah Brunswick Building, dimana setiap beban pada kolom-kolom perimeter yang berjarak disalurkan melalui balok tinggi pada sebuah kolom berasr berjarak pada lantai dasar.
Gambar 1.9Brunswick Building 1.3.2 Bangunan bentang lebar tanpa kolom
(a)
(b)
25 Universitas Sumatera Utara
(c) Gambar 1.10(a) Biological Station of Garducho(b) penulangan balok tinggi memanjang (c) melintang
1.3.3 PemasanganDinding Precast Pada Bangunan Tanpa Kolom
Gambar 1.11 pemasangan dinding precast
26 Universitas Sumatera Utara
Gambar 1.12 pemasangan struktur precast
1.4 Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini adalah untuk membandingkan perhitungan tegangan pada balok tinggi dengan metode elemen hingga (finite element method ) dengan hasil metode heft 240.
1.5 Batasan Masalah Pada analisa ini, penulis membatasi permasalahan untuk penyederhanaan sehingga tujuan dari penulisan tugas akhir ini dapat dicapai, yaitu : 1. Model struktur bangunan adalah balok tinggi ( h= L )dengan panjang 3 meter, lebar3 meter dan tebal 0,5 meter. 2. Beban yang bekerja adalah beban vertikal statis ekivalen sebesar 400 kN yang bekerja pada balok dengan perletakan sederhana ( sendi-rol). 3. Menganalisa tengangan yang terjadi akibat beban terpusat. Analisa struktur yang dilakukan adalah dengan finite element method untuk dua dimensi. 4. Sebagai perbandingan dari nilai tegangan yang diperoleh dengan metode elemen hingga akan dikontrol dengan metode Heft 240.
27 Universitas Sumatera Utara
1.6 Metode Pembahasan Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah analisa dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku yang berhubungan dengan pembahasan tugas akhir ini serta masukan β masukan dari dosen pembimbing. Perhitungan dan pemasukan matriks β matriks finite element method dilakukan dengan bantukan program Microsoft Excel 2010. Sedangkan sebagai perbandingan nilai tegangan yang didapatkan dengan menggunakan metode Heft 240.
28 Universitas Sumatera Utara
