BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Salah satu peran dan fungsi statistik dalam ilmu pengetahuan adalah sebagai. alat analisis dan interpretasi data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga didapatkan suatu kesimpulan dari data tersebut. Dalam statistik, estimasi adalah suatu metode untuk mengetahui sekitar berapa nilai-nilai suatu populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Nilai populasi sering disebut dengan parameter populasi, sedangkan nilai-nilai sampel sering disebut dengan statistik sampel.
Dalam metode estimasi, parameter populasi yang ingin ditaksir itu adalah berupa nilai rata-rata yang diberi notasi dan nilai simpangan baku dengan notasi . Teori estimasi sendiri digolongkan menjadi estimasi titik (Point Estimate) dan pendugaan selang (Interval Estimation). Istilah statistik yang sering didengar adalah estimasi yang merupakan terjemahan dari kata estimation. Pada dasarnya, estimasi adalah suatu metode untuk mengetahui sekitar beberapa nilai-nilai suatu populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Estimasi titik yang cukup penting adalah metode maksimum likelihood. Estimasi ini pertama kali dikembangkan oleh R.A Fisher tahun 1920. Estimasi yang digunakan disini merupakan contoh dari estimasi titik. Salah satu metode estimasi adalah Estimasi maksimum likelihood. Metode ini mempunyai beberapa kriteria seperti ketidakbiasan, efisiensi dan konsistensi. Suatu metode yang bersifat umum dari estimasi titik (Point Estimate) dengan beberapa sifat teoritis yang lebih kuat dibandingkan dengan metode OLS (Ordinary Least Square Estimator) adalah kemungkinan terbesar (Maximum Likelihood, ML).
Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel disebut sebagai peubah acak. Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan
Universitas Sumatera Utara
bulat, maka ruang sampel disebut ruang sampel diskrit. Dan bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titk pada sepotong garis, maka ruang sampel disebut ruang sampel kontinu. Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. Jika menyangkut peubah kontinu, f(x) dinamakan fungsi padat peluang atau disingkat dengan fungsi padat. Beberapa distribusi peluang kontinu khusus itu diantaranya adalah: Distribusi Normal, Distribusi Normal Baku, Distribusi Seragam, Distribusi Eksponensial, Distribusi Gamma, Distribusi Beta, Distribusi Khi Kuadrat, dan Distribusi Weibull, (Walpole & Myers, 1995: 51-60).
Berdasarkan latar belakang yang telah diuaraikan, penulis tertarik untuk mengambil judul : ”Penggunaan Metode Maksimum Likelihood Dalam Menaksir Parameter Distribusi Gamma”.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka permasalahan dalam penelitian adalah Bagaimana penggunaan metode Maksimum Likelihood dalam menaksir parameter distribusi gamma.
1.3
Batasan Masalah
Untuk
membatasi
permasalahan,
maka
peneliti
memberikan
batasan
asumsi
X~G(x|α,β,0) dimana estimasi parameter α dan β akan dicari dengan metode Maksimum Likelihood. Dalam menentukan estimasi parameter dari distribusi gamma ini digunakan sifat-sifat pendugaan yaitu unbias, efisien, dan konsisten.
1.4
Tinjauan Pustaka
Universitas Sumatera Utara
Distribusi gamma merupakan distribusi yang digunakan dalam menggambarkan waktu hidup, distribusi gamma dapat dianggap sama dengan distribusi eksponensial atau poison, dimana pada distribusi poison dipakai waktu sebagai variabel. Sedang pada distribusi gamma dipakai pertambahan jumlah sebagai variabel tetapi keduanya mempunyai karakteristik populasi yang sama. Misalkan X suatu peubah acak kontinu berdistribusi gamma dengan parameter
dan , bila bentuk fungsi padatnya x 1 1 x e f(x) = ( ) 0
dengan > 0 dan > 0, (Walpole & Myers, 1995: 190). Bila X berdistribusi gamma X~ G(x| , ,0) maka rataan dan variansi distribusi gamma adalah:
= E(X) = dan 2 =
2
Jika X adalah peubah acak dengan distribusi peluang f(x) dan rataan , maka: Var (X) =
2
2 = E [(x- )2]=
(x- ) 2 f(x)
x
bila x diskrit, dan
2 = E [(x- )2] =
(x- ) 2 f(x) dx
(2.9)
bila x kontinu
Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920, misalkan x1 , x2 ,..., xn , menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat peluangnya dinyatakan dengan f(x, ) dengan parameter yang akan ditaksir dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah:
L f x1 ; f x2 ; ... f xn ;
Universitas Sumatera Utara
n
=
f x , i
i 1
= L | x1 , x2 ,..., xn = L Dengan
x1 , x2 ,..., xn
= variabel random
= parameter yang ditaksir
L
= fungsi likelihood Misalkan x1 , x2 ,..., xn peubah acak dengan fungsi distribusi F(x 1 ,x 2 ,...,x n | )
dengan yang tidak diketahui, maka fungsi likelihood ialah:
f ( x1 , x 2 ,..., xn | L ( ) = p( x1 , x2 ,..., x n | Untuk Setiap ˆ = ˆn (x 1 ,x 2 ,…,x n )
1.4 Tujuan Penelitian
Dapat mengetahui penggunaan metode maksimum likelihood dalam menaksir parameter dari distribusi gamma.
1.5 Manfaat Penelitian
1. Mengetahui cara menaksir parameter distribusi Gamma dengan metode maksimum likelihood 2. dapat memperdalam pemahaman peneliti mengenai Statistik inferensi, khususnya pendugaa parameter distribusi gamma
Universitas Sumatera Utara
1.6 Metode Penelitian
Mengumpulkan teori-teori probabilitas yang mendukung dalam pelaksanaan penelitian sehingga dapat diperoleh estimasi parameter untuk distribusi gamma, kemudian menggunakan estimasi maximum likelihood untuk mendapatkan estimasi parameter tersebut. Langkah terakhir dari penelitian ini adalah menarik kesimpulan dari seluruh permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.
Universitas Sumatera Utara
