Archimedes (287 – 212 prˇ. Kr.) Nejveˇtsˇ´ım matematikem a fyzikem staroveˇku byl Archimedes, ktery´ se narodil v Syrakusa´ch a tam take´ pu˚sobil. Studoval pravdeˇpodobneˇ v Alexandrii a s tamnı´mi ucˇenci udrzˇoval pı´semne´ ˇ a´st dopisu˚ se dochovala. Zahynul v roce 212 prˇ. n. l. kontakty. C ˇ ´ımany. Na jeho hrobu byla zobrazena koule a prˇi dobytı´ Syrakus R jı´ opsany´ va´lec. Archime´des totizˇ objevil pomeˇr objemu˚ a povrchu˚ teˇchto teˇles. Svy´ch znalostı´ vyuzˇ´ıval v praxi. Vynalezl cˇerpadlo (Archime´du˚v sˇroub) k zavodnˇova´nı´ polı´, objevil hydrostaticky´ za´kon a pouzˇil ho k urcˇenı´ skladby slitiny jejı´m va´zˇenı´m ve vodeˇ. Pouzˇ´ıval syste´mu˚ pa´k, kladek, kladkostroju˚ a sˇroubu˚ prˇi zdviha´nı´ teˇzˇky´ch brˇemen i prˇi konstrukci metacı´ch vojensky´ch stroju˚.
Archimedova dı´la: O rovnova´ze ploch, kniha 1 Kvadratura paraboly O rovnova´ze ploch, kniha 2 Poselstvı´ Eratosthenovi o mechanicke´ metodeˇ O kouli a va´lci O spira´la´ch O konoidech a sfe´roidech O plovoucı´ch teˇlesech Meˇrˇenı´ kruhu O pocˇı´ta´nı´ pı´sku
O rovnova´ze ploch V 1. knize Archime´des doka´zal 15 veˇt a zaby´val se vy´pocˇtem teˇzˇisˇt’ rovnobeˇzˇnı´ku˚, troju´helnı´ka a lichobeˇzˇnı´ka. Podobneˇ jako Eukleides vylozˇil svoji teorii axiomaticky. 2. kniha obsahuje vy´pocˇet teˇzˇisˇteˇ parabolicke´ u´secˇe. Kvadratura paraboly Ve spisu stanovil Archime´des obsah parabolicke´ u´secˇe vyt’ate´ libovolnou teˇtivou. Dnes bychom tuto u´lohu snadno rˇesˇili metodou integra´lnı´ho pocˇtu a take´ v Archime´doveˇ pra´ci nacha´zı´me infinitezima´lnı´ u´vahy. O metodeˇ Znovu je odvozen vy´pocˇet obsahu u´secˇe paraboly a kromeˇ toho Archime´des uka´zal, zˇe objem va´lce opsane´ho kouli (rotacˇnı´mu elipsoidu) a majı´cı´ vy´sˇku rovnou pru˚meˇru koule (ose rotacˇnı´ho elipsoidu) se rovna´ trˇem polovina´m objemu koule (nebo elipsoidu). Da´le zde nalezneme objem u´secˇı´ vyt’aty´ch na rotacˇnı´ch teˇlesech.
Veˇta: Troju´helnı´k, ktery´ ma´ s u´secˇı´ paraboly spolecˇnou za´kladnu a stejnou vy´sˇku, je veˇtsˇ´ı nezˇ polovina u´secˇe.
Obsah a troju´helnı´ka ABC je roven polovineˇ obsahu rovnobeˇzˇnı´ka AMNC; u´secˇ je mensˇ´ı nezˇ rovnobeˇzˇnı´k. Tento poznatek lze prˇene´st na troju´helnı´ky a u´secˇe ADB, BEC, atd.
Veˇta: Troju´helnı´k ABC je osmkra´t veˇtsˇ´ı nezˇ kazˇdy´ z troju´helnı´ku˚ ADB, BEC. S=a+
a 4
+
a 42
+ ···
a 4n
O kouli a va´lci V tomto spisu Archime´des uka´zal: 1. Povrch pla´sˇteˇ kuzˇele o polomeˇru za´kladny r a straneˇ s je √ roven obsahu kruhu o polomeˇru rs. 2. Povrch koule je roven cˇtyrˇna´sobku obsahu kruhu o stejne´m polomeˇru. 3. Objem koule je roven cˇtyrˇna´sobku objemu kuzˇele, jehozˇ polomeˇr i vy´sˇka jsou rovny polomeˇru koule. 4. Povrch vrchlı´ku je roven obsahu kruhu o polomeˇru rovne´m vzda´lenosti okraje tohoto vrchlı´ku od jeho vrcholu. 5. Objem kulove´ vy´secˇe je roven objemu kuzˇele, jehozˇ vy´sˇka je rovna polomeˇru koule a jehozˇ za´kladna ma´ obsah rovny´ povrchu pla´sˇteˇ kuzˇele vepsane´ho v prˇ´ıslusˇne´ u´secˇi. 2.,3. ⇒ konstanta π, ktera´ figuruje ve vzorcı´ch pro vy´pocˇet obvodu a obsahu kruhu, se objevuje i ve vzorcı´ch pro vy´pocˇet objemu a povrchu koule a jejı´ch cˇa´stı´.
Jina´ formulace: 2. Povrch koule je roven dveˇma trˇetina´m povrchu opsane´ho va´lce, tj. povrchu pla´sˇteˇ opsane´ho va´lce. 3. Objem koule je roven dveˇma trˇetina´m objemu opsane´ho va´lce. Du˚sledek: Objemy kuzˇele o polomeˇru za´kladny r a vy´sˇce 2r, koule o polomeˇru r a va´lce o polomeˇru r a vy´sˇce 2r jsou v pomeˇru 1 : 2 : 3.
O konoidech a sfe´roidech Parabola = rˇez pravou´hle´ho kuzˇele rovinou, ktera´ je kolma´ na jednu povrchovou prˇ´ımku. Hyperbola = rˇez tupou´hle´ho kuzˇele rovinou, ktera´ je kolma´ na jednu povrchovou prˇ´ımku. Kruzˇnice = rˇez ostrou´hle´ho kuzˇele rovinou, ktera´ je kolma´ na jeho osu. Elipsa = rˇez ostrou´hle´ho kuzˇele rovinou, ktera´ protı´na´ vsˇechny povrchove´ prˇ´ımky a nenı´ kolma´ na jeho osu. Konoidy nazy´va´ Archime´des rotacˇnı´ paraboloid a dvoudı´lny´ rotacˇnı´ hyperboloid. Sfe´roidem je pro neˇj rotacˇnı´ elipsoid. V pra´ci studuje jejich vlastnosti. Naprˇ´ıklad objem rotacˇnı´ho elipsoidu s poloosami a, a, b: V =
4 3
πa2 b
O plovoucı´ch teˇlesech Voda v rovnova´ze musı´ vytva´rˇet hladinu v podobeˇ kulove´ plochy se strˇedem ve strˇedu Zemeˇ (tedy v aristotelovske´m strˇedu sveˇta). Vzna´sˇenı´ teˇles v kapalineˇ: Teˇleso stejeˇ teˇzˇke´ jako kapalina (tj. o te´zˇe hustoteˇ) se ponorˇ´ı do kapaliny tak, zˇe nebude vycˇnı´vat ani se nebude da´le pota´peˇt. Je-li teˇleso lehcˇı´ nezˇ kapalina vhozeno do kapaliny, nepotopı´ se u´plneˇ, ale jeho cˇa´st bude vycˇnı´vat nad hladinou. Je-li teˇleso lehcˇı´ nezˇ kapalina vhozeno do kapaliny, ponorˇ´ı se tak hluboko, azˇ objem kapaliny rovny´ objemu ponorˇene´ cˇa´sti teˇlesa bude mı´t stejnou va´hu jako cele´ teˇleso. Je-li teˇleso lehcˇı´ nezˇ kapalina na´silneˇ do kapaliny ponorˇeno, je puzeno vzhu˚ru silou rovnou va´ze, o kterou va´ha stejneˇ velke´ho objemu kapaliny prˇevysˇuje va´hu teˇlesa. Je-li teˇleso teˇzˇsˇ´ı nezˇ kapalina vhozeno do kapaliny, bude klesat tak hluboko, jak bude moci, a bude v kapalineˇ lehcˇı´ o va´hu takove´ho mnozˇstvı´ kapaliny, ktere´ zaujı´ma´ stejny´ objem jako teˇleso.
Meˇrˇenı´ kruhu Jedna´ se o nejzna´meˇjsˇ´ı Archime´dovo dı´lo, ze ktere´ho se vsˇak dochoval jen zlomek trˇ´ı veˇt. Dokazuje se zde: 1. Obsah kruhu je roven obsahu pravou´hle´ho troju´helnı´ku, jehozˇ de´lky odveˇsen jsou rovny polomeˇru a obvodu kruhu.
S=
1 2
·O·r.
Du˚kaz: sporem pomocı´ exhaustivnı´ metody
• S > T : Pro dostatecˇneˇ vysoke´ n bude S > Sn > T, ale X an < O ⇒ Sn < T . . . SPOR! vn < r, n
• T > S : Pro dostatecˇneˇ vysoke´ n bude T > Sn > S, ale X vn = r, an > O ⇒ Sn > T . . . SPOR! n
3. Obvod kruhu je trˇikra´t veˇtsˇ´ı nezˇ jeho pru˚meˇr a rozdı´l obvodu kruhu a trojna´sobku pru˚meˇru je mensˇ´ı nezˇ 1/7 a veˇtsˇ´ı nezˇ 10/71 pru˚meˇru. O > 3d,
10 71
d < O − 3d <
1 7
d
Tj. pro obvod O a pru˚meˇr d libovolne´ho kruhu platı´: 3
10 71
<
O d
<3
1 7
(3, 14085 < π < 3, 14286)
Odhad π pomocı´ 96-u´helnı´ku: 25 344 8 069
<π<
19 376 9 347
2. Pomeˇr obsahu kruhu a cˇtverce jeho pru˚meˇru je prˇiblizˇneˇ da´n pomeˇrem 11 : 14, tj. S . 11 = d2 14 (Prˇi prˇepisu patrneˇ omylem prˇedrˇazena trˇetı´ veˇteˇ, jejı´mzˇ je du˚sledkem) 1. ⇒ S =
1 4 S
d2
Od; =
3. ⇒
1 O . 11 = 4d 14
O d
<
22 7
O spira´la´ch Spira´lu definuje Archime´des kinematicky: Poloprˇ´ımka p s pocˇa´tecˇnı´m bodem O se v rovineˇ ρ zacˇne rovnomeˇrneˇ ota´cˇet kolem bodu O a soucˇasneˇ se z bodu O po poloprˇ´ımce p zacˇne rovnomeˇrneˇ pohybovat bod P. Pohybujı´cı´ se bod P kreslı´ v rovineˇ ρ tzv. Archimedovu spira´lu. Bod O je tzv. pocˇa´tek spira´ly, pu˚vodnı´ poloha poloprˇ´ımky p se nazy´va´ vy´chozı´ poloprˇ´ımka, u´secˇka OP se nazy´va´ pru˚vodicˇ bodu P.
Dnes bychom rovnici Archimedovy spira´ly zapsali v pola´rnı´ch sourˇadnicı´ch: r = a · ϕ. Archime´des studoval tecˇny a norma´ly te´to krˇivky, pocˇı´tal obsah oblasti omezene´ touto spira´lou.
Pocˇı´ta´nı´ pı´sku Zde je vylozˇen zpu˚sob, jak vyja´drˇit libovolneˇ velke´ cˇı´slo. ˇ ecku: pı´smena rˇecke´ abecedy (odvozena Za´pis cˇı´sel ve stare´m R z abecedy fe´nicke´):
Prˇechod od ”nejveˇtsˇ´ıho cˇı´sla” (myriada) k jesˇteˇ veˇtsˇ´ımu: ˇ ´ısla prvnı´ okta´dy (prvnı´ cˇı´sla): C 1, 2, . . . , 104 , 104 +1, 104 +2, . . . , 2·104 , 2·104 +1, . . . , 3·104 , . . . 3 · 104 + 1, 3 · 104 + 2, . . . 4 · 104 , . . . , 104 · 104 = 108
ˇ ´ısla druhe´ okta´dy (druha´ cˇı´sla): C 108 +1, 108 +2, . . . , 2·108 , 2·108 +1, . . . , 3·108 , . . . , 108 ·108 = 102·8 ˇ ´ısla trˇetı´ okta´dy (trˇetı´ cˇı´sla): C 1016 + 1, 1016 + 2, . . . , 103·8 atd., takovy´chto posloupnostı´ vytvorˇil myriadu myriad a dospeˇl k cˇı´slu 8 1010 ·8 . ˇ ´ısla od 1 po tuto hodnotu nazval cˇı´sly prvnı´ periody. C
Na´sledujı´ cˇı´sla druhe´ periody: 108 ·8
10
108 ·8
+ 1, 10
8
108 ·8
+ 2, . . . , 10 · 10
108 ·8
, . . . , 10
2
atd., 108 -ta´ perioda koncˇı´ cˇı´slem
8 ·8
1010
108
16
= 108·10
Toto cˇı´slo ma´ 80 biliard nul a Archime´des tak uka´zal, zˇe ma´ prostrˇedek k vyja´drˇenı´ pocˇtu pı´skovy´ch zrnek, ktera´ by zaplnila cely´ vesmı´r. Prˇitom odhadl pocˇet zrnek na 1053 . Prˇitom vycha´zel z tehdy zna´my´ch vzda´lenostı´ ve vesmı´ru a vzda´lenost ke sfe´rˇe hveˇzd stanovil rˇa´doveˇ tak, jak vı´me, zˇe je dnes vzda´lena nejblizˇsˇ´ı hveˇzda. Toto dı´lo nemeˇlo zˇa´dny´ prakticky´ vy´znam, cı´lem bylo pouze uka´zat sı´lu abstraktnı´ho lidske´ho mysˇlenı´.
Polopravidelne´ mnohosteˇny Pappovou za´sluhou se na´m dochovalo sveˇdectvı´ o Archime´doveˇ objevu polopravidelny´ch mnohosteˇnu˚, tj. takovy´ch mnohosteˇnu˚, jejichzˇ vsˇechny strany jsou pravidelne´ mnohou´helnı´ky vı´ce nezˇ jednoho druhu, ale vsˇechny u´hly steˇn jsou vza´jemneˇ shodne´ nebo jsou symetricke´ podle strˇedu mnohosteˇnu. Archime´des nasˇel 13 takovy´ch teˇles ohranicˇeny´ch 8, 14, 26, 32, 38, 62 a 92 steˇnami ve tvaru troju´helnı´ku˚, cˇtvercu˚, peˇtiu´helnı´ku˚, sˇestiu´helnı´ku˚, osmiu´helnı´ku˚, devı´tiu´helnı´ku˚ a dvana´ctiu´helnı´ku˚. Deset je ohranicˇeno dveˇma, zby´vajı´cı´ trˇi trˇemi druhy mnohou´helnı´ku˚.
ARCHIMEDOVA STATIKA V GEOMETRII Dnes jizˇ te´meˇrˇ zapomenuta´ metoda, pomocı´ nı´zˇ podal Archimedes historicky prvnı´ zna´my´ du˚kaz veˇty o teˇzˇnicı´ch troju´helnı´ka a rˇady dalsˇ´ıch vlastnostı´ rovinny´ch u´tvaru˚. • Prˇipomı´na´, procˇ se vlastneˇ spojnici vrcholu se strˇedem proteˇjsˇ´ı strany rˇ´ıka´ teˇzˇnice • Umozˇnˇuje doka´zat veˇtu o teˇzˇnicı´ch analogicky s obvykly´m du˚kazem veˇty o pru˚secˇı´ku os stran, tedy na za´kladeˇ mnozˇin bodu˚ dane´ vlastnosti • Poukazuje na oboustranneˇ uzˇitecˇnou symbio´zu matematiky a fyziky Archimedes jako prvnı´ systematizoval jednotlive´ poznatky o teˇzˇisˇtı´ch konkre´tnı´ch teˇles a vybudoval statiku jako axiomatickou teorii, ktera´ ma´ vy´znam nejen pro fyziku, ale i pro geometrii.
Za´klad teorie – axiomy: 1. Existence a jednoznacˇnost: Kazˇda´ hmotna´ soustava (soustava hmotny´ch bodu˚, prˇ´ımek apod.) ma´ pra´veˇ jedno teˇzˇisˇteˇ. 2. Za´kon pa´ky: Teˇzˇisˇteˇ dvou hmotny´ch bodu˚ A, B o hmotnostech m1 , m2 je ten bod T u´secˇky AB, pro ktery´ platı´: m1 |AT | = m2 |BT |. 3. Redukcˇnı´ princip: Teˇzˇisˇteˇ hmotne´ soustavy se nezmeˇnı´, zameˇnı´me-li libovolnou jejı´ cˇa´st jednı´m hmotny´m bodem sply´vajı´cı´m s teˇzˇisˇteˇm te´to cˇa´sti a majı´cı´m celou jejı´ hmotnost.
Prˇ´ıklad – poloha teˇzˇisˇteˇ v troju´helnı´ku: Uvazˇujme soustavu S trˇ´ı hmotny´ch bodu˚ o te´zˇe hmotnosti (polozˇme ji rovnu jedne´) – vrcholu˚ A, B, C dane´ho troju´helnı´ka. Axiom 3 (redukcˇnı´ princip) ⇒ dvojici bodu˚ B, C lze zameˇnit hmotny´m bodem A0 o hmotnosti 2 ⇒ teˇzˇisˇteˇ soustavy S lezˇ´ı na u´secˇce AA0 a podle axiomu 2 (za´kon pa´ky) platı´ |AT | : |A0 T | = 2 : 1
Podobneˇ lze S zredukovat na soustavy B, B0 , resp. C, C0 , ⇒ teˇzˇisˇteˇ soustavy S lezˇ´ı na vsˇech trˇech teˇzˇnicı´ch a deˇlı´ kazˇdou z nich v pomeˇru 2 : 1.
Formalizace pomocı´ vektorove´ algebry Hmotny´ bod v n−rozmeˇrne´m eukleidovske´m prostoru En : libovolna´ usporˇa´dana´ dvojice (m, A), kde m ∈ R, A ∈ En Teˇzˇisˇteˇ T ∈ En libovolne´ konecˇne´ soustavy S = {(m1 , A1 ), (m2 , A2 ), . . . , (mN , AN )} hmotny´ch bodu˚ v En : N X
−−→ → − mk · T A k = 0
(∗)
k=1
Veˇta 1: Teˇzˇisˇteˇ T soustavy S existuje a je jedine´, je-li soucˇet hmotnostı´ vsˇech jejı´ch bodu˚ ru˚zny´ od nuly. Poloha teˇzˇisˇteˇ T je pak urcˇena rovnostı´ ! N N X X −→ −−→ mk · P T = m k · P Ak , (∗∗) k=1
k=1
kde P je libovolneˇ zvoleny´ bod prostoru En .
Du˚kaz:
Ak P T −−→ −−→ −→ T Ak = P Ak − P T =⇒ ((∗) ↔ (∗∗)) Je-li
N X
mk 6= 0, lze z (∗∗) vypocˇı´tat
k=1 N X
−→ PT =
−−→ m k · P Ak
k=1 N X k=1
mk
Axiom 1 (existence a jednoznacˇnost):
Veˇta 1
Axiom 2 (za´kon pa´ky): Definice (∗) pro dvojici HB: −−→ −−→ → − m1 · T A 1 + m2 · T A 2 = 0 Axiom 3 (redukcˇnı´ princip) – S a S 0 majı´ stejne´ teˇzˇisˇteˇ T : S = {(m1 , A1 ), . . . , (mr , Ar ),(mr+1 , Ar+1 ), . . . , (mN , AN )} S 0 = {(m0 , T 0 ),(mr+1 , Ar+1 ), . . . , (mN , AN )}, kde T 0 je teˇzˇisˇteˇ {(m1 , A1 ), . . . , (mr , Ar )}, m0 = m1 + · · · + mr Veˇta 1 pro S 0 , P = T : − − → m0 · T T 0 =
r X
! mk
r X − − →0 −−→ · TT = mk · T A k ,
k=1
(∗∗)
k=1
N X − − →0 −−→ − → mk · T A k = 0 , m · TT + 0
k=r+1
(∗)
Eratosthenes Eratosthenes se narodil asi v roce 276 prˇ. n. l. v Kyre´neˇ na severnı´m pobrˇezˇ´ı Afriky. Veˇtsˇinu zˇivota prozˇil v Alexandrii, kde byl rˇeditelem proslule´ knihovny. Trˇebazˇe byl ve sve´ dobeˇ ceneˇn jako vy´znamny´ matematik, proslavil se pouze svy´m Eratosthenovy´m sı´tem pro urcˇenı´ prvocˇı´sel. Zemrˇel kolem roku 194 prˇ. n. l. Eratostenovo sı´to: zpu˚sob, jak sestavit tabulku prvocˇı´sel ≤ n. Vypı´sˇeme cˇı´sla od 2 do n; 2 ponecha´me (nejmensˇ´ı prvocˇı´slo), vsˇechna ostatnı´ suda´ sˇkrtneme; 3 ponecha´me (prvnı´ nevysˇkrtnute´ cˇı´slo), vsˇechny ostatnı´ na´sobky 3 sˇkrtneme, atd. Jestlizˇe jsme vysˇkrtali vsˇechny na´sobky prvocˇı´sel mensˇ´ıch nezˇ p, budou vsˇechna nevysˇkrtnuta´ cˇı´sla mensˇ´ı nezˇ p2 prvocˇı´sly. Veˇta: Prvnı´ slozˇene´ cˇı´slo, se ktery´m se setka´me prˇi vyse´va´nı´ na´sobku˚ prvocˇı´sla p, je p2 . Veˇta: Sestavova´nı´ tabulky prvocˇı´sel ≤ n je skoncˇeno, vysˇkrta´me√ √ li vsˇechna cˇı´sla s prvocˇiniteli ≤ n nebo, cozˇ je tote´zˇ, ≤ [ n].
Cenne´ jsou jeho pra´ce astronomicke´. Stanovil pomeˇrneˇ prˇesneˇ rozmeˇry Zemeˇ a je autorem kalenda´rˇe, ktery´ zava´deˇl jednou za cˇtyrˇi roky prˇestupny´ rok. Urcˇenı´ polomeˇru Zemeˇ: meˇrˇil u´hlovou vzda´lenost strˇedu Slunce od zenitu v Alexandrii v poledne prˇi letnı´m slunovratu – v tom okamzˇiku je Slunce pra´veˇ v zenitu v Syeneˇ (te´meˇrˇ na stejne´m polednı´ku a na obratnı´ku), kde v prave´ poledne prˇi letnı´m slunovratu svı´tı´ Slunce do hluboky´ch studnı´
u´hel AOS = 7, 2◦ , vzda´lenost AB = 5000 stadiı´, 1 stadie = 158m, Obvod Zemeˇ = 250 000 stadiı´, Polomeˇr Zemeˇ = 6300km
Appolonios z Pergy (262 – 190 prˇ. Kr.) Vedle Eukleida a Archime´da poslednı´ velky´ geometr hele´nisticke´ho obdobı´ Nejvy´znamneˇjsˇ´ı dı´lo: Kuzˇelosecˇky tvorˇene´ 8 knihami. (Dalsˇ´ı dı´la zna´me jen podle na´zvu˚.) Prvnı´ cˇtyrˇi knihy se dochovaly v rˇecˇtineˇ, dalsˇ´ı trˇi v arabske´m prˇekladu, poslednı´ se ztratila. Zatı´mco do te´ doby se kazˇdy´ ze trˇ´ı druhu˚ kuzˇelosecˇek zı´ska´val z ru˚zny´ch druhu˚ kuzˇelu˚, Appolonius je vsˇechny zı´ska´val z libovolne´ho kuzˇele.
Ko´nika (kuzˇelosecˇky)
Prvnı´ kniha: definice kruhove´ho kuzˇele, zavedenı´ klı´cˇovy´ch pojmu˚: vrchol kuzˇelosecˇky, jejı´ osy a sdruzˇene´ pru˚meˇry. Pro kazˇdou kuzˇelosecˇku Apollonios stanovı´ jejı´ za´kladnı´ vlastnosti. Druha´ kniha: Studium asymptot hyperboly, vlastnostı´ tecˇen kuzˇelosecˇek a u´loh, pozˇadujı´cı´ch konstrukci tecˇny za ru˚zny´ch podmı´nek. Trˇetı´ kniha: Definice pojmu ohniska elipsy a hyperboly, zkouma´nı´ norma´l ke kuzˇelosecˇka´m. ˇ tvrta´ kniha: Studium pru˚secˇı´ku˚ kuzˇelosecˇek a kruzˇnice, resp. C kuzˇelosecˇek mezi sebou. Pa´ta´ kniha: Zkouma´nı´ norma´l vedeny´ch z ru˚zny´ch bodu˚ ke kuzˇelosecˇka´m, jako prˇ´ımky maxima´lnı´ nebo minima´lnı´ de´lky. ˇ esta´ kniha: Studium shodny´ch a podobny´ch rˇezu˚ na dvou kuS zˇelı´ch. Sedma´ kniha: Studium teˇtiv rovnobeˇzˇny´ch se sdruzˇeny´mi pru˚meˇry.
Kuzˇelosecˇky jako geometricka´ mı´sta bodu˚ Jina´ mozˇnost zı´ska´nı´ kuzˇelosecˇek plynoucı´ z vlastnostı´ kuzˇelosecˇek a souvisejı´cı´ se stary´mi u´lohami geometricke´ algebry Parabola
Parabole´ = porovna´nı´:
Elipsa
Strˇedova´ rovnice elipsy: (x − m)2 a2
+
(y − n)2 b2
=1
(2a − p)2 = p2 + (2e)2 (2a − p)2 = p2 + 4(a2 − b2 ) (x − m)2 a2
+
y2 ap
⇒ =1
b2 = ap
(x − m)2 a2
+
y2 ap
=1
p(x2 − 2ax + a2 ) + ay 2 = a2 p px2 − 2apx + pa2 + ay 2 = pa2 p y 2 = 2px − x2 a p y 2 − x(2p − x) a p y 2 = x(2p − q), q = x a
y 2 = x(2p − q),
q=
p a
x
Elipson = nedostatek
Hyperbola
Strˇedova´ rovnice hyperboly: (x − m)2 a2
−
(y − n)2 b2
=1
p2 + (2e)2 = (2a + p)2 p2 + 4(a2 + b2 ) = (2a + p)2 p2 + 4a2 + 4b2 = 4a2 + 4ap + p2 b2 = ap
(x − m)2 a2
−
(y − n)2 ap
=1
x2 p + 2apx + a2 p − y 2 a = a2 p y 2 a = x2 p + 2apx y 2 = 2px + ap x2 y 2 = x(2p + ap x)
Hyperbole´ = nadbytek y 2 = x(2p + q),
q = ap x)
Matematika rˇ´ımske´ho obdobı´ ˇ ´ımany, vyvra´cenı´ 146 prˇ. Kr.: va´lka mezi achajsky´m spolkem a R ˇ ecka Korintu, konec samostatne´ho R Hipparchos (190-120 prˇ. n. l.) byl asi nejveˇtsˇ´ım astronomem staroveˇku. Objevil precesi (prˇedcha´zenı´ rovnodennosti), znal mimorˇa´dneˇ prˇesneˇ trva´nı´ slunecˇnı´ho roku a luna´rnı´ho meˇsı´ce, sklon ekliptiky aj. Prˇitom se opı´ral o meˇrˇenı´ Babylonˇanu˚. Jeho pra´ce se nedochovaly, ale zna´me je z pozdeˇjsˇ´ıho zpracova´nı´ Ptolemaiem. Hipparchovi se prˇipisuje i objev stereograficke´ projekce koule na rovinu. Sestavil katalog asi 1000 hveˇzd. Jeho matematicky nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı dı´lo se ty´ka´ teˇtiv kruzˇnice, kterou rozdeˇlil na 360 stupnˇu˚. Klaudios Ptolemaios (85-165) je autorem dı´la Matematicka´ sbı´rka v 13 kniha´ch, pozdeˇji zvanou pod na´zvem Almagest. Z matematicke´ho hlediska je du˚lezˇite´, zˇe je zde vylozˇena teorie teˇtiv a za´klady rovinne´ a sfe´ricke´ trigonometrie. Po cela´ staletı´ slouzˇily matematiku˚m Ptolemaiovy tabulky teˇtiv s intervalem 0,5 stupneˇ.
Klaudius Ptolemaios (85–165) Systematicky vylozˇil rˇecke´ astronomicke´ poznatky v pra´ci Almagest (Velka´ skladba). Podobneˇ jako Eukleidovy Za´klady je i Almagest rozdeˇlen do 13 knih. Z matematicke´ho hlediska je du˚lezˇite´, zˇe je zde vylozˇena teorie teˇtiv a za´klady rovinne´ a sfe´ricke´ trigonometrie. Po cela´ staletı´ slouzˇily matematiku˚m Ptolemaiovy tabulky teˇtiv s intervalem 0,5 stupneˇ. Za´kladnı´ postula´ty jeho geocentricke´ soustavy: Zemeˇ je sfe´ricka´, je nehybna´ a nacha´zı´ se ve strˇedu nebeske´ klenby, je velmi mala´ ve srovna´nı´ se vzda´lenostı´ hveˇzd, nebeska´ klenba ma´ sfe´ricky´ tvar a rotuje jako tuha´ koule kolem Zemeˇ, jednu otocˇku vykona´ za jeden den, planety, ke ktery´m jsou prˇirˇazeny Slunce a Meˇsı´c rovneˇzˇ obı´hajı´ kolem Zemeˇ. Ptolemaiovi se podarˇilo pomocı´ pojmu epicykl, deferent a ekvant objasnit smycˇky v pohybu planet. Jeho usporˇa´da´nı´ planet bylo: Meˇsı´c, Merkur, Venusˇe, Slunce, Mars, Jupiter a Saturn.
Je zajı´mave´, zˇe Ptolemaios neprˇipisoval sve´mu modelu fyzika´lnı´ rea´lnost. Byl to jen model pro vy´pocˇty, ktery´ vyzˇadoval 40 epicyklu˚. Ptolemaios znal model Aristarchu˚v, ale jemu se zda´lo pro vy´pocˇty vhodneˇjsˇ´ı postulovat nehybnost Zemeˇ.
Pappos (3. stol. n. l.) je autorem pra´ce Matematicka´ sbı´rka, kde v osmi kniha´ch mimorˇa´dneˇ zdarˇile popsal mnoho poznatku˚ z geometrie. Zminˇuje se zde o 30 autorech, a proto je toto dı´lo vy´znamne´ z hlediska historie rˇecke´ matematiky. Najdeme zde i pocˇa´tky algebraicke´ symboliky, kdyzˇ pro obecna´ cˇı´sla volı´ velka´ pı´smena a pro konkre´tnı´ cˇı´selne´ hodnoty mala´ pı´smena.
Heron Hero´n (10-75) psal te´meˇrˇ o vsˇech proble´mech matematiky, mechaniky, astronomie a fyziky. Jeho nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ım geometricky´m dı´lem je Metrika (Nauka o meˇrˇenı´). Zde se nejprve veˇnoval meˇrˇenı´m obsahu˚ ploch a povrchu˚ teˇles (Heronu˚v vzorec byl zna´m jizˇ Archime´dovi). Hero´n uda´va´ i numericke´ prˇ´ıklady, kde pocˇı´ta´ take´ s odmocninami. V dalsˇ´ı cˇa´sti se veˇnoval meˇrˇenı´m objemu˚ a rozdeˇlova´nı´ obrazcu˚ i teˇles na cˇa´sti. Uda´va´ na´vod, jak pocˇı´tat trˇetı´ odmocninu. Heronu˚v vzorec: Obsah troju´helnı´ka o strana´ch a, b, c : S=
p s(s − a)(s − b)(s − c),
kde
s=
a+b+c 2
Dalsˇ´ı Hero´novy matematicke´ spisy se nazy´vajı´ Geometrie, Stereometrie, Geode´zie a Dioptra. Ve Stereometrii se zaby´va´ nejen meˇrˇenı´m objemu˚ geometricky´ch teˇles, ale take´ divadel, lodı´, plavecky´ch baze´nu˚, sudu˚ aj. Ve spisu Dioptra popisuje prˇ´ıstroj, ktery´ slouzˇil k meˇrˇenı´ vy´sˇek a vzda´lenostı´. Kromeˇ toho zde nacha´zı´me hodometr, prˇ´ıstroj k meˇrˇenı´ dra´hy projete´ vozem. Hero´n je rovneˇzˇ autorem fyzika´lnı´ch spisu˚. Jeho Mechanika zacˇı´na´ popisem mechanismu slozˇene´ho z ozubeny´ch kol, ktery´ slouzˇil k prˇemist’ova´nı´ teˇles. Pak studuje nakloneˇnou rovinu, kolo na hrˇ´ıdeli, pa´ku, rumpa´l, klı´n a sˇroub. Napsal pak rˇadu dalsˇ´ıch mensˇ´ıch spisu˚ z aplikovane´ mechaniky. V dı´le Katoptrika vyslovil za´kon o rovnosti u´hlu dopadu a odrazu sveˇtelne´ho paprsku.
Diofantos (200 – 284) Poslednı´ velky´ rˇecky´ matematik. O jeho zˇivoteˇ vı´me jen toto: ˇ estinu zˇivota doprˇa´l mu bu˚h by´t chlapcem. S Za dvana´ctinu zˇivota pak narostly mu vousy. K tomu sedmina, kdyzˇ uzavrˇel snˇatek manzˇelsky´. Po peˇti letech vzesˇel z toho spojenı´ syn. Beˇda, dı´teˇ tak milovane´ dozˇilo se poloviny let otcovy´ch, kdyzˇ ho Hades strasˇlivy´ povolal k sobeˇ. Jesˇteˇ cˇtyrˇi le´ta sna´sˇel Diofant bolest, veˇnuje se veˇdeˇ ... Z toho usuzujeme, zˇe se dozˇil 84 let.
Jeho hlavnı´m dı´lem je Aritmetika o trˇina´cti kniha´ch. Dlouhou dobu bylo zna´mo jen sˇest knih. Ty v 15. stoletı´ objevil Regiomontanus v rˇecke´m rukopise. Azˇ v roce 1972 byly nalezeny dalsˇ´ı cˇtyrˇi knihy v arabske´m prˇekladu. Diofantos je autorem du˚sledne´ho zava´deˇnı´ algebraicke´ symboliky. Podobneˇ jako Eukleidovy Za´klady je mozˇno povazˇovat i Diofantovu Aritmetiku prˇedevsˇ´ım za kompila´t drˇ´ıveˇjsˇ´ıch vy´sledku˚. Diofantos zava´dı´ zvla´sˇtnı´ symboly pro ru˚zne´ mocniny nezna´me´ x v rozsahu od x−6 do x6 . To je znacˇny´ pokrok samo o sobeˇ, kromeˇ toho do te´ doby nemeˇly vysˇsˇ´ı mocniny nezˇ trˇi geometricky´ vy´znam. Pouzˇ´ıval i znak pro plus. ˇ esˇenı´ Diofantos uvazˇuje v mnozˇineˇ raciona´lnı´ch cˇı´sel. Pocˇet R nezna´my´ch mohl by´t azˇ sˇest, ale symbol meˇl pouze jeden, cozˇ komplikovalo cˇetbu textu.
Z hlediska sˇkolske´ matematiky je zajı´mava´ jen I. kniha, ktera´ je veˇnova´na linea´rnı´m a kvadraticky´m rovnicı´m s jednou nebo vı´ce nezna´my´mi. Uved’me prˇ´ıklad: Urcˇete dveˇ cˇı´sla, zna´me-li jejich soucˇet a soucˇin. Necht’ soucˇet je 20 a soucˇin 96. ˇ esˇ´ıme tedy soustavu rovnic R x + y = 20 a
xy = 96.
Diofantos uvazˇoval tak, zˇe polozˇil rozdı´l obou cˇı´sel roven 2d. Pak jsou tato cˇı´sla rovna 10 + d a 10 − d. Jejich soucˇin je (10 + d)(10 − d) = 96 a tedy 100 − d2 = 96. Dosta´va´me d = 2 a hledana´ cˇı´sla jsou x = 12 a y = 8. Peˇt dalsˇ´ıch knih je veˇnova´no prˇedevsˇ´ım neurcˇity´m rovnicı´m, tedy rovnicı´m a soustava´m rovnic s vı´ce nezna´my´mi, ktere´ majı´ „vı´ce
rˇesˇenı´“. Take´ zde uvazˇoval Diofantos raciona´lnı´ rˇesˇenı´, trˇebazˇe dnes prˇi rˇesˇenı´ch diofanticky´ch rovnic hleda´me pouze rˇesˇenı´ celocˇı´selna´. Rovnice, ktere´ vedou k za´porny´m korˇenu˚m, nazy´val protismyslne´. Diofantos sve´ u´lohy formuloval s konkre´tnı´mi cˇı´selny´mi hodnotami, a tak se zda´, zˇe ten, kdo vyrˇesˇ´ı 100 u´loh, nevyrˇesˇ´ı u´lohu 101. Na druhe´ straneˇ je trˇeba rˇ´ıci, zˇe volba prˇ´ıkladu˚ a zpu˚sob jejich rˇesˇenı´ naznacˇujı´, zˇe Diofantos znal obecny´ zpu˚sob rˇesˇenı´ teˇchto u´loh. Celou rˇadu proble´mu˚ mu˚zˇeme zarˇadit do teorie cˇı´sel. Ota´zka mozˇnosti vyja´drˇenı´ cˇtverce jako soucˇtu dvou cˇtvercu˚ inspirovala pozdeˇji Fermata. Diofantos veˇdeˇl, zˇe libovolne´ prvocˇı´slo ve tvaru 4n + 1 je mozˇno vyja´drˇit jako soucˇet dvou cˇtvercu˚, zatı´mco cˇı´slo 4n + 3 nikoliv. Podobneˇ cˇı´slo 8n + 7 nenı´ soucˇtem trˇ´ı cˇtvercu˚, apod. Aritmetika je dı´lo v rˇecke´ matematice ojedineˇle´. Jejı´ vy´znam se uka´zal azˇ v novoveˇku.
Theo´n Alexandrijsky´ (335–405) je autorem komenta´rˇe Ptolemaiova Almagestu a zejme´na vyda´nı´m komentovane´ho textu Eukleidovy´ch Za´kladu˚. Hypatia (370–415) byla dcerou Theo´na a zaby´vala se filozofiı´, matematikou, astronomiı´ a medicı´nou. Poma´hala sve´mu otci prˇi komenta´rˇi Almagestu a sama napsala komenta´rˇ k Diofantoveˇ Aritmetice a Appoloniovy´m Kuzˇelosecˇka´m. Zrˇejmeˇ dı´ky jı´ se dochovalo sˇest knih Aritmetiky. V roce 415 byla rozsa´pa´na skupinou krˇest’ansky´ch fanatiku˚. Proklos (411–485) se stal vu˚dcˇı´ osobnostı´ novoplato´nske´ filozoficke´ sˇkoly. Z hlediska matematiky je nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı jeho komenta´rˇ k prvnı´ knize Eukleidovy´ch Za´kladu˚, kde popsal vy´voj rˇecke´ geometrie.
Konec anticke´ho sveˇta 313 Edikt Mila´nsky´ – Cı´sarˇ Konstantin I. Veliky´ (asi 280–337) a jeho spoluvladarˇ Licinius vyhla´sili vsˇeobecnou svobou vyzna´nı´ (zrovnopra´veˇnı´ krˇest’anstvı´ s ostatnı´mi vyzna´nı´mi) ˇ ´ım prˇesta´va´ by´t hlavnı´m meˇstem Konstantinopol (Kon330 – R stantin jej programoveˇ budoval jako hl.m. z rˇecke´ osady Byzantion) ˇ ´ımske´ rˇ´ısˇe na Za´padnı´ a Vy´chodnı´ s centry v 395 – Rozdeˇlenı´ R ˇ ´ımeˇ a Konstantinopoli R ˇ ´ıma Vizigo´ty (3 dny plenili) 410 – Vypleneˇnı´ R ˇ ´ıma Vandaly (14 dnı´ – velitel dal meˇsto vple´n 455 – Vypleneˇnı´ R svy´m voja´ku˚m) 476 – Za´nik Za´padorˇ´ımske´ rˇ´ısˇe (Odoakar (asi 433–493), na´cˇelnı´k germa´nske´ho kmene Skiru˚, svrhl poslednı´ho cı´sarˇe Za´padorˇ´ımske´ rˇ´ısˇe Romula Augusta (asi 461–476)) = konec staroveˇku
