TE091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Transformasi Linear dari Rn ke Rm
Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu: 1. Melakukan transformasi linear dari Rn ke Rm 2. Menghitung image dari transformasi linear
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan
Fungsi dalam bentuk w=f(x) dengan vektor x di Rn disebut variabel independen dan vektor w di Rm disebut variabel dependen. Kasus khusus fungsi tersebut disebut transformasi linear. Transformasi linear merupakan konsep dasar dalam mempelajari aljabar linear dan memiliki banyak aplikasi dalam keteknikan.
Objektif
Contoh
TEORI
Simpulan
Fungsi dari Rn ke Rm
Fungsi f : aturan yang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan A ke satu elemen dalam himpunan B Rn
Rm f
A
domain
B
kodomain
Transformasi f : Rn → Rm (f memetakan Rn ke Rm) Kasus khusus:
f : Rn → Rn disebut operator
Latihan
Objektif
Contoh
TEORI
Simpulan
Fungsi dari Rn ke R
Contoh fungsi
Deskripsi
f(x) = x2
f: R →R
f(x,y,z) = x2 + y2
f : R2 → R
f(x,y,z) = x2 + y2 + z2
f : R3 → R
f(x1, x2,…, xn) = x12 + x22+ … + xn2
f : Rn → R
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Latihan
Simpulan
Transformasi dari Rn ke Rm
Transformasi T: Rn →Rm didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk w1 = f1 ( x1 , x2 , , xn )
w1 = x1 + 2x2
w2 = f 2 ( x1 , x2 , , xn )
w2 = 3 x1 x2
wm = f m ( x1 , x2 , , xn )
w3 = x12 + x22
Notasi: T ( x1 , x2 , , xn ) = ( w1 , w2 , , wm )
Image dari titik-titik (x1, x2, ∙∙∙, xn)
T: R2 → R3
Objektif
Contoh
TEORI
Latihan
Simpulan
Transformasi Linear
Transformasi linear T: Rn →Rm didefinisikan dengan pers. linear dalam bentuk w1 = a11x1 + a12 x2 + + a1n xn w2 = a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn
wm = am1x1 + am 2 x2 + + amn xn
Notasi matriks: w1 a11 a12 a1n x1 w a x a a 2 21 22 2 n = 2 w a a a mn xn m m1 m 2
Matriks standar untuk T
w = Ax T(x) = Ax
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Representasi Geometris dari Transformasi Linear
T: Rn →Rn mentransformasi titik (vektor) ke dalam titik (vektor) baru
T(x) T(x) x x
T memetakan titik pada titik
T memetakan vektor pada vektor
Objektif
Contoh
TEORI
Latihan
Simpulan
Pemetaan satu-satu
Transformasi linear T: Rn →Rm disebut pemetaan satu-satu jika T memetakan vektor (titik) yang berbeda-beda di Rn pada vektor (titik) yang berbeda-beda di Rm
T
T
u
v
pemetaan satu-satu
u
v bukan satu-satu
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Teorema pemetaan satu-satu
Transformasi linear T: Rn →Rn merupakan perkalian dengan matriks A (nxn) A dapat dibalik Range transformasi adalah Rn T merupakan pemetaan satu-satu
T : Rn →Rn merupakan pemetaan satu-satu dengan matriks A (nxn) dapat dibalik, maka TA-1 : Rn →Rn merupakan operator linear dan disebut invers TA TA TA−1 = TAA−1 = TI TA−1 TA = TA−1 A = TI
Objektif
TEORI
Contoh
Latihan
Simpulan
Sudut pandang geometris pemetaan satu-satu
w adalah image dari x menurut transformasi linear T TA−1 (w ) = TA−1 (TA (x)) = x y TA(x) w x
TA-1(w) x
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Sifat linearitas dari transformasi
Transformasi T: Rn →Rm adalah linear jika dan hanya jika relasi berikut terpenuhi untuk semua vektor u dan v di Rn dan skalar k (a) T(u+v) = T(u) + T(v) (b) T(ku) = kT(u) Jika T: Rn →Rm adalah transformasi linear dan e1, e2, ∙∙∙, en merupakan vektor basis standar untuk Rn, maka matriks standar untuk T adalah [T] = [T(e1) | T(e2) | ∙∙∙ | T(en)]
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1
Transformasi linear T: R4 → R3 didefinisikan dengan pers. w1 = 2 x1 − 3 x2 + x3 − 5 x4 w2 = 4 x1 + x2 − 2 x3 + x4 w3 = 5 x1 − x2 + 4 x3
Dapatkan: a)
notasi matriks transformasi
b) matriks standar transformasi linear c)
image dari titik (1, -2, 0, 3)
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1
a) notasi matriks
x1 w 2 3 1 5 − − 1 w = 4 1 − 2 1 x2 x 2 w3 5 − 1 4 0 3 x4
b) matriks standar transformasi linear
c) image dari titik (1, -2, 0, 3):
2 − 3 1 − 5 A = 4 1 − 2 1 5 − 1 4 0
1 w1 2 − 3 1 − 5 − 7 w = 4 1 − 2 1 − 2 = 5 0 2 w3 5 − 1 4 0 7 3
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Transformasi Linear
Fungsi merupakan aturan f yang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan A (domain dari f) dengan satu dan hanya satu elemen dalam himpunan B(kodomain dari f ) Bila domain fungsi f adalah Rn dan kodomain adalah Rm (m dan n mungkin sama), maka f disebut pemetaan atau transformasi dari Rn ke Rm Operator adalah transformasi yang memetakan elemen di Rn ke Rn
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Soal Latihan
Tentukan apakah operator linear T: R3 → R3 didefinisikan oleh persamaan berikut adalah pemetaan satu-satu, dan dapatkan matriks standar dari invers operator tersebut w1 = x1 − 2 x2 + 2 x3 w2 = 2 x1 + x2 + x3 w3 = x1 + x2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
