BAB 2 LANDASAN TEORITIS PERMASALAHAN
2.1 PRINSIP DASAR GRAVITASI Gaya tarik-menarik antara dua buah partikel sebanding dengan perkalian massa kedua partikel tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara pusat keduanya (Newton, 1687). Pada koordinat kartesius, gaya tarik menarik antara partikel bermassa m2 pada koordinat Q (x’,y’,z’) dengan partikel bermassa m1 pada koordinat P (x,y,z) sesuai dengan persamaan (2-1) (Gambar 2.1).
F =γ
m1 ⋅ m2 r2
dengan r = [( x − x ') 2 + ( y − y ') 2 + ( z − z ') 2 ]
(2-1) 1
2
dan γ = konstanta gravitasi.
m1
P(x,y,z)
Gambar 2.1
m2 Q(x’,y’,z’)
Sketsa gaya tarik menarik antara dua buah benda
Percepatan yang dialamai m2 akibat adanya m1 bisa dihitung dengan membagi F dengan m2. Jika m1 adalah massa bumi, maka percepatan yang dialami m2 pda permukaaan bumi sesuai dengan persamaan (2-2) (Telford, 1976). g=
∧ m F = −γ 2bumi r1 (cm/sec2) m2 rbumi
(2-2)
dimana γ = 6,67x10-11m3kg-1sec-2 ∧ ∧ ∧ ∧ 1 r = [( x − x ') 2 i + ( y − y ') 2 j + ( z − z ') 2 k ] r
Medan gravitasi adalah konservatif dan gaya gravitasi adalah vektor dimana arahnya adalah sepanjang garis yang menghubungi pusat dari kedua massa. Gaya yang dilakukan oleh unit massa yang bergerak dari sebuah jarak yang sangat jauh melalui lintasan manapun menuju sebuah titik yang berjarak R dari pusat gravitasi massa M akan memenuhi persamaan (2-3) (Telford, 1976). 4
U (r) =
γM R
(2-3)
Jika sebuah massa berukuran sangat panjang pada sumbu-y dan mempunyai bentuk yang seragam pada sumbu-x dan sumbu-z (benda 2-D), maka gaya tarik gravitasinya sesuai dengan persamaan (2-4) (Telford, 1976). ⎛1⎞ U = 2γσ ∫ ∫ log ⎜ ⎟ dx.dz ⎝r⎠ x z
(2-4)
dimana r 2 = x 2 + z 2 , dan σ = ρ = massa jenis. Efek gravitasi untuk benda 2-D dengan asumsi densitas konstan terhadap volume adalah sesuai dengan persamaan (2-5). gz =
∂U z = −2γσ ∫ ∫ 2 dx.dz r ∂z x z
(2-5)
2.2 KOREKSI-KOREKSI ANOMALI GAYABERAT
Nilai g hasil pengukuran gayaberat yang diinginkan adalah nilai densitas dari benda zona target. Akan tetapi, nilai yang terukur gravimeter juga terpengaruh faktor-faktor lain. Faktor-faktor ini dapat dihilangkan dengan koreksi-koreksi: 1) Pasang surut (Tide Correction) Pengaruh gravitasi dari benda-benda di luar bumi seperti bulan dihilangkan dengan koreksi ini. Pengaruh gravitasi bulan di titik P pada permukaan bumi sesuai persamaan (2.6) dan sketsanya pada Gambar 2.2 (Kadir, 2000): 3
⎤ ⎛ c ⎞ ⎡ ⎛1 ⎞ ⎡1 ⎤ U m = G (r ) ⎜ ⎟ ⎢3 ⎜ − sin 2 δ ⎟ ⎢ − sin 2 φ ⎥ − sin 2φ sin δ cos t + cos 2 φ cos 2 δ cos 2t ⎥ R 3 3 ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎦
(2.6)
dimana φ = lintang, δ = sudut deklinasi, t = moon hour angle, dan c = jarak rata-rata ke bulan.
5
V p θm
R
θm H
Bl
R
Bm
Gambar 2.2
Sketsa pengaruh gravitasi bulan di titik P, dengan Bm adalah bumi dan Bl adalah bulan (Kadir, 2000)
2) Apungan (Drift Correction) Koreksi ini karena perbedaan pembacaan gaya berat dari stasion yang sama pada waktu yang berbeda yang disebabkan guncangan pada pegas gravimeter. Pengaruh ini dapat dihilangkan dengan desain lintasan pengukuran data gayaberat rangkaian tertutup (Gambar 2.3), sehingga besar penyimpangan dapat diketahui dan diasumsikan linear pada selang waktu tertentu, sesuai persamaan (2-7). drift =
g akh − g0 (tn − t0 ) takh − t0
(2.7)
dengan gakh = pembacaan gravitimeter pada akhir looping g0
= pembacaan gravitimeter pada awal looping
takh = waktu pembacaan pada akhir looping t0
= waktu pembacaan pada awal looping
tn
= waktu pembacaan pada stasiun ke n
Gambar 2.3
Contoh desain lintasan data gayaberat, setelah pengukuran di stasiun 16 maka dilakukan pengukuran kembali pada base
6
3) Koreksi Udara Bebas (Free Air Correction) Pengaruh ketinggian terhadap medan gravitasi bumi dihilangkan dengan koreksi ini. Nilai koreksi di lintang 45’ atau -45’ adalah -0.3086 mGal/m. Ini sesuai dengan persamaan (2-8) dan sketsanya pada Gambar 2.4. FAC = 0,3086.h
Gambar 2.4
(2-8)
Koreksi udara bebas terhadap data gayaberat (Zhou, 1990)
4) Bouguer (Bouguer Correction). Bouguer atau BC (Bouguer Correction) adalah harga gaya berat akibat massa di antara bidang referensi muka air laut (MAL) sampai titik pengukuran sehingga nilai gobservasi bertambah. Nilai koreksi ini negatif. Dengan pendekatan benda berupa slab, persamaannya sesuai persamaan (2-9) dan sketsanya pada Gambar 2.5.
BC = -0,04191 . ρ . h (mgal)
(2-9)
dengan h = ketinggian titik pengukuran, ρ = estimasi massa jenis benda dari titik pengukuran sampai MAL.
Gambar 2.5
Koreksi Bouguer terhadap data gayaberat (Zhou, 1990)
7
5) Lintang (Latitude Correction), Faktor gayaberat akibat lintang dengan referensi ellipsoid dapat dihilangkan dengan koreksi ini. Sesuai Woolard (1975), spheroid referensi sesuai persamaan (2-10) GRS67 (Geodetic Reference System 1967): g(φ) = 978031,846 (1 + 0,005278895 sin2 φ + 0,000023462 sin4 φ) (2-10) dimana φ = sudut lintang.
6) Koreksi Medan (Terrain Correction), Pengaruh topografi permukaan yang relatif kasar dengan perbedaan elevasi yang besar, seperti permukaan atau lembah di sekitar titik pengukuran dapat dihilangkan dengan koreksi ini. Sketsanya sesuai dengan Gambar 2.6.
Gambar 2.6
Sketsa koreksi medan terhadap data gayaberat (Zhou, 1990)
Metode grafik yang dapat digunakan untuk menghitung koreksi medan adalah Hammer Chart. Sketsanya sesuai dengan Gambar 2.7.
Gambar 2.7
Hammer Chart untuk menghitung koreksi medan (Reynolds,
1997)
8
Dengan pendekatan cincin silinder, persaman koreksi ini sesuai dengan persamaan (2-11) dan sketsanya sesuai dengan Gambar 2.8 TC =
2π G ρ ⋅ ( rL − rD ) + n
(
) (
rL 2 − z 2 −
rD 2 − z 2
)
(2-11)
dimana, n = jumlah segmen dalam zona tersebut. z = perbedaan elevasi rata-rata kompartemen dan titik pengukuran rL dan rD = radius luar dan radius dalam kompartemen ρ = densitas batuan rata-rata
Gambar 2.8
Cincin silinder yang terbagi 8 segmen untuk menghitung koreksi medan (Robinson, 1988)
2.3 ANOMALI BOUGUER LENGKAP
Setelah data lapangan diolah dengan koreksi diatas (pasang surut, apungan, udara bebas, Bouguer, lintang, dan medan) maka diperoleh Anomali Bouguer Lengkap (CBA). Ini sesuai dengan persamaan (2-12). CBA = gobs – (g(N) –(0,3086.h) +( 0,04191.ρ.h) – TC)
= gobs – g(N) + (0,3086.h) – (0,04191.ρ.h) + TC (mGal)
(2-12)
2.4 PEMISAHAN ANOMALI REGIONAL
Pada dasarnya, anomali gayaberat yang diukur di permukaan adalah gabungan berbagai sumber dan kedalaman anomali bawah permukaan. Data anomali yang dinalisa khusus di penelitian ini adalah anomali regional. Proses pemisahan data anomali regionalnya adalah sebagai berikut: 1. Estimasi Lebar Jendela. Transformasi Fourier untuk benda sembarang 2-D adalah (Blakely, 1996): ∞
F (k ) =
∫ F ( x )e
− ikx
dk
(2-13)
−∞
Periode transformasi Fourier adalah k (bilangan gelombang sampling). Hubungan λ dengan k diperoleh dari persamaan (Blakely, 1996):
9
k=
2π
λ
; λ = n ⋅ Δx ; n =
λ Δx
(2-14)
dengan, k = bilangan gelombang, Δx = jarak antar stasion, n = lebar jendela. 2. Perata-rataan Bergerak (Moving Average). Anomali gelombang frekuensi tinggi dihilangkan (low pass filter) dengan peratarataan bergerak data Anomali Bouguer Lengkap sehingga anomali regional didapat. Penerapannya pada peta 2-D dimana harga Δg R pada suatu titik dapat dihitung dengan merata-ratakan semua nilai Δg B di dalam sebuah kotak persegi dengan titik pusat adalah titik yang akan dihitung harga Δg R (Gambar 2.9) (Robinson, 1988). Contoh penerapannya dengan jendela 5x5 pada data 2-D sesuai dengan persamaan (2-15). Δg R =
1 ⋅ ⎡( Δg B1 ) + ( Δg B 2 ) + ( Δg B 3 ) + ...... + ( Δg B 25 ) ⎤⎦ 25 ⎣
Gambar 2.9
(2-15)
Sketsa Moving Average 2-D jendela 5x5 (Robinson, 1988)
2.5 METODE ANALISA DERIVATIVE
Analisa derivative yang dilakukan pada penelitian ini adalah: 1. First Vertical Derivative (FVD) Persamaan FVD dari gz untuk benda 2-D sesuai dengan persamaan (2-16) (Telford, 1976). ∂g z ⎛ 2z2 − r2 = 2γσ ∫ ∫ ⎜ 4 ∂z ⎝ r
⎞ ⎟ dx.dz ⎠
(2-16)
Proses pengukuran data First Vertical Derivative (FVD) dilakukan dengan menaikkan gravimeter ke ketinggian tertentu dengan tambahan alat bantu (Gambar 2.10) (Ager dan Liard, 1982).
10
g2
z2
g1
z1
Δh
Gambar 2.10 Sketsa pengukuran data FVD (Ager dan Liard, 1982)
2. First Horizontal Derivative (FHD) Dengan mengambil derivative dari gz di sepanjang sumbu x atau y maka didapat komponen FHD dari gravity untuk benda 2-D sesuai dengan persamaan (2-17) (Telford, 1976). U xz =
∂ 2U xz = 4γσ ∫ ∫ 4 dx.dz ∂x.∂z r
(2-17)
3. Second Vertical Derivative (SVD) Medan potensial U dengan sumber tidak berada didalamnya akan memenuhi persamaan Lapalace sesuai dengan persamaan (2-18) (Telford, 1976). ∇2U = 0
(2-18)
Untuk metode gayaberat, persamaannya sesuai dengan persamaan (2-19). ∇ 2 Δg = 0
δ 2 Δ g δ 2 Δ g δ 2 Δg + + =0 δ x2 δ y2 δ z2
(2-19)
Untuk SVD persamaannya sesuai dengan persamaan (2-20) (Telford, 1976). ⎛ ∂ 2 Δg ∂ 2 Δ g ⎞ ∂ 2 Δg = − + ⎜ ⎟ 2 ∂z 2 ∂y 2 ⎠ ⎝ ∂x
(2-20)
Untuk data 2-D persamaannya menjadi persamaan (2-21) ⎛ ∂ 2 Δg ⎞ ∂ 2 Δg = − ⎜ ∂ 2 ⎟ ∂z 2 ⎝ x ⎠
(2-21)
11
2.6 PEMODELAN 2-D
Interpretasi pemodelan 2-D bertujuan untuk menggambarkan distribusi rapat massa dan geometri benda di bawah permukaan berdasarkan kontras densitas lateral. Pemodelan yang dilakukan pada penelitian ini adalah pemodelan kedepan, yaitu suatu model dimana benda geologi bawah permukaan dibuat terlebih dahulu, kemudian dihitung variasi anomali gayaberat. Hasil perhitungan mendekati variasi anomali gayaberat hasil pengukuran di tiap titik pengukuran. Untuk model 2-D sembarang didekati oleh poligon dengan jumlah sisi-n dalam sistem koordinat kartesius (Gambar 2.11) (Talwani, 1959 op.cit. Kadir, 1997).
Gambar 2.11 Model benda 2-D dalam koordinat kartesian (Talwani, 1959 op.cit.
Reynolds, 1997) Untuk model benda 2-D ini (Gambar 2.11)
efek gayaberat vertikalnya sesuai
dengan persamaan (2-22) (Hubert, 1948 op cit. Kadir, 2000). 2γΔρ v ∫ zdθ
(2-22)
Untuk gayaberat komponen vertikal untuk seluruh benda sesuai persamaan (2-23) n
v = 2γΔρ ∑ Z i
(2-23)
i =1
12
