AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september 2010
1
Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11)
2
Optieprijs Welke variabelen bepalen de waarde van een optie? Aandeelprijs S Uitoefenprijs X Resterende looptijd t Rente r Dividend D Volatiliteit van de onderliggende waarde σ 3
Welke invloed hebben deze variabelen? Variabele
Call
Put
Koers onderliggende waarde
+
–
Uitoefenprijs
–
+
Looptijd optie
+
+
Rente
+
–
Dividend
–
+
Implied volatility
+
+ 4
Put-Call Pariteit (zonder dividend) Beschouw volgende 2 portfolios: Portfolio A: Europese call (strike X) op een aandeel + bedrag in contanten X exp(-rT) Portfolio B: Europese put (strike X) op het aandeel + het aandeel zelf Beide portfolio’s zijn waard max(ST, X ) op expiratie van de opties Beiden zijn nu evenveel waard (arbitrage): !! c + X e-rT = p + S0 5
Early Exercise Amerikaanse opties kunnen voor expiratie uitgeoefend worden Amerikaanse call op aandeel dat dividend uitbetaalt Amerikaanse put die deep in-the-money is
6
Opgave 1 Beargumenteer wanneer een amerikaanse call voor dividendbetaling ‘early exercise’ is. Vergelijk de situatie, waarin “ge-exercised” is met situatie waarin je de call houdt. Wat is het verschil? Wat volgt hieruit? Denk aan put-call pariteit
7
Wanneer Early Exercise? Amerikaanse call wordt uitgeoefend als Dividend > put + rente(strike) Amerikaanse put wordt uitgeoefend als rente(strike) > call rente(strike) is rente over de strike (uitoefenprijs)
8
Optie strategieën
9
Optie strategieën Opties + aandelen Combinatie van opties Straddle Strangle Butterfly
10
Alternatieve posities Positie in optie en onderliggende aandeel Positie in 2 of meer opties van het zelfde type (een spread) Combinatie: positie in een combinatie van calls & puts
11
Posities in optie & onderliggende aandeel Profit
Profit
X X
ST
ST
(a) Profit
Profit
(b)
X ST (c)
X
ST
(d)
12
Combinaties Combineer opties (long en short) om gewenste strategie te krijgen Straddles Strangles Butterflies Etc. etc.
13
Straddle Profit
X
ST
Combinatie van call en put met zelfde strike en looptijd
14
Straddle Koop call X=80 voor EUR 6 Koop put X=80 voor EUR 4.5
Bij expiratie: Als S=90: pay off = 90-80 (call) - 6 - 4.5 = -0.5 Als S=60: pay off = 80-60 (put) - 6 - 4.5 = 9.5
15
Strangle Profit X1
X2 ST
Combinatie van call en put met dezelfde looptijd, maar verschillende strikes 16
Strangle Koop put X1= 80 voor EUR 4.5 Koop call X2= 85 voor EUR 3
Bij expiratie: Als S=100: pay off = 100-85 (call) - 3 - 4.5 = 7.5 Als S=75: pay off = 80-75 (put) - 3 - 4.5 = -2.5
17
Butterfly Spread met Calls Profit X1
X2
X3
ST
18
Butterfly Spread met Puts Profit X1
X2
X3
ST
19
Butterfly Koop Call strike 80 voor EUR 13 Koop Call strike 100 voor EUR 2.5 Verkoop 2 Calls strike 90 voor EUR 6 Betaal netto premie: EUR 3.5 Bij expiratie: Als S =105: 105-80 (call80) + 105-100 (call100) - 2* [105-90] (call90) - 3.5 = EUR - 3.5 Als S = 85: 85-80 (call 80) - 3.5 = EUR 1.5 20
Optiecombinaties Gebruik opties maakt portefeuille flexibel Heel veel pay-off profielen mogelijk Goed instrument om gewenst risico- rendement profiel van portefeuille te verkrijgen Reden: asymmetrie van optie pay-off
21
Opgave 2 Belegger wil optieconstructie waarbij hij profiteert van kleine daling en kleine stijging van AEX bij expiratie Nov 2008 zonder dat dit initieel geld kost. AEX op 380 Bedenk optieconstructie met calls en puts uit volgende sheet (aex Nov 08 optiesheet) Er zijn oneindig veel mogelijkheden Maak pay-off diagram van gekozen constructie Welke risico’s heeft gekozen strategie? 22
AEX Oct 2004 optiesheet
23
Vuistregels Handig om uit je hoofd indicatie van optiewaarde te berekenen Market makers gebruikten ‘op de vloer’ vuistregels om snel te handelen Ook voor uitkomsten optiewaarden uit modellen handig om gevoel te krijgen of waarden ‘in de richting’ zijn
24
Vuistregels: waardering (forward) at-the-money Vuistregel waardering forward atm-optie: 0,4 σ " T (%) (basisformule) Vb. 5-jaars (FORWARD) atm optie, zowel call als put, volatility 10% Waarde: 0,4 * 10 * " 5 ≅ 9% van de onderliggende waarde
Forward atm niveau is spotkoers plus rente minus dividend(yield) 25
Vuistregels: waardering (forward) at-the-money Waarde (fw) atm optie: 0,4 σ " T (%) Lineair verband waarde en volatility: Vb. Vol 20% ipv 10% !waarde 18% ipv 9% Verband looptijd en waarde: Looptijd (forward) atm optie 4 jaar ipv 1 jaar: Waarde " 4 * 9% = 18%
26
Opgave 3 Bepaal waarde AEX dec 04 330 straddle Volatility 17% Looptijd 3 maanden Rente en dividend effecten verwaarloosbaar Maak pay-off diagram voor bovenstaande straddle Geef break-even niveaus van AEX op derde vrijdag in dec 2004 aan 27
Bloomberg AEX dec 2004 scherm
28
Volatiliteit Theorie Hist. vol
Optieprijs Black & Scholes
Implied vol
Black & Scholes
Optieprijs
Praktijk
Historische vol is standaarddeviatie van aandeelrendementen, implied vol wordt afgeleid uit verhandelde optieprijzen
29
Volatiliteit Beweeglijkheid onderliggende waarde Hoe beweeglijker het aandeel, hoe hoger de volatiliteit Historische vs implied volatility Hoe hoger de implied volatility, hoe meer een optie waard is Oorzaak: asymmetrie van de pay-off
30
Volatility-effect opties 6.0000
4.5000
3.0000
1.5000
0 70
80
90
100
110
120
130
Hoe beweeglijker het aandeel, hoe breder de kansverdeling, hoe meer een call of put waard is 31
Historische volatiliteit versus Implied vol. Historische volatiliteit is vaak lager dan Implied Volatility Redenen voor verschil als gevolg van B&S aannames Liquiditeit; hedging niet perfect => extra kosten Markten in praktijk niet-normaal => “crashes” in praktijk vaker dan de normale verdeling voorspelt Volatiliteit niet constant
Dus “implied” is een correctie voor model- aannames die in de praktijk niet werken
32
Marktpremie Veel kleine bewegingen omhoog, vaak met afnemende volatiliteit Heftige correcties omlaag met exploderende volatiliteit
33
Implied volatility
Gevolg van imperfecties B&S en markt: verschillende implied volatilities voor verschillende looptijden (termijnstructuur) en verschillende niveaus (skew)
34
T ermijnstructuur Implied volatility
Looptijd
Langere looptijden convergeren naar Gem. Hist. Vol.
35
Skew Implied volatility
Strike
Lagere strikes hebben hogere implied volatility
36
Binomiale boom
37
Binomiaal Model Rente 0% Wat is de prijs van de optie?
70% kans
Aandelenprijs = $22
Aandelenprijs = $20 30% kans
Aandelenprijs = $18
38
Binomiaal Model De aandelen prijs is $20 Over 3 maanden is de aandelenprijs $22 of $18
Aandelenprijs = $22 Aandelenprijs = $20 Aandelenprijs = $18
39
Call Optie Een 3-maands call optie op een aandeel heeft de strike 21.
Aandeelprijs = $22 Optie Prijs = $1 Aandeelprijs = $20 Optie Priis =?
Aandeelprijs = $18 Optie Prijs = $0
40
Risicoloze Portefeuille Portefeuille :#long Δ aandelen short 1 call optie# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 22!# – 1# # # # # # # # # # # # # 18!
Portefeuille is risicoloos als 22Δ – 1 = 18Δ Dus Δ = 0.25
41
Portefeuille waarderen De risicoloze portefeuille is: long 0.25 aandelen short 1 call optie De waarde van de portefeuille over 3 maanden # 22*0.25 – 1 = 4.50 De waarde van de portefeuille vandaag 4.5e – 0.12*0.25 = 4.3670
42
Waarde Optie De portefeuille long 0.25 shares short 1 option is 4.367 waard De aandelen zijn waard 0.25*20 = 5.000 De waarde van de optie is dus 5.000 – 4.367 = 0.633
43
Hoe te arbitreren? Bank geeft optieprijs van 0.80 euro. Wat te doen? 1. Schrijf optie en incasseer 0.80 euro 2. Koop 0.25 aandelen, dus leen 4.2 euro 3. Na kwartaal Stijging
Daling
0.25*22=5.5 Aandelen
0.25*18=4.5 0
-1 Optie -4.2exp(r t)=-4.33 Aflossing
-4.2exp(r t)=-4.33
4. Risicoloze winst van 0.17 euro 44
Generalisatie Portefeuille met long $ aandelen en short 1 derivaat S0 u! – ƒu
!S0– f
S0d! – ƒd
De portefeuille is risicoloos als S0u$–ƒu =S0d$–ƒd
45
Generalisatie Waarde op tijdstip T is # # # S0u Δ – ƒu Waarde vandaag is # # # (S0u Δ – ƒu )e–rT Alternatieve manier waarde vandaag # # # S0Δ – f Dus # # # ƒ = S0Δ – (S0u Δ – ƒu )e–rT 46
Generalisatie Vervang Δ door p # # ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT #
met
47
Risk-Neutral Valuation ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT# De variabelen p and (1 – p ) zijn de risicovrije kansen dat het aandeel omhoog of naar beneden gaat De waarde van het derivaat is de verwachte opbrengst in de risicovrije wereld
S0 ƒ
S0u ƒu S0d ƒd 48
Voorbeeld Prijs onderliggende verandert na kwartaal met 10%! ! ! ! ! ! ! ! S!0u =!22 ! ! ! ! ! ! ! p ƒu = 1 ! ! ! ! S =20 0
ƒ
(1 –
p)
S0d = 18 ƒd = 0
p moet een risicovrije kans zijn dus (r=12%)# # 20e0.12 !0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523 Of de formule 49
Waarde Optie S0 ƒ
3
S0u = 22 ƒu = 1
77
S0d = 18 ƒd = 0
2 0.65
0.34
De waarde van de optie is ! e–0.12!0.25 [0.6523%1 + 0.3477%0] =0.633 50
Samenvattend Maak een model van de onderliggende Stel portefeuille samen uit derivaat plus onderliggende die geen risico heeft Leid de prijs van het derivaat af Door arbitrage afgeleide prijs blijkt gelijk te zijn aan de verwachte prijs in een risiconeutrale wereld
51
Tekortkoming model Binomiale vertakking te simpele beschrijving economie. Oplossing: knoop binomiale takken aan elkaar tot binomiale boom. Meer tijdstappen -> fijnere verdeling aandeelprijs. Op ieder knooppunt hedge vaststellen.
52
Uitbreiding binomiale boom Bepaal hoeveelheid aandelen en opties
t=0
t=0.5
t=1
53
Binomiale boom S6 S3
S5
S0
S2
S4
Achterwaarts waarderen derivaat. 54
Twee staps boom 24.2 22 19.8
20 18
16.2
Elke tijdstap is 3 maanden Rente=12% Call optie met uitoefenprijs van 21 55
Waarde Call Optie D
22 20 A 1.2823
B
2.0257 18 0.0
E
24.2 3.2 19.8 0.0
C F
16.2 0.0
Value at node B = e–0.12!0.25(0.6523%3.2 + 0.3477%0) = 2.0257 Value at node A = e–0.12!0.25(0.6523%2.0257 + 0.3477%0)= 1.2823 56
Vorm afhankelijk van spreiding
Hoe groter de volatiliteit, hoe breder de binomiale boom 57
Van binomiaal naar lognormaal Verdeling boom na 10 stappen
58
Contact
J.Jong@ UglyDucklingSoftware.com
59
Uitwerking opgave
60
Opgave 1 Twee mogelijkheden Call aanhouden c=p+S-Xe-rt (put-call parity) Aandeel (S) kopen voor strike prijs(X) en dividend (D) ontvangen S+D-X S+D-X > p+S-Xe-rt D>p+(1-e-rt)X 61
Opgave 2 Voorbeeld van optieconstructie Koop 1 call dec 360 voor 24.90 Verkoop 2 calls dec 380 voor 13.85=27.70 Koop 1 put dec 360 voor 16.15 Verkoop 2 puts 340 voor 9.65 = 19.30 Totaal ontvang je 5.95 Pay-off diagram: zie volgende slide 62
Opgave 2 - payoff diagram
63
Opgave 3 Waarde call = put = 0,4 σ " T (%) invullen 0,4*0,17* "0,25 = 3,4% Waarde call = put = 3,4% van 330 = 11,22 Waarde Straddle = 2*11,22 = 22,44 Break-even niveaus: 330 + 22,44 = 352,44 en 330 – 22,44 = 307,56
64
