ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17.
Ha hibát találsz, kérlek jelezd a
[email protected] e-mail címen!
Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható.
1
1. Definiálja a metrikus teret!
Legyen M 6= ∅. Az (M, %) párt metrikus távolságnak nevezzük, ha % : M × M → R és 1. %(x, y) ≥ 0 (∀ x, y ∈ M ), 2. %(x, y) = 0 ⇔ x = y, 3. %(x, y) = %(y, x) (∀ x, y ∈ M ), 4. %(x, y) ≤ %(x, z) + %(z, y) (∀ x, y, z ∈ M ). Ahol % a metrika, %(x, y) az x és y távolsága. 2. Hogyan értelmeztük az (Rn , %2 ) metrikus teret?
(Rn , %2 ) metrikus tér, ahol %2 (x, y) :=
v uX u n t (xi
− yi )2 .
i=1
3. Fogalmazza meg a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenséget!
ai , bi ∈ R i = 1, . . . n. Ekkor X n ai bi i=1
≤
v v u n u n uX uX 2 t t a · b2 i
i=1
i
⇔ bi = 0 ∀ i = 1, . . . n vagy ∃λ ∈ R : ai = λbi
∀i = 1, . . . n.
i=1
4. Irja le a normált tér definícjóját!
(X, k · k) normált tér, ha 1. X lineáris vektortér R felett, 2. k · k : X → R és i, kxk ≥ 0 (∀x ∈ X), ii, kxk = 0 ⇔ x = 0, iii, |λx| = kλk · kxk (∀x ∈ X, ∀λ ∈ R), iv, kx + yk ≤ kxk + kyk (∀x, y ∈ X).
5. Definiálja Rn -en a k · k2
(1 ≤ p ≤ +∞) normát!
6. Hogyan értelmezzük az (Rn , k · k2 ) normált térben egy pont környezetét?
(Rn , k · k2 ) normált tér, a ∈ Rn , r > 0. Kr (a) := {x ∈ Rn : kx − ak2 < r} az a r-sugarú környezete vagy az a közepű r-sugarú nyílt gömb.
2
7. Mit jelent az, hogy egy (Rn , k · k2 )-beli sorozat konvergens?
(Rn , k · k2 ) normált tér, (ak ) : N → Rn vektorsorozat konvergens, ha ∃ α ∈ Rn , ∀ ε > 0 ∃ k0 ∈ N, ∀ k ≥ k0 : kak − αk2 < ε. Jelölés: α = lim ak . 8. Milyen ekvivalens állításokat ismer normált térbeli sorozat konvergenciájára?
(Rn , k · k2 ) normált tér, (ak ) : N → Rn . Ekkor a következő tulajdonságok ekvivalensek: 1. (ak ) konvergens, 2. ∃ α ∈ Rn , ∀ ε > 0 ∃ k0 ∈ N, ∀ k ≥ k0 : ak ∈ Kε (α), 3. ∃ α ∈ Rn lim kak − αk2 = 0. 9. Fogalmazza meg normált térbeli konvergens sorozatok alaptulajdonságait!
(Rn , k · k2 ) norrmált tér, (ak ) : N → Rn . Ekkor 1. Ha (ak ) konvergens és lim ak = α, akkor i, ∃! α, ii, (ak ) korlátos, iii, ∀ ν : N → N indexsorozatra lim aν(k) = α 2. ν1 , ν2 : N → N indexsorozat. Ha lim aν1 (k) 6= lim aν2 (k) , akkor (ak ) divergens.
10. Milyen műveleti tételeket ismer normált térbeli konvergens sorozatokra?
(Rn , k · k2 ) normált tér, (ak ), (bk ) : N → Rn sorozatok konvergensek, α = lim ak , β = lim bk . Ekkor 1. (ak + bk ) is konvergens, és lim(ak + bk ) = α + β, 2. (λak ) is konvergens, és lim(λak ) = λα (λ ∈ R). 11. Hogyan jellemezhető Rn -beli sorozat konvergenciája a koordinátasorozatokkal? (1)
(2)
(n)
(ak ) : N → Rn , ak = (ak , ak , . . . , ak ) ∈ Rn . Ekkor lim ak = α,
k→∞
(i)
α = (α(1) , . . . , α(n) ) ∈ Rn ⇔ lim ak = α(i) k→∞
(∀ i = 1, . . . n).
12. Mit jelent az, hogy egy normált térbeli sorozat Cauchy-sorozat?
(ak ) : N → Rn Cauchy sorozat, ha ∀ ε > 0, ∃ k0 , ∀ k, l ≥ k0 : kak − al k < ε.
3
13. Milyen kapcsolat van normált térben a Cauchy-sorozatok és a konvergens sorozatok között?
(ak ) : N → Rn konvergens ⇔ Cauchy sorozat. 14. Definiálja a torlódási pont fogalmát!
A ⊂ Rn , a ∈ Rn az A torlódási pontja, ha ∀ K(a) : K(a) \ {a} ∩ A 6= ∅. Jelölés: A0 a torlódási pontok halmaza. 15. Milyen ekvivalens állításokat ismer a torlódási pontról?
a ∈ A0 ⇔ ∀ K(a) : K(a) ∩ A végtelen halmaz a ∈ A0 ⇔ ∃ (ak ) : N → A injektív sorozat: lim ak = a. 16. Definiálja a belső pont fogalmát!
a ∈ Rn belső pontja A ⊂ Rn -nek, ha ∃ K(a) ⊂ A. 17. Mi a nyílt halmaz definíciója?
A ⊂ Rn halmaz nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. 18. Milyen állításokat ismer zárt halmaz jellemzésére?
A ⊂ Rn zárt ⇔ A0 ⊂ A, A ⊂ Rn zárt ⇔ ∀ (ak ) : N → A konvergens sorozatra lim ak = α ∈ A. 19. Fogalmazza meg a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt!
Ha az (ak ) : N → Rn korlátos sorozat, akkor kiválasztható egy (ak ) ◦ ν = (aνk ) konvergens részsorozat. 20. Definiálja a normált terek közötti leképezések határértékét!
f ∈ Rn → Rm (n, m ≥ 1), a ∈ Df . f -nek ∃ határértéke a-ban, ha ∃ A ∈ Rm , ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Kδ (a) \ {a} ∩ Df : f (x) ∈ Kε (A) ⇔ ∃ A ∈ Rm , ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Df , 0 < kx − ak < δ : kf (x) − Ak < ε. 21. Definiálja a normált terek közötti leképezések pontbeli folytonosságát!
f ∈ Rn → Rm folytonos az a ∈ Df pontban, ha ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Kδ (a) ∩ Df : f (x) ∈ Kε (f (a)) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Df , kx − ak < δ : kf (x) − f (a)k < ε. Jelölés: lim f = A, f ∈ C(a). a
22. Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv?
f ∈ Rn → Rm , a ∈ Df . Ekkor f ∈ C(a) ⇔ ∀ (xk ) : N → Df , lim xk = a : lim f (xk ) = f (a). 4
23. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről?
Ha f ∈ Rn → Rm folytonos függvény és Df korlátos és zárt, akkor Rf is korlátos és zárt. 24. Mondja ki a Weierstrass tételt!
Ha f ∈ Rn → R folytonos függvény, Df korlátos és zárt, akkor ∃ max f és ∃ min f . 25. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény inverzéről?
Ha f ∈ Rn → Rm folytonos függvény, Df korlátos és zárt, f injektív, akkor f −1 folytonos. 26. Definiálja az egyenletes folytonosságot!
f ∈ Dn → Dm függvény egyenletesen folytonos, ha ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x, y ∈ Df , kx − yk < δ : kf (x) − f (y)k < ε. 27. Mondja ki a Heine-tételt!
Ha f ∈ Dn → Dm függvény folytonos, Df korlátos és zárt, akkkor f egyenletesen folytonos. 28. Mi a kontrakció definíciója?
X ⊂ Rn , f : X → X kontrakció, ha ∃ 0 ≤ q < 1 : kf (x) − f (y)k ≤ q · kx − yk (∀ x, y ∈ X). 29. Fogalmazza meg a Banach-féle fixpont-tételt!
X ⊂ Rn , f : X → X kontrakció, X zárt. Ekkor i, f -nek ∃! fixpontja, azaz ∃! x∗ ∈ X : f (x∗ ) = x∗ , ii, Ha x0 ∈ X tetszőleges, xn+1 := f (xn ), akkor (xn ) : N → X konvergens és lim xn = x∗ , iii, kxn − x∗ k ≤
qn · kx1 − x0 k (n ∈ N). 1−q
30. Mit jelent az, hogy egy L : Rn → Rm leképezés lineáris?
L : Rn → Rm lineáris leképezés, ha L(αx + βy) = αL(x) + βL(y) (∀ x, y ∈ Rn
∀ α, β ∈ R).
Jelölés: α(Rn , Rm ). 31. Milyen normát értelmeztünk lineáris leképezésekre?
L ∈ α(Rn , Rm ) operátornormája kLk := sup{|L(h)k : khk ≤ 1}.
5
32. Milyen egyenlőtlenséget ismer lineáris leképezések normájára?
|L(h)| ≤ kLk · khk (h ∈ Rn ). 33. Írja le az f ∈ Rn → Rm függvény pontbeli (totális) deriválhatóságának a definícióját!
f ∈ Rn → Rm deriválható az a ∈ int Df pontban, ha ∃ L ∈ α(Rn , Rm ) : lim
h→0
kf (a + h) − f (a) − L(h)k = 0. khk
Ekkor L = f 0 (a). 34. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel?
f ∈ Rn → Rm , a ∈ int Df . f ∈ D(a) ⇔ ∃ L ∈ α(Rn , Rm ), ∃ ε : Rn → Rm , lim ε = 0 : f (a+h)−f (a) = L(h)+ε(h)·khk 0
35. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra mátrixokkal?
f ∈ Rn → Rm , a ∈ int Df . kf (a + h) − f (a) − Ahk =0⇔ h→0 khk ∃ A ∈ Rm×n , ∃ ε : Rn → Rm , lim ε = 0 : f (a + h) − f (a) = Ah + ε(h) · khk. f ∈ D(a) ⇔ ∃ A ∈ Rm×n : lim 0
Ekkor f 0 (a) = A. 36. Milyen kapcsolat van a pontbeli deriválhatóság és folytonosság között? 37. A deriválhatóság és a koordináta függvények deriválhatósága közötti kapcsolat. 38. Adja meg a kompozíció függvény deriváltját! 39. Adja meg az Rn → R típusú függvény parciális deriváltjainak a fogalmát!
6
