SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI
Rn
KE
Rm
Disusun untuk memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear
Dosen Pengampu : Drs. Suroso, M. Pd Disusun oleh : Kelompok 3 1. Age Christie Arini
( 08411.055 )
2. Andik Setyo Nugroho
( 08411.065 )
3. Benti Lutvi Muyasaroh
( 08411.092 )
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010
1
SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI
Rn
KE
Rm
A. Transformasi Linear Satu ke Satu Transformasi linear yang memetakan vektor – vektor (titik – titik) berbeda ke vektor – vektor (titik – titik) berbeda lainnya merupakan hal yang penting. Satu contoh transformasi semacam ini adalah operator linear T : R 2 R 2 yang merotasi setiap vektor sebesar θ. Secara geometrik jelas bahwa jika u dan v adalah vektor – vektor yang berada pada
R 2 , maka demikian juga vektor – vektor hasil rotasi T (u) dan T (v) seperti terlihat pada Gambar 1 di samping.
Sebaliknya, seperti yang Nampak pada gambar 2 di samping, jika T : R 3 R 3 adalah proyeksi ortogonal
R 3 pada
bidang xy, maka titik – titik yang berbeda yang terletak pada garis vertikal yang sama akan dipetakan ke titik yang sama pada bidang xy.
2
Definisi : Suatu transformasi linear T : R n R m dinyatakan sebagai satu ke satu (one-to-one) jika T memetakan vektor – vektor (titik – titik) berbeda pada R n ke vektor – vektor (titik – titik) berbeda pada R m
Teorema 1. Pernyataan – Pernyataan yang Ekuivalen Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika TA : R n R m adalah perkalian dengan A, maka pentayaan – pernyataan berikut adalah eluivalen: (a). A dapat dibalik (b). Range dari T A adalah R n (c). T A adalah satu ke satu
Akibat Teorema 1. Invers dari Operator Linear Satu ke Satu Jika TA : R n R m adalah operator linear satu ke satu, maka dari teorema 1 dapat diperoleh TA1 : R R sendiri merupakan operator linear yang disebut invers dari T A n
n
Sebelum mempelajari lebih lanjut, akan kita pelajari dahulu masalah notasi. Jika operator linear satu ke satu pada R n ditulis sebagai T : R n R n (dan bukannya TA : R n R n ), maka invers dari operator T dinotasikan dengan T 1 (dan bukannya T A1 ) karena matriks standar untuk T 1 adalah invers dari matriks standar untuk T, kita peroleh :
T T
1
1
B. SIFAT – SIFAT LINEARITAS Teorema 2. Suatu transformasi T : R n R m adalah linear jika dan hanya jika hubungan – hubungan berikut berlaku untuk semua vektor u dan v pada R n dan setiap skalar c. (a). T (u v) T (u) T (v) (b). T (cu ) cT (u)
3
Bukti: Asumsikan T adalah suatu transformasi linear, dan misalkan A adalah matriks standar untuk T. Selanjutnya, sesuai dengan sifat – sifat aritmatika dasar matriks diperoleh:
T (u v) A(u v) Au Av T (u) T (v) dan
T (cu ) A(cu ) c( Au ) cT (u) Sebaliknya, asumsikan sifat – sifat (a) dan (b) berlaku untuk transformasi T. Dapat kita buktikan T linear dengan menentukan suatu matriks A dengan sifat
T ( x) Ax Untuk semua vektor x pada R n . Ini akan menunjukkan bahwa T adalah perkalian dengan A dan oleh karena itu adalah linear. Teorema 3. Jika T : R n R m adalah suatu transformasi linear, dan e1 , e2 ,..., en adalah vektor – vektor basis standar untuk R n , maka matriks standar untuk T adalah T e1 e2 ...T en Rumus di atas dapat diandalkan untuk menentukan matriks standard dan menganalisis dampak geometrik dari suatu transformasi linear.
C. Interpretasi Geometrik dari Vektor Eigen Definisi Jika T : R n R n adalah operator linear, maka skalar λ disebut sebagai nilai Eigen dari T (eigenvalue of T), jika terdapat x yang taknol pada Rn sedemikian rupa sehingga T ( x) x Vektor – vektor taknol x tersebut yang memenuhi persamaan ini disebut vektor Eigen dari T yang terkait dengan λ (eigenvector of T corresponding to λ) Jika λ adalah nilai Eigen dari A dan x adalah suatu vektor Eigen yang terkait, maka Ax=λx , sehingga perkalian dengan A memetakan x ke dalam suatu perkalian skalar dengan dirinya sendiri. Pada R 2 dan R 3 , ini berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan x , seperti gambar di bawah ini
4
Contoh Vektor Eigen Misal A =
3 −1
2 0
λI – A = λ
1 0
det (λI – A)
0 3 2 1 −1 0 𝑥 − 3 −2 = det 1 𝜆 = 2 3 2
I A 0
2 3 2 0 (λ – 2) (λ – 1) = 0 λ=2
λ=1
Nilai Eigen λ = 2 dan λ = 1
x1 Vektor Eigen x = x2 x 3 2 x1 0 1 x2 0
Jika λ = 2 maka Jika λ = 1 maka
2 3 2 x1 0 1 2 x2 0
1 3 2 x1 0 1 1 x2 0
1 2 x1 0 1 2 x2 0
2 2 x1 0 1 1 x2 0
x1 x 2 0
2 x1 2 x2 0
x1 2 x 2 0
x1 x2 0 +
+
1 Missal x1 s maka x 2 s 2
Missal
x1 s 1 x = 1 s 1 s x2 2 2
x=
5
x1 s
maka
x2 s
x1 s 1 x s 1 s 2
Kesimpulan: Teorema 4. Pernyataan – Pernyataan yang Ekuivalen Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika TA : R n R n adalah perkalian dengan A, maka pernyataan – pernyataan berikut ekuivalen (a). A dapat dibalik (b). Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial (c). Bentuk eselon baris tereduksi dari A dan I n (d). A dapat dinyatakan sebagai suatu hasilkali dari matriks – matriks elementer. (e). Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1 (f). Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n x 1 (g). det A 0 (h). Range dari T A adalah R n (i). T A adalah satu ke satu.
6
DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard, and Rorres, Chris. Aljabar Linear Elementer. Jakarta : Erlangga. Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer Edisi ke 3. Jakarta : Erlangga
7
