RESUME TRANSFORMASI Transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan arah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang : 1. Surjektif 2. Injektif Surjektif artinya bahwa pada tiap titik B ∈ V ada prapeta. Jadi kalau T suatu transformasi maka ada A ∈ V sehingga B = T (A) B dinamakan peta dari A oleh T dan A dinamakan prapeta dari B. Injektif artinya : kalau A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1, T(A2) = B2, maka B1 ≠ B2 : ungkapan ini setara dengan ungkapan sebagai berikut : Kalau T(P1) = Q1 dan T(P2) = Q2 sedangkan Q1 = Q2 maka P1 = P2 Contohnya : Misalkan V bidang Euclid dan A sebuah titik tertentu pada V, ditetapkan relasi T sebagai berikut : i) T(A) = A, jika P = A ii) Jika P ∈ V P ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP . Apakah relasi T merupakan suatu transformasi ? Penyelesaian : Yang harus diteliti relasi T sehubungan dengan suatu transformasi, maka diperoleh persyaratan suatu transformasi yaitu : 1. T suatu fungsi dari V ke V 2. T suatu fungsi bijektif. Sedangkan persyaratan bahwa suatu fungsi bijektif adalah : a. Fungsi tersebut adalah fungsi kepada b. Fungsi tersebut adalah fungsi satu – satu Jadi, dari uraian tersebut dapat diambil ketentuan bahwa, yang harus dilakukan adalah apakah relasi T yang memenuhi : 1. T fungsi dari V ke V 2. T fungsi bijektif, yakni a. T fungsi kepada b. T fungsi satu – satu
Perhatikan, cara menjabarkan jawaban soal contoh 1 tersebut : 1. T fungsi V ke V Titik P ∈ V, titik A ∈ V ada dua kemungkinan : 1. P = A 2. P ≠ A I. Untuk P = A
T(P) = A atau A = T(P)
II. Untuk P ≠ A
1. AP ∈ V 2. Q titik tengah AP atau AQ = PQ 3. Q ∈ AP dan AP ∈ V
Q∈V
2. T fungsi Bijektif a. T fungsi kepada Misal R ∈ V dan A ∈ V ada dua kemungkinan, yaitu : I. R = A II. R ≠ A I. R = A
T (R) = A atau T (A) = R
II. R ≠ A
ada M titik tengah AR , maka T(M) = R T(M) = A
. A
(ii)
(i)
.
A
.
R R b. Ambil dua titik sembarang misalnya P dan Q ≠ V sehingga T (P) = T (Q). Dari keadaan ini, maka terdapat kasus yaitu : P = A, Q = A, P ≠ A dan Q ≠ A. untuk P = A, T(P) = P = A, sedangkan T (P) = T (Q) = A. Jadi Q = A dan P=Q. Untuk Q = A, T(Q) = Q = A . telah diketahui bahwa T(P) = T(Q), maka T (P) = A. Jadi P = A dan P = Q. Untuk P ≠ A, dan Q ≠ A. misalkan T (P) = P’ dan T(Q) = Q’ maka P’ Є PA dan Q’ = Q karena P’ ∈ PA maka PA = AP ’ dan karena Q’ ∈ Q maka Q = AQ ’. Karena T (P) = T(Q) berarti P’ = Q’ dan AP ’ = AQ ’ dengan demikian PA = QA jadi A,P dan Q kolinear. Karena A, P dan Q kolinier dan P’ = Q’ dengan P’ titik tengah AP dan titik tengah AQ maka P = Q.
Jadi untuk setiap P,Q ∈ V, T (P) = T (Q) mendapatkan P = Q maka T dikatakan sebagai fungsi satu – satu, karena T fungsi kepada dan fungsi satu – satu, maka T merupakan fungsi bijektif dengan demikian dapatlah kita katakana bahwa T merupakan suatu transformasi.
PENCERMINAN Definisi Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis S adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : (i) Jika P ∈ S maka Ms (P) = P (ii) Jika P ∉ S maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP pencerminan pada garis sselanjutnya kita lambangkan sebagai Ms. Garis s dinamakan sumbu reflexi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin. Contoh : Misalkan diberikan titik – titik A, B dan C serta garis g seperti pada gambar dibawah ini.
. A
.
.
B
C
. g
Lukis : a). titik A’ sehingga A’ = µ g (A) b). titik B’ sehingga B’ = µ g (B) c. titik C’ sehingga C’ = µ g (C)
Penyelesaian : a. Karena A = µ g (A) dengan A ∉ g, maka g merupakan sumbu dari A ' A . Artinya A’ terletak pada sumbu l yang melalui titik A dan tegak lurus terhadap g, sehingga apabila {N } = l ∩ g
maka AN = NA’ dan A dengan A’ terletak pada
sisi yang berbeda oleh g. b. Karena B’ = µ g (B) dengan B ∈ g, maka B’ = B c. Karena C’ =
µg
(C) dengan C∉ g, maka g merupakan sumbu dari CC ' ,
akibatnya C’ terletak pada garis m yang melalui titik c dan tegak lurus terhadap g, sehingga apabila {m} = m ∩ g maka CM = MC’ dan C dengan C’ terletak pada sisi yang berbeda oleh g.
Lukiskan a. Buat garis l melalui A tegak lurus g. Cari {N } = l ∩ g . Buatlah garis lurus NA '
≅ AN ’ sehingga NA ’ ∈ l dan A’ dan A tidak terletak pada sisi yang sama oleh g. b. Jelas c. Buat garis m melalui c tegak lurus g cari M = ∩ g . Buatlah ruas garis MC '
≅ MC ’ sehingga MC ’ ⊂ l dan c tidak terletak pada sisi yang sama oleh g.
. A’ N
.B
.
. C
M
A
. C’ g Soal latihan halaman 46 7. T : V
V, didefinisikan sebagai berikut :
Apabila P( X.Y ) maka i) T(P) = ( X + 1, Y ). Untuk X ≥ O ii) T(P) = ( X - 1, Y ). Untuk X < O a). Apakah T injektif ? b). Apakah T suatu transformasi ?
Jawab : T:V (I).
V, bila P ( X, Y )
T(P) = ( X + 1, Y ) untuk X ≥ 0 T:V
V
X ≥ 0 = ( X + 1, Y )
( 0 + 1, Y )
Titik ( 1, Y )
( 1 + 1, Y )
Titik ( 2, Y )
(II). T(P) = ( X - 1, Y ) untuk X < 0 = ( -1-1, Y )
( -2, Y )
= ( -2-1, Y )
( -3, Y )
T(P) = V
V adalah injektif
Soal latihan halaman 50 . 1.
Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis Q sehingga Mg (A) = B. Tentukan pula Mg (B). Jawab : A
g
Mg (A) = B Mg (B) = A
B
