8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi Rn Rm, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W.
Definisi Jika T: V→W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor W, maka T disebut tranformasi linier dari V ke W jika untuk semua vektor u dan v pada V dan semua skalar c: T (u+v) = T (u) + T (v) T (cu) = cT (u)
Transformasi Linier
Pada kasus khusus dimana V=W, transformasi linierT:V→V
disebut operator linier V.
Transformasi Nol Pemetaan T:V→W , disebut transformasi nol jika ,
T (u+v) = 0 T (u) = 0, T (v) = 0
dan T (k u) = 0
Dengan demikian,
T (u+v) =T (u) +T (v) dan T (k u) = kT (u)
Operator Identitas
Pemetaan I: V→V yang didefinisikan oleh I (v) = v disebut operator identitas pada V.
Dilation and Contraction operators Jika V sebarang vektor dan k sebarang skalar, maka fungsi T:V V yang didefinisikan oleh T (v) = k v operator linier pada V Dilation/Pelebaran V : k > 1 Contraction/ Penyempitan V: 0 < k < 1
Proyeksi Orthogonal Jika W adalah sub ruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, maka proyeksi orthogonal dari V pada W adalah transformasi yang didefinisikan oleh:
T (v ) = projwv
Proyeksi Orthogonal T (v ) = projwv Jika S = {w1, w2, …, wr} sebarang basis ortonormal untuk W, maka T (v ) :
T (v ) = projwv =
w1 + w2 +…+wr Bukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifatsifat hasil kali dalam, sbb”: T (u+v) = w1 + w2 +… + wr = w1 + w2 +… + wr + w1 + w2 +… + wr = T (u) + T (v) Dengan cara yang sama: T (ku) = kT (u)
Computing an Orthogonal Projection
Anggap V = R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean. Vektor w1 = (1,0,0) dan w2 = (0,1,0) membentuk basis ortonormal bidang xy. Jika v = (x,y,z) adalah sebarang vektor R3 , proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xy adalah: T (v ) = w1 + w2
= x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) = ( x, y, 0 )
Proyeksi Ortogonal R3 pada bidang xy
Transformasi Linier Ruang Vektor V to Rn Jika S = {w1 , w2 , …, wn } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, dan (v)s = (k1, k2, …, kn ) adalah vektor koordinat relatif terhadap S dari suatu vektor v dalam V sehingga; v = k1 w + k2 w2 + …+ kn wn
Definisikan T: V→Rn sebagai fungsi yang memetakan v pada vektor koordinat relatif terhadap S; yaitu, T (v) = (v)s = (k1, k2, …, kn )
Transformasi Linier Ruang Vektor V to Rn Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana: u = c1 w1+ c2 w2+ …+ cn wn dan v = d1 w1+ d2 w2+ …+ dn wn Jadi (u)s = (c1, c2, …, cn ) dan (v)s = (d1, d2, …, dn ) Tapi; u+v = (c1+d1) w1+ (c2+d2) w2+…+ (cn+dn) wn k u = (kc1) w1 +(kc2) w2 +…+ (kcn) wn Sehingga; (u+v)s = (c1+d1, c2+d2 …, cn+dn ) (k u)s = (kc1, kc2, …, kcn )
Dengan demikian; (u+v)s = (u)s + (v)s dan (k u)s = k (u)s
Transformasi Linier Ruang Vektor V to Rn Dengan demikian; (u+v)s = (u)s + (v)s dan (k u)s = k (u)s Jika persamaan dalam bentuk T, maka:
T (u+v) = T (u) + T (v) and T (k u) = kT (u) Yang menunjukkan bahwa T adalah suatu transformasi linier. REMARK. Penulisan dalam bentuk matriks: [u+v] = [u]s +[v]s and [k u]s = k [u]s
Contoh : Transformasi linier pn ke pn+1 Jika p = p(x) = C0 X + C1X2 + …+ CnX n+1 adalah polinom dalam Pn , maka fungsi T: Pn → Pn+1 : T (p) = T (p(x)) = xp(x)= C0 X + C1X2 + …+ CnX
n+1
Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana untuk skalar k dan sebarang polinom p1 dan p2 dalam Pn T (p1+p2) = T (p1(x) + p2 (x)) = x (p1(x)+p2 (x)) = x p1 (x) + x p2 (x) = T (p1) +T (p2) dan T (k p) = T (k p(x)) = x (k p(x))= k (x p(x))= k T(p)
Operator Linier dalam Pn Jika p = p(x) = c0 X + c1X2 + …+ cnX n+1 adalah polinom dalam Pn , dan anggap a dan b sebarang skalar. Fungsi T didefinisikan sbb: T (p) = T(p(x)) = p (ax+b) = c0 + c1 (ax+b) + …+ cn(ax+b)
n
adalah suatu operator linier.
Contoh, jika ax+b = 3x – 5, maka T: P2 → P2 akan menjadi operator linier sbb: T (c0 + c1x+ c2 x2 ) = c0 + c1 (3x-5) + c2 (3x-5) 2
A Linear Transformation Using an Inner Product Jika V adalah suatu hasil kali dalam dan v0 adalah sebarang vektor tetap pada V. Anggap T:V→R adalah transformasi yang memetakan suatu vektor v ke hasil kali dalamnya dengan v0 ; yaitu, T (v) = Dari sifat-sifat suatu hasil kali dalam: T (u+v) = = + dan T (k u) = = k = kT (u) Sehingga T adalah suatu transformasi linear..
Sifat-sifat Transformasi Linear Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka untuk sebarang vektor v1 dan v2 dalam V dan sebarang skalars c1 dan c2 , kita dapatkan: T (c1 v1 + c2 v2) = T (c1 v1 ) + T (c2 v2) = c1T (v1 ) + c2T (v2) Dan secara lebih umum v1 , v2 , …, vn adalah vektor-vektor pada V dan c1 , c2 , …, cn adalah skalar, maka: T (c1 v1 + c2 v2 +…+ cn vn ) = c1T (v1 ) + c2T ( v2 ) +…+ cnT ( vn )
1)
transformasi linear mempertahankan kombinasi linear.
1)
Tiga Sifat Dasar Transformasi Linear Theorem 8.1.1 Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka: (a) T (0) = 0 (b) T (-v ) = -T (v ) untuk semua v dalam V (c) T (v-w ) = T (v ) - T (w) untuk semua v dan w dalam V Proof. (a) Let v be any vector in V. Since v=0, we have T (0)=T (0v)=0T (v)=0 (b) T (-v) = T ((-1)v) = (-1)T (v)=-T (v) (c) v-w=v+(-1)w; thus, T (v-w)= T (v + (-1)w) = T (v) + (-1)T (w) = T (v) -T (w)
Mencari Transformasi Linear dari Bayangan Vektor Basis Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear dan {v1 , v2 , …, vn } adalah sebarang basis untuk V, maka bayangan T (v) dari sebarang vektor v pada V dapat dihitung dari bayangan: T (v1), T (v2), …, T (vn) dari vektor-vektor basis. Nyatakan v sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis; v = c1 v1+ c2 v2+ …+ cn vn Gunakan rumus (1) untuk menulis: T (v) = c1 T (v1) + c2 T (v2) + … + cn T (vn) Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan oleh bayangan sebarang vektor-vektor basis. T (c1 v1 + c2 v2 +…+ cn vn ) = c1T (v1 ) + c2T ( v2 ) +…+ cnT ( vn )
Computing with Images of Basis Vectors Contoh:
Tinjau basis S = {v1 , v2 , v3 } untuk R3 , dimana v1 = (1,1,1), v2 =(1,1,0), dan v3 = (1,0,0). Anggap T: R3 →R2 adalah transformasi linear sedemikian sehingga: T (v1)=(1,0), T (v2)=(2,-1), T (v3)=(4,3) Carilah rumus untuk T (x1 , x2 , x3 ); kemudian gunakan untuk menghitung T (2,-3,5).
Computing with Images of Basis Vectors Jawab: Nyatakan x = (x1 , x2 , x3 ) sebagai kombinasi linear v1 =(1,1,1), v2 =(1,1,0), and v3 = (1,0,0). (x1 , x2 , x3 ) = c1 (1,1,1) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,0) Dengan menyamakan komponen yang bersepadanan: c1 + c2 + c3 = x1 c1 + c2 = x2 c1 = x3
c1 = x3 , c2 = x2 - x3 , c3 = x1 - x2
c1 = x3 , c2 = x2 - x3 , c3 = x1 - x2 , sehingga Kombinasi Liner: (x1 , x2 , x3 ) = x3 (1,1,1) + (x2 - x3 ) (1,1,0) + (x1 - x2 ) (1,0,0) = x3 v1 + (x2 - x3 ) v2 + (x1 - x2 ) v3
Jadi transformasi linear: T (x1 , x2 , x3 ) = x3 T (v1) + (x2 - x3 ) T (v2) + (x1 - x2 ) T (v3) = x3 (1,0) + (x2 - x3 ) (2,-1) + (x1 - x2 ) (4,3) = (4x1 -2x2 -x3 , 3x1 - 4x2 +x3) Dari rumus ini kita dapatkan T (2 , -3 , 5 ) =(9,23)
Komposisi T2 dengan T1 Jika T1 :U→V dan T2 :V→W adalah transformasi linear, komposisi T2 dan T1 , dinotasikan T2 oT1 (baca“T2 circle T1 ”), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus (T2 oT1 )(u) = T2 (T1 (u)) dimana u adalah vektor dalam U
(2)
Theorem 8.1.2 Jika T1 :U→V dan T2 :V→W adalah transformasi linear maka (T2 o T1 ):U→W juga merupakan transformasi linear.
Proof. If u and v are vectors in U and c is a scalar, then it follows from (2) and the linearity of T 1 andT2 that (T2 oT1 )(u+v) = T2 (T1(u+v)) = T2 (T1(u)+T1 (v)) = T2 (T1(u)) + T2 (T1(v)) = (T2 oT1 )(u) + (T2 oT1 )(v) and (T2 oT1 )(c u) = T2 (T1 (c u)) = T2 (cT1(u)) = cT2 (T1 (u)) = c (T2 oT1 )(u) Thus, T2 oT1 satisfies the two requirements of a linear transformation.
Composition with the Identify Operator Jika T:V→V adalah sebarang operator linear dan jika I:V→V adalah operator identitas, maka untuk semua vektor v pada V kita dapatkan: (T o I )(v) = T (I (v)) = T (v) (I oT )(v) = I (T (v)) = T (v) Kita dapatkan bahwa T o I dan I oT sama dengan T ; T o I =T and I oT = T (3)
Contoh
T3 o T2 oT1 Dapat disimpulkan bahwa komposisi bisa didefinisikan untuk lebih dari dua transformasi linear. Misalnya: T1 : U → V and T2 : V→ W ,dan T3 : W → Y adalah transformasi linear, maka komposisi T3 o T2 oT1 didefinisikan oleh: (4)
Contoh Anggap T1 : P1 → P1 dan T2 : P2 → P2 adalah transformasi linear yang diberikan oleh rumus T1(p(x)) = xp(x) dan T2 (p(x)) = p (2x+4) Komposisi (T2 。T1 ): P1 → P2 diberikan oleh rumus:
(T2 。T1 )(p(x)) = (T2)(T1(p(x))) = T2 (xp(x)) = (2x+4)p (2x+4)
8.2 Kernel And Range
Definisi ker(T ): the kernel of T Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka
himpunan vektor pada V yang dipetakan T ke 0 disebut kernel dari T
R (T ): the range of T Jika T:V W adalah suatu transformasi linear maka
himpunan semua vektor pada W yang merupakan bayangan dibawah T yang paling tidak merupakan satu vektor pada V disebut daerah hasil dari T dinyatakan R(T).
Kernel and Range of a Matrix Transformation
Jika TA :Rn →Rm adalah perkalian matriks A, m×n, maka • the kernel of TA nullspace of A
• the range of TA column space of A
Kernel and Range of the Zero Transformation T:V→W adalah transformasi nol. Karena T memetakan setiap vektor pada V ke 0 ker(T ) = V. Anggap
Apabila 0 adalah satu-satunya bayangan di bawah T dari vektor-vektor pada V, R (T ) = {0}.
Kernel and Range of the Identity Operator Jika I:V→V adalah operator identitas. Dimana I (v) = v untuk semua vektor pada V, setiap vektor pada V adalah bayangan dari suatu vektor, yaitu vektor itu sendiri, R(I ) = V. Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I adalah 0, ker(I ) = {0}.
ke 0
Theorem 8.2.1 Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear , maka
(a) The kernel of T is a subspace of V. (b) The range of T is a subspace of W. Proof (a). Let v1 and v2 be vectors in ker(T ), and let k be any scalar. Then T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = 0+0 = 0 so that v1 + v2 is in ker(T ). Also, T (k v1) = kT (v1) = k 0 = 0 so that k v1 is in ker(T ).
Proof (b). Let w1 and w2 be vectors in the range of T , and let k be any scalar. There are vectors a1 and a2 in V such that T (a1) = w1 and T(a2) = w2 . Let a = a1 + a2 and b = k a1 . Then T (a) = T (a1 + a2) = T (a1) + T (a2) = w1 + w2 and T (b) = T (k a1) = kT (a1) = k w1
Peringkat dan Kekosongan Transformasi Linear
•
rank (T): peringkat T Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut peringkat dari T rank(T).
•
nullity (T): the nullity of T Dimensi kernel disebut kekosongan dari T nullity (T).
Theorem 8.2.2 Jika A adalah suatu matriks mxn dan TA :Rn →Rm adalah perkalian dengan A, maka • •
nullity (TA ) = nullity (A ) rank (TA ) = rank (A )
Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear • Theorem 8.2.3 Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear dari
suatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang vektor W, maka rank (T ) + nullity (T ) = n
Transformasi linear peringkat ditambah kekosongan sama dengan dimensi daerah asal.
Contoh Jika TA :R6 →R4 dikalikan oleh
1 A=
2
0
4
5
3
7 2
0
1
4
2
5 2
4
6
1
4
9 2
4
4
Cari peringkat dan kekosongan TA
3
7
Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:
Bentuk baris-eselon tereduksi A: Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka; Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(A) = 2
Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0
Ruang Null Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga; kekosongan(A) = 4
rank(A) = 2
rank(TA) =2
kekosongan(A) = 4
kekosongan (TA) = 4
•
rank (T): peringkat T Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut peringkat dari T rank(T).
•
nullity (T): the nullity of T Dimensi kernel disebut kekosongan dari T nullity (T).
Jika A adakah suatu matriks mxn dan TA :Rn →Rm adalah perkalian dengan A, maka • •
nullity (TA ) = nullity (A ) Kernel TA rank (TA ) = rank (A ) rank TA
