RING BERSIH KANAN. Ring (Cyrenia Novella Krisnamurti)

ISSN: 2088-687X

1

RING BERSIH KANAN Cyrenia Novella Krisnamurti Program Studi Pendidikan Matematika FKIP USD Kampus III Paingan, Maguwoharjo,Sleman, [email protected] ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk mengenal , memahami dan menunjukkan bahwa sifat-sifat pada ring bersih berlaku untuk ring bersih kanan. Ring bersih kanan merupakan perluasan dari suatu ring bersih. Sifat-sifat dalam ring bersih berlaku juga pada ring bersih kanan. Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka. Hal-hal yang akan dibahas untuk mendukung tentang sifat-sifat ring bersih kanan sebelumnya akan dibahas tentang dekomposisi Pierce dan matrik yang diperumum, mempelajari tentang ring bersih dan sifat-sifat ring bersih kanan. Penelitian ini menghasilkan beberapa hal yaitu : Setiap ring yang dibangun dari elemenelemen idempoten adalah ring bersih kanan jika hanya jika ring utamanya merupakan ring bersih kanan, setiap ring yang merupakan gabungan himpunan semua elemen unit kiri, himpunan semua elemen unit kanan dan himpunan semua elemen nilpoten merupakan ring bersih kanan dan ring bersih kiri, setiap ring matriks atas ring bersih kanan merupakan ring bersih kanan. Kata kunci : idempotent orthogonal lengkap, unit kanan, nilpotent, ring bersih kanan.

ABSTRACT This study aims to recognize, understand and demonstrate that the properties of the clean able to right clean rings. Right clean ring are explained clean rings. The properties of the clean rings also can be able to right clean rings. This research based to study literature. T hings that will be discussed for support of the properties right clean rings before will be discussed on Pierce decomposition and generalized matrix, learn about the ring clean and properties of right clean rings. The study produced several things: Each ring is constructed from elements idempotent are right clean rings if only if the ring is primarily right clean rings, each ring which is a combined set of all elements of the left unit, the set of all elements of the right unit and the set of all elements nilpotent a right clean ring and left clean ring, each ring matrix over right clean ring is right clean ring. Key words : orthogonal idempotenst , right unit, nilpotent,right clean rings.

umum, dalam tulisan ini ring yang

Pendahuluan

yang

Ring merupakan struktur aljabar

digunakan

terhadap

mempunyai elemen satuan. Ring dengan

operasi

penjumlahan

merupakan

elemen

perkalian

merupakan

elemen istimewa di antaranya elemen

terhadap

operasi

perkalian

serta dan

mempunyai

yang

merupakan grup abelian, terhadap operasi semigrup

satuan

ring

elemen-

idempoten dan elemen unit.

penjumlahan bersifat distributif. Secara AdMathEdu | Vol.5 No.1 | Juni 2015

Ring … (Cyrenia Novella Krisnamurti)

2

ISSN: 2088-687X Pada ring dengan elemen satuan,

Metode Penelitian

suatu elemen disebut elemen bersih jika

Penelitian ini dilakukan dengan

elemen tersebut merupakan hasil dari

studi literatur dari beberapa buku dan

penjumlahan dari elemen idempoten dan

artikel ilmiah yang berhubungan dengan

elemen unit. Contoh dari elemen bersih

ring , ring bersih dan ring bersih kanan.

adalah elemen 0 pada ring Z 6 karena

Langkah-langkah

0 1  5

penelitian

yang

dilakukan sebagai berikut : dimana

1 adalah

idempoten dari ring

elemen

1.

Z 6 dan 5 adalah

Pierce dan matriks yang diperumum. 2.

elemen unit di ring Z 6 .

Mempelajari tentang ring bersih dan sifat-sifat yang berlaku pada ring

Secara umum, ring R disebut ring

bersih.

bersih jika untuk setiap r  R berlaku

r  e  u , untuk suatu elemen idempoten

Mempelajari tentang dekomposisi

3.

Mempelajari tentang ring bersih

e dan elemen unit u. Contoh dari ring

kanan dan sifat-sifat yang berlaku

bersih adalah ring Z 6 , karena setiap

pada ring bersih kanan.

elemen dari ring Z 6 dapat dinyatakan sebagai

penjumlahan

dari

Hasil dan Pembahasan Ring bersih kanan adalah kejadian

elemen

yang lebih umum dari ring bersih.

idempoten dan elemen unit. Pada umumnya tidak semua ring

Berikut definisi dari ring bersih kanan.

mempunyai elemen unit dua sisi. Jika R

Definisi 1 (Călugăreanu, 2010)

adalah ring yang mempunyai elemen unit

Diberikan ring R. Ring R disebut ring

satu sisi, elemen yang dapat dinyatakan

bersih kanan apabila setiap elemen dari

sebagai

ring tersebut dapat dinyatakan sebagai

jumlah

elemen

unit

satu

sisi(kanan/kiri) dan elemen idempoten

penjumlahan

disebut elemen bersih kanan/kiri. Suatu

idempoten dan suatu elemen unit kanan

ring yang elemen-elemennya merupakan

di R.

dari

suatu

elemen

elemen bersih satu sisi (kanan/kiri)

Selanjutnya himpunan semua unit

disebut ring bersih satu sisi. Definisi dan

kanan dari suatu ring dinotasikan U r  R 

sifat-sifat dari ring bersih satu sisi dikenalkan oleh Călugăreanu pada tahun 2010. Demikian juga untuk modul juga terdapat modul yang bersifat bersih satu

. Berikut diberikan suatu sifat dari ring bersih kanan. Lemma 2 (Călugăreanu, 2010)

sisi.


AdMathEdu | Vol.5 No.1 | Juni 2015

ISSN: 2088-687X

3

Im  

Diketahui R dan S adalah ring bersih

b.

kanan. Jika pemetaan  : R  S suatu

idempotent.

epimorfisma maka Im    S adalah

memuat

elemen

Karena R adalah ring bersih kanan

ring bersih kanan.

berarti

R

1. Diketahui R adalah ring bersih

idempotent.

memuat

elemen

Diambil sebarang

 R merupakan

aR  R adalah elemen idempotent

ring bersih kanan jika dan hanya jika

di R sehingga aR  aR .aR . Karena

Ri adalah ring bersih kanan untuk



setiap i  I .

sehingga

kanan. Hasil kali

i

adalah homomorfisma ring,

  aR     aR .aR     aR  .  aR 

Bukti : 1. Diambil sebarang x  Im   . karena

itu

terdapat

 :RS

suatu

Karena   aR   aS maka diperoleh

Oleh

pemetaan

bahwa

epimorfisma

Im  S 

sehingga   r   x . Karena R adalah

aS  aS .aS . memuat

Dari a dan b maka

dengan uR U r  R  dan a  Id  R  ,

  r     uR  aR 

sehingga   r     uR  aR  . Karena

  r     uR     aR 

 adalah homomorfisma diperoleh

  r   uS  aS .

  uR  aR     uR     aR  ditunjukkan

  r   uS  aS

dengan

Sehingga bahwa

uS  U r  S 

dan a  Id  S  .

adalah ring

bersih kanan. 2.

 R adalah ring bersih kanan i

jika

kanan untuk setiap i  I .

Karena  adalah epimorfisma dan

uR  R dan R adalah ring dengan elemen satuan maka jelas bahwa Sehingga

Im    S

dan hanya jika Ri adalah ring bersih

a. Im   memuat elemen unit.

  u R   uS .

elemen

idempotent di S.

ring bersih kanan maka r  uR  aR

Akan

Sehingga

Im  S 

memuat elemen unit di S.

a.

  Akan ditunjukkan jika

i

adalah ring bersih kanan maka Ri adalah ring bersih kanan untuk setiap i  I .

 R   r  i

atau


R

I

dapat

dengan

ri  R

dinyatakan


4

ISSN: 2088-687X

 R   r  i

I

diperoleh

kanan sehingga

 ri iI  ui iI   ai iI .

 r I  u I   a I

Sehingga diperoleh

u U r  R 

dimana

adalah

i

Dari a dan b terbukti. Dari 1 dan 2 Lemma terbukti.

 r I  u I   a I menurut

R

ring bersih kanan.

dan

a  Id  R 

definisi

 Berikut diberikan teorema yang

penjumlahan

pada system barisan diperoleh

menjelaskan tentang ring yang dibangun

 r I  u  a I

oleh ring bersih kanan merupakan ring

Dengan

menggunakan

definisi

persamaan dalam sistem barisan diperoleh

r  u  a dimana u U r  R 

b.

barisan

adalah ring bersih

bersih kanan. Teorema 3 (Călugăreanu, 2010) Diberikan ring A, B , bimodul

A

CB dan

dan a  Id  R  . Maka Ri adalah

A C R   0 B

ring bersih kanan.

penjumlahan dan perkalian pada matriks.

  Akan ditunjukkan jika Ri ring bersih kanan untuk setiap

R

i  I maka

i

adalah ring

Diambil sebarang barisan

 ri iI

dengan ri  Ri . Karena diketahui

Ri

operasi

Ring R adalah ring bersih kanan jika dan hanya jika ring A dan B adalah ring bersih kanan. Bukti :

bersih kanan .

bahwa

dengan

adalah ring bersih

1.   Akan

ditunjukkan

jika

A C R  adalah ring bersih kanan  0 B

maka ring A dan B adalah ring bersih

kanan maka ri  ui  ai dengan

kanan.

ui  U r  Ri 

Dibentuk suatu pemetaan f dari R ke

adalah

ai  Id  Ri  .

 ri iI  ui  ai iI

dan

A Dilain

yang

didefiniskan

f :RA

definisi

pemetaan

pihak dengan menurut

definisi penjumlahan pada sistem

 a c   f     a , dan g dari R ke B  0 b 

yang didefiniskan g : R  B dengan



ISSN: 2088-687X

definisi

5

 a c   g   b  0 b 

pemetaan a  A,b  B

dengan

c C .

dan

Untuk menunjukkan bahwa ring A dan B adalah ring bersih kanan cukup dengan membuktikan bahwa f, g merupakan epimorfisma. a. Akan ditunjukkan f epimorfisma

berarti

a c  A1   1 1   0 b1 

a A2   2 0

a1 ,a2  A ,

c2  b2 

dan

dengan

b1 ,b2  B

c1 ,c2  C .

dan

Diperhatikan

bahwa,

yaitu i. Akan

ditunjukkan

terdefinisi

f

dengan

baik.

Diambil sebarang A1 , A2  R . a c  Hal ini berarti A1   1 1   0 b1 

dan

Diambil sebarang A1 , A2  R

a A2   2 0

a1 ,a2  A ,

c1 ,c2  C

c2  b2 

dengan

b1 ,b2  B

dan

A1  A2 .

dengan

Menurut kesamaan 2 matriks maka

a1  a2 ,

b1  b2

dan

 a c  a f  A1  A2   f   1 1    2   0 b1   0  a  a f  A1  A2   f   1 2  0

c1  c2    b1  b2  

f  A1  A2   a1  a2  a c    a f  A1  A2   f   1 1    f   2   0 b1    0

f  A1  A2   f  A1   f  A2  . Selanjutnya, diambil sebarang

A dan A1  R . Hal ini

c1  c2 .  a c   f   1 1    a1   0 b1  

, karena

a c  berarti A1   1 1  dengan  0 b1 

a1  a2 maka diperoleh

a1  A , b1  B , c1  C .

 a c   f   1 1    a2   0 b1  

Diperhatikan bahwa,

 a c    a f   1 1   f   2   0 b1    0

c2   . b2  

f  A1   f  A2  . ii. Akan

ditunjukkan

f

 a c   f  .A1   f   .  1 1     0 b1     .a  .c1   f  .A1   f   1    0  .b1  

f  .A1    .a1

homomorfisma AdMathEdu | Vol.5 No.1 | Juni 2015

c2    b2  


c2    b2  

6

ISSN: 2088-687X

 a c   f  .A1    . f   1 1     0 b1  

 a c   g   1 1    b1   0 b1  

f  .A1    . f  A1  .

b1  b2 maka diperoleh

iii. Akan ditunjukkan f surjektif. Diambil

sebarang

menurut

definisi

f :RA

maka

a1  A pemetaan terdapat

a1  A yang mengakibatkan a c  A1   1 1   R untuk suatu  0 b1 

, karena

 a c   g   1 1    b2   0 b1    a c    a g   1 1   g   2   0 b1    0

c2   . b2  

g  B1   g  B2  . ii. Akan

ditunjukkan

g

homomorfisma

b1  B dan c1  C sehingga

Diambil sebarang B1 ,B2  R .

f  A1   a1 .

a c  Hal ini berarti B1   1 1   0 b1 

Jadi terbukti bahwa f surjektif. Dari i, ii, dan iii diperoleh bahwa f

dan

epimorfisma. b. Akan ditunjukkan g epimorfisma i. Akan ditunjukkan g terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang B1 ,B2  R . a c  Hal ini berarti B1   1 1   0 b1 

dan

a B2   2 0

a1 ,a2  A ,

c1 ,c2  C

c2  b2 

dengan

b1 ,b2  B dengan

a1  a2 ,

B1  B2 .

b1  b2

a1 ,a2  A ,

c1 ,c2  C .

c2  b2 

dengan

b1 ,b2  B

dan

Diperhatikan

bahwa

 a c  a g  B1  B2   g   1 1    2   0 b1   0  a  a g  B1  B2   g   1 2  0

c2    b2  

c1  c2    b1  b2  

dan

Menurut kesamaan 2 matrik maka

a B2   2 0

dan

c1  c2 .

g  B1  B2   b1  b2  a c    a g  B1  B2   g   1 1    g   2   0 b1    0

g  B1  B2   g  A1   g  A2  . Selanjutnya diambil sebarang

B Ring … (Cyrenia Novella Krisnamurti)

dan

B1  R

berarti


c2    b2  

ISSN: 2088-687X

7

a c  B1   1 1  dengan a1  A  0 b1 

b1  B

,

c1  C

,

.

Diperhatikan bahwa,

2.   Akan ditunjukkan berlaku jika ring A dan B adalah ring bersih kanan A C maka R    adalah ring bersih  0 B

 a c   g   .B1   g   .  1 1     0 b1  

kanan.

   .a g   .B1   g   1  0

A C a c  maka r   R   untuk 0 B 0 b    

Diambil sebarang r  R .

 .c1     .b1  

suatu a  A , b  B , c  C . Karena

g   .B1    .b1

A dan B adalah ring bersih kanan.

 a c   g   .B1    .g   1 1     0 b1  

Hal ini

b  uB  eB

iii. Akan ditunjukkan g surjektif Diambil

sebarang

menurut

definisi

berarti a  u A  eA dengan

u A U r  A  ,

g   .B1    .g  B1  .

b1  B pemetaan

g:RB

maka

terdapat

terdapat

b1  B

yang

eB  Id  B  .

eA  Id  A dengan

hingga

u A .vA  1A

Perhatikan bahwa,

g  B1   b1 . Jadi

terbukti

bahwa

g

surjektif.

u  e r A A  0 u r A 0

hingga

uB .vB  1B .

 uB  eB  c

c   eA  uB   0

Selanjutnya,

g epimorfisma

u A 0 

dan g epimorfirma. Jelas

karena

a c  r  0 b

Dari i, ii, dan iii diperoleh bahwa

Jadi f

dan

uB U r  B  berarti terdapat vB  B

a c  B1   1 1   R untuk suatu  0 b1 

sehingga

u B U r  B  ,

berarti terdapat vA  A sedemikian

sedemikian

a1  A dan c1  C sehingga

dan

Karena u A U r  A

mengakibatkan

sedemikian

Karena

0C  . eB 

ditunjukkan

bahwa

c merupakan elemen unit uB 

bahwa A dan B adalah ring bersih kanan.



8

ISSN: 2088-687X e kanan di R dan  A 0

uB .y  1

0C  merupakan eB 

…(iv)

elemen idempotent di R.

Dari

i.

Diperhatikan bahwa,

diperoleh

0C  eA 0C  eA 0C  eA .eA  0 e  . 0 e    0 eB .eB  B  B   eA  Id  A . Karena dan

persamaan (iv) maka diperoleh

0C  eA . eB   0

e Jadi  A 0 ii. Apakah

0C  . eB 

Dari

u A .t  c.y  0

u A 0 

t   vA .c  .vB

(iii)

merupakan

Dari hasil diatas maka diperoleh

 vA .c  .vB  .

t   vA  y  0R

s x 

vB

 

c u Maka diperoleh bahwa  A   0 uB 

sehingga

merupakan elemen unit kanan di t  1 0   y  0 1 

R. Dari

i

dan

ii

jelas

u A .s  c.x u A .t  c.y  1 0   u .x uB .y  0 1  B 

A C R   0 B

Menurut kesamaan 2 matriks

kanan.

maka diperoleh

Dari 1 dan 2 teorema terbukti.

u A .s  c.x  1

maka

u A .t  c.vB  0

sehingga uR .vR  1 . vR berarti

c  s . uB   x

dari

diperoleh bahwa

Berarti terdapat vR sedemikian

u A 0 

persamaan

0C   Id  R  . eB 

t y 

x  0,

maka diperoleh s  vA .

0C  eA  eB   0

c uB 

maka

Dari persamaan (i) dan x  0

elemen unit kanan di R?

s vR   x

bahwa

(ii)

bahwa y  vB .

eB  Id  B  maka  eA 0 

persamaan

...

adalah

ring

bahwa bersih



(i) Ring

uB .x  0 …(ii)

u A .t  c.y  0 …(iii)


dengan

elemen

satuan

terdapat paling tidak terdapat dua elemen idempoten.

Elemen-elemen idempoten

dapat membangun struktur ring baru. Berikut

ini,

terdapat

teorema

yang


ISSN: 2088-687X

9

x  eR 1  e 

menyatakan bahwa ring bersih kanan

Karena

yang

x  er1 1  e 

dibangun

oleh

elemen-elemen

idempotent merupakan ring bersih kanan. Teorema 4 (Călugăreanu, 2010) Diberikan ring R dengan

mempunyai

elemen idempoten e dan 1  e  . Jika

eRe dan

1  e  R 1  e 

bersih kanan maka R merupakan ring

r1  R

suatu

…...(i) dan y  1  e  Re maka

y  1  e  r2 e untuk suatu r2  R ……(ii). Karena

adalah ring

untuk

maka

u  U r  eRe 

maka

terdapat

u 1  eRe berarti u 1  er3 e untuk suatu

bersih kanan.

r3  R ……(iii)

Bukti :

Dari persamaan i, ii dan iii, diperoleh

e  1  e   1

Karena

dan

yu 1 x   1  e  r2 e   er3e   er1 1  e  

e 1  e   e  ee  e  e  0 , maka e dan

yu 1 x  1  e  r2 er3   er1 1  e  

1  e 

yu 1 x  1  e  r2 er3er1 1  e 

merupakan elemen idempoten

Karena r2  R;e  R;r3  R;r1  R maka

orthogonal lengkap diperoleh :

eR 1  e 

 eRe R 1  e  Re

 . 1  e  R 1  e 

r2 .er3 e.r1  R sehingga diperoleh bahwa yu 1 x  1  e  R 1  e  .

Diambil sebarang

 a x   eRe  y b    1  e Re    

eR 1  e 

 . 1  e  R 1  e 

Lebih lanjut

lagi, karena b  1  e  R 1  e  . Karena

1  e  R 1  e 

suatu

ring

Hal ini berarti a  eRe ; x  eR 1  e  ;

b  y.u 1 .x  1  e  R 1  e  .

y  1  e  Re ; dan b  1  e  R 1  e  .

Berdasarkan

eRe adalah ring bersih

Karena ring kanan

maka

a u f

dengan

u  U r  eRe  dan f  Id  eRe  . Karena ring

1  e  R 1  e 

kanan

maka

sehingga

1  e  R 1  e 

asumsi,

merupakan ring bersih kanan. karena itu,

b  yu 1 x  v  g dengan

v  U r  1  e  R 1  e  

dan

adalah ring bersih

g  Id  1  e  R 1  e   . Akibatnya

bvg

dengan

b  v  g  y.u 1 .x .

dan

Dengan demikian,

v  U r  1  e  R 1  e  

g  Id  1  e  R 1  e   .


Oleh

 a x  u  f  y b   y   

 v  g  y.u .x  x

1


10

ISSN: 2088-687X

x  a x  u  f  y b    y v  y.u 1 .x    0     

Sekarang

tinggal

f 0 

ditunjukkan

x u   y v  y.u 1 .x   U r  R  .  

Hal

x u   y v  y.u 1 .x   

berarti

0 g  .

ini

mempunyai

0  f . g   0

0  f  g   0

f itu, terbukti bahwa  0

0 . Oleh karena g  0  Id  R  . g 

Jadi

sebarang

 a x   e Re  y b    1  e Re    

eR 1  e 

 1  e  R 1  e 

invers di R. Untuk mencari invers dari

merupakan elemen bersih kanan. Hal ini

matriks tersebut menggunakan metode

berakibat

bahwa

operasi baris elementer. Karena ring R

 e Re R 1  e  Re

eR 1  e 

adalah ring dengan elemen satuan maka diperoleh elemen satuan dari R adalah e 0 

 . Perhatikan bahwa, 1  e  0

u e x  1  y v  y.u .x 0

ring

 1  e  R 1  e 

maka

bahwa R merupakan ring bersih kanan.  Berikut diberikan suatu akibat

0  dengan 1  e 

bahwa ring matrik yang dibangun oleh ring bersih kanan merupakan ring bersih

menggunakan Operasi Baris Elementer

kanan.

diperoleh bahwa

Akibat 5 (Călugăreanu, 2010)

x u  bahwa  U r  R  . 1   y v  y.u .x 

Jika R adalah ring bersih kanan maka

Sekarang tinggal menunjukkan bahwa f 0 

Ring

0  Id  R  . g 

Ekuivalen dengan

f 0 

0  f  g   0

0  f . g   0

f 0 

0  f . g   0

0  f .f  g   0

elemen

elemen-elemen

satuan istimewa

kiri, unit kanan dan himpunan nilpotent dari ring tersebut merupakan ring bersih

0  g.g 

f  Id  eRe 

g.g  g

Himpunan gabungan dari himpunan unit

0 . g 

g  Id  1  e  R 1  e   maka

dan

mempunyai

dengan

sepeti elemen unit, elemen nilpotent.

menunjukkan

Karena

M nn  R  adalah ring bersih kanan.

kanan sekaligus ring bersih kiri. Untuk lebih jelasnya berikut diberikan teorema dan f .f  f

yang menyatakan hal tersebut. Teorema 6 (Călugăreanu, 2010)

sehingga



ISSN: 2088-687X

11

Setiap ring R  Ul  R  U r  R  N  R  adalah ring bersih kanan dan ring bersih

2. Akan ditunjukkan R ring bersih kiri. rR

Diambil sebarang

kiri.

r U l  R  U r  R  N  R  .

Bukti :

Misalkan

1. Akan ditunjukkan R ring bersih kanan. rR

Diambil sebarang

berarti

r U r  R  berarti

terdapat s  R sedemikian sehingga

r.s  1 dan s.r  R , maka berarti

r U l  R  U r  R  N  R  . Misalkan r U l  R  berarti terdapat

s  R yang memenuhi s.r  1 dan

 s.r  . s.r   s  r.s  r  s.r  . s.r   s.1.r  s.r  . s.r   s.r  s.r  adalah

r.s  R . Perhatikan bahwa,

Diperoleh

 r.s  . r.s   r. s.r  .s

elemen idempotent di R.

 r.s  . r.s   r.1.s

Karena

 r.s  . r.s   r.s

idempoten di R dan diperoleh

Diperoleh

bahwa

 r.s  adalah

elemen idempoten di R.

 r.s 

Karena

bahwa

 r.s 

1   r.s  juga

elemen

elemen

merupakan elemen

idempoten di R. Tinggal

adalah

adalah

ditunjukkan

 r   s.r   1

bahwa

merupakan elemen

idempoten di R dan diperoleh

1   r.s  juga

unit kiri di R. merupakan elemen

Dengan cara yang analog dengan

idempoten di R.

(1) maka terbukti bahwa R adalah

Selanjutnya, tinggal menunjukkan

ring bersih kiri.

bahwa

 r   r.s   1

merupakan

Sekarang diambil sebarang r  N  R 

elemen unit kanan di R.

berarti r n  0 untuk n  . Persamaan

Dibentuk

rn  0

x    r.s  s  r.s      r.s   1  R

1  r  1  r  r 2  ...  r n1   1 .

sehingga diperoleh

1  r  1  r  r 2  ...  r n1   1

ekuivalen

 rs  s  rs    rs   1  r   rs   1  1 1  r  U  R  . . r

Sehingga terbukti bahwa R adalah

dengan Karena maka

Diperhatikan

r  1  1  r  . Karena 1  r   R dan R

ring bersih kanan.



12

ISSN: 2088-687X

adalah

  1  r   R ,

2. Setiap ring yang merupakan gabungan

diperoleh r  1    1  r  

himpunan semua elemen unit kiri,

ring

sehingga

maka

1  Id  R  dan

dan himpunan semua elemen nilpoten

Oleh karena itu, R

merupakan ring bersih kanan dan ring

dengan

  1  r  U  R  . r

himpunan semua elemen unit kanan

adalah ring bersih kanan.

Selanjutnya,

karena 1  r  r 2  ...  r n1  1  r   1

bersih kiri. 3. Setiap ring matriks atas ring bersih kanan merupakan ring bersih kanan.

maka 1  r  r 2  ...  r n1  1  r   1

Pustaka

sehingga diperoleh

Călugăreanu.G., 2010, One-sided Clean

r  1  1  r  . Karena

Rings, Studia Matematica, No.3,

1  r   R

dan R adalah ring

maka   1  r    R , sehingga diperoleh r  1    1  r   dengan 1  Id  R  dan

  1  r  U  R  . l

Oleh karena itu, R

Camillo, V.P., and Anderson, D.D., 2002, Commutative

Rings

whose

elements are a sum of unit and idempotent,

Communications

in

Algebra, No.7, vol.30, pp.3327-

adalah ring bersih kiri. Jadi

vol.55, pp.83-86.

terbukti

bahwa

R  Ul  R  U r  R  N  R  adalah ring bersih kanan dan ring bersih kiri.



3336. Han, J., and Nicholson, W. K., 2001, Extensions of clean rings, Comm. Algebra, No.6, vol.29, pp.2589-

Kesimpulan

2595.

Berdasarkan pembahasan di atas dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : 1. Setiap

ring

yang

dibangun

dari

elemen-elemen idempoten adalah ring bersih kanan jika hanya jika ring utamanya

merupakan

ring

Hazenwingkel,M.,

Nadiya

G.,

and

Kirichenko, V.V., 2005, Algebras, Rings and Modules, vol. 1, Kluwer Academic, New York.

bersih

kanan.



RING BERSIH KANAN. Ring (Cyrenia Novella Krisnamurti)

Recommend Documents