BAB-4. METODE PENELITIAN
4.1.
Bahan
Penelitian
Untuk keperluan kalibrasi dan verifikasi model numerik yang dibuat, dibutuhkan data-data tentang pola penyebaran polutan dalam air. Ada beberapa peneliti baik dari luar maupun dari dalam negeri yang telah melakukan pemodelan fisik di laboratorium tentang pola penyebaran polutan, sehingga untuk kalibrasi dan verifikasi cukup memakai data-data tersebut.
4.2.
Alat yang Digunakan
Alat-alat yang digunakan untuk melakukan penelitian ini adalah sebagaimana diuraikan berikut i n i . 1.
Untuk menyusun algoritma program komputer dalam pembuatan model numerik diperlukan seperangkat komputer beserta software
pendukung
pembuatan model, disket, CD, dan Iain-lain. 2.
Untuk
membuat
software
aplikasi
dari
model
numerik
yang
dikembangkan, dibutuhkan compiler dalam hal ini dipakai dari Compaq Visual Fortran.
4.3.
Prosedur
Pelaksanaan matematis
Penelitian
penelitian ini yang
dimulai
mempresentasikan
dengan suatu
menyusun
fenomena
suatu
persamaan
penyebaran
polutan.
Persamaan tersebut biasa dikenal sebagai persamaan adveksi-difusi. Diskritisasi
metode
elemen
hingga
dilakukan
untuk
mencari
solusi
dari
persamaan matematis yang telah dibuat. Diskritisasi dilakukan dengan jalan menyusun
persamaan-persamaan
diskrit dengan
metode
elemen
hingga.
Penyusunan formulasi elemen hingga dilakukan dengan cara interpolasi dan
18
integrasi pada domain hitungan yang ditentukan, sehingga dihasilkan suatu persamaan matrik. Penyusunan algoritma program komputer dilakukan untuk mencari penyelesaian persamaan matrik yang telah dihasilkan. Dalam penyusunan algoritma program komputer dipakai bahasa pemrograman dari bahasa FORTRAN, dengan compiler Compaq Visual FORTRAN. Pemilihan bahasa pemrograman i n i didasarkan pada kecepatan proses hitungannya (Sadtopo, 2001). Luaran (output)
dari program/model yang dibuat berupa konsentrasi polutan
pada setiap t i t i k dalam domain hitungan yang dibuat. Domain yang dibuat untuk kasus 3 dimensi dilakukan dengan mesh generator yang dibuat oleh Lab. Komputasi Jurusan Teknik Sipil UGM melalui riset Hibah Bersaing IV (Rahardjo, dkk 1998). Verifikasi model dilakukan untuk pemeriksaan unjuk kerja model numeris yang telah dibuat. Kasus sederhana digunakan untuk pemeriksaan unjuk kerja model pada tahap awal. Pemeriksaan awal cukup memperhatikan kecenderungankecenderungan (kualitatif). Untuk selanjutnya pemeriksaan unjuk kerja model dilakukan
dengan
data
lapangan.
Dengan
data
lapangan
dapat
dilihat
kemampuan kalibrasi model. Secara skematis, penelitian tentang Pengembangan Model Penyebaran Polutan 3D untuk Pedoman Pembuangan Limbah Cair ini dilakukan mengikuti bagan alir sebagai berikut.
Mulai
i
Perumusan Masalah dan Tujuan Penelitian
i
Studi Pustaka Dan Landasan Teori
Diskretisasi dan Pemilihan Konfigurasi Elemen
Penyusunan Formulasi Elemen Hingga
Penyusunan Algoritma Program Komputer
Kalibrasi dan Verifikasi Model Numerik
Analisis Hasil Model Numerik
,
i
;
Kesimpulan
, ^ . , Gambar 4. 1. Bagan Alir Penelitian Selesai
4.4. Bentuk
Diskretisasi dan P e m i l i h a n Konfigurasi persamaan
dijabarkan
angkutan dan sebaran
lagi dalam bentuk persamaan
material
Elemen (Persamaan
interpolasi.
2.6)
bisa
Interpolasi tersebut
adalah usaha untuk mendapatkan C disuatu tempat dalam koordinat (x,y,z) dari nilai-nilai
C
di t i t i k - t i t i k sudut elemen yang bersangkutan,
sehingga
persamaannya menjadi : ^ dC dt
dN,
-
ox,
,
d-N OX'
Dengan mengaplikasikan Metode Sisa Berbobot, dimana integrasi perkalian antara fungsi kesalahan dan suatu fungsi pembobot adalah sama dengan nol, maka diperoleh persamaan berikut ini,
(4.2)
dx:
dt
Fungsi pembobot yang dipakai adalah fungsi pembobot berdasarkan Metode Petrov-Galerkin sebagaimana ditunjukkan pada Persamaan 2.21. Selanjutnya pembentukan formulai numeris dari masing-masing
suku pada
persamaan
tersebut diuraikan berikut i n i .
4.4.1. Suku l a j u perubahan fungsi t e r h a d a p w a k t u Formulasi numeris pada suku laju perubahan fungsi terhadap waktu dipakai fungsi pembobot berdasarkan metode Bubnov-Galerkin, yaitu sama dengan fungsi dasar yang dipakai dalam proses interpolasi dC
W.N
dt
(4.3a)
do.
n
M]
{Wj=Nj).
~C"
C"^'
(4.3b)
At
Matriks [M] disebut sebagai matriks massa (mass matrix).
Nilai matriks [M] ini
tidak berubah dalam tiap langkah waktu, sehingga matriks [M] dihitung hanya pada langkah waktu pertama saja untuk kemudian digunakan pada langkahlangkah waktu selanjutnya.
4.4.2. Suku konveksi Dengan menggunakan fungsi pembobot berdasarkan Metode Petrov-Galerkin, maka formulasi numeris pada suku konveksi menjadi sebagai berikut, ah -'
2
ah u„,
^ ,
dx. dN, dx.
•
+•
dN
M„
u„Ni
u„N,
dN, dx.
dx.
\dO.
(4.4a)
(4.4b)
k\dn
(4.4c) dengan [K^] adalah matriks kekakuan (stiffness matrix) untuk suku konveksi. Matriks
ini
mengandung
interpolasi
dari
fungsi
kecepatan
u
sehingga
komponennya tergantung dari nilai u. Berhubung nilai kecepatan selalu berubah terhadap waktu, maka matriks kekakuan ini dihitung pada setiap langkah waktu pula.
4.4.3. Suku Difusi Dengan menggunakan fungsi pembobot berdasarkan Metode Petrov-Galerkin, maka formulasi numeris pada suku difusi menjadi sebagai berikut.
"
=n
dx]
= -A:„
'
dx
'
2
-k.
dx. k„ \
'
-u,
" I n .
Suku kedua dalam persamaan
tersebut
"
dx]
dx]
(4.5a)
C, \dQ.
(4.5b)
'
diabaikan karena nilainya kecil,
sedangkan pada suku pertama mengandung turunan kedua fungsi interpolasi, sehingga
dalam
usaha
untuk
menyederhanakan
formulasi diskret
dapat
digunakan Hukum Integrasi Bagian dari Green. Aplikasi teorema Green pada suku pertama pada persamaan tersebut akan memberikan. -k^
N^^C,dQ dx.
= - k !
^ dx, dx.
'
' dx.
' '
(4.6)
sehingga formulasi numeris untuk suku difusi menjadi : =
K
(4.7a)
dx. (4.7b)
dengan [KZ] adalah matriks kekakuan {stifness
matrix)
untuk suku difusi, dan
integrasi suku kedua pada Persamaan 4.7a dihitung dengan integrasi numeris pada bidang batas (boundary)
menggunakan
dari elemen yang ditinjau.
Integrasi batas ini diterapkan pada batas dari domain hitungan yang tidak mempunyai kondisi batas (boundan/
condition).
Bidang batas dari elemen yang ditinjau terdiri dari 8 t i t i k nodal. Nilai normal ni pada integrasi batas tersebut tergantung pada bidang batas yang ditinjau. Pada proses integrasi pada bidang batas digunakan t i t i k - t i t i k Gauss, dengan 3 t i t i k pada tiap arah pada koordinat lokal. Jadi untuk integrasi pada bidang batas digunakan 9 t i t i k Gauss. Secara keseluruhan formulasi numerik untuk Persamaan Konveksi dan Difusi adalah sebagai berikut ini.
dx.„
^"^^u„^dnq-k„
"dK„
dx„
{N,^n„drc,
(4.8)
r
dengan indeks i , j , I = 1, 2, 3,..., M; M adalah jumlah t i t i k pada domain hitungan indeks m, n = 1, 2, 3. Persamaan di atas merupakan persamaan diskret untuk persamaan diferensial unsteady
konveksi-difusi. Untuk menyelesaikan Persamaan (4.8) selanjutnya
persamaan disusun dalam persamaan matriks dan vektor.
[M])C"*'}+[A:]{C''}= 0 Dalam persamaan matriks tersebut, hanya vektor
(4.9) yang tidak diketahui,
sehingga persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan penyelesaian persamaan matriks biasa. 4.5.
Kondisi Awal dan Kondisi
Batas
Penyelesaian kasus transport polutan dimulai pada saat awal yaitu t=0, dengan kondisi awal diasumsikan air belum terkontaminasi dengan limbah, atau dengan kata lain konsentrasi polutan di semua t i t i k adalah nol. Secara matematis bisa dirumuskan sebagai berikut. C,(x,0)=0 dengan i=1,2,3...N, dimana N adalah jumlah t i t i k .
(4.10)
Kondisi batas yang diterapkan adalah kondisi batas berupa besaran konsentarasi yang diberikan (prescribed)
nilai
pada t i t i k - t i t i k lokasi yang diberikan.
Pada aplikasinya, t i t i k - t i t i k tersebut disesuaikan dengan lokasi dimana limbah cair tersebut dibuang (lokasi pabrik), (4.11)
C{x,t)=c dimana c adalah suatu besaran yang diketahui. 4.6.
Penyusunan Algoritma
Program
Komputer
Secara keseluruhan algoritma program komputer yang disusun terdiri dari dua bagian
hal yang
persamaan
mendasar.
Navier-Stokes
Yang pertama adalah algoritma peyelesaian
dan yang
kedua
adalah algoritma penyelesaian
persamaan transport konveksi-difusi. Pada penelitian ini dititikberatkan pada penyusunan algoritma persamaan transport konveksi-difusi, sedangkan untuk peyelesaian persamaan Navier-Stokes yang memberikan nilai kecepatan pada t i t i k - t i t i k hitungan digabungkan dengan penelitian yang pernah
sebelumnya
oleh Sadtopo 2001. Algoritma program komputer dapat disusun berpedoman pada formulasi elemen hingga yang telah diperoleh. Dalam penyusunan algoritma program komputer dipakai bahasa pemrograman dari bahasa FORTRAN, dengan compiler Watcom FORTRAN. Pemilihan bahasa pemrograman ini didasarkan pada kecepatan proses hitungannya. Algoritma program komputer penyelesaian Persamaan Konveksi-Difusi
disusun
mengikuti urutan sebagai berikut, dengan source code secara lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1, 1.
deklarasi variabel,
2.
input data,
3.
inisiasi variabel dan penyusunan integral fungsi basis dan turunannya, dan
4.
hitungan berulang sesuai langkah waktu.
24
4.6.1. Deklarasi v a r i a b e l Sebelum melakukan hitungan, variabel-variabel yang terlibat dalam hitungan harus dideklarasikan
lebih dahulu. Bagian deklarasi variabel adalah bagian
program yang mempersiapkan
ruang dalam memory
komputer untuk matriks
dan vektor yang diperlukan. Deklarasi variabel memberikan batasan-batasan dan jenis tiap variabel, misalnya jumlah elemen maksimal atau t i t i k nodal maksimal yang bisa dijalankan oleh program. Batasan ini kompilasi
program
berguna dalam
yaitu supaya bila terjadi konflik antar variabel
dapat
diketahui.
4.6.2. Input data Bagian ini membaca data dari file geometri diskritisasi domain hitungan. Untuk membuat file geometri ini dibantu dengan program mesh senerator
yang telah
dikembangkan oleh Laboratorium Komputasi Jurusan Teknik Sipil FT UGM, yaitu dengan program
"3D
Air
Bubble
menyajikan keluaran nomor-nomor
Flow
Model".
Mesh
generator
elemen dan data konektivitas
tersebut titik-titik
nodal global dalam elemen tersebut (GE) dan koordinat global dari semua t i t i k titik nodal (GNN). Selain membaca data geometri hitungan, bagian ini juga membaca data input sebagai berikut. a. Titik-titik nodal pada batas hilir dan hulu (sesuai arah aliran) dari domain hitungan. b. Parameter
yang digunakan dalam
hitungan
numerik seperti faktor
implisit Q, At dan jumlah langkah waktu yang diinginkan.
4.6.3. Inisiasi variabel dan penyusunan integral fungsi basis Data parameter ini digunakan untuk kondisi awal pada hitungan yang berulangulang untuk langkah waktu yang ditentukan.
Fungsi basis, turunannya dan integrasi fungsi basis atau perkaliannya pada semua elemen merupakan fungsi geometri. Hal-hal tersebut tidak berubah selama tidak terjadi perubahan diskretisasi domain hitungan. Pada hitungan langkah-langkah waktu dalam program yang disusun tidak terjadi perubahan diskretisasi domain hitungan sehingga hitungan-hitungan yang hanya melibatkan fungsi geometri dilakukan dalam sekali langkah hitungan.
4.6.4. Hitungan berulang sesuai langkah waktu Hitungan ini dilakukan berkali-kali sesuai dengan jumlah langkah waktu yang ditentukan. Proses hitungan yang dilakukan pada tahap ini adalah sebagai berikut. a.
Integrasi
numeris
Persamaan
Konveksi-Difusi.
dihasilkan matriks kekakuan (stiffness
matrix)
Pada
proses
ini
[K] dalam koordinat
lokal. Sedangkan untuk suku-suku yang lain, yaitu suku laju perubahan fungsi terhadap waktu, integrasi cukup dilakukan sekali saja, karena matriks yang terbentuk yaitu matriks massa (mass matrix)
[M] tidak
mengalami perubahan pada langkah-langkah waktu berikutnya. b. Perakitan
matiks-matriks yang
diperoleh pada
proses
integrasi
menjadi matriks-matriks dalam koordinat global. Proses ini sering disebut dengan Assemble. c.
Memasukkan kondisi batas.
d.
Membentuk vektor ruas kanan (RHS) dengan cara mengalikan matriks [M] dengan variabel C yang telah diketahui dari kondisi awal atau dari hitungan sebelumnya.
e. Menghitung nilai-nilai C
pada setiap t i t i k dengan cara mengalikan
matriks invers yang diperoleh dari hitungan sebelumnya dengan vektor ruas kanan. f.
Mencatat semua nilai-nilai C
ke dalam file.
4.7.
Pemeriksaan Model
Numerik
Untuk menguji unjuk kerja model numeris yang telah dibuat maka
hasil
hitungan numerik perlu dibandingkan dengan hasil hitungan analitik atau hasil eksperimental. Pada langkah ini akan dilihat seberapa jauh akurasi hitungan model numerik i n i . Selanjutnya hasil-hasil pemeriksaan model numerik dan pembahasannya akan disajikan pada Bab V.
27
