RANCANGAN PEMBUATAN PROGRAM PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA RING DAN FIELD

RANCANGAN PEMBUATAN PROGRAM PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA RING DAN FIELD Don Tasman1; Ngarap Im Manik2 ABSTRACT Along with the growth of human being thought and technology everything also becomes quickly. Therefore, a testing application program for field and ring was designed. This program could test a limited system of mathematics structure, on whether it represented field and ring. The process was done by including element at tables of Cayley which had been provided and later it can be obtained the end result of formulation conditions, was it including field and ring. The designed of testing application program on ring and field had run better and gave result which was equal to manual way. This application program was developed using Ianguage programs of Delphi 6.0. with operating system of Microsoft Windows 2000 and this program could help tools to facilitate the mathematics structure testing that were more efficient on ring and field. Keywords: ring, field, mathematics structure, examination

ABSTRAK Seiring dengan perkembangan daya pikir manusia dan perkembangan teknologi saat ini, segala sesuatu pun menjadi cepat. Oleh karena itu, dirancanglah suatu program aplikasi pengujian ring dan field. Program ini dapat menguji suatu sistem terbatas struktur matematika, apakah merupakan ring dan field. Proses dilakukan dengan memasukkan unsur pada tabel Cayley yang sudah disediakan yang kemudian diperoleh hasil akhir penjabaran syarat-syarat apakah termasuk ring dan field. Program aplikasi pengujian ring dan field yang dirancang telah berjalan dengan baik dan dengan hasil akhir yang sama dengan cara manual. Program aplikasi ini dikembangkan menggunakan bahasa pemrograman Delphi 6.0. dengan sistem operasi Microsoft Windows 2000 dan program ini dapat menjadi alat bantu untuk memudahkan pengujian struktur matematika ring dan field yang lebih efisien. Kata kunci: ring, field, struktur matematika, pengujian

1, 2

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Bina Nusantara, Kampus Anggrek, Jln. Kebon Jeruk Raya No. 27, Kebon Jeruk Jakarta Barat 11530, [email protected], [email protected]

Rancangan Pembuatan Program … (Don Tasman; Ngarap Im Manik)

1

PENDAHULUAN Seiring dengan adanya perkembangan daya pikir manusia, ilmu pengetahuan pun berkembang. Matematika yang menjadi bagian di dalamnya pun turut berkembang dari ilmu matematika murni menjadi matematika modern yang mencakup tentang struktur, ruang, dan perubahan. Berbicara tentang matematika modern yang merupakan model matematika baru yang lebih cenderung kepada pemakaian lemma, teorema, definisi, dan aksioma di dalam menyelesaikan soal atau masalah yang ada sehingga membuat matematika yang satu ini menjadi lebih sukar dipelajari dan dimengerti dibandingkan dengan matematika sebelumnya (aljabar, kalkulus, dan analisis matematika lainnya). Hal itu pula yang menyebabkan mengapa sebagian orang menjadi momok terhadap matematika modern. Dua hal yang tercakup di dalam struktur matematika, yaitu ring dan field. Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan, khususnya di bidang komputer, juga diiringi oleh pesatnya perkembangan teknologi yang pada akhirnya membuat segala sesuatunya menjadi lebih cepat dan efisien, misalnya komputer, internet, dan program komputer. Dari hal itulah, muncul ide untuk melakukan penelitian tentang rancangan pembuatan program aplikasi komputer untuk pengujian struktur Matematika ring dan field. Program yang dirancang ini adalah sebuah program komputer yang belum pernah dikembangkan, bahkan di dalam program paket Matematika (Mapple,MatLab) jenis penyelesaian masalah yang dibahas ini belum dilakukan. Ruang lingkup pembuatan program aplikasi ini dibatasi hanya untuk pengujian Ring dan Field yang akan melakukan uji dengan mengecek persyaratan yang ada menggunakan tabel Cayley. Pembuatan program aplikasi ini mengunakan bahasa pemrograman Delphi 6.0. dan program ini dijalankan menggunakan sistem operasi Microsoft Windows 2000.

Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan, grupoid, grup, hingga field. Secara khusus, struktur aljabar adalah himpunan tak kosong dengan satu komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. Contoh: • A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + (x + y) ∈ A, ∀x,y ∈ A • B = {x / x bilangan real} dengan operasi +, × (x + y) ∈ B, ∀x,y ∈ B dan (x × y) ∈ A, ∀x,y ∈ B

Operasi Biner Operasi biner yang biasa disebut komposisi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua elemen dan menghasilkan elemen yang masih merupakan anggota himpunan yang bersangkutan. Beberapa operasi biner yang dikenal dalam matematika, misalnya operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat. Operasi gabungan, irisan, selisih, dan selisih simetri dalam himpunan kuasa merupakan contoh lain operasi biner pada himpunan. Contoh: • Penjumlahan dua buah bilangan bulat sembarang akan menghasilkan bilangan bulat lagi sehingga penjumlahan adalah operasi biner pada himpunan bilangan bulat. • Perkalian dua buah bilangan bulat juga menghasilkan bilangan bulat lagi. Jadi, operasi perkalian dalam hal ini juga merupakan operasi biner, (Pardede, 2003).

2

Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 1, Januari 2008: 1-14

Operasi Komutatif Sebuah operasi biner * pada himpunan A dikatakan komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ A berlaku: a * b = b * a

Operasi Asosiatif Sebuah operasi biner * pada himpunan A dikatakan asosiatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlaku: ( a * b ) * c = a * ( b * c )

Operasi Distributif Sebuah operasi biner + dikatakan distributif terhadap operasi biner * jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlaku: a + ( b * c ) = (a + b) * ( a + c )

Unsur Kesatuan Ada dua unsur kesatuan. • Pertama, unsur kesatuan aditif. Yang disebut unsur kesatauan aditif ialah elemen e ∈ A yang bersifat a + e = e + a = a , untuk setiap e ∈ A . Contoh: 0 merupakan unit kesatuan aditif dalam sistem bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. • Kedua, unsur kesatuan multiplikatif. Yang disebut unsur kesatauan multiplikatif ialah elemen e ∈ A yang bersifat a ∗ e = e ∗ a = a , untuk setiap e ∈ A . Contoh: 1 merupakan unit kesatuan multiplikatif dalam sistem bilangan bulat dengan operasi perkalian.

Invers Misalkan a, a’ ∈ A, dan elemen identitas dari operasi biner Â adalah e dan a Âa’= a’Âa = e, maka a’ disebut sebagai elemen invers dari a untuk operasi biner Â.

Grup Grup adalah suatu sistem atau struktur aljabar yang sederhana. Jika suatu himpunan G ≠∅ dengan suatu operasi ° yang didefinisikan bagi elemen G bersifat tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner tersebut maka himpunan G terhadap operasi biner itu membentuk suatu grup. Selanjutnya, keempat sifat tersebut dinamakan aksioma suatu grup. Suatu himpunan G yang tidak kosong dan suatu operasi biner o yang didefinisikan pada G membentuk suatu grup bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut ini, (Weisstein, 2004). 1. Tertutup, ∀a,b ∈ G berlaku (a°b) ∈ G. 2. Operasi o pada G bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a , b, c,∈ G maka (a o b) o c = a o (b o c) . 3. G terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas, yaitu ada e ∈ G sedemikian sehingga a o e = e o a = a untk setiap a ∈ G . 4. Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner o dalam G, yaitu untuk setiap a ∈ G ada a −1 ∈ G sedemikian hingga a o a −1 = a −1 o a = e adalah elemen identitas dari G.


3

Jika himpunan G terhadap operasi biner o membentuk suatu grup maka grup G ini dinyatakan dengan notasi (G ,o) . Tidak setiap grup memiliki sifat komutatif terhadap binernya. Operasi biner o pada G bersifat komutatif yaitu untuk setiap a , b ∈ G maka a o b = b o a sehingga grup (G,o) disebut grup abelian atau grup komutatif, (Dog Frey, 1998) (Rowland, 2006).

Ring Ring adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner, yaitu + dan *. Terhadap operasi +, struktur aljabar itu merupakan grup abelian, terhadap * struktur aljabar itu semi grup, dan operasi * bersifat distribusi kiri dan distribusi kanan terhadap +. Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda + dan * merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut ini. 1. Sifat tertutup terhadap operasi + ; Untuk setiap a , b ∈ R berlaku (a + b) ∈ R . 2. Sifat asosiaif terhadap operasi + ; Untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c) . 3. Ada elemen identitas terhadap operasi + ; Ada 0 ∈ R sedemikian hingga untuk setiap a ∈ R berlaku a + 0 = 0 + a = a . 4. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi + ; Untuk setiap elemen a ∈ R dapat ditemukan a −1 ∈ R sedemikian a + a −1 = a −1 + a = 0 . 5. Sifat komutatif terhadap operasi + ; Untuk setiap a , b ∈ R berlaku a + b = b + a . 6. Sifat tertutup terhadap operasi * ; Untuk setiap a , b ∈ R berlaku (a * b) ∈ R . 7. Sifat asosiatif terhadap * untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a * b) * c = a * (b * c) . 8. Sifat distributif operasi * terhadap + setiap a , b, c ∈ R berlaku a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c dan

( )

(a + b ) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c , (Sukirman, 1999).

Field Field adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner, yaitu “+” dan “×”. Terhadap operasi + struktur aljabar itu merupakan grup abelian. Terhadap operasi × struktur aljabar juga merupakan grup abelian tetapi dengan mengecualikan angka unkes aditif, dan terhadap operasi × bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap +. Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda + dan × merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat berikut ini. 1. Sifat tertutup terhadap operasi + ; Untuk setiap a , b ∈ R berlaku (a + b) ∈ R . 2. Sifat asosiatif terhadap operasi + ; Untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c) . 3. Ada elemen identitas terhadap operasi +; Ada 0 ∈ R sedemikian hingga untuk setiap a ∈ R berlaku a + 0 = 0 + a = a . 4. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi + ; Untuk setiap elemen a ∈ R dapat ditemukan (− a ) ∈ R sedemikian a + (− a ) = (− a ) + a = 0 . 5. Sifat komutatif terhadap operasi + ; Untuk setiap a , b ∈ R berlaku a + b = b + a . 6. Sifat tertutup terhadap operasi × ; Untuk setiap a , b ∈ (R − {0}) berlaku (a + b) ∈ (R − {0}) . 7. Sifat asosiatif terhadap × ; Untuk setiap a , b, c ∈ (R − {0}) berlaku (a × b) × c = a × (b × c) . 8. Ada elemen identitas terhadap operasi × ada 1 ∈ (R − {0}) sedemikian hingga untuk setiap a ∈ (R − {0}) berlaku a × 1 = 1 × a = a . 9. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi × ; Untuk setiap elemen a ∈ (R − {0}) dapat

( )

ditemukan a −1 ∈ (R − {0}) Æ a × a −1 = a −1 × a = 1 .

4


10. Sifat komutatif terhadap operasi ×; Untuk setiap a , b ∈ ( R − {0}) berlaku a × b = b × a . 11. Sifat distributif × terhadap + ; Untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a + b ) × c = a × c + b × c dan

a × (b + c ) = a × b + a × c , (Malik, 1997).

METODE PERANCANGAN Metode yang digunakan dalam rancangan pembuatan program aplikasi ini diawali dengan studi kepustakaan sesuai dengan topik bahasan grup, ring, dan field. Dari teori yang ada kemudian disusun rancangan dan pengembangan program komputer yang mengikuti prosedur tahapan perancangan program/software standar meliputi langkah sebagai berikut: Indetifikasi masalah, rancangan model simulasi, pembuatan program , uji coba program/simulasi program, dan analisis hasil dan pembahasan, (Pressman RS, 2004). Untuk merancang program pengujian ring dan field, digunakan Delphi 6.0 yang dioperasikan pada Microsoft Windows 2000. Dalam operasi ini, akan dibuat layar pembukaan sebagai layar tampilan awal untuk user kemudian akan ada layar input dan pengguna harus memasukan unsur. Setelah itu, akan dilanjutkan dengan layar Cayley dan pengguna harus memasukkan unsur/hasil dalam tabel yang telah disediakan. Rancangan Program Aplikasi Pada program pengujian ring dan field, akan dibuat lima layar. Berikut ini adalah perancangan layar yang akan dibuat. Rancangan Layar Pembukaan Layar menu utama ini berfungsi sebagai layar utama ketika user menjalankan program. Pada layar pembukaan ini, akan terdapat nama program, identitas penulis, dan sebuah tombol “Masuk Form Utama”. Tombol ini berfungsi untuk melanjutkan ke layar input (Gambar 1).

Gambar 1 Perancangan Layar Pembukaan

Rancangan Layar Input Pada layar input, unsur terdapat sebuah EditBox, sebuah ListBox, dan empat tombol. EditBox berfungsi untuk memasukkan data unsur oleh user. ListBox berfungsi untuk menampilkan data unsur yang dimasukkan oleh user. Tombol “Masukkan Ke List >>” berfungsi untuk memindahkan data unsur dari EditBox ke ListBox. Tombol “Hapus Dari List <<” berfungsi untuk menghapus data unsur yang diinginkan dari


5

ListBox. Tombol “Bersihkan Semua Isi List” berfungsi untuk menghapus semua data unsur dari ListBox. Tombol “NEXT >>” berfungsi untuk melanjutkan ke layar Cayley (Gambar 2).

Gambar 2 Perancangan Layar Input

Rancangan Layar Cayley Pada layar Cayley terdapat dua StringGrid, dua EditBox, tombol “<< BACK” dan tombol “NEXT >>”. StringGrid1 befungsi untuk memasukkan hasil operasi unsur dari operasi1. StringGrid2 berfungsi untuk memasukkan hasil operasi unsur dari operasi2. EditBox1 dan EditBox2 berfungsi untuk memasukkan nama operasi pertama dan kedua. EditBox ini bersifat optional, yang berarti boleh diisi atau pun tidak. Tombol “Bersihkan Semua Isi Tabel Cayley Operasi 1” berfungsi untuk menghapus semua hasil operasi unsur pada operasi1. Tombol “Bersihkan Semua Isi Tabel Cayley Operasi 2” berfungsi untuk menghapus semua hasil operasi unsur pada operasi2. Tombol “<< BACK” berfungsi untuk kembali ke layar input. Tombol “NEXT >>” berfungsi untuk melanjutkan ke layar hasil ring (Gambar 3).

Gambar 3 Perancangan Layar Cayley

Rancangan Layar Hasil Ring Pada layar hasil ring ini terdapat tiga memo, sebuah tombol “<< BACK” dan sebuah tombol “NEXT >>”. Memo1 berfungsi untuk menampilkan hasil pengujian dari operasi1. Memo2 berfungsi untuk menampilkan hasil pengujian dari operasi2. Memo3 berfungsi untuk menampilkan hasil pengujian ring dari operasi1 dan operasi2. Tombol “<< BACK” berfungsi untuk kembali pada layar Cayley. Tombol “NEXT >>” berfungsi untuk melanjutkan ke layar hasil field (Gambar 4).

6


Gambar 4 Perancangan Layar Hasil Ring

Rancangan Layar Hasil Field Pada layar hasil field ini, terdapat tiga memo dan sebuah tombol “<< BACK”. Memo1 berfungsi untuk menampilkan hasil pengujian ring. Memo2 berfungsi untuk menampilkan hasil pengujian dari operasi2. Memo3 berfungsi untuk menampilkan hasil pengujian field. Tombol “<< BACK” berfungsi untuk kembali pada layar hasil ring (Gambar 5).

Gambar 5 Perancangan Layar Hasil Field

HASIL DAN PEMBAHASAN Setelah semuanya selesai maka sebelum menjalankan program ini dibutuhkan beberapa spesifikasi. Pertama, spesifikasi perangkat keras yang dipakai dalam mengoperasikan program aplikasi adalah Processor: Pentium 4 (1,7 GHz); Memory 256 MB; Harddisk: 40 GB; VGA Card: 64MB; Standard VGA Monitor: SVGA 15”; Mouse dan Keyboard. Kedua, dibutuhkan perangkat lunak dengan spesifikasi Operating System Windows2000 dan Compiler Borland Delphi 6.0. Bila aplikasi dijalankan maka akan tampak beberapa layar sebagai user interface system/program dengan pengguna.


7

Hasil Tampilan Layar Input Pada layar ini, user dapat memasukan unsur pada EditBox yang tersedia menggunakan keyboard lalu menekan tombol “Masukkan Ke List >>”. Untuk menghapus unsur yang salah, dapat memilih unsur tersebut pada ListBox dan menekan tombol “Hapus Dari List <<”. Untuk menghapus semua unsur pada ListBox, dapat menekan tombol “Bersihkan Semua Isi List”. Jika proses pemasukkan unsur sudah selesai, tekan tombol “Next >>” maka akan muncul Layar Cayley (Gambar 6).

Gambar 6 Tampilan Layar Input

Tampilan Layar Cayley Pada layar ini, user diminta untuk memasukan unsur hasil pada dua StringGrid yang telah tersedia. Untuk menghapus semua unsur hasil pada Operasi, dapat menekan tombol “Bersihkan Semua Isi Tabel Cayley Operasi 1” dan juga tombol “Bersihkan Semua Isi Tabel Cayley Operasi 2” untuk membersihkan unsur hasil pada Operasi 2. Pengguna juga dapat memasukkan nama operasi pada EditBox yang telah tersedia. Jika user tidak ingin memasukkan nama operasi pun proses dapat berlanjut. Jika proses pemasukkan unsur sudah selesai, tekan tombol “Next >>” maka akan muncul Layar Hasil Ring yang akan menampilkan hasil pengujian Ring. Untuk kembali pada Layar Input, user dapat menekan tombol “<< Back” (Gambar 7).

Gambar 7 Tampilan Layar Cayley

Tampilan Layar Hasil Ring Pada layar ini akan langsung ditampilkan hasil dari (R,+), apakah termasuk grup komutatif atau bukan pada memo1, dan (R,*) apakah termasuk Semi grup atau bukan pada memo2, serta (R,+,*) apakah termasuk ring atau bukan pada memo3. Setelah itu, user dapat menekan tombol “Next >>” untuk melihat hasil pengujian field pada layar selanjutnya (Gambar 8).

8


Gambar 8 Tampilan Layar Hasil Ring

Tampilan Layar Hasil Field Pada layar ini akan langsung di tampilkan hasil dari (R,+,*), apakah termasuk grup komutatif atau bukan pada memo1, dan (F-{0},*) apakah termasuk grup komutatif atau bukan pada memo2, serta (F,+,*) apakah termasuk field atau bukan pada memo3. Jika pengguna ingin kembali melihat Layar Hasil Ring maka dapat menekan tombol “<< Back”. Untuk mengakhiri program, pengguna dapat langsung menekan tombol yang bertanda silang(×) (Gambar 9).

Gambar 9 Tampilan Layar Hasil Field

Pembahasan Untuk melihat hasil akhir penelitian, dilakukan dua kali pengujian dengan unsur dan unsur hasil dan diperoleh (Tabel 1-Tabel 4). Tabel 1 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 5 +

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

1

1

2

3

4

0

2

2

3

4

0

1

3

3

4

0

1

2

4

4

0

1

2

3


9

Tabel 2 Tabel Cayley Perkalian Modulo 5 *

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

1

3

3

0

3

1

4

2

4

0

4

3

2

1

Tabel 3 Tabel Cayley Penjumlahan Sembarang +

1

3

6

1

1

3

6

3

1

3

6

6

1

3

6

Tabel 4 Tabel Cayley Perkalian Sembarang

*

1

3

6

1

1

3

6

3

1

3

6

6

1

3

6

Untuk hasil akhir dari kedua contoh tersebut, menghasilkan hasil yang sama, bahwa Tabel 1 dan Tabel 2 merupakan ring dan field sedangkan Tabel 3 dan Tabel 4 bukan merupakan ring dan bukan juga merupakan field. Untuk Tabel 3 dan Tabel 4, secara manual dapat diketahui (F-{0},*) bahwa itu merupakan Sub ring. Akan tetapi, dengan program aplikasi ini tidak dapat diketahui apakah itu termasuk Sub ring atau bukan. Hasil akhir pada program pengujian ring dan field adalah sebagai berikut. • Untuk Tabel 1 dan Tabel 2; (R,+) 1. Tertutup Semua x,y anggota R, hasil x + y juga anggota R 2. Asosiatif Semua x,y,z anggota R, x+(y+z) = (x+y)+z 3. Unsur kesatuan Memiliki unkes kiri dan kanan, e = 0. 4. Invers Memiliki 1 buah invers kiri dan kanan, yaitu : Æ e = 0 Invers kiri Invers kanan Inv(0) = 0 Inv(0) = 0 Inv(1) = 4 Inv(1) = 4 Inv(2) = 3 Inv(2) = 3 Inv(3) = 2 Inv(3) = 2 Inv(4) = 1 Inv(4) = 1, maka semua unsur pada R memiliki invers. 5. Komutatif ; Semua x,y anggota R, x+y = y+x

10


Himpunan operasi biner ini merupakan Grup Komutatif. (R,*) 1. Tertutup Semua x,y anggota R, hasil x * y juga anggota R 2. Asosiatif Semua x,y,z anggota R, x*(y*z) = (x*y)*z 3. Unsur kesatuan Memiliki unkes kiri dan kanan, e = 1. 4. Komutatif Semua x,y anggota R, x*y = y*x Himpunan operasi biner ini merupakan Sub ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan. (R,+,*) 1. Operasi (R,+) merupakan Grup Komutatif. 2. Operasi (R,*) merupakan Sub ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan. 3. Tes Distributif Distributif kiri Semua x,y,z anggota R, x * (y+z) = (x*y) + (x*z) Distributif kanan Semua x,y,z anggota R, (x+y) * z = (x*z) + (y*z) Operasi (R,*,+) merupakan Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan. (F-{0},*) 1. Tertutup Semua x,y anggota F-{0}, hasil x + y juga anggota F-{0} 2. Asosiatif Semua x,y,z anggota F-{0}, x+(y+z) = (x+y)+z 3. Unsur kesatuan Memiliki unkes kiri dan kanan, e = 1. 4. Invers Memiliki 1 buah invers kiri dan kanan, yaitu : Æ e = 1 Invers kiri Invers kanan Inv(1) = 1 Inv(1) = 1 Inv(2) = 3 Inv(2) = 3 Inv(3) = 2 Inv(3) = 2 Inv(4) = 4 Inv(4) = 4 Semua unsur pada F-{0} memiliki invers 5. Komutatif Semua x,y anggota F-{0}, x+y = y+x Operasi (F-{0},*) merupakan Grup Komutatif. (F,+,*) 1. Operasi (R,*,+) merupakan Ring. 2. Operasi (F-{0},*) merupakan Grup Komutatif. Operasi (F,*,+) merupakan Field. •

Untuk Tabel 3 dan Tabel 4 (R,+) 1. Tertutup Semua x,y anggota R, hasil x + y juga anggota R 2. Asosiatif Semua x,y,z anggota R, x+(y+z) = (x+y)+z 3. Unsur kesatuan


11

Memiliki invers kiri, e = 1 ,3 ,6. Tidak memiliki invers kanan. 4. Invers Memiliki 3 buah invers kiri, yaitu : Æ e = 1 Invers kiri Invers kanan Inv(1) = 1,3,6 Inv(1) = 1 Inv(3) = tidak ada Inv(3) = 1 Inv(6) = tidak ada Inv(6) = 1 Æe=3 Invers kiri Inv(1) = tidak ada Inv(3) = 1,3,6 Inv(6) = tidak ada

Invers kanan Inv(1) = 3 Inv(3) = 3 Inv(6) = 3

Æe=6 Invers kiri Invers kanan Inv(1) = tidak ada Inv(1) = 6 Inv(3) = tidak ada Inv(3) = 6 Inv(6) = 1,3,6 Inv(6) = 6 Ada unsur pada R yang tidak memiliki invers 5. Tidak Komutatif 3 + 1 = 1 <> 3 = 1 + 3 6 + 1 = 1 <> 6 = 1 + 6 6 + 3 = 3 <> 6 = 3 + 6 Himpunan operasi biner ini bukan Grup Komutatif. (R,*) 1. Tertutup Semua x,y anggota R, hasil x * y juga anggota R 2. Asosiatif Semua x,y,z anggota R, x*(y*z) = (x*y)*z 3. Unsur kesatuan Memiliki unkes kiri, e = 1 ,3 ,6. Tidak memiliki invers kanan. 4. Tidak Komutatif 3 * 1 = 1 <> 3 = 1 * 3 6 * 1 = 1 <> 6 = 1 * 6 6 * 3 = 3 <> 6 = 3 * 6 Himpunan operasi biner ini merupakan Sub ring. (R,+,*) 1. Operasi (R,+) bukan Grup Komutatif. 2. Operasi (R,*) merupakan Sub ring. 3. Tidak dilakukan tes Distributif Operasi (R,*,+) bukan Ring. (F-{0},*) 1. Tidak dilakukan tes Tertutup 2. Tidak dilakukan tes Asosiatif 3. Tidak dilakukan tes Unsur Kesatuan 4. Tidak dilakukan tes Invers

12


(F,+,*) 1. Operasi (R,*,+) bukan Ring. 2. Tidak dilakukan tes Grup Komutatif pada Operasi (F-{0},*). Operasi (F,*,+) bukan Field. Evaluasi Berdasarkan analisis hasil, dapat dilihat beberapa hal, yaitu program pengujian Ring dan Field telah dapat menghasilkan tujuan yang ingin dicapai, yaitu menguji suatu sistem terbatas apakah merupakan ring ataupun field. Jika dibandingkan dengan cara pengerjaan manual maka dengan program aplikasi ini waktu yang diperlukan untuk pengujian lebih singkat. Jika user ingin melakukan pengujian dengan unsur yang sama dan beberapa unsur hasil yang berbeda maka user tidak perlu memasukkan semua unsur hasil dari awal. Kelemahan program ini adalah tidak dapat memberikan hasil pengujian (F-{0},*), jika hasil yang ada sudah bukan merupakan ring dan input-an masih merupakan alfanumerik terbatas.

PENUTUP Dari hasil rancangan program aplikasi dan evaluasi, dapat ditarik simpulan bahwa program aplikasi pengujian ring dan field yang dirancang berjalan dengan baik dan dengan hasil akhir yang sama dengan cara manual, seperti yang terlihat pada bagian analisis; Program aplikasi pengujian ring dan field yang dirancang dapat menjadi alat bantu untuk memudahkan pengujian dan lebih efisien dari segi waktu proses.

DAFTAR PUSTAKA Anonymous. 2003. “Unit Ring.” Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/UnitRing.html _______. 2006. “Matematika.” Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika _______. 2006. Ring. Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Ring.html _______. “The Cayley Table Page.” Diakses dari http://www.maths.utas.edu.au/People/Jackson/cayley.html Dogfrey, Arfur. 1998. “Finite Groups and Cayley Tables.” Diakses dari http://members.tripod.com/~dogschool/cayley.html Malik, D.S, John N. Mordeson, and M.K.Sen. 1997. Fundamentals of Abstract Algebra. Singapura: McGraw-Hill Internationl Editions. Pardede, Chispina. 2003. “Himpunan dan Operasi Biner.” Diakses dari http://library.gunadarma.ac.id/files/disk1/1/jbptgunadarma-gdl-course-2000-dlucianacr-14himp-r.doc Pressman, R. S. 2004. Software Engineering: A Practitionner’s Approach. Singapore: McGraw-Hill & Co Inc.


13

Rowland, Todd. 2006. “Group.” Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Group.html Sukirman. 1999. Aljabar Abstrak. Jakarta: Universitas Terbuka. Weisstein, Eric W. 2002. “Groupoid.” Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Groupoid.html _______. 2004. “Semigroup.” Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Semigroup.html

14


RANCANGAN PEMBUATAN PROGRAM PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA RING DAN FIELD

Recommend Documents