Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral ‘Admitting’ Struktur Ring1 Karyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta Email:
[email protected] Abstrak
n
Diberikan R adalah daerah integral dan n adalah integer positif dengan 2 , serta M n R adalah himpunan semua matriks bujur sangkar dengan orde n n
atas R . Dibentuk suatu himpunan bagian dari M n R yaitu himpunan matriks di M n R yang invertibel yang selanjutnya dinotasikan dengan Gn R . Himpunan
M n R ini membentuk semigrup terhadap operasi perkalian matriks biasa, Gn R 0 membentuk subsemigrup. Untuk suatu semigrup S , S
elemen nol dan S
0
S
S jika semigrup S memuat
0 jika semigrup S tidak memuat elemen nol. Suatu
0 semigrup S dikatakan admit struktur ring jika terdapat suatu operasi + pada S 0 sedemikian sehingga S , ,. membentuk struktur ring.
Dalam tulisan ini diselidiki sifat subsemigrup Gn R , juga subsemigrup dari
M n R , yaitu semua matriks yang determinannya 1 . Diperoleh hasil bahwa: baik Gn R maupun subsemigrup dari Gn R himpunan semua matriks yang determinannya 1 bukan merupakan semigrup struktur ring. Hal ini sebagai suatu akibat bahwa subsemigrup dari Gn R memuat semua matriks yang determinannya 1 bukan merupakan semigrup
yaitu admit yang admit
struktur ring. Kata Kunci: Daerah integral, Semigrup, Semigrup, admit struktur ring
1. Pendahuluan Dalam penelitian oleh Yupaporn Kemprasit & Manoj Siripitukdet, telah diteliti tentang sifat-sifat suatu semigrup matriks atas ring dengan elemen satuan yang merupakan semigrup admit struktur ring. Daerah integral merupakan ring dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol sejati ( Adkins : 50 ). Dengan demikian, daerah integral merupakan ring. 1
Disampaikan pada Seminar Nasional Jurusan Matematika, FMIPA, UNS, Surakarta 7 Mei 2005
1
Diberikan R adalah daerah integral dan n adalah integer positif dengan
n 2 , serta M n R adalah himpunan semua matriks bujur sangkar dengan orde n n atas R . Dibentuk suatu himpunan bagian dari M n R
yaitu himpunan
matriks di M n R yang invertible, selanjutnya dinotasikan dengan Gn R , yaitu: Gn R
A Mn R
A invertibel
Himpunan ini merupakan semigrup dari M n R . Dari sifat matriks M n R diperoleh bahwa matriks A
M n R invertibel
jika dan hanya jika det A U ( R) , dengan U (R) adalah himpunan semua unit di
R . Dengan kata lain A
M n R invertibel jika dan hanya jika det A invertible di
R (Brown : 16 ). Dengan demikian, himpunan Gn R A M n R det A invertibel di R .
sebagai: Gn R A M n R det A
himpunan Gn R
1
Gn R ,
dan
jika
merupakan
himpunan
lapangan,
maka
Mn R
dan det A
1
(det A) 1 untuk
M n R ( Brown :16 ).
Untuk suatu semigrup S , S 0 dan S 0
Selanjutnya
A M n R det A 0 . Sifat determinan yang lain , antara lain:
det( AB ) det A. det B untuk setiap A, B setiap A
R
dapat dinyatakan
S
S jika semigrup S memuat elemen nol
0 jika semigrup S tidak memuat elemen nol. Suatu semigrup S
dikatakan admit struktur ring jika terdapat suatu operasi + pada S 0 sedemikian sehingga S 0 , ,. membentuk struktur ring ( Kemprasit & Siripitukdet : 409 ). Dari definisi tersebut, maka semigrup M n R merupakan admit struktur ring terhadap operasi standar penjumlahan matriks. Dalam tulisan ini diselidiki sifat subsemigrup
Gn R maupun himpunan
bagian dari Gn R , yaitu himpunan semua matriks yang determinannya
1.
2. Pembahasan Lemma berikut menyatakan salah satu sifat semigrup M n (R),. , dengan R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua, yang akan berguna untuk pembuktian pada teorema selanjutnya:
2
Lemma 2.1. ( Yupaporn & Siripitukdet: 410 ). Misalkan R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Jika sehingga AB BA untuk setiap B M n (R) dengan detB
A M n (R) sedemikian
1 , maka A aI untuk
suatu a R dengan I adalah matriks identitas n n atas R .
Bukti: Diketahui
:
Himpunan R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Matriks A M n (R) , AB BA untuk setiap B M n (R) dengan detB Dibuktikan
1
:
A aI untuk suatu a R dimana I adalah matriks identitas n n atas R . Pembuktian
: Untuk membuktikan lemma ini, maka untuk setiap k 1,2,..., n dibentuk
suatu
C (k )
matriks
M n ( R) ,
dengan
entri-entrinya
didefinisikan sebagai berikut:
1 jika i j k 1, , jika i j k 0, untukyanglain
Cij(k )
1 0 ... 0 1 ... .... .... ... 0 0 ...
Sehingga diperoleh C (1)
dan C (n)
1 0 ... 0 1 ... .... .... ... 0 0 ...
0 0 . ... 1
3
0 0 , C ( 2) ... 1
1 0 ... 0 1 ... .... .... ... 0 0 ...
0 0 ... 1
Dengan demikian diperoleh: det C (k ) Menurut yang diketahui, dipenuhi:
1 untuk setiap k 1,2,..., n .
AC ( k )
C (k ) A
k 1,2,..., n . Selanjutnya, jika i, j 1,2,..., n dan i AC ( j ) ij
n k 1
Aik Ckj( j )
Sehingga diperoleh Aij Aij
n
Aij dan C ( j ) A ij
k 1
Aij , atau 2 Aij
untuk setiap
j diperoleh:
( j) Cik Akj
Aij
0 . Dengan mengingat
R dan R adalah daerah integral dengan karakteristik tidak
sama dengan dua, maka persamaan tersebut hanya dipenuhi untuk Aij
0 untuk setiap i, j 1,2,..., n dan i
Selanjutnya, untuk setiap D (k )
dibentuk
k 1,2,..., n
suatu matriks
M n ( R ) dengan entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut:
1 jik a i j 1 jik a i 1, j k 0 untuk yang lain
Dij( k )
1 0 ... 0 1 ... .... .... ... 0 0 ...
Sehingga
1 0 ... 0
D (1)
Sehingga:
D (n)
j.
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 , ... 1
D ( 2)
1 1 ... 0 1 ... .... .... ... 0 0 ...
1 0 . ... 1
det D (k )
1
untuk setiap
diketahui, maka dipenuhi: AD (k )
k 1,2,..., n . Menurut yang
D(k ) A untuk setiap k 1,2,..., n ,
dan diperoleh juga: AD (i ) ii
n k 1
Aik Dki(i )
dan D (i ) A ii
Aii
Sehingga diperoleh A11 Dari kondisi Aij
0 0 ,… ... 1
A22
0 untuk i
4
...
n k 1
(i ) Dik Aki
Aii
Ann .
j dan A11
A22
...
Ann , maka :
A
A11 0 ... 0
0 A11 ... 0
... 0 ... 0 ... ... ... A11
1 0 A11 ... 0
Sehingga A aI , dengan a
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
A11I
A11 .
■
Sudah
dijelaskan
di depan
bahwa
M n (R),.
membentuk
semigrup.
Sementara itu, dari himpunan M n (R) dapat dibentuk suatu himpunan bagian, yaitu himpunan semua matriks di M n (R) yang mempunyai invers, atau invertibel. Selanjutnya
himpunan
tersebut
dinotasikan
dengan
Gn (R) ,
sehingga
A M n ( R) A invertibel . Himpunan ini merupakan subsemigrup dari
Gn (R)
M n (R),. . Teorema berikut menjamin bahwa himpunan semua matriks – matriks
yang invertible dengan determinannya
1 bukanlah suatu semigrup admit struktur
ring.
Teorema 2.1. ( Yupaporn & Siripitukdet: 411 ) Misalkan R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. Jika S subsemigrup dari Gn (R) yang memuat semua matriks A Gn (R) dengan det A
1 , maka S bukan semigrup
admit struktur ring. Bukti: Diketahui
:
R adalah daerah integral dengan karakteristiknya tidak sama dengan dua. S subsemigrup dari Gn (R) yang memuat semua matriks
det A
A Gn (R) dengan
1
Dibuktikan
: S bukan semigrup admit struktur ring
Pembuktian
: Misalkan terdapat operasi biner S 0 , ,.
5
pada S 0 sedemikian sehingga
membentuk suatu ring. Jelas bahwa detI 1, sehingga I
S dengan
I adalah matriks identitas dengan ukuran n n atas daerah integral R . Sehingga terdapat matriks A S sedemikian sehingga dipenuhi I
A 0 , dan untuk setiap B S berlaku: B
AB ( I
A) B 0 B( I
A) B
BA
Hal ini berakibat AB BA untuk setiap B S . Dengan menggunakan Lemma 2.1, maka dipenuhi A aI untuk suatu a R . Dengan demikian dipenuhi juga I Selanjutnya dibentuk C
aI 0 . M n (R) , dengan entri-entrinya didefinisikan
sebagai berikut:
1 1 1 0
Cij
, jika , jika , jika , untuk
i 1, j 2 i 2, j 1 i j 3 yang lain
yaitu:
0 1 0 0
C
Jelas
bahwa
0 0 1 0
aI , C 2
0 0 0 1
sehingga
C S.
aI 0 dan C aI , sehingga dipenuhi I
C 0.
C
Diketahui bahwa I
1 0 0 0
I, C
1,
I , det C
Diketahui bahwa S subsemigrup dari Gn (R) , sehingga: C(I
Dipenuhi pula dipenuhi C
I
C) C
C2
C
I
I
C
C 0 , sehingga persamaan tersebut hanya
I . Hal ini kontradiksi dari yang dibentuk., yaitu C
Akibatnya S bukan semigrup admit struktur ring ■
6
I.
Akibat dari Teorema 2.1 menyatakan bahwa grup Gn (R) dan suatu subgrup Gn (R) , yaitu himpunan matriks di Gn (R) yang determinannya adalah
1 bukan
merupakan semigrup admit struktur ring. Selengkapnya diberikan sebagai berikut: Akibat 2.1. Jika R adalah daerah integral dengan karakteristik tidak sama dengan dua, maka Gn (R) dan subgrup Gn (R) , yaitu himpunan matriks di Gn (R) yang determinannya adalah
1 bukan merupakan semigrup admit struktur ring.
Bukti: Diketahui
: R daerah integral dengan karakteristik tidak sama dengan dua, Gn (R) suatu grup
U
A Gn ( R ) det A
1
Dibuktikan
: Gn (R) dan A Gn ( R) det A
Pembuktian
: Diketahui
Gn (R)
1 bukan semigrup admit stuktur ring
suatu
grup,
maka
dengan
sendirinya
merupakan semigrup, yang sekaligus merupakan subsemigrup trivialnya.
U
Diketahui
pula
Gn (R)
memuat
1 . Sehingga menurut Teorema 2.1
A Gn ( R ) det A
berakibat Gn (R) bukan merupakan semigrup admit struktur ring. Diketahui
U
A Gn ( R ) det A
1
suatu
subgrup,
maka
dengan sendirinya merupakan subsemigrup. Jelas bahwa U memuat semua matriks dengan determinannya menurut Teorema 2.1 berakibat
U
1 . Sehingga
A Gn ( R ) det A
1
bukan merupakan semigrup admit struktur ring. ■
7
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adkins & Weintraub. 1992. Algebra: An Approach via Module Theory. SpringerVerlag, New York. [2] Brown, W.C. 1993. Matrices Over Commutative Rings. Marcel Dekker, Inc, New York. [2] Kemprasit, Y and Siripitukdet, M. 2002. Matrix Semigroup Admitting Ring Structure. Bulletin Calcutta Mathematics Soc. Volume 5 (2002) 409 - 412
8
