Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3

2015-2016, II. félév Matematikai analízis szeminárium

Sapientia EMTE, Csíkszeredai Kar 1. FELADATLAP Eredmények 1.

y

5

4

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

-2

-3

Van határértéke, illetve folytonos az f függvény az alábbi pontokban? (a) x =

4

Az f függvénynek van határértéke az x = Az f folytonos is az x = (b) x =

lim f (x) = 3 .

x! 4

4 pontban, mivel f ( 4) = 3.

3

Az f függvénynek van határértéke az x = Az f viszont nem folytonos az x = (c) x =

4 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o

2

lim f (x) = 4 .

x! 3

3 pontban, mivel f ( 3) = 3 6= 4.

Az f függvénynek van határértéke az x = Az f folytonos is az x =

3 pontban és ez a határérték 4-gyel egyenl½o

2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o

lim f (x) = 3 .

x! 2

2 pontban, mivel f ( 2) = 3.

(d) x = 1 Az f függvénynek nincs határértéke az x = 1 pontban, mivel a baloldali határértéke 3 és a jobboldali határértéke 2 ebben a pontban. Mivel az f -nek nincs határértéke az x = 1 pontban, ezért nem is folytonos.


Sapientia EMTE, Csíkszeredai Kar

(e) x = 0 Az f függvénynek van határértéke az x = 0 pontban és ez a határérték Az f folytonos is az x = 0 pontban, mivel f (0) =

1-gyel egyenl½o

lim f (x) =

x!0

1 .

1.

(f) x = 1 Az f függvénynek nincs határértéke az x = 1 pontban, mivel a baloldali határértéke 1 és a jobboldali határértéke 0 ebben a pontban. Mivel az f -nek nincs határértéke az x = 1 pontban, ezért nem is folytonos. (g) x = 2 Az f függvénynek nincs határértéke az x = 2 pontban, mivel a baloldali határértéke 5 és a jobboldali határértéke 1 ebben a pontban. Mivel az f -nek nincs határértéke az x = 2 pontban, ezért nem is folytonos. (h) x = 3 f folytonos az x = 3 pontban. (i) x = 4 Az f függvénynek van határértéke az x = 4 pontban és ez a határérték 2-vel egyenl½o

lim f (x) = 2 . Az f

x!4

viszont nem folytonos az x = 4 pontban, mivel f (4) = 3 6= 2. 2. Számítsd ki a következ½o határértékeket: (a) lim ( 3x + 1) = 4 x! 1

(b) lim ( 3x + 1) = x!1

(c)

1

lim ( 3x + 1) = +1

x! 1

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 -4 -5

Az y = (d) lim 3x2 x!2

(e) lim 3x2 x!1

(f)

lim

x! 1

3x2

4x + 15 = 19 4x + 15 = +1 4x + 15 = +1

3x + 1 függvény gra…kus képe

4

5

x



y 50 40

30

20

10

-5

-4

-3

-2

Az y = 3x2 (g) lim

x!1

(h) lim

x!1

(i)

lim

x! 1

3

5x

5x3 5x3

2

4x + 19x

-1

0

1

2

3

4

5

4

5

x

4x + 15 függvény gra…kus képe

2 =8

4x2 + 19x

2 =

4x2 + 19x

1

2 = +1

y

30

20

10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-10

-20

-30

Az y = (j) lim

x4 + 3x3 + 1 = 9

(k) lim

x4 + 3x3 + 1 =

x!2

x!1

(l)

lim

x! 1

x4 + 3x3 + 1 =

1 1

5x3

4x2 + 19x

2 függvény gra…kus képe

x



y

10

5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

-5

-10

x4 + 3x3 + 1 függvény gra…kus képe

Az y = (m) lim log3 x = log3 27 = 3 x!27

(n) lim log3 x = +1 x!1

(o) lim log3 x = x&0

1

y

4 3 2 1

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

-1 -2 -3 -4

Az y = log3 x függvény gra…kus képe (p) lim log 21 x = log 12 8 = x!8

(q) lim log 21 x = x!1

1

(r) lim log 12 x = +1 x&0

3

24

26

28

30

x



y

4 3 2 1

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

-1

x

-2 -3 -4 -5

Az y = log 12 x függvény gra…kus képe x

(s) lim e = 1 x!0

(t) lim ex = +1 x!1

(u)

lim ex = 0

x! 1

y 80

60

40

20

-2

-1

0

1

2

3

Az y = ex függvény gra…kus képe x

(v) lim 5 x! 2

(w) lim 5

x

x!1

(x)

lim 5

x! 1

= 25 =0

x

= +1

4

5

x



y 80

60

40

20

-3

-2

-1 x

Az y = 5 (y)

lim 1 x! 1 x

0

1

2

x

függvény gra…kus képe

=0

(z) lim x1 =NEM LÉTEZIK x!0

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-1

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Az y =

1 x


3. Vizsgáld meg, hogy létezik-e a következ½o függvények határértéke az x0 = 1 helyen. Vizsgáld a folytonosságukat is, majd rajzold meg a gra…kus képüket. (a) f (x) =

5x + 1, ha x 2 R 1, ha x = 1

f1g



y

5 4 3 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1

x

-2 -3 -4 -5

(b) f (x) =

8 <

3x + 7, ha x < 1 4, ha x = 1 : x 2, ha x > 1

y 10 8 6 4 2

-2

-1

1 -2 -4

(c) f (x) =

3x + 1, ha x 1 3x + 2, ha x > 1

2

3

4

5

x



y

5 4 3 2 1

-2

-1

1

2

3

1

2

-1

x

-2 -3 -4 -5

(d) f (x) =

2x2 x 1 x 1

y

5 4 3 2 1

-3

-2

-1 -1

x

-2 -3 -4 -5

4. Létezik-e határértékük, illetve folytonosak-e az alábbi függvények az x0 pontban? Ábrázold a függvényeket! (a) f (x) =

x 3,

(x

ha x < 3 2 2) , ha x

3

x0 = 3



y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

-1

x

-2 -3 -4 -5

(b) f (x) =

1 x 2 2

, ha x < 2 x , ha x 2

x0 =

2

y 20

15

10

5

-5

(c) f (x) =

1 x,

-4

ha x 0 ln x, ha x > 0

-3

x0 = 0

-2

-1

0

x



y

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

-2

-3

5. Számítsd ki a következ½o racionális törtfüggvények határértékét: 5 3 x! 2 x

(a) lim (b) lim

5

5

lim

3

x! 1 x 5 3 x!0 x

(d) lim

5 8

=0

3

x!1 x

(c)

=

=0

= nem létezik

y

100

50

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-50

-100

Az y = (e) lim

x!0

x+1 7x2 +1

=1

5 x3


1.5

2.0

x



(f)

lim

x! 1

(g) lim

x!1

(h)

lim p1

x!

x+1 7x2 +1 x+1 7x2 +1

=0

=0

x+1 7x2 +1

= nem létezik

7

y

5 4 3 2 1

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

-1 -2 -3 -4 -5

Az y = (i) lim

x!0

(j)

lim

x!1

7834x567 3332x345 +56712x123 +12x47 89x35 +44x34 12x28 +121x19 65x9 1324 34711x567 +34578x456 x444 +x419 2344x396 +25x13 13x11 +8875x8 23445x+11783 3

x!0

x3 3 (x+1) x! 1

(m) lim

x3 3 x!1 (x+1)

(o)

= nem létezik =

x3 lim 3 x! 1 (x+1)

=

1 1

1324 11783

=

7834x567 3332x345 +56712x123 +12x47 89x35 +44x34 12x28 +121x19 65x9 1324 34711x567 +34578x456 x444 +x419 2344x396 +25x13 13x11 +8875x8 23445x+11783

x (l) lim (x+1) 3 = 0

(n) lim


7834x567 3332x345 +56712x123 +12x47 89x35 +44x34 12x28 +121x19 65x9 1324 34711x567 +34578x456 x444 +x419 2344x396 +25x13 13x11 +8875x8 23445x+11783

x! 1

(k) lim

x+1 7x2 +1

=

=

7834 34711 7834 34711

x



y

10

5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-5

-10

Az y = 2

x 1 1

=3

2

x 1 1

=1

2

x+1 1

= nem létezik

(p) lim 2x x x!1

(q) lim 2x x x!0

(r) lim 2x x x!1

(s) lim

x!1

2x2 x 1 x 1 2x

=

(u) lim

x!1

5x5 +x3 1 x2 4

=

5 3

(v) lim

5x5 +x3 1 x2 4

=

1 4

lim

x! 1

x!0

5x5 +x3 1 x2 4

(w) lim

x! 2

(x) lim

x!2

(y)

lim

5x5 +x3 1 x2 4

x! 1

(z) lim

x!1

x (x+1)3


= +1

2

x 1 x 1

(t)

3

1 (gra…kus képét lásd a 2: feladat d: pontjánál)

= nem létezik

= nem létezik

5x5 +x3 1 x2 4 5x5 +x3 1 x2 4

= +1

=

1

6. Határozd meg az összes el½obbi függvény aszimptotáit! Eredményeid ellen½orzésére tanulmányozd a megfelel½o határértékeket és a fenti ábrákat! 7. Határozd meg az alábbi függvények ferde aszimptotáit: 2

x +1 (a) f (x) = 2x 1 ; Megoldás: A ferde aszimptotát +1 fele az y = mx + n alakban keressük, ahol

m = lim

x!+1

f (x) és n = lim (f (x) x!+1 x

mx) .

10

x



Ekkor

f (x) x2 + 1 1 = lim = , 2 x!+1 x x!+1 2x x 2

m = lim

n

= =

x2 + 1 1 + x = x!+1 2x 1 2 2x2 + 2 + 2x2 x x+2 1 = lim = . x!+1 2 (2x 1) 4x 2 4

lim (f (x)

x!+1

lim

x!+1

mx) = lim

Tehát +1 fele a függvény ferde aszimptotája: 1 x 2

y=

1 . 4

A függvény ferde aszimptotája 1 fele ugyanaz. x2 +1 Az f (x) = 2x 1 függvény gra…kus képe:

y

8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

x

-4 -6 -8

(b) f (x) =

x3 ; (x+1)2

Megoldás: A ferde aszimptotát +1 fele az y = mx + n alakban keressük, ahol m = lim

x!+1

Ekkor


mx) .

f (x) x3 = lim = 1, x!+1 x x!+1 x (x + 1)2 ! x3 2x2 x mx) = lim x = = lim 2 x!+1 x!+1 (x + 1)2 (x + 1)

m = lim

n = lim (f (x) x!+1

2.



Tehát +1 fele a függvény ferde aszimptotája: y=x

2.

A függvény ferde aszimptotája 1 fele ugyanaz. x3 Az f (x) = (x+1) 2 függvény gra…kus képe:

y

4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

5

x

-4 -6 -8 -10 -12 3

+1 (c) f (x) = x3x 2 +1 ; Megoldás:

f (x) 3x3 + 1 = lim = x!+1 x x!+1 x3 + x

m = lim n = lim (f (x) x!+1

mx) = lim

x!+1

3x3 + 1 + 3x x2 + 1

Tehát +1 fele a függvény ferde aszimptotája: y= A függvény ferde aszimptotája 1 fele ugyanaz. 3 +1 Az f (x) = x3x függvény gra…kus képe: 2 +1

3x.

3,

= lim

3x + 1 = 0. +1

x!+1 x2



y 14 12 10 8 6 4 2 -5

-4

-3

-2

-1

1

-2

2

3

4

5

x

-4 -6 -8 -10 -12 -14 3

(d) f (x) = xx2 +1 1 ; Megoldás: f (x) x3 + 1 = lim = x!+1 x x!+1 x3 x


mx) = lim

x!+1

x3 + 1 +x x2 1

Tehát +1 fele a függvény ferde aszimptotája: y= A függvény ferde aszimptotája 1 fele ugyanaz. 3 Az f (x) = xx2 +1 1 függvény gra…kus képe:

x.

1,

= lim

x!+1

x+1 = 0. x2 1



y

8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

x

-4 -6 -8 4

(e) f (x) = xx2 +1 +1 ; Megoldás: A ferde aszimptotát +1 fele az y = mx + n alakban keressük, ahol m = lim

x!+1


mx) .

Ekkor

x4 + 1 f (x) = lim 3 = +1, x!+1 x + x x!+1 x tehát a függvénynek +1 fele nincs ferde aszimptotája. A függvénynek 1 fele szintén nincs ferde aszimptotája. 4 Az f (x) = xx2 +1 +1 függvény gra…kus képe: m = lim

y 10 8

6

4

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x



3

(f) f (x) = 27x x2 Megoldás:

1 4

. f (x) 27x3 1 = lim = 27, x!+1 x x!+1 x3 4x


27x3 1 x2 4

mx) = lim

x!+1

27x

= lim

x!+1

108x 1 = 0. x2 4

Tehát +1 fele a függvény ferde aszimptotája: y = 27x. A függvény ferde aszimptotája 1 fele ugyanaz. 3 1 Az f (x) = 27x x2 4 függvény gra…kus képe:

y

300

200

100

-5

-4

-3

-2

-1

1 -100

-200

-300

2

3

4

5

x

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3

Recommend Documents