STRUKTUR ALJABAR II
Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
RING (GELANGGANG)
Definisi: Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan perkalian), yang memenuhi aksioma, antara lain: 1. Tertutup terhadap penjumlahan
a, b G ׀c G a + b = c
2. Assosiatif terhadap penjumlahan
a, b, c G a b c a b c
3. Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan 0 G a G 0 + a = a + 0 = a
4. Setiap elemen anggota G mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan a G a G (-a) + a = a + (-a) = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan a, b G a + b = b + a
6. Tertutup terhadap oprasi perkalian a, b G ׀c G a b = c
7. Assosiatif terhadap oprasi perkalian
a, b, c G a b c a b c
8. Distributif perkalian terhadap penjumlahan a, b, c G
a (b + c) = (a b) + (a c)
(b + c) a = (b a) + (c a)
→ distribusi kiri → distribusi kanan
Contoh1: Selidiki apakah I6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} terhadap oprasi “ + ” dan “” merupakan ring
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
Jawab:
0
1
2
3
4
5
5
0
0
0
0
0
0
0
5
0
1
0
1
2
3
4
5
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
5
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
5
0
1
2
3
4
0
4
2
0
4
2
0
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
3
3
4
4
4
5
5
1) Tertutup terhadap penjumlahan
(2,3 I6) ׀5 I 2 + 3 = 5 I6
2) Assosiatif terhadap penjumlahan
2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 0+5
=2+3
5
= 5
3) Terdapat elemen identitas terhadap penjumlahan 0 I 3 I 0 + 3 = 3 + 0 = 3
4) Setiap anggota elemen I6 mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 4 I 2 I 2 + 4 = 4 + 2 = 0
5) Komutatif terhadap penjumlahan 1, 4 I 1 + 4 = 4 + 1 = 5
6) Tertutup terhadap perkalian
3, 2 I ׀0 I 2 3 = 0
7) Assosiatif terhadap perkalian
2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 2 5=22 4 = 4
8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan
2, 3, 4 I 2 (3 + 4) = (2 3) + (2 4) 21
2
= 0 + 2 = 2
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
Contoh2: Selidiki apakah himpunan bilangan kompleks terhadap oprasi “+” dan “” suatu ring Jawab: K = {a + bi ׀a,b є R, R himpunan bilangan riil dan i=√1 } 1) Tertutup terhadap oprasi penjumlahan “+” Missal: K K
K a b i є K K a b i
= (a bi) + (a b i)
= a a + (b b )i є K
K tertutup terhadap oprasi penjumlahan 2) Assosiatif terhadap oprasi penjumlahan Missal:
K a b i K a b i K a b i
єK
(K K ) + K
=
K + (K K )
{(a b i) + (a b i)} + (a b i) = (a b i) + {(a b i) + (a b i)} (a a a ) + (b b b ) i
K assosiatif terhadap oprasi penjumlahan
= (a a a ) + (b b b ) i
3) Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan K a b i
єK
0 K a b i є K 0 + (a b i) = (a b i) + 0 = a b i K mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan “+”
4) Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan (a b i є K) ( a b i є K)
a b i + (a b i) = (a b i) + (a b i ) = 0
Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 5) Komutatif terhadap oprasi penjumlahan K a b i є K , maka K a b i
a b i) + (a b i = (a b i + a b i) a a ) + (b b ) i = a a ) + (b b )i
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
6) Tertutup terhadap oprasi perkalian “” Missal: K K
K a b i є K K a b i
= (a b i a b i)
= a a b b + (a b a b )i є K
K tertutup terhadap oprasi perkalian 7) Assosiatif terhadap oprasi perkalian “” Missal:
K a b i K a b i K a b i
єK
(K K ) K
=
K (K K )
{(a b i) (a b i)} (a b i) = (a b i) {(a b i) (a b i)}
K assosiatif terhadap oprasi perkalian
8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan Missal:
K a b i K a b i K a b i
єK
(a b i) {(a b i)} (a b i)} = (a b i) (a b i) (a b i) (a b i)
K distributif perkalian terhadap penjumlahan
KARAKTERISTIK RING Definisi:
Jika R suatu Ring atau (R ; + ; ) ring untuk elemen sembarang a є R. jika dapat
ditemukn bilangan bulat positif terkecil n sehingga n.a=0 elemn nol(0) dari ring R, maka karakteristik dari ring R adalah n. Jika n tidak dapat ditemukan, maka karakteristik dari ring R adalah nol(0) atau tidak terhingga Contoh Berapa karakteristik dari ring R bilangan bulat modulo.5 Jawab
50=0
51=0
52=0 53=0
54=0
Jadi karakteristik dari I5 adalah 5 http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
PEMBAGI NOL Definisi: Suatu elemen a є ring R disebut pembagi nol bila hanya terdapat elemen b ≠ 0 єR a.b=b.a=0
PEMBAGI NOL SEJATI Definisi: Jika a є ring R suatu pembagi nol (a ≠ 0) dan b ≠ 0 є Ring, maka a disebut pembagi nol sejati (PNS). Jadi a ≠ 0 dan b ≠ 0 → a. b = 0 Contoh 1. Bilangan bulat modulo 6 I6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Jawab: 2 x 3 = 3 x 2 = 0 (mod 6) Jadi bilang bulat modulo 6 memuat PNS 2. Bilangan bulat modulo 5 I5 = {0, 1, 2, 3, 4} Jawab: I5 tidak memuat pembagi nol sejati karena tidak ada anggota I5 yang dikalikan hasilnya nol(0)
MACAMMACAM-MACAM RING 1. Ring Unit Definisi:
Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring unit bila hanya bila R juga memenuhi sifat terdapat
elemen satuan terhadap perkalian “” ( z R)(a R) z . a = a . z = a
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
2. Ring Unit Komutatif Definisi:
Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring bila R juga bersifat komutatif perkalian maka R disebut ring unit komutatif
a, b R a . b = b . a
Contoh:
1) Selidiki apakah R’ = {x + y√3
׀x, y є
Riil} suatu ring unit komutatif terhadap
oprasi penjumlahan “+” dan perkalian “x” Jawab: Akan dibuktikan R’ = {x + y√3 ׀x, y є Riil} suatu ring unit komutatif •
Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian Missal elemen satuan dari R’ adalah (x + y√3)
є R dengan x, y є Riil, maka
(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (x + y√3) = (a + b√3) •
Mempunyai elemen satuan o Elemen satuan kiri (x + y√3) (a + b√3)
= (a + b√3)
(xa + 3yb) + (xb+ ya) √3
= (a + b√3)
xa + 3yb
=a
→ ax + 3by = a
xb + ya
=b
→
x y
%$& $% & % ' & $% &
3&$ % 3&$ % % &' 3&$ %
2
%2 3&
%&%&
%2 3&
2
2 %2 3&
bx + ay = b
=1 (
= )* + ,* 0
Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3 o Elemen satuan kanan (a + b√3) (x + y√3)
(ax + 3by) + (ay + bx) √3
= (a + b√3) = (a + b√3)
ax + 3by = a
→ ax + 3by = a
bx + ay
→
=b
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
bx + ay = b
% 3&
2 $ $ 2 % % 3& = 1 x %& 3& 2 %2 3& $ $
y
& % ' & $% &
% % &' 3&$ %
%&%&
%2 3&
2
(
= )* + ,* 0
Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3 •
Komutatif terhadap perkalian (x + y√3) (a + b√3)
= (a + b√3) (x + y√3)
(xa + 3yb) + (ya + xb) √3 = (xa + 3yb) + (xb+ ya) √3
R’ komutatif, karena perkalian bilangan Riil bersifat komutatif
x y 2) Selidiki apakah M = -.y x 0 0
0 01 ׀x, y Riil 0
Suatu ring unit yang komutatif terhadap oprasi penjumlahan dan perkalian Jawab: Akan dibuktikan M adalah Ring unit yang komutatif •
Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian “”
x y Misal elemen satuan dari M adalah .y x 0 0
dengan x, y R, maka x y 0 a .y x 01 .b 0 0 0 0
Elemen satuan kiri
0 01 M 0
x y b 0 a b 0 a 01 .b a 01 .y x 0 0 0 0 0 0 0
x y 0 a b 0 .y x 01 .b a 01 0 0 0 0 0 0 ax by bx ay 0 .ay bx by ax 01 0 0 0 ax + by = a
-bx – ay = -b
a
.b 0
a = .b 0
0 a 01 .b 0 0
b 0 a 01 0 0
b 0 a 01 0 0
bx + ay = b a abx + a2y = ab
ax – by = a b abx – b2y = ab (a2+b2) y = 0
bx + 0 = b http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
b 0 a 01 0 0
x=1
y=0
1 jadi elemen satuan kirinya adalah .0 0
Elemen satuan kanan
x y 0 a b 0 .b a 01 .y x 01 0 0 0 0 0 0 ax by bx ay 0 .ay bx by ax 01 0 0 0 ax + by = a
0 0 1 01 0 0 a = .b 0
a = .b 0
b 0 a 01 0 0
b 0 a 01 0 0
bx + ay = b a abx + a2y = ab
ax – by = a b abx – b2y = ab
-bx – ay = -b
(a2+b2) y = 0
bx + 0 = b
•
1 jadi elemen satuan kanannya adalah .0 0 Komutatif terhadap oprasi perkalian
x y 0 a .y x 01 .b 0 0 0 0
0 0 1 01 0 0
x y b 0 a b 0 a 01 .b a 01 .y x 0 0 0 0 0 0 0
y=0
x=1
0 01 0
HOMOMOERPHISMA Definisi:
Diketahui (R; +; ) dan (R’; +; ) ring
Didefinisikan suatu fungsi f dari R ke R’ atau f : R → R’ , maka fungsi f disebut
homomorphisme dari R → R’ bila dan hanya bila 1. a, b R f (a + b) = f(a) + f(b)
2. a, b R f (a b) = f(a) f(b)
Jika homomorphisma injektif, maka f disebut monomorphisma Jika homomorphisma surjektif, maka f disebut epimophirsma Jika homomorphisma bijektif, maka f disebut isomorphisma Jika homomorphisma yang domain dan kodomainnya sama disebut endhomorphisma Suatu isomomorphisma yang domainda kodomainnya sama disebut automorphisma
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
Contoh:
Jika (R ; + ; ) ring bilangan bulat dan (R’ ; + ; ) ring bilangan genap. Oprasi “+” seperti pada R’ sedangkan oprasi “” pada R’ didefinisikan ab = Jika f didefinisikan dari R
),
; a, b R
R’ dengan f(x)= 2x, x R. Maka apakah f suatu
homomorphisma yang bijektif (isomorphisma) Jawab: f:R
R’ dengan f(x) = 2x, x R
akan dibuktikan isomorphisma (homomorphisma yang injektif dan surjektif) 1) ( a, b R) 2) ( a, b R)
f (a + b) = f(a) + f(b) 2(a + b) = 2a + 2b 2a + 2b = 2a + 2b
f (a b) = f(a) f(b)
2 (a b) = 2a 2b 2 ab
= 2 (2ab)
2 ab = 2ab f injektif f surjektif
a ≠ b → f(a) ≠ f(b)
(2a R’) ( a R)
atau
2a ≠ 2b
f(a) = 2a
◊ f isomorphisma
SUB RING Definisi:
Suatu himpunan (R’; +; ) yang tidak kosong disebut sub ring dari ring (R; +; ) bila hanya bila terhadap oprasi yang sama dengan R, R’ juga ring dan R’ 4 ring R dan R’ ≠ 0
disebut subring dari ring (R; +; ) bila hanya bila memenuhi: 1. a, b R (a - b) R 2. a, b R a . b R
Contoh
Selidiki apakah ring himpunan bilangan genap merupakan sub ring dari ring himpunan bilangan bulat
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
Jawab: G : { bilangan bulat genap} atau G : {2n ׀n є B} Akan dibuktikan G subring dari bilangan bulat Jika diambil
X1 = 2n1
; n1 є B
X2 = 2n2
; n2 є B
Maka 1) X1 - X2
= 2n1 - 2n2 = 2 (n1 - n2) є G
Karena n1 , n2 є B → 2) X1 . X2
(n1 - n2) є B
→
2(n1 - n2) є G
→
2n1 n2 є G
= (2n1 ) (2n2) = 2 (2n1 n2) є G
Karena n1, n2 є B →
n1 n2 є B
Karena syarat 1) dan 2) terpenuhi maka G subring dari B
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
→
2 (2n1 n2) є G
