1
Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról Előző dolgozatunkban – melynek címe: Az ellipszisbe írható legnagyobb területű négyszögről – már beharangoztuk, hogy találtunk valami érdekeset az interneten fellelhető szakirodalomban – [ 1 ]. Minthogy oroszul ma már viszonylag kevesen olvasnak – akár csak egy kicsit is – , így összefoglaljuk a fellelt fontosabb tudnivalókat. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra – forrása: [ 1 ] Itt azt látjuk, hogy egy a vízszinteshez képest α szöggel elforgatott nagytengelyű ellipszis be beírtak egy vízszintes és függőleges oldalakkal bíró téglalapot. Keressük e téglalap területének maximumát. A megoldás lépései az alábbiak. 1. A ellipszis kanonikus egyenletének felírása Legyenek az eredeti ellipszis koordináta - tengelyei u és v. Az Ouv k. r. - ben az ellipszis egyenlete: (1) ahol a és b az ellipszis féltengely - hosszai. 2. Az ellipszis egyenletének felírása az elforgatott koordináta - rendszerben Az alkalmazandó – és könnyen ellenőrizhető – transzformációs képletek az alábbiak: (2) (3)
2
Most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal: (4) Ez az ellipszis egyenlete az eredetihez képest α szöggel elforgatott Oxy k. r. - ben. Átalakítva: (4/1) Elvégezve itt a négyzetre emeléseket:
(5) Rendezve: (5/1) Tovább alakítva: (5/2) Új jelöléseket vezetünk be: (6) (7) (8) Most ( 5 / 2 ) és ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal: (9) rendezve: ( 10 ) 3. Egy rész - téglalap területének meghatározása A ( 10 ) egyenletet a megoldó - képlettel megoldva: ( 11 )
3
átalakítva: eszerint:
( 12 )
( 13 ) A ( 7 ) egyenletből leolvasható, hogy a > b miatt B < 0, így (– B ) > 0; eszerint, az 1. ábra jelöléseinek is megfelelően: ( 14 ) Ekkor azonban a téglalap y oldalhosszának kifejezése: ( 15 ) most ( 12 ), ( 13 ) és ( 15 ) - tel: azaz: ( 16 ) Az 1. ábrán berajzolt egy téglalap területe: ( 17 ) majd ( 16 ) és ( 17 ) szerint: ( 18 ) A téglalap - terület szélső értéket vehet / vesz fel a ( 19 ) egyenletből számítható x0 helyen. Most ( 18 ) és ( 19 ) szerint:
innen: rendezve:
4
( 20 ) innen: ebből pedig: ( 21 ) Minthogy x egy oldalhossz, így ( 22 ) majd ( 21 ) és ( 22 ) - vel: .
( 23 )
Ezután ( 16 ) és ( 23 ) - mal: ,
( 24 )
majd ( 20 ) és ( 24 ) szerint: tehát: .
( 25 )
Ezután ( 17 ), ( 23 ) és ( 25 ) - tel: tehát:
( 26 )
5
A ( 26 ) képlet alkalmazásához a nevezőt kiszámítjuk; ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) szerint:
( 27 ) tehát: ( 28 ) Most ( 26 ), ( 27 ) és ( 28 ) szerint:
, tehát: ( 29 ) innen: ( 30 ) majd ( 26 ) és ( 30 ) - cal: ( 31 ) Ez az ellipszisbe rajzolható legnagyobb területű jobb oldali téglalap területe.
4. A két rész - téglalap együttes területének meghatározása Minthogy a teljes ellipszisbe a bal oldalra is berajzolható egy ilyen téglalap, így az ellipszisbe berajzolt két téglalap együttes területe: ( 32 )
6
Most vessük össze ( 32 ) - t az előző dolgozat ( ED 9 ) képletével! Azt találjuk, hogy a két érték megegyezik. Ez azt jelenti, hogy az ellipszisbe berajzolható „egyenes” és „ferde” téglalapok területe, illetve területösszege egyenlő. Ez egy eléggé meglepő fejlemény. 5. A rész - téglalapok méreteinek meghatározása Most ( 8 ), ( 23 ) és ( 30 ) szerint:
tehát:
( 33 ) Majd ( 8 ) és ( 25 ) szerint:
tehát: ( 34 ) A szorzatuk pedig:
α - tól függetlenül, ahogy ( 31 ) szerint lennie is kell.
Megjegyzések: M1. Az [ 1 ] dolgozat célja volt a nem kör keresztmetszetű fűrészrönk felfűrészelésekor realizálható kihozatali százalék optimalizálása. Minthogy a kör és az ellipszis keresztmet szetű rönk kihozatali százaléka – ahogyan azt az előző dolgozatban láttuk – megegyezik, és mivel az „egyenes” és a „ferde” ellipszis keresztmetszetből nyerhető kihozatali százalék
7
is megegyezik, ez azt is jelenti, hogy csak egyféle – az itteni optimumot megvalósító – választék termelése esetén a veszteségi százalék 36,34 %, vagyis a kihozatali százalék mindegyik mondott választékra elméletileg 63,66 %. M2. Az már egy másik kérdés, hogy ezt az elméleti optimumot hogyan, milyen eszközök alkalmazásával kívánják elérni, illetve a leeső részeket hogyan kívánják továbbfeldolgoz ni. Valószínű, hogy végiggondolták már valahol ezt is, a Feldmann ~ Sapiro elvhez ha sonlóan. A jelek szerint úgy tűnik, hogy az [ 1 ] mű szerzője foglalkozott e témával is. M3. Az, hogy az elméleti optimum maximum, a szemlélet alapján közvetlenül belátható. M4. Az még nem teljesen világos, hogy egy adott elliptikus keresztmetszetű rönkből miért vágnánk ki a gerendát, illetve más fűrészáru - féleségeket az 1. ábra szerinti módon, ha megtehetnénk az előző dolgozat 1. ábrája szerinti módon is. Talán a fahibák megléte indokolhatja az ilyen fűrészüzemi vágásmódot is. M5. Ha beütjük a Google - keresőbe az „ Ellipticity of logs ” kereső - kifejezést, akkor több nyugati anyag is előjön; ezek főként tapasztalati / kísérleti eredményeket ismertetnek, pl. grafikonos formában, nem dolgoznak szélsőérték - számítással. Bizonyára nem vélet len, hogy az egyébként gyakorlatilag is hasznosított Feldmann ~ Sapiro - elvet is oroszok fejlesztették ki, annak idején, szélsőérték - számításra alapozva azt. Ehhez ld. egy korábbi dolgozatunkat is, melynek címe: A Feldmann ~ Sapiro - „elv” igazolása. M6. Az [ 1 ] dolgozat internetes változatában számos sajtóhibát találtunk. Ez azonban nem csökkenti szerzőjének érdemeit, valamint az eredeti gondolat és az eredmények szépségét.
Irodalom: [ 1 ] – Novosjolov, A. V.: Elliptyicsnoszty breven i optyimalnüje razmerü pilomatyerialov in: Gyerevoobrabotka, Trudü II Mezsdunarodnogo Jevrazijszkogo Szimpoziuma Jekatyerinburg, 2007. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 04. 01.
