ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY CSAPAT SZÁMA: .........

Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. Formulával: (a bal oldali mellékelt ábra jelölései szerint) c2=a2+b2-2·a·b·cosɤ Tétel: Irányítsuk a háromszög oldalait az ábrán jelölt módon. Az "a" oldal a vektor, "b" oldal b vektor, c oldal c vektor. Itt az a, b és c vektorok abszolut értéke a háromszög megfelelő oldalának hosszával egyenlő. A c vektor az a és b vektorok különbsége, azaz c=a-b Emeljük négyzetre (c vektort szorozzuk önmagával skalárisan): c2=(a-b)2 Felhasználva, hogy a skaláris szorzásnál is érvényes a disztributív tulajdonság: c2=a2-2ab+b2 A skaláris szorzás definíciójából következik, hogy minden vektor önmagával vett skaláris szorzata egyenlő a vektor hosszának a négyzetével: c2=c2, a2=a2, b2=b2. Ugyancsak a skaláris szorzásnál definíciója szerint: a · b=a·b·cosɤ Így kapjuk az állítást: c2=a2+b2-2·a·b·cos ɤ


Természetesen a tétel és a bizonyítás a háromszög bármelyik oldalára igaz. A koszinusz tételt felfoghatjuk a Pitagorasz tételének általánosításaként, amikor a háromszögnek a koszinusz tételben szereplő szöge éppen 90° . Ekkor cos ɤ = 0 következtében a koszinusz tétel a Pitagorasz tételét adja: c2=a2+b2. A koszinusz tétel jól alkalmazható a háromszög adatainak meghatározásában: 1. Ha ismerjük a háromszög bármely két oldalát és a közbezárt szögét, a koszinusz tétel segítségével kiszámíthatjuk a háromszög harmadik oldalát. 2. Ha ismerjük a háromszög mindhárom oldalát, akkor a koszinusz tétel segítségével kiszámíthatjuk bármelyik szögét. A koszinusz tételt szokás Carnot-tételnek is nevezni, a XVIII. századi francia matematikus után.


Bizonyítsa be, hogy n különböző elem k-ad osztályú kombinációjának száma:

Hányféleképpen választhatunk ki n különböző tárgyból k darabot, ha a kiválasztás sorrendje közömbös? Ezt a kérdést így is megfogalmazhatjuk: Az n elemű halmaznak hány darab k elemű részhalmaza van. Definíció: Az n elem halmaz k elemű részhalmazait az n elem k-ad osztályú kombinációinak nevezzük és Cnk-val jelöljük. Tétel: n különböző elem k-ad osztályú kombinációjának száma:

. Bizonyítás: Adott n elem k-ad osztályú kombinációjából úgy állíthatjuk elő a k-ad osztályú variációkat, hogy az egyes kombinációk elemeit sorbarendezzük, pemutáljuk. Ez azt jelenti, hogy Pk·Cnk=Vnk. Azaz:

Mivel Vnk=n(n-1)(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)= és Pk=k(k-1)(k-2)...3·2·1=k!, ezért:

,


A kapott kifejezésre bevezetünk egy új jelölést: olvassuk, és binomiális együtthatónak is nevezzük. Tehát:

, és n alatt k-nak

=

Mivel n elemből k darabot ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani, ahányféleképpen n elemből (n-k) darabot nem kiválasztani. Ez a binomiális együtthatóknak a szimmetria tulajdonsága:

és

definíciójából következően:

A). Mivel n darab tárgyból 1-t kiválasztani n féleképpen lehet.

=n Másrészt:

Szimmetria tulajdonság. B). =1

Mivel n darab tárgyból mindet kiválasztani csak egyféleképpen lehet.

=1

Hiszen egyet sem kiválasztani szintén csak egyféleképpen lehet.

C). =1 Definíció szerint.


Köregyenlet: Bizonyítsa be, hogy a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete: (x-u)2+(y-v)2=r2 A körvonal azoknak a pontoknak a halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott pontjától, (a kör középpontjától) adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Adott a koordináta redszerben a C(u;v) középpontú, és r sugarú kör. A körvonal bármely P(x;y) pontja C(u;v) középponttól adott r távolságra van A C és P pontok távolságára felírva a két pont távolságára vonatkozó összefüggést:

Ezt négyzetre emelve: (x-u)2+(y-v)2=r2 Ezt az egyenéetet a C(u;v) középpontú, r sugarú körvonal minden pontjának koordinátái kielégítik, és más pont koordinátái pedig nem. Ez az egyenlet a kör egyenlete. Egy körön kívüli Q(xq;yq) pont esetén (xq-u)2+(yq-v)2>r2 Egy körön belüli R(xq;yq) pont esetén (xq-u)2+(yq-v)2

Igazolja a következő azonosságot! ; Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra és k-ra? A fenti azonosság bizonyításánál fel fogjuk használni a logaritmus definícióját, valamint a hatványozásra vonatkozó azonosságokat. Az azonosság azt mondja ki, hogy egy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével. Formulával:

.

Feltételek: a, x, y ∈R+, a≠ ≠1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1. Bizonyítás: A logaritmus definíciója szerint minden valós szám felírható ugyanazon alapú hatvány és logaritmus segítségével a következő módon:

Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint: , , illetve Szorozzuk össze az x és az y változókat ebben az alakjukban:

alakban.

. Itt az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatványozás azon azonosságát, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor a közös alapot a kitevők összegére emelhetjük. Másrészt az xy szorzatot felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is:

Ez azt jelenti, hogy . Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

Recommend Documents