BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL PADA RING TRANSFORMASI LINEAR LF V ,W , k ,
,
1
Karyati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta e-mail :
[email protected] Abstrak Misalkan R adalah ring, Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ dengan Q adalah ring bagian. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X
QR Q , R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X , yang selanjutnya dinotasikan dengan X q . Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika
x q untuk semua
dan hanya jika Q
x Q\ 0 . Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V , W menotasikan himpunan semua transformasi linear : V W . Misalkan k adalah bilangan kardinal tak hingga dan LF V , W , k
LF V , W rank
k . Himpunan LF V , W , k ,
membentuk grup
abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untuk suatu suatu operasi pada LF V , W , k , yaitu: LF V , W tertentu didefinisikan
,
LF V , W , k . Himpunan LF V , W , k bersama operasi ‘+’ dan ‘*’ tersebut membentuk ring, yang selanjutnya dinotasikan dengan LF V , W , k , , . Dalam tulisan ini akan diselidiki sifat-sifat quasi-ideal minimal pada ring LF V , W , k , , . LF V , W Diperoleh hasil sebagai berikut :Misal sedemikian sehingga LF W , W sedemikian sehingga u Ran F u untuk suatu u W , Jika , u maka LF W , W sedemikian sehingga u dan Jika a u untuk suatu a F maka LF V , W , k , jika a . Hasil lain yang berhasil diselidiki adalah: Misal , LF V , W , k maka Ran Ran . Misal q dalam ring LF V , W , k , , untuk semua
sedemikian sehingga memenuhi Ran F LF V , W , k , , dalam q memenuhi Ran
Ker dan Ran
minimal dalam LF V , W , k , ,
Ker
dan Ran Ker . Jika rank 1 , maka LF V , W , k sedemikian sehingga . Misal
Ker . Jika rank
1 , maka
q adalah quasi- ideal
.
Kata Kunci: ring, quasi-ideal, quasi – ideal minimal
1. Pendahuluan Ring merupakan struktur aljabar yang melibatkan dua operasi biner yang disebut operasi jumlah dan operasi perkalian. Terhadap operasi jumlah, ring membentuk grup abelian, sementara itu terhadap operasi perkalian membentuk semigrup. Selain itu harus bersifat distributif kiri maupun kanan. Ring terhadap operasi perkalian bersifat komutatif disebut ring komutatif. 1
Disampaikan pada Seminar Nasional KNM XIII, di Jurusan Matematika FMIPA UNNES, 24 – 27 Juli 2006
1
Selanjutnya jika memuat elemen satuan disebut ring dengan elemen satuan. Jika R adalah ring dan S
R disebut sub ring jika S terhadap operasi yang sama pada R membentuk ring.
Definisi ini ekuivalen dengan S membentuk sub grup terhadap operasi jumlah dan membentuk sub semigrup terhadap operasi perkaliannya.
Misalkan R adalah ring, maka Q
R disebut quasi-ideal dari R jika RQ
QR
Q adalah ring bagian. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X
Q , dengan
R adalah irisan
semua quasi-ideal dari R yang memuat X . Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X
q.
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q
x q untuk
semua x Q \ 0 .
Diberikan V
dan W adalah ruang vector atas lapangan F dan LF V , W
himpunan semua transformasi linear hingga rank
dan rank
:V
rank
W . Misalkan k adalah bilangan kardina tak
LF V , W rank
LF V , W , k
menotasikan
untuk semua
,
k .
Diketahui
LF V , W . Himpunan
bahwa
LF V , W , k ,
membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( [1]: p. 318 ). Selanjutnya,
untuk suatu
LF V , W , k , yaitu:
LF V , W , k
LF V , W
tertentu didefinisikan
untuk semua
suatu operasi
pada
LF V , W , k . Terhadap operasi ini,
,
membentuk semigrup ( [1]: p.619 ). Juga berlaku distributif kiri dan kanan.
Selanjutnya himpunan demikian dinotasikan dengan LF V , W , k , ,
( [1]: p.317 ). Jelas
bahwa himpunan ini membentuk ring. Dalam tulisan ini akan diselidiki karakterisasi semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring LF V , W , k , ,
dan mengindikasikan bilamana ring
tersebut mempunyai quasi-ideal minimal. Perlu diingat bahwa semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring adalah ideal utama ( [1]: p.318 ).
2. Kajian Teori Pada bagian ini akan diberikan beberapa istilah dan sifat-sifat yang mendukung dalam pembahasan artikel ini. Definisi 1. ( [2] : p.1 ) Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner “ ” dikatakan semigrup jika
bersifat asosiatif yaitu :
x, y , z
Definisi 2. ( [2] : p.1 ) Misalkan S suatu semigrup, P
x ( y z)
S disebut sub semigrup jika terhadap
operasi yang didefinisikan pada S , P membentuk semigrup. 2
S ( x y) z
Definisi tersebut ekuivalen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisikan pada S . Berikut diberikan definisi quasi-ideal suatu ring: Definisi .3. ( [1]: p.317 ). Misalkan R adalah ring, maka Q jika RQ
R disebut quasi-ideal dari R
Q , dengan Q adalah ring bagian.
QR
Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X
R adalah irisan semua quasi-ideal
dari R yang memuat X . Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q
q.
Quasi-
x q untuk semua x Q \ 0 .
Beberapa sifat yang berlaku bahwa: Proposisi .1. ( [1] : p.317). Misal Q suatu quasi-ideal ring R , maka berlaku: i.
Jika Q quasi-ideal minimal maka Q adalah sub ring nol atau sub ring pembagi dari
R. ii. Jika Q sub ring pembagi dari R , maka Q adalah quasi-ideal minimal dari R .
Proposisi.2. ( [1] : p.318). Untuk suatu himpunan tak kosong X X q
ZX
R , maka berlaku
XR , dengan Z adalah himpunan semua bilangan integer.
RX
Dari Proposisi 2 diperoleh akibat sebagai berikut: Akibat 1. ( [1] : p.318). Dalam LF V , W , k , , Z
q
LF V ,W , k
, berlaku:
L F V , W , k untuk setiap
LF V , W , k
Bukti: Menurut Proposisi 2 berlaku bahwa untuk suatu himpunan bagian tak kosong X dari suatu X q
ring R berlaku
berikut :
q
Z
RX
sehingga
LF V , W , k , , LF V , W , k , ,
ZX
=
XR . Dalam hal ini
LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
= LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
LF V ,W , k
adalah ring dan
serta
, akibatnya dipenuhi persamaan sebagai
LF V , W , k
3. Pembahasan Misalkan F adalah suatu lapangan dan lapangan
F , V ke W , serta Ran
sebagai akibat dari kondisi Ran
suatu transformasi linear dari ruang vektor atas
w W v
w, untuk suatu v V . Lemma berikut
F u untuk suatu u W .
3
Lemma 1 . ( [1] : p.318). Misal
LF V , W sedemikian sehingga Ran
F u untuk suatu
u W i.
Jika
LF W , W sedemikian sehingga u
,
ii. Jika
LF W , W sedemikian sehingga u
u maka
a u untuk suatu a F maka
a
Bukti: ( i ). Ambil sebarang c F , sehingga berlaku cu Ran
w W v
Ran
cu
Selanjutnya, Ran
c
w, untuk suatu v V
cu
cu W v
cu
. Diketahui bahwa
cu untuk setiap c F dan suatu u W
F , untuk suatu u W .
diperoleh
bahwa
Ran
: cu
cu
cu
sehingga
berlaku
. Hal ini mempunyai konsekuensi :
Ran
Untuk sebarang v V berlaku Sebagai akibatnya berlaku
( ii ). Dapat dipandang bahwa a LF W , W . Sehingga
cu
a 1W
v
v
cu
cu
v
v
.
a 1W dengan 1W
adalah
pemetaan
identitas
a u.1W . Menurut bagian (i) sebelumnya
u
di
berakibat
a.
■
Lemma berikut memberikan hubungan antara suatu transformasi dalam quasi-ideal minimal dengan transformasi pembangun quasi-idealnya: Lemma 2. . ( [1] : p.318). Misal LF V , W , k , ,
maka Ran
,
LF V , W , k , jika
q
dalam ring
Ran .
Bukti: Diketahui dan suatu
q,
sehingga menurut Akibat 1 berlaku
t
untuk suatu t Z
LF V , W , k .
Selanjutnya ambil w Ran , maka terdapat v V sedemikian sehingga berlaku: w
v
v t vt v vt v
Akibatnya w Ran . Dengan demikian Ran
Ran ■
4
Lemma berikutnya menjelaskan suatu kondisi yang menjamin bilamana quasi-ideal minimal q
F :
Lemma .3. ( [1] : p.318). Misal
Ran
dan
Ker
Ker .
Ran
sedemikian sehingga memenuhi kondisi
LF V , W , k
Jika
rank
1,
maka
dalam
F
q
.
LF V , W , k , ,
Bukti: ( i ). Dibuktikan F Misal
q
dan
u Ran \ Ker
u'
W dan
0, u'
u' Ran \ Ker ,
u
0, u
dan
V
u ' untuk suatu z W \ 0 . Karena rank
z
Fu dan akibatnya u'
Ran
maka
1 , maka
a.u untuk suatu a F dan a 0
Misal B adalah basis untuk V yang memuat u
dan B' adalah basis untuk W yang
memuat u . Selanjutnya didefinisikan suatu transformasi linear sebagai berikut: u jika v u 0 jika v B \ u
v
Jelas bahwa
a 1z jika w u 0 jika w B'\ u
w dan
LF V , W
LF V , W , rank
LF W , W . Dari definisi terebut diperoleh bahwa
1 sehingga
a 1 u'
a 1au
1 , rank
,
LF V , W , k .
Berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh: u
a 1z
Karena
a 1 z
u
u
Fu , menurut Lemma 1, diperoleh
Ran
u
.
.
Sehingga untuk setiap b F , maka berlaku : b
b
b
b
b
LF V , W , k
b
Dengan kata lain jika b
b
Ambil
q q,
Akibat 1 berlaku
, sehingga
, sehingga
LF V , W , k
b
dan
LF V , W , k . Akibatnya
b
LF V , W , k
LF V , W , k
LF V , W , k
. Dengan demikian terbukti F
q.
F , maka b
dan menurut Akibat 1 maka b ( ii ). Dibuktikan
q
F
maka menurut Lemma 2 berakibat Ran
t
Akibat selanjutnya : Ran
Ran
, dan menurut
untuk suatu t Z dan untuk suatu
LF V , W , k .
Ran
5
t
Ran
.
Akan tetapi u Ran sehingga
(sebab rank
Fu
1), maka terdapat v V sedemikian
u . Akibat selanjutnya
v
v
sehingga
u
v
u
cu
untuk suatu c F . Dengan demikian dipenuhi kondisi: LF V , W , Ran
Fu ,
LF W , W
c F , sehingga menurut Lemma 1 (ii) berlaku
t
c = t c
t
Dari (i) dan (ii) maka terbukti
cu untuk suatu
c . Akibatnya diperoleh:
F . Dengan demikian dipenuhi
F
q
F
q
■
Sebagai hasil akhir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu kondisi yang dapat menjamin bilamana
membentuk quasi- ideal minimal dalam LF V , W , k , ,
q
Lemma .4. ( [1]: p.318). Misal
Ran
dan Ran
Ker
dalam LF V , W , k , ,
sedemikian sehingga memenuhi kondisi
LF V , W , k
Ker . Jika rank
.
1 , maka
q
adalah quasi- ideal minimal
.
Bukti: Menurut Lemma 3, kondisi ini berakibat
F . Ambil
q
q
\ o , maka
a
untuk suatu a F , a 0 Akibatnya Ker
Ker
v Ker
v
0
v' Ker
v'
0,
tetapi
v"
0 , sehingga v" Ker
av"
v" a
, sebab: v a
va 0
v 0
untuk
v Ker
suatu
v" V .
Akibatnya
:
dan karena v' av" sehingga a 1v' Ker
0 . Diketahui a 0 , sehingga a 1
0 . Dengan demikian
0 atau v' Ker
v'
Akibat lain adalah Ran Ambil v a
w Ran , va
Ambil w' Ran terdapat w'
0
v' av"
0 atau a 1 v'
atau a 1v'
w
va
av
a F, v a
Ran
, sebab:
sehingga
terdapat
v V
. Disimpulkan bahwa w Ran
yang
memenuhi
v
dan
v V
sedemikian
. Dengan kata lain w' Ran
6
w,
akibatnya
.
, sehingga terdapat v' V yang memenuhi, v'
a 0
v
sehingga
w' . Karena v' V , maka
v' av .
Akibatnya
Karena Ran q
, maka rank
Ran
1 (sebab rank
F , sehingga berlaku juga F
Fa
1 ). Menurut Lemma 3, berakibat F . Akibatnya
Fa
q
=
q.
■
4. Simpulan
Berdasarkan hasil penyelidikan di atas dapat disimpulkan bahwa: i.
Misal
LF V , W sedemikian sehingga Ran
a. Jika
,
b. Jika ii. Misal
Misal
Ran iv.
LF V , W , k , jika
q
u maka
a u untuk suatu a F maka
dalam ring LF V , W , k , ,
a
maka
Ran .
Ran iii.
LF W , W sedemikian sehingga u LF W , W sedemikian sehingga u
,
F u untuk suatu u W , maka berlaku:
LF V , W , k
Ker . Jika rank
Misal
Ran
LF V , W , k
Ker . Jika rank
LF V , W , k , ,
sedemikian
1, maka
sehingga F
q
sedemikian
q
Ran
dalam LF V , W , k , ,
sehingga
1, maka
memenuhi
memenuhi
Ran
Ker
dan
Ker
dan
.
adalah quasi- ideal minimal
dalam
.
5. Daftar Pustaka
[1] Chinram, R., Kemprasit, Y. 2002. Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear Transformations. PU.M.A Vol. 13, No. 3, p: 317 – 324. [2] Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London [3] Kemprasit, Y. 2002. Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of Linear Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 25, p:617 – 622
7
